14含绝对值不等式的解法

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高考数学含绝对值的不等式的解法

三灵与肉
我站在镜子前，盯视着我的面孔和身体，不禁惶惑起来。我不知道究竟盯视者是我，还是被盯视者是我。灵
魂和肉体如此不同，一旦相遇，彼此都觉陌生。我的耳边响起帕斯卡尔的话语：肉体不可思议，灵魂更不可思议，最不可思议的是肉体居然能和灵魂结合在一起。人有一个肉体似乎是一件尴尬事。那个丧子的母亲终于停止哭泣，端起饭碗，因为她饿了。那个含情脉脉的姑娘不得不离
您一定愿意静静地听这个生命说：'我愿意静静地听您说话…… '我从不愿把您想像成一个思想家或散文家，您不会为此生气吧。 "也许再过好多年之后，我已经老了，那时候，我相信为了年轻时读过的您的那些话语，我要用心说一声：谢谢您!" 信尾没有落款，只有这一行字："生
命本来没有名字吧，我是，你是。"我这才想到查看信封，发现那上面也没有寄信人的地址，作为替代的是"时光村落"四个字。我注意了邮戳，寄自河北怀来。
高三第一轮复习
含绝对值不等式的解法
1、绝对值的意义：其几何意义是数轴的点A（a）离开原点的距离
OA a
a, a 0
a

0,
a

0
a, a 0
2、含有绝对值不等式的解法：（解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号）
（1）定义法；（2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝
卡尔的话：肉体是奇妙的，灵魂更奇妙，最奇妙的是肉体居然能和灵魂结合在一起。
四动与静
喧哗的白昼过去了，世界重归于宁静。我坐在灯下，感到一种独处的满足。我承认，我需要到世界上去活动，我喜欢旅行、冒险、恋爱、奋斗、成功、失败。日子过得
平平淡淡，我会无聊，过得冷冷清清，我会寂寞。但是，我更需要宁静的独处，更喜欢过一种沉思的生活。总是活得轰轰烈烈热热闹闹，没有时间和自己待一会儿，我就会非常不安，好像丢了魂一样。我身上必定有两个自我。一个好动，什么都要尝试，什么都想经历。另一个喜静，

14含绝对值不等式的解法(3)

当a 0时,不等式 | x | a的解集为
不等式 | x | a的解集为 R
2、叙述如何解 | ax b | c,| ax b | c 型不等式：
当c 0时,不等式 | ax b | c c ax b c
不等式 | ax b | c ax b c或ax b c
3、型如 | f (x) | g(x),| f (x) | g(x)不等式：
| f (x) | g(x) g(x) f (x) g(x) | f (x) | g(x) f (x) g(x)或f (x) g(x)
4、型如 | f (x) || g(x) |, | f (x) || g(x) | 不等式：平方法
1.解不等式4x 3 2x 1 2.解不等式x 3 x 5
几何意义：
当a 0时,不等式 | x | a的解集为 {x | a x a} 不等式 | x | a的解集为 {x | x a或x a}
当a 0时,不等式 | x | a的解集为
不等式 | x | a的解集为 {x | x R且x 0}
数集R上解集不是空集，求 a 的取值范围；
（2）若不等式 | x 4 | | x 3 | a 在实数
集R上恒成立，求 a 的取值范围；
三、四种类型的不等式的转化求解方法： 1、型如 | f (x) | g(x),| f (x) | g(x)不等式： 2、型如 | f (x) || g(x) |, | f (x) || g(x) | 不等式： 3、型如 | f (x) | | g(x) | a 不等式： 4、型如 | f (x) | | g(x) | h(x) 不等式：
5、型如 | f (x) | | g(x) | a 不等式：
例1、解不等式：| x 5 | | 2x 3 | 1

《含绝对值不等式的解法》

1. x 2 的解的几何意义是什么？
2 0 2
2. 能否利用绝对值的几何意义求出 1) x 2 2) x 2 的解集
2 0 2
1. x 2 的解的几何意义是什么？
2 0 22. 能否来自用绝对值的几何意义求出 1) x 2 2) x 2 的解集
2 0 2 x 2 的几何意义：
数轴上到原点距离小于 2 的点的集合 .
1. x 2 的解的几何意义是什么？
2 0 2
2. 能否利用绝对值的几何意义求出 1) x 2 2) x 2 的解集
2 0 2 x 2 的几何意义：
含绝对值不等式的解法
复习回顾：
1. 不等式的性质：
如果 a b，那么 a c bc；如果 a b， c 0 ，那么 ac bc；如果 a b， c 0 ，那么 ac bc.
当 x 0 时， x，，当 x 0 时， 2. 绝对值的意义： x 0 x，当 x 0 时 .
一般地， x a (a 0) 的解集为： {x | a x a} ， x a (a 0) 的解集为： {x | x a或 x a}.
问：为什么要加上a>0这个条件呢？如果a<0呢？a=0呢？
结论：
x a (a 0)的解集为 _________； x a (a 0)的解集为 _________； x a (a 0)的解集为 _________； x a (a 0)的解集为 _________.

