矿大高数 8.6微分法在几何上的应用

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高等数学多元函数微分在几何中的应用

由于曲线的任意性 , 表明这些切线都在以为法向量
的平面上 , 从而切平面存在 .
曲面在点 M 的法向量:
n ( Fx (x0 , y0 , z0 ), Fy (x0 , y0 , z0 ), Fz (x0 , y0 , z0 ))
切平面方程
Fx (x0, y0, z0 ) (x x0 ) Fy (x0 , y0 , z0 ) ( y y0 ) Fz (x0, y0, z0 )(z z0 ) 0
z (x)
即
x 2y 3z 6
切向量 T (1, , )
2. 曲线为一般式的情况
光滑曲线
:
F ( x, G(x,
y, z) y, z)
0 0
当 J (F,G) 0 时，可表示为
(y, z)
dy 1 (F,G) , dz 1 (F,G) , dx J (z, x) dx J (x, y) 曲线上一点 M (x0 , y0 , z0 ) 处的切向量为
xz 0
解法2 方程组两边对 x 求导, 得
x z
y x
解得 dy dx
1 1
yz
zx, yz
dz dx
1 1 yz
xy yz
11
11
曲线在点 M(1,–2, 1) 处有:
切向量
T
1xx,2ddyxyy2
Mz,z
2dz 0dx
6
M
(1, 0, 1)
点 M (1,–2, 1) 处的切向量
M
切线方程为 x x0 y y0 z z0
(t0 ) (t0 ) (t0 )
下面证明: 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都
在同一平面上. 此平面称为在该点的切平面.

微积分思想在几何中的应用

微积分思想在几何中的应用第2篇：微积分在几何中的应用1、经过上面对求和平方根、完全平方和、分数指数化分数、绝对值、及其它特殊类型题的探索，使我明白了微积分的一些基本知识与原理。

我认为这是微积分带给我们最大的收获！在高一下学期时，我从别人那里听到了一些有关高中数学知识的信息，看到了微积分知识的重要性，也知道了学好微积分的重要性。

之后，随着课程的深入，我逐渐对微积分产生了兴趣。

所以我选择了微积分。

一开始我的目标并不是微积分，但我觉得既然这个东西和其它数学知识有关联，所以就一起学习吧。

而且微积分又是基础数学，又是计算机等相关专业必须的数学知识，因此我决定一定要学好它。

学好微积分的方法很多，总体来说就是多练、多思考、多做题。

在练习题中，我们应该精做，同时还要仔细分析，反复推敲每一道题的解题过程，力争达到完美。

除了做题外，更多的就是思考。

思考的过程中需要对所学知识进行回顾与巩固，使自己形成较强的记忆能力。

“温故而知新”，如果你真正把这句话吃透了，那么恭喜你已经把微积分学好了。

2、在学习的过程中，我发现微积分和三角函数、解析几何、概率统计之间存在着内在的联系。

比如：如果我们对坐标进行旋转，然后进行适当的变换，就可以得到与直角三角形类似的图形；通过曲线、曲面的切线长或面积与位置来判断一条曲线是否是抛物线或双曲线等等。

5、我们知道，曲线、曲面与X、 Y轴有一一对应的关系，如果把曲线、曲面通过点P画到X轴上，那么根据点P和X轴交于一点Q，就可以得到Q的坐标，进而由点的横坐标和纵坐标来确定点P的位置，再通过相似比来确定Q的位置与X轴的距离。

在具体操作过程中，无论是双曲线还是抛物线，都是先求出其顶点坐标，然后沿着图像画出曲线，最后再按照对应的坐标求出其其它各点的坐标，而每个点的横坐标和纵坐标，都可以用公式(ρ=Rd)来计算，这样就构成了这两种曲线的通用解析表达式。

