数学奥林匹克问题

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一年级奥林匹克竞赛试题

一年级奥林匹克竞赛试题一年级的奥林匹克竞赛试题通常旨在培养学生的逻辑思维、数学技能和解决问题的能力。

以下是一些适合一年级学生的奥林匹克竞赛试题：1. 数学逻辑题：- 问题：小明有5个苹果，他给了小华2个。

请问小明现在还有几个苹果？- 答案：小明现在有3个苹果。

2. 图形识别题：- 问题：下列哪个图形与其他图形不同？- A. 圆形- B. 正方形- C. 三角形- D. 椭圆形- 答案：B. 正方形（因为其他三个选项都是曲线图形）3. 序列推理题：- 问题：观察下列数字序列，找出下一个数字。

- 2, 4, 6, 8, ?- 答案：10（这是一个等差数列，公差为2）4. 空间想象题：- 问题：如果一个立方体的一面是红色，另一面是蓝色，那么这个立方体最多可以有多少面是红色？- 答案：3面（因为立方体有6面，红色和蓝色各占一半）5. 简单计算题：- 问题：计算下列算式的结果。

- 5 + 3 - 2- 答案：66. 模式识别题：- 问题：下列哪个选项可以完成下列模式？- 模式：红，黄，蓝，红，黄，？- A. 绿- B. 蓝- C. 黄- D. 红- 答案：B. 蓝7. 时间推理题：- 问题：如果现在是上午9点，那么3小时后是几点？- 答案：中午12点8. 分类题：- 问题：将下列物品分类为“水果”和“非水果”。

- 苹果，椅子，香蕉，桌子，橙子- 答案：水果 - 苹果，香蕉，橙子；非水果 - 椅子，桌子9. 简单应用题：- 问题：如果每个篮子里有4个鸡蛋，小明有3个篮子，那么小明一共有多少个鸡蛋？- 答案：12个鸡蛋10. 观察与比较题：- 问题：下列哪个数字比10大？- A. 9- B. 11- C. 8- 答案：B. 11这些题目旨在激发一年级学生的好奇心和探索欲，同时帮助他们发展基本的数学和逻辑技能。

