Lec6 一般到达或服务模型 排队论及其应用 教学课件
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排队论及其应用Lecture6一般到达或服务模型84-PPT课件

|AT () D ( T ) | 1 n n
D ( TA ) ( TX ) ( 0 ) X ( T )
19
客户离开后瞬间状态概率
Dn (T ) n lim T D(T )
D ( T ) AT () D ( T ) AT () n n n n D ( T ) A ( T ) X ( 0 ) X ( T )
排队论及其应用
Lecture 6 一般到达或服务模型
中国科学技术大学 计算机科学与技术学院
田 野
1
M/G/1排队模型
考Байду номын сангаас一个排队系统
用t1,t2,t3,…表示客户1,2,3,...完成服务(离开 系统)的时刻,X(ti)表示在ti时系统内的客户数量 (即客户离开排队系统后瞬间系统内客户的数 量)。可以用嵌入马尔科夫链模型描述这个排队 系统,用Xi表示X(ti)。
上式只和i与j有关,说明{Xi}具有Markov性质 对Xn=0,类似可以证明
4
M/G/1稳态解
M/G/1系统的演化方程 1 (Xn 0) 其中 U(Xn) X X U ( X ) A n 1 n n
0 (Xn 0)
( D ) [ X ] E [ X ] L 令E ,即客户离开后瞬间系统 n 1 n 内平均客户数量(括号中D表示客户离开, Departure)。上式两边取期望,有
证明πn=pn
πn:一个客户离开后瞬间系统中有n个客户的概率 pn:任意时刻系统中有n个客户的概率 证明:
考虑在一段时间T内系统的演变。令An(T)表示时间T内系统 发生nn+1状态迁移的次数,Dn(T)表示时间T内发生 nn-1状态迁移的次数。两种迁移的次数之差最多为1。 令A(T)和D(T)分别表示时间T内的所有到达和离开事件的个 数,X(T)为T时刻系统内客户个数
三、排队论(ppt文档)

12:56:34
系顾
统客
中源
允中
许顾
的客
最数
大,
顾默
客 数
认 无 穷
,
默
认
无
穷
队列长度有限 队列最大长度
C=D 损失制
C<D< 混合制 D= 等待制
3
M/M/…的排队模型
考虑整个排队系统中顾客数的变化
有顾客到达,系统中顾客数加1 有顾客服务完毕,系统中顾客数减1 总之,顾客的到达和离开致使系统顾客数有变化
t 0
jt 0(t)
t
j
j是正在忙的服务窗个数
j=i,im 系统顾客数少于等于服务窗数时,所有顾客都在 接受服务
j=m,i>m 系统顾客数大于 服务窗个数时,所有服务窗都在 服务,正在接受服务的顾客数=服务窗个数
12:56:34
9
第三章 单服务窗排队模型
第一节 损失制M/M/1/1 第二节 等待制M/M/1 第三节 混合制M/M/1/m 第四节 可变服务率的M/M/1 第五节 可变输入率的M/M/1 第六节 具有不耐烦顾客的M/M/1 第七节 单服务窗闭合式M/M/1/m/m 第八节 有差错服务的M/M/1
12:56:34
6
增长率和消亡率的分析
i状态下,i状态代表排队系统中有i个顾客,假定此时有j个 顾客正在接受服务(ji),当i m j=i,当i>m时j=m, m为服务 窗个数 pi,i1(t) P(t内到达了1个,离开了0个)
P(t内到达了k个,离开了k 1个,k 2)
M/M…排队模型综述
12:56:34
1
排队模型回顾
顾客到达排队系统请求服务
服
系顾
统客
中源
允中
许顾
的客
最数
大,
顾默
客 数
认 无 穷
,
默
认
无
穷
队列长度有限 队列最大长度
C=D 损失制
C<D< 混合制 D= 等待制
3
M/M/…的排队模型
考虑整个排队系统中顾客数的变化
有顾客到达,系统中顾客数加1 有顾客服务完毕,系统中顾客数减1 总之,顾客的到达和离开致使系统顾客数有变化
t 0
jt 0(t)
t
j
j是正在忙的服务窗个数
j=i,im 系统顾客数少于等于服务窗数时,所有顾客都在 接受服务
j=m,i>m 系统顾客数大于 服务窗个数时,所有服务窗都在 服务,正在接受服务的顾客数=服务窗个数
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9
第三章 单服务窗排队模型
第一节 损失制M/M/1/1 第二节 等待制M/M/1 第三节 混合制M/M/1/m 第四节 可变服务率的M/M/1 第五节 可变输入率的M/M/1 第六节 具有不耐烦顾客的M/M/1 第七节 单服务窗闭合式M/M/1/m/m 第八节 有差错服务的M/M/1
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6
增长率和消亡率的分析
i状态下,i状态代表排队系统中有i个顾客,假定此时有j个 顾客正在接受服务(ji),当i m j=i,当i>m时j=m, m为服务 窗个数 pi,i1(t) P(t内到达了1个,离开了0个)
P(t内到达了k个,离开了k 1个,k 2)
M/M…排队模型综述
12:56:34
1
排队模型回顾
顾客到达排队系统请求服务
服
排队论ppt课件

N(t),只与区间长度t有关而与时间起点t0无关。
数N(t),与t0以前到达的顾客数独立。 或两个以上顾客的概率极小,可以忽略不计,即 ∞ ∑Pn(Δ t)=o(Δ t)
n=2
在上述三个条件下可以推出 (λ t)n Pn(t)=——— e-λt n!
