置 换 问 题
置换问题
置换问题数学天地知识广角在古代，没有发明衡器及货币，人们需要什么东西，不是去市场上买，而是以物换物，这就是“置换”的由来及早期应用。
“置换”是解决问题常用的一种思维方式。
在有些问题中，要求两个或两个以上未知量，解答时，可以先分析这些未知量之间的相等关系，根据它们之间的相等关系，用一种未知量来置换其他的未知量，从而找到问题的答案。
问题解决例1 光明小学的李老师去文具店买了同样的4支钢笔和9支圆珠笔共付了24元，已知买2支钢笔的钱可买3支圆珠笔，两种笔各多少钱一支？例2 妈妈买回2.5千克苹果和2千克桔子共花去9.60元，已知每千克苹果比每千克桔子贵0.6元，这两种水果的单价各是多少元？例3 学校买来4张桌子和9把椅子，共用去504元，已知1张桌子和3把椅子的价钱相等，每张桌子、每把椅子各多少元？例45个空瓶可以换回1瓶汽水，某班同学喝了161瓶汽水，其中有一些是用剩下来的空瓶换的，那么他们至少要买多少瓶汽水？例5甲、乙、丙三人，甲的年龄比乙的2倍还大3岁，乙的年龄比丙的2倍小2岁，三个人的年龄之和是109岁，问：三个人各几岁？例6 A、B、C三种货物，甲购A物3件，B物5件、C物1件，共付款20元；乙购A物4件、B物7件、C物1件，共付25元；丙购A、B、C物各1件。
应付多少元？数学冲浪知识技能广场1、1只小猴重4千克，是2只小兔的重量，3只小兔的重量等于6只小猫的重量，那么一只小猫重（）千克。
2、1头象的重量等于4头牛的重量，1头牛的重量又等于3匹小马的重量，而1匹小马的重量刚好等于4只小猪的重量，那么1头象的重量等于（）只小猪的重量。
3、30只小鸡可以换2只大鸡，16只大鸡可以换2只羊，9只羊可以换3头猪，15头猪可以换（）小鸡。
4、学校买排球6个、篮球4个共付出192元，买2个篮球的钱可以买3个排球，篮球每个（）元。
5、老张买2千克苹果、3千克桔子共付出19.2元，如果他少买1千克苹果，就可以多买1.5千克千克桔子，苹果每千克是（）元。
文章段落互换问题怎么答
段落互换问题怎么答首先，了解有关段落的内容。
这是辨析段与段顺序的基础，唯有了解有关段落各写了什么内容，方能从内容上去分析它们之间的内在联系，进而理解两段的安排顺序为什么不能颠倒。
2000 年中考语文阅读理解试题，要求回答《沙尘暴敲响了警钟》一文的第④段不能与第③段互换位置的理由。
认真阅读第③段后，便知该段是写导致沙漠化迅速扩张的多种原因：气候异常，毁林毁草开荒，乱采滥挖，草原过度放牧，植被遭到严重破坏、生态环境日益恶化。
再阅读第④段，第④段也是写导致沙漠化迅速扩张的原因，我们从该段的中心句“沙尘暴骤起的主因之一，在于草原过度放牧而导致沙漠化迅速扩张”可以明白，第④段是写第③段所提到的多种原因中的一个原因。
再从③、④两段是如何写原因的这一角度来看，第③段是总写，第④段则是具体剖析其中的一个原因，两者是总分关系，据此，两段位置不能互换的道理也就清楚了。
其次，理清段落之间的结构。
辨析段落位置不能互换的理由，除了上面所述的从内容上加以思考外，还应从结构上去进行理解。
理清段落之间的结构关系，不能将阅读的视野囿于题干所提到的两个段落上，应该从全文，特别是邻近的有关段落上去进行思考、分析。
仍以2000 年中考题为例，我们认真阅读题干后，可以发现试题的问法颇有讲究，试题要求回答第④段与第③段不能互换位置的理由。
同时，我们在分析时应将重点放在第④段上。
第④段的邻近段落是③、⑤两段，第③段是题目中涉及的段落，上文已作了分析，所以，有必要对第⑤段作一分析。
第⑤段是紧接着第④段而写的，第⑤段的段首有个句子：“…羊绒业是生态环境的绞刑架。
‟这句话确有警示感，但它还未道出问题的实质。
”这是个起承上启下作用的句子，它与第④段有密不可分的关系，是对第④段内容的总结，因此，第④段必须在第⑤段之前，若④、③两段互换后，则第⑤段与第④段就脱节了。
第三，把握段落之间的关系段落之间有各种关系，如总分关系、承接关系、因果关系、递进关系等，辨析段落安排的顺序，必须把握段落之间的关系。
电学压轴之电阻电源的替换问题
电学压轴之电阻电源的替换问题1．在如图（a）所示的电路中，电源电压为6伏且保持不变，电阻R1的阻值为20欧，滑动变阻器上标有“50Ω2A”字样。
闭合开关，当变阻器滑⽚位于某位置时，电流表的示数为0.2安。
求：①此时R1两端的电压U1。
②现⽤电阻R0替换电阻R1，闭合开关，当变阻器滑⽚位于某位置时，电压表的示数如图（b）所示，移动滑动变阻器滑⽚到另⼀位置，电流表的示数如图（c）所示。
求替换电阻R0的阻值范围。
2．如图所示，电源电压为12V，灯L上标有“12V0.3A”（12V表示灯泡正常发光时的电压，0.3A表示正常发光时通过灯泡的电流），定值电阻R1的阻值为10Ω，滑动变阻器R2上标有“50Ω1A”。
闭合S1、S2，灯L正常发光。
电流表、电压表的量程分别为0～3A，0～15V，求：（1）灯正常发光时的电阻；（2）断开S1、S2，电流表、电压表的量程分别为0～0.6A，0～15V，滑动变阻器允许连⼊的阻值范围。
（3）断开S1、S2，⽤⼀个新的电源去替代原来的电源，电流表、电压表的量程分别为0～0.6A，0～3V．移动滑动变阻器的滑⽚过程中，要求两个电表先后均能达到满刻度，且电路正常⼯作。
求允许替换电源的范围。
3．如图甲所示，电源电压为12V且保持不变，灯泡L标有“6V3W”的字样（灯丝电阻不变），滑动变阻器上标有“50Ω，0.5A“字样。
当只闭合S1时，电阻R0的电功率为P0，电流表的示数为I1；当再闭合S2时，电阻R0的电功率为P0′，电流表的示数为I2。
已知P0：P0′＝9：16，电压表前后两次示数之⽐为3：2。
求：（1）灯丝电阻为多少？（2）I1：I2＝？（3）R0的阻值为多少？（4）当S1和S2都闭合时，⽤⼀个新的电阻R2代替R0，且电流表的量程为0﹣0.6A，电压表的量程为0﹣3V，要求：在移动滑动变阻器的滑⽚的过程中，电流表和电压表的指针均能达到图⼄所示位置，且电路中各元件均能正常⼯作，求R2的阻值范围。
初中数学：直角坐标系中矩形的变换问题
初中数学：直角坐标系中矩形的变换问题1、平移+旋转+翻析例1、如图1-①，以矩形OABC的两边OA和OC所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，A点的坐标为（3，0），C点的坐标为（0，4），将矩形OABC绕O点逆时针旋转，使B点落在y轴的正半轴上，旋转后的矩形为、BC、相交于点M。
（1）求点的坐标与线段的长；（2）将图1-①中的矩形沿y轴向上平移，如图1-②，矩形是平移过程中的某一位置，、相交于点，点P运动到C点停止，设点P运动的距离为x，矩形与原矩形OABC重叠部分的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）如图1-③，当点P运动到点C时，平移后的矩形为，请你思考如何通过图形变换使矩形与原矩形OABC重合，请简述你的做法。
分析：第（1）问由勾股定理得的长，从而求出点的坐标，已知线段OC的长，继而求出线段的长。
第（2）问在矩形的整个平移过程中，矩形与原矩形OABC重叠图形由四边形（当点从开始位置平移到矩形OABC的边BC上时）变为三角形（当点从矩形OABC的边BC上到运动停止时），求出对应图形在对应条件下自变量x的取值范围及重叠部分的面积。
第（3）问具有开放性，可直接通过图形沿某一条直线翻折得到，或先旋转再平移得到，或先旋转再翻折得到，或先平移再旋转得到。
解：（1）如图1-①，因为，所以点的坐标为（0，5）。
（2）在矩形沿y轴向上平移到P点与C点重合的过程中，点运动到矩形OABC的边BC上时，求得P点移动的距离。
当自变量x的取值范围为时，如图1-②，由△∽△，得，此时，，即，当自变量x的取值范围为时，求得。
（3）①把矩形沿∠的角平分线所在直线对折。
或②把矩形绕C点顺时针旋转，使点与点B重合，再沿y轴向下平移4个单位长度。
或③把矩形绕C点顺时针旋转，使点与点B重合，再沿BC所在的直线对折。
或④把矩形沿y轴向下平移4个单位长度，再绕O点顺时针旋转，使点与点A重合。
2、旋转例2、如图2，在平面直角坐标系xOy中，把矩形COAB绕点C顺时针旋转角，得到矩形CFED。
小学五年级数学—巧解置换问题
1袋大米的重量=2袋面粉
一辆卡车载300袋大米和1300 袋面粉。
3×200=600(袋) 300袋大米相当于600袋面粉。
一辆卡车载300袋大米和1300 袋面粉。
600+1300=1900(袋) 这辆卡车一共可以载1900袋面粉。
现在卡车上已载有400袋 大米。
1袋大米=2袋面粉
4×200=800(袋) 现在卡车上已载有400袋大米转换 成面粉共800袋。
18-3=15(小时) 这件工作还需要乙做15小时就可以完成。
5. 买4个气球和5张贺卡共用 14元，买同样的5个气球和4张 贺卡共用13元，一个气球和一 个贺卡分别多少元？
通过分析可以得到： 4个气球+5张贺卡=14元 5个气球+4张贺卡=13元
题中两组已知条件进行 对比，多买1个气球少买 1张贺卡，少付1元钱。
这辆卡车一共可以载1900袋面粉。
1900-800=1100(袋) 这辆卡车最多可以再载1100袋面粉。
7. 小明买了3千克水果和4千克 奶糖,共用去84元。已知3千克奶 糖的价钱与4千克水果糖的价钱 一样多。每千克奶糖各多少元？
通过分析可以得到： 3千克水果糖+4千克奶糖=84元
4千克水果糖的价钱=3千克奶糖
题中两组已知条件进行对比，两个等 式要有关联，可将第一个等式两边同 乘以4，第二个等式两边同乘以3。
336÷25=13.44(元) 每千克奶糖13.44元。
25千克奶糖=336元
9千克奶糖+16千克奶糖=336元
4×3千克水果糖+4×4千克奶糖=4×84元 3×4千克水果糖的价钱=3×3千克奶糖
置换问题主要是研究把有数量关系的两种数量转 换成一种数量，从而找到解题方法的一类典型应 用题。
二年级小学生数学题类型分析(附练习题)
二年级小学生数学题类型分析（附练习题）一、置换问题题中有二个未知数，常常把其中一个未知数暂时当作另一个未知数，然后根据已知条件进行假设性的运算。
