完全平方公式

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完全平方公式

第五节完全平方公式【知识要点】1．完全平方公式(a+b)2=a 2+2ab+b2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2特点：两个公式的左边都是一个二项式的完全平方，仅有一个符号不同；右边都是二次三项式，其中第一项与第三项是公式左边二项式中的一项的平方；中间一项是二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个符号不同.注意：公式中的a 、b 可以是数,也可以是单项式或多项式.2．完全平方公式的变形及推广：（1）()()[]()222b a b a b a +=+-=--； ()()[]()222b a b a b a -=--=+-；（2）()()22a b b a -=+-； ()()[]22c b a c b a +-=--；（3）()()ab b a ab b a b a 222222+-=-+=+； ()()ab b a b a 422-+=- 【典型例题】例1. 用完全平方公式计算(1)（3a+b ）2 (2) (-x+3y)2(3) (x-3y)2 (4) (5x-3y)2(5) 22)121(-x (6) (x+)2例2. 利用完全平方公式计算（1）1022 （2） 1972 （3） 9952 （4）452例3. 计算(看谁的方法更快更好！)(1)(2x-3y)2(2x+3y)2 (3) (x-y)(x+y)(x 2-y 2)* (2) (a-2b+3c)(a-3c-2b) * (4) (a+b+c)2例4．若2226100x x y y ++-+=，试求x ，y 的值.例5．已知：3,1a b ab +==，求 ①22a b + ②2()a b - ③22ab a b + ④11a b + ⑤b a a b+1．要使4x 2+mx+成为一个两数的和的完全平方式，则（）A.m=-2B.m=2C.m=1D.m=-12.若x 2+ax=(x+)2+b ，则a,b 的值是（） A.a=1,b= B.a=1,b=- C.a=2,b= D.a=0,b=-3.要使(a-b)2+M=(a+b)2成立，代数式M 应是（）A.2abB.-2abC.-4abD. 4ab4.若x 2+y 2=(x-y)2+p=(x+y)2-Q,则P ，Q 分别为（）A.P=2xy,Q=-2xyB. P=-2xy,Q=2xyC. P=2xy,Q=2xyD. P=-2xy,Q=2xy5.若m ≠n,下列等式中：(m-n)2=(n-m)2, (m+n)(m-n)=(-m-n)(-m+n), (m-n)2=-(n-m)2, (-m-n)2=-(m-n)2,其中错误的有（）A.1个B. 2个C.3个D.4个6.如果a+=3,则a 2+=( )A.5B.7C.9D.117.若x+y=3,x-y=1,则xy=8．（2a+3b ）2=4a 2+ +9b 2 (a+ )2=a 2+ +(a+b)2- =a 2+b 2 (a-b)2=(a+b)2 4ab9．已知：224250a b a b ++-+=则a b a b+-= * 10．15,a a +=则4221a a a++= 11. 已知(a+b)2=7,(a-b)2=4,求a 2+b 2和ab 的值.12．已知x+y=4，xy=－12求下列各代数式的值.（1）22x y + （2）22x y xy + （3）2()x y - （4）y x x y+1．计算：（1） (-a-2b)2（2） (x+2y)2（3） -(5x-2y)2（4） (2x-3y)(2x-3y)2．如果2249x mxy y ++是一个完全平方式，则m 的值是（）A ．6B ．±6C ．12D ．±123．已知2216x ax ++是一个完全平方式，则a 的值等于（） A ．8 B ．4 C ．±4 D ．±84．已知则014642222=+-+-++z y x z y x z y x ++的值为5. 计算：（1）5012 （2）99.82 (3) 9926. 利用完全平方公式计算： 221.23450.7655 2.4690.7655++⨯7. 已知a+b=3,ab=-12,求下列各式的值:(1) a 2+b 2 (2) a 2-ab+b2 (3) (a-b)2。