数学奥林匹克问题

48中等数学本期仰题高677如图1，A从C中，Z90。

,1>为5C的中点，S E丄4C于点E，C F丄于点厂过点4作狀、4C的垂线，分别与的延长线交于点P、C>.证明：图1高678如图2,0、/分别为不等边锐角A仙C的外心、内心，如与A f i O C外接圆的第二个交点为D，50与A C(M外接圆的第二个交点为f0与A/l O B外接圆的第二个交点为尺证明：A4/£>、A5仿、A C/F的外心共线.图2高679如图3,直线/与©0相离，P为 /上的一点,/M J S为©〇的割线•过两点分别作©〇的切线，与Z交于点C、D，5C、/m 分别与©〇交于点瓦、尺过两点分别作©〇的切线，与/交于点C、仗证明：1111PC+ PD= PG+ P H'图3高680如图4,设A 4f l C的外接圆为圆厂，Z似C内角平分线与圆厂交于点Z)，E为弧E c上一点，F为fiC上一点，并且Z似尸 =Z C4E < Z：似£>，点 /、// 在 4Z)上，且a t j rZ ACI= z BCH，点G在I F上，且浩=告.证明:D G与£/的交点在圆厂上.2020年第7期49上期仰题解答高673设a,0=1,2,…，)均为正实数，n彡2_证明：*=1y5 - a•s/n、证明先证明：^J y s-a；R_-，1/_•①yj S—C i^Y/i—1事实上，据不等式①的对称性，不妨设ax^a2^---^a n.则7^==彡7^=彡…彡V5 - a,y S- a2^/S- an由切比雪夫不等式得n aiA彡—n nS^S 2(s- «；)Sn(n -l)i又由柯西不等式知^(s-a^^f s y s->+=i y s~n ^s比较以上三个不等式即得式①成立.故由式①及二元均值不等式得y i1 +a;_ y i ai+Ii=i y S-ai；=i^5- a；<'= i y S-a；_心y>S- a； + 1〉2ni = l K n y/S - ai,- 1命题得证.(宿晓阳四川省成都市晨曦数学工作室，610031)高674证明下列恒等式：⑴c l-c L c K c:—2卜.+(-l)2m C3：C：=0；①(2) (C31)2-C U C U2 +C U C D2 +…+ (-1) W:)2=0; ②(3)(c r j3-c U c r..,)3+C L(C3m m.2)3+•" + (-l)2m(t：(C:)3=C:C L.③证明先考虑下列问题:设有p x?的方格表，每个格里有一盏灯，要求每一行必有灯亮，且每一列恰有r盏灯亮.求亮灯方式数.考虑第一列有/•盏灯亮，则此列亮灯数为C;.类似地,每列有r盏亮灯数均为q.从而W列亮灯数共为（q v.再考虑问题的条件，每一行必有灯亮，可从反面考虑：若某一行全不亮，则亮灯数为(q^r，若某两行全不亮，则亮灯数为(c；_2)9,……若/>-r行全不亮，则亮灯数为 (C：)9.于是，本问题亮灯数为yv=(q)9+g((；_2r+…+(-1 广-r q-r(c:v.④(1 )在式④中，取/>= 3m.，r = = 1，此时对应3m x l的方格表，由问题的实际意义可知/V=0.故式①成立.(2)在式④中，取p = 3m，r二m.，g = 2，此时对应3m x2的方格表，由问题的实际意义可知/V=0.故式②成立.(3) 在式@中，取；?=3?/1，7'= ?71，9二3，代人式④可得所证式③左边.又由于第一列亮灯数为C3m…,，第二列亮灯数为C L，第三列亮灯数为C：：，于是，共为C L C L，即式③的右边.故式③成立.(许乃友安徽枞阳中学，246702)高675 如图的内心为/，/!/与万C交于点的外接圆与A/ific的外接圆的第二个交点为尺，A c /z )的外接 4 p e .p k = p b 2_圆与A /lfiC 的外接圆的第二个交点为G •设类似地=P F _P C .B C 上有点E 、F ，使得CE = CA，BA = BF •证因此，四点共圆.明:'四点共圆.（颜亦威北京学策教育科技有限公图5证明辅助线如图5.设f i /与/!£交于点(?.则ZEA/ = Z E A C - y Z B A C =90° -各Z A C B -与Z B A C =y Z A B C = Z IB C、五四点共圆=> Z E A C = Z A E C = Z B ID^ ZKIB = \S 0°-Z K B C - Z B ID =Z K A C - Z E A C = Z K A E四点共圆=> z K D B =ZK 1B^Z K A Q#尺人/)、£四点共圆 => Z B K E = Z A K B - zA K E = \S 0° - ZACB - ZADC= jZBAC.则M经过劣弧&的中点.类似地，F C 经过劣弧&的中点.设劣弧&的中点为则Z P B E = Z P K B司，100080)高676设/^为大于3的素数，《为正整数，且 = l (mod p )•证明:/)4 丨（％ -n ).证明注意到，(1 +x )n p =(1 ++ c y 2 + …+ C 「丨;^_丨 +z )n.比较两边Y 的系数有i = lc « 2 c PG ；P cJ (m〇d/)•i + j + k = p由于1)，于是，/»IC 3….又 P IC“i = l ，2,…，p -1)，则CP n p ~n = C 2n ^2 C ；C^"l (mod p 4).下面证明：g e〇( m〇d /).这是因为_^|(p -〇(p -2)---(p -i + l )^l 2-22...(i -l )：(，!）2=i 2 (〖为Z 模P 的逆）1 = 1=f ]/(当i 遍历模P 的缩系时，i 也遍 k 模P 的缩系）(p -l )p (2p -l )6=0( mod p ).显然,pic2….从而，- r a =0( mod p 4 )•命题得证.(袁国峰学而思培优广州分校，=> A P B EA P K B510000)。

数学奥林匹克问题

f ( xf (1) ) = x f (1) .
2
相交于点 Q ,割线 PEF 经过点 Q 交圆于 E 、 F. 证明 :
1
②
PE
+
1
PF
=
2
PQ
.
48
中等数学
《中等数学》 2004 年总目次
数学活动课程讲座・初中・几何计数问题 ( 下) 存在性问题好玩的平移构造法在初中数学竞赛中的应用
a a + 8 bc
2
由于 EF ∥BC ,则 EB = FC. 从而 , ∠GAQ = ∠CA P , 即 A P 、 AQ 为 △ABC 的 ∠BAC 的外等角线 . 由三角形外等角线的性质定理得
AB B P・ BQ . 2 = CP・ CQ AC
2
①
又由三角形内角平分线性质定理得
AB BD = . AC CD
2 f ( f ( y ) ) = ( y - y + 1) f ( y ) .
④
f ( y) (y ≠ 在④ 中用 0) 代替 y ,并利用 ③ 得 y f f f ( y) y
=
y
f ( y) y
2
y
f ( y) +1 f y
f ( y) y
平分
∠BA E , △L FM 、
3 2 ] f ( f ( y ) ) = ( f ( y2) ) - ( f ( y ) ) + f ( y )
由 ①、 ② 得
2 2
BD B P・ BQ , 2 = CP・ CQ CD
2
BD ・ CP・ CQ = CD ・ B P・ BQ , BD ( DP - CD) ( DQ - CD)