其结果往往与条件不符合，再加以适当的调整，从而求出结果。
例：一个集邮爱好者买了10分和20分的邮票共100张，总值18元8角。
这个集邮爱好者买这两种邮票各多少张?分析：先假定买来的100张邮票全部是20分一张的，那么总值应是20×100=2000(分)，比原来的总值多2000-1880=120(分)。
而这个多的120分，是把10分一张的看作是20分一张的，每张多算20-10=10(分)，如此可以求出10分一张的有多少张。
列式：(2000-1880)÷(20-10) =120÷10 =12(张)→10分一张的张数100-12=88(张)→20分一张的张数或是先求出20分一张的张数，再求出10分一张的张数，方法同上，注意总值比原来的总值少。
二、盈亏问题(盈不足问题)题目中往往有两种分配方案，每种分配方案的结果会出现多(盈)或少(亏)的情况，通常把这类问题，叫做盈亏问题(也叫做盈不足问题)。
解答这类问题时，应该先将两种分配方案进行比较，求出由于每份数的变化所引起的余数的变化，从中求出参加分配的总份数，然后根据题意，求出被分配物品的数量。
其计算方法是：当一次有余数，另一次不足时：每份数=(余数+不足数)÷两次每份数的差当两次都有余数时：总份数=(较大余数-较小数)÷两次每份数的差当两次都不足时：总份数=(较大不足数-较小不足数)÷两次每份数的差例：学校把一些彩色铅笔分给美术组的同学，如果每人分给五支，则剩下45支，如果每人分给7支，则剩下3支。
求美术组有多少同学?彩色铅笔共有几支?(45—3)÷(7-5)=21(人) 21×5+45=150(支)三、年龄问题年龄问题的主要特点是两人的年龄差不变，而倍数差却发生变化。
小升初数学专项题。鸡兔同笼问题
小升初数学专项题。
鸡兔同笼问题本文介绍鸡兔同笼问题，也称置换问题。
这类应用题常常把问题中的一个未知数假定为已知的，然后根据题目中的已知条件推算，其结果常与题目对应的已知数不符，再加以适当调整，就可以求出结果。
基本数量关系式有两种：（1）假设全是鸡，兔的只数=（总腿数－总头数×2）÷2，鸡的只数=总头数－兔的只数；（2）假设全是兔，鸡的只数=（4×总头数－总腿数）÷2，兔的只数=总头数－鸡的只数。
典型例题1是一个鸡兔同笼问题，假设全是兔子，那么就有48×4=192只脚，这就比已知的100只脚多出了192-100=92只脚，因为1只兔比1只鸡多4-2=2只脚，由此即可求得鸡的只数，进而求得兔的只数。
答案是鸡有46只，兔子有2只。
巩固练1是一个邮票问题，___正好用20元钱买了2元的邮票和5角的邮票，一共16张，问这两种邮票各有多少张？巩固练2是一个鸡兔同笼问题，鸡和兔的数量相同，两种动物的腿加起来共有168条，鸡和兔各有多少只？典型例题2是另一个鸡兔同笼问题，鸡比兔多10只，但鸡脚却比兔脚少60只，问鸡兔各多少只？设兔有x只，则鸡有（10+x）只，根据等量关系：兔的脚数-鸡的脚数60只列方程解答即可。
答案是鸡有50只，兔有40只。
知识梳理总结了问题类型与解决方法：（1）已知总头数和总脚数，求鸡、兔各多少；（2）已知鸡、兔的数量和腿的总数，求鸡、兔各多少；（3）已知鸡、兔的数量和脚的总数，求鸡、兔各多少。
解决这类问题的关键是假设之后，多出脚数与对应的鸡的只数的关系。
7.假设鸡的数量为x只，兔的数量为150-x只，那么鸡脚的总数为2x只，兔脚的总数为4(150-x)只，根据题意可列出方程：4(150-x)-2x=60，解得x=50，即鸡有50只，兔有100只。
答案】鸡有50只，兔有100只。
8.假设每辆小卡车装载x吨钢材，那么每辆大卡车装载(x+8)吨钢材。
置换问题——精选推荐
第五节置换问题置换问题又称“鸡兔问题”、“假设问题”，它的一般结构特点是：已知两类物品的单价、总数和总价，求这两类物品各是多少。
解题时从假定的条件进行分析，从而求出题目的未知数。
通过假定的某个条件或某种现象成立，则发生了与题目条件不同的矛盾和差异，从而找出差异原因，消除差异，使问题得到解决，这种解题思路称为假设。
解题方略先假设要求的两个未知量是同一种量，求出他们的总价与实际总价的差，再用另一类（乙类）物品去调换某一类（甲类）物品，调换的次数就是乙类物品的个数。
置换问题的基本数量关系式：（假定全部为高价物物品的总价-实际总价）÷两类物品单价之差=低价类物品（实际总价-假定全部为低价物物品的总价）÷两类物品单价之差=高价类物品物品总数-高价物品数=低价物品数物品总数-低价物品数=高价物品数通常所说的鸡兔问题就属于这类问题，它的数量关系是：（兔腿数×总数-总腿数）÷（兔腿数-鸡腿数）=鸡数（总腿数-鸡腿数×总数）÷（兔腿数-鸡腿数）=兔数例题解析：例1、现有一笼鸡和兔，数头共12个，数脚32只，问鸡兔各几只？解析：首先我们先来借助图示来分析理解：根据题意，先用“画出鸡兔的总只数12只。
再给每个身体画出两条腿。
数一数图中共有24条腿，比已知32条褪少32-24=8条腿，因为每只兔有4条腿，而图中画的都是两条腿的鸡，就要给每只鸡填上4-2=2条腿，填上两条腿的“鸡”就“变”成了兔。
剩余的8条腿可以给4只“鸡”“变”成兔，那么鸡就有12-4=8（只）。
在这里也可以全部画成成4条腿的兔，腿数会比实际腿数多，多几个腿数差，就在几只“兔”去掉几个腿数差，到腿数与题中腿数和相同，就可以求出鸡兔的只数。
虽然图示法比较直观，我们能很容易求出鸡兔的数量，题中但数量较多、较复杂时用这种方法就时比较麻烦。
我们可以用假设法来求这样问题。
从已知的12个头，可得鸡、兔共有12只，我们又知道每只鸡有2只脚，而每只兔有4只脚，假设笼中有12只鸡，那么应该有12×2=24（只）脚，而实际上笼中共有32只脚，少了32-24=8（只）脚，原因是我们的假设把笼中的兔子也算做了鸡，每只兔少算了4-2=2（只）脚，所以剩余的脚数包含有几个鸡兔腿数差，就有几只（2脚）鸡“变”为（4脚）兔，兔子应当有8÷2=4（只），从而实际上鸡只有12-4=8（只），列综合算式为：（32-12×2）÷（4-2）=4（只）…………兔子数12-4=8（只）…………鸡数答：笼中有兔4只，鸡8只。
三年级排列问题练习题
三年级排列问题练习题在三年级数学学习中，排列问题是一个常见的练习题类型。
通过解答这些问题，学生可以培养逻辑思维和数学计算能力。
本文将给出一些三年级排列问题的练习题，帮助学生进行巩固和提高。
1. 小明有3个不同的糖果，他要将这3个糖果排成一排。
问他一共有多少种不同的排列方式？解析：我们可以用排列数的公式来计算。
设有n个不同的物体要排列，那么排列数可以表示为n!（n的阶乘）。
在这个问题中，n=3，所以排列数为3!，即3×2×1=6。
小明有6种不同的排列方式。
答案：小明有6种不同的排列方式。
2. 有4个不同的字母A、B、C、D，要求将它们排列成长度为2的字符串。
问一共有多少种不同的字符串？解析：这个问题可以使用排列数的概念来解答。
从4个字母中选取2个字母进行排列，可以得到的排列数为4P2=4×3=12。
答案：一共有12种不同的字符串。
3. 小明有5本不同的书要放在书架上。
他将其中3本书放在左边，另外2本书放在右边。
请问一共有多少种不同的放置方式？解析：这个问题可以使用组合数的概念进行解答。
从5本书中选取3本书来放在左边，可以通过组合数的计算得到。
即5C3=5! ÷ [(5-3)! ×3!]=10。
答案：一共有10种不同的放置方式。
4. 有6个小朋友要排成一排，其中小明和小红不能相邻。
问一共有多少种不同的排列方式？解析：这个问题可以使用排列数的概念进行解答。
首先将小明和小红排在一起，这样就相当于有5个“人”要排列。
即5!。
然后将小明和小红交换位置，得到的排列数也是5!。
所以一共有2×5!=240种不同的排列方式。
答案：一共有240种不同的排列方式。
通过解答以上练习题，三年级的学生可以巩固排列问题的概念和计算方法。
同时，这些题目也能提高学生的逻辑思维和数学计算能力。
希望同学们能够认真思考，并且能够正确解答这些问题。
加油！。
专题22 几何三大变换问题之旋转问题(压轴题)
《中考压轴题》专题22：几何三大变换问题之旋转（中心对称）问题一、选择题1.如图，已知△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B ，则C′B 的长为A ．22-B ．32C ．31-D ．12.如图，△AOB 为等腰三角形，顶点A 的坐标为（2，5），底边OB 在x 轴上．将△AOB 绕点B 按顺时针方向旋转一定角度后得△A'O'B ，点A 的对应点A'在x 轴上，则点O'的坐标为A ．（203，103）B ．（163，453）C ．（203，453）D ．（163，43）3.在平面直角坐标系中，函数y=x 2﹣2x （x≥0）的图象为C 1，C 1关于原点对称的图象为C 2，则直线y=a （a 为常数）与C 1、C 2的交点共有A.1个B.1个或2个C.个或2个或3个D.1个或2个或3个或4个4.如图，矩形ABCD 的长为6，宽为3，点O 1为矩形的中心，⊙O 2的半径为1，O 1O 2⊥AB 于点P ，O 1O 2=6．若⊙O 2绕点P 按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O 2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现A ．3次B ．4次C ．5次D ．6次5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，则旋转角度为A．30°B．60°C．90°D．150°6.如图所示，在直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A离开原点后第一次落在x轴上时，点A运动的路径线与x轴围成的面积为A．122π+B．12π+C．1π+D．3-7.如图，直线y=2x与双曲线2yx=在第一象限的交点为A，过点A作AB⊥x轴于B，将△ABO绕点O旋转90°，得到△A′B′O，则点A′的坐标为A．（1.0）B．（1.0）或（﹣1.0）C．（2.0）或（0，﹣2）D．（﹣2.1）或（2，﹣1）8.