完全平方公式

• 口诀：首平方，尾平方，乘积两倍在中央，符号与前一个样
完全平方公式的图形理解
两数和的完全平方公式：
b a
ab
b²
(a+b)²
a²
2
ab
a b a + 2ab+ b
2
a
b
2
完全平方公式的图形理解
两数差的完全平方公式： b a ab (a-b)²
2
b2
(a+b)²
ab b
(a b)
括到括号里的各项都改变符号。
练一练
• 在下列括号内填上适当的项，使等式成立。 1) (x+2y-3)(x-2y+3) 2y-3 2y-3 =[x+(____)][x-(____)] 2) (2x-y-z)(2x+y-z) 2x-z 2x-z =[(____)-y][(____)+y]
算一算
• (x-3y+2)(x+3y-2)
例题
• 甲、乙两家商店在9月份的销售额为a万元，在 10月和11月这两个月中，甲商店的销售额平均每月增长x%，乙商店的销售额平均每月减少x%，问11月份甲商店的销售额比乙商店的销售额多多少万元？甲店销售额乙店销售额
a(1+x%)2 a(1-x%)2
a ab ab b 2 2 a 2ab b
2
a
2
例题1
(1) (3)
2 (2x+3y)
(2) (4)
2 (6x-5)
2 (-2x+y)
2 (-3x-2y)
例2 巧算
1) 1022 2) 9.82
判断并改正
(a b) a b

完全平方和平方差公式

平方差公式和完全平方公式（一）平方差公式是先平方再减a²-b²= (a+b)(a-b)。

（二）完全平方公式是先加减最后是平方(a±b)²=a²±2ab+b²。

（三）平方差公式是指两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差，这一公式的结构特征：（四）左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方差。

公式中的字母可以表示具体的数(正数和负数)，也可以表示单项式或多项式等代数式。

（五）该公式需要注意：1.公式的左边是个两项式的积，有一项是完全相同的。

2.右边的结果是乘式中两项的平方差，相同项的平方减去相反项的平方。

3.公式中的a，b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式。

完全平方公式指两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。

为了区别，会叫做两数和的完全平方公式，或叫做两数差的完全平方公式。

这个公式的结构特征：1.左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍；2.左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接；左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍（注：这里说项时未包括其符号在内）。

公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等数学式。

（六）该公式需要注意：1.左边是一个二项式的完全平方。

2.右边是二项平方的和，加上（或减去）这两项乘积的二倍，a和b 可是数，单项式，多项式。

3.不论是(a+b)2还是(a-b)2，最后一项都是加号，不要因为前面的符号而理所当然的以为下一个符号。

4.不要漏下一次项。

5.切勿混淆公式。

6.运算结果中符号不要错误。

7.变式应用难，不易于掌握。

完全平方公式

完全平方公式完全平方公式是学习数学中的一个重要定理，它能够帮助我们快速求解二次方程的根。

在本文档中，我们将解释完全平方公式的原理，并给出一些例子。

定义在代数学中，完全平方是指一个数可以写成另一个数的平方。

完全平方公式是通过将二次方程转化为一个完全平方的形式，以便更轻松地求解该方程的根。

公式对于二次方程ax2+bx+c=0，其中a,b,c是实数且a eq0，完全平方公式可表示为：$$ x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$公式中的$\\pm$ 表示可以取正号或负号，因此，二次方程的解可以有两个根，分别对应取正号和负号。

推导过程为了推导完全平方公式，我们先从一个完全平方的观点入手。

假设有一个完全平方(x+p)2，则展开得到：(x+p)2=x2+2px+p2如果我们将二次方程的通项表示成完全平方的形式，即ax2+bx，那么我们需要寻找一个p，使得2px=bx，然后再等式两边加上常数p2，这样就能得到完全平方公式的形式。

为了寻找p的值，我们可以观察下面的等式：$$ 2px = bx \\Rightarrow 2p = b \\Rightarrow p = \\frac{b}{2} $$将这个解代入(x+p)2，得到：$$ (x + \\frac{b}{2})^2 = x^2 + bx + \\frac{b^2}{4} $$现在我们已经得到了完全平方公式，最后一步是将常数项c纳入考虑。

为此，我们将等式右边的 $\\frac{b^2}{4}$ 替换为c，得到完全平方公式的最终形式：$$ x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$示例让我们通过几个例子来演示完全平方公式的应用。