高中奥林匹克竞赛试题

高中奥林匹克竞赛试题高中奥林匹克竞赛试题是专为选拔和培养具有特殊数学、物理、化学、生物、信息学等学科才能的学生而设计的。

这些试题通常具有较高的难度和创新性，旨在测试学生对所学知识的深入理解和应用能力。

# 数学奥林匹克竞赛试题1. 问题一：证明对于任意正整数\( n \)，\( \sum_{k=1}^{n} k^3 = ( \frac{n(n+1)}{2} )^2 \)。

2. 问题二：给定一个圆，圆内接四边形的对角线互相垂直，求证这个四边形的面积等于对角线乘积的一半。

3. 问题三：在一个平面上，有\( n \)个点，没有任何三个点共线。

求证至少存在一个点，它与其它所有点构成的线段总和不超过所有点构成的线段总和的一半。

# 物理奥林匹克竞赛试题1. 问题一：一个物体从静止开始自由下落，忽略空气阻力。

求物体在前\( t \)秒内下落的距离。

2. 问题二：两个质量分别为\( m_1 \)和\( m_2 \)的物体通过一根轻质弹簧连接，静止放置在光滑的水平面上。

当弹簧被压缩后释放，求系统达到平衡时，两物体的速度。

3. 问题三：一个质量为\( m \)的物体在水平面上以速度\( v \)运动，受到一个恒定的摩擦力\( f \)作用。

求物体停止运动所需的时间。

# 化学奥林匹克竞赛试题1. 问题一：描述如何通过化学方法区分一氧化碳和二氧化碳。

2. 问题二：给定一个化学反应方程式，求反应物和生成物的摩尔比。

3. 问题三：解释为什么在水溶液中，氯化钠（食盐）和氯化钾的溶解度不同。

# 生物奥林匹克竞赛试题1. 问题一：解释细胞分裂过程中染色体数量的变化。

2. 问题二：描述光合作用的基本过程及其在生态系统中的作用。

3. 问题三：解释基因突变如何影响生物体的表型。

# 信息学奥林匹克竞赛试题1. 问题一：编写一个程序，实现对一个整数数组的排序。

2. 问题二：设计一个算法，找出一个字符串中出现次数最多的字符。

3. 问题三：实现一个函数，计算两个字符串的最长公共子序列。

奥林匹克竞赛数学试题

奥林匹克竞赛数学试题一、选择题1. 已知函数 \( f(x) = ax^2 + bx + c \)，其中 \( a \)，\( b \)，\( c \) 为常数。

若 \( f(1) = 3 \)，\( f(2) = 7 \)，\( f(3) =15 \)，则 \( a \) 的值为：A. 1B. 2C. 3D. 42. 一个等差数列的前五项和为 35，第五项为 7，求该等差数列的公差。

3. 在直角坐标系中，点 \( A(2,3) \) 关于直线 \( y = x \) 的对称点 \( B \) 的坐标是：A. (3,2)B. (2,2)C. (3,3)D. (2,3)4. 已知圆的周长为 \( 4\pi \)，求该圆的面积。

二、填空题5. 一个等比数列的前三项和为 7，且第一项与第二项之和为 4，求该等比数列的第三项。

6. 一个正方形的对角线长度为 10cm，求该正方形的面积。

7. 已知一个三角形的两边长分别为 5cm 和 12cm，且夹角为 60 度，求第三边的长度。

三、解答题8. 证明：对于任意正整数 \( n \)，\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots+ n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)。

9. 一辆汽车从 A 点出发，以每小时 60 公里的速度向 B 点行驶。

同时，另一辆汽车从 B 点出发，以每小时 40 公里的速度向 A 点行驶。

如果两地相距 240 公里，求两辆汽车相遇的时间。

10. 一个无限等差数列的前 \( n \) 项和为 \( S_n \)，已知\( S_{10} = 110 \)，\( S_{20} - S_{10} = 440 \)，求 \( S_{30} \)。

四、综合题11. 在平面直角坐标系中，点 \( P \) 到原点 \( O \) 的距离为 5，点 \( P \) 到直线 \( y = x \) 的距离为 4，求点 \( P \) 的坐标。

小学数学mo奥林匹克竞赛试题

小学数学mo奥林匹克竞赛试题小学数学奥林匹克竞赛是一项旨在激发学生数学兴趣、培养数学思维能力的竞赛活动。

以下是一些适合小学数学奥林匹克竞赛的试题：一、基础题1. 计算下列各题的结果：- (1) \( 1234 + 5678 \)- (2) \( 9876 - 4321 \)- (3) \( 2345 × 3 \)- (4) \( 6789 ÷ 3 \)2. 判断下列各题的对错，并给出正确答案：- (1) 如果 \( a = 5 \)，那么 \( 3a + 2 = 17 \) 是否正确？ - (2) 如果 \( b = 3 \)，那么 \( 4b - 1 = 11 \) 是否正确？3. 找出下列数列的规律，并填写下一个数：- (1) 2, 4, 8, 16, ____- (2) 3, 6, 11, 18, ____二、应用题1. 一个班级有 45 名学生，如果每 5 名学生组成一个小组，那么可以组成多少个小组？2. 一个长方形的长是 15 米，宽是 10 米。

如果绕着这个长方形的外围跑一圈，需要跑多少米？3. 一个水果店有 120 个苹果，如果每箱装 20 个苹果，那么需要多少个箱子？三、逻辑推理题1. 一个数字，如果把它乘以 3 再加上 10，结果等于 59。