绝对值不等式的解法及应用

绝对值不等式的解法及应用绝对值不等式在数学中具有重要的应用价值，在各个领域中都有广泛的运用。

本文将对绝对值不等式的解法进行简要说明，并介绍其在实际问题中的应用。

一、绝对值不等式的解法1. 求解一元绝对值不等式对于形如 |x|<a 的不等式，其中 a>0 ，我们可以将其分解为两个简单的不等式，即 x<a 和-x<a ，然后再根据这两个不等式得到解的范围。

例如，对于 |x|<3 这个不等式，我们可以拆分为 x<3 和 -x<3 ，再分别求解这两个不等式，得到解的范围为 -3<x<3 。

2. 求解含有绝对值不等式的方程对于形如 |f(x)|=g(x) 的方程，可以通过以下步骤求解：Step 1: 根据绝对值的定义，将绝对值拆解为两个条件，即 f(x)=g(x) 和 f(x)=-g(x) 。

Step 2: 分别求解这两个条件对应的方程，得到解的范围。

Step 3: 将 Step 2 中得到的解进行合并，得到最终的解集。

例如，对于 |x-2|=3 这个方程，我们可以拆解为 x-2=3 和 x-2=-3 ，然后求解这两个方程得到 x=5 和 x=-1 ，最终的解集为 {5, -1} 。

二、绝对值不等式的应用绝对值不等式在实际问题中有广泛的应用，下面将介绍其中两个常见的应用领域。

1. 绝对值不等式在不等式求解中的应用在不等式求解中，绝对值不等式是一种常见的工具。

通过合理地运用绝对值不等式，可以简化不等式的求解过程，提高解题效率。

下面通过一个例子来说明。

例题：求解不等式 |2x-1|<5 。

解：根据绝对值的定义，将不等式拆分为两个条件，即 2x-1<5 和2x-1>-5 。

然后分别求解这两个条件对应的方程，得到 x<3 和 x>-2 。

最后将这两个解的范围进行合并，得到最终的解集为 -2<x<3 。

2. 绝对值不等式在数列问题中的应用在数列问题中，绝对值不等式可以用来求解数列的范围，帮助我们找到数列的性质和规律。

绝对值不等式的解法

绝对值不等式的解法绝对值不等式是数学中常见的一类不等式，对于绝对值不等式的解法，我们可以通过以下几种方法来进行求解。

在本文中，将介绍绝对值不等式的图像法、符号法、分情况讨论法以及代数法等几种常用解法。

一、图像法图像法是一种直观的解法，通过绘制图像来确定不等式的解集。

例1：解不等式 |x - 2| > 3。

首先，我们可以将其转化为两个方程：x - 2 > 3 或 x - 2 < -3解得：x > 5 或 x < -1将这两个解集对应的区间在数轴上标出，即可得到图像。

通过观察图像，我们可以得出原不等式的解集为 x < -1 或 x > 5。

二、符号法符号法是一种抽象的解法，通过符号的转换来确定不等式的解集。

例2：解不等式 |2x - 3| ≤ 4。

根据绝对值的定义，我们可以将不等式分解为以下两个条件：2x - 3 ≤ 4 且 2x - 3 ≥ -4解得：x ≤ 7/2 且x ≥ -1/2将这两个解集取交集，即可得到原不等式的解集为 -1/2 ≤ x ≤ 7/2。

三、分情况讨论法分情况讨论法是一种特殊的解法，通过考虑不同情况来确定不等式的解集。

例3：解不等式 |3x + 2| > 5。

根据绝对值的定义，我们可以得到以下两个不等式：3x + 2 > 5 或 3x + 2 < -5解得：x > 1 且 x < -7/3因此，我们可以根据不同的情况得出原不等式的解集为 x < -7/3 或x > 1。