例子1：求解x2+6x+9=0根据完全平方公式，我们可以找到a=1，b=6，c=9。

将这些值代入公式：$$ x = \\frac{-6 \\pm \\sqrt{6^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 9}}{2 \\cdot 1} $$简化后得到：$$ x = \\frac{-6 \\pm \\sqrt{36 - 36}}{2} = \\frac{-6}{2} = -3 $$因此，该二次方程的解为x=−3，它是一个重根。

因式分解(完全平方公式)

完全平方公式的形式
1 一般形式
对于平方三项式$ax^2 + bx + c$，完全平方公式的形式为$(mx + n)^2$。
2 m和n的计算
通过比较系数，我们可以确定m和n的值。具体计算步骤在下个部分介绍。
完全平方公式的用途
1 求解方程
通过因式分解和完全平方公式，我们可以解决一些复杂的二次方程。
因式分解(完全平方公式)
因式分解是将一个多项式拆分成两个或多个全新的多项式的过程。完全平方公式是因式分解中的一种重要工具，用于拆分平方三项式。
因式分解概述
因式分解是一种数学方法，用于将多项式拆分成简化形式。它有助于解决复杂的数学问题，并提供更深入的理解。
完全平方公式 (简介)
完全平方公式是因式分解中的一种特殊形式。它适用于拆分平方三项式，并帮助我们轻松地进行因式分解。
金融问题
在金融领域，完全平方公式可以帮助我们计算和分析复杂的财务模型。
结论和要点
完全平方公式是因式分解中一种重要的工具，它适用于拆分平方三项式。它可以用于解决方程，简化表达式，并应用于几何学、物理学和金融学等领域。
2 简化表达式
将多项式使用完全平方公式进行因式分解可以简化表达式，使其更易处理和计算。
完全平方公式示例
示例一
将$x^2 + 6x + 9$使用完全平方公式进行因式分解。
示例二
将$4x^2 - 4x + 1$使用完全平方公式进行因式分解。
完全平方公式计算步骤
1
Step 1
将多项式按照平方三项式的形式排列。
2
Step 2
确定m和n的值，使得(mx + n)^2等于原始多项式。

完全平方公式

完全平方公式具体来说，完全平方公式可以用于求解形如ax^2 + bx + c = 0的一元二次方程的解。

首先，我们来推导完全平方公式。

考虑一元二次方程ax^2 + bx + c = 0。

为了将其表示成一个平方的形式，我们可以将x的系数b除以2，并进行平方。

这样，我们得到(x + b/2a)^2展开得到(x+b/2a)^2=x^2+(b/2a)x+(b/2a)^2比较上式与原方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以看到，如果c可以表示为(b/2a)^2，那么方程就变成了一个平方。

因此，我们可以得到完全平方公式：ax^2 + bx + c = a(x + b/2a)^2 - (b/2a)^2 + c。

根据这个公式，我们可以将一元二次方程表示成一个完全平方形式。

接下来，我们来研究如何使用完全平方公式来解一元二次方程。

假设我们有一个一元二次方程ax^2 + bx + c = 0。

我们可以使用完全平方公式将其表示成(mx + n)^2 = 0的形式。

并且，根据等式的性质，我们可以得到mx + n = 0，进一步得到x = -n/m。

因此，我们可以得到一元二次方程的根的公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。

这就是我们通常所说的一元二次方程的根的公式。

通过这个公式，我们可以很方便地求解一元二次方程的根。

此外，完全平方公式也可以用于其他应用，如配方法、求和方法等。

在数学中，我们常常利用完全平方公式来简化计算和求解问题。

总结起来，完全平方公式是将一个一元二次多项式表示成一个平方的形式的公式。

通过完全平方公式，我们可以方便地求解一元二次方程的根。

此外，完全平方公式还有其他应用。

对于学习和理解一元二次方程以及相关数学问题具有重要的意义。

完全平方公式讲解

完全平方公式讲解完全平方公式是一种求解二次方程的方法，通常用于解决含有未知数的平方项和一次项的方程。

这个公式的公式表达形式为：$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$完全平方公式在数学中具有广泛的应用，可以用来解决一元二次方程、分解因式、证明等问题。

