2013统计学e(7-2)

目的有三个： （1）认识现象随时间发展变化的趋势和规 律性； （2）对现象未来的发展趋势作出预测； （3）从时间序列中剔除长期趋势成分，以 便分解出其他影响因素。 长期趋势就一个较长时期而言，时期越长 越好。长期趋势分为线性、非线性趋势。
统计学 3
3.3线性趋势的测定—移动平均法
3.3.1移动平均法及其特点 3.3.2移动平均预测法
统计学 8
3.3.1移动平均法及其特点
（2）移动平均法的特点： C、当数列包含季节变动，移动平均时距项数K应与 季节变动长度一致（如4个季度或12个月），消除季 节变动；数列包含周期变动时，时距项数K应和周期 长度基本一致，较好消除周期波动； D、移动平均后数列比原数列的项数更少。奇数项移 动平均所形成的新数列，首尾各少（K-1）/2项；偶 数项移动平均所形成的新数列，首尾各少K/2项。所 以移动平均使原数列失去部分信息，平均项数越大 失去信息越多，因此项数不宜过大。
2
Et yt 1 Et 1
yt 1 yt 1 1 yt 2 ... 1 yt 1 t E0
2 t 1
1 yt j 1 E0
t j 0
法
加权移动平均法给每个观测值赋予不同的权重，实 际中，近期观测值比远期观测值的影响更大一些， 赋予更大的权重。 设移动间隔为k (1<k<t)，权数为wi(i=1,2,…t), ∑wi=1则 t+1期的移动平均预测值为 Yt wt Yt 1wt 1 Yt k 1wt k 1 Y t 1 wt wt 1 ... wt k 1
t 1
j
式中，E0 称为初始值，序列项数 较多时，初始值对平滑 值的 影响不大，故可设为 E0 y1
3.4线性趋势的测定方法—指数平 滑法
（6）平滑系数（权系数）的选择： 由于a是介于0与1之间的小数，随着时间t的增大，最后 一项系数（1-a）t几乎为零，将此略去后，有 j t 1 Et 1 yt j j 0 可见指数平滑值Et实质上是各期观测值yt的加权平均数 （权数和为 1 ），各期权数（ a,a(1-a),a(1-a)2,…) 呈指 数递减形式，故称指数平滑。第 t 期平滑值包含了以 前所有数据的信息，但又对不同时期的数据给与不同 的权数，越是近期的数据，给予权数越大 , 且权系数 j t 1 之和为1，即 1 1
3.3.2移动平均预测法—简单移动平均
表 某客运站旅客运输量四次移动平均趋势预测 单位:万人公里 年份 2005年 季度 一 二 三 四 一 二 三 四 一 二 三 四 一 客运量 四次平均 100 95 98 107 110 105 107 115 123 1154线性趋势的测定方法—指数平滑法
（3）为了合理估计趋势值，就要剔除不规则随机 误差，反映出现象的实质性变化。
误差中属于现象实质性变化部分的比例可由平滑系 数（权数）ɑ决定， ɑ值越大，即认为误差中现 象实质性变化的比例越大，在下期的趋势估计中 本期的误差就保留的越多；反之， ɑ值越小，则 认为误差中不规则随机因素引起的随机误差所占 比例越大，在下期的趋势估计中本期的误差就剔 除的越多。
移正平均
2006年
2007年
101.250 103.750 106.125 108.250 110.875 113.750 116.625 119.500
2.500 2.375 2.125 2.625 2.875 2.875 2.875
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3.3.1移动平均法及其特点
（2）移动平均法的特点：
A、移动平均对原数列有修匀作用，平均的时 距项数K越大，对数列的修匀作用越强； B、移动平均时距项数K为奇数时，只需一次移 动平均，其均值作为移动平均项数中间一期的 数值；时距项数K为偶数时，移动平均值无法 对正某一期，需要再进行相邻两平均值的移动 平均，是其均值对正某一期，这叫移正平均；
移动平均 (预测用)
趋势预 测值T
2006年
2007年
100.00 102.50 105.00 107.25 109.25 112.50 115.00 118.25 120.75
101.250 103.750 106.125 108.250 110.875 113.750 116.625 119.500
（5）将公式一改写，得到公式二，即 Et Et 1 yt Et 1 yt (1 )Et 1, t 1,2,...... 因指数平滑法是将一个指数平滑值（Et)作为下一期趋 势预测值(Tt+1) ，则一次指数平滑趋势预测值：
Tt 1 Et yt 1 Et 1 yt 1 Tt , 因Tt Et 1，t 1,2,......