n=0,1,2,……
其中λ 表示单位时间平均到达的顾客数,即为到达
顾客总数
服务时间总和
6.2 几个主要概率分布
6.2.2 普阿松分布 设N(t)表示在时间区间[t0,t0+t)内到达的顾客数,
是随机变量。当N(t)满足下列三个条件时,我们说顾客
的到达符合普阿松分布。这三个条件是: (1)平稳性 (2)无后效性 (3)普通性 在时间区间[t0,t0+t)内到达的顾客数 在时间区间[t0,t0+t)内到达的顾客 在充分短的时间区间Δ t内,到达两个
对于普阿松分布,λ 表示单位时间平均到达 的顾客数,所以1/λ 表示顾客相继到达的平均间 隔时间,而这正和E[T]的意义相符。 服务时间符合负指数分布时,设它的概率密
度函数和分布函数分别为
fv(t)=μ e-μ t; Fv(t)=1-e-μ t (t≥0)
其中μ 表示单位时间能够服务完的顾客数,为服 务率;而1/μ 表示一个顾客的平均服务时间,正 是v的期望值。
...
n+1
...
m-1 μ
m
系统处于稳态时的概率方程如下: mλP0=μP1 (m-n+1)λPn-1+μPn+1= (m-n)λPn+ μPn (n<m) μPm=λP m-1 考虑到 P0+ P1+… + Pm=1, 解得
排队论(脱产)PPT课件

等待制与损失制
等待制
顾客等待时间有限,超过一定时 间仍无法接受服务则离开;或者 顾客可以无限等待,直到获得服 务。
损失制
顾客到达时若无法立即接受服务 ,则离开系统。
稳态与瞬态
稳态
排队系统在长时间后达到平衡状态,顾客到达和服务的时间间隔均服从某一概 率分布。
瞬态
排队系统未达到平衡状态,顾客到达和服务的时间间隔不服从概率分布。
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排队论(脱产)ppt课件
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目 录
• 引言 • 排队论的基本概念 • 常见的排队模型 • 排队论中的性能指标 • 排队论的应用实例 • 总结与展望
PART 04
排队论中的性能指标
队长与等待队长
队长
指在任意时刻队列中的顾客数。它通常用来衡量系统的负载状况。队长是描述系 统状态的重要参数,其分布情况决定了系统的性质。
等待队长
指在队列中等候的顾客数。等待队长是衡量系统性能的重要指标,特别是在处理 能力有限的情况下。等待队长的大小直接影响到顾客的等待时间和系统的效率。
交通系统
地铁调度
地铁调度中心需要确保列车按时到达车 站并保持适当的间隔。排队论可用于分 析列车的到达时间和等待时间,优化列 车的调度和运行计划,提高地铁系统的 运输效率和安全性。
VS
机场安检
机场安检是保证乘客安全的重要环节,但 安检队伍过长或等待时间过长会影响乘客 的满意度和机场的运行效率。排队论可用 于分析安检队伍的长度和等待时间,优化 安检流程和资源配置,提高机场的运行效 率和乘客满意度。
排队理论模型ppt课件

排队论模型
排队论是20世纪初由丹麦数学家Erlang应用数学 方法在研究电话话务理论过程中而发展起来的一门学 科,排队论也称随机服务系统理论,它涉及的是建立 一些数学模型,以对随机发生的需求提供服务的系统 预测其行为,它已应用于电讯、纺织、矿山、交通、 机器维修,可靠性,计算机设计和军事领域,都已取 得了显著的成绩。
1 n k
(9.3)
当S为可数状态集时(9.2)式变为
n01
pn1 p0
( n 1 p1
n ) pn
0
p n1 n1
0
从而可以求得概率分布列 {pn}
n1
(9.4
(五)、典型排队模型和理论结果
下面给出满足生灭过程典型排队M/M/1与M/M/C的 结果
(一)单服务台等待制M/M/1排队模型
1.M/M/1/ 顾客来到的时间间隔 服从参数 的
负指数分布,服务员为顾客服务时间 服从参数
的指数分布,且 与 相互独立,1个服务台,系
统容量为 的等待制排队模型。
可理解为:单位时间平均到达的顾客数-----平均到 达率
可理解为:单位时间平均服务完的顾客数----平均 服务率