7、只要懂得了微积分的基本思想，无论遇到什么问题，都会迎刃而解的，这让我增添了无穷的信心。

微分方程在数学与实际中的应用

微分方程在数学与实际中的应用微分方程是研究函数与其导数之间关系的数学工具，广泛应用于多个领域，如物理学、经济学、生物学等。

通过求解微分方程，我们能够推断出一些系统的行为和特性，进而对实际问题进行分析和预测。

本文将重点介绍微分方程在数学与实际中的应用。

一、物理学中的微分方程应用物理学是微分方程最常见的应用领域之一。

在动力学中，运动物体的运动方程可以用微分方程来描述。

例如，质点的位移与时间的关系可以用二阶微分方程表示。

这种微分方程被称为牛顿第二定律。

另一个例子是电路理论。

通过对电流和电势分布的微分方程建模，可以分析电路中的电流方向、电位差和电阻等特性。

这对设计和优化电路非常重要。

二、经济学中的微分方程应用经济学是另一个应用微分方程的领域。

利用微分方程建立经济模型可以帮助我们预测和理解经济变量的变化。

比如，经济增长模型可以用指数函数的微分方程表示。

这样的模型可以用来研究经济的增长率以及其他关键因素。

微分方程在宏观经济学、财务经济学和金融学等领域也广泛应用。

例如，通过微分方程来建模股票价格可以帮助投资者预测市场走势和制定交易策略。

三、生物学中的微分方程应用生物学是另一个微分方程的重要应用领域。

生物系统经常涉及到数量的变化和相互作用。

这些現象可以通过微分方程系统来描述。

比如，人口增长可以用微分方程来建模，进而研究不同条件下的人口发展趋势。

生物学领域的另一个重要应用是药物动力学。

通过建立药物在人体内的浓度与时间的关系的微分方程模型，可以帮助科学家了解药物在体内的吸收、分布、代谢和排泄过程。

四、工程学中的微分方程应用在工程学领域，微分方程也被广泛应用。

例如，建筑物的结构与时间的关系可以用微分方程建模来分析振动、稳定性和耐久性等问题。

电力系统中电压和电流之间的关系也可以用微分方程来描述，这对电力工程师来说是非常重要的。

此外，微分方程在电信、信号处理以及机械和航空航天工程等领域也有着重要的应用。

不同的工程问题可以通过微分方程建模，并且结合数值方法、解析方法或计算机仿真等技术来求解。

多元函数微分法在几何中的应用

⇒
dy z − x , = dx y − z dz x − y = , dx y − z
dy = 0, dx (1, −2 , 1)
dz = −1, dx (1, −2 , 1)
由此得切向量
T = {1, 0,−1},
x −1 y + 2 z −1 = = , 所求切线方程切线方程为所求切线方程为 1 0 −1
x = t; 例；求曲线 y = t 2 ;在点(1,1,1)处的切线方程和法平面方程 . z = t 3;
解：对应与点(1,1,1), t = 1, dx dy = 1, = 2t t =1 = 2, dt dt
dz = 3t 2 t 1 = 3, = dt
dx dy dz ∴T = , , = {1,2,3}, dt dt dt t = 1 在点(1,1,1)处的切线方程为：处的切线方程为：
x −1 y −1 z −1 , = = 1 2 3 法平面方程为：法平面方程为：
( x − 1) + 2( y − 1) + 3( z − 1) = 0,
即： x + 2 y + 3 z − 6 = 0
例1
x = te t , y = 2 sin t + cos t , z = 1 + e 3 t 求曲Γ :
的任意一条曲线，由于曲线是曲面上通过 M 的任意一条曲线，垂直，它们在 M 的切线都与同一向量 n 垂直，故曲面上通过 M 的一切曲线在点 M 的切线都在同一平面切平面. 上，这个平面称为曲面在点 M 的切平面切平面方程为
′ ′ Fx ( x0 , y0 , z0 )( x − x0 ) + Fy ( x0 , y0 , z0 )( y − y0 ) + Fz′( x0 , y0 , z0 )(z − z0 ) = 0