如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，BE=CF，连接CE、DF．将△BCE绕着正方形的中心O按逆时针方向旋转到△CDF的位置，则旋转角是A．45°B．60°C．90°D．120°9.如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E、在y轴上，Rt△ABC经过变换得到Rt△ODE．若点C的坐标为（0，1），AC=2，则这种变换可以是（）A．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1 C．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1D．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3二、填空题1.如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A'B'C'，若∠BAC=90°，AB=AC=2，则图中阴影部分的面积等于.2.如图，在在平面直角坐标系xOy中，有一个等腰直角三角形AOB，∠OAB=90°，直角边AO在x轴上，且AO=1．将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O=2AO，再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰三角形A2OB2，且A2O=2A1O…，依此规律，得到等腰直角三角形A2014OB2014，则点A2014的坐标为．3.如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，且AC边在直线a上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P1，此时AP1=2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2=1+2；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3=2+2；…，按此规律继续旋转，直至得到点P2014为止．则AP2014=．4.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点M0的坐标为（1，0），将线段OM0绕原点O逆时针方向旋转45°，再将其延长到M1，使得M1M0⊥OM0，得到线段OM1；又将线段OM1绕原点O逆时针方向旋转45°，再将其延长到M2，使得M2M1⊥OM1，得到线段OM2；如此下去，得到线段OM3，OM4，OM5，…根据以上规律，请直接写出OM2014的长度为．5.如图，将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是．6.如图，已知∠AOB=90°，点A绕点O顺时针旋转后的对应点A1落在射线OB上，点A绕点A1顺时针旋转后的对应点A2落在射线OB上，点A绕点A2顺时针旋转后的对应点A3落在射线OB上，…，连接AA1，AA2，AA3…，依次作法，则∠AA n A n+1等于度．（用含n的代数式表示，n为正整数）7.如图（1），有两个全等的正三角形ABC和ODE，点O、C分别为△ABC、△DEO的重心；固定点O，将△ODE顺时针旋转，使得OD经过点C，如图（2），则图（2）中四边形OGCF与△OCH面积的比为．8.如图在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，OA=1．先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2014次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2014的坐标为．9.如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A（53，0），B（0，4），则点B2014的横坐标为．10.通过对课本中《硬币滚动中的数学》的学习，我们知道滚动圆滚动的周数取决于滚动圆的圆心运动的路程（如图①）．在图②中，有2014个半径为r的圆紧密排列成一条直线，半径为r的动圆C从图示位置绕这2014个圆排成的图形无滑动地滚动一圈回到原位，则动圆C自身转动的周数为．11．如图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点C恰好落在AB上，且∠AOD的度数为90°，则∠B的度数是．=上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点12.如图，平面直角坐标系中，已知直线y xP顺时针旋转900至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴。
数字换位小学二年级的数字换位题目
数字换位小学二年级的数字换位题目数字换位是小学二年级数学中的一个重要的概念。
它教会孩子们如何将数字中的位数进行交换，从而改变数字的大小和形式。
通过这个概念的学习，孩子们不仅可以提高他们的计算能力，还可以增强他们对数字的理解和应用能力。
本文将介绍数字换位的基本概念、应用场景以及几个实际问题的解决方法。
首先，让我们来了解一下数字换位的基本概念。
在十进制数中，每个数字所在的位置代表着不同的权值，从右到左依次为个位、十位、百位等等。
当我们将数字中的位数进行交换时，相当于改变了数字的位置和权值。
例如，将一个两位数的个位数和十位数进行交换，得到的新数字比原来的数字大或小，取决于交换后的位置。
数字换位在日常生活中有许多应用场景。
例如，当我们在购物中计算总金额时，会将商品价格中的数字换位，从而方便我们更快地计算总和。
另外，在时钟和时间的表示中，也会使用数字换位，以便更清楚地表示具体的时间。
下面，让我们通过几个实际问题来展示数字换位的解决方法。
假设我们有一个三位数，要求将它的百位数和个位数进行交换，然后再将得到的新数字加上原来的数字，求和的结果是多少？解决这个问题的方法是，将给定的三位数拆分为百位、十位和个位三个数字，然后将百位数和个位数进行交换，再将得到的新数字与原数字相加。
例如，假设给定的三位数是253，我们可以将它拆分为2、5、3三个数字，然后将2和3进行交换得到新数字352，最后再将352与253相加，得到的结果为605。
除了以上的例子，还有许多其他的数字换位问题，例如交换百位数和十位数，交换十位数和个位数等等。
通过反复练习和实践，孩子们可以逐渐掌握数字换位的方法和技巧。
总结起来，数字换位是小学二年级数学中的一个重要概念。
通过这个概念的学习，孩子们可以提高他们的计算能力、数字理解和应用能力。
同时，数字换位也有着广泛的应用场景，如购物、时钟和时间表示等。
通过实际问题的解决，孩子们可以更好地理解和掌握数字换位的方法和技巧。
专题21 几何三大变换问题之平移问题(压轴题)-决胜2021中考数学压轴题全揭秘精品(原卷版)
一、选择题1．（2016四川省雅安市）已知△ABC顶点坐标分别是A（0，6），B（﹣3，﹣3），C（1，0），将△ABC平移后顶点A的对应点A1的坐标是（4，10），则点B的对应点B1的坐标为（）A．（7，1）B．B（1，7）C．（1，1）D．（2，1）2．（2016黑龙江省牡丹江市）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣8，﹣1），B（﹣6，﹣9），C（﹣2．﹣9），D（﹣4，﹣1）．先将四边形ABCD沿x轴翻折，再向右平移8个单位长度，向下平移1个单位长度后，得到四边形A1B1C1D1，最后将四边形A1B1C1D1，绕着点A1旋转，使旋转后的四边形对角线的交点落在x轴上，则旋转后的四边形对角线的交点坐标为（）A．（4，0）B．（5，0）C．（4，0）或（﹣4，0）D．（5，0）或（﹣5，0）3．（2015来宾）如图，在平面直角坐标系中，将点M（2，1）向下平移2个单位长度得到点N，则点N的坐标为（）A．（2，﹣1） B．（2，3） C．（0，1） D．（4，1）4．（2015钦州）在平面直角坐标系中，将点A（x，y）向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后与点B（﹣3，2）重合，则点A的坐标是（）A．（2，5） B．（﹣8，5） C．（﹣8，﹣1） D．（2，﹣1）5．（2015扬州）如图，在平面直角坐标系中，点B 、C 、E 、在y 轴上，Rt△ABC 经过变换得到Rt△ODE ．若点C 的坐标为（0，1），AC =2，则这种变换可以是（ ）A ．△ABC 绕点C 顺时针旋转90°，再向下平移3B ．△ABC 绕点C 顺时针旋转90°，再向下平移1C ．△ABC 绕点C 逆时针旋转90°，再向下平移1D ．△ABC 绕点C 逆时针旋转90°，再向下平移36．（2015广元）如图，把RI △ABC 放在直角坐标系内，其中∠CAB =90°， B C =5．点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0）．将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线26y x =-上时，线段BC 扫过的面积为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．827．（2015黔西南州）在数轴上截取从0到3的对应线段AB ，实数m 对应AB 上的点M ，如图1；将AB 折成正三角形，使点A 、B 重合于点P ，如图2；建立平面直角坐标系，平移此三角形，使它关于y 轴对称，且点P 的坐标为（0，2），P M 的延长线与x 轴交于点N （n ，0），如图3，当m=3时，n 的值为（ ）A ．423-B ．432-C ．332-D ．3328．（2014年广西来宾3分）将点P （﹣2，3）向右平移3个单位得到点P 1，点P 2与点P 1关于原点对称，则P 2的坐标是（ ）A ．