(1)顾客输入过程 {N(t):t 0},( N(0) 0)是平均率为
3.排队系统的主要指标 研究排队问题的目的,是研究排队系统的运行效率估计
服务质量,确定系统参数最优值,以决定系统的结构是否 合理,设计改进措施等,所以必须确定用来判断系统运行 优劣的基本数量指标,这些数量指标通常是
(1)队长:是指系统中顾客(包括排队等待和正在接受服务 的)的数目,它的期望值为 Ls ;排队长度则仅指在队列中 排队等待的顾客数,其期望记为 Lq. 系统中的顾客数
煤矿 火车 煤仓
排队论是20世纪初由丹麦数学家Erlang应用数学 方法在研究电话话务理论过程中而发展起来的一门学 科,排队论也称随机服务系统理论,它涉及的是建立 一些数学模型,以对随机发生的需求提供服务的系统 预测其行为,它已应用于电讯、纺织、矿山、交通、 机器维修,可靠性,计算机设计和军事领域,都已取 得了显著的成绩。
1 n k
(9.3)
当S为可数状态集时(9.2)式变为
n01
pn1 p0
( n 1 p1
n ) pn
0
p n1 n1
0
从而可以求得概率分布列 {pn}
n1
(9.4
(五)、典型排队模型和理论结果
下面给出满足生灭过程典型排队M/M/1与M/M/C的 结果
(一)单服务台等待制M/M/1排队模型
1.M/M/1/ 顾客来到的时间间隔 服从参数 的
负指数分布,服务员为顾客服务时间 服从参数
的指数分布,且 与 相互独立,1个服务台,系
统容量为 的等待制排队模型。
可理解为:单位时间平均到达的顾客数-----平均到 达率
可理解为:单位时间平均服务完的顾客数----平均 服务率
(1)顾客输入过程 {N(t):t 0},( N(0) 0)是平均率为
3.排队系统的主要指标 研究排队问题的目的,是研究排队系统的运行效率估计
服务质量,确定系统参数最优值,以决定系统的结构是否 合理,设计改进措施等,所以必须确定用来判断系统运行 优劣的基本数量指标,这些数量指标通常是
(1)队长:是指系统中顾客(包括排队等待和正在接受服务 的)的数目,它的期望值为 Ls ;排队长度则仅指在队列中 排队等待的顾客数,其期望记为 Lq. 系统中的顾客数
煤矿 火车 煤仓
第六章排队论-PPT精选

(1)损失制。这是指如果顾客到达排队系
统时,所有服务台都被先到的顾客占用, 那么他们就自动离开系统永不再来。
2.服务规则
(2)等待制 这是指当顾客来到系统时,所有服务台
都不空,顾客加入排队行列等待服务。等待制中,服务 台在选择顾客进行服务时常有如下四种规则: 1)先到先服务。按顾客到达的先后顺序对顾客进行服务。 2)后到先服务。 3)随机服务。即当服务台空闲时,不按照排队序列而随 意指定某个顾客接受服务。 4)优先权服务。
②排队等待的顾客数(排队长)的期望值Lq; ③顾客在系统中全部时间(逗留时间)的期望值W;
④顾客排队等待时间的期望值Wq。
第二节 M/N/1模型
模型的条件是: 1、输入过程――顾客源是无限的,顾客到
达完全是随机的,单个到来,到达过程 服从普阿松分布,且是平稳的; 2、排队规则――单队,且队长没有限制, 先到先服务; 3、服务机构――单服务台,服务时间的长 短是随机的,服从相同的指数分布 。
第六章 排 队 论
随机服务系统理论
第六章 排 队 论
排队系统描述 基本概念 M / M / 1 模型 M / M / S 模型
第一节 排队系统描述
顾客---要求服务的对象统称为“顾 客”
服务台---把提供服务的人或机构称 为“服务台”或“服务员”
各种形式的排队系统
各种形式的排队系统
(2)其他常用数量指标
Pn PNn:稳态系统任一 为n时 的刻 概状
特别n= 当0时(系统中0顾 )客 ,数为 P0即稳态系统所 全有 部服 空务 闲台 的概
(2)其他常用数量指标
ρ ——服务强度,即每个服务台单位时间内的平 均服务时间,—般有ρ =λ /(sμ ),这是衡量 排队系统繁忙程度的重要尺度,当ρ 趋近于0时, 表明对期望服务的数量来说,服务能力相对地 说是很大的。这时,等待时间一定很短,服务 台有大量的空闲时间;如服务强度ρ 趋近于1, 那么服务台空闲时间较少而顾客等待时间较多。 我们一般都假定平均服务率μ 大于平均到达率 λ ,即λ /μ <1,否则排队的人数会越来越多, 以后总是保持这个假设而不再声明。