微分法的几何应用

0
0
0
x
y
z
x x0 y y0 z z0 x t y t z t
令t 0( M M0 ), 得曲线
z
M
在点M0处的切线方程为
xx y y zz
0
0
0
x(t ) y(t ) z(t )
0
0
0
M0
0
y
x
M0处的法平面方程为：
x(t0 )( x x0 ) y(t0 )( y y0 ) z(t0 )(z z0 ) 0
注：1. 只要与{ x(t 0), y(t 0), z(t 0)}成比例
的向量均可作为切线的方向向量, 如
{dx,
dy,
dz}
|
M
等.
0
2. 若曲线方程为 y=y(x)，z=z(x),则可把 x 看成
参数而得方向向量
{1,
y(
x 0
),
z( x 0
)}
例1. 求两个抛物柱面 y=6x2,z=12x2 相交成的空间曲线在x=1/2 处的切线与法平面方程。
即 : y0z0 x x0z0 y x0 y0z 3 0
x y z 1
3
3
3
y0z0 x0z0 x0 y0
切平面与三个坐标面围成的立体体积为
13 3 3
9
1
9
V |
|

6 y0z0 x0z0 x0 y0 2 (x0 y0z0 )2 2
即 : 8x 10 y 7z 12 0
2. 空间曲面的切平面与法线：
切平面
定义6.2：若曲面上过点 M0 的任意一条光滑曲线在该点的切线都在同一个平面上，则称此平面为

微分几何及其应用

微分几何及其应用微分几何是数学中的一个分支，它研究的是曲线、曲面以及更一般的流形等几何对象的性质。

它是微积分和几何学的结合，将微积分的工具应用于几何问题，从而深化了对几何结构的理解和研究。

微分几何的应用十分广泛，它在物理学、计算机图形学、机器人学、生物学等众多领域都有重要的应用。

下面将从几个具体的应用领域来介绍微分几何的重要性和作用。

微分几何在物理学中有着重要的地位。

物理学研究的对象往往是具有空间结构的事物，而微分几何为物理学提供了一种描述和分析这些事物的数学工具。

例如，广义相对论就是基于微分几何的理论，它描述了时空的弯曲和引力的性质，对黑洞、宇宙起源等重大问题的研究都依赖于微分几何的方法。

微分几何在计算机图形学中也有着广泛的应用。

计算机图形学主要研究如何利用计算机生成和处理图像，而微分几何为计算机图形学提供了描述和变换几何对象的数学工具。

例如，三维建模、形状分析、曲面重建等领域都离不开微分几何的理论和方法。

微分几何在机器人学中也发挥着重要的作用。

机器人学研究的是机器人的运动和控制，而微分几何为机器人学提供了描述和分析机器人运动的数学工具。

例如，路径规划、运动学分析、姿态控制等问题都需要借助微分几何的方法来解决。

微分几何还在生物学中有着广泛的应用。

生物学研究的是生物体的形态和结构，而微分几何为生物学提供了描述和分析生物体形态的数学工具。

例如，在生物体的形态分析、生物体的运动模拟、生物体的生长发育等问题中，微分几何的方法都可以发挥重要的作用。

微分几何及其应用是数学的一个重要分支，它将微积分的工具应用于几何问题，深化了对几何结构的理解和研究。

微分几何在物理学、计算机图形学、机器人学、生物学等众多领域都有广泛的应用，为这些学科的发展提供了重要的支持和推动。

通过研究微分几何及其应用，我们可以更好地理解和描述自然界中的现象和问题，为解决实际问题提供了有力的数学工具。

高数8-6

x 1 y 1 z 1 , 1 2 3
( x 1) 2( y 1) 3( z 1) 0,
即 x 2 y 3z 6 0.
x t, y t 2 , z t3, 求例1：设（1）在点 ( 1 , 1 , 1 ) 处的切线方程和法平面方程
: x ( t ), y ( t ), z ( t ),
T ( ( t0 ), ( t0 ), ( t0 )), n T 0,
设曲面方程为 F ( x , y , z ) 0 在曲面上任取一条通过点 M ( x0 , y0 , z0 ) 的曲线
第六节微分法在几何上的应用
• 一、空间曲线的切线与法平面 • 二、曲面的切平面与法线 • 三、小结
一、空间曲线的切线与法平面
空间曲线的切线

z

M
T
M
x
o
y
当动点 M 沿曲线趋于M 时, 割线 M M 的极限位置 MT 称为该曲线在 M 处的切线. 问题：如何确定切线 MT 的方程？
0
T
d F [ ( t ), ( t ), ( t )] 0 dt t t d F [ ( t ), ( t ), ( t )] Fx ( t ) Fy ( t ) Fz ( t ) dt
在 t t0处,
Fx ( x0 , y0 , z0 ) ( t0 )
（1）设空间曲线的方程
x (t ) y (t ) z (t ) ( t ) (1)
z