这个数字是多少？2. 一个数字，如果把它加上 100 后，再除以 5，结果等于 30。

这个数字是多少？3. 一个数字，如果把它除以 4，再加上 8，结果等于 20。

这个数字是多少？四、图形题1. 一个正方形的边长是 8 厘米，求这个正方形的周长和面积。

2. 一个等边三角形的边长是 5 厘米，求这个三角形的周长和面积。

3. 一个圆形的半径是 3 厘米，求这个圆的周长和面积。

五、综合题1. 一个班级有 50 名学生，其中 2/5 是男生，剩下的是女生。

如果每 4 名学生组成一个小组，那么可以组成多少个小组？2. 一个数字，如果把它加上 5，再乘以 2，最后减去 3，结果等于31。

数学奥林匹克问题

ｎ２ｄ＋一．：（厂ｅ）
６＝（ｋ一）２＋１（ｋ＋）２５，２１（ｋ）２３（ｋ＋）
其中， ∈ Ｎ＋．ｊ｝．
则ｂｂ一 ¨
＝
（ｋ一１（Ｉ＋１（＋）２５２）２ｉ）２３（ｋ＋）一｝
令Ｊ＝１２，，，ｃ， … ｎ叠加得
高３５设集合Ｓ＝｛，，，６．２１２ … １｝能否选出的２０个四元子集，并将它们分成５组满足下列条件：
ｂ一。８（一）２＋）２＋）ｂ＝ ∑ ２１（ｋ１（ｋ３
证明设
二１
一
次为ａｂｃｄｅｆ正方形Ｄ、Ｆ围成的三．、．、、，Ｅ、
角形的三个内角分别为Ｄ、Ｅ、Ｆ
（、、ｄｅｆ的对角）．由余弦定理得ｃ＝ｅ／２ｔＳ丁一Ｄ）＋一ｅＯ（ｆｃ＝ｆ＋咖Ｏ２ｅｆ）一ｄ．ｅ＋２２ＳＤ＝（＋２同理，＝（＋ｆ）ｂ２ｄｅ一，
４８
中等数学
本
期
问
题
ＡＯ上．已知ＡＢ＝ＡＣ证明：ＰＰ．
ｓ８ｃ＝ｓＢ．ｃ
初３７如图１在 △ ＡＣ中，Ｂ＞Ｃ２，ＢＡＡ．Ｇｏ与边ｃ及ｃ、Ｂ的延长线分别交于点Ａ
Ｄ、，是边Ｂ的中点，Ｈ上Ｂ、ＣＡＣ于点Ｈ，Ｏ分别与直线ＤＤＡＥ、Ｆ交于点、证明：厶四边形ＭＬＫ内接于圆．Ｈ

3年级数学奥林匹克竞赛题

3年级数学奥林匹克竞赛题一、计算类1. 题目：计算1 + 2 + 3+…+ 98+99+100。

解析：我们可以使用等差数列求和公式：公式，这里公式（表示项数），公式（首项），公式（末项）。

所以公式。

2. 题目：9999+999+99+9。

解析：把每个数凑整，公式，公式，公式，公式。

则原式公式公式公式。

二、图形类1. 题目：一个长方形的长是12厘米，宽是8厘米，如果把长增加3厘米，宽增加2厘米，这个长方形的面积增加了多少平方厘米？解析：原来长方形的面积公式平方厘米。

