【数学】高中数学必修4单元测试：两角和差的正弦、余弦、正切

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高中数学必修四同步练习题库：两角和差的正弦、余弦和正切公式(简答题：容易)

两角和差的正弦、余弦和正切公式（简答题：容易）1、.已知,求的值2、已知为锐角，，，求的值.3、中，若，且为锐角，求角．4、求证：－2cos(α＋β)＝.5、已知在中，为中点，，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.6、在中，角所对边分别为的面积为6.(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求的值.7、函数的最大值为，它的最小正周期为. （1）求函数的解析式；（2）若，求在区间上的最大值和最小值.8、已知分别是的内角所对的边，.（1）证明：；（2）若,求.9、（2015秋•淮南期末）=（）A．1B．2C．3D．410、已知，求的值11、已知函数⑴求的最小正周期及对称中心；⑵若，求的最大值和最小值.12、阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有------①------②由①+②得------③令有代入③得.(Ⅰ) 类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:;(Ⅱ)若的三个内角满足,试判断的形状. (提示:如果需要，也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论)13、如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边，两个锐角,的终边分别与单位圆相交于A,B 两点．（Ⅰ）若，，求的值；（Ⅱ）若角的终边与单位圆交于点，设角的正弦线分别为，试问：以作为三边的长能否构成一个三角形？若能，请加以证明；若不能，请说明理由.14、已知15、已知（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.16、阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有------①------②由①+②得------③令有代入③得.(1) 类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:;(2)若的三个内角满足,直接利用阅读材料及(1)中的结论试判断的形状.17、已知为锐角，且求.18、（本小题满分12分）已知，写出用表示的关系等式，并证明这个关系等式．19、如图，有三个并排放在一起的正方形，.（1）求的度数；（2）求函数的最大值及取得最大值时候的x值。

20、（本小题12分）已知0<a<p，；(1)求的值；（2）求的值；21、求值： .22、（本题满分14分）在中，分别是所对的边，已知,，三角形的面积为，（1）求C的大小；（2）求的值．23、已知，（1）求的值；（2）求角.24、阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有------①------②由①+②得------③令有代入③得.(Ⅰ) 类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:;(Ⅱ)若的三个内角满足,试判断的形状.(提示:如果需要，也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论)25、化简（1）（2）26、已知，求下列各式的值：（1）（2）27、已知均为锐角，求的值。

高中数学必修四同步练习题库：两角和差的正弦、余弦和正切公式(选择题：较难)

两角和差的正弦、余弦和正切公式（选择题：较难）1、已知函数（）的图象关于轴对称，则在区间上的最大值为（）A． B． C． D．2、若，则（）A．1 B．C． D．3、若锐角三角形三个内角的度数成等差数列，且最大边与最小边长度之比为，则的取值范围是（）A． B． C． D．4、下列命题：①函数f（x）＝sin2x一cos2x的最小正周期是；②在等比数列〔｝中，若，则a3＝士2；③设函数f（x）＝，若有意义，则④平面四边形ABCD中，，则四边形ABCD是菱形．其中所有的真命题是：( )A．①②④ B．①④ C．③④ D．①②③5、在中，，是角A，B，C，成等差数列的（）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也必要条件6、下列是有关的几个命题，①若，则是锐角三角形；②若，则是等腰三角形；③若，则是等腰三角形；④若，则是直角三角形；其中所有正确命题的序号是A．①③ B．②④ C．①④ D．②③7、在中，，BC边上的高等于,则（）A． B． C． D．8、为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点( ) A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度9、现有个命题函数有个零点.若则中至少有个为负数.那么,这个命题中,真命题的个数是（）A． B． C． D．10、下列对于函数的判断不正确的是（）。

