2019高考数学二轮复习小题专项练习三三角函数的图像与性质文
2019版高考数学 二十 3.3三角函数的图象与性质
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课时分层作业二十三角函数的图象与性质一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018·海淀区模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+)的最小正周期为π,则ω= ( )A.1B.±1C.2D.±2【解析】选D.因为T=,所以|ω|==2,故ω=±2.【误区警示】解答本题易出现选C的错误答案,导致出现这种错误的原因是忽略了周期公式T=中的ω应加绝对值.2.(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)=cos ,则下列结论错误的是( )A.f(x)的一个周期为-2πB.y=f(x)的图象关于直线x=对称C.f(x+π)的一个零点为x=D.f(x)在内单调递减【解析】选D.当x∈时,x+∈,函数在该区间内不单调.3.函数y=-2cos2+1是( )A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为的奇函数D.最小正周期为的非奇非偶函数【解析】选A.y=-2cos2+1=-+1=sin 2x.4.(2016·浙江高考)函数y=sin x2的图象是( )【解题指南】根据函数的奇偶性和最值判断.【解析】选D.因为y=sin x2为偶函数,所以它的图象关于y轴对称,排除A,C选项;当x2=,即x=±时,y max=1,排除B选项.5.(2018·大连模拟)已知函数f(x)=sin(ωx-)(ω>0),若函数f(x)在区间上为单调递减函数,则实数ω的取值范围是( )A. B.C. D.【解析】选B.因为π<x<,所以ωπ-<ωx-<-,由正弦函数的单调性可得即也即所以≤ω≤.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2018·广州模拟)若函数f(x)=cos(ωx+)(ω∈N*)的一个对称中心是,则ω的最小值为________.【解析】因为f=0,所以cos=0,即+=+kπ,故ω=2+6k(k∈Z),又因为ω∈N*,故ω的最小值为2.答案:27.函数y=的定义域为________.【解析】由题意得cos x≥,故2kπ-≤x≤+2kπ(k∈Z).答案:,k∈Z8.函数y=sin x-cos x+sin xcos x的值域为________.【解析】设t=sin x-cos x,则t2=sin2x+cos2x-2sin xcos x,sin xcos x=,且-≤t≤. 所以y=-+t+=-(t-1)2+1.当t=1时,y max=1;当t=-时,y min=--.所以函数的值域为.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2017·北京高考)已知函数f(x)=cos(2x-)-2sin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期.(2)求证:当x∈时,f(x)≥-.【解析】(1)f(x)=cos-2sin xcos x=cos 2x+sin 2x-sin 2x=sin 2x+cos 2x=sin,所以T==π.(2)令t=2x+,因为-≤x≤,所以-≤2x+≤,因为y=sin t在上递增,在上递减,且sin<sin ,所以f(x)≥sin=-,得证.10.已知f(x)=sin.(1)求函数f(x)图象的对称轴方程.(2)求f(x)的单调递增区间.(3)当x∈时,求函数f(x)的最大值和最小值.【解析】(1)f(x)=sin,令2x+=kπ+,k∈Z,则x=+,k∈Z.所以函数f(x)图象的对称轴方程是x=+,k∈Z.(2)令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,则kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.故f(x)的单调递增区间为,k∈Z.(3)当x∈时,≤2x+≤,所以-1≤sin≤,所以-≤f(x)≤1,所以当x∈时,函数f(x)的最大值为1,最小值为-.1.(5分)已知函数f=sin(ω>0),x∈R.若函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数y=f的图象关于直线x=ω对称,则ω的值为( )A. B.2 C. D.【解析】选D.因为f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数图象关于直线x=ω对称,所以f(ω)必为一个周期上的最大值,所以有ω·ω+=2kπ+,k∈Z,所以ω2=+2kπ,k∈Z.又ω-(-ω)≤·,即ω2≤,即ω2=,所以ω=.2.(5分)(2018·广州模拟)已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(x∈R),又f(α)=2,f(β)=2,且|α-β|的最小值是,则正数ω的值为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选D.函数f(x)=sin ωx+cos ωx=2sin.由f(α)=2,f(β)=2,且|α-β|的最小值是,所以函数f(x)的最小正周期T=,所以ω==4.3.(5分)(2018·深圳模拟)若函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间上是单调递减函数,且函数值从1减少到-1,则f=________.【解析】由题意知=-=,故T=π,所以ω==2,又f=1,所以sin=1.因为|φ|<,所以φ=,即f(x)=sin.故f=sin=cos=.答案:4.(12分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为π.(1)求当f(x)为偶函数时φ的值.(2)若f(x)的图象过点,求f(x)的单调递增区间.【解析】由f(x)的最小正周期为π,则T==π,所以ω=2,所以f(x)=sin(2x+φ).(1)当f(x)为偶函数时,f(-x)=f(x).所以sin(2x+φ)=sin(-2x+φ),展开整理得sin 2xcos φ=0,由已知上式对∀x∈R都成立,所以cos φ=0.因为0<φ<,所以φ=.(2)因为f=,所以sin=,即+φ=+2kπ或+φ=+2kπ(k∈Z),故φ=2kπ或φ=+2kπ(k∈Z),又因为0<φ<,所以φ=,即f(x)=sin,由-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z)得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),故f(x)的递增区间为.5.(13分)已知函数f(x)=asin+a+b.(1)若a=-1,求函数f(x)的单调递增区间.(2)若x∈[0,π],函数f(x)的值域是[5,8],求a,b的值. 【解析】f(x)=asin+a+b.(1)当a=-1时,f(x)=-sin+b-1,由2kπ+≤x+≤2kπ+(k∈Z),得2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z),所以f(x)的单调递增区间为[2kπ+,2kπ+],k∈Z.(2)因为0≤x≤π,所以≤x+≤,所以-≤sin≤1,依题意知a≠0.①当a>0时,所以a=3-3,b=5.②当a<0时,所以a=3-3,b=8.综上所述,a=3-3,b=5或a=3-3,b=8.【变式备选】(2018·咸阳模拟)已知函数f(x)=2sin.(1)求函数的最大值及相应的x值集合.(2)求函数的单调区间.(3)求函数f(x)的图象的对称轴与对称中心.【解析】(1)当sin=1时,2x-=2kπ+,k∈Z,即x=kπ+,k∈Z,此时函数取得最大值为2;故f(x)的最大值为2,使函数取得最大值的x的集合为.(2)由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.所以函数f(x)的单调递增区间为,k ∈Z. 由+2k π≤2x-≤+2k π,k ∈Z 得+k π≤x ≤+k π,k ∈Z.所以函数f(x)的单调递减区间为,k ∈Z.(3)由2x-=+k π,k ∈Z得x=+k π,k ∈Z.即函数f(x)的图象的对称轴为 x=+k π,k ∈Z.由2x-=k π,k ∈Z 得x=+k π,k ∈Z, 即对称中心为,k ∈Z.关闭Word 文档返回原板块。
高考数学大二轮复习 微专题(三) 三角函数问题的解题技巧——“变角”“变式”
π
,
π
2
因此 sin
,所以
π
+4
所以 2sin
12
1
于是 t +t2
2
∈ -
π
+4
=
π
θ+4
∈
π
+
4
3π 5π
,
4 4
2 2
,
2 2
,
,
,
∈(-1,1),即 t∈(-1,1).
1
(t+1)2-1∈(-1,1).
2
故 sin θ+cos θ+sin θcos θ 的取值范围是(-1,1).
考查角度
角度一 变角
5π
12
[例 1—1](2021·山东淄博月考)已知 θ∈(0,π),cos 6 - =-13,则 tan +
π
=
6
.
5
答案
12
解析 由于
又因为 cos
π
θ∈(0,π),所以-6
5π
-
6
<
12
π
=- ,所以
13
2
因此 sin
5π
-
6
=
所以 tan
5π
-
6
5
=-12,
4
4
立联系.
,sin 2α,cos 2α等式子也都可以相互转化建
[例2-4](2021·山东潍坊月考)已知θ是钝角,则sin θ+cos θ+sin θcos θ的取值
范围是
.
答案 (-1,1)
2 -1
θ= ,于是
2
高考数学大二轮复习 专题一 平面向量、三角函数与解三角形 第二讲 三角函数的图象与性质限时规范训练
第二讲 三角函数的图象与性质1．(2019·豫南九校联考)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移π6个单位，则所得函数图象的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－5π24B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－5π12 D.y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －7π12 解析：函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4经伸长变换得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4，再作平移变换得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x －π6－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3.答案：B2．(2019·某某亳州一中月考)函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3在一个周期内的图象是( )解析：由题意得函数的周期为T ＝2π，故可排除B ，D.对于C ，图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，代入解析式，不成立，故选A. 答案：A3．(2019·某某某某十校期末测试)要得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝cos 2x的图象( )A ．向左平移π3个单位长度B ．向左平移π6个单位长度C ．向右平移π6个单位长度D ．向右平移π3个单位长度解析：∵y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∴要得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝cos 2x 的图象向左平移π6个单位长度．答案：B4．(2019·东北三省三校一模)已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离是π2，则该函数的一个单调增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3解析：由题意得2πω＝2×π2，解得ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π(k ∈Z)，解得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π.当k ＝0时，有x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6.故选A.答案：A5．(2019·高考全国卷Ⅱ)若x 1＝π4，x 2＝3π4是函数f (x )＝sin ωx (ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝( ) A ．2B.32 C ．1D.12解析：由题意及函数y ＝sin ωx 的图象与性质可知， 12T ＝3π4－π4，∴T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2. 故选A. 答案：A6．(2019·某某某某一模)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，其中ω为常数，且ω∈(1,3)．若对任意的实数x ，总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值是( ) A ．1 B.π2C ．2D.π解析：∵函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，∴π3ω＋π3＝k π，k ∈Z ，∴ω＝3k －1，k ∈Z ，由ω∈(1,3)，得ω＝2.由题意得|x 1－x 2|的最小值为函数的半个周期，即T 2＝πω＝π2.答案：B7．(2019·某某平遥中学调研)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，已知点A (0，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，若将它的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，则函数g (x )图象的一条对称轴方程为( ) A ．x ＝π12B.x ＝π4C ．x ＝π3D.x ＝2π3解析：由题意知图象过A (0，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0， 即f (0)＝2sin φ＝3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6·ω＋φ＝0，又ω>0，|φ|<π，并结合图象知φ＝2π3，π6·ω＋φ＝π＋2k π(k ∈Z)，得ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3， 移动后g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋2π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z)，解得x ＝π12＋k π2(k ∈Z)，所以满足条件的一条对称轴方程是x ＝π12，故选A.答案：A8．(2019·某某某某适应性统考)已知A ，B ，C ，D ，E 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2一个周期内的图象上的五个点，如图所示，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的投影为π12，则ω，φ的值为( )A ．ω＝2，φ＝π3B.ω＝2，φ＝π6C ．ω＝12，φ＝π3D.ω＝12，φ＝π12解析：由题意知T ＝4×⎝⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝π，所以ω＝2.因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，所以0＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋φ. 又0<φ<π2，所以φ＝π3.答案：A9．(2019·某某某某3月模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)，f (0)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，若f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上有且仅有三个零点，则ω的可能取值为( )A.23 B.2 C.143D.263解析：∵函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)，f (0)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2ω－π6＝－12，∴π2ω－π6＝2k π＋π6或π2ω－π6＝2k π＋5π6，k ∈Z ，∴ω＝4k ＋23或ω＝4k ＋2，k ∈Z.∵函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上有且仅有三个零点，∴ωx －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，ωπ2－π6，∴2π<ωπ2－π6≤3π，∴133<ω≤193，∴ω＝143或ω＝6.故选C.答案：C10．(2019·贺州一模)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(φ∈R)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f (x )，且f (π)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，则函数f (x )取得最大值时x 的可能值为( )A.