统时,所有服务台都被先到的顾客占用, 那么他们就自动离开系统永不再来。
2.服务规则
(2)等待制 这是指当顾客来到系统时,所有服务台
都不空,顾客加入排队行列等待服务。等待制中,服务 台在选择顾客进行服务时常有如下四种规则: 1)先到先服务。按顾客到达的先后顺序对顾客进行服务。 2)后到先服务。 3)随机服务。即当服务台空闲时,不按照排队序列而随 意指定某个顾客接受服务。 4)优先权服务。
②排队等待的顾客数(排队长)的期望值Lq; ③顾客在系统中全部时间(逗留时间)的期望值W;
④顾客排队等待时间的期望值Wq。
第二节 M/N/1模型
模型的条件是: 1、输入过程――顾客源是无限的,顾客到
达完全是随机的,单个到来,到达过程 服从普阿松分布,且是平稳的; 2、排队规则――单队,且队长没有限制, 先到先服务; 3、服务机构――单服务台,服务时间的长 短是随机的,服从相同的指数分布 。
第六章 排 队 论
随机服务系统理论
第六章 排 队 论
排队系统描述 基本概念 M / M / 1 模型 M / M / S 模型
第一节 排队系统描述
顾客---要求服务的对象统称为“顾 客”
服务台---把提供服务的人或机构称 为“服务台”或“服务员”
各种形式的排队系统
各种形式的排队系统
(2)其他常用数量指标
Pn PNn:稳态系统任一 为n时 的刻 概状
特别n= 当0时(系统中0顾 )客 ,数为 P0即稳态系统所 全有 部服 空务 闲台 的概
(2)其他常用数量指标
ρ ——服务强度,即每个服务台单位时间内的平 均服务时间,—般有ρ =λ /(sμ ),这是衡量 排队系统繁忙程度的重要尺度,当ρ 趋近于0时, 表明对期望服务的数量来说,服务能力相对地 说是很大的。这时,等待时间一定很短,服务 台有大量的空闲时间;如服务强度ρ 趋近于1, 那么服务台空闲时间较少而顾客等待时间较多。 我们一般都假定平均服务率μ 大于平均到达率 λ ,即λ /μ <1,否则排队的人数会越来越多, 以后总是保持这个假设而不再声明。
排队论及应用举例PPT精选文档

0.78
2.0
0.14
0.86
5
5. 第二种情况:泊松分布。主要针 对某一时段T内有n人到达的概 率,到达过程是随机的,则服 从泊宋分布。如图5-5所示。计 算公式为:
时间T内
有n人到
.224
达的概率
.20 .149
期望值 3
.224
方差
.168
平滑曲线
PT(n)(T)nn!eT
(6-2)
.10
.102
2. 无限总体。对于服务系统来说顾客数量足够大,由于人数增减而引起的总体规模的变化不会对 系统的概率分布产生显著的影响。
3. 顾客到达的分布。这是一个到达率或单位时间到达数的问题。固定到达的分布呈周期性的,即 相继到达的两个顾客之间的时间间隔几乎相同。在生产系统中,通常运用一些技术控制顾客在固 定的时间间隔内到达。多数情况下,顾客的到达呈随机分布。
1
一、排队问题的经济含义
在日常经济生活中,经常遇到排队现象,如:在超市等待结帐、工厂中等待加工 的工件或待修理的机器、开车上班等,排队论是运作管理中重要的方法,它是计 划、工作设计、存货控制以及其他问题的基础。
每一个排队事例的核心问题就是对不同因素作权衡决策,管理者必须衡量为提供 更快捷服务而增加的成本和等待费用之间的关系。
表的第二栏是下一个到达的顾客时间间隔超
过 t分钟的概率;第三栏为下一个顾客到
达时间小于 t 分钟的概率。
(1)
t分钟
0 0.5 1.0
(2)
(3)
下一个顾客将在 大于t分钟内 到达的概率
下一个顾客将在小于t 分钟内到达的概率 (3)=(1)-(2)
1.00
0
0.61
0.39
运筹08(第10章排队论)精品PPT课件

2020/11/30
7
排队系统类型3:
服务完成后离开
服务台1
顾客到达
服务完成后离开
服务台2
服务完成后离开
服务台s
S个服务台, S个队列的排队系统
2020/11/30
8
排队系统类型4:
顾客到达