首先，我们可以考虑一个特殊的二次多项式：$$(x+a)^2$$这里，a 是一个常数。

根据分配律，我们可以展开该二次多项式：$$(x+a)(x+a)=x^2+ax+ax+a^2$$合并相同项得到：$$x^2+2ax+a^2$$我们可以观察到，这个二次多项式中的平方项（$x^2$）和常数项（$a^2$）是完全平方的结构。

而一次项的系数项（$2ax$）是两个a的乘积的两倍。

这就是所谓的完全平方。

根据以上的推导，我们得出了完全平方的一般形式。

接下来，我们将利用完全平方公式来解决一元二次方程的问题。

对于一元二次方程$$ax^2+bx+c=0$$其中a、b、c是已知实数常数。

我们将该方程两边移项，并利用一种变形技巧，将方程转化为完全平方的形式。

具体步骤如下：1. 将方程两边移项，使等式右边等于0，得到$$ax^2+bx=-c$$2.对于方程的左边，我们将其利用完全平方公式进行变形。

如果我们能找到一个常数k，使得左边可以变为$(x+k)^2$的形式，那么我们就可以利用完全平方公式直接求解。

3. 考虑到$(x+k)^2=x^2+2kx+k^2$，我们可以发现，当$b=2k$时，方程的左边可以写成完全平方形式。

4. 所以，我们可以得到方程$$ax^2+2kx+k^2=-c$$5.然而，我们不能直接将方程的右边变为k的平方形式，因为我们无法确切地知道k的值。

所以，我们需要做一个额外的变形。

6. 我们可以再次考虑方程的两边，得到$$ax^2+2kx+k^2+c=0$$7.现在，我们成功地将方程转化为一个完全平方的形式。

进一步观察，我们可以发现，左边的二次项是$x^2$的系数与$a$的乘积，一次项是$x$的系数与$2k$的乘积，常数项则是$k^2+c$。

完全平方公式讲解

完全平方公式讲解完全平方（perfectsquare）公式是数学中最重要的公式之一，它可以用于快速解决许多数学问题的解法。

它的用处非常广泛，由于它的实用性，它被广泛应用于学校，大学，实验室和工作岗位中。

完全平方公式有三种基本形式：一是把一个根号中的式子化简为一个完全平方；二是将一个简单的数学表达式转换为另一个完全平方；三是将一个复杂的数学表达式化简为一个完全平方。

首先，要讲解完全平方公式，先来讲解求根数的完全平方形式。

这种情况下，要求根数是将一个数x开方，例如求根162，就是求x=162的根号，其公式的形式为：y=a^2+bx+c由此可得：y=(a-b)^2 + 2ab + c，a,b,c是常数。

若要求根数，要满足 y=a^2+bx+c=0，那么可以得到x=(-b+(b^2-4ac))/2a，此就可以得到x的值，也就是我们要求的根数。

其次，要解释完全平方公式，要讲解如何将一个简单的数学表达式转换成另一个完全平方的形式。

以熟悉的表达式y= ax^2+ bx+ c为例，如果要将它化简成完全平方的形式，可以这样做：令y=(ax+b)^2+c，y=a^2x^2+2axb+b^2+ c，令a^2=d，d减去b^2就是c的值，最后可以得到y=(ax+b)^2+d-b^2，也就是常见的完全平方形式。

最后，要讲解完全平方公式，要讲解如何将一个复杂的数学表达式化简为完全平方。

在这种情况下，我们通常会使用一些数学方法，根据原数学表达式的结构，把它分解分解成多个部分，每一部分作为一个完全平方求解，最后把这些部分综合起来，就可以得到一个完全平方的表达式。