π6B.π5C.π3D.π2解析：因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f (x )， 即y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，即函数f (x )在x ＝π6时取得最值，①当函数f (x )在x ＝π6时取得最大值时，又因为函数f (x )的周期为π，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝f (π)，满足题意， ②当函数f (x )在x ＝π6时取得最小值时，又因为函数f (x )的周期为π，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝f (π)，不满足题意， 综合①②得：函数f (x )取得最大值时x 的可能值为π6.故选A. 答案：A11．(2019·某某一模)若函数f (x )＝sinωx2·sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx 2＋π2(ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π2内有且仅有一个最大值，则ω的取值X 围是( ) A ．(0,5)B.[1,5)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，92 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，92 解析：f (x )＝sinωx2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx 2＋π2＝12sin ωx ，当ωx ＝2k π＋π2，即x ＝2k π＋π2ω(k ∈Z)时函数取最大值，又函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π2内有且仅有一个最大值，即有两种情况，一是区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π2内只有一个极值点，二是函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π2内单调递增，所以有⎩⎪⎨⎪⎧π2≤ωπ2<5π2，－3π2<－ωπ3或⎩⎪⎨⎪⎧π2≥ωπ2，－π2≤－ωπ3，解得ω∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，92或ω∈(－∞，1]，又∵ω>0，所以ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，92，故选C. 答案：C12．(2019·某某一模)函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋cos 2x ，若f (x )最大值为G (θ)，最小值为g (θ)，则( )A ．∃θ0∈R ，使G (θ0)＋g (θ0)＝πB ．∃θ0∈R ，使G (θ0)－g (θ0)＝πC ．∃θ0∈R ，使|G (θ0)·g (θ0)|＝πD ．∃θ0∈R ，使⎪⎪⎪⎪⎪⎪G (θ0)g (θ0)＝π解析：f (x )＝sin(2x ＋θ)＋cos 2x ＝cos θ·sin 2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ＋12·cos 2x ＋12＝54＋sin θsin(2x ＋φ)＋12，所以G (θ)＝54＋sin θ＋12，g (θ)＝－54＋sin θ＋12， ①对于选项A ，G (θ0)＋g (θ0)＝54＋sin θ＋12－54＋sin θ＋12＝1，显然不满足题意，即A 错误，②对于选项B ，G (θ0)－g (θ0)＝54＋sin θ＋12＋54＋sin θ－12＝254＋sin θ∈[1,3]，显然不满足题意，即B 错误， ③对于选项C ，G (θ0)·g (θ0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫54＋sin θ＋12·⎝ ⎛⎭⎪⎫54＋sin θ－12＝1＋sin θ∈[0,2]，显然不满足题意，即C 错误，④对于选项D ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪G (θ)g (θ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪154＋sin θ－12＋1∈[2，＋∞)，即∃θ0∈R ，使⎪⎪⎪⎪⎪⎪G (θ0)g (θ0)＝π，故D 正确， 故选D. 答案：D13．(2019·某某模拟)函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1(x ∈R)的最大值为________．解析：∵f (x )＝4cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1＝4cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x －1＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，∴f (x )max ＝2. 答案：214．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)．若函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则函数f (x )的最小正周期为________． 解析：∵f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3， ∴x ＝π2和x ＝2π3均不是f (x )的极值点，其极值应该在x ＝π2＋2π32＝7π12处取得，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，∴x ＝π6也不是函数f (x )的极值点，又f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性， ∴x ＝π6－⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π2＝π12为f (x )的另一个相邻的极值点，故函数f (x )的最小正周期T ＝2×⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π12＝π.答案：π15．(2019·某某某某武邑中学模拟)将f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π4ω个单位，得到y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上为增函数，则ω的最大值为________．解析：将f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π4ω个单位，得到y ＝g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4ω＋π4＝2sin ωx 的图象，若y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上为增函数，则满足T 4≥π4，即T ≥π，即2πω≥π，所以0<ω≤2，即ω的最大值为2.答案：216．已知函数f (x )＝2a sin(πωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ≠0，ω>0，|φ|≤π2，直线y ＝a 与f (x )的图象的相邻两个距离最近的交点的横坐标分别是2和4，现有如下命题： ①该函数在[2,4]上的值域是[a ，2a ]；②在[2,4]上，当且仅当x ＝3时函数取得最大值； ③f (x )的图象可能过原点． 其中真命题的个数为________．解析：对于①，∵直线y ＝a 与函数f (x )＝2a sin(πωx ＋φ)的图象的相邻两个距离最近的交点的横坐标分别为2和4，∴结合图象可以看出，当a >0时，f (x )在[2,4]上的值域为[a ，2a ]，当a <0时，f (x )在[2,4]上的值域为[2a ，a ]，①错误；对于②，根据三角函数图象的对称性，显然x ＝2和x ＝4的中点是x ＝3，即当a >0时，f (x )在x ＝3处有最大值f (3)＝2a ，当a <0时，f (x )在x ＝3处有最小值f (3)＝2a ，②错误； 对于③，f (0)＝2a sin φ，令f (0)＝0，得φ＝0，此时f (x )＝2a sin πωx ，由2a sin πωx ＝a 得sin πωx ＝22，则πωx ＝2k π＋π4(k ∈Z)或πωx ＝2k π＋3π4(k ∈Z)，∴x ＝2k ＋14ω(k ∈Z)或x ＝2k ＋34ω(k ∈Z)，∵直线y ＝a 与函数f (x )＝2a sin(πωx ＋φ)的图象的相邻两个距离最近的交点的横坐标分别为2和4，∴令⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋14ω＝2，2k ＋34ω＝4，解得k ＝18∉Z ，即不存在这样的k 符合题意，③错误． 综上，没有真命题． 答案：0。
江苏省2019高考数学二轮复习第2讲三角函数的图象及性质课件(含答案)251
.
5
6
,
2
答案
2
解 ≤析 +对2k任π，意k的∈实Z，数 α∈+2 kπ，56≤总β,≤有 2 f+(α2k)∈π， k，∈fZ(β，)∈2存3 , 在0，唯2一kπ的≤β实0-,数23β∈[0，m]，
则6 实3数m
6
变)，再将所得到的图象向右平移
cos 的图象.
3
个单位长度得到函数g(x)=co12s x=
3
1 2
x
6
2上.(的20最18大江值苏和南最京小期值中分)已别知为函a数，fb(，x)=则 a2+sibn的 2值，x 为x4∈R，若f(x. )在区间 8
2
,
6
3
,
2
【方法归纳】 (1)函数y=Asin(ωx+φ)+B称为三角函数的标准形式，若所给三 角函数解析式能利用三角公式化为标准型，首先要化为标准形式，再结合正弦 函数图象研究函数性质;(2)求三角函数在给定区间上的单调区间，首先求三 角函数在R上的单调区间，再与所给区间取交集，最后注意单调区间的写法， 必 须写区间，且中间用“逗号”或“和”隔开，不能用“∪”.
φ
∴φ=- ，∴f(x)=2sin .
2
2
∵f(α)=2sin = ，
6
x
6
α
6
6 5
∴ ∴s- in <αα=- 6 .<又 530，<α< ，2
副题02 三角函数的图象和性质-2019年高考数学二轮透析23题对对碰 Word版含解析
2019届二轮透析高考数学23题对对碰【二轮精品】 第一篇副题2 三角函数的图象和性质【主题考法】主题点考题形式为选择填空题，主要考查三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最值、有界性、图象的平移和伸缩变换及图像及图像应用，考查运算求解能力、转化化归思想、数形结合思想。
分值为5分，在复习时应予以关注.【主题回扣】1.常用三种函数的图象性质(下表中k ∈Z )2.三角函数的常用结论(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得.(2)y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得. (3)y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数.3.三角函数的两种常见变换(1)y ＝sin x ――――――――――――――――→向左（φ＞0）或向右（φ＜0）平移|φ|个单位y ＝sin(ωx ＋φ)――――――――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变 y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0).y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0).4.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0，A ＞0)的图象 (1)“五点法”作图设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出相应的x 的值与y 的值，描点、连线可得．(2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口．【易错提醒】1.在求三角函数的值域(或最值)时，不要忽略x 的取值范围．2.求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，要注意ω，A 的符号.若ω<0时，应先利用诱导公式将x 的系数转化为正数后再求解；在书写单调区间时，不能弧度和角度混用，需加2k π时，不要忘掉k ∈Z ，所求区间一般为闭区间.3.三角函数图象变换中，注意由y ＝sin ωx 的图象变换得到y ＝sin(ωx ＋φ)时，平移量为||ωπ，而不是φ. 【主题考向】考向一 三角函数的单调性【解决法宝】求三角函数的单调区间时应注意以下几点：（1）形如的函数的单调区间，基本思路是把x ωϕ+看作是一个整体，由求得函数的增区间，由求得函数的减区间． （2）形如的函数，可先利用诱导公式把x 的系数变为正数，得到，由得到函数的减区间，由得到函数的增区间．（3）对于，等，函数的单调区间求法与类似． 例1【2019届北京市人大附中模拟一】若函数与的对称轴完全相同，则函数在哪个区间上单调递增（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】先根据已知条件求出 ，即可求出)(x f 的解析式，再利用整体代换求出)(x f 单调递增区间. 【解析】由2xk π得x，即函数f （x ）的对称轴为x ，由ωxk π得x，则ω＝2，即f （x ）＝2sin （2x ），由2k π2x 2k π，k ∈Z ，得k πx ≤k π，k ∈Z ，∵x ∈[0，π]，∴当k ＝0时，x，即0≤x，故选A ．考向二 三角函数的周期性与奇偶性【解决法宝】1．对三角函数的奇偶性的问题，首先要对函数的解析式进行恒等变换，化为一个角的三角函数，再根据定义、诱导公式去或图像判断所求三角函数的奇偶性，对奇偶性熟记下列结论可以快速解题：①是奇函数的充要条件为；②是偶函数的充要条件为；③是奇函数的充要条件为；④是偶函数的充要条件为；2．对三角函数周期问题，先利用三角公式将函数解析式化为一个角的三角函数，再利用下列方法求三角函数周期：①利用周期函数的定义； ②利用公式：和的最小正周期为2||πω，的最小正周期为||πω； ③利用图象．例2 【广东省深圳实验等六校2018届第一次联考】已知函数，下列结论中错误的是（ ）．A. 的图象关于点中线对称B.的图象关于对称C.的最大值为D.既是奇函数，又是周期函数【分析】通过计算是否为0，即可判断选项A 是否正确；通过计算即可判定是否成立，即可判定B 是否正确；利用倍角公式、换元法和导数即可求出函数)(x f 的最值；利用函数奇偶性的概念与函数周期定义即可对D 作出判断.【解析】项，因为．即，故函数图象关于点成中心对称．故正确；项，，故函数图象关于直线对称，故项正确；项，，令，，令，得或，根据函数的单调性分析得有极大值，而当时，，时，，所以时，取得最大值，即的最大值为，故项错误；项，因为，所以函数是奇函数，且图象关于对称，即，，因此，从而．即函数是以为周期的奇函数，故选．考向三 三角函数的对称性【解题法宝】先利用三角公式将函数解析式化为一个角的三角函数，再利用正弦函数、余弦函数、正切函数的对称性及整体思想，求解对称轴和对称中心，也可以利用对称轴过最值点解题. 例3【2019届贵州省贵阳市期末】已知直线，分别是曲线与的对称轴，则A ．2B ．0C ．D ．【分析】先分别求出)(x f 与)(x g 的对称轴21,x x ，即可求出21x x -，代入)(x f 即可求出值.【解析】由得，即的对称轴为，，的对称轴为，，直线，分别是曲线与的对称轴，，，，，则，，，则，故选C ．考向四 三角函数的值域与最值【解题法宝】先利用三角公式将函数解析式化为形如的一个角的三角函数，再根据所给自变量的范围，利用不等式性质求出ϕω+x 范围，再利用函数x y sin =图像与性质求出的值域（最值），即可求出的值域（最值）.例4 【2019届广东省汕头市一模】将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则在上的最大值为（ ） A ．B ．C ．D ．1【分析】先根据图象平移求出()g x 的解析式，再利用复合函数求值域的方法，即可()g x 在]83,8[ππ-的值域，即可得出最大值..【解析】将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则，因为，所以，所以当时，即时，函数取得最大值，最大值为，故选C.考向五 三角函数的图象及其应用【解决法宝】1.函数sin y x =的图象变换得到的图象的步骤（1）确定中的参数的方法：在由图象求解析式时，若最大值为M ，最小值为m ，则2M m A -=，2M m k +=，ω由周期T 确定，即由2Tπω=求出，ϕ由特殊点确定．。
高考数学二轮复习专题04 三角函数的图像与性质(解析版)
3、求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)函数的图象对称轴或对称中心时， 都是把“ωx＋φ”看作一个整体，然后根据三角函数图象的对称轴或对称中心列方程进行求解。
C．在区间 上单调递增D．在区间 上单调递减
【答案】A
【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将函数 的图象向右平移 个单位长度之后的解析式为 ，
则函数的单调递增区间满足 ，即 ，令 可得函数的一个单调递增区间为 ，选项A正确，B错误；
函数的单调递减区间满足： ，即 ，令 可得函数的一个单调递减区间为 ，选项C，D错误.