（﹣5，﹣3）B ．（1，﹣3）C ．（﹣1，﹣3）D ．（5，﹣3）9．（2014年广西玉林、防城港3分）如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（）A． B． C． D．10．（2014年湖南益阳4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（）A． 1 B． 1或5 C． 3 D． 511．（2014年浙江台州4分）如图，菱形ABCD的对角线AC＝4cm，把它沿着对角线AC方向平移1cm，得到菱形EFGH，则图中阴影部分图形的面积与四边形E M CN的面积之比为（）A．4∶3 B．3∶2 C．14∶9 D．17∶9二、填空题12．（2016四川省成都市）如图，面积为6的平行四边形纸片ABCD中，AB=3，∠BAD=45°，按下列步骤进行裁剪和拼图．第一步：如图①，将平行四边形纸片沿对角线BD剪开，得到△ABD和△BCD纸片，再将△ABD纸片沿AE剪开（E为BD上任意一点），得到△ABE和△ADE纸片；第二步：如图②，将△ABE纸片平移至△DCF处，将△ADE纸片平移至△BCG处；第三步：如图③，将△DCF纸片翻转过来使其背面朝上置于△PQ M处（边PQ与DC重合，△PQ M和△DCF在DC同侧），将△BCG纸片翻转过来使其背面朝上置于△PRN处，（边PR与BC重合，△PRN和△BCG在BC同侧）．则由纸片拼成的五边形P M QRN中，对角线M N长度的最小值为．13．（2016广东省广州市）如图，△ABC中，AB=AC，BC=12cm，点D在AC上，DC=4cm．将线段DC沿着CB 的方向平移7cm得到线段EF，点E，F分别落在边AB，BC上，则△EBF的周长为 cm．14．（2016黑龙江省龙东地区）如图，等边三角形的顶点A（1，1）、B（3，1），规定把等边△ABC“先沿x 轴翻折，再向左平移1个单位”为一次変换，如果这样连续经过2016次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为．15．（2015镇江）如图，△ABC和△DBC是两个具有公共边的全等三角形，AB=AC=3cm．BC=2cm，将△DBC沿射线BC平移一定的距离得到△D1B1C1，连接AC1，BD1．如果四边形ABD1C1是矩形，那么平移的距离为 cm．16．（2015咸宁）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，6），将△OAB沿x轴向左平移得到△O′A′B′，点A的对应点A′落在直线34y x=-上，则点B与其对应点B′间的距离为．17．（2014年湖南邵阳3分）如图，A点的初始位置位于数轴上的原点，现对A点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至B点，第2次从B点向左移动3个单位长度至C点，第3次从C点向右移动6个单位长度至D点，第4次从D点向左移动9个单位长度至E点，…，依此类推，这样至少移动▲ 次后该点到原点的距离不小于41．18．（2014年山东德州4分）如图，抛物线y=x2在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3…A n，…．将抛物线y=x2沿直线L：y=x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点M1，M2，M3，…M n，…都在直线L：y=x上；②抛物线依次经过点A1，A2，A3…A n，…．则顶点M2014的坐标为（▲ ，▲ ）．三、解答题19．（2016山东省聊城市）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．（1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（4，0），写出顶点A1，B1的坐标；（2）若△ABC和△A1B2C2关于原点O成中心对称图形，写出△A1B2C2的各顶点的坐标；（3）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A2B3C3，写出△A2B3C3的各顶点的坐标．20．（2016四川省巴中市）如图，方格中，每个小正方形的边长都是单位1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图．（1）画出将△ABC向右平移2个单位得到△A1B1C1；（2）画出将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2；21．（2016四川省资阳市）已知抛物线与x 轴交于A （6，0）、B （54-，0）两点，与y 轴交于点C ，过抛物线上点M （1，3）作M N ⊥x 轴于点N ，连接O M ．（1）求此抛物线的解析式；（2）如图1，将△O M N 沿x 轴向右平移t 个单位（0≤t ≤5）到△O ′M′N ′的位置，M N ′、M′O ′与直线AC 分别交于点E 、F ．①当点F 为M′O ′的中点时，求t 的值；②如图2，若直线M′N ′与抛物线相交于点G ，过点G 作GH ∥M′O ′交AC 于点H ，试确定线段EH 是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时t 的值；若不存在，请说明理由．22．（2016四川省达州市）如图，已知抛物线226y ax x =++（a ≠0）交x 轴与A ，B 两点（点A 在点B 左侧），将直尺WXYZ 与x 轴负方向成45°放置，边WZ 经过抛物线上的点C （4，m ），与抛物线的另一交点为点D ，直尺被x 轴截得的线段EF =2，且△CEF 的面积为6．（1）求该抛物线的解析式；（2）探究：在直线AC 上方的抛物线上是否存在一点P ，使得△ACP 的面积最大？若存在，请求出面积的最大值及此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）将直尺以每秒2个单位的速度沿x 轴向左平移，设平移的时间为t 秒，平移后的直尺为W ′X ′Y ′Z ′，其中边X ′Y ′所在的直线与x 轴交于点M ，与抛物线的其中一个交点为点N ，请直接写出当t 为何值时，可使得以C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形．23．（2016山东省聊城市）如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过点A （﹣3，0），B （9，0）和C （0，4）．CD 垂直于y 轴，交抛物线于点D ，DE 垂直与x 轴，垂足为E ，l 是抛物线的对称轴，点F 是抛物线的顶点．（1）求出二次函数的表达式以及点D 的坐标；（2）若Rt△AOC 沿x 轴向右平移到其直角边OC 与对称轴l 重合，再沿对称轴l 向上平移到点C 与点F 重合，得到Rt△A 1O 1F ，求此时Rt△A 1O 1F 与矩形OCDE 重叠部分的图形的面积；（3）若Rt△AOC 沿x 轴向右平移t 个单位长度（0＜t ≤6）得到Rt△A 2O 2C 2，Rt△A 2O 2C 2与Rt△OED 重叠部分的图形面积记为S ，求S 与t 之间的函数表达式，并写出自变量t 的取值范围．24．（2016山东省菏泽市）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax bx =++过B （﹣2，6），C （2，2）两点．（1）试求抛物线的解析式；（2）记抛物线顶点为D ，求△BCD 的面积；（3）若直线12y x =-向上平移b 个单位所得的直线与抛物线段BDC （包括端点B 、C ）部分有两个交点，求b 的取值范围．25．（2016广东省）如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC=2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP．（1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？（2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；（3）在平移变换过程中，设y=S△OPB，BP=x（0≤x≤2），求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值．26．（2016四川省南充市）如图，抛物线与x轴交于点A（﹣5，0）和点B（3，0）．与y轴交于点C（0，5）．有一宽度为1，长度足够的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和Q，交直线AC于点M和N．交x轴于点E和F．（1）求抛物线的解析式；（2）当点M和N都在线段AC上时，连接M F，如果sin∠A M F 10Q的坐标；（3）在矩形的平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．27．（2016浙江省湖州市）如图，已知二次函数2y x bx c =-++（b ，c 为常数）的图象经过点A （3，1），点C （0，4），顶点为点M ，过点A 作AB ∥x 轴，交y 轴于点D ，交该二次函数图象于点B ，连结BC ．（1）求该二次函数的解析式及点M 的坐标；（2）若将该二次函数图象向下平移m （m ＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC 的内部（不包括△ABC 的边界），求m 的取值范围；（3）点P 是直线AC 上的动点，若点P ，点C ，点M 所构成的三角形与△BCD 相似，请直接写出所有点P 的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．