总之，完全平方公式是一种非常有用的数学工具，它可以帮助我们快速解决许多数学问题。

通过对它的正确使用，我们可以提高我们的解题能力，从而获得更好的成绩。

完全平方公式8种变形

完全平方公式8种变形完全平方公式是数学中一个重要的公式，它可以帮助我们求解一元二次方程的解，进而解决一些实际问题。

在学习完全平方公式时，我们不仅要熟记其基本形式，还需要了解其一些变形，以便更灵活地应用于解题过程中。

下面将介绍完全平方公式的8种变形，希望对大家的学习有所帮助。

1. 标准形式变形：完全平方公式的标准形式是：(a+b)²=a²+2ab+b²。

我们可以将其变形为：a²= (a+b)²-2ab-b²，这种变形可以帮助我们从平方项和常数项中提取出待求解的项。

2. 差平方变形：我们可以将完全平方公式改写为：(a-b)²=a²-2ab+b²。

这种变形用于需要处理差平方的情况，可以减少计算过程中的错误。

3. 完全平方差变形：如果我们遇到一个二次方程的形式是a²-b²=0，可以利用完全平方公式的变形来求解。

变形后的形式为(a+b)(a-b)=0，我们可以得到a+b=0或a-b=0，从而求得方程的解。

4. 半平方变形：在一些问题中，我们可能会遇到一个二次方程的形式是a√x+b=0。

我们可以将其改写为：(√x)²=-(b/a)，通过对等式两边开方并得到x的值，从而解决问题。

5. 配方法变形：配方法是解决一元二次方程的一种常用方法，我们可以将完全平方公式进行配方法的变形。

变形后的形式是(a+b)²-c²=(a+b+c)(a+b-c)，通过将多项式相加相减从而得到解。

6. 两边取平方根变形：当我们遇到一个二次方程的形式为a²=c²时，可以将完全平方公式应用于此。

变形后的形式是：a=±√c²，通过对两边同时取平方根，我们可以得到a的值。

7. 合并同类项变形：在解决一些复杂的方程时，我们可能会遇到一些多项式的平方和。

我们可以将其中的一些同类项合并，从而简化计算过程。

完全平方公式的定义

完全平方公式的定义
完全平方公式是一种有用的数学工具，可以用来解决多个方程。

它是一个常见的抽象表示形式，由四个变量X、a、b、c和d组成，它的表达式为：X^2+aX+b=cX+d。

这里的X表示一个未知数，a、b、c和d分别表示四个常数。

如果所有变量都是定值（即a,b,c和d都是非零常数），则将上述公式视为一元二次方程（也就是完全平方方程）。

在求解它时，首先必须将它化成一般形式ax²+bx+c=0。

然后应用平方根公式（即X=−b±√b²−4ac2a）来解决这个问题。

此外，如果该方程有不止一个根（即b²-4ac是正数时），则要考虑所有根的情况。

对于复杂的多项式问题来说，使用完全平方公式能够很好地减少问题的复杂度。

例如在求解三次多项式中的根时可以将三次多项式化成三个不含x³成分的完全平方形式。

考虑到这些优势和特性，它成为了很多学生和工作者在数学中使用的一个重要工具。

完全平方公式知识点

完全平方公式知识点完全平方公式是高中数学中常用的一个重要公式，它在解决二次方程相关问题时起到了关键作用。

它的形式为：若a是实数，那么二次方程ax^2+bx+c=0的解为x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。

完全平方公式的应用范围很广泛，涉及到解方程、求根、求解问题等多个方面。

接下来我们将从不同角度来讲解完全平方公式的相关知识点。

一、完全平方公式的推导过程完全平方公式的推导过程相对简单，我们可以通过配方法将二次方程化简为完全平方的形式，从而得到该公式。

具体推导过程如下：对于二次方程ax^2+bx+c=0，我们可以通过配方法将其化简为(a·x^2+b·x+c)=a(x^2+(b/a)·x+(c/a))=a((x+(b/2a))^2-(b/2a)^2+c/a)=a(x+(b/2a))^2+(c-b^2/4a)。