题型二求 的解析式
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)中参数的方法
(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝ ，b＝ ；
(2)求ω：确定函数的周期T，则可得ω＝ ；
(3)求φ：常用的方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．
【答案】A
【解析】由题意知， 的周期 ，解得 ．故选A．
【名师点睛】本题考查三角函数的极值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．利用周期公式，通过方程思想解题．
4、【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数 在[0，2π]的零点个数为（）
A．2B．3
C．4D．5
【答案】B
【解析】由 ，
得 或 ，
， ．
例2、(2019南京、盐城二模）若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图像经过点 ，且相邻两条对称轴间的距离为 ，则f 的值为________．
2019高考数学(理)通用版二轮重点专题分层练三角函数的图象与性质[小题提速练](解析版)
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2019高考数学（理）通用版二轮重点专题分层练三角函数的图象与性质[小题提速练]（解析版）[明晰考情]1. 命题角度：三角函数的性质；三角函数的图象变换；由三角函数的图象求解析式2. .2.题目难度：三角函数的图象与性质常与三角变换相结合，难度为中低档.考点一 三角函数的图象及变换要点重组 (1)五点法作简图：y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象可令ωx ＋φ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x 的值，作出对应点得到.(2)图象变换：平移、伸缩、对称.特别提醒 由y ＝A sin ωx 的图象得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，需平移⎪⎪⎪⎪φω个单位长度，而不是|φ|个单位长度.1.(2018·兰州诊断)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，如果x 1＋x 2＝2π3，则f (x 1)＋f (x 2)等于( )A.32 B.22 C.0 D.－12答案 C解析 由题图知，T 2＝π2，即T ＝π，则ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)，∵点⎝⎛⎭⎫π3，0在函数f (x )的图象上，∴sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝0， 即2π3＋φ＝k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，∴φ＝π3， ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎫2x ＋π3. ∵x 1＋x 2＝2π3，∴⎝⎛⎭⎫2x 1＋π3＋⎝⎛⎭⎫2x 2＋π3＝2π，∴f (x 1)＋f (x 2)＝0. 2.若将函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的图象重合，则ω的最小正值为( ) A.16 B.14 C.13 D.12 答案 D解析 将y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4的图象向右平移π6个单位长度，得到y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4－ωπ6的图象， 由平移后的图象与y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的图象重合， 得π4－ωπ6＝k π＋π6，k ∈Z ， 故ω＝－6k ＋12，k ∈Z ，所以ω的最小正值为12.3.(2018·天津)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( ) A.在区间⎣⎡⎦⎤3π4，5π4上单调递增 B.在区间⎣⎡⎦⎤3π4，π上单调递减 C.在区间⎣⎡⎦⎤5π4，3π2上单调递增 D.在区间⎣⎡⎦⎤3π2，2π上单调递减 答案 A解析 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度后的解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π10＋π5＝sin 2x ，则函数y ＝sin 2x 的一个单调增区间为⎣⎡⎦⎤3π4，5π4，一个单调减区间为⎣⎡⎦⎤5π4，7π4.由此可判断选项A 正确. 故选A.4.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin x ，x ∈[0，π]，|cos x |，x ∈(π，2π]，若函数g (x )＝f (x )－m 在[0，2π]内恰有4个不同的零点，则实数m 的取值范围是( ) A.(0，1) B.[1，2] C.(0，1]D.(1，2)答案 A解析 画出函数f (x )在[0，2π]上的图象，如图所示：若函数g (x )＝f (x )－m 在[0，2π]内恰有4个不同的零点，即y ＝f (x )和y ＝m 在[0，2π]内恰有4个不同的交点，结合图象，知0<m <1. 考点二 三角函数的性质方法技巧 (1)整体思想研究性质：对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，可令t ＝ωx ＋φ，考虑y ＝A sin t 的性质. (2)数形结合思想研究性质.5.(2018·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A.f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B.f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C.f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D.f (x )的最小正周期为2π，最大值为4 答案 B解析 ∵f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝1＋cos 2x －1－cos 2x 2＋2＝32cos 2x ＋52，∴f (x )的最小正周期为π，最大值为4. 故选B.6.(2017·全国Ⅲ)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( ) A.f (x )的一个周期为－2π B.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称 C.f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D.f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减 答案 D解析 A 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的周期为2k π(k ∈Z 且k ≠0)，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确；B 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，所以y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称，B 项正确；C 项，f (x ＋π)＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3.令x ＋4π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π－5π6，k ∈Z .当k ＝1时，x ＝π6，所以f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6，C 项正确；D 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z )，递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3(k ∈Z )， 所以f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，2π3上单调递减，在⎣⎡⎭⎫2π3，π上单调递增，D 项错误. 7.使函数f (x )＝sin ()2x ＋θ＋3cos(2x ＋θ)是奇函数，且在⎣⎡⎦⎤0，π4上是减函数的θ的一个值是( ) A.π3 B.2π3 C.4π3 D.5π3 答案 B解析 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋θ＋π3， 当θ＝2π3时，f (x )＝2sin(2x ＋π)＝－2sin 2x ，f (x )为奇函数.又此时f (x )的减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4，k ∈Z ， ∴f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π4上是减函数.故选B. 8.关于函数f (x )＝2(sin x －cos x )cos x 的四个结论： p 1：f (x )的最大值为2；p 2：把函数g (x )＝2sin 2x －1的图象向右平移π4个单位长度后可得到函数f (x )的图象；p 3：f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋7π8，k π＋11π8，k ∈Z ； p 4：f (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2＋π8，－1，k ∈Z . 其中正确的结论有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案 B解析 f (x )＝2sin x ·cos x －2cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－1， ∴f (x )max ＝2－1，∴p 1错；应将g (x )＝2sin 2x －1的图象向右平移π8个单位长度后得到f (x )的图象，∴p 2错；p 3，p 4正确，故正确的结论有2个. 考点三 三角函数图象与性质的综合要点重组 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)图象的相邻两条对称轴之间的距离是半个周期，一个最高点和与其相邻的一个最低点的横坐标之差的绝对值也是半个周期，两个相邻的最高点之间的距离是一个周期，一个对称中心和与其最近的一条对称轴之间的距离是四分之一个周期.9.(2018·湖南重点名校高三入学大联考)已知函数f (x )＝2sin ωx －2cos ωx (ω<0)，若y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象与y ＝f ⎝⎛⎫x －π4的图象重合，记ω的最大值为ω0，则函数g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ω0x －π3的单调递增区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤－π3＋k π2，－π12＋k π2(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤－π12＋k π2，π6＋k π2(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤－π3＋2k π，－π12＋2k π(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤－π12＋2k π，－π6＋2k π(k ∈Z ) 答案 A解析 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4，由已知得π2为函数f (x )的一个周期，即π2＝⎪⎪⎪⎪2πω·k ，k ∈Z ，又ω<0， ∴ω＝－4k ，k ∈N *，∴ω0＝－4， ∴g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫－4x －π3＝cos ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3， 令2k π－π≤4x ＋π3≤2k π，k ∈Z ，解得k π2－π3≤x ≤k π2－π12，k ∈Z .∴g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π2－π3，k π2－π12，k ∈Z .10.(2017·天津)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( ) A.ω＝23，φ＝π12B.ω＝23，φ＝－11π12C.ω＝13，φ＝－11π24D.ω＝13，φ＝7π24答案 A解析 ∵f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π， ∴f (x )的最小正周期为4⎝⎛⎭⎫11π8－5π8＝3π， ∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋φ. 又f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，即2sin ⎝⎛⎭⎫23×5π8＋φ＝2，即5π12＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ， 得φ＝2k π＋π12，k ∈Z .又|φ|＜π，∴取k ＝0，得φ＝π12. 11.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象与直线y ＝a (0＜a ＜A )的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则f (x )的单调递减区间是( ) A.[6k π，6k π＋3]，k ∈Z B.[6k π－3，6k π]，k ∈Z C.[6k ，6k ＋3]，k ∈Z D.[6k －3，6k ]，k ∈Z 答案 D解析 因为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象与直线y ＝a (0＜a ＜A )的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，所以T ＝2πω＝8－2＝6，且当x ＝2＋42＝3时函数取得最大值，所以ω＝π3，π3×3＋φ＝π2＋2n π，n ∈Z ，所以φ＝－π2＋2n π，n ∈Z ，所以f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫π3x －π2.由2k π＋π2≤π3x －π2≤2k π＋3π2，k ∈Z ，可得6k ＋3≤x ≤6k ＋6，k ∈Z .12.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，f (x )的图象向左平移π3个单位长度后关于直线x ＝0对称，则f ⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋f ⎝⎛⎭⎫x －π6的单调递增区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤k π＋3π8，k π＋7π8(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤2k π－π4，2k π＋3π4(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤2k π＋3π8，2k π＋7π8(k ∈Z ) 答案 A解析 易知ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)， 又f ⎝⎛⎫x ＋π3的图象关于直线x ＝0对称， ∴23π＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，∴φ＝－π6， 即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. ∴f ⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋f ⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4， 令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z ，∴f ⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋f ⎝⎛⎭⎫x －π6的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π8，k π＋3π8，k ∈Z .1.为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( ) A.向右平移π4个单位长度B.向左平移π4个单位长度C.向右平移π12个单位长度D.