四、代数法代数法是一种基础的解法，通过代数运算来确定不等式的解集。

例4：解不等式 |x - 4| ≥ 2。

根据绝对值的定义，我们可以得到以下两个不等式：x - 4 ≥ 2 或 x - 4 ≤ -2解得：x ≥ 6 或x ≤ 2因此，原不等式的解集为x ≤ 2 或x ≥ 6。

综上所述，绝对值不等式的解法包括图像法、符号法、分情况讨论法以及代数法等几种常用方法。

绝对值不等式的解法(选修4-5)2014

或x 0 x 3，即 1 x 4
-1 0
3
4
原不等式的解集是 {x | 1 x 0，或3 x 4}.
题型二：不等式n＜| ax + b | ＜m (m＞n＞0) 的解集
例2 解不等式 3<|3-2x|≤5 .
解法2：3 | 3 2 x | 5 3 | 2 x 3 | 5
方法一：利用绝对值的几何意义(体现了数形结合的思想).
解:|x-1|+|x+2|=5的解为x=-3或x=2
-3 -2 1 2
所以原不等式的解为 x x ≥ 2或x ≤ 3

题型四：含多个绝对值不等式的解法
方法二： |x-1|+|x+2|≥5，利用|x-1|=0,|x+2|=0的零点,把数轴分为三段,然后分段考虑把原不等式转化为不含绝对值符号的不等式求解（零点分段讨论法）
小结
解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含绝对值符号的不等式（组），根据式子的特点可用下列解法公式进行转化：
⑴ f x a (a 0) f x a或f x a；
⑵ f x a (a 0) a f x a；
⑶ f x g ( x ) f x g ( x )或f x g ( x )；
题型一：不等式|x|<a与|x|>a （a>0）的解集
例1、解不等式（ 1） 2 x 1 3 (2) | x 2 3 x 4 | x 1
尝试 1:分类讨论去绝对值符号.
．
尝试 2:运用推广的解法公式.
题型一：不等式|x|<a与|x|>a （a>0）的解集