由此可得，原二次方程的解为x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。

二、完全平方公式的含义和应用完全平方公式的含义在于，它可以将一个二次方程转化为一个完全平方的形式，使得求解过程更加简便。

在实际应用中，完全平方公式常被用来求解二次方程的根，解决与二次方程相关的各种问题。

1. 求解二次方程的根完全平方公式可以帮助我们求解任意形式的二次方程的根。

通过将二次方程化简为完全平方的形式，我们可以直接得到方程的解。

2. 求解几何问题在几何问题中，完全平方公式也有重要的应用。

例如，求解一个矩形的对角线长度时，我们可以将其转化为一个二次方程，并利用完全平方公式求解。

3. 解决实际问题完全平方公式不仅仅在数学问题中有应用，它还可以帮助我们解决一些实际问题。

例如，在物理学中，通过将一些物理量表示为二次方程的形式，再利用完全平方公式求解，可以得到一些有用的结果。

三、完全平方公式的注意事项在应用完全平方公式时，我们需要注意以下几点：1. 判断二次方程是否适合使用完全平方公式。

完全平方公式

完全平方公式知识要点1．完全平方公式的推导： ①两数的平方：2)(b a +=))((b a b a ++=22b ab ab a +++（多项式乘法法则）=222b ab a ++（合并同类项） ②两数差的平方：2)(b a -=))((b a b a --=22b ab ab a +--（多项式乘法法则）=222b ab a +-（合并同类项） 2．完全平方公式：①2)(b a +=222b ab a ++ ②2)(b a -=222b ab a +-这就是说，两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或者减去）它们的积的2倍，这两个公式叫做乘法的完全平方公式．3．完全平方公式的结构特征：公式的左边是一个二项式的平方；右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，即另一项是左边二项式中两项乘积的2倍． 4．知识的综合运用：①改变符号运用公式计算：如2)(b a --=[]2)(b a +-=2)(b a + ②根据加减法的运算律变形运用公式：如2)(b a +-=2)(a b - ③利用完全平方公式把代数式变形：如ab b a b a 2)(222-+=+=2)(b a -+ab 2；2)(b a -=ab b a 4)(2-+等④推广：[]22)()(c b a c b a ++=++=22)(2)(c c b a b a +++++=222222c bc ac b ab a +++++=bc ac ab c b a 222222+++++典型例题例1．判断下列各式的计算是否正确，如果错了，指出错的地方，并把它改正过来． ①222)())((b a b a b a b a +=+=++ ②222)(b a b a -=-③2)3(y x -=2293y xy x +- ④222244)2()2(b ab a b a b a ---=+-=--⑤212)1(22++=+xx x x ⑥22241025)25(y xy x y x +-=--例2．计算： ①2)3(b a + ②2)3(y x +- ③2)(n m --例3．利用完全平方公式进行计算： ①2201 ②299例4．要使4142++mx x 成为一个两数和的完全平方式，则（）A 、2-=mB 、2=mC 、1=mD 、1-=m例5．已知3=+b a ，12-=ab ，求下列各式的值．①22b a + ②22b ab a +-③2)(b a -例6．计算下列各式： ①2)241(y x +- ②22)3()3(y y --+ ③2)2(b a +-例7．计算： ①2)(c b a +- ②2)312(+-y x例8．如果y x ,满足0)(22=++-y x x ，求x y 的值．1．填空：①+=-22)3(x x +9 ②+2a +4=2)2(+a ③++a a 62 =2)5(+a ④2244b ab a +-=（）22．计算： ①2)43(y x +- ②)211)(141(a a +--③2)52(n m +3．如果2642b ab M a +∙-是一个完全平方式，则M 等于（） A 、8B 、8±C 、16±D 、32±4．用完全平方公式计算： ①2204 ②22985．若5=+y x ，2=xy ，求22y x +6．已知b a b a 42522+=++，b a 53-求的值．7．用完全平方公式计算下列各题： ①2)74(-+y x ②2)(z y x ++③2)132(+-b a ④2)7(+-n m1．填空：（1）16x 2－8x+_______=（4x －1）2；（2）_______+6x+9=（x+3）2；（3）16x 2+_______+9y 2=（4x+3y ）2；（4）（a －b ）2－2（a －b ）+1=（______－1）2．（5）+=+229)3(n m n +2m （6）=++229124y xy x （）2 （7）+2a +25=2)5(+a （8）x 2- 6xy+ =（）22．用简便方法计算： ①2301 ②24993．计算下列各题： ①2)65(y x - ②2)83(b a + ③2)62(-+n m4. 有个多项式的前后两项被墨水污染了看不清，已知它的中间项是12xy ，•且每一项系数均为整数，请你把前后两项补充完整，使它成为一个完全平方式，•并将它进行因式分解．你有几种方法？多项式：■+12xy+■=（）25. 若代数式m 2+4加上一个单项式后可构成一个完全平方式，求这个单项式（要求至少写出两个）．。