向左平移π12个单位长度答案 C解析 因为y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4＝2sin ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x ＋π12， 又y ＝2cos 3x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π2＝2sin ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x ＋π6， 所以应由y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位长度得到.2.将函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象向左平移π4个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到函数g (x )的图象，则函数f (x )的图象与函数g (x )的图象( ) A.关于点(－2，0)对称 B.关于点(0，－2)对称 C.关于直线x ＝－2对称D.关于直线x ＝0对称答案 B解析 将函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象向左平移π4个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到函数g (x )的解析式为g (x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π4－4＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－4＝3sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π8－4，f (x )＝3sin 2⎝⎛⎭⎫x －π8，故两个函数的图象关于点(0，－2)对称，故选B.3.已知关于x 的方程(t ＋1)cos x －t sin x ＝t ＋2在(0，π)上有实根，则实数t 的最大值是____. 答案 －1解析 由(t ＋1)cos x －t sin x ＝t ＋2， 得(t ＋1)2＋t 2cos(x ＋φ)＝t ＋2，有解的条件为(t ＋1)2＋t 2≥(t ＋2)2，解得t ≥3或t ≤－1.因为x ∈(0，π)，当t ≥3时显然不成立，故t ≤－1， 所以实数t 的最大值是－1.解题秘籍 (1)图象平移问题要搞清平移的方向和长度，由f (ωx )的图象得到f (ωx ＋φ)的图象平移了⎪⎪⎪⎪φω个单位长度(ω≠0).(2)研究函数的性质时要结合图象，对参数范围的确定要注意区间端点能否取到.1.将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π6图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移π4个单位长度，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴方程是( ) A.x ＝π6B.x ＝π3C.x ＝－π12D.x ＝－5π12答案 D解析 将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π6图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，再向左平移π4个单位长度，纵坐标不变，得函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，把四个选项中的值代入函数，只有D 代入后有sin ⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫－5π12＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫－π2＝－1是函数的最小值，因此x ＝－5π12是函数的一条对称轴方程. 2.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，如果x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)等于( )A.12B.32C.22 D.1 答案 B解析 由题图可知，T 2＝π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π2，则T ＝π，ω＝2， 又－π6＋π32＝π12，∴f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π12，1， 即sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋φ＝1，又|φ|<π2，所以φ＝π3， ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 而x 1＋x 2＝－π6＋π3＝π6，∴f (x 1＋x 2)＝f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋π3＝sin 2π3＝32. 3.(2018·全国Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]上是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4 B.π2 C.3π4 D.π 答案 A解析 f (x )＝cos x －sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x ·22－cos x ·22＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， 当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，即x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时， y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递增， f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递减. ∵函数f (x )在[－a ，a ]上是减函数， ∴[－a ，a ]⊆⎣⎡⎦⎤－π4，3π4， ∴0＜a ≤π4，∴a 的最大值为π4.故选A.4.已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中|φ|<π，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π2<f (π)，则下列结论正确的是( ) A.f ⎝⎛⎭⎫1112π＝－1 B.f ⎝⎛⎭⎫7π10>f ⎝⎛⎭⎫π5 C.f (x )是奇函数D.f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) 答案 D解析 由f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6恒成立知，x ＝π6是函数的对称轴，即2×π6＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝π6＋k π，k ∈Z ，又f ⎝⎛⎭⎫π2<f (π)，所以sin(π＋φ)<sin(2π＋φ)，即－sin φ<sin φ，所以sin φ>0，又|φ|<π，所以φ＝π6，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ，即f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ). 5.已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x (x ∈R )，先将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再将得到的图象上所有点向右平移θ(θ>0)个单位长度，得到的图象关于直线x ＝3π4对称，则θ的最小值为( ) A.π6 B.π3 C.5π12 D.2π3答案 A解析 函数f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3(x ∈R )， 先将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，可得y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，再将得到的图象上所有点向右平移θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－2θ的图象. 又得到的图象关于直线x ＝3π4对称， 可得2×3π4＋π3－2θ＝k π＋π2，k ∈Z ， 即θ＝－k π2＋2π3，k ∈Z ， 当k ＝1时，θ的最小值为π6.故选A. 6.设函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2，且其图象关于直线x ＝0对称，则( ) A.y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增 B.y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减 C.y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递增 D.y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递减 答案 B解析 f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋φ，因为其图象关于x ＝0对称， 所以π6＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，即φ＝π3＋k π(k ∈Z ). 又|φ|＜π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝2cos 2x . 其最小正周期T ＝2π2＝π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减. 7.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( )A.f (2)<f (－2)<f (0)B.f (0)<f (2)<f (－2)C.f (－2)<f (0)<f (2)D.f (2)<f (0)<f (－2)答案 A解析 由于f (x )的最小正周期为π，∴ω＝2，即f (x )＝A sin(2x ＋φ)，∵当x ＝2π3时，2x ＋φ＝4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，∴φ＝2k π－11π6(k ∈Z )， 又φ>0，∴φmin ＝π6， 故f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.于是f (0)＝A sin π6， f (2)＝A sin ⎝⎛⎭⎫4＋π6＝A sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫4＋π6＝A sin ⎝⎛⎭⎫5π6－4， f (－2)＝A sin ⎝⎛⎭⎫－4＋π6＝A sin ⎝⎛⎭⎫13π6－4＝A sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫13π6－4＝A sin ⎝⎛⎭⎫4－7π6. 又∵－π2<5π6－4<4－7π6<π6<π2，y ＝A sin x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增， ∴f (2)<f (－2)<f (0)，故选A.8.(2016·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A.11B.9C.7D.5答案 B解析 因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴， 所以π4－⎝⎛⎭⎫－π4＝T 4＋kT 2，k ∈Z ， 即π2＝2k ＋14T ＝2k ＋14·2πω，k ∈Z ， 又ω>0，所以ω＝2k ＋1(k ∈N )，又因为f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，所以5π36－π18＝π12≤T 2＝2π2ω，即ω≤12， 若ω＝11，又|φ|≤π2，则φ＝－π4， 此时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫11x －π4，f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，3π44上单调递增，在⎝⎛⎭⎫3π44，5π36上单调递减，不满足条件. 若ω＝9，又|φ|≤π2，则φ＝π4， 此时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫9x ＋π4，满足f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调的条件. 由此得ω的最大值为9，故选B.9.(2018·全国Ⅲ)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6在[0，π]上的零点个数为______. 答案 3解析 由题意可知，当3x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )时，f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6＝0. ∵x ∈[0，π]，∴3x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，19π6， ∴当3x ＋π6的取值为π2，3π2，5π2时，f (x )＝0， 即函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6在[0，π]上的零点个数为3. 10.设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋3cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且满足f (－x )＝－f (x )，则函数f (x )的单调递增区间为__________.答案 ⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ) 解析 因为f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋3cos(ωx ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ＋π3⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且满足f (－x )＝－f (x )，所以ω＝2，φ＝－π3，所以f (x )＝2sin 2x ，令2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z ， 所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ). 11.已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2，y ＝f (x )的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫π24＝____.答案 3解析 如题干图所示，可知T 2＝3π8－π8＝π4， 所以T ＝π2，所以πω＝π2，所以ω＝2.因为图象过点⎝⎛⎭⎫3π8，0， 所以A tan ⎝⎛⎭⎫2×3π8＋φ＝0，即tan ⎝⎛⎭⎫3π4＋φ＝0.又|φ|＜π2，所以φ＝π4.又图象过点(0，1)，即A tan ⎝⎛⎭⎫2×0＋π4＝1， 所以A ＝1，所以f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 所以f ⎝⎛⎭⎫π24＝tan ⎝⎛⎭⎫2×π24＋π4＝tan π3＝ 3. 12.已知函数f (x )＝cos(2x －φ)－3sin(2x －φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象向右平移π12个单位长度后关于y 轴对称，则f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，0上的最小值为________. 答案 － 3解析 f (x )＝cos(2x －φ)－3sin(2x －φ)＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－φ， 将其图象向右平移π12个单位长度后， 得y ＝－2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12－π6－φ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－φ. 由其图象关于y 轴对称，得－π3－φ＝π2＋k π，k ∈Z ， ∴φ＝－5π6－k π，k ∈Z . 由|φ|＜π2，得φ＝π6. 即f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. ∵－π2≤x ≤0，∴－4π3≤2x －π3≤－π3， ∴－3≤f (x )≤2，则f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，0上的最小值为－ 3.。
2019年高考数学(文)：专题08-三角函数的图像与性质(命题猜想).doc
