05阿基米德和阿波罗尼奥斯b

1.《截取线段成定比》(On the Cutting-off of a Ratio) ; 2.《截取面积等于已知面积》(On the Cutting-off of an Area); 3.《论接触》(On Contacts或Tangenciesgings或Inclinations); 6.《十二面体与二十面体对比》。 此外还有《无序无理量》(Unordered Irrationals ) ,《取火 镜》(On the burning-mirror)、圆周率计算以及天文学方面的 著述等。
Archimedes更进一步，在《劈锥曲面与一回转椭圆体》 中证明任何一个椭圆都可以看成是一个圆锥面的截线， 这个圆锥面顶点的选择有很大的任意性。由此可知在 Apollonius之前，并非不知道这三种曲线也可以用别的 方法获得，但仍采用Menaechmus的定义，理由可能是处 理某些问题时更加简单方便。
《圆锥曲线论》内容简介 卷I的序言是给欧德莫斯的信，简单说明了写书的经过和 全书的主要内容。 序言之后给出8个定义。以前用直角三角形绕直角边的 回转来定义圆锥，只得到正圆锥。
V
阿波罗尼奥斯改变了产 生圆锥的方法
O
设有斜圆锥ABC，任作一平面，与圆锥的底平面相交于GF (GF位于底圆之外)，与圆锥面交于曲线EDL。作底圆的直 径BC垂直于GF(即过圆心作直线上GF )，并延长之交GF于 G。通过直径BC及顶点A的平面与圆锥相交的△ABC是轴 三角形。E、D是轴三角形与曲线的交点，E、D、G均在 轴三角形平面上，又在截平面上，故EDG是轴三角形平面 与截平面的交线。
Archimedes的数学思想
1． Archimedes的工作
Bell（1883—1960）说：“任何一张列出有史以来三个 最伟大的数学家的名单中，必定包括Archimedes，另外 两个通常是Newton和Gauss．不过以他们的丰功伟绩和 所处的时代背景来比，拿他们影响当代和后世的深邃久 远来比较，还应首推Archimedes．” Archimedes，叙拉古，早年在亚历山大学习，以后和亚 历山大的学者一直保持联系．
在Apollonius之前，圆锥曲线的研究已有一百多年 的历史。它是由倍立方.间题引起的。 Hppoerates 首先指出它可以归结为求线段 a 与 2a 之间的两个 等比中项。由此导致圆锥曲线的发现，这一发现一 般归功于Menaechmus。他又用平面去截圆锥曲面， 得到三种截线。
约公元前340，Aristaeus，写出5卷本《立体轨迹》(Solid loci )，也就是圆锥曲线论。这名称的来源可能是把圆锥 曲线看作一种轨迹，而它可以通过用平面截取立体(圆锥 面)得到。 不久，Euclid，4卷本的《圆锥曲线》，更有系统地阐述 了若干锥线的性质，欧几里得对圆锥曲线的认识并不限 于Menaechmus的三种截法(截面垂直于一母线)，他在 《观测天文学》一书中曾指出;用平面去截正圆柱或正圆 锥，只要平面不平行于底，其截线就是“锐角圆锥截 线”(椭圆)，其形状似盾牌。
2
2
E O P H B N X
R D M C
L
F G K
这几个方程是圆锥曲线的基本性质。阿波罗尼奥斯在 这一卷中用语言来表述并证明了这些性质，以后就利 用它推导出其他性质而不必再依赖于圆锥曲面。 后面的命题很多牵涉到直径、共扼直径及切线等间 题，这些概念和现今解析几何中的概念是一致的。
p 2 y = px − x 2a y 2 = px p 2 2 y = px + x 2a
S = 4πR 2
Apollonius的数学思想
Apollonius 以他的8大卷《圆锥曲线论》闻名于世。 佩尔格(Perga或Perge)地方的人，约公元前262—190 Apollonius年轻时到亚历山大跟随欧几里得的后继 者学习，那时是托勒密三世统治时期，到了托勒密 四世时代，他在天文研究方面已颇有名气。 《圆锥曲线》一书分八篇共含487个命题．这几 篇著作中，前四篇是从十二、十三世纪的希腊手 稿复制出来的，其后三篇是从1290年的阿拉伯译 本转译的．第八篇已失传，但十七世纪Halley根 据比Pappus书中的启示搞出一个整理本．
Archimedes的墓碑上：一个圆柱体以及一个内切球体
象征着他的骄傲的发现：球的体积是装下该球的最小的 圆柱体体积的三分之二。
Archimedes的著作 《论球与圆柱》、 《论抛物线求积法》、 《圆的度量》、 《论螺线》、 《论平板的平衡》、 《论锥型体与球型体》、 《砂粒计算》、 《论方法》
A
E O P H B N X
R D M C
L
F G K
在圆锥截线上任取一点L，作ML//GF，交ED于M，过M作 PR//BC，则PR与ML所确定的平面与底平面平行，因此与 圆锥面的交线是一圆。P、L、R是此圆周上三点，且PR是 2 直径，而ML垂直于PR，设EM=x, ML=y，则 y = PM ⋅ MR 在轴三角形平面内作AK//EG，交BG的延长线于K，因 △EPM与△ABK相似，△MRD与△ACK相似，故 PM BK MR CK A = = EM AK MD AK E PM ⋅ MR BK ⋅ CK p L O R = = 2 P D F M EM ⋅ MD AK 2a X H B C G K EH = p ED = 2a N EO MX MD 2a − x p 2 = = = y = ⋅ x(2a − x) = EO ⋅ x EH EH ED 2a 2a EOXM=ML上的正方形
8π R 3 2R V + 3 4 V = π R3 3 = 8π R 4
A T N x-R x R S C
π x ∆x] 2R = 4π R 2 x∆x
2
B
由于圆面积等于以圆周长为底、半径为高的三角 形的面积，阿基米得通过类比，猜想球体积应等 于以面积等于球表面积的圆为底，球半径为高的 圆锥的体积。因此，球表面积S等于大圆面积的 四倍，即
球体积
公元前3世纪，欧几里得在《几何原本》第12卷里提 出如下命题：“球体积（V）与它的直径（D）的立 方成正比。”此即 V＝kD3 稍后于欧几里得，阿基米德（Archimedes，前287～ 212)通过力学方法发现：球体积是以其大圆为底、半 径为高的圆锥体积的四倍，既 k=π/6
球体截片体积： π x(2 R − x)∆x 锥体截片体积： π x 2 ∆x 柱体截片体积： π R 2 ∆x T处力矩： [π x(2 R − x)∆x + 柱体力矩：π R 2 x∆x 2R(球体体积+锥体体积)=4R圆柱体积 2 ( + )=4
根据 EO<EH，EO=EH，EO>EH EH=p，相当于现在的正焦弦。 椭圆(亏曲线) ，抛曲线(齐曲线) 和双曲线(超曲线)之称 是Apollonius引入的，它们取代了以前Menaechmus所用 的直角圆锥曲线、锐角圆锥曲线和钝角圆锥曲线之称。 A
p 2 y = px − x 2a y 2 = px p 2 2 y = px + x 2a