完全平方公式讲解

完全平方公式讲解完全平方公式是数学中重要的基本定理，它可以将复杂的高等数学问题简化成简单的形式。

它通过分解复数式，使得许多数学问题变得简单明了，也可以用于求解非线性方程，是一个必不可少的数学理论的重要组成部分。

完全平方公式的定义：如果a和b是整数，那么a的完全平方公式表示为：a2 + b2 = c2，其中c也是一个整数。

这里的a和b是两个不同的整数，而c是由a和b构成的两个不同数字的和。

完全平方公式的算法：1.于两个不同的整数a和b，将它们求和，即a+b，然后将该和平方，即（a+b）2。

2.该平方值减去a2和b2，求出它们的差值，即（a+b）2 - a2 - b2。

3.后，根据此差值，结合a和b的值，求出c的值，即a2 + b2 = c2，即 c =（a2 + b2）。

完全平方公式的应用：1.以用完全平方公式来求解非线性方程，即求解x2+2x+1=0，在这个例子中，它可以转化为x2+2x= -1，那么用到完全平方公式，即x2+2x+1=0可以求得x=-1±√2。

2.全平方公式还可以帮助我们解决类似于a2+b2+c2+d2的多项式的求根问题。

例如：a2+b2+c2+d2=3，那么用到完全平方公式，可以求得a2+b2=3-c2-d2，即a2+b2=1，这样就可以把这个问题转变成一个完全平方的求根问题。

3.全平方公式还可以用来解决类似于a2+2ab+b2=c2+2cd+d2的多项式方程。

例如，a2+2ab+b2=4，c2+2cd+d2=9，那么可以分别求出a2，b2和c2，d2，即a2=2，b2=2，c2=7，d2=7，从而求出a，b，c，d的值。

完全平方公式是数学中重要的基本定理，它可以将复杂的高等数学问题简化成简单的形式，给予解决数学问题带来极大的便利，是研究数学理论的最佳工具之一。

它的应用非常广泛，几乎可以用于各种数学问题的解决，也可以用来解决复杂的非线性方程，对于提高数学水平有重要的意义。

完全平方公式推导公式

完全平方公式推导公式
完全平方公式是一种用于因式分解的数学公式，用于将一个二次多项式因式分解为两个一次多项式的乘积。

假设我们有一个二次多项式 ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是实数且a ≠ 0。

完全平方公式的表达式为：
ax^2 + bx + c = (mx + n)^2。

其中 m 和 n 是实数。

要推导完全平方公式，我们可以按照以下步骤进行：
1. 将二次项系数 a 除以 2，并记为 m，即 m = b/2a。

2. 将 m 带入完全平方公式的形式中得到 (mx + n)^2。

3. 展开 (mx + n)^2，得到 mx^2 + 2mnx + n^2。

4. 将 mx^2 + 2mnx + n^2 与原始的二次多项式 ax^2 + bx +
c 进行比较，得到以下等式：
ax^2 + bx + c = mx^2 + 2mnx + n^2。