28．（2016浙江省金华市）在平面直角坐标系中，点O 为原点，平行于x 轴的直线与抛物线L ：2y ax =相交于A ，B 两点（点B 在第一象限），点D 在AB 的延长线上．（1）已知a =1，点B 的纵坐标为2．①如图1，向右平移抛物线L 使该抛物线过点B ，与AB 的延长线交于点C ，求AC 的长．②如图2，若BD =12AB ，过点B ，D 的抛物线L 2，其顶点M 在x 轴上，求该抛物线的函数表达式． （2）如图3，若BD =AB ，过O ，B ，D 三点的抛物线L 3，顶点为P ，对应函数的二次项系数为a 3，过点P 作PE ∥x 轴，交抛物线L 于E ，F 两点，求3a a 的值，并直接写出AB EF的值．29．（2016湖北省荆州市）如图，将一张直角三角形ABC 纸片沿斜边AB 上的中线CD 剪开，得到△ACD ，再将△ACD 沿DB 方向平移到△A ′C ′D ′的位置，若平移开始后点D ′未到达点B 时，A ′C ′交CD 于E ，D ′C ′交CB 于点F ，连接EF ，当四边形EDD ′F 为菱形时，试探究△A ′DE 的形状，并判断△A ′DE 与△EFC ′是否全等？请说明理由．（1）求抛物线的解析式及点G 的坐标；①求m 的值；②连接CG 交x 轴于点H ，连接FG ，过B 作BP ∥FG ，交CG 于点P ，求证：PH=GH ．31．（2016湖北省鄂州市）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y =2x +4与y 轴交于A 点，与x 轴交于B 点，抛物线C 1：214y x bx c =-++过A 、B 两点，与x 轴另一交点为C ． （1）求抛物线解析式及C 点坐标．（2）向右平移抛物线C 1，使平移后的抛物线C 2恰好经过△ABC 的外心，抛物线C 1、C 2相交于点D ，求四边形AOCD 的面积．（3）已知抛物线C 2的顶点为M ，设P 为抛物线C 1对称轴上一点，Q 为抛物线C 1上一点，是否存在以点M 、Q 、P 、B 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出P 点坐标；不存在，请说明理由．32．（2016湖南省张家界市）已知抛物线2(1)3y a x =--（a ≠0）的图象与y 轴交于点A （0，﹣2），顶点为B ．（1）试确定a 的值，并写出B 点的坐标；（2）若一次函数的图象经过A 、B 两点，试写出一次函数的解析式；（3）试在x 轴上求一点P ，使得△PA B 的周长取最小值；（4）若将抛物线平移m （m≠0）个单位，所得新抛物线的顶点记作C ，与原抛物线的交点记作D ，问：点O 、C 、D 能否在同一条直线上？若能，请求出m 的值；若不能，请说明理由．33．（2016湖南省益阳市）如图①，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，AC =1，D 为AB 的中点，EF 为△ACD 的中位线，四边形EFGH 为△ACD 的内接矩形（矩形的四个顶点均在△ACD 的边上）．（1）计算矩形EFGH 的面积；（2）将矩形EFGH 沿AB 向右平移，F 落在BC 上时停止移动．在平移过程中，当矩形与△CBD 重叠部分的面积为316时，求矩形平移的距离； （3）如图③，将（2）中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形E 1F 1G 1H 1，将矩形E 1F 1G 1H 1绕G 1点按顺时针方向旋转，当H 1落在CD 上时停止转动，旋转后的矩形记为矩形E 2F 2G 1H 2，设旋转角为α，求cosα的值．34．（2016辽宁省沈阳市）如图，在平面直角坐标系中，△AOB 的顶点O 为坐标原点，点A 的坐标为（4，0），点B 的坐标为（0，1），点C 为边AB 的中点，正方形OBDE 的顶点E 在x 轴的正半轴上，连接CO ，CD ，CE ．（1）线段OC 的长为 ；（2）求证：△CBD ≌△COE ；（3）将正方形OBDE 沿x 轴正方向平移得到正方形O 1B 1D 1E 1，其中点O ，B ，D ，E 的对应点分别为点O 1，B 1，D 1，E 1，连接CD ，CE ，设点E 的坐标为（a ，0），其中a ≠2，△CD 1E 1的面积为S ．①当1＜a ＜2时，请直接写出S 与a 之间的函数表达式；②在平移过程中，当S =14时，请直接写出a 的值．35．（2016重庆市）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线212333y x x =-+与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为点E ．（1）判断△ABC 的形状，并说明理由；（2）经过B ，C 两点的直线交抛物线的对称轴于点D ，点P 为直线BC 上方抛物线上的一动点，当△PCD 的面积最大时，Q 从点P 出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M 处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y 轴上的点N 处，最后沿适当的路径运动到点A 处停止．当点Q 的运动路径最短时，求点N 的坐标及点Q 经过的最短路径的长；（3）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点E 在射线AE 上移动，点E 平移后的对应点为点E ′，点A 的对应点为点A ′，将△AOC 绕点O 顺时针旋转至△A 1OC 1的位置，点A ，C 的对应点分别为点A 1，C 1，且点A 1恰好落在AC 上，连接C 1A ′，C 1E ′，△A ′C 1E ′是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点E ′的坐标；若不能，请说明理由．36．（2015宜宾）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是矩形，AD ∥x 轴，A （3-，32），AB =1，AD =2． （1）直接写出B 、C 、D 三点的坐标；（2）将矩形ABCD 向右平移m 个单位，使点A 、C 恰好同时落在反比例函数k y x=（0x >）的图象上，得矩形A ′B ′C ′D ′．求矩形ABCD 的平移距离m 和反比例函数的解析式．37．（2014年福建莆田14分）如图，抛物线C 1：y =（x +m ）2（m 为常数，m ＞0），平移抛物线y =﹣x 2，使其顶点D 在抛物线C 1位于y 轴右侧的图象上，得到抛物线C 2．抛物线C 2交x 轴于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C ，设点D 的横坐标为a ．（1）如图1，若m=12． ①当OC =2时，求抛物线C 2的解析式；②是否存在a ，使得线段BC 上有一点P ，满足点B 与点C 到直线OP 的距离之和最大且AP =BP ？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由；（2）如图2，当OB=23m（0＜m＜3）时，请直接写出到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点的坐标（用含m的式子表示）．38．（2014年甘肃天水12分）如图（1），在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．Rt△CDE中，∠CDE=90°，CD=4，DE=43，直角边CD在y轴上，且点C与点A重合．Rt△CDE沿y轴正方向平行移动，当点C运动到点O时停止运动．解答下列问题：（1）如图（2），当Rt△CDE运动到点D与点O重合时，设CE交AB于点M，求∠B M E的度数．（2）如图（3），在Rt△CDE的运动过程中，当CE经过点B时，求BC的长．（3）在Rt△CDE的运动过程中，设AC=h，△OAB与△CDE的重叠部分的面积为S，请写出S与h之间的函数关系式，并求出面积S的最大值．39．（2014年广东广州14分）已知平面直角坐标系中两定点A（﹣1，0）、B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）过点A，B，顶点为C，点P（m，n）（n＜0）为抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；（2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围；（3）若m＞32，当∠APB为直角时，将该抛物线向左或向右平移t（0＜t＜52）个单位，点C、P平移后对应的点分别记为C′、P′，是否存在t，使得首尾依次连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短？若存在，求t的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．40．（2014年广东深圳9分）如图，直线AB的解析式为y=2x+4，交x轴于点A，交y轴于点B，以A为顶点的抛物线交直线AB于点D，交y轴负半轴于点C（0，﹣4）．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线顶点沿着直线AB平移，此时顶点记为E，与y轴的交点记为F，①求当△BEF与△BAO相似时，E点坐标；②记平移后抛物线与AB另一个交点为G，则S△EFG与S△ACD是否存在8倍的关系？若有请直接写出F点的坐标．41．（2014年广西贵港11分）如图，抛物线y=ax2+bx﹣3a（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y 轴交于点C（0，2），连接BC．