【考向解读】1.三角函数y ＝Asin (ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的图象变换，周期及单调性是高考热点．2.备考时应掌握y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象与性质，并熟练掌握函数y ＝Asin (ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的值域、单调性、周期性等．3.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.4.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点.【命题热点突破一】 三角函数的概念、同角三角函数关系、诱导公式 例1、【2017课标3，文6】函数的最大值为（ ）A ．65B ．1C ．35D ．15【答案】A【变式探究】若，则sin 2α=（ ）（A ）725 （B ）15 （C ）15- （D ）725- 【答案】D 【解析】，且，故选D.【感悟提升】在单位圆中定义的三角函数，当角的顶点在坐标原点，角的始边在x 轴正半轴上时，角的终边与单位圆交点的纵坐标为该角的正弦值、横坐标为该角的余弦值．如果不是在单位圆中定义的三角函数，那么只要把角的终边上点的横、纵坐标分别除以该点到坐标原点的距离就可转化为单位圆上的三角函数定义．【变式探究】 当x ＝π4时，函数f(x)＝Asin(x ＋φ)(A>0)取得最小值，则函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－x 是( )A ．奇函数且图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称B ．偶函数且图像关于点(π，0)对称C ．奇函数且图像关于直线x ＝π2对称D ．偶函数且图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称【答案】C【命题热点突破二】 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像与解析式 例2、（2018年天津卷）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数A. 在区间 上单调递增B. 在区间 上单调递减C. 在区间 上单调递增D. 在区间上单调递减【答案】A 【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：.所以f （x ）＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，f （x ）的最小正周期T ＝2π2＝π.【感悟提升】三角函数最值的求法：(1)形如y ＝asin x ＋bcos x ＋k 的函数可转化为y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k(A>0，ω>0)的形式，利用有界性处理；(2)形如y ＝asin 2x ＋bsin x ＋c 的函数可利用换元法转化为二次函数，通过配方法和三角函数的有界性求解；(3)形如y ＝cos x ＋asin x ＋b 的函数，一般看成直线的斜率，利用数形结合求解．【变式探究】为了得到函数的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点( )（A ）向左平行移动π3个单位长度 （B ）向右平行移动π3个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度 （D ）向右平行移动π6个单位长度 【答案】D【命题热点突破三】三角函数的性质 例3、（2018年天津卷）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数A. 在区间 上单调递增B. 在区间 上单调递减C. 在区间 上单调递增D. 在区间上单调递减【答案】A 【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：.则函数的单调递增区间满足：，即，令可得函数的一个单调递增区间为，选项A 正确，B 错误；函数的单调递减区间满足：，即，令可得函数的一个单调递减区间为，选项C ，D 错误；本题选择A 选项.【变式探究】某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：(2)将y ＝f(x)图像上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g(x)的图像，若y ＝g(x)图像的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值．（2）由（1）知f （x ）＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以g （x ）＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6. 因为y ＝sin x 的图像的对称中心为（k π，0），k ∈Z . 所以令2x ＋2θ－π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .由于函数y ＝g （x ）的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12，k ∈Z ，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z .由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.【感悟提升】函数图像的平移变换规则是“左加右减”，并且在变换过程中只变换其中的自变量x ，如果x 的系数不是1，那么就要提取这个系数后再确定变换的单位长度和方向．【变式探究】函数f(x)＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图像向左平移π6个单位长度后所得图像关于原点对称，则函数f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A ．－32B ．－12 C.12 D.32【答案】A【命题热点突破四】三角函数图像与性质的综合应用例4、（2018年江苏卷）已知函数的图象关于直线对称，则的值是________．【答案】【解析】由题意可得，所以，因为，所以2. （2018年天津卷）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数A. 在区间上单调递增B. 在区间上单调递减C. 在区间上单调递增D. 在区间上单调递减【答案】A3. （2018年北京卷）在平面直角坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以O y始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧是A. B.C. D.【答案】C【解析】由下图可得：有向线段为余弦线，有向线段为正弦线，有向线段为正切线.4. （2018年全国I卷）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则A. B. C. D.【答案】B【解析】根据题的条件，可知三点共线，从而得到，因为，11. （2018年江苏卷）已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）1．(2017·高考全国卷Ⅲ)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( ) A.65 B ．1 C.35D.15【解析】选A.解法一：∵f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6 ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＋32cos x ＋12sin x ＝110sin x ＋310cos x ＋32cos x ＋12sin x ＝35sin x ＋335cos x ＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，∴当x ＝π6＋2k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值65.故选A.解法二：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝π2，∴f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6 ＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3 ＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤65.∴f (x )max ＝65.故选A.2．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 23.【2017课标3，文6】函数的最大值为（ ）A ．65B ．1C ．35D ．15【答案】A【解析】由诱导公式可得：，则： ,函数的最大值为65.所以选A. 1.【2016高考新课标3文数】在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =（ ）（A （B （C ）- （D ）-【答案】C2.【2016高考新课标2文数】若，则sin 2α=（ ）（A ）725 （B ）15 （C ）15- （D ）725- 【答案】D 【解析】，且，故选D.6.【2016高考新课标2文数】若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）（A ）（B ）（C ） （D ）【答案】B7.【2016年高考北京文数】将函数图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >） 个单位长度得到点'P ，若'P 位于函数sin 2y x =的图象上，则（ ）A.12t =，s 的最小值为6πB.t =，s 的最小值为6πC.12t =，s 的最小值为3πD.t =s 的最小值为3π 【答案】A 【解析】由题意得，，当s 最小时，'P 所对应的点为π1(,)122，此时，故选A.8.【2016高考新课标3文数】函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．【答案】32π9.【2016高考浙江文数】设函数，则()f x 的最小正周期（ ）A ．与b 有关，且与c 有关B ．与b 有关，但与c 无关C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关 【答案】B 【解析】，其中当0=b 时，，此时周期是π；当0≠b 时，周期为2π，而c 不影响周期．故选B ．10.【2016高考山东文数】函数f （x ）=sin x +cos x ）cos x –sin x ）的最小正周期是（ ）（A ）2π（B ）π （C ）23π（D ）2π【答案】B 【解析】,故最小正周期22T ππ==,故选B.11.【2016年高考四川文数】为了得到函数的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点( )（A ）向左平行移动π3个单位长度 （B ）向右平行移动π3个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度 （D ）向右平行移动π6个单位长度【答案】D【解析】由题意，为了得到函数，只需把函数sin 2y x =的图像上所有点向右移6π个单位，故选D. 12.【2016高考新课标2文数】若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）（A ）（B ）（C ） （D ）【答案】B13.【2016年高考北京文数】将函数图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >） 个单位长度得到点'P ，若'P 位于函数sin 2y x =的图象上，则（ ）A.12t =，s 的最小值为6πB.t =，s 的最小值为6πC.12t =，s 的最小值为3πD.t =s 的最小值为3π 【答案】A 【解析】由题意得，，当s 最小时，'P 所对应的点为π1(,)122，此时，故选A.2)因为,a b 是方程在区间[0,2)p 内有两个不同的解，所以，.当1£当-时,所以解法二：(1)同解法一.4.【2015高考山东，理16】设.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若,求ABC ∆面积的最大值.【答案】（I ）单调递增区间是；单调递减区间是（II ）ABC ∆ 面积的最大值为24+（Ⅱ）由得1sin 2A =由题意知A 为锐角，所以cos A = 由余弦定理：可得：即： 当且仅当b c =时等号成立.因此所以ABC ∆面积的最大值为24+ 5.【2015高考重庆，理9】若，则（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4 【答案】C【解析】由已知，＝，选C .6.【2015高考山东，理3】要得到函数的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ）（A ）向左平移12π个单位 （B ）向右平移12π个单位（C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位 【答案】B7.【2015高考新课标1，理8】函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为( )(A)(B)(C) (D)【答案】D。
2019高考数学(理)二轮复习专题突破 第7讲 三角函数的图像与性质
第7讲三角函数的图像与性质1.(1)[2017·全国卷Ⅰ改编]已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin,则为了得到曲线C2,要把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度.(2)[2016·全国卷Ⅲ]函数y=sin x-cos x的图像可由函数y=sin x+cos x的图像至少向右平移个单位长度得到.[试做]命题角度三角函数的图像变换关键一:化为同名三角函数.关键二:两种途径,“先平移后伸缩”和“先伸缩后平移”.关键三:ωx+φ=ω.2.(1)[2017·全国卷Ⅱ]函数f(x)=sin2x+cos x-,的最大值是.(2)[2014·全国卷Ⅱ]函数f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)的最大值为.[试做]命题角度三角函数的最值问题方法一:利用诱导公式、三角恒等变换,将函数化为关于sin x或cos x的二次函数,采用配方法求最值.方法二:利用诱导公式、辅助角公式将函数化为f(x)=A sin(ωx+φ)+b(或f(x)=A cos(ωx+φ)+b),ω>0的形式,再根据三角函数的有界性求最值.3.(1)[2018·全国卷Ⅱ]若f(x)=cos x-sin x在[-a,a]是减函数,则a的最大值是()A.B.C.D.(2)[2015·全国卷Ⅰ]函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图像如图M2-7-1所示,则f(x)的单调递减区间为()图M2-7-1A.-,,k ZB.-,,k ZC.-,,k ZD.-,,k Z[试做]命题角度三角函数的单调性(1)将函数化为f(x)=A sin(ωx+φ)+b(或f(x)=A cos(ωx+φ)+b),ω>0的形式;(2)把ωx+φ(ω>0)看成整体,利用正弦函数、余弦函数的单调性求解.4.(1)[2017·全国卷Ⅲ]设函数f(x)=cos,则下列结论错误的是()A.f(x)的一个周期为-2B.y=f(x)的图像关于直线x=对称C.f(x+ )的一个零点为x=D.f(x)在, 单调递减(2)[2016·全国卷Ⅰ]已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|≤,x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图像的对称轴,且f(x)在,单调,则ω的最大值为()A.11B.9C.7D.5[试做]命题角度三角函数性质的综合考查①解决三角函数图像与性质问题:关键一,将函数化为y=A sin(ωx+φ)+b(或y=A cos(ωx+φ)+b),ω>0的形式;关键二,把ωx+φ(ω>0)看作一个整体代入y=sin x或y=cos x的单调区间或对称轴方程;关键三,最小正周期为.②对称与周期:正弦曲线、余弦曲线的相邻两个对称中心、相邻两条对称轴之间的距离是个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期;正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是个周期.小题1三角函数的概念、诱导公式及同角关系式1 (1)在平面直角坐标系中,若角α的终边经过点P sin,cos,则sin( +α)= ()A.-B.-C.D.(2)若α(0, ),sin( -α)+cos α=,则sin α-cos α的值为()A.B.-C.D.-[听课笔记]【考场点拨】应用同角三角函数的基本关系式及诱导公式求三角函数值的失分点:(1)确定不了函数值的符号,如由sin2α=求sin α的值;(2)诱导公式不熟,记忆与使用错误.【自我检测】1.若cos=,则sin-=()A.B.C.-D.-2.已知角α的始边与x轴的非负半轴重合,顶点与坐标原点重合,终边过点P(3,4),则=.-3.已知θ是第三象限角,且sin-=,则tanθ+=.