通过比较系数，我们可以得到以下结果：
a = m.
b = 2mn.
c = n^2。

5. 根据以上结果解出 n，得到n = √c。

6. 将 n 带入 b = 2mn 中，解出 m，得到m = b/2√c。

因此，我们得到了完全平方公式的推导过程，即：
ax^2 + bx + c = (mx + n)^2。

其中 m = b/2a，n = √c。

这就是完全平方公式的推导过程，它可以帮助我们将二次多项式因式分解为两个一次多项式的乘积。

完全平方公式8种变形

完全平方公式8种变形完全平方公式是高中数学中的重要内容，它为我们解决二次方程、求解平方根提供了便利。

根据完全平方公式，我们可以将任意一元二次方程化为二次项的平方形式，从而更加方便地求解。

以下是完全平方公式的8种变形和其应用。

首先，回顾一下完全平方公式的表达式：对于一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$，其中 $a \neq 0$。

其完全平方公式为$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.1. $ax^2=0$ 的解是 $x=0$。

这是因为在这种情况下，方程就是$ax^2=0$。

2. $ax^2=b$ 的解是 $x=\pm \sqrt{\dfrac{b}{a}}$. 当方程为$ax^2=b$ 时，我们可以通过完全平方公式得到这个解。

首先将方程化简为 $ax^2-b=0$，然后代入公式，就可以求解出 $x$ 的值。

3. $(x-h)^2=k$ 的解是 $x=h \pm \sqrt{k}$. 这是因为对于方程$(x-h)^2=k$，我们可以将其展开为 $x^2-2hx+h^2-k=0$，然后应用完全平方公式。

4. $ax^2+bx=0$ 的解是 $x=0$ 和 $x=-\dfrac{b}{a}$. 此时，我们可以将方程化为 $ax^2 +bx = x(ax+b) = 0$，然后应用完全平方公式。

5. $ax^2+bx+c=d$ 的解是 $x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4a(c-d)}}{2a}$. 在这种情况下，我们可以将方程化为 $ax^2+bx+c-d=0$，然后应用完全平方公式进行求解。

6. $ax^2+bx+c = 0$ 的解是 $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$. 这是完全平方公式的基本形式，也是我们最常见到的形式。

7. $ax^2 + c = 0$ 的解是 $x = \pm \sqrt{-\dfrac{c}{a}}i$. 当方程为 $ax^2 + c = 0$ 时，我们可以将其变形为 $ax^2 = -c$，然后应用完全平方公式进行求解。

完全平方公式变形公式

完全平方公式变形公式【实用版】目录1.完全平方公式的概念2.完全平方公式的变形公式3.完全平方公式和变形公式的应用正文1.完全平方公式的概念完全平方公式是指一个二次方程形如 $x^2 + 2ax + a^2$，其中$a$ 是常数，可以通过完全平方公式进行因式分解。

完全平方公式的因式分解形式为 $(x + a)^2$。

这个公式在代数运算中具有重要的作用，可以将一个二次方程简化为一个一次方程，从而方便求解。

2.完全平方公式的变形公式完全平方公式的变形公式是指将完全平方公式稍作变化，得到其他形式的因式分解公式。

常见的完全平方公式变形公式有以下两种：(1) 平方差公式：$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ 和 $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。

这两个公式将二次方程 $x^2 - 2ax + a^2$ 和 $x^2 + 2ax + a^2$ 分别进行因式分解，得到 $(a - b)^2$ 和 $(a + b)^2$。

(2) 完全平方和公式：$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$ 和 $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$。

这两个公式将二次方程 $x^2 + 2ax + a^2$ 和 $x^2 - 2ax + a^2$ 分别进行因式分解，得到 $(a + b)^2$ 和 $(a - b)^2$。

3.完全平方公式和变形公式的应用完全平方公式和变形公式在代数运算中有广泛的应用，例如求解二次方程、化简复杂的代数式等。

通过运用完全平方公式和变形公式，可以将复杂的代数式简化为更容易理解和求解的形式。

例如，对于二次方程 $x^2 + 2ax + a^2 = 0$，我们可以直接运用完全平方公式得到 $(x + a)^2 = 0$，从而解得 $x = -a$。

再如，对于代数式 $x^2 - 2ax + a^2 - b^2$，我们可以运用平方差公式将其分解为 $(x - a + b)(x - a - b)$，从而将复杂的代数式化为两个一次方程的乘积，便于求解。