（1）求该抛物线的解析式和对称轴，并写出线段BC的中点坐标；（2）将线段BC先向左平移2个单位长度，在向下平移m个单位长度，使点C的对应点C1恰好落在该抛物线上，求此时点C1的坐标和m的值；（3）若点P是该抛物线上的动点，点Q是该抛物线对称轴上的动点，当以P，Q，B，C四点为顶点的四边形是平行四边形时，求此时点P的坐标．，0）、B两点，与y轴交于42．（2014年广西桂林12分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A（2C点，其对称轴为直线x=1．（1）直接写出抛物线的解析式▲ ：（2）把线段AC沿x轴向右平移，设平移后A、C的对应点分别为A′、C′，当C′落在抛物线上时，求A′、C′的坐标；（3）除（2）中的点A ′、C ′外，在x 轴和抛物线上是否还分别存在点E 、F ，使得以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出E 、F 的坐标；若不存在，请说明理由．43．（2014年广西玉林、防城港12分）给定直线l ：y =kx ，抛物线C ：y =ax 2+bx +1．（1）当b =1时，l 与C 相交于A ，B 两点，其中A 为C 的顶点，B 与A 关于原点对称，求a 的值；（2）若把直线l 向上平移k 2+1个单位长度得到直线r ，则无论非零实数k 取何值，直线r 与抛物线C 都只有一个交点．①求此抛物线的解析式；②若P 是此抛物线上任一点，过P 作PQ ∥y 轴且与直线y =2交于Q 点，O 为原点．求证：OP =PQ ．44．（2014年贵州贵阳12分）如图，经过点A （0，﹣6）的抛物线21y x bx c 2=++与x 轴相交于B （﹣2，0），C 两点．（1）求此抛物线的函数关系式和顶点D 的坐标；（2）将（1）中求得的抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移m （m ＞0）个单位长度得到新抛物线y 1，若新抛物线y 1的顶点P 在△ABC 内，求m 的取值范围；（3）在（2）的结论下，新抛物线y 1上是否存在点Q ，使得△QAB 是以AB 为底边的等腰三角形？请分析所有可能出现的情况，并直接写出相对应的m 的取值范围．45．（2014年湖北鄂州12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数5y x m4=+的图象与x轴交于A （﹣1，0），与y轴交于点C．以直线x=2为对称轴的抛物线C1：y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、C两点，并与x轴正半轴交于点B．（1）求m的值及抛物线C1：y=ax2+bx+c（a≠0）的函数表达式．（2）设点D（0，2512），若F是抛物线C1：y=ax2+bx+c（a≠0）对称轴上使得△ADF的周长取得最小值的点，过F任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线C1于M1（x1，y1），M2（x2，y2）两点，试探究1211M F M F+是否为定值？请说明理由．（3）将抛物线C1作适当平移，得到抛物线C2：()221y x h4=--，h＞1．若当1＜x≤m时，y2≥﹣x恒成立，求m的最大值．46．（2014年湖北宜昌12分）如图，在平面直角坐标系中，已知点P（0，4），点A在线段OP上，点B在x 轴正半轴上，且AP=OB=t，0＜t＜4，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD；过点C、D依次向x轴、y轴作垂线，垂足为M，N，设过O，C两点的抛物线为y=ax2+bx+c．（1）填空：△AOB≌△▲ ≌△B M C（不需证明）；用含t的代数式表示A点纵坐标：A（0，▲ ；（2）求点C的坐标，并用含a，t的代数式表示b；（3）当t=1时，连接OD，若此时抛物线与线段OD只有唯一的公共点O，求a的取值范围；（4）当抛物线开口向上，对称轴是直线1x 22t=-，顶点随着t 的增大向上移动时，求t 的取值范围．47．（2014年湖北十堰12分）已知抛物线C 1：()2y a x 12=+-的顶点为A ，且经过点B （﹣2，﹣1）．（1）求A 点的坐标和抛物线C 1的解析式；（2）如图1，将抛物线C 1向下平移2个单位后得到抛物线C 2，且抛物线C 2与直线AB 相交于C ，D 两点，求S △OAC ：S △OAD 的值；（3）如图2，若过P （﹣4，0），Q （0，2）的直线为l ，点E 在（2）中抛物线C 2对称轴右侧部分（含顶点）运动，直线m 过点C 和点E ．问：是否存在直线m ，使直线l ，m 与x 轴围成的三角形和直线l ，m 与y 轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m 的解析式；若不存在，说明理由．48． （2014年湖北江汉油田、潜江、天门、仙桃10分）如图①，△ABC 与△DEF 是将△ACF 沿过A 点的某条直线剪开得到的（AB ，DE 是同一条剪切线）．平移△DEF 使顶点E 与AC 的中点重合，再绕点E 旋转△DEF ，使ED ，EF 分别与AB ，BC 交于M ，N 两点．（1）如图②，△ABC 中，若AB =BC ，且∠ABC =90°，则线段E M 与EN 有何数量关系？请直接写出结论；（2）如图③，△ABC 中，若AB =BC ，那么（1）中的结论是否还成立？若成立，请给出证明：若不成立，请说明理由；（3）如图④，△ABC 中，若AB ：B C =m ：n ，探索线段E M 与EN 的数量关系，并证明你的结论．49．（2014年湖南衡阳10分）如图，已知直线AB分别交x轴、y轴于点A（﹣4，0）、B（0，3），点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿直线AB向点B移动，同时，将直线3y x4以每秒0.6个单位的速度向上平移，分别交AO、BO于点C、D，设运动时间为t秒（0＜t＜5）．（1）证明：在运动过程中，四边形ACDP总是平行四边形；（2）当t取何值时，四边形ACDP为菱形？且指出此时以点D为圆心，以DO长为半径的圆与直线AB的位置关系，并说明理由．50．（2014年湖南怀化10分）如图1，在平面直角坐标系中，AB=OB=8，∠ABO=90°，∠yOC=45°，射线OC 以每秒2个单位长度的速度向右平行移动，当射线OC经过点B时停止运动，设平行移动x秒后，射线OC 扫过Rt△ABO的面积为y．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当x =3秒时，射线OC 平行移动到O ′C ′，与OA 相交于G ，如图2，求经过G ，O ，B 三点的抛物线的解析式；（3）现有一动点P 在（2）中的抛物线上，试问点P 在运动过程中，是否存在三角形POB 的面积S =8的情况？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．51．（2014年江苏苏州9分）如图，已知l 1⊥l 2，⊙O 与l 1，l 2都相切，⊙O 的半径为2cm ．矩形ABCD 的边AD ，AB 分别与l 1，l 2重合，AB ＝43 cm ，AD ＝4cm ．若⊙O 与矩形ABCD 沿l 1同时．．向右移动，⊙O 的移动速度为3cm/s ，矩形ABCD 的移动速度为4cm/s ，设移动时间为t （s ）．（1）如图①，连接OA ，AC ，则∠OAC 的度数为 ▲ °；（2）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O 到达⊙O 1的位置，矩形ABCD 到达A 1B 1C 1D 1的位置，此时点O 1，A 1，C 1恰好在同一直线上，求圆心O 移动的距离（即OO 1的长）；（3）在移动过程中，圆心O 到矩形对角线AC 所在直线的距离在不断变化，设该距离为d （cm ）．当d ＜2时，求t 的取值范围．（解答时可以利用备用图画出相关示意图）52．（2014年江苏盐城12分）如图①，在平面直角坐标系中，一块等腰直角三角板ABC 的直角顶点A 在y 轴上，坐标为（0，﹣1），另一顶点B 坐标为（﹣2，0），已知二次函数23y x bx c 2=++的图象经过B 、C 两点．现将一把直尺放置在直角坐标系中，使直尺的边A ′D ′∥y 轴且经过点B ，直尺沿x 轴正方向平移，当A ′D ′与y 轴重合时运动停止．（1）求点C的坐标及二次函数的关系式；（2）若运动过程中直尺的边A′D′交边BC于点M，交抛物线于点N，求线段M N长度的最大值；（3）如图②，设点P为直尺的边A′D′上的任一点，连接PA、PB、PC，Q为BC的中点，试探究：在直尺平移的过程中，当10PQ2时，线段PA、PB、PC之间的数量关系．请直接写出结论，并指出相应的点P与抛物线的位置关系．（说明：点与抛物线的位置关系可分为三类，例如，图②中，点A在抛物线内，点C在抛物线上，点D′在抛物线外．）53．（2014年江西抚州10分）如图，抛物线y=ax2+2ax（a＜0）位于x轴上方的图象记为F1，它与x轴交于P1、O两点，图象F2与F1关于原点O对称，F2与x轴的另一个交点为P2，将F1与F2同时沿x轴向右平移P1P2的长度即可得到F3与F4；再将F3与F4同时沿x轴向右平移P12P的长度即可得到F5与F6；…；按这样的方式一直平移下去即可得到一系列图象F1，F2，…，F n．我们把这组图象称为“波浪抛物线”．（1）当a=﹣1时，①求图象F1的顶点坐标；②点H（2014，﹣3）▲ （填“在”或“不在”）该“波浪抛物线”上；若图象F n的顶点T n的横坐标为201，则图象F n对应的解析式为▲ ，其自变量x的取值范围为▲ ．（2）设图象F n、F n+1的顶点分别为T n、T n+1（m为正整数），x轴上一点Q的坐标为（12，0）．试探究：当a 为何值时，以O、T n、T n+1、Q四点为顶点的四边形为矩形？并直接写出此时m的值．54．