带有绝对值的不等式解法

带有绝对值的不等式解法
带有绝对值的不等式通常需要根据绝对值的性质进行分类讨论，然后根据不同情况分别解出不等式。

以下是带有绝对值的不等式的一般解法步骤：
1. 首先，需要确定绝对值内的表达式的符号。

2. 根据表达式的符号，将不等式分成两种情况进行讨论。

3. 对于每种情况，将绝对值符号去掉，并解出不等式。

4. 最后，将两种情况下的解集合并起来，得到最终的解集。

以下是一些常见的带有绝对值的不等式的解法示例：
1. 绝对值不等式：|x|<a（其中a为正数）
当x\ge0时，|x|=x，则原不等式可化为x<a。

当x<0时，|x|=-x，则原不等式可化为-x<a，即x>-a。

因此，不等式的解集为-a<x<a。

2. 绝对值不等式：|x|>a（其中a为正数）
当x\ge0时，|x|=x，则原不等式可化为x>a。

当x<0时，|x|=-x，则原不等式可化为-x>a，即x<-a。

因此，不等式的解集为x<-a或x>a。

3. 绝对值不等式：|x-a|<b（其中a、b为常数）
当x\ge a时，|x-a|=x-a，则原不等式可化为x-a<b，即x<a+b。

当x<a时，|x-a|=a-x，则原不等式可化为a-x<b，即x>a-b。

因此，不等式的解集为a-b<x<a+b。

需要注意的是，对于带有绝对值的不等式，解集可能包含零值，也可能不包含零值，具体情况需要根据不等式的具体形式进行讨论。

1。

带绝对值的不等式解法

带绝对值的不等式解法带绝对值的不等式在数学中是一个常见的问题，它具有一定的挑战性和复杂性。

解决这类问题需要我们掌握一些特定的解法和技巧。

1. 引言带绝对值的不等式是一个重要的数学概念，它出现在许多实际问题中。

了解如何解决这类问题对我们在数学上的学习和解决实际问题上都有很大帮助。

2. 简单的绝对值不等式解法在简单的情况下，我们可以通过将带绝对值的不等式拆分成两个不等式来解决。

对于不等式|2x - 3| > 5，我们可以分别解得2x - 3 > 5和2x - 3 < -5的解。

3. 绝对值函数的图像和性质为了更好地理解带绝对值的不等式，我们需要对绝对值函数有一定的了解。

绝对值函数的图像是一个以原点为对称中心的V形曲线，它的性质包括非负性和不等式性质。

4. 绝对值不等式的绝对值定义法当我们遇到更复杂的带绝对值的不等式时，可以使用绝对值的定义进行求解。

对于不等式|3x - 2| < 10，我们可以通过将绝对值展开为两个不等式，并结合这些不等式的解来得到原不等式的解。

5. 绝对值不等式的符号法在某些情况下，我们可以使用符号法来解决带绝对值的不等式。

符号法通过考虑绝对值的正负性和相对大小来进行推导和求解。

对于不等式|2x - 1| < |3x + 2|，我们可以通过考虑两个绝对值的正负情况，得到不等式的解集。

6. 绝对值不等式的绝对值最大最小法在解决带绝对值的不等式时，绝对值最大最小法可以帮助我们找到不等式的解集。

该方法通过求解不等式中绝对值的最大值和最小值来确定不等式的解集。

对于不等式|5x - 3| + 2 > 7，我们可以通过找到绝对值的最大值和最小值来得到不等式的解。

7. 深入理解带绝对值的不等式通过上述的解法和技巧，我们可以更深入地理解和解决带绝对值的不等式。

我们也可以应用这些思想和方法来解决更复杂的实际问题，例如在经济学、物理学和工程学等领域。

8. 总结带绝对值的不等式是数学中一个重要的概念，它在理论和实际问题中都有广泛的应用。

含绝对值的不等式的解法

含绝对值的不等式的解法一、基本解法与思想解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。

（一）、公式法：即利用a x >与a x <的解集求解。

主要知识：1、绝对值的几何意义：x 是指数轴上点x 到原点的距离；21x x -是指数轴上1x ，2x 两点间的距离.。

2、a x >与a x <型的不等式的解法。

当0>a 时，不等式>x 的解集是{}a x a x x -<>或,不等式a x <的解集是{}a x a x <<-;当0<a 时，不等式a x >的解集是{}R x x ∈不等式a x <的解集是∅;3．c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。

把 b ax + 看作一个整体时，可化为a x <与a x >型的不等式来求解。

当0>c 时，不等式c b ax >+的解集是{}c b ax c b ax x -<+>+或,不等式c b ax <+的解集是{}c b ax c x <+<-;当0<c 时，不等式c b ax >+的解集是{}R x x ∈不等式c bx a <+的解集是∅;例1 解不等式32<-x（二）、定义法:即利用(0),0(0),(0).a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩去掉绝对值再解。

例2。

解不等式22x x x x >++。

（三）、平方法:解()()f x g x >型不等式。

例3、解不等式123x x ->-。

二、分类讨论法：即通过合理分类去绝对值后再求解。

例4 解不等式125x x -++<。

(“零点分段法”)三、几何法：即转化为几何知识求解。

(完整版)含绝对值不等式的解法(含答案)

（一）、公式法：即利用a x >与a x <的解集求解。

主要知识：1、绝对值的几何意义：x 是指数轴上点x 到原点的距离；21x x -是指数轴上1x ，2x 两点间的距离.。

2、a x >与a x <型的不等式的解法。

把 b ax + 看作一个整体时，可化为a x <与a x >型的不等式来求解。

当0>c 时，不等式c b ax >+的解集是{}c b ax c b ax x -<+>+或,不等式c b ax <+的解集是{}c b ax c x <+<-;当0<c 时，不等式c b ax >+的解集是{}R x x ∈不等式c bx a <+的解集是∅;例1 解不等式32<-x分析:这类题可直接利用上面的公式求解，这种解法还运用了整体思想，如把“2-x ” 看着一个整体。

答案为{}51<<-x x 。

(解略)（二）、定义法:即利用(0),0(0),(0).a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩去掉绝对值再解。

例2。

解不等式22x xx x >++。

分析:由绝对值的意义知，a a =⇔a ≥0，a a =-⇔a ≤0。

解:原不等式等价于2xx +＜0⇔x(x+2)＜0⇔-2＜x ＜0。

14含绝对值不等式的解法

即(a + 1)2－(a－1 ) 2 ≤2x ≤ (a－1 ) 2 + (a + 1)2， ∴A ＝{x | 2a≤x≤a2 + 1}.
要使A B,如图1.11,利用数轴直观得:
2 3a 1 2 2 a a 2 1 3a 1
1 a 3 即 a 1 a 3
1 a 1 可得 ,解得a≤2. 1 a 7
∴0<a ≤2. a ≤0时,A = ,满足题设A∩B = ∴a ≤2时, A∩B = .