M
T
M
切线 MT 的方程为
x
o
y

数学中的微分几何应用

数学中的微分几何应用在数学的众多分支中，微分几何是一门研究曲线、曲面以及它们的性质和变化的学科。

微分几何的应用涵盖了多个领域，包括物理学、工程学、计算机图形学等。

本文将探讨数学中微分几何的应用，并介绍其中几个重要的应用领域。

一、物理学中的微分几何应用微分几何在物理学中有着广泛的应用，特别是在描述空间曲线和曲面的运动轨迹、力学和引力场等方面。

例如，我们知道，质点在空间中运动可以用曲线来描述，而曲线的性质可以通过微分几何的方法进行研究。

此外，天体的运动轨迹、引力场的描述以及曲率等概念都可以借助微分几何来进行分析和计算。

二、工程学中的微分几何应用微分几何在工程学中有着重要的应用价值。

例如，在机械设计中，通过对曲面的曲率和法线方向的计算，可以帮助工程师确定曲面的质量和性能。

此外，微分几何还可以用于图像处理和计算机辅助设计等领域，帮助实现三维模型的建立和分析。

三、计算机图形学中的微分几何应用微分几何在计算机图形学中发挥着重要的作用。

计算机图形学主要研究如何使用计算机生成和处理图形图像，而微分几何提供了描述和操作曲线、曲面等几何对象的数学工具。

通过应用微分几何的方法，可以实现对图形图像的变换、变形和渲染等操作。

例如，在三维模型的绘制和表面光照计算中，微分几何可以帮助计算机实现真实感的效果。

四、人工智能中的微分几何应用微分几何在人工智能领域也有着广泛的应用。

人工智能的核心是模式识别和数据处理，而微分几何提供了一种强大的工具来分析和处理数据的几何结构。

例如，在图像和语音识别中，微分几何的方法可以用来提取和分析特征，并帮助机器学习算法进行模式分类和识别。

总结起来，微分几何作为一门重要的数学学科，在物理学、工程学、计算机图形学和人工智能等领域都有着广泛的应用。

通过对曲线、曲面等几何对象的研究，微分几何提供了一种描述和分析几何结构的数学方法，为这些领域的问题提供了解决思路和工具。

未来随着科学技术的不断发展，微分几何的应用将会愈发广泛，并为更多领域的发展做出贡献。

§8.6微分法在几何上的应用.

§8.6微分法在几何上的应用重点：1.空间曲线的切线与法平面的求法2.曲面的切平面与法线的求法.难点：空间曲线作为曲面 F(x,y,z)=O 与曲面一.空间曲线的切线与法平面切线方程为：1y+2=0法平面方程：(x-1)+0 (y+2)-(z-1)=0 即 x-z=0 二.曲面的切平面与法线1.曲面由F(x,y,z)=O 给出可以证明：Fx(xo, yo , zo ), Fy (xo , yo , zo), Fz (xo, yo , zo )= n 垂直于M (x °,y °,Z o )点的任何曲线在M 点的切线,即所有这些切线共面，其法线方向为n ,这个平面称为切平面•其方程为：X X y (t) z1.设的参数方程为y (t)z(t)在 (1)式中，用t 除各分母.令M 1M ( t o)得：切程:X X o y y o z Z o⑵'(t o )'(t o )'(t o)法平面方程 :'(t o )(x X o )+'(t o )(y y o ) + '(t o)(zZ o ) =o (3)X o(1)线方X 割线MM '勺方程是：上的交线时，其切线与法平面的求法G(x,y,z)=Oz Z o y y o 例1. 求曲线x= t, yt 2,z 3t 在点(1,1,1)处的切线及法平面方程.2.空间曲线的方程 (X),曲线在点(X)M( X o , y o ,z o )F x(x°, y°,z°)(x X o) + F y(x。