（2014年辽宁鞍山14分）如图，在平面直角坐标系中，将抛物线23y x =先向右平移1个单位，再向下平移43个单位，得到新的抛物线2y ax bx c =++，该抛物线与y 轴交于点B ，与 x 轴正半轴交于点C ． （1）求点B 和点C 的坐标；（2）如图1，有一条与 y 轴重合的直线l 向右匀速平移，移动的速度为每秒1个单位，移动的时间为t 秒，直线l 与抛物线2y ax bx c =++交于点P ． 当点P 在x 轴上方时，求出使△PBC 的面积为23的t 值；（3）如图 2，将直线 B C 绕点B 逆时针旋转，与x 轴交于点M （1，0），与抛物线2y ax bx c =++交于点 A ，在 y 轴上有一点D 230,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 在x 轴上另取两点E 、F （点E 在点F 的左侧）EF =2，线段EF 在x 轴上平移，当四边形ADEF 的周长最小时，先简单描述如何确定此时点E 的位置？再直接写出点 E 的坐标．55．（2014年辽宁阜新12分）已知，在矩形ABCD 中，连接对角线AC ，将△ABC 绕点B 顺时针旋转90°得到△EFG ，并将它沿直线AB 向左平移，直线EG 与BC 交于点H ，连接AH ，CG ．（1）如图①，当AB =BC ，点F 平移到线段BA 上时，线段AH ，CG 有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你的猜想；（2）如图②，当AB =BC ，点F 平移到线段BA 的延长线上时，（1）中的结论是否成立，请说明理由；（3）如图③，当AB =nBC （n ≠1）时，对矩形ABCD 进行如已知同样的变换操作，线段AH ，CG 有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你的猜想．56．（2014年辽宁锦州14分）如图，平行四边形ABCD 在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（﹣2，0），点B 的坐标为（0，4），抛物线y =﹣x 2+m x +n 经过点A 和C ．（1）求抛物线的解析式．（2）该抛物线的对称轴将平行四边形ABCO 分成两部分，对称轴左侧部分的图形面积记为S 1，右侧部分图形的面积记为S 2，求S 1与S 2的比．（3）在y 轴上取一点D ，坐标是（0，72），将直线OC 沿x 轴平移到O ′C ′，点D 关于直线O ′C ′的对称点记为D ′，当点D ′正好在抛物线上时，求出此时点D ′坐标并直接写出直线O ′C ′的函数解析式．57．（2014年山东济南9分）如图1，抛物线23y x 16=-平移后过点A （8，，0）和原点，顶点为B ，对称轴与x 轴相交于点C ，与原抛物线相交于点D ．（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积S 影阴；（2）如图2，直线AB 与y 轴相交于点P ，点M 为线段OA 上一动点，PMN ∠为直角，边M N 与AP 相交于点N ，设OM t =，试探求：①t 为何值时，△MA N 为等腰三角形？②t 为何值时，线段PN 的长度最小，最小长度是多少？58．（2014年山东莱芜12分）如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4﹣x于C、D 两点．抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点．（1）求抛物线的表达式；（3）若△AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中△AOC与△OBD重叠部分的面积记为S，试求S的最大值．59．（2014年山东临沂13分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（1，0），直线y=2x﹣1与y轴交于点C，与抛物线交于点C、D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点A到直线CD的距离；（3）平移抛物线，使抛物线的顶点P在直线CD上，抛物线与直线CD的另一个交点为Q，点G在y轴正半轴上，当以G、P、Q三点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求出所有符合条件的G点的坐标．60．（2014年山东青岛12分）已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=12cm，BD=16cm．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速。
五年级奥数第25讲-置换问题(教)
学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：五年级 课 时 数：3 学员姓名：辅导科目：奥数学科教师：授课主题 第25讲-等量代换授课类型 T 同步课堂P 实战演练S 归纳总结教学目标 1、学会分析题意并且熟练的找出题目中存在的量之间的关系；2、掌握置换问题的解题思路与方法。
授课日期及时段T （Textbook-Based ）——同步课堂置换问题主要是研究把有数量关系的两种数量转换成一种数量，从而帮助我们找到解题方法的一类典型的应用题。
“鸡兔同笼”问题就是一种比较典型的置换问题。
解答置换问题一般用转换和假设这两种数学思维方法。
解答置换问题应注意下面两点：1，根据数量关系把两种数量转换成一种数量，从而找出解题方法； 2，把两种数量假设为一种数量，从而找出解题方法。
例1、20千克苹果与30千克梨共计132元，2千克苹果的价钱与2.5千克梨的价钱相等，求苹果和梨的单价。
【解析】2千克苹果的价钱与2.5千克梨的价钱相等，则20千克苹果相当于25千克梨，这样就把两种数量转化为一种数量了，先计算梨的单价是：132÷（25＋30）＝2.4（元） 苹果的单价：（132-2.4×30）÷20=3（元）例2、3只小花猫的重量等于1只狗的重量，1只小花猫等于3只鸭的重量，1只狗重9千克，1只猫与1只鸭各重多少千克？知识梳理典例分析P(Practice-Oriented)——实战演练实战演练➢课堂狙击1、一个苹果和一个犁共重250克，一个苹果和一个桔子共重180克，一个梨和一个桔子共重230克，算一算，一个苹果，一个梨，一个桔子各重多少克？【解析】梨和桔子重230g + 一个苹果和一个梨共重250g =2梨和1苹果1桔子=480g因为苹果和桔子共重180g所以梨=（480-180）÷2=150g因为一个苹果和一个梨共重250g所以苹果=250-150=100g因为苹果和桔子共重180g所以桔子=180-100=80g因此：梨150g,苹果100g,桔子80g.2、6只鸡和8只羊共重78千克，已知5只鸡的重量和2只羊的重量相等。
鸡兔同笼问题
鸡的 鸡兔同笼问题（假设法）（第一讲）我国古代数学名著《孙子算经》中有这样的一道应用题：今有雉兔同笼，上有三十五头， 下有九十四足，问雉兔各有几何意思是说：鸡和兔同关在一个笼子里，已知鸡与兔共有 35只, 鸡脚与兔脚共有94只，问鸡、兔各有多少只这就是著名的鸡兔同笼问题。
怎样解决这个问题呢我们通常把题中相当于“鸡”和“兔” 的两种量，全部假设看作“鸡”或“兔”，然后找出与实际数量的差，由此求出“鸡”或“兔” 这种解决问题的方法就是假设法。
鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的 那部分置出来。
解鸡兔同笼问题的基本关系式是：解法1:鸡的只数=（每只兔脚数X 兔总数一实际脚数）十（每只兔子脚数一每只鸡的脚数） 兔的只数=总只数一鸡的只数解法2:兔的只数=（总脚数一鸡的脚数X 总只数）十（兔的脚数一鸡的脚数） 只数=总只数一兔的只数例1、鸡兔同笼，头共46,足共128,鸡兔各几只分析：假设46只都是兔，一共应有 4 X 46=184只脚，这和已知的128只脚相比多了 184-128=56只脚。
如果用一只鸡来置换一只兔，就要减少 4-2=2 （只）脚。
那么，46只兔里应 该换进几只鸡才能使56只脚的差数就没有了呢显然，56-2=28,只要用28只鸡去置换28只兔 就行了。
所以，鸡的只数就是 28,兔的只数是46-28=18。
例2、小梅数她家的鸡与兔，数头有16个，数脚有44只。
问：小梅家的鸡与兔各有多少只 分析：假设16只都是鸡，那么就应该有2X 16二32 （只）脚，但实际上有44只脚，比假设 的情况多了 44-32二12 （只）脚，出现这种情况的原因是把兔当作鸡了。
因此只要算出 12里面 有几个2,就可以求出兔的只数。
解：有兔（44-2 X 16）十（4-2 ） =6 （只），有鸡16-6 = 10 （只）。
答：有6只兔，10只鸡。
我们也可以假设16只都是兔子，那么就应该有4X 16二64 （只）脚，但实际上有44只脚， 比假设的情况少了 64-44= 20 （只）脚，这是因为把鸡当作兔了。
五年级奥数举一反三第34讲 置换问题含答案
第34讲置换问题一、专题简析：置换问题主要是研究把有数量关系的两种数量转换成一种数量，从而帮助我们找到解题方法的一类典型的应用题。
“鸡兔同笼”问题就是一种比较典型的置换问题。
解答置换问题一般用转换和假设这两种数学思维方法。
解答置换问题应注意下面两点：1、根据数量关系把两种数量转换成一种数量，从而找出解题方法；2、把两种数量假设为一种数量，从而找出解题方法。
二、精讲精练例1 20千克苹果与30千克梨共计132元，2千克苹果的价钱与2.5千克梨的价钱相等。
求苹果和梨的单价。
练习一1、6只鸡和8只小羊共重78千克，已知5只鸡的重量等于2只小羊的重量，求每只鸡和每只小羊的重量。
2、商店里有甲种钢笔和乙种圆珠笔，已知2支钢笔的价钱与15支圆珠笔的价钱相等。
老师买了4支钢笔和6支圆珠笔，共付72元，每支钢笔和每支圆珠笔各多少元？例2 用2台水泵抽水，小水泵抽6小时，大水泵抽8小时，一共抽水312立方米。
小水泵5小时的抽水量等于大水泵2小时的抽水量，两种水泵每小时各抽水多少立方米？练习二1、学校买回6张桌子和6张椅子共用去192元。