再由条件(1)、(2)可得M = {－2，－1，0}， {－2，－1，1}，
{－2，－1，2} ,{－2，0，1}， {－2，0，2}， {－2，1，1}。思维发散：已知U = R，A = {x| |x|≥1}，B = {x| |x－2|〈1}，求（CUA）∩（CUB）。略解：化简A = {x|x≤－1或x≥1}，B = {x|1〈x〈3}， ∴ CUA = {x|－〈x〈1}， CUB = {x | x ≤1或x≥3}， ∴ （CUA）∩（CUB） = {x|－1〈x〈1}。
解得1≤a≤3.
∴所求实数a的取值范围为1 ≤a≤3. 思维发散:设A = {x||x－1|<a}，B 解:a>0时,化简A = {x|1 －a<x<1 + a},
又B = {x|x<－1或x>7},要使A∩B = ,
借助数轴.
借助数轴由下图可得原不等式的解集为
3 7 或 x6 {x|－1≤x< } 2 2
－1
3 2
7 2
6
x
例4：解不等式|x－4|－|2x + 5| <1。解：①当 x

含绝对值不等式的解法

4.重要绝对值不等式 ||a|-|b||≤|ab|≤|a|+|b|. 使用时(特别是求最值)要注意等号成立的条件, 即: |a+b|=|a|+|b|ab≥0; |a-b|=|a|+|b|ab≤0; |a|-|b|=|a+b|b(a+b)≤0; |a|-|b|=|a-b|b(a-b)≥0. 注: |a|-|b|=|a+b||a|=|a+b|+|b| |(a+b)-b|=|a+b|+|b| b(a+b)≤0. 同理可得 |a|-|b|=|a-b|b(a-b)≥0.
典型例题 2 解不等式 ||x+3|-|x-3||>3.
解法一零点分区间讨论原不等式等价于: x<-3, -3≤x≤3, x>3, |-x-3+x-3|>3, 或 |x+3+x-3|>3, 或 |x+3-x+3|>3. 3 <x≤3 或 x>3. 即 x<-3 或 -3≤x<- 3 或 2 2 3 3 ∴x<- 2 或 x> 2 . 3 3 ∴原不等式的解集为 (-∞, - 2 )∪( 2 , +∞). 解法二两边平方原不等式等价于 (|x+3|-|x-3|)2>9. 即 2x2+9>2|x2-9|( 2x2+9)2>(2|x2-9|)2. 3 3 2 即 4x -9>0. ∴x<- 2 或 x> 2 . 3 3 ∴原不等式的解集为 (-∞, - 2 )∪( 2 , +∞).
备选题 4 已知函数 f(x)=x3+ax+b 定义在区间 [-1, 1] 上, 且 f(0)=f(1), 又 P(x1, y1), Q(x2, y2) 是其图象上任意两点(x1x2). (1)设直线 PQ 的斜率为k, 求证: |k|<2; (2)若 0≤x1<x2≤1, 求证: |y1-y2|<1. 解: (1)∵f(0)=f(1), ∴b=1+a+b. ∴a=-1. ∴f(x)=x3-x+b. y 2- y 1 1 则 k= x -x = x -x [(x23-x2+b)-(x13-x1+b)] 2 1 2 1 1 = x -x [(x23-x13)-(x2-x1)] =x22+x1x2+x12-1. 2 1 ∵x1, x2[-1, 1] 且 x1x2, ∴0<x22+x1x2+x12<3. ∴-1<x22+x1x2+x12-1<2. ∴|x22+x1x2+x12-1|<2. 即 |k|<2. (2)∵0≤x1<x2≤1, ∴由(1)知 |y2-y1|<2|x2-x1|=2(x2-x1). ① 又 |y2-y1|=|f(x1)-f(x2)|=|f(x1)-f(0)+f(1)-f(x2)| ≤|f(x1)-f(0)|+|f(1)-f(x2)|<2|x1-0|+2|1-x2|=2(x1-x2)+2

含绝对值的不等式解法

好的，以下是含绝对值的不等式解法知识点的教案：含绝对值的不等式解法知识点绝对值的定义绝对值不等式的基本形式绝对值不等式的解法绝对值的定义绝对值是一个数到0的距离，用符号||表示，其中是一个实数。