服务台1
离开
服务台s
多服务台串联排队系统
2020/11/30
9
排队系统的描述 实际中的排队系统各不相同,但概括 起来都由三个基本部分组成: 1、输入过程; 2、排队及排队规则; 3、服务机构
2020/11/30
21
➢ 定长分布(D):每个顾客接受的服 务时间是一个确定的常数。
➢ 负指数分布(M):每个顾客接受的
服务时间相互独立,具有相同的负指
数分布: e- t t0
f(t)=
0
t<0
其中>0为一常数。
2020/11/30
22
➢ K阶爱尔朗分布(Ek):
f(t)=
k(kt)k-1 · e- kt
2
无形排队现象:如几个旅客同时打电话 订车票;如果有一人正在通话,其他人只 得在各自的电话机前等待,他们分散在不 同的地方,形成一个无形的队列在等待通 电话。
排队的不一定是人,也可以是物。如生 产线上的原材料,半成品等待加工;因故 障而停止运行的机器设备在等待修理;码 头上的船只等待装货或卸货;要下降的飞 机因跑道不空而在空中盘旋等。
理;出价高的顾客应优先考虑。
2020/11/30
20
❖ 3、服务机制
包括:服务员的数量及其连接方式(串联还是并联) 顾客是单个还是成批接受服务; 服务时间的分布
记某服务台的服务时间为V,其分布函数 为B(t),密度函数为b(t),则常见的分布 有:定长分布(D)
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(z) z
0
(1
z)K(z)
K(z) 1
0K
(z)
|z 1
/
0
1
1
பைடு நூலகம்
0 1 其 中 E[servicetime]
综上,(z)(1)(1z)K(z)
K(z)z
13
获得Π(z),即可获得{πn};或者从稳态方程递 归获得
i1
i 0ki jkij1, (i0,1,2,...) j1
当i=0,求出π1; 当i=1,求出π2; 当i=2,求出π3; …
k0 k1 k2
P p ij 0 k 0 k1
0 0 k0
0 0 0
1
K
1
kn
n0
K 1
1 kn
n0
K 2
1 kn
n0
K 3
1 kn
n0
1 k 0
由 π πP,得到M/G/1/K的稳态方程
0ki
i1
kj ij1
(i 0,1,2,
,K1)
i 1Kj01jj1
有i个客户的概率=客户离开后瞬间系统中有i个 客户的概率,即pn=πn 下面我们证明这一点
18
证明πn=pn
πn:一个客户离开后瞬间系统中有n个客户的概率 pn:任意时刻系统中有n个客户的概率 证明:
考虑在一段时间T内系统的演变。令An(T)表示时间T内系统 发生nn+1状态迁移的次数,Dn(T)表示时间T内发生 nn-1状态迁移的次数。两种迁移的次数之差最多为1。
P r{ 到 达 P 客 r{ 户 客 发 户 现 能 系 够 统 进 内 入 已 系 有 统 n } 个 客 户 } 1 q n q K
因此qn 1qK n,求qn’,需要获得qK’
对(1 于 Mq K /G)/ 1/ K(1 , 下p 0 式) 成立q K 1 p 0(= )
因此 qK 1 p0,qn (1p 0)n,需获得p0
(Xn1)
当Xn≥1,第n个客户离开立即开 始服务第n+1个客户;
(Xn0)
但是当Xn=0,必须先等第n+1个 客户到达,才开始服务
这里An+1是服务器服务第n+1个客户这段时间S(n+1) 内到达排队系统的客户数量。 An+1和S(n+1)均为独 立随机变量,稳态下与n无关。用A和S来表示。有
P r{ A a } 0P r(A a|S t)d B (t)
序列{πi},{kji}的生成函数
(z) jzj, Ki(z) kjizj
j0
j0
将展开方程两边乘以相应的zj再相加,整理得
( z ) 0 K 0 ( z ) 1 K 1 ( z ) 2 z K 2 ( z ) j 1 z j K j 1 ( z )
28
考虑一个特例,服务器的服务时间服从指数分 布,且有两档服务速率(“慢”和“快”), 分别是系统空和非空时的服务速率。
A和S相互独立,所以
Pr{Aa|St}et(t)a
a!