小题2三角函数的图像及应用2 (1)设ω>0,若将函数y=2cos的图像向右平移个单位长度后与函数y=2sin的图像重合,则ω的最小值是()A.B.C.D.(2)函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ< )的部分图像如图M2-7-2所示, 已知x1,x2, ,x1≠x2,且f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)= ()图M2-7-2A.-1B.-2C.1D.2[听课笔记]【考场点拨】三角函数图像平移变换中的误区:(1)函数图像的平移法则是“左加右减、上加下减”,但是左右平移变换只是针对x作的变换.(2)函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像向左(右)平移k个单位长度后,其图像对应的函数解析式为g(x)=sin[ω(x±k)+φ],而不是g(x)=sin(ωx±k+φ).【自我检测】1.将函数f(x)=sin的图像向右平移a个单位长度得到函数g(x)=cos 2x的图像,则a的值可以为()A.B.C.D.2.将函数y=sin-的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平移个单位长度,则所得函数图像的解析式为()A.y=sin-B.y=sin-C.y=sin-D.y=sin-3.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1ω>0,|φ|≤,其图像与直线y=3的相邻两个交点的距离为 ,若f(x)>2对任意x,恒成立,则φ的取值范围是()A.,B.,C.,D.,4.已知函数f(x)=A cos(ωx+φ)的部分图像如图M2-7-3所示,f=-,则f(0)=.图M2-7-3小题3三角函数的性质及应用3 (1)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ< )的图像的相邻两条对称轴间的距离为,且f=0,则下列说法正确的是()A.ω=2B.函数y=f(x- )为偶函数C.函数f(x)在- ,-上单调递增D.函数f(x)的图像关于点,对称(2)设函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<,直线x=为y=f(x)图像的一条对称轴,f=0,且f(x)的最小正周期大于2 ,则φ=.[听课笔记]【考场点拨】三角函数性质的应用要注意以下两点:首先要将函数化为y=A sin(ωx+φ)(ω>0)的形式,再对比y=sin x的性质,即把ωx+φ看成一个整体处理,但是一定要注意ω>0,否则易出错;其次一定要结合图像进行分析.【自我检测】1.若已知函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为 ,则该函数的图像()A.关于点,对称B.关于点,对称C.关于直线x=对称D.关于直线x=对称2.若函数f(x)=sin ωx-cos ωx(ω>0)在-,上单调递增,则ω的取值不可能为()A.B.C.D.3.设函数f(x)=cos(),其中常数φ满足-<φ<0.若函数g(x)=f(x)+f'(x)是偶函数,则φ=()A.-.-C.-D.-2,-2是该函数4.已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图像上相邻两个最高点的距离为6,P2图像上的一个最低点,则该函数图像的一个对称中心是()A.(1,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(4,0)小题4三角函数的值域与最值问题4 (1)已知将函数f (x )=2sin - cos x+ 2的图像向左平移2个单位长度后得到函数y=g (x )的图像,则g (x )在 - ,上的值域为 ( ) A . -2,B . - ,2C . -2, D . - 2,2(2)函数f (x )=2sin 2+2sin- cos- 在区间 2,上的最小值为 .[听课笔记]【考场点拨】有关三角函数的值域与最值问题的解题策略:(1)形如y=a sin x+b cos x+c 的三角函数,要根据三角恒等变换把函数化为y=A sin(ωx+φ)+k 的形式,再借助三角函数的图像与性质确定值域与最值;(2)形如y=a sin 2x+b sin x+c 的三角函数,转化为二次函数去求解;(3)形如y=a sin x cos x+b (sin x±cos x )+c 的三角函数,可先设t=sin x±cos x ,再转化为关于t 的二次函数去求解. 【自我检测】1.函数y=cos 2x+2sin x 的最大值为 ( ) A .2B .1C .2D .22.将函数f (x )= sin x cos x+cos 2x-2的图像向左平移2个单位长度得到函数y=g (x )的图像,则g (x )在 -2,上的值域为 ( ) A . -2,B . - ,2C . -2,2D . - 2,23.已知函数f (x )=sin ωx+ cos ωx (ω>0)在区间 0上的最小值为-1,则ω= .4.已知函数y=cos2x+2sin 2x-2,x02,则该函数的值域为.第7讲三角函数的图像与性质典型真题研析1.(1)(2)[解析] (1)曲线C1,即y=sin,把其上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得曲线y=sin,再把该曲线向左平移个单位长度,得到y=sin =sin的图像.(2)函数y=sin x-cos x=2sin x-的图像可由函数y=sin x+cos x=2sin x+的图像至少向右平移个单位长度得到.2.(1)1(2)1[解析] (1)f(x)=-cos2x+cos x+=--+ ≤ ,当且仅当cos x=,即x=时,等号成立,所以最大值为1.(2)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)=sin[(x+φ)+φ]-2sin φcos(x+φ)=sin(x+φ)cosφ-cos(x+φ)sin φ=sin x,故其最大值为1.3.(1)A(2)D[解析] (1)f(x)=cos x-sin x=-=cos,由2k ≤x+≤ +2k (k Z),得函数f(x)的单调递减区间为-,(k Z).函数f(x)在-,上单调递减,得a的最大值是.(2)由图知=-=1,所以T=2,即=2,所以ω=±.因为函数f(x)的图像过点,,所以当ω=时,+φ=+2k ,k Z,解得φ=+2k ,k Z;当ω=-时,+φ=-+2k ,k Z,解得φ=-+2k ,k Z.所以f(x)=cos,由2k<x+<+2k ,解得2k-<x<2k+,k Z,故选D.4.(1)D(2)B[解析] (1)由题知,函数f(x)的周期为2k (k Z),故选项A正确;将x=代入f(x)=cos,得f=cos =-1,故选项B正确;f=cos=0,故选项C正确;函数f(x)=cos的图像可由y=cos x的图像向左平移个单位得到,故f(x)的图像如图所示,则f(x)在,上先单调递减后单调递增,故D选项错误.故选D.(2)由已知可得-ω+φ=k ,k Z,ω+φ=m+,m Z,两式相加,得2φ=(k+m) +.因为|φ|≤,所以k+m=0或k+m=-1,即φ=±,两式相减得ω=2(m-k)+1,即ω为正奇数.因为函数f(x)在区间,单调,所以只要该区间位于函数f(x)图像的两条相邻对称轴之间即可,且-≤×,即ω≤ 2.①当φ=时,f(x)=sinωx+,则k-≤ω+且ω+≤k+,k Z,解得-≤ω≤.由于ω≤ 2,故k最大取1,此时4. ≤ω≤9,此时ω的最大值为9.②当φ=-时,f(x)=sinωx-,则k-≤ω-且ω-≤k+,k Z,解得-≤ω≤.由于ω≤ 2,故k最大取0,此时ω≤,此时ω的最大值为5.综上可知,ω的最大值为9.考点考法探究小题1例1(1)A(2)C[解析] 由已知得点P的坐标为-,,∴sin α=,∴sin( +α)=-sin α=-.故选A.(2)由诱导公式得sin( -α)+cos α=sin α+cos α=,则(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=,则2sin αcos α=-<0,又因为α(0, ),所以sin α>0,cos α<0,所以sin α-cos α>0.因为(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=,所以sin α-cos α=.故选C.【自我检测】1.D[解析] ∵cos=,∴sin-=sin-=-cos=-.故选D.2.10[解析] 由角α的终边过点P(3,4),得tan α=,所以有-=-=-=10.3.[解析] 由题意知,sin-=sin-=-cos=,∴cos=-.∵θ是第三象限角,∴sin=-,故tan=--=.小题2例2(1)C(2)C[解析] (1)函数y=2cos的图像向右平移个单位长度后,得到y=2cos-的图像,其与函数y=2sin=2sin-=2cos-的图像重合,则-+=-+2k ,k Z,解得ω=-10k,k Z.因为ω>0,所以当k=0时,ω取得最小值,此时ω=.故选C.(2)由题意可得A=2,函数f(x)的周期T满足T=·=-=,∴ω=2,当x=时,ωx+φ=2×+φ=2k+(k Z),∴φ=2k+(k Z),∵0<φ< ,∴令k=0,可得φ=,则f(x)=2sin.由x1,x2,,x1≠x2,且f(x1)=f(x2),得x1+x2=,则f(x1+x2)=f=2sin=2sin=2×=1.【自我检测】1.C[解析] 将函数f(x)=sin的图像向右平移a个单位长度得到函数g(x)=sin(-)=sin-=cos 2x的图像,∴sin-=cos--=cos 2x=cos(-2x),∴+2a=2k ,k Z,∴a=-+k ,k Z.故选C.2.B[解析] 函数y=sin-的图像经伸长变换得y=sin-的图像,再作平移变换得y=sin--=sin-的图像.故选B.3.D[解析] ∵函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1ω>0,|φ|≤,其图像与直线y=3的相邻两个交点的距离为 ,∴最小正周期T= ,∴ω==2.若f(x)>2,则sin(2x+φ)>,∴+2k<2x+φ<+2k ,k Z.又∵x,,|φ|≤,∴2x+φ,,∴,,解得≤φ≤,∴φ的取值范围是,.4.[解析] 由图像可得最小正周期为2×-=,所以f(0)=f.因为+=×2,所以由图像可得f=-f,故f(0)=f=-f=.小题3例3(1)C(2)[解析] (1)由题意可得,函数f(x)的最小正周期T=2×= ,则ω==,故A 中说法错误;当x=时,ωx+φ=×+φ=k (k Z),∴φ=k-(k Z),∵0<φ< ,∴取k=1,可得φ= ,∴函数f(x)的解析式为f(x)=2sin,∴y=f(x- )=2sin(-)=2sin x,此函数为奇函数,故B中说法错误;当x-,-时,x+,,故函数f(x)在-,-上单调递增,故C中说法正确;f=2sin=2sin≠0,则函数f(x)的图像不关于点,对称,故D中说法错误.故选C.(2)因为函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<,直线x=为y=f(x)图像的一条对称轴,f=0,所以+φ-=+k ,k Z,所以ω=+k,k Z.因为f(x)的最小正周期为>2 ,所以0<ω<1,所以ω=.把ω=代入f=2sin=0,可得+φ=k' ,k'Z,因为|φ|<,所以令k'=1,可得φ=.【自我检测】1.C[解析] ∵T== ,∴ω=2,于是f(x)=sin.∵f=sin= ≠0,∴A不正确,C正确;∵f=sin≠0,∴B不正确;∵f=sin≠±1,∴D不正确.故选C.2.D[解析] f(x)=sin ωx-cos ωx=sin-(ω>0),令-+2k ≤ωx-≤2k+,k Z,得-+≤x≤+,k Z.∵f(x)=sin ωx-cos ωx(ω>0)在-,上单调递增,∴易知-≤-且≥,∴0<ω≤.故选D.3.A[解析] 由题意得g(x)=f(x)+f'(x)=cos(x+φ)-sin(x+φ)=2cos,∵函数g(x)为偶函数,∴φ+=k ,k Z.又-<φ<0,∴φ=-.故选A.4.C[解析] 由题意可得函数f(x)的最小正周期T=6,则ω===.结合点P的坐标可得A=2,且×+φ=2k-(k Z),得φ=2k- (k Z),∴f(x)=2sin-=-2sin x(k Z).令x=k' (k'Z),得x=3k'(k'Z),取k'=1可得该函数图像的一个对称中心是(3,0).小题4例4(1)C(2)1-[解析] (1)因为f(x)=2cos x-+=sin x cosx-cos2x+=sin 2x-cos 2x=sin-,所以g(x)=sin-=sin.因为-≤x≤,所以0≤2x+≤,则-≤sin≤ ,故-≤g(x)≤ .故选C.(2)由题意得,f(x)=1-cos+sin-=1+sin 2x+cos 2x=1+.∵≤x≤,∴≤2x+≤,∴- ≤sin≤-,∴1-≤ +sin≤0,∴函数f(x)在,上的最小值为1-.【自我检测】1.C[解析] 由题意得y=cos 2x+2sin x=1-2sin2x+2sin x=-2-+,所以当sin x=时,y取得最大值,最大值为.2.B[解析] 将函数f(x)=sin x cos x+cos2x-=sin 2x+cos 2x=sin的图像向左平移个单位长度得到函数y=g(x)=sin=sin(2x+ )=-sin 2x的图像.∵x-,,∴2x-,,∴-sin 2x-,,则g(x)在-,上的值域为-,,故选B.3.5[解析] 由题意得f(x)=2sin,∵x,,∴ωx+,.∵函数f(x)的最小值为-1,∴+=,∴ω=5.4.-,[解析] 由题意得函数y=cos2x+sin 2x-=sin 2x+cos 2x=sin,∵x,,∴2x+,,∴sin-,.[备选理由] 例1考查诱导公式及同角三角函数基本关系式,要善于观察已知角与所求角之间的关系,巧妙合理的使用诱导公式;例2为识图问题,根据函数的性质,由整体性质到局部性质,再结合函数图像的差异性进行分析;例3主要考查正弦函数的周期性、值域,函数的恒成立问题,属于中档题;例4为在指定区域内的值域问题,应立足正弦函数的值域进行处理.例1[配例1使用]当θ(0, )时,若cos-=-,则tan的值为()A.B.-C.D.-[解析] A因为θ(0, ),所以-θ(- ,0),所以-θ-,.因为cos-=-<0,所以-θ,,=,故选A.所以sin-=--=,所以tan=-tan-=---例2[配例2使用]函数y=sin x(1+cos 2x)在区间[- , ]上的大致图像为()A BC D[解析] A当x(0, )时,y=sin x(1+cos 2x)=2sin x cos2x>0,所以排除选项C,D;当x=时,y=0,所以排除选项B.故选A.例3[配例3使用]已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1, ,其图像与直线y=-1的相邻两个交点的距离为 ,若f(x)>1对任意x-,恒成立,则φ的取值范围是() A.,B.,C.,D.,[解析] D函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1ω>0,|φ|≤的图像与直线y=-1的相邻两个交点的距离为 ,故函数f(x)的周期为= ,所以ω=2,所以f(x)=2sin(2x+φ)+1.若f(x)>1对任意x-,恒成立,即当x-,时,sin(2x+φ)>0恒成立,则有2k ≤2×-+φ<2×+φ≤2k+ ,k Z,解得2k+≤φ≤2k+,k Z,又|φ|≤,所以≤φ≤,故选D.例4[配例4使用]已知函数y=2tan(ω>0)的最小正周期为,将函数y=sin的图像向右平移个单位长度,得到函数y=f(x)的图像,则函数f(x)在-,上的值域为() A.-,B.-,C.[-1,1]D.-,[解析] D已知函数y=2tan(ω>0)的最小正周期为,则=,∴ω=2,则将函数y=sin的图像向右平移个单位长度, 得到函数y=f(x)=sin-=sin-的图像.∵x-,,∴2x--,,则函数f(x)在-,上的值域为-,.故选D.。
2019年高考试题分类汇编(三角函数)
2019年高考试题分类汇编(三角函数) 2019年高考试题分类汇编（三角函数）考法1 三角函数的图像及性质1.（2019·全国卷Ⅰ·文科）已知tan225= tan(180°+45°)=-tan45°=-1，故选A。
2.（2019·全国卷Ⅱ·文科）由f(x)的定义可知，当x=π/4时，f(x)=sin(πω/4)，当x=3π/4时，f(x)=sin(3πω/4)。
因为x1和x2是相邻的极值点，所以f(x1)=f(x2)=0，即sin(πω/4)=sin(3πω/4)=0.因为ω>0，所以πω/4=0或π，3πω/4=π/2或5π/2.解得ω=8或16，故选B。
3.（2019·全国卷Ⅲ·文科）f(x)=2sinx-sin2x=2sinx-2sinxcosx=2sinx(1-cosx)，所以f(x)的零点为x=0,π和2π。
故选B。
4.（2019·全国卷Ⅰ·文理科）由于cosx在[-π,π]上单调递减，所以cosx的最小值为cos(-π)=-1，最大值为cos(π)=1.因此，当x=-π或x=π时，f(x)的值最小，为-2/π；当x=0时，f(x)的值最大，为2.故选B。
5.（2019·全国卷Ⅰ·理科）①f(x)是偶函数，③f(x)在[-π,π]上有一个零点，故①和③正确。
当00，即f(x)在(0,π)单调递增，故②正确。
当x=π/2时，f(x)=2，又因为f(x)是偶函数，所以当x=-π/2时，f(x)也等于2，故④正确。
因此，选A。
6.（2019·全国卷Ⅱ·理科）由f(x)的定义可知，f(x+π/2)=cos2x，f(x+π)=cos(2x+π)=-cos2x，f(x+3π/2)=-cos2x，f(x+2π)=cos2x。
因此，f(x)的周期为π，而且f(x)在(0,π)单调递增，故选B。
2019高考数学二轮复习小题专项练习三三角函数的图像与性质文
x＝
π 2
对称
π
π
9．[2018 ·莆田一中月考 ] 设 ω >0，函数 y＝ 2cos ω x＋ 5 的图象向右平移 5 个单位长度后与函数 y＝
π
2sin ω x＋ 5 图象重合，则 ω 的最小值是 (
)