A．对于任意，都有，则的最小值为；B．存在，使得函数为偶函数；C．存在 ,使得；D．函数在区间内单调递增；11、若角终边上的点在抛物线的准线上，则（）A． B． C． D．12、在中,角所对的边分别为，若，则当角取得最大值时，的周长为（）A． B． C． D．13、已知函数，则下列说法正确的是（）A．的图象关于直线对称B．的周期为C．若，则D．在区间上单调递减14、函数的最小正周期是（）A． B． C． D．15、若，则为（）A．5 B．−1 C．6 D．16、在中，三个内角成等差数列，且，则（）A． B． C． D．17、定义运算：，将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是（）A． B． C． D．18、已知为单位向量，则的最大值为（）A． B． C．3 D．19、在中，角，，的对边分别为，，，且，则角的最大值为（）A． B． C． D．20、函数过定点，且角的终边过点，则的值为（）A． B． C．4 D．521、设为锐角，若，则（）A． B． C． D．22、已知等于（）A． B． C． D．23、设，则（）A． B． C． D．24、的值为A． B． C． D．25、已知中，的对边分别为a,b,c若a=c=且，则b=A．2 B．4＋ C．4— D．26、设、是方程的两根，且，则的值为：（）A． B． C． D．27、已知的值应是A． B． C． D．28、已知，则的取值范围是（）．A B C D参考答案1、A2、B3、C4、B5、B6、A7、B8、A9、D10、D11、A12、C13、D14、B15、A16、B17、B18、D19、A20、A21、A22、C23、A24、C25、A26、A27、B28、D【解析】1、因为函数的图象关于轴对称，所以，又，则，即，因为，所以，则当，即时，取得最大值；故选A.点睛：判定三角函数的奇偶性时，往往与诱导公式进行结合，如：若为奇函数，则；若为偶函数，则；若为偶函数，则；若为奇函数，则.2、，故选B.考点：正、余弦差角公式.3、不妨设，则由三角形内角的度数成等差数列，得，又，，由，，知，解得，，，即的取值范围是，故选C.【方法点睛】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.解答本题的关键是根据（3）将最大边与最小边长度之比转化为正弦的比，在根据恒等变换利用三角函数的有界性求解.4、①函数，则函数的周期，故①正确；②在等比数列中，若，则，则，又，同号，不合题意，故②不正确；③设函数，则函数的定义域为，若有意义，则，即，则且，故③错误；④平面四边形中，，则，则四边形为平行四边形，，则四边形的对角线垂直，则四边形是菱形，故④正确，故选B.【方法点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查三角函数的周期性、函数的定义域、等比数列的性质以及平面向量线性元素与数量积公式，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.5、在中，或故是角成等差数列的必要不充分条件．故选B．【点睛】本题考查三角函数的同角三角函数关系，两角和的余弦公式等，对进行恒等变形，探究其与成等差数列是否等价是解答本题的关键．6、对于①,,是锐角三角形正确;对于②,由正弦定理,,即,则或,则是等腰三角形或直角三角形,命题错误;对于③, 由正弦定理,,则是等腰三角形正确;对于④,, 或,即或,则不一定是直角三角形,命题错误;综上可得, 正确命题的序号是①③,故选A.7、设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，令∠DAC=θ，如图：∵在△ABC中，B=，BC边上的高AD=h=，BC=∴BD=AD=，CD=在Rt△ADC中，，故∴．8、 ,该函数的图象可由向右平移个单位长度可得。