长增加3厘米后变为公式厘米，宽增加2厘米后变为公式厘米。

新长方形的面积公式平方厘米。

面积增加了公式平方厘米。

2. 题目：有一个正方形花坛，边长为10米。

在它的四周铺一条宽为1米的小路，求小路的面积。

解析：大正方形的边长为公式米（因为小路宽1米，两边都要加）。

大正方形的面积公式平方米。

花坛的面积公式平方米。

小路的面积公式平方米。

三、逻辑推理类1. 题目：甲、乙、丙三人分别是医生、教师和警察。

已知甲比教师矮，丙比警察高，医生比乙矮。

那么甲、乙、丙三人分别是什么职业？解析：由“甲比教师矮”，可知甲不是教师；由“丙比警察高”，可知丙不是警察；由“医生比乙矮”，可知乙不是医生。

我们来整理信息，因为丙比警察高，所以丙的身高大于警察。

又因为医生比乙矮，所以乙的身高大于医生。

再结合甲比教师矮，我们可以列出身高的大致顺序：乙>医生，丙>警察，甲<教师。

所以丙是医生，乙是警察，甲是教师。

2. 题目：A、B、C、D四个小朋友进行乒乓球单循环比赛（每两个人都要赛一场）。

到现在为止，A已经赛了3场，B赛了2场，C赛了1场，D赛了几场？解析：A赛了3场，说明A和B、C、D都比赛过了。

C只赛了1场，那就是和A赛的。

B赛了2场，是和A、D赛的（因为C已经和A赛过了，所以B的另一场只能和D赛）。

所以D赛了2场，分别是和A、B。

数学奥林匹克问题

2020年第2期47数学奥林匹克问题本期问题高657已知正数©（»二1,2,…，2,nEZ）满足名启胡S=伞）••证明：S屁W气高658如图1,四边形ABCD内接于QO,AC为直径,P为CA延长线上的点，过点C作O0的切线Z,过点D作PD的垂线与直线I交于点E,过点B作PB的垂线与直线I交于点F,DE与BF交于点M,N为EF的中点•证明:ON平分CM.高659隐形的甲、乙两人及某个隐形目的地在平面上三处，互相之间不可见也不能互通信息.甲手中有一个探测器，上面显示两条射线,分别指向乙和目的地，但无法区分每条射线指向谁;乙手中也有一个探测器，上面显示两个实数，分别表示到甲和目的地的距离,但无法区分每个实数代表到那的距离.现甲、乙轮流行动，甲先行动,每人每次行动可以任意选择一个方向前进长度为1的距离，其中两人各行动一次后,两人手中的探测器会同时更新，且更新后与更新前的显示内容无对应关系•问：甲、乙两人能否在游戏前共同制定策略，使得两人均能顺利一起到达目的地？注:两人的探测器可以完成任意复杂的运算.高660是否存在m+n（m^n G Z+, m^n）个正整数a1,a2,---,a m,b1,b2,--,b n,使得对于任意正整数仁均有诸+誚+…+盗一时一处——bl：乙?上期问题稱答高653设®(i=l,2,…,n)为正实数,心3,S=£®.证明：1=1证明由均值不等式及柯西不等式得a i+_______5-1)匕S-5(n-l)ai+(〃_2)(S_Qj)________(]+5_]))2山S-a-+(n-l)a.+(n-2)(S-a t)48中等数学2n a「5-i)s'(宿晓阳四川省成都市晨曦数学工作室,610031)高654如图2,在ZsABC中,点MN在AB上，且AR=BR.点D在AC 的延长线上，且CD=CB,以B为顶点、BC为一边在△ABC的同侧作Z CBP2=ZA,联结DN2、DN i并延长，与BP2交于点P2、Pi，与BC 交于点丁2、「，联结CP】、CP2与AB分别交于由Z QBC=ZQBA+Z ABC,Z BAC=Z AQB+ZQBA,结合A QBC=ABAC,知/AQB=Z ABC.注意到,ZACB为△ABC'AQCB的公共角.故厶CAB s\CBQn CA CB CB CQb图22又QD=CQ+CD=Ja=¥(a+b),b bAD=a+b,于是瑞€a__BCZ=CQ'~b对厶QAB与宜线PZD,应用梅涅劳斯定理得QD AN、BP、da'n\b'p^q④⑤如图2,延长CA与BP2的延长线证明交于点Q-对AABC与直线N卫D,应用梅涅劳斯定理得AD t CT\=dc't\b'~n^a='米的抽°。

国际数学奥林匹克竞赛真题集

国际数学奥林匹克竞赛真题集国际数学奥林匹克竞赛（International Mathematical Olympiad，简称IMO）是全球最大规模、最高水平的青少年数学竞赛。

每年，来自世界各国的优秀中学生齐聚一堂，通过数学思维和解题能力的比拼，展示自己在数学领域的才华。

本文将介绍一些历年IMO竞赛的真题，以展示这一赛事的难度和魅力。

1. 第42届国际数学奥林匹克竞赛真题问题1：给定正整数n，证明存在正整数a，b，和不全为0的非负整数c1，c2，...，cm，使得:(sqrt(2)+sqrt(3))^n = a + b*sqrt(2)+ c1*sqrt(5)+...+cm*(2^(m/2) + 3^(m/2))问题2：设a，b，c为实数，满足a+b+c=3，证明：(a^3+b^3+c^3)/3 ≥ a^2+b^2+c^2-1这些问题要求参赛选手在限定的时间内解决，对于数学知识的掌握和思维能力的发挥都提出了极为严格的要求。

解决这些问题需要结合数学定理和巧妙的思路，考验了选手的数学素养和逻辑推理能力。

2. 第56届国际数学奥林匹克竞赛真题问题1：设ABC为等边三角形，D为BC的中点，点E在BC上，使得BE=2CD。

若角BAD的度数为x，求角EAC的度数。

问题2：已知n为正整数，证明存在正整数a，b，c，使得:a^2 + b^2 + c^2 = 1981n这些问题涉及到了平面几何和代数方程的求解，在解题过程中要运用到各种几何定理和代数技巧。

选手需要具备较强的图形分析和代数运算能力，同时发挥创造性思维，寻找解决问题的新思路。

3. 第58届国际数学奥林匹克竞赛真题问题1：设a，b，c为正整数，满足a^2 + b^2 + 2014 = c^2，求a的最小值。

问题2：给定一个100×100的方格纸，问最多能用多少条线将方格纸划分成互不相交的部分。

这些问题融合了数论和组合数学的思想，要求选手在解题过程中综合运用多个数学知识点，寻找问题的规律和特殊性质。

小学数学奥林匹克竞赛真题集锦及解答

小学(xiǎoxué)数学奥林匹克竞赛(jìngsài)真题集锦及解答一、填空题1．三个连续偶数，中间(zhōngjiān)这个数是m，则相邻两个数分别是___m-2____和___m+2_ __。