如果是正数，则||=；如果是负数，则||=−绝对值不等式的基本形式绝对值不等式的基本形式为：$|x|<a$其中是一个正实数绝对值不等式的解法1.||<的解当是正数时，||=，因此<当是负数时，||=−，因此−<，即>−综上所述，||<的解为−<<2.||>的解当是正数时，||=，因此>或<−当是负数时，||=−，因此−>，即<−或>综上所述，||>的解为<−或>3.||≤的解当是正数时，||=，因此≤当是负数时，||=−，因此−≤，即≥−综上所述，||≤的解为−≤≤4.||≥的解当是正数时，||=，因此≥或≤−当是负数时，||=−，因此−≥，即≤−或≥综上所述，||≥的解为≤−或≥例题和解答解不等式|−2|<3解答：根据绝对值不等式的基本形式，得到：$|x-2|<3$根据绝对值不等式的解法，得到：$-3<x-2<3$移项得到：$-1<x<5$因此，不等式|−2|<3的解为−1<<5解不等式|+1|>2解答：根据绝对值不等式的基本形式，得到：$|x+1|>2$根据绝对值不等式的解法，得到：$x+1>2\text{或}x+1<-2$移项得到：$x>1\text{或}x<-3$因此，不等式|+1|>2的解为>1或<−3解不等式|2−1|≤3解答：根据绝对值不等式的基本形式，得到：$|2x-1|\leq3$根据绝对值不等式的解法，得到：$-3\leq2x-1\leq3$移项得到：$-2\leq2x\leq4$因此，不等式|2−1|≤3的解为−1≤≤2总结：含绝对值的不等式是高中数学中的重要知识点。

含绝对值的解与不等式求解

含绝对值的解与不等式求解绝对值函数在数学中具有重要的应用价值，尤其是在解方程和不等式问题上。

本文旨在探讨含绝对值的解以及如何求解不等式。

一、含绝对值的方程解法对于形如|a|x + b| = c的绝对值方程，需要分别讨论x的取值范围，并找出满足条件的解。

下面将介绍两种常用解法。

1.1 分类讨论法当a为正数时，绝对值函数为增函数，因此可以将方程化简为两个线性方程来求解。

考虑到x的取值情况，可以得到以下两个方程：a*x + b = c x >= 0；-a*x - b = c x < 0。

解出以上两个方程可得到两组解，分别代入原方程中验证，得到最终的解集。

当a为负数时，绝对值函数为减函数。

同样可以将方程化简为两个线性方程来求解，但此时每个方程对应的x的取值范围相反：-a*x + b = c x >= 0；a*x - b = c x < 0。

解出以上两个方程可得到两组解，分别代入原方程中验证，得到最终的解集。

1.2 代数法求解对于一元绝对值方程|a|x + b| = c，可以将方程分解为两个方程：a*x + b = c 或 a*x + b = -c。

解出以上两个方程的解集分别为S1和S2，则原方程的解集为S1 ∪ S2。

二、含绝对值的不等式解法对于形如|a|x + b| < c的绝对值不等式，同样需要根据a的正负情况进行分类讨论。

2.1 分类讨论法当a为正数时，绝对值函数为增函数，可以将不等式化简为两个线性不等式：a*x + b < c x >= 0；-a*x - b < c x < 0。

解出以上两个不等式可得到两个解集，分别为S1和S2。

由于题目要求不等式的解集，因此需要求得S1 ∪ S2的交集。

当a为负数时，绝对值函数为减函数，将不等式化简为以下两个线性不等式：-a*x + b < c x >= 0；a*x - b < c x < 0。

含绝对值的不等式解法(2)

不等式｜ x ｜ a（a R）当a 0 时， {x ｜ a x a }；
当a 0时，不等式｜ x ｜ a的解集为.
不等式｜ x ｜ a（a R）当a 0时， {x ｜ x a ，或 x a } .
当a 0 时，不等式｜ x ｜ a的解集为R.
解法二:
由|x+2|+|x-5|的几何意义,知它表示数轴上的点 P(x)到点A(-2)、点B(5)的距离之和
A -2 B 5
|PA|+|PB|≥|AB|= 5 - (-2) = 7. 即对一切x∈R，|x+2|+|x-5|≥7 欲对一切实数x,|x+2|+|x-5|>a恒成立,只有a < 7 故实数a的取值范围是 a< 7
例3：已知A={x||x-a|<4}，B={x||x-2|>3} ，且 A∪B=R .求a的取值范围.
解| x a | 4 4 x a 4 A {x | a 4 x a 4}
| x 2 | 3 x 2 3, 或x 2 3 B {x | x 1，或x 5}
例1.解不等式 :| x 1 | m, m R
不等式｜ x ｜ a 当a 0 时， {x ｜ a x a }；当a 0时，不等式｜ x ｜ a的解集为.
(1)当m 0时, 原不等式等价于: m x 1 m 1 m x 1 m
x 5 x 5 （3） x5 x 5 (2 x 3) 1 x 9
-7
1/3
5
综上所述得原不等式的解集为 1 {x | x 或x 7} 3

