二次函数的对称轴与各系数的关系

《二次函数的对称轴与各系数的关系》教学设计

广昌赤水中学 温家庆

学情分析：目前，初三正在进行总复习，但在复习的过程中，我发现同学们对于二次函数的一些相关知识理解不深刻，包括成绩优秀的同学对于二次函数相关习题也犯难。二次函数对于大多数同学来说，都是个学习的难点。然而二次函数却又是重点，每年必考，如果二次函数掌握不好，学生是难以得高分的。于是今天选择二次函数的对称轴与各系数关系进行深化教学。

教学目标：

1、通过研究学习，使同学们深刻理解二次函数对称轴公式的来源以及其与各系数的关系。

2、发展学生的数形结合的思想。

教学准备：课件、画图软件

教学过程设计：

一、知识再现导入：

大家都知道，关于x 的二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0）的图像是抛物线。

问：是抛物线就有顶点，同学们觉得对不对？

也就是讲y 有极值，或者说最大值、最小值，且顶点所对的x 值所在的平行于y 轴的直线就是抛物线的对称轴。

问：1.大家记得对称轴公式么？（x=－

a

b 2) 2. 这个对称轴公式是怎么来的？

这个我们来从极值说起。

二、研究二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0）的极值：

问：对于二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0），当x 为何值时，y 值为极值？

提示：我们在研究极值时，教材是用本文法对原式进行变形。

你们谁记得怎样用配方法变形吗？（请个同学板演）

分析：因为ax 2+bx+c=a （x 2+a b x ）+c =a[x 2+2·a b 2x+(a

b 2)2]+

c －a b 42

=a(x+a

b 2)2+a b a

c 442

- 如果a>0,那么只有当x=－a b 2时，使(x+a

b 2)的值为0时，y 值最小为a b a

c 442-，相反，如果a<0,只有当x=－a

b 2时，y 值最大为a b a

c 442-。 所以二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0）的对称轴为x=－

a b 2。当a 、b 同号时a b 2为正数x=－a

b 2为负数，对称轴就在y 轴的左边，相反，当a 、b 异号时，x=－a b 2为正数，对称轴就在y 轴的右边。简称“a 、b 同号，对称轴在左，a 、b 异号，对称轴在右”（老师再通过操作软件画y=2x 2+4x -1及其变式的图像验证，使学生加深印象）

对于二次函数的顶点式y=a(x －h)2+k (a ≠0）,只有当(x －h)的值为0，即x=h 时，y 值为极值k ，当对称轴在左边，即x=h 为负数时，x 后面－h 应该是一个正数，当对称轴在右边，即x=h 为正数时，x 后面－h 应该是一个负数。（老师再通过操作软件画y=2(x -1)2-1.5及其变式的图像验证，使学生加深印象）

总之，x 的值要使(x －h)2的值为0，y 才有最大值或最小值，这时x 的值就是对称轴的位置。

对于二次函数的交点式：y=a （x －x 1）（x －x 2）(a ≠0），对称轴就是x 1、x 2的平均值，即x=2

21x x + 三、对称轴相关练习：

小试牛刀

1. 二次函数y=－3x 2+6x -2的对称轴是（ ），如果将此函数向右平移1个单位，用顶点式表示为（ ）。

2. 关于变量x 的二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0）的对称轴为x=－1,已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=4的一个根是x 1=－

3.5,求方程的另一个根( )

大显身手：

1.在二次函数y=x 2-2x -3的图像上有两点A(-2，y 1),B （2，y 2）则y 1_____y 2,(填“<”，“>”，或

“=”）；当－

21≤x≤2

1时,二次函数y=x 2-2x -3的最小值为（ ）. A.－4 B.－ 415 C. － 21 D. 21

2.如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象与x 轴

交于点A （一1，0），与y 轴的交点B 在（0，一2）和（0，

一1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1.

下列结论：①abc>0；②4a+2b+c>0；③4ac-b 2<8a ； ④31c.正确的有（ 1、3、4、5 ） （提示：因数对称轴x=－a

b 2=1，所以-b=2a ，当x=-1时，y=a x 2+bx+c=a-b+c=3a+c=0,可知3a=-c,面-1>

c >-2,所以31

2；由前面a >0,a-b+c=0，可知b=a+c ，所以 ⑤b>c 正确 ）

拓展应用：

1. 已知抛物线过点（3，2），对称轴为x=－1，抛物线与x 轴交点的距离为6，求抛物线的解析式。

2.抛物线y=ax 2+bx 经过点A （4，0），B(2，2）.连接OB,AB.

（1）求该抛物线的解析式；（调板）

（2）求证：△OAB 是等腰直角三角形；

（3）将△0AB 绕点O 按顺时针方向旋转135°得到△OA'B'，

写出△OA'B'中边A'B'的中点P 的坐标。试判断点P 是否在此抛

物线上，并说明理由。

四．回顾总结：

问：二次函数的轴对称与表达式有怎样的联系？

对于一般式：

对称轴为x=－

a b 2，“a 、b 同号，对称轴在左，a 、b 异号，对称轴在右” 对于顶点式：

对于二次函数的顶点式y=a(x －h)2+k (a ≠0）,对称轴为x=h,总之对称轴x 的值要使(x －h)2的值为0，y 才有最大值或最小值。

对于交点式：y=a （x －x 1）（x －x 2）(a ≠0），对称轴就是x 1、x 2的平均值，即x=

2

21x x 五．启发课后思考

今天这节课我们专门复习了一个二次函数对称轴与表达式各系数的联系，同学们课后再想