2．有一种(yī zhǒnɡ)三位数，它能同时(tóngshí)被2、3、7整除，这样的三位数中，最大的一个是____966___，最小的一个是____126____。

解题过程：2×3×7=42；求三位数中42的倍数126、168、 (966)3．小丽发现：小表妹和读初三哥哥的岁数是互质数，积是144，小表妹和读初三哥哥的岁数分别是_____9____岁和____16____岁。

解题过程：144=2×2×2×2×3×3；（9、16）=14．一个四位数，它的第一个数字等于这个数中数字0的个数，第二个数字表示这个数中数字1的个数，第三个数字表示这个数中数字2的个数，第四个数字等于这个数中数字3的个数，那么这个四位数是____1210___。

5．2310的所有约数的和是__6912____。

解题过程：2310=2×3×5×7×11；约数和=（1+2）×（1+3）×（1+5）×（1+7）×（1+11）6．已知2008被一些自然数去除，得到的余数都是10，这些自然数共有____11____个。

解题过程：2008-10=1998；1998=2×33×37；约数个数=（1+1）×（1+3）×（1+1）=16（个）其中小于10的约数共有1，2，3，6，9；16-5=11（个）7．从1、2、3、…、1998、1999这些自然数中，最多可以取多少个数，才能使其中每两个数的差不等于4？__ 1000 __。

数学奥林匹克竞赛题目

数学奥林匹克竞赛题目数学奥林匹克竞赛题目真的可以繁复艰深，但也有许多有趣的题目。

我们来看一眼！一、空间几何1.如果把三颗壳都放在一起，它们是一个什么形状？它们到底有多少个可用面？2.如果给你一个多面体，你有什么方法可以快速找出它的表面积？3.已知一个多面体的边长，它的体积可以如何求出？4.当两个圆交叉时，它们合起来形成的面积是多少？5.什么叫做旋转体，它们是什么样子？有什么与正交投影有关的方法可以把它们投射出来？6.如果有一个八面体，在它的每个面上有一个圆，半径为2，如何得出它的表面积？7.给定三面测量面，你能否得出它们构成的面积？8.当把九块正方形拼起来的时候，它的面积是多少？9.圆形的偏移量可以用什么方法算出来？10.如果给你四面体的4条边，可以根据什么公式求出它的高度？二、数学推理1.如果有7瓶牛奶，5瓶可乐，3瓶可乐汽水，共有多少种搭配方案？2.如果要建造一个13楼的建筑，每个楼层最多容纳20人，电梯一次最多能坐8人，那么一个月搭乘电梯的次数最少可以是多少？3.一个玻璃花瓶重5公斤，玻璃重1克每公分的话，假设它有20厘米的半径，它的体积可以用多少立方厘米衡量？4.如果用数字1~100分别填充11行，当每一行的数字相加等于1000，求此11行的数字组合？5.假设一本书有520页，每天读完20页，大约要多少天？6.把下面十个数字重新排列：5,3,6,1,4,2,6,3,4,5，使它们满足5+3=6+1、4+2=6+3、4+5=9？7.一个边长为10厘米的正方形，它的内接圆的半径长度是多少？8.苹果一斤卖2元，要买12斤苹果一共要花多少钱？9.有四个空瓶子，每个瓶子最多容纳10升水，用这四个瓶子所能装的最大水是多少？10.有三枚银币，面值分别为10元，7元，5元，它们能否花掉17元？。

数学奥林匹克问题

ＯＥ＝一ＢＥ＝３．
（求有得０）最值２所使２取大），３｛得
的正整数ｎ并求出这个最大值．，
解（）ｍ＝２０３ｄ＝（１，＝１设１，ｍ，，ｍ１）
ｄｍｌＩ，ｔ＝ｄ．＂ｎ１
由 ∥Ｏ，ＴＢ，ＥＯ＝Ｔ知
联结Ａ、Ｐ，ＴＴ延长ＡＴ与ｏ交于点易知，Ｐ＜ＡＡ￣Ｔ＋ＴＡＰ＝Ｔ＋ＴＡ．Ｓ＝Ｓ
的正整数；
】２１ｎ＝０＋３
所以，Ｐ的最大值就是ＡＡＳ的长．
联结Ｏ．ＯＥ则Ｅ上Ａ．Ｂ作上Ａ垂足为Ｂ，在Ｒ △ ＯＢ中，ｔＥ由勾股定理得
，
，
、、
【】注此题的命题背景是：能否为世界女排大奖赛排出一个完全公平的比赛程序，即恰好使每两队均赛一场？高３６设为正整数．２证明：
Ｎ￣Ａ／Ｃ所以，＝．ｓ／Ｄ，由式① 一 ③得＝Ｆ万Ｐ
．
③
客
上期问
４８
中等数学
本
期
问
题
Ｑ两点，Ｐ与ＤＪＱ交于点Ｅ，Ｑ与ＢＣＰ交于Ａ且满足＝ＣＬＰ＝ＤＣ证ｔ，ＦＡＢＢ，
，
初３５已知实数０ｂｃｄ满足２、．、
２＋ｃ＝ｂ＋３ａ口３２ｄ＝（ｄ—ｂ）６ｃ＝．证明：＋＝，＋ｄ＝．０ｂ３ｃ２２初３６六个正２
明：ＤＣ＝ＡＣＱＢ．