含绝对值的不等式解法

含绝对值的不等式解法
一、定义
绝对值不等式是一种广义不等式，它由一个带有绝对值符号的线性表达式组成，其中
左右两边都有一个绝对值函数，比较两边绝对值之间的大小，可以把它归类到不等式中。

绝对值不等式可以简化计算结果，使计算更简单、更清晰，是一个非常有用的工具。

二、解法
正解法是一种解决含绝对值不等式的最常用的方法，它的解法可以分为以下几步：
A、将整个不等式中的绝对值符号变成两个端口，并把它们的表示值记录下来，即
|x|=a。

B、将绝对值不等式变形，对其中的变量进行简化处理，例如：x+2～x-2，可以简写成：x～-2。

C、把原绝对值不等式分成两个不等式，一个为x>-2，另一个为x<2，将这两个不等
式分别求解，比较两个解集，得出整个问题的解集。

2、交叉解法
三、小结
从前面的介绍，我们可以知道，含绝对值的不等式的解法有两种：正解法和交叉解法，它们都是一种比较常用的方法。

这两种方法都是非常有效的，但是正解法更加直接，它可
以把原先复杂的绝对值不等式简化，使问题变得更清晰可控。

高一数-1.4含绝对值的不等式解法

［解析］为了求出同时满足三个条件的集合C，可选择其中一个条件入手，求出满足这个条件的C，再根据另外两个条件逐步缩小解的范围，直至最后求出满足三个条件的C．
［解］依题意，有A＝{x||2x－1|≤3}＝{x|－1≤x≤2}，
B＝{x||x＋2|＜1}＝{x|－3＜x＜－1}．
∴ C＝(A∪B)∩Z＝{x|－1≤x≤2}∪{x|－3＜x＜－1}∩Z
【剖析难点】
例4 解不等式：|x－2|＞2x－10．
［解析］本例不等号两边均有未知数x，虽不能直接运用最简绝对值不等式，但解题的关键仍是去掉绝对值，因而可采用分段讨论的方法．
［解法1］ (1)当x≥2时，不等式转化为：x－2＞2x－10，得x＜8．∴ 2≤x＜8．
(2)当x＜2时，不等式转化为：2－x＞2x－10，得x＜4．∴ x＜2．
［解析］解含参量的绝对值时要进行分类讨论．
［解］不等式可化为|2x＋3|＜a＋1． ①
当a＋1＞0，即a＞－1时，由①式得－a－1＜2x＋3＜a＋1，
点拨对参变量a进行讨论，最后的结论不能合并．
【应用创新能力升级】
本节知识常在集合、函数、方程、解析几何等章节中应用，解题时要灵活运用数形结合、分类讨论、等价转换等数学思想，以使解题直观、简便．
6．含有多个绝对值符号的不等式的解法
方法1：利用绝对值的几何意义．如解不等式|x＋1|＋|x－2|＜3．
方法2：利用“零点”进行分段讨论，最后求并集．如上例，可分x≤－1，－1≤x≤2，x＞2三段分别去掉绝对值符号，然后求解．
思维整合
【重点】 |x|＜a与|x|＞a(a＞0)型不等式的解法；以及对|ax＋b|＜c(c＞0)转化为－c＜ax＋b＜c，|ax＋b|＞c(c＞0)转化为ax＋b＞c或ax＋b＜－c的理解．