，y o,Z o)(y y°) + F z(x°, y°,z°)(z z°) 0法线方程为:肾y y。

F y z Z o Fz2.曲面由z=f(x,y)给出此时令 F(x,y,z)=z-f(x,y)或 F(x,y,z)=f(x,y)-z,可化为 I 由曲面 F(x,y,z)=0 给出的情形.解此方程组得：y',z',(x 。

同济第三版-高数-(8.6) 第六节微分法在几何上的应用

设：M0 ↔ t 0 , M ↔ t 0 + t，则当 M →M0 时，
t → 0， x, y , z → 0 . 改写割线方程：
x x0 y y0 z z0 . x y z t t t y z . x 由于 lim t 0 , lim t 0 , lim t0 t 0 t t 0 t t 0 t

M0

a , a , 2 2
a 2

t0 . 2
T M0 x t , yt , z t
由参数方程易求得在点 M0 处的切向量为
t
0
a a t 1 cos t , sin t , a sin 2 2 2 t 2 a sin t, a cos t, a cos t 2 2 2 2 t 2
故对割线方程取极限有
x x0 y y0 z z0 , y z lim x lim lim t 0 t t 0 t t 0 t
则割线方程转化为切线方程 y y0 x x 0 L: z z0 . t0 t0 t0
a , 0, 2 a 2 a 2 , 0, 1 . 2 2 2 求得曲线在点 M0 处的切线及法平面方程为 z a x a y a 2 , 2 2 L M0 : 0 1 2

M0 :
2 xza 0 .
化空间曲线方程为参数式一般是比较困难的，常

曲线在点 M0 处的切线及法平面方程分别为
y y0 x x 0 L: z z0 1 x0 x0 y y0 x x 0 L: z z0 1 dy dz d x x x d x x x