国际数学奥林匹克竞赛试题及解答

国际数学奥林匹克竞赛试题及解答第一题：在一个正方形的边上选择10个点，然后连接相邻点之间得到一个多边形。

问这个多边形内部最多能够放置多少个相互不相交的小正方形？解答：这个问题可以通过找规律进行解答。

我们可以先考虑较小的正方形个数，再逐渐递增。

当只有1个小正方形时，我们可以把它放在正方形中心。

当有2个小正方形时，我们可以把它们放在相邻的两个顶点上。

当有3个小正方形时，我们可以放置两个在相邻的两个顶点上，另一个放在中心位置。

当有4个小正方形时，我们可以把它们分别放在四个顶点上。

当有5个小正方形时，我们可以把其中4个放在四个顶点上，然后将剩下的一个放在中心位置。

当有6个小正方形时，我们可以把其中4个放在四个顶点上，另外两个放在中点和中心位置。

...通过逐个增加小正方形的个数，我们可以得出规律：在一个正方形上最多可以放置 n(n+1)/2 个相互不相交的小正方形，其中 n 为偶数。

第二题：求方程组|y - x^2| = 3|y - x - 4| = 5的解。

解答：首先，对于第一个方程 |y - x^2| = 3，我们可以将其分为两部分进行讨论：1. y - x^2 = 3，解得 y = x^2 + 3；2. -(y - x^2) = 3，解得 y = -x^2 - 3。

然后，将得到的两个解代入第二个方程 |y - x - 4| = 5，得到：1. |(x^2 + 3) - x - 4| = 5，即 |x^2 - x - 1| = 5；2. |(-x^2 - 3) - x - 4| = 5，即 |-x^2 - x - 7| = 5。

我们分别解这两个方程：1. x^2 - x - 1 = 5，解得 x = -2 或 x = 3。

2. -x^2 - x - 7 = 5，解得 x = -3 或 x = 2。

将上述解代入方程 y = x^2 + 3 或 y = -x^2 - 3，则可求出相应的 y 值。

因此，该方程组的解为 (-2, 7)，(3, 12)，(-3, -6)，(2, -1)。

小学奥林匹克竞赛数学试卷

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列哪个数既是奇数又是质数？A. 4B. 9C. 15D. 172. 一个长方形的长是8厘米，宽是4厘米，它的周长是多少厘米？A. 16厘米B. 24厘米C. 32厘米D. 40厘米3. 小明有3个苹果，小红有5个苹果，他们一共有多少个苹果？A. 7个B. 8个C. 9个D. 10个4. 下列哪个图形是轴对称图形？A. 正方形B. 等边三角形C. 长方形D. 梯形5. 小华有一些红色和蓝色的球，红色球的数量是蓝色球的2倍，如果红色球有24个，那么蓝色球有多少个？A. 12个B. 16个C. 18个D. 20个6. 小明从1数到100，一共数了多少个数字？A. 99个B. 100个C. 101个D. 102个7. 下列哪个数是三位数？A. 25B. 250C. 2500D. 10008. 一个圆柱的底面半径是3厘米，高是5厘米，它的体积是多少立方厘米？A. 45πB. 90πC. 150πD. 180π9. 下列哪个数既是偶数又是3的倍数？A. 6B. 9C. 12D. 1510. 小刚有一些糖果，他吃掉了1/4，还剩下18颗，他原来有多少颗糖果？A. 24颗B. 30颗C. 36颗D. 42颗二、填空题（每题5分，共50分）11. 6 + 7 = ________，8 - 4 = ________，9 × 5 = ________，50 ÷ 5 =________。

12. 2 × 3 × 4 = ________，4 × 4 × 4 = ________，5 × 5 × 5 =________。

13. 一个正方形的边长是5厘米，它的周长是 ________ 厘米，面积是 ________ 平方厘米。

14. 一个长方形的面积是60平方厘米，长是10厘米，宽是 ________ 厘米。

数学奥林匹克竞赛试题

数学奥林匹克竞赛试题数学奥林匹克竞赛是针对中学生的高水平数学竞赛，旨在激发学生对数学的兴趣，培养他们的逻辑思维、创新能力和解决复杂问题的能力。

以下是一些典型的数学奥林匹克竞赛试题示例，供大家参考和练习。

代数问题问题1：解方程求解方程 (x^3 - 5x^2 + 7x - 1 = 0)。

问题2：因式分解将多项式 (x^4 - 81) 进行因式分解。

几何问题问题3：三角形面积在直角三角形中，已知两直角边的长度分别为3和4，求斜边上的高。

问题4：圆的性质证明：若一个圆内接四边形的对角互补，则该四边形为矩形。

组合与概率问题问题5：排列组合计算用数字1到9（每个数字仅使用一次）可以组成的所有不同三位数的数量。

问题6：概率计算一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机取出两个球，求取出的两个球都是红球的概率。