泊松到达,时间t内 到达a个客户的概率
3
X n 1X n U (X n)A两边平方
X n 2 1 X n 2 U 2 ( X n ) A 2 2 X n U ( X n ) 2 A U ( X n ) 2 A X n
再取期望,得
20
有限等待位的M/G/1/K模型
M/G/1/K与M/G/1的关系类似于M/M/1/K与 M/M/1的关系
一个服务器,任意服务时间分布,平均服务速率μ, K-1个等待位
PK等式不成立 排队系统只有K+1个状态,相应地,单步转移
概率矩阵 (K+1)×(K+1)
21
单步转移矩阵
k
0
k1
k2
当T→∞,X(0)和X(T)是有限的,综合以上条件
limDn(T) limAn(T) T D(T) T A(T)
由于客户到达事件独立于系统状态,所以
nT li m D D n((T T))T li m A A n((T T))pn
客户到达的泊松过程独立于排队系统中的客 户人数,因此最后一个等号成立
定义:
qn’ :一个客户到达时系统中已有n个客户的概率, 不管这个到达客户是否能够进入排队系统
qn:一个客户到达并且能够进入排队系统时系统中 已有n个客户的概率
阻塞概率: qK’
参考对M/G/1排队模型中“πn=pn”的证明过程, 对M/G/1/K,有πn=qn。
24
n q n P r{ 到 达 客 户 发 现 系 统 内 已 有 n 个 客 户 |客 户 能 够 进 入 系 统 }
对状态相关服务时间分布的M/G/1排队模型,
稳态存在的条件是
lim sup{j E [Sj]1 }
Crabill, 1968
简单来说,就是对所有Bi(t),ρi<1。
27
将方程 π πP展开,可以写为 p j j 0 k j , 0 1 k j , 1 2 k j 1 , 2 3 k j 2 , 3 j 1 k 0 , j 1
前 一 个 客 户 离 开 后 瞬 间 系 统 中 有 i个 客 户 }
Pr{Xn1j|Xni} 注意:我们已经证明了Xi的Markov性质
pij
et( t)ji1
dB(t),
0 (ji1)!
(ji1,i1)
Pr{在 服 务 器 服 务 一 个 客 户 的 时 间 t内 到 达 了 ji1个 客 户 }
Var[A]2S2 所以
E [A 2]2S 22
综上 L(D) 2 2S2 2(1)
对于M/G/1,客户离开时的系统参数均值=任 意时刻的系统参数均值(将证明这一点)
7
M/G/1排队系统中平均客户数量
L 2 2S2 2(1)
这个公式被称为Pollaczek-Khintchine等式(PK等式, 波拉切克-辛钦等式)
n 4
n 0
16
服务时间分布B(t)是一个两点分布,
kn
et (t)n
dB(t) 0 n!
1 n!
e5(3/
20)
[5(
3 )]n 20
2 3
e5(1/5)[5(1)]n 5
1 3
2 3n!
e3/4
3 4
n
1 3n!
e1
K(z)2e34 3z/4i 1e1 zi
3 i0 i!
排队论及其应用
Lecture 6 一般到达或服务模型
中国科学技术大学 计算机科学与技术学院
田野
1
M/G/1排队模型
考虑一个排队系统
一个服务器,无穷等待位 客户到达服从泊松过程,速率λ 任意服务时间分布函数,平均服务速率μ(即单位时间
服务μ个客户),服务时间CDF分布:B(t) 用M/G/1表示
|An(T)D n(T)|1
令A(T)和D(T)分别表示时间T内的所有到达和离开事件的个 数,X(T)为T时刻系统内客户个数
D (T ) A (T ) X (0 ) X (T )
19
客户离开后瞬间状态概率
n
lim
T
Dn (T ) D(T )
由于
Dn(T)An(T)Dn(T)An(T) D(T) A(T)X(0)X(T)
kji1
10
由此可以得到{Xi}的一步转移概率
k0 k1 k2 k3
k
0
k1
k2
k3
0
P
{ pij}
0
k0 k1 k2 0 k0 k1
0
0
0
k0
并且
πP = π
或者展开,有
i1
i 0ki jkij1, (i0,1,2,...) j1
11
序列{πi}和{ki}的生成函数
(z) i zi i0
1e0t (n0) Bn(t) 1et (n0)
转移概率
kn0
3 i0 i!
2e34e3z 4 1e1ez 2e3(z1) 4 1ez1
3
3
3
3
17
根据Π(z)和K(z)的关系
(z)(1)(1z)K(z)
K(z)z
由K(z)计算Π(z),再由Π(z)获得{πn}
P r { 多 于 3 台 机 器 故 障 } 1 0 1 2 3
具体计算过程略 迄今为止我们使用一个假设:任意时间系统中
用系(统即t1,t)客2,t的户3,…时离表刻开示,排客队X户(t系i)1表统,示后2,在瞬3t间i,时系.系..完统统成内内服客的务户客(的户离数数开量 量)。可以用嵌入马尔科夫链模型描述这个排队 系统,用Xi表示X(ti)。
2
离散时间随机过程{Xi}具有Markov性质
证明:
Xn1X Ann11An1
0 E [ U 2 ( X n ) ] E [ A 2 ] 2 E [ X n U ( X n ) ] 2 E [ A U ( X n ) ] 2 E [ A X n ]
由于 U 2 (X n ) U (X n ),X n U (X n ) X n,可得
0E[U(Xn)]E[A2]2E[Xn]2E[AU(Xn)]2E[AXn]
F. Pollaczek:法国数学家 A. Y. Khinchin:苏联数学家(现代概率理论奠基人之
一)
由Little’s Law: 平均逗留时间: W L
平均排队时间: Wq W1
平均排队客户数:Lq Wq
8
例子:
一个单服务器排队系统,客户到达可视为泊松过程, 平均每小时到达10个。服务器平均服务时间5分钟, 服从指数分布。现在如果有一种措施,可以把服务 时间标准差从5分钟减为4分钟,但是平均服务时间 会延长到5.5分钟?问这种措施是否必要?