数学中的微分几何应用

数学中的微分几何应用微分几何是数学的一个分支，它是研究曲面、流形等几何物体的一种工具。

微分几何在实际应用中有很多重要的用途，其中之一就是在地图制图、自然科学、金融等领域中进行数据的建模和预测。

本文将着重讲述微分几何在地图制图中的应用。

在地球上制作地图是一项复杂的工程，因为地球并不是一个平面。

我们常使用的二维地图只是将三维地球表面以某种方式展开呈现，这样就会存在一些扭曲和误差。

微分几何通过研究曲面和流形，提供了一些工具来解决这些问题。

首先，微分几何提供了光滑流形上切空间的概念。

切空间是一个切向量的集合，描述了在光滑流形上某一点的“可行走方向”。

在地图制图中，这个概念可以帮助我们定义在地球表面不同位置的方向，从而更准确地绘制地图。

例如，我们在地图上标记一些地点并用曲线将它们连接起来形成路径，利用切空间概念，我们可以确定路径上每一点的朝向，这对于导航以及设计车辆/飞行器航线非常重要。

其次，微分几何提供了黎曼度量的概念。

黎曼度量是流形上的一个内积，它能够描述“长度”和“角度”之间的关系。

在地图制图中，这个概念可以帮助我们确定地球表面上不同地点之间的距离。

一般而言，我们采用伪黎曼度量以描述地球表面上的距离，因为地球表面不是欧几里得空间。

这样一来，我们就能够更准确地绘制地球上不同地点的距离比例，对于设计行车/飞行路径等任务非常有帮助。

在金融领域，微分几何的应用也很广泛，例如用它来建立一些金融工具的预测模型。

以期权定价为例。

期权是一种由建立在某种资产基础上的契约。

在黑-斯科尔斯模型（一种用于定价期权的模型）中，假设资产价格是随机的，根据微分几何，我们可以在流形模型中定义这些随机变量，从而确定它们的边界和初始条件。

通过对观测到的市场参数进行计算，我们就能够基于微分几何的理论对各种期权价格和风险进行建模和计算。

总的来说，微分几何在各个领域都有重要的应用。

在地图制图、自然科学、金融等领域中，微分几何所提供的各种概念和工具，能够帮助我们更准确地描述和分析复杂的现象。

第六节微分法在几何上的应用精品文档8页

第六节微分法在几何上的应用要求：会求空间曲线的切线及法平面方程，会求空间曲面的且平面及法线方程。

重点：空间曲线的切线及法平面方程，曲面切平面及法线方程的求法。

难点：空间曲线的方程组形式给出的情况，求其切线及法平面方程。

作业：习题8－6（52P ）4,5,6,9,10一．空间曲线的切线与法平面1．空间曲线由参数方程给出设空间曲线的参数方程为()x t ϕ=，()y t ψ=，)(t w z =，且三个函数均可导．当0t t =时，对应曲线上的点),,(0000z y x M ，当t t t ∆+=0时，对应曲线上的点),,(000z z y y x x M ∆+∆+∆+'，曲线的割线M M '0的方程为zz z y y y x x x ∆-=∆-=∆-000 当M '沿曲线趋于0M 时，割线M M '0的极限位置T M 0就是曲线在点0M 处的切线，其切线方程如何？tz z z t y y y t x x x ∆∆-=∆∆-=∆∆-000 令0M M →'(这时0→∆t )，上式取极限，即得曲线在点0M 处切线方程为000000'()'()()x x y y z z t t w t ϕψ---=='．说明（1）000'(),'(),()t t w t ϕψ'不能同时为零，如果个别为零，按空间解析几何中有关直线对称式方程的说明理解；（2）切线的方向向量{}000'(),'(),()T t t w t ϕψ'=u r称曲线切向量．切向量的方向余弦为 222cos ('())('())('())t t w t αϕψ=++，222cos ('())('())('())t t w t βϕψ=++，222cos ('())('())('())t t w t γϕψ=++．曲线的法平面通过点0M 而与切线垂直的平面称为曲线在点0M 处的法平面，方程为000000'()()'()()()()0t x x t y y w t z z ϕψ'-+-+-=．例1．求螺旋线θcos a x =，θsin a y =，θb z =对应于3πθ=处的切线和法平面方程．解曲线上对应于3πθ=的点),,(0000z y x M ，即00023a x y z b π⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，切向量{}'(),'(),()T w ϕθψθθ'=ur ,,22a a b ⎧⎫⎪⎪=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，因此切线方程为3222a z bx y a b π---==，法平面方程为()()()022223a a a x y ab z b π--+-+-=．切向量的方向余弦为2222222cos sin cos ba b ba a b+=++=θθγ可见曲线的切线与z 轴的夹角(母线的夹角)为定值．2．空间曲线的方程由()y x ϕ=，()z x ψ=给出取x 为参数，它就可表示为参数方程的形式()()x xy x z x ϕψ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，若(),()x x ϕψ在0x x =处可导，曲线在点),,(0000z y x M 处的切向量{}001,'(),'()T x x ϕψ=u r，切线方程000001'()'()x x y y z z x x ϕψ---==．法平面方程 00000'()()'()()0x x x y y x z z ϕψ-+-+-=．例2．求曲线mx y 22=，x m z -=2在点),,(000z y x 处的切线及法平面方程．解因为m y y 22=' ，y m y ='， 12-='z z ，zz 21-='，所以切向量 0011,,2m T y z ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭u r ，切线方程1)(2)(100000--=-=-z z z m y y y x x ，法平面方程 0)(21)(00000=---+-z z z y y y m x x ． 3．空间曲线Γ的方程由⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 给出设),,(0000z y x M 是曲线Γ上的一点，又设,F G 对各变量的偏导数连续，且0|),(),(0≠∂∂M z y G F ，此时方程组在点0M 的某邻域内唯一确定一组函数()y x ϕ=，()z x ψ=，求曲线Γ在点0M 处的切线方程及法平面方程．只要求出00'(),'()x x ϕψ，得切向量{}001,'(),'()T x x ϕψ=u r，为此方程(,(),())0(,(),())0F x x xG x x x ϕψϕψ=⎧⎨=⎩，两边对x 求全导数得⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++00dx dz G dx dy G G dx dz F dx dy F F z y x z y x x z y x z y G dxdz G dx dy G F dx dz F dx dy F -=+-=+因为0),(),(≠=∂∂=zyzyG G F F z y G F J 所以可解得'()z x zxF FG G dyx dxJϕ== ，'()x y xyF FG G dz x dxJψ==，于是切向量 {}001,,1,'(),'()dy dz T x x dx dx ϕψ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭u r ．例3．求曲线0,6222=++=++z y x z y x 在点)1,2,1(-处的切线及法平面方程．