数列与函数问题问题7：等差数列如果数列 (a_n = 2n + 1)，求第10项和前10项的和。

问题8：函数图像画出函数 (y = |x-3|) 的图像，并指出其与x轴的交点。

解析与答案问题1答案通过因式分解或使用牛顿法等方法求解。

问题2答案(x^4 - 81 = (x^2 + 9)(x^2 - 9) = (x^2 + 9)(x + 3)(x - 3))。

问题3答案斜边上的高 (h = \frac{3 \times 4}{5} = 2.4)。

问题4答案利用圆周角定理和直角三角形的性质证明。

问题5答案总共有 (9 \times 8 \times 7) 种不同的排列方式。

问题6答案概率为 (\frac{C_5^2}{C_8^2} = \frac{10}{28} = \frac{5}{14})。

问题7答案第10项 (a_{10} = 21)，前10项和 (S_{10} = 2(1 + 2 + ... + 10) + 10 = 110)。

问题8答案函数图像为V型，与x轴的交点为(3,0)。

请注意，以上只是示例题目，实际的数学奥林匹克竞赛题目可能会更加复杂和多样。

奥林匹克竞赛数学试题

奥林匹克竞赛数学试题一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列哪个数不是素数？A. 2B. 3C. 4D. 52. 如果一个圆的半径是5，那么它的周长是多少？A. 10πB. 20πC. 25πD. 30π3. 以下哪个表达式代表的是完全平方数？A. \( 4^2 + 3^2 \)B. \( 5^2 - 2 \)C. \( 6^2 \)D. \( 7^2 + 1 \)4. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，斜边的长度是多少？A. 5B. 6C. 7D. 85. 一个数列的前三项是2, 4, 6，这个数列是：A. 等差数列B. 等比数列C. 等和数列D. 等比数列和等差数列6. 如果\( a \)和\( b \)是两个不同的质数，那么\( a + b \)一定是：A. 质数B. 合数C. 偶数D. 奇数二、填空题（每题5分，共20分）7. 一个数的平方根是4，那么这个数是________。

8. 一个数的立方根是3，那么这个数是________。

9. 一个数的倒数是\( \frac{1}{5} \)，那么这个数是________。

10. 如果\( x \)和\( y \)互为相反数，那么\( x + y = ________ \)。

三、解答题（每题25分，共50分）11. 证明：如果一个三角形的三边长分别为\( a \)，\( b \)，和\( c \)，且满足\( a^2 + b^2 = c^2 \)，那么这个三角形是直角三角形。

12. 解方程：\( 2x^2 - 5x - 3 = 0 \)。

结束语：奥林匹克数学竞赛是一项旨在培养学生数学思维和解决问题能力的竞赛。

通过解答这些题目，参赛者可以提高自己的逻辑推理能力、抽象思维能力以及数学知识的应用能力。

希望每位参赛者都能在竞赛中取得优异的成绩，不断挑战自我，追求卓越。

（本试题仅供参考，具体题目和答案可能会根据实际竞赛要求有所调整。

）。

数学奥林匹克问题

注意到，
一ｌ＋ｘ＋
：
＋．．・＋
一
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如ｉ
，
’
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±
１十ｉ十＋… ＋
（２）尸Ｅ平分ＡＰＢ．
高３６３设ｌ，ａ２， …，ａ＞０．证明：
（ｉ＋１）（ｉ “４－１）
≤ ∑ １＋
ｉ＝１
（ｉ＋１）（ｉ ¨ ＋１）
＋＋… ＋ ‘
１２ ‘ ，ｌＢＣＣ＋ＡＡ＋Ｂ、Ｊ
＝・＿ｒ１（ｎｏ＋ＣＡ＋ＡＢ）
＝
于是，只需证对任意的ｉ ∈ Ｎ＋，
…＋＝ｎ．证明：
一
初３５２如ห้องสมุดไป่ตู้图
ｌ，Ｏ０与ｏ０：内
切于点Ｐ点Ａ、Ｂ
１＋＋
・＋：
在ｏ０，上，直线
≤ ｊ
证明
２
陶１
赢－
ＡＣ、ＢＤ分别与
Ｏ０切于点Ｃ、Ｄ，直线ＡＢ与ＣＤ交于点Ｅ．证明：㈩ＡＣ＝；
４８
中等数学
本
期
问
题
时开着（或关着），则其下一层对应的那扇窗关着；若同层相邻的两扇窗一开一关，则其下层对应的那扇窗开着．证明：第一层唯一的那扇窗必开着．
一
初３５１在菱形ＡＢＣＤ中，Ａ：６０。，Ｅ