式中，wt wt 1 ... wt k 1
权重的选择同移动期数相同，可以根据预测误差来判 断，选择误差最小的权重和期数组合。
3.4线性趋势的测定方法—指数平滑法
(exponential smoothing)
（1）指数平滑法可以弥补移动平均法的不足，能够 充分利用所有的数据信息，同时又体现近期数据 对未来预测影响作用更大的特点。 它是通过计算一系列指数平滑值消除不规则变动， 揭示现象的基本趋势。 具体来讲，指数平滑法是一种特殊的加权平均法， 就是利用本期实际观察值和本期预测值，分别给 予不同的权数进行加权，求得一个指数平滑值（ Et)，作为下一期趋势预测值(Tt+1)的预测方法。
统计学 9
3.3.2移动平均预测法—简单移动平均
选择一定长度的移动间隔，对序列逐期移动求 得平均数作为下一期的预测值 将最近k期数据平均作为下一期的预测值 设移动间隔为k (1<k<t)，则t+1期的 移动平均 预测值为
Yt k 1 Yt k 2 Yt 1 Yt Yt 1 Yt k
可以看出，第t期指数平滑值（即第t+1期的预测值） 等于第 t 期的实际值与第 t 期的预测值的加权平均， 指数平滑是加权平均的一种特殊形式。
3.4线性趋势的测定方法—指数平 滑法
（6）平滑系数（权系数）的选择：分析公式
yt 1 yt 1 1 Et 2 yt 1 yt 1 1 Et 2
表7-5 某客运站旅客运输量四次移动平均计算表
年份 2005年 季度 一 二 三 四 一 二 三 四 一 二 三 四 客运量 100 95 98 107 110 105 107 115 123 115 120 125
单位:万人公里 逐期增长
四次平均
100.00 102.50 105.00 107.25 109.25 112.50 115.00 118.25 120.75
3.4线性趋势的测定方法—指数平滑法
（2）其基本思想是： 如果第t期趋势估计值与第t期实际值完全一致，二者之 间没有误差，则可以第t期趋势估计值直接作为第（ t+1）期的趋势估计值； 如果二者之间有误差，则这种误差可分为两部分： 一部分是不规则随机误差 另一部分是现象从第（t-1）期到第t期的实质性变化。
统
计
学
工商管理类核心课程
面向21世纪课程教材
第3节 趋势变动分析
3.1长期趋势测定和分析的目的； 3.2线性趋势的测定方法—移动平均法； 3.3线性趋势的测定方法—指数平滑法； 3.4线性趋势的测定方法—直线趋势方程拟合 法； 3.5非线性趋势的线性拟合法； 3.6趋势线的选择。
2
3.1长期趋势测定和分析的目的
将每个观察值都给予相同的权数
只使用最近期的数据，在每次计算移动平均 值时，移动的间隔都为k 主要适合对较为平稳的序列进行预测 对于同一个时间序列，采用不同的移动步长 预测的准确性是不同的
选择移动步长时，可通过试验的办法，选 择一个使均方误差达到最小的移动步长
3.3.2移动平均预测法—加权移动平均
从公式中得知，指数平滑具有递推性质，各期指数平滑 值均在上期平滑值的基础上递推而得， 即第t期指数平滑值Et是在第（t-1）期指数平滑值Et-1的基 础上，加上第t期的实际观测值yt与作为第t期趋势估计 值的第（t-1）期指数平滑值Et-1间误差的一部分组合而 成。
3.4线性趋势的测定方法—指数平 滑法
2 ( Y Y ) i i i 1 n
预测误差用均方误差(MSE) 来衡量
误差平方和 MSE 误差个数 n
例题：利用Excel对某市某客运站旅客运输 量进行移动平均预测
步骤： 1 在工作表中输入数据 2 在“工具”中打开“数据分析”，点击“移动平均 ”，输入数据区域 3 在“间隔”中输入k（3、4、5），在“输出区域” 输入指定区域，点击“确定”。 4 若四次移动平均，需要对四次移动平均的结果再做 “间隔”为2的移动平均。 注意：在选择输出区域时，应将输出区域的第一个 单元格设置在第一个数值的下一行。 用Excel进行移动平均预测
j 0
3.4线性趋势的测定方法—指数平 滑法
（6）平滑系数（权系数）的选择：
第一， a值越小，对序列的平滑作用越强，对时间序 列的变化反映越慢，因而序列中随机波动较大时， 为了消除随机波动的影响，可选择较小的a ，使序 列较少受随机波动的影响； a值越大，对序列的平 滑作用越弱，对时间序列的变化反映越快，因而为 了反映出序列的变动状况，可选择较大的a ，使数 据的变化很快反映出来。
单位：万人公里
五次移动平均 指标值 — — 102.0 103.0 105.4 108.8 112.0 113.0 116.0 119.6 — — 逐期增长 — — — 1.0 2.4 3.4 3.2 2.0 3.0 3.6 — —
2006 年
2007 年
6
例:为消除季节变动对表7-4中的数列作 四次移动平均,结果见表7-5