解下面我们依照推导公式的方法来解，将所给方程两边对x 求导，得⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++010222dxdz dx dy dx dz z dx dy y x ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+1dxdz dx dy x dxdz z dx dy y 解方程组，得z y x z z y zx dx dy --=--=1111，z y y x z y x y dx dz --=---=11 于是0|)1,2,1(=-dx dy ，1|)1,2,1(-=-dx dz从而 {}1,0,1T =-u r因此，所求切线方程110211--=+=-z y x ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-021111y z x 法平面方程为 0)1()2(0)1(=--++-z y x ，即 0=-z x ．练习：求曲线21,,1t tx y z t t t+===+在对应于1t =的点处的切线及法平面方程．二．曲面的切平面与法线1．曲面方程由隐式方程0),,(=z y x F 给出设曲面∑方程为0),,(=z y x F ，点),,(0000z y x M 为曲面上的一点，又设函数),,(z y x F 的偏导数在点0M 连续且不同时为零．讨论曲面在点0M 处的切平面，那么曲面在点0M 处切平面指什么？为此首先考虑这样一个事实：在曲面上过点0M 的任何曲线在0M 的切线位于同一平面上，下面证明这个事实．在曲面上过点0M 任意引一条曲线Γ，其参数方程为()()()x t y t z w t ϕψ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，且000'(),'(),()t t w t ϕψ'不全为零，由于曲线位于曲面上，满足((),(),())0F t t w t ϕψ≡，又因为),,(z y x F 在点0M 处有连续偏导数，且000'(),'(),()t t w t ϕψ'存在，上式的复合函数在0t t =的全导数存在，于是0|0==t t dtdF．即 000000000000(,,)'()(,,)'()(,,)()0x y z F x y z t F x y z t F x y z w t ϕψ'++=．引入向量{}z y x F F F n ,,=ρ.上式表明，曲线Γ在点0M 处的切线向量{}000'(),'(),()T t t w t ϕψ'=u r 与一个确定向量nϖ垂直．因为曲线Γ是曲面上过点0M 的任一条曲线，它们在0M 的切线都与同一个向量n ϖ垂直，所以曲面上过点0M 的一切曲线在点0M 的切线都在同一个平面上，这个平面称为曲面∑在点0M 的切平面，切平面方程为0))(,,())(,,())(,,(000000000000=-+-+-z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x ，曲面∑在点0M 的切平面的法向量{}z y x F F F n ,,=ρ简称为曲面的法向量．过点0M 且垂直于切平面的直线称为曲面在点0M 的法线，其方程为),,(),,(),,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=- 例4．求曲面3=+-xy z e z在点)0,1,2(处的切平面方程及法线方程．解令=),,(z y x F 3-+-xy z e z，则{}{}1,,,,-==zz y x e x y F F F n ρ，即有{}0,2,1|)0,1,2(=n ϖ，在点)0,1,2(处切平面方程为 0)0(0)1(2)2(=-+-+-z y x ，即 042=-+y x ．法线方程为 002112-=-=-z y x ，即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-02112z y x ．2．曲面方程由显式方程),(y x f z =给出求曲面),(y x f z =在点),,(0000z y x M 处切平面及法线方程．令z y x f z y x F -=),(),,(，可见),(y x f F x x =，),(y x f F y y =，1-=z F ，则曲面在点0M 处法向量为{}1),,(),,(0000-=y x f y x f n y x ϖ，于是切平面方程为 0000000))(,())(,(z z y y y x f x x y x f y x -=-+-，法线方程为1),(),(0000000--=-=-z z y x f y y y x f x x y x 说明（1）函数),(y x f z =在点),(00y x 的全微分为))(,())(,(000000y y y x f x x y x f dz y x -+-=，因此切平面方程)()(000y y f x x f z z y x -+-=-表示全微分的几何意义，即曲面),(y x f z =在点0M 处切平面上点的竖坐标的增量（正象一元函数表切线的纵坐标增量）．（2）若曲面的切平面的法向量的方向角为γβα,,，并假定向量的方向是向上的(即使得它与z 轴的正向所成的角γ是锐角)，则法向量的方向余弦如何求？若曲面方程为(,)z f x y =，则221cos yx x f f f ++-=α ，221cos yx y f f f ++-=β，2211cos yx f f ++=γ．若曲面方程为(,,)0F x y z =，则cos α=，cos F β=，cos γ=．例5.求旋转抛物面122-+=y x z 在点)4,1,2(0M 处的切平面及法线方程．解因为1),(22-+=y x y x f ，所以{}{}1,2,21,,-=-=y x f f n y x ϖ，即有{}1,2,4|0-=M n ϖ，于是过点0M 的切平面方程为0)4()1(2)2(4=---+-z y x ，即 0624=--+z y x ．法线方程为142142--=-=-z y x ．例6.求椭球面22221x y z ++=上平行于平面02=+-z y x 的切平面方程．解因为切平面的法向量为{}z y x n 2,4,2=ϖ，而平面02=+-z y x 法向量为{}'1,1,2n =-u r又因为//'n n u rv ，所以k z y x ==-=2121，将k z k y k x 2,21,=-==代入方程1222=++z y x 中，得1421222=++k k k从中解出112±=k ．于是，所求点为)1122,11221,112(-及)1122,11221,112(--，切平面方程为 0)1122(2)11221()112(=-++--z y x ，或 0)1122(2)11221()112(=++--+z y x ，即 02112=±+-z y x . 例7.设曲面S 方程3a xyz =)0(>a ，求曲面S 上任一点),,(000z y x 处切平面方程，并证明曲面S 的所有切平面与坐标面形成的四面体的体积为定值.解设3),,(a xyz z y x F -=，则yz F x =，xz F y =，xy F z =，所以在点),,(0000z y x M 的切平面方程为0)()()(000000000=-+-+-z z y x y y z x x x z y即 30000003a z y x y z x x z y =++．将其化为截距式1333003003003=++y x a z z x a y z y a x 截距分别为000333x z y a = ，000333y z x a =，000333z y x a =不妨设 0,0,0000>>>z y x ，于是，切平面与三坐标面围成立体体积为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=0003)33(2131z y x V 30002929a z y x ==(定值) 思考题1．若曲面由方程),(y x f z =∑：给出，如何求在点),,(000z y x M 的切平面方程？ 2．若曲线是两个柱面)(),(x g z x f y ==的交线，如何求在0x x =对应点处的切线方程？。