0
(1
z)K(z)
K(z) 1
0K
(z)
|z 1
/
0
1
1
பைடு நூலகம்
0 1 其 中 E[servicetime]
综上,(z)(1)(1z)K(z)
K(z)z
13
获得Π(z),即可获得{πn};或者从稳态方程递 归获得
i1
i 0ki jkij1, (i0,1,2,...) j1
当i=0,求出π1; 当i=1,求出π2; 当i=2,求出π3; …
k0 k1 k2
P p ij 0 k 0 k1
0 0 k0
0 0 0
1
K
1
kn
n0
K 1
1 kn
n0
K 2
1 kn
n0
K 3
1 kn
n0
1 k 0
由 π πP,得到M/G/1/K的稳态方程
0ki
i1
kj ij1
(i 0,1,2,
,K1)
i 1Kj01jj1
有i个客户的概率=客户离开后瞬间系统中有i个 客户的概率,即pn=πn 下面我们证明这一点
18
证明πn=pn
πn:一个客户离开后瞬间系统中有n个客户的概率 pn:任意时刻系统中有n个客户的概率 证明:
考虑在一段时间T内系统的演变。令An(T)表示时间T内系统 发生nn+1状态迁移的次数,Dn(T)表示时间T内发生 nn-1状态迁移的次数。两种迁移的次数之差最多为1。
P r{ 到 达 P 客 r{ 户 客 发 户 现 能 系 够 统 进 内 入 已 系 有 统 n } 个 客 户 } 1 q n q K
因此qn 1qK n,求qn’,需要获得qK’
对(1 于 Mq K /G)/ 1/ K(1 , 下p 0 式) 成立q K 1 p 0(= )
因此 qK 1 p0,qn (1p 0)n,需获得p0
(Xn1)
当Xn≥1,第n个客户离开立即开 始服务第n+1个客户;
(Xn0)
但是当Xn=0,必须先等第n+1个 客户到达,才开始服务
这里An+1是服务器服务第n+1个客户这段时间S(n+1) 内到达排队系统的客户数量。 An+1和S(n+1)均为独 立随机变量,稳态下与n无关。用A和S来表示。有
P r{ A a } 0P r(A a|S t)d B (t)
序列{πi},{kji}的生成函数
(z) jzj, Ki(z) kjizj
j0
j0
将展开方程两边乘以相应的zj再相加,整理得
( z ) 0 K 0 ( z ) 1 K 1 ( z ) 2 z K 2 ( z ) j 1 z j K j 1 ( z )
28
考虑一个特例,服务器的服务时间服从指数分 布,且有两档服务速率(“慢”和“快”), 分别是系统空和非空时的服务速率。
A和S相互独立,所以
Pr{Aa|St}et(t)a
a!
泊松到达,时间t内 到达a个客户的概率
3
X n 1X n U (X n)A两边平方
X n 2 1 X n 2 U 2 ( X n ) A 2 2 X n U ( X n ) 2 A U ( X n ) 2 A X n
再取期望,得
20
有限等待位的M/G/1/K模型
M/G/1/K与M/G/1的关系类似于M/M/1/K与 M/M/1的关系
一个服务器,任意服务时间分布,平均服务速率μ, K-1个等待位
PK等式不成立 排队系统只有K+1个状态,相应地,单步转移
概率矩阵 (K+1)×(K+1)
21
单步转移矩阵
k
0
k1
k2
当T→∞,X(0)和X(T)是有限的,综合以上条件
limDn(T) limAn(T) T D(T) T A(T)
由于客户到达事件独立于系统状态,所以
nT li m D D n((T T))T li m A A n((T T))pn
客户到达的泊松过程独立于排队系统中的客 户人数,因此最后一个等号成立
定义:
qn’ :一个客户到达时系统中已有n个客户的概率, 不管这个到达客户是否能够进入排队系统
qn:一个客户到达并且能够进入排队系统时系统中 已有n个客户的概率
阻塞概率: qK’
参考对M/G/1排队模型中“πn=pn”的证明过程, 对M/G/1/K,有πn=qn。
24
n q n P r{ 到 达 客 户 发 现 系 统 内 已 有 n 个 客 户 |客 户 能 够 进 入 系 统 }
对状态相关服务时间分布的M/G/1排队模型,
稳态存在的条件是
lim sup{j E [Sj]1 }
Crabill, 1968
简单来说,就是对所有Bi(t),ρi<1。
27
将方程 π πP展开,可以写为 p j j 0 k j , 0 1 k j , 1 2 k j 1 , 2 3 k j 2 , 3 j 1 k 0 , j 1
前 一 个 客 户 离 开 后 瞬 间 系 统 中 有 i个 客 户 }
Pr{Xn1j|Xni} 注意:我们已经证明了Xi的Markov性质
pij
et( t)ji1
dB(t),
0 (ji1)!