已知3张桌子的价钱和5把椅子的价钱相等，每张桌子和每把椅子各多少元？2、快慢两车先后从相距864千米的甲、乙两地出发，快车行12小时，慢车行4小时后，两车在途中相遇。
已知快车6小时行的路程与慢车7小时行的路程相等，求快、慢两车的速度。
例3一件工作，甲做5小时以后由乙来做，3小时可以完成；乙做9小时以后由甲来做，也是3小时可以完成。
那么甲做1小时以后由乙来做几小时可以完成？练习三1、王老师去买笔奖给三好学生。
他所带的钱正好买4支圆珠笔和5支钢笔，或者买3支钢笔和10支圆珠笔。
如果王老师买1支钢笔，剩下的钱可以买多少支圆珠笔？2、一辆卡车最多能载40袋大米和40袋面粉，或者载10袋大米和100袋面粉。
现在卡车上已载有20袋大米，最多还能载多少袋面粉？例4 5辆玩具汽车与3架飞机玩具的价钱相等，每架飞机玩具比每辆玩具汽车贵8元。
置换环算法题目
置换环算法题目
题目描述：
给定一个长度为n的排列a，每次操作可以交换任意两个数的位置。
问最少需要多少次操作可以让排列的逆序数为1。
思路分析：
首先，我们需要将排列a转换为[1,2,3,...,n]，这样只需要进行一次交换操作就可以让逆序数为1。
为了实现这一目标，我们可以使用置换环的概念。
置换环是指在排列a中，从某个位置开始，连续的若干个数字形成一个环，例如[1,7,5,8,2,6,3,4]中有4个置换环：[1->1],[2->7->3->5->2],[4->8->4],[6->6]。
我们的目标是将每个置换环中的数字都按照升序排列，这样就可以将整个排列转换为[1,2,3,...,n]。
具体步骤如下：
1. 统计排列a中的置换环个数。
2. 对于每个置换环，将其中的数字按照升序排列，可以使用一次交换操作。
3. 最后，将整个排列a中的数字按照升序排列，即完成了一次操作。
算法复杂度：
该算法的时间复杂度为O(n)，其中n为排列的长度。
因为我们最多需要进行n次交换操作。
置换问题
置换问题已知两类物品的总数和总价，以及这两类物品的单价，要求这两类物品各是多少问题，叫做置换问题。
著名的鸡兔问题就是一种置换问题。
解答这类问题的关键是“置换”，先假定全部是某一种物品，求出在此假定下两类物品总价与实际的相差数，然后用另一类物品去置换，置换的次数就是另一类物品的个数。
关系式是：（假设全部为一类物品的总价－实际总价）÷两类物品单价差=另一类物品数总物品数－另一类物品数=一类物品数1。
笼子里有鸡和兔共60只，共有168条腿。
问鸡和兔各多少只？2。
运输公司要装运一批货物共72吨，计划用14辆卡车一次运完。
已知大卡车每次可装运6吨，小卡车每次装运4吨，问大、小卡车各几辆？3。
某厂工会组织活动，购买歌剧票200张，甲种票每张15元，乙种票每张12元，一共付款2760元。
问两种票各购买多少张？4。
鸡、兔共100只，腿一共有286条。
问鸡、兔各几只？5。
大船能坐6人，小船能坐4人，某校188名师生，租36条船，座位一个不多一个不少，问大船、小船各有几条？6。
有1分、2分、5分硬币共3.95元，正好100枚，已知1分、2分硬币数相等。
问5分硬币有几枚？7。
教师组织活动，买来100张票，甲种票每张10元，乙种票每张7元，一共用去910元。
问两种票各多少张？8。
一次数学竞赛共有20道题，做对一题得5分，做错一题扣3分。
小红得了68分，她做对几题？9。
一批货物，用小卡车装要45辆，改用大卡车装要36辆。
已知大卡车每辆比小卡车多装2吨，这批货物一共多少吨？10。
100人吃100张饼，大人每人吃3张饼，幼儿每3人吃1张饼。
问有几个大人？几个幼儿？11。
甲、乙两人进行射击比赛。
射中靶子得20分，没中靶子扣12分。
两人各打10枪，共得208分。
其中甲比乙少得64分。
甲、乙各打中几枪？12.鸡兔同笼，一共3个头，10条腿，鸡和兔各有多少只？13.鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，鸡和兔各有多少只？14.面值2元、5元的人民币共27张，合计99元，面值是2元和5元的人民币各有多少张？15.今有鸡、兔共居一笼，已知鸡头和兔头共35个，鸡脚与兔脚共94只，问：鸡、兔各多少只？16.鸡兔同笼，鸡比兔少40只，共有460条腿。
鸡兔同笼的9种解法
鸡兔同笼是我国古代著名趣题之一，记载于《孙子算经》之中。
鸡兔同笼问题，是小学奥数的常见题型。
是指已知鸡与兔的总头数和总足数，求鸡和兔各是多少只的应用题。
1、列表法。
2、画图法，画图法也是低年级小朋友很好接受的一个方法，呵呵，画图还可以让数学变得形象化，而且经常画图还有助于创造力的培养！假设14只全部是鸡，先把鸡给画好。
3、金鸡独立法，让每只鸡都一只脚站立着，每只兔都用两只后脚站立着，那么地上的总脚数只是原来的一半，即19只脚。
鸡的脚数与头数相同，而兔的脚数是兔的头数的2倍。
4、吹哨法。
5、假设法，假设全部是鸡。
6、假设法，假设全部是兔子。
7、特异功能法，鸡有2条腿，比兔子少2条腿，这不公平，但是鸡有2只翅膀，兔子却没有。
假设鸡有特级功能，把两只翅膀变成2条腿，那么鸡也有4条腿。
8、特异功能法，假设每只鸡兔都具有“特异功能”，鸡飞起来，兔立起来，这时立在地上的脚全是兔的。
9、特异功能法，假设孙悟空变成兔子，说“变”，每只兔子又长出一个头来，然后对妖精说“将它劈开”，变成“一头两脚”的两只“半兔”，半兔与鸡都是两只脚。
10、砍足法，假如把每只砍掉1只脚、每只兔砍掉3只脚，则每只鸡就变成了“独角鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”。
基本概念：鸡饭同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来：基本思路：①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲•样）：②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少：③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因：④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。
基本公式：①把所有鸡假设成兔子：鸡数=（兔脚数X总头数一总脚数）子（兔脚数一鸡脚数）②把所有兔子假设成鸡：兔数=（总脚数一鸡脚数X总头数）子（兔脚数一鸡脚数）关犍问题：找出总量的差与单位量的差。
解决鸡兔同笼一般用“假设法”来求解。
即假设全是鸡或是全是兔，然后根据出现的足数差，推算出鸡或兔的只数。
高考数学中的置换组合问题解决方法
高考数学中的置换组合问题解决方法高考数学中，置换组合问题是一个经典的题型。
这类题目考察的是置换和组合数学的相关概念与运算，需要学生理解和掌握置换群的概念、行列式的运算等高阶数学知识。
本文将分析一些典型的置换组合问题，并给出解决方法。
一、置换群的基本概念置换群是指同一个元素集合上的一些可能存在的变换所形成的群。
其中，每个变换都称为一个置换，所有置换构成的集合称为置换群，通常用S_n表示，其中n为元素集合的元素数量。
例如，如果元素集合为{1,2,3}，那么S_3就是由这三个元素的所有置换所构成的群。
置换群的基本性质是它是封闭的、可逆的和结合的。
封闭性指的是对于S_n中的任意两个置换，它们的复合操作仍然属于S_n 中；可逆性指的是对于S_n中的任意置换，它都有一个逆置换存在，使得它们的复合操作等于单位置换；结合性指的是对于S_n中的任意三个置换，在任意复合顺序下它们的结果都是相同的。
二、置换组合问题的解决方法在高考数学中，置换组合问题一般形式为：有n个不同的数，对它们进行若干次置换后，求出有多少个置换不改变这n个数的相对位置。
下面以一个典型的置换组合问题为例进行说明。
例1：有6个独立的物体放在数据线上，现要对它们进行随机的交换和移动操作，问有多少种操作方式，才能把数据线变为原始状态？解：首先，我们需要求解6个元素的置换群S_6中，有多少个置换能够将6个物体变回原始状态。
设A为将6个物体变回原始状态的置换集合，那么|A|表示置换集合A中元素的数量。
由于A中的每一个置换操作都是可逆的，只需要找到其中一个操作，后面的操作就可以根据该操作的逆置换进行计算。
换句话说，假设存在一个合法操作将这6个物体变为原始状态，那么我们可以考虑该操作能够带来些什么变化，进而推导出其他合法操作的数量。
对于该操作，我们假设其将第1个物体移动到了第k个位置，然后根据k和其他物体的位置确定该置换。
不难发现，由于6个物体原来的位置已经确定，第1个物体此时只能被移到5个特定的位置上，也就是第2个物体到第6个物体所在的位置。
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3、汽车从甲地开往乙地，行完全程用了3小时，返回时 用了4小时。已知这辆汽车去时比返回时每小时快12 千米。甲、乙两地相距多少千米？
5辆玩具汽车与3架飞机玩具的价钱相等，每架飞机 玩具比每辆玩具汽车贵8元。这两种玩具的单价各是多 少元？
一段上好绸布可做24件同样的上衣和12条同样的裙子， 或者做18件同样的上衣和20条同样的裙子。那么，全 做上衣能做多少件？
练习：
1、商店里有甲种钢笔和乙种圆珠笔，已知2支钢笔的价 钱与15支圆珠笔的价钱相等。老师买了4支钢笔和6支 圆珠笔，共付72元，每支钢笔和每支圆珠笔各多少元？ 2、一辆卡车最多能载40袋大米和40袋面粉，或者载10 袋大米和100袋面粉。现在卡车上已载有20袋大米， 最多还能载多少袋面粉？
置换问题
置换问题主要是研究把有数量关系的两种数量转换
成一种数量，从而帮助我们找到解题方法的一类典型 的应用题。 解答置换问题一般用转换和假设这两种数学思维方 法。
20千克苹果与30千克梨共计132元，2千克苹果的价 钱与2.5千克梨的价钱相等。求苹果和梨的单价。
一件工作，甲做5小时以后由乙来做，3小时可以完 成；乙做9小时以后由甲来做，也是3小时可以完成。 那么甲做1小时以后由乙来做几小时可以完成？