微分法在几何上的应用

法平面的方程
……………………切线方程
′ ( x − x 0 ) + y′ x ( x0 ) ( y − y0 ) + z x ( x0 ) ( z − z 0 ) =0
…………………法平面方程
3）设空间曲线 Γ 的方程为：
F ( x, y , z ) = 0 G ( x, y , z ) = 0
曲线在 M ( x0 , y 0 , z 0 ) 点的切向量为：根据隐函数关于上式的求偏导数的方法，接合一定的《向量与空间解析几何》知识，可求得:
推理 1: 在曲面∑上通过点 M 且在点 M 处具有切线的任何曲线，它们在 M 处的切线在同一个平面上。法向量：
n = ( Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 ))
证明：

∵ F ( x, y , z ) = 0 点 M 在曲面上，则：
……………………………两向量点乘的坐标式简化为：
T •n = 0
即得到曲面的法向量：
n = ( Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 ))
可以得到切平面的方程：
Fx′( x0 , y0 , z0 )( x − x0 ) + Fy′ ( x0 , y0 , z0 )( y − y0 ) + Fz′( x0 , y0 , z0 )( z − z0 ) = 0
而通过一点，法向量为 T = (φ ′(t 0 ), ϕ ′(t 0 ), w′(t 0 )) 的法平面方程为：
φ ′(t 0 ) ( x − x 0 ) + ϕ ′(t0 ) ( y − y0 ) + w′(t0 ) ( z − z0 ) =0

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