(ji1,i1)
Pr{在 服 务 器 服 务 一 个 客 户 的 时 间 t内 到 达 了 ji1个 客 户 }
Var[A]2S2 所以
E [A 2]2S 22
综上 L(D) 2 2S2 2(1)
对于M/G/1,客户离开时的系统参数均值=任 意时刻的系统参数均值(将证明这一点)
7
M/G/1排队系统中平均客户数量
L 2 2S2 2(1)
这个公式被称为Pollaczek-Khintchine等式(PK等式, 波拉切克-辛钦等式)
n 4
n 0
16
服务时间分布B(t)是一个两点分布,
kn
et (t)n
dB(t) 0 n!
1 n!
e5(3/
20)
[5(
3 )]n 20
2 3
e5(1/5)[5(1)]n 5
1 3
2 3n!
e3/4
3 4
n
1 3n!
e1
K(z)2e34 3z/4i 1e1 zi
3 i0 i!
排队论及其应用
Lecture 6 一般到达或服务模型
中国科学技术大学 计算机科学与技术学院
田野
1
M/G/1排队模型
考虑一个排队系统
一个服务器,无穷等待位 客户到达服从泊松过程,速率λ 任意服务时间分布函数,平均服务速率μ(即单位时间
服务μ个客户),服务时间CDF分布:B(t) 用M/G/1表示
|An(T)D n(T)|1
令A(T)和D(T)分别表示时间T内的所有到达和离开事件的个 数,X(T)为T时刻系统内客户个数
D (T ) A (T ) X (0 ) X (T )
19
客户离开后瞬间状态概率
n
lim
T
Dn (T ) D(T )
由于
Dn(T)An(T)Dn(T)An(T) D(T) A(T)X(0)X(T)
kji1
10
由此可以得到{Xi}的一步转移概率
k0 k1 k2 k3
k
0
k1
k2
k3
0
P
{ pij}
0
k0 k1 k2 0 k0 k1
0
0
0
k0
并且
πP = π
或者展开,有
i1
i 0ki jkij1, (i0,1,2,...) j1
11
序列{πi}和{ki}的生成函数
(z) i zi i0
1e0t (n0) Bn(t) 1et (n0)
转移概率
kn0
3 i0 i!
2e34e3z 4 1e1ez 2e3(z1) 4 1ez1
3
3
3
3
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根据Π(z)和K(z)的关系
(z)(1)(1z)K(z)
K(z)z
由K(z)计算Π(z),再由Π(z)获得{πn}
P r { 多 于 3 台 机 器 故 障 } 1 0 1 2 3
具体计算过程略 迄今为止我们使用一个假设:任意时间系统中
用系(统即t1,t)客2,t的户3,…时离表刻开示,排客队X户(t系i)1表统,示后2,在瞬3t间i,时系.系..完统统成内内服客的务户客(的户离数数开量 量)。可以用嵌入马尔科夫链模型描述这个排队 系统,用Xi表示X(ti)。
2
离散时间随机过程{Xi}具有Markov性质
证明:
Xn1X Ann11An1
0 E [ U 2 ( X n ) ] E [ A 2 ] 2 E [ X n U ( X n ) ] 2 E [ A U ( X n ) ] 2 E [ A X n ]
由于 U 2 (X n ) U (X n ),X n U (X n ) X n,可得
0E[U(Xn)]E[A2]2E[Xn]2E[AU(Xn)]2E[AXn]
F. Pollaczek:法国数学家 A. Y. Khinchin:苏联数学家(现代概率理论奠基人之
一)
由Little’s Law: 平均逗留时间: W L
平均排队时间: Wq W1
平均排队客户数:Lq Wq
8
例子:
一个单服务器排队系统,客户到达可视为泊松过程, 平均每小时到达10个。服务器平均服务时间5分钟, 服从指数分布。现在如果有一种措施,可以把服务 时间标准差从5分钟减为4分钟,但是平均服务时间 会延长到5.5分钟?问这种措施是否必要?