高中数学必修4单元配套练习试题3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及参考答案解析

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式姓名:___________班级:______________________1.下列式子恒成立的是( )A.sin(α+β)＝sin α+sin βB.cos(α−β)＝cos αcos β+sin αsin βC.sin(α−β)＝cos αcos β−sin αsin βD.cos(α+β)＝cos αsin β−sin αcos β11︒tan 19︒+tan 11︒∙tan 19︒的值是( )3C.0D.13.ππcos sin sin sin63αααα⎛⎫⎛⎫++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝( )A.12B.12-4.计算1+tan151tan15︒-︒的值为( )D.25.已知角αβ，均为锐角,且cosα＝35,tan(α−β)＝−13,tanβ＝( ) A.13B.913C.139D.36.设α为锐角,若π3cos()65α+=,则πsin()12α-=( )A.10B.10-C.45D.45-7.若()()11sin,sin23αβαβ+=-=,则tantanαβ为( )A.5B.−1C.6D.168.若πtan3tan7α=,则πsin()75πcos()14αα-=-( )1C.31D.419.设θ为第二象限角,若π1tan 32θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则sin θcos θ＝______ . 10.计算:sin 47sin 17cos 30cos 17︒-︒︒︒＝_______.αβ45αβ453π2π2αβ<+<ππ2αβ<-<12.已知552cos ,53cos ==βα,且βα,为锐角. 求:(1))sin(βα-的值;(2))2tan(βα+的值.13.如图,在平面直角坐标系xOy 中,以Ox 轴为始边作两个锐角α、β它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点.已知A 、B 的横坐标分别为10 求:(1) tan(α＋β)的值;(2) 2αβ+的值.14.(1)已知2tan()5αβ+=,π1tan()44β-=,求cos sin cos sin αααα+-的值;(2)已知,αβ均为锐角,且cos()αβ+=sin()10αβ-=,求2β.参考答案1.B【解析】根据两角和与差的正弦公式、余弦公式可得cos(α−β)＝cos αcos β+ sin αsin β,故选B.考点:两角和与差的余弦,两角和与差的正弦. 2.D【解析】因为tan 30︒＝tan(11︒+19︒)＝tan11tan191tan11tan19︒+︒-︒︒(tan 11︒+tan 19°)＝1−tan 11°tan 19°. 原式＝11︒+tan 19︒)+tan 11︒∙tan 19︒ ＝1−tan 11°•tan 19°+tan 11°•tan 19°＝1,故选D.考点:两角和与差的正切. 3.A【解析】ππcos sin sin sin 63αααα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πππcos sin sin cos 632αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+--+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ππsin cos cos sin 66αααα⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ1sin sin 662αα⎡⎤⎛⎫=+-== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,故选A. 考点:两角和与差的正弦. 4.B 【解析】1+tan151tan15︒-︒＝tan45+tan151tan45tan15︒︒-︒︒＝tan(45°+15°)故选B.考点:两角和与差的正切. 5.D【解析】∵角α,β均为锐角,且cos α＝35,∴sin α＝45, tan α＝43,又tan(α−β)＝tan tan 1+tan tan αβαβ-＝4tan 341+tan 3ββ-＝−13, ∴tan β＝3,故选D. 考点:两角和与差的正切. 6.A【解析】因为α为锐角,所以ππ2π,663α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,因为π3cos()65α+=,所以π4sin()65α+=,故πππππsin()sin sin cos 126464ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππ43cos sin 6425510α⎛⎫⎫+=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.故选A.考点:同角三角函数基本关系式,两角和的正弦公式. 7.A【解析】由()()11sin ,sin 23αβαβ+=-=两式联立可得:51tan sin cos ,cos sin ,51212tan ααβαββ==∴=.故选A.考点:两角和与差的正弦公式. 8.B【解析】πππππsin()sin cos cos sin sin cos cos sin777775ππππcos()cos sin 14727αααααααα---==⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ππππsin cos cos sin tan tan 2tan17777=ππππ2sin cos cos sin tan tan 4tan7777αααααα--===++,故选B. 考点:正、余弦差角公式.9.5-【解析】∵θ为第二象限角,π1tan 32θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭＞0,∴π3θ+为第三象限角, 由πsin 13π2cos 3θθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭,sin π3θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＜0,cos π3θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＜0,22ππsin cos 133θθ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,可得sin π3θ⎛⎫+⎪⎝⎭＝5-, 则sin θθ＝2sin π3θ⎛⎫+⎪⎝⎭＝5-. 考点:两角和与差的正弦,两角和与差的正切. 10.12【解析】sin 47sin 17cos 30sin 3017sin 17cos 30cos 17cos 17︒-︒︒︒+︒-︒︒=︒︒（）＝sin 30cos 17cos 30sin 17sin 17cos 30sin 30cos 17cos 17cos 17︒︒+︒︒-︒︒︒︒=︒︒＝sin 30°＝12. 考点:两角和的正弦. 11.0【解析】cos(α+β)＝45, cos(α−β)＝−45,3π2π2αβ<+<,ππ2αβ<-<, ∴sin (α+β)＝−35,sin(α−β)＝35,∴sin 2β＝sin[α+β−(α−β)]＝sin(α+β)cos(α−β)−cos(α+β)∙sin(α−β)＝3()5-×4()5-−45×35＝0.考点:两角和与差的正弦.4138- 【解析】(1)∵552cos ,53cos ==βα,且βα,为锐角,∴55sin ,54sin ==βα, ∴55555355254sin cos cos sin )sin(=⨯-⨯=-=-βαβαβα. (2)由(1)可得41tan ,tan 32αβ==, ∴41tan tan 1132tan()411tan tan 2132αβαβαβ+++===--⨯,∴[]411tan tan()4132tan(2)tan ()4111tan tan()38132ααβαβααβααβ++++=++===--+-⨯. 考点:两角和与差的正弦、正切. 13.(1)－3 (2)3π4【解析】(1)由已知条件及三角函数的定义可知cos α＝10,cos β＝5. 因为α为锐角,故sin α＞0,从而sin α10=,同理可得sin β因此tan α＝7,tan β＝12.所以tan(α＋β)＝17 t an tan 211tan tan 172αβαβ++=--⨯＝－3. (2) tan(2αβ+)＝tan[(α＋β)＋β]＝()1321132-+--⨯＝－1. 又0＜α＜π2,0＜β＜π2,故0＜2αβ+＜3π2.从而由tan(2αβ+)＝－1,得2αβ+＝3π4.考点:两角和的正切.14.(1)322(2)π4【解析】(1)πtan tanππcos sin 4tan[()()]tan()π44cos sin 1tan tan 4ααααββαααα+++--=+==--, 21πtan()tan()π3544tan[()()]π214221tan()tan()1454αββαββαββ-+--+--===++-+⨯. 所以cos sin 3.cos sin 22αααα+=- (2)∵,αβ均为锐角,∴0παβ<+<,ππ22αβ-<-<,∴sin()αβ+=,cos()αβ-==∴cos 2cos[()()]βαβαβ=+--== ∵β为锐角,∴02πβ<<,∴π24β=. 考点:两角和与差的正弦、余弦和正切.。