13 A. B.
22
57 C. 2 D. 2
π 10．[2018 ·广东阳春一中月考 ] 已知函数 f ( x) ＝ 2sin( ω x＋ φ ) ω >0，0<φ < 2 ， f ( x1) ＝ 2， f ( x2)
)
A． y＝f ( x) 在区间
－
π 4
，π4
单调递增，其图象关于直线
π x＝ 4 对称
B． y＝f ( x) 在区间
－
π 4
，π4
单调递增，其图象关于直线
x＝
π 2
对称
C． y＝f ( x) 在区间
－π，π 44
单调递减，其图象关于直线
x＝
π 4
对称
D． y＝f ( x) 在区间
－π，π 44
单调递减，其图象关于直线
3 倍 ( 纵坐标不变 )
π 2．[2018 ·唐山一中强化提升考试 ] 已知函数 f ( x) ＝sin ω x ＋ 6 ( ω >0) 满足： ? x1，x2∈R，当 | f ( x1)
π
－ f ( x2)| ＝ 2 时， | x1－ x2 | ＝ min 2 ，那么 f ( x) 的最小正周期是 (
)
22 A. 3 B. 3或 2
1
1
C. 3 D ． 1 或 3
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中的横线上．
高考数学专题《三角函数的图象与性质》习题含答案解析
专题5.3 三角函数的图象与性质1．（2021·北京市大兴区精华培训学校高三三模）下列函数中，既是奇函数又以π为最小正周期的函数是（）A ．cos 2y x =B ．sin2y x=C ．sin cos y x x=+D ．tan 2y x=【答案】B 【解析】由三角函数的奇偶性和周期性判断即可得出答案.【详解】解：A 选项：cos 2y x =是周期为π的偶函数，故A 不正确；B 选项：sin2y x =是周期为π的奇函数，故B 正确；C选项：sin cos 4y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，周期为2π且非奇非偶函数，故C 不正确；D 选项：tan 2y x =是周期为2π的奇函数，故D 不正确.故选：B.2．（2021·海南高三其他模拟）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）A ．ln y x =B ．21y x =+C ．sin y x=D ．cos y x=【答案】D 【解析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性以及是否存在零点，综合即可得答案．【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，y lnx =，为对数函数，不是奇函数，不符合题意，对于B ，21y x =+，为二次函数，是偶函数，但不存在零点，不符合题意，对于C ，sin y x =，为正弦函数，是奇函数，不符合题意，对于D ，cos y x =，为余弦函数，既是偶函数又存在零点，符合题意，故选：D ．练基础3．（2021·浙江高三其他模拟）函数y =sin tan x e xx在[-2，2]上的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】利用同角三角函数的商数关系并注意利用正切函数的性质求得函数的定义域，可以化简得到()cos ,2x k f x e x x k Z π⎛⎫=≠∈ ⎪⎝⎭，考察当x 趋近于0时，函数的变化趋势，可以排除A,考察端点值的正负可以评出CD.【详解】()sin cos ,tan 2x x e x k f x e x x k Z x π⎛⎫==≠∈ ⎪⎝⎭,当x 趋近于0时，函数值趋近于0cos 01e =,故排除A;()22cos 20f e =<,故排除CD,故选：B4．（2021·全国高三其他模拟（理））函数y =tan(3x +6π)的一个对称中心是（ ）A ．(0，0)B ．(6π，0)C ．(49π，0)D ．以上选项都不对【答案】C 【解析】根据正切函数y =tan x 图象的对称中心是(2k π，0)求出函数y =tan(3x +6π)图象的对称中心，即可得到选项.【详解】解：因为正切函数y =tan x 图象的对称中心是(2k π，0)，k ∈Z ；令3x +6π=2k π，解得618k x ππ=-，k ∈Z ；所以函数y =tan(3x +6π)的图象的对称中心为(618k ππ-，0)，k ∈Z ；当k =3时,C 正确，故选：C.5．（2019年高考全国Ⅱ卷文）若x 1=，x 2=是函数f (x )=(>0)两个相邻的极值点，则=（ ）A ．2B ．C ．1D ．【答案】A【解析】由题意知，的周期，解得．故选A ．6．（2021·临川一中实验学校高三其他模拟（文））若函数cos (0)y x ωω=>的图象在区间,24ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上只有一个对称中心，则ω的取范围为（ ）A ．12ω<≤B ．ω1≤<2C ．13ω<≤D ．13ω≤<【答案】A 【解析】根据题意可得422πππω≤<，即可求出.【详解】4π43πsin x ωωω3212()sin f x x ω=232()44T ωπππ==-=π2ω=由题可知，cos (0)y x ωω=>在,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上只有一个零点，又2x πω=，2x πω=，所以422πππω≤<，即12ω<≤.故选：A.7.(2019年高考北京卷文)设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】时，，为偶函数；为偶函数时，对任意的恒成立，即，，得对任意的恒成立，从而.从而“”是“为偶函数”的充分必要条件，故选C.8．（2021·青海西宁市·高三二模（文））函数()cos 218f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭图象的一个对称中心为（ ）A ．,14π⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．,14π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．,116π⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．3,116π⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】根据余弦函数的对称中心整体代换求解即可.【详解】令2()82x k k πππ-=+∈Z ，可得5()216k x k ππ=+∈Z ．所以当1k =-时，316x π=-，故3,116π⎛⎫-- ⎪⎝⎭满足条件，当0k =时，516x π=，故5,116π⎛⎫-⎪⎝⎭满足条件；故选：D0b =()cos sin cos f x x b x x =+=()f x ()f x ()=()f x f x -x ()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-cos sin cos sin x b x x b x +=-sin 0b x =x 0b =0b =()f x9．（2021·全国高一专题练习）设函数()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论错误的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 的图象关于直线23x π=对称C ．()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减D ．()f x 的一个零点为6x π=【答案】C 【解析】根据解析式结合余弦函数的性质依次判断每个选项的正误即可.【详解】函数()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()f x ∴的最小正周期为2π，故A 正确；22(cos 1333f πππ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，∴()f x 的图象关于直线23x π=对称，故B 正确；当x ∈,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭时，54,363πππx ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，()f x 没有单调性，故C 错误；()cos 0663f πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴()f x 的一个零点为6x π=，故D 正确.综上，错误的选项为C.故选：C.10．（2017·全国高考真题（理））函数f (x )=s in 2x +3cosx ―34（x ∈0,__________．【答案】1【解析】化简三角函数的解析式，则f (x )=1―cos 2x+3cos x ―34=―cos 2x +3cos x +14= ―(cos x ―32)2+1，由x ∈[0,π2]可得cos x ∈[0,1]，当cos x =32时，函数f (x )取得最大值1．练提升1．（2021·河南高二月考（文））已知函数()()sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞＜＜的相邻的两个零点之间的距离是6π，且直线18x π=是()f x 图象的一条对称轴，则12f π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ）A．B ．12-C ．12D【答案】D 【解析】由相邻两个零点的距离确定周期求出6ω=，再由对称轴确定6π=ϕ，代入12x π=可求出结果.【详解】解：因为相邻的两个零点之间的距离是6π，所以26T π=，23T ππω==，所以6ω=，又sin 6sin 118183f πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=±⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且02πϕ＜＜，则6π=ϕ，所以()sin 66f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则sin 612126f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.2.（2020·山东潍坊�高一期末）若函数的最小正周期为，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由题意，函数的最小正周期为，可得，解得，即，()tan (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π(2)(0)5f f f π⎛⎫>>-⎪⎝⎭(0)(2)5f f f π⎛⎫>>-⎪⎝⎭(0)(2)5f f f π⎛⎫>-> ⎪⎝⎭(0)(2)5f f f π⎛⎫->> ⎪⎝⎭()tan (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭πwππ=1w =()tan()4f x x π=+令，即，当时，，即函数在上单调递增，又由，又由，所以.故选：C.3．（2021·广东佛山市·高三二模）设()0,θπ∈，则“6πθ<”是“1sin 2θ<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】由条件即06πθ<<，由06πθ<<，得1sin 2θ<；反之不成立，可举反例．再由充分必要条件的判定得答案．【详解】由()0,θπ∈，则6πθ<，即06πθ<<所以当06πθ<<时，由正弦函数sin y x =的单调性可得1sin sin62πθ<=，即由6πθ<可以得到1sin 2θ<.反之不成立，例如当56πθπ<<时，也有1sin 2θ<成立，但6πθ<不成立.故“6πθ<”是“1sin 2θ<”的充分不必要条件故选：A4．（2021·四川省华蓥中学高三其他模拟（理））已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的最,242k x k k Z πππππ-+<+<+∈3,44k x k k Z ππππ-+<<+∈1k =544x ππ<<()f x 5(,)44ππ4(0)(),()()()555f f f f f πππππ=-=-+=425ππ>>(0)(2)5f f f π⎛⎫>-> ⎪⎝⎭大值为2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π且()f x 的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称，则下列判断不正确的是（）A ．要得到函数()f x 的图象，只需将2cos 2y x =的图象向右平移12π个单位B ．函数()f x 的图象关于直线712x π=对称C ．,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x D ．函数()f x 在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】C 【解析】根据最大值为2，可得A ，根据正弦型函数的周期性，可求得ω，根据对称性，可求得ϕ，即可得()f x 解析式，根据正弦型函数的单调性、值域的求法，逐一分析选项，即可得答案.【详解】由题意得A =2，因为其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，所以22Tπ=，可得2T ππω==，所以2ω=，所以()2sin(2)f x x ϕ=+，因为,06π⎛⎫-⎪⎝⎭为对称中心，所以2,6k k Z πϕπ⎛⎫⨯-+=∈ ⎪⎝⎭，因为||2ϕπ<，令k =0，可得3πϕ=，所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.对于A ：将2cos 2y x =的图象向右平移12π个单位，可得2cos 22cos 22cos 22sin 22sin 21266263y x x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故A 正确；对于B ：令2,32x k k Z πππ+=+∈，解得,212k x k Z ππ=+∈，令k =1，可得712x π=，所以函数()f x 的图象关于直线712x π=对称，故B 正确；对于C ：因为,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以22,363x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当236x ππ+=时，min ()2sin16f x π==，故C 错误；对于D ：令3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得7,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈，令k =0，可得一个单调减区间为7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，因为57,,6121212ππππ⎡⎤⎡⎤⊂⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以函数()f x 在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故D 正确.故选：C5．（2021·玉林市第十一中学高三其他模拟（文））已知函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移4π个单位长度得y =g (x )的图象，若函数g (x )的图象与直线y =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有两个交点，则a 的取值范围是（ ）A ．[416,)39B ．1620,[)99C ．[208,93D ．[8,4)3【答案】B 【解析】由函数的平移可得()sin 4g x x πωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合三角函数的图象与性质可得ω满足的不等式，即可得解.【详解】由题意，()sin sin 44g x x x ππωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，3,444x πωπωπωω⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，因为函数g (x )的图象与直线y =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有两个交点，则3542,2433122,2433k k k k πωπππππωππππ⎧⎛⎤-∈-+-+ ⎪⎥⎪⎝⎦⎨⎡⎫⎪∈++⎪⎢⎪⎣⎭⎩或3412,2433272,2433k k k k πωπππππωππππ⎧⎛⎤-∈-++ ⎪⎥⎪⎝⎦⎨⎡⎫⎪∈++⎪⎢⎪⎣⎭⎩，k Z ∈，又0>ω，所以1620,99ω⎡∈⎫⎪⎢⎣⎭.故选：B.6．（2020·北京四中高三其他模拟）函数tan 42y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 的部分图象如图所示，则 ()OA OB AB +⋅=（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A 【解析】根据正切函数的图象求出A 、B 两点的坐标，再求出向量的坐标，根据向量数量积的坐标运算求出结果．【详解】由图象得,令tan 42y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭=0,即42x ππ-=kπ，k Z∈k =0时解得x =2，令tan 42y x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭=1,即424x πππ-=，解得x =3，∴A (2,0),B (3,1)，∴()()()2,0,3,1,1,1OA OB AB ===，∴()()()5,11,1516OA OB AB +⋅=⋅=+=.故选：A .7．（2020·全国高三其他模拟（文））若函数()(0)xf x n nπ=>图象上的相邻一个最高点和一个最低点恰好都在圆222:O x y n +=上，则()1f =（ ）A B ．C ．-D ．【答案】A 【解析】首先由题意判断该正弦型函数的大概图象及相邻最高点和最低点与圆的交点情况.从而解得n 的取值，再代入1x =求解.【详解】解：设两交点坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则1y =，2y =-又函数()(0)xf x n nπ=>为奇函数，∴12x x =-，当22xnx n ππ=⇒=时，函数取得最大值，∴12n x =-，22nx =，由题，函数()(0)xf x n nπ=>图象上的相邻一个最高点和一个最低点恰好都在圆22: O x y n +=上，∴22242n n n ⎛⎫+=⇒= ⎪⎝⎭，则(1)4f π==.故选：A.8．【多选题】（2021·全国高三其他模拟）已知函数()2sin(),(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<图象的一条对称轴为23x π=，4⎛⎫= ⎪⎝⎭f π，且()f x 在2,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，则以下说法正确的是（ ）A ．7,012π⎛⎫-⎪⎝⎭是其中一个对称中心B ．145ω=C ．()f x 在5,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭单増D ．16f π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭【答案】AD 【解析】先根据条件求解函数的解析式，然后根据选项验证可得答案.【详解】∵f (x )关23x π=对称，4⎛⎫= ⎪⎝⎭f π，f (x )在2,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，232232,22643k k ωπωϕπππππϕωϕπ⎧=+=+⎧⎪⎪⎪∴∴⎨⎨=⎪⎪+=+⎩⎪⎩，B 错误；()2sin 2,6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令2,6x k k ππ+=∈Z ，可得,,122k x k ππ=-+∈Z 当1k =-时，7,12x π=-即()f x 关于7,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，A 正确；令222,262k x k πππππ-+<+<+得,312k x k ππππ-+<<+∴()f x 在,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递増，即C 错误；2sin 2sin 16366f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，D 正确，故选：AD.9．【多选题】（2021·重庆市蜀都中学校高三月考）已知函数()f x 满足x R ∀∈，有()(6)f x f x =-，且(2)(2)f x f x +=-，当[1,1]x ∈-时，)()lnf x x =-，则下列说法正确的是（ ）A ．