含绝对值不等式的解法

备选题 2 解关于 x 的不等式 |3x-2|<2m-1(m∈R). ∈ 可讨论如下: 解: ∵m∈R, ∴可讨论如下 ∈ (1)当 2m-1≤0 即 m≤ 1 时, x 不存在当不存在; 2 (2)当 2m-1>0 即 m> 1 时, 原不等式等价于当 2 1-2m<3x-2<2m-1. 2m+1 解得 - 2m-3 <x< 3 . 3 综上所述, 当 m≤ 1 时, 原不等式的解集为 ∅; 当 m> 1 时, 综上所述 2 2 原不等式的解集为 (- 2m-3 , 2m+1 ). - 33
典型例题 3 3x 解不等式 | x2-4 |≤1. 3x 2 3x 解法二 | 2 |≤1⇔( 2 ) ≤1 ⇔ x -4 x -4 ⇔9x2≤(x2-4)2(x≠± ≠±2) ≠± ⇔x4-17x2+16≥0 ⇔x2≤1 或 x2≥16 ⇔x≤-4 或 -1≤x≤1 或 x≥4. ∴原不等式的解集为 (-∞, -4]∪[-1, 1]∪[4, +∞). ∪∪ ∞
学一学, 学一学练一练 x>0, 解不等式组 3-x 2-x >| x+2 |. 3+x x-3 2-x 3-x 3-x 2-x 解法一 3+x >| x+2 |⇔ 3+x < x+2 < 3+x . ⇔ x>0, ⇔ (3-x)(x+2)>(x-2)(3+x), (3-x)(x+2)>(2-x)(3+x). x>0, x>0, 2+x+6>x2+x-6, ⇔ ⇔ -x x2<6. -x2+x+6>-x2-x+6, ∴0<x< 6 . ∴原不等式组的解集为 (0, 6 ).

高考数学含绝对值的不等式的解法

f x gx f x gx或f x gx
a f x bb a 0 a f x b或 b f x a
3、不等式的解集都要用集合形式表示，不要使用不等式的形式。
例1、解下列不等式
1 2 3x 2 3x
A2（100）
B（x）
A5（400）
变式：数轴上有三个点A、B、C，坐标分别为-1，2， 5，在数轴上找一点M，使它到A、B、C三点的距离之和最小。
小结：
1、解关于绝对值的不等式，关键是理解绝对值的意义，掌握其基本类型。 2、解绝对值不等式有时要利用数形结合，利用绝对值的几何意义，结合数轴解决。
2 2 3x 5
3 x 2 3 2 x
定义法
同解变形
同解变形或数形结合同解变形平方法零点分析法同解变形
41 2 3x 4
5 x x 1
6 x 2 x 1 3
7 ax 2 2
例2、设 a 0，不等式 ax b c 的解集为
高三第一轮复习
含绝对值不等式的解法
1、绝对值的意义：
其几何意义是数轴的点A（a）离开原点的距离
OA a
a, a 0 a 0, a 0 a, a 0
2、含有绝对值不等式的解法：
（解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号）
（1）定义法；
（2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式；（3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（4）图象法或数形结合法；（5）不等式同解变形原理：
x 2 x 1，求 a : b : c
例3、若 x 2 x 1 a恒成立，求实数a的取值范围。

含绝对值不等式的解法规律

含绝对值不等式的解法规律含有绝对值的不等式解法可以分为以下三种情况：
情况一：绝对值函数的值大于等于零，即|a|≥0。

对于这种情况，不等式的解集就是所有满足条件的实数集，即解集为全体实数集R。

情况二：绝对值函数的值与另一函数的值比较，即|a|≤b或|a|≥b。

对于这种情况，我们需要将不等式转化为一个或多个不含绝对值的不等式。

具体的转化方法如下：
对于|a|≤b这种形式的不等式，可分为a≤b和-a≤b两种情况，即：
*当a≥0时，原不等式转化为a≤b；
*当a<0时，原不等式转化为-a≤b。

对于|a|≥b这种形式的不等式，可分为a≥b和-a≥b两种情况，即：
*当a≥0时，原不等式转化为a≥b；
*当a<0时，原不等式转化为-a≥b。

情况三：绝对值函数的值与另两个函数的值比较，即|a-b|≤c 或|a-b|≥c。

对于这种情况，我们同样需要将不等式转化为一个或多个不含绝对值的不等式。

具体的转化方法如下：
对于|a-b|≤c这种形式的不等式，可分为a-b≤c和b-a≤c两种情况，即：
*当a≥b时，原不等式转化为a≤b+c；
*当a<b时，原不等式转化为b-a≤c，即a-b≥-c。

对于|a-b|≥c这种形式的不等式，可分为a-b≥c和b-a≥c两种情况，即：
*当a≥b时，原不等式转化为a≥b+c；
*当a<b时，原不等式转化为b-a≥c，即a-b≤-c。

需要注意的是，在进行不等式的转化时，必须考虑绝对值内部的数值正负情况，以找到正确的不等式形式。