(2021)0f =B ．(2020,2022)x ∈时，()f x 单调递增C ．()f x 关于点(1010,0)对称D ．(1,11)x ∈-时，方程()sin 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭的所有根的和为30【答案】CD 【解析】利用已知条件可知()f x 在[1,1]x ∈-上为奇函数且单调递减，关于21x k =+、(2,0)k ，k Z ∈对称，且周期为4，即可判断各选项的正误.【详解】由题设知：()))()f x x x f x -===-=-，故()f x 在[1,1]x ∈-上为奇函数且单调递减，又(2)(4)(2)f x f x f x +=-=-，即关于21x k =+、(2,0)k ，k Z ∈对称，且最小周期为4，A ：(2021)(50541)(1)1)0f f f =⨯+==-≠，错误；B ：(2020,2022)x ∈等价于(0,2)x ∈，由上易知：(0,1)上递减，(1,2)上递增，故()f x 不单调，错误；C ：由上知：()f x 关于(2,0)k 对称且k Z ∈，所以()f x 关于(1010,0)对称，正确；D ：由题意，只需确定()f x 与sin 2xy π=在(1,11)x ∈-的交点，判断交点横坐标的对称情况即可求和，如下图示，∴共有6个交点且关于5x =对称，则16253410x x x x x x +=+=+=，∴所有根的和为30，正确.故选：CD10.（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）设函数sin 3xy π=在[,1]t t +上的最大值为()M t ，最小值为()N t ，则()()M t N t -在3722t ≤≤上最大值为________．【答案】1【解析】依题意可得函数在39,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则39[,1],22t t ⎡⎤+⊆⎢⎥⎣⎦，所以()()cos 36t M t N t ππ⎛⎫-=-+⎪⎝⎭，即可求出函数的最大值；【详解】解：函数sin3xy π=的周期为6，函数sin3xy π=在39,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，当3722t ≤≤时，39[,1],22t t ⎡⎤+⊆⎢⎥⎣⎦(1)()()sinsin2cos sin cos 3336636tt t t M t N t πππππππ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为3722t ≤≤，所以243363t ππππ≤+≤，所以11cos 362t ππ⎛⎫-≤+≤-⎪⎝⎭所以1()()12M t N t ≤-≤当52t =时取最大值1故答案为：11．（2021·全国高考真题（理））已知命题:,sin 1p x x ∃∈<R ﹔命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q⌝∧C ．p q∧⌝D ．()p q ⌝∨【答案】A 【解析】由正弦函数的有界性确定命题p 的真假性，由指数函数的知识确定命题q 的真假性，由此确定正确选项.【详解】由于1sin 1x -≤≤，所以命题p 为真命题；由于0x ≥，所以||e 1x ≥，所以命题q 为真命题；所以p q ∧为真命题，p q ⌝∧、p q ∧⌝、()p q ⌝∨为假命题.故选：A ．2.（2021·全国高考真题）下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭单调递增的区间是（ ）练真题A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】解不等式()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，利用赋值法可得出结论.【详解】因为函数sin y x =的单调递增区间为()22,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，对于函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，解得()22233k x k k Z ππππ-<<+∈，取0k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为2,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，则20,,233πππ⎛⎫⎛⎫⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 选项满足条件，B 不满足条件；取1k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为58,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭，32,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且358,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，358,2,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，CD 选项均不满足条件.故选：A.3.（2019年高考全国Ⅰ卷文）函数f (x )=在的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D2sin cos ++x xx x[,]-ππ【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ．又，排除B ，C ，故选D ．4．（2020·全国高考真题（理））设函数()cos π(6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（ ）A ．10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π2【答案】C 【解析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭，将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭又4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点，所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω=所以函数()f x 的最小正周期为224332T πππω===故选：C22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+()f x 22π1π42π2(1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+5．（2020·全国高考真题（理））关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题：①f （x ）的图像关于y 轴对称．②f （x ）的图像关于原点对称．③f （x ）的图像关于直线x =2π对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．【答案】②③【解析】对于命题①，152622f π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭ ，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<，命题④错误.故答案为：②③.6．（2018·北京高考真题（理））设函数f （x ）=cos(ωx ―π6)(ω>0)，若f (x )≤f (π4)对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．【答案】23【解析】因为f (x )≤f (π4)对任意的实数x 都成立，所以f (π4)取最大值，所以π4ω―π6=2k π(k ∈Z )，∴ω=8k +23(k∈Z )，因为ω>0，所以当k =0时，ω取最小值为23.。
高考数学二轮复习 小题专项练习(三)三角函数的图像与性质理
小题专项练习(三) 三角函数的图像与性质一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·全国卷Ⅰ高考压轴卷]为得到y ＝2sin x 3＋π6的图象，只需把函数y ＝2sin x 的图象上所有的点( )A ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)B ．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)D ．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)2．[2019·唐山一中强化提升考试]已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)满足：∀x 1，x 2∈R ，当|f (x 1)－f (x 2)|＝2时，|x 1－x 2|min ＝π2，那么f (x )的最小正周期是( )A.π4B.π2C ．πD ．2π3．[2019·河北景县第一次月考]下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x ＝π3对称的是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3 C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3 D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 4．[2019·辽宁重点高中第三次模拟]将函数f (x )＝－12cos2x 的图象向右平移π6个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数y ＝g (x )的图象，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝( ) A.32 B ．－32C ．－12 D.125．[2019·丹东市高三总复习质量测试]设f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，则函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ( ) A ．是奇函数 B ．图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称 C ．是偶函数 D ．图象关于直线x ＝π2对称6．[2019·四川联考]函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2sin π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4上的最小值是( ) A ．1－ 2 B ．0C ．1D ．27．[2019·江淮十校第三次联考]已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将f (x )的图象( )A ．向左平移π12个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移5π12个单位长度D ．向右平移5π12个单位长度8．[2019·福建高中毕业班适应性练习]已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则( ) A ．y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4单调递增，其图象关于直线x ＝π4对称 B ．y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4单调递增，其图象关于直线x ＝π2对称C ．y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4单调递减，其图象关于直线x ＝π4对称 D ．y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4单调递减，其图象关于直线x ＝π2对称 9．[2019·莆田一中月考]设ω>0，函数y ＝2cos ωx ＋π5的图象向右平移π5个单位长度后与函数y ＝2sin 错误!图象重合，则ω的最小值是( )A.12B.32C.52D.7210．[2019·天津一中、益中学校五月考试]已知函数f (x )＝4sin ωx ·sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx 2＋π4－2sin 2ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3上是增函数，且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是( )唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义已经相去甚远。
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C．y＝f(x)在区间 单调递减，其图象关于直线x＝ 对称
D．y＝f(x)在区间 单调递减，其图象关于直线x＝ 对称
9．[2018·莆田一中月考]设ω>0，函数y＝2cosωx＋ 的图象向右平移 个单位长度后与函数y＝2sin 图象重合，则ω的最小值是()
＝1－cos ＋sin
＝1＋sin2x＋cos2x
＝ sin ＋1，
∵ ≤x≤ ，
∴ ≤2x＋ ≤ ，
∴－1≤sin ≤－
∴当sin ＝－1时，f(x)min＝－ ＋1，故选A.
7．A由图可知T＝4× ＝π，
∴ ＝π，ω＝2，
将 代入f(x)＝2sin(2x＋φ)，
得2sin ＝0，
∴φ＝2kπ－ ，k∈Z，
A. B.
C．π D．2π
3．[2018·河北景县第一次月考]下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x＝ 对称的是()
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
4．[2018·辽宁重点高中第三次模拟]将函数f(x)＝－ cos2x的图象向右平移 个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝g(x)的图象，则g ＝()
A. B.
C. D.
10．[2018·广东阳春一中月考]已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ) ，f(x1)＝2，f(x2)＝0，若|x1－x2|的最小值为 ，且f ＝1，则f(x)的单调递增区间为()
A. ，k∈ZB. ，k∈Z
C. ，k∈ZD. ，k∈Z
11．[2018·南宁二中月考]将曲线C1：y＝sinx－ 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线C2：y＝g(x)，则g(x)在[－π，0]上的单调递增区间是()
∴f(x)max＝1＋ ＋m＝ ，
∴m＝5.
15.
解析：S▱ABCD＝4AD＝4× ＝32，∴ω＝ .
16．3
解析：由f ＝0，f ＝2知， 是f(x)的一个对称中心，
x＝ 是f(x)的一条对称轴，当 与x＝ 是相邻的对称中心、对称轴时，ω最小，
∴T＝ ×4＝ ，ω＝3.
15．[2018·云南高三第八次月考]已知函数f(x)＝2sin (ω>0)的部分图像如图所示，若图中在点A，D处f(x)取得极大值，在点B，C处f(x)取得极小值，且四边形ABCD的面积为32，则ω的值是________．
16．[2018·河北衡水月考]已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)．若f ＝0，f ＝2，则实数ω的最小值为________．
13．[2018·江苏数学模拟]将函数f(x)＝tanx＋ 图像的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到函数g(x)的图像，若g(x0)＝2，则f 的值是________．
14．[2018·学海大联考]若函数f(x)＝ sinxcosx＋cos2x＋m在区间 上的最大值是 ，则m的值是________．
∴x＝ 是f(x)的一条对称轴，故选A.
9．Cy＝2cos ＝2sin ＝2sin ，图象向右平移 个单位长度后得
y＝2sin ＝2sin ，
则ωx－ ＋ ＝ωx＋ ＋2kπ，k∈Z，
∴ω＝ －10k，当k＝0时，ω＝ ，故选C.
10．B由题可知T＝2，∴ ＝2，∴ω＝π，
∵f ＝1，∴2sin ＝1，
B．向右平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)
C．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)
D．向右平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)
2．[2018·唐山一中强化提升考试]已知函数f(x)＝sin (ω>0)满足：∀x1，x2∈R，当|f(x1)－f(x2)|＝2时，|x1－x2|min＝ ，那么f(x)的最小正周期是()
小题专项练习(三)三角函数的图像与性质
1.C
2．C由|f(x1)－f(x2)|＝2，可知x1，x2是f(x)的最大值，最小值点，又|x1－x2|min＝ ，可知 ＝ ，∴T＝π，故选C.
3．D函数y＝sin ，y＝sin ，
y＝sin 的最小正周期为π，
y＝sin 的对称轴为x＝ ＋kπ，k∈Z，
y＝sin Байду номын сангаас对称轴为x＝ ＋kπ，k∈Z，
13.
解析：由题可得g(x)＝tan
由g(x0)＝2，得tan ＝2，
∴ ＝2，
∴tan x0＝ ，
∴f ＝tanx0＝ ＝ ＝ .
14．5
解析：f(x)＝ sinxcosx＋cos2x＋m＝ sin2x＋ cos2x＋ ＋m
＝sin ＋ ＋m，
∵0≤x≤ ，
∴ ≤2x＋ ≤ ，
∴－ ≤sin ≤1，
A．1－ B．0
C．1 D．2
7．[2018·南昌二中模拟]函数f(x)＝2sin(ωx＋φ) 的部分图象如图所示，则f(0)＋f 的值为()
A．2－ B．2＋
C．1－ D．1＋
8．[2018·福建高中毕业班适应性练习]已知函数f(x)＝sin －cos ，则()
A．y＝f(x)在区间 单调递增，其图象关于直线x＝ 对称
A. B．－
C．－ D.
5．[2018·丹东市高三总复习质量测试]设f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)，若f ＝1，则函数y＝f ()
A．是奇函数B．图象关于点 对称
C．是偶函数D．图象关于直线x＝ 对称
6．[2018·四川联考]函数f(x)＝2sin2 ＋2sin －xcos 在区间 上的最小值是()
y＝sin 的对称轴为x＝ ＋kπ，k∈Z，
∴x＝ 是y＝sin 的一条对称轴．故选D.
4．A由题可知，g(x)＝－cos ，
∴g ＝－cos ＝ ，故选A.
5．C由f ＝1，得sin ＝1，
∴ ＋φ＝ ＋2kπ，k∈Z，
∴y＝f ＝sin
＝sin ＝cosωx，
∴y＝f 是偶函数，故选C.
6．Af(x)＝2sin2 ＋2sin cos
∵－π≤x≤0，
得－ ≤2x＋ ≤ ，
∴当－ ≤2x＋ ≤ 时，即－ ≤x≤－ ，
∴g(x)在[－π，0]上的单调递增区间是 ，故选B.
12．B若f(－π)＝f(0)＝－f ，当f(－π)不为最值点时，可知f(x)关于x＝－ 与 对称，
∴ T＝ ＋ ，∴T＝3π，∴ω＝ ＝ ，
当f(－π)是最值点时，T＝π，ω＝ ＝2，故选B.
∴ ＋φ＝ ＋2kπ或 ＋φ＝ ＋2kπ，k∈Z，
∴φ＝－ ＋2kπ或φ＝ ＋2kπ，
∵φ∈ ，∴φ＝ ，
∴f(x)＝2sin .
由－ ＋2kπ≤πx＋ ≤ ＋2kπ，k∈Z，
得－ ＋2k≤x≤ ＋2k，
∴f(x)的单调递增区间为 ，k∈Z，故选B.
11．B由题可知g(x)＝sin ＝sin2x＋ ，
又|φ|< ，∴φ＝－ ，
∴f(x)＝2sin ，
∴f(0)＋f ＝2sin ＋2sin ＝2－ ，故选A.
8．Af(x)＝sin －cos ＝ sin2x，
由－ ＋2kπ≤2x≤ ＋2kπ，k∈Z，
得－ ＋kπ≤x≤ ＋kπ，k∈Z，
∴f(x)在区间 单调递增，
由2x＝ ＋kπ，得x＝ ＋ ，k∈Z，
A. B.
C. D．[－π，0]
12．[2018·安徽池州一中月考]函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，若f(x)在区间 上是单调函数，且f(－π)＝f(0)＝－f ，则ω的值为()
A. B. 或2
C. D．1或
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．
小题专项练习(三)三角函数的图像与性质
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．[2018·全国卷Ⅰ高考压轴卷]为得到y＝2sin ＋ 的图象，只需把函数y＝2sinx的图象上所有的点()
A．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)