新人教版数学必修4练习：两角和与差的正弦、余弦、正切公式

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式课后篇巩固探究基础巩固1.已知a =(2sin 35°,2cos 35°),b =(cos 5°,-sin 5°),则a ·b =( )A.12B.1C.2D.2sin 40°·b =2sin 35°cos 5°-2cos 35°sin 5°=2sin(35°-5°)=2sin 30°=1.2.若sin (π6-α)=cos (π6+α),则tan α=( ) A.-1B.0C.12D.1由已知得12cos α-√32sin α=√32cos α-12sin α,因此1-√32sin α=√3-12cos α,于是tan α=-1.3.若tan(α+β)=25,tan(α-β)=14,则tan 2α=( ) A.16B.2213C.322D.1318α=tan [(α+β)+(α-β)]=tan (α+β)+tan (α-β)1-tan (α+β)tan (α-β)=25+141-25×14=1318.4.sin(θ+75°)+cos(θ+45°)-√3cos(θ+15°)的值等于 ( )A.±1B.1C.-1D.0=sin [(θ+45°)+30°]+cos(θ+45°)-√3cos [(θ+45°)-30°]=√32sin(θ+45°)+12cos(θ+45°)+cos(θ+45°)-√3[√32cos (θ+45°)+12sin (θ+45°)] =√32sin(θ+45°)+32cos(θ+45°)-32cos(θ+45°)-√32sin(θ+45°)=0.5.设α∈(0,π2),β∈(0,π2),且tan α=1+sinβcosβ,则( ) A.3α-β=π2 B.3α+β=π2 C.2α-β=π2D.2α+β=π2tan α=1+sinβcosβ,得sinαcosα=1+sinβcosβ,得sin αcos β-cos αsin β=cos α,sin(α-β)=sin (π2-β).又α∈(0,π2),β∈(0,π2), 故α-β=π2-β,即2α-β=π2.6.化简:sin (α-150°)+cos (α-120°)cosα=.=sinαcos150°-cosαsin150°+cosαcos120°+sinαsin120°cosα=-√32sinα-12cosα-12cosα+√32sinαcosα=-1.17.已知锐角α,β满足(tan α-1)(tan β-1)=2,则α+β的值为 .(tan α-1)(tan β-1)=2,所以tan α+tan β=tan αtan β-1. 因此tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=-1,因为α+β∈(0,π),所以α+β=3π4.8.已知α∈(0,π2),tan α=2,则cos (α-π4)= .tan α=2,得sin α=2cos α.又sin 2α+cos 2α=1,α∈(0,π2),∴cos α=√55,sin α=2√55.∴cos (α-π4)=cos αcos π4+sin αsin π4=√55×√22+2√55×√22=3√1010.9.tan 23°+tan 37°+√3tan 23°tan 37°的值是 .tan 60°=√3=tan23°+tan37°1-tan23°tan37°,∴tan 23°+tan 37°=√3−√3tan 23°tan 37°, ∴tan 23°+tan 37°+√3tan 23°tan 37°=√3.√3 10.化简求值:(1)sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β);(2)cos(70°+α)sin(170°-α)-sin(70°+α)cos(10°+α); (3)cos 21°·cos 24°+sin 159°·sin 204°.原式=sin(α+β+α-β)=sin 2α.(2)原式=cos(70°+α)sin(10°+α)-sin(70°+α)cos(10°+α) =sin [(10°+α)-(70°+α)]=sin(-60°)=-√32.(3)原式=cos 21°cos 24°+sin(180°-21°)sin(180°+24°)=cos 21°cos 24°-sin 21°sin 24° =cos(21°+24°)=cos 45°=√22.11.已知cos α=-√55,tan β=13,π<α<3π2,0<β<π2,求α-β的值.cos α=-√55,π<α<3π2,得sin α=-2√55,tan α=2,又tan β=13,于是tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ=2-131+2×13=1.又由π<α<3π2,0<β<π2,可得-π2<-β<0,π2<α-β<3π2,因此α-β=5π4.cos α=-√55,π<α<3π2,得sin α=-2√55.由tan β=13,0<β<π2, 得sin β=√10,cos β=√10. 所以sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β =(-2√55)×√10−(-√55)×(√10)=-√22. 又由π<α<3π2,0<β<π2,可得-π2<-β<0,π2<α-β<3π2,因此,α-β=5π4.能力提升1.已知α∈(-π2,3π2),tan (α-π4)=-3,则sin α=( )A.√55B.-√55C.2√55D.±√55α=tan [(α-π4)+π4]=tan (α-π4)+tan π41-tan (α-π4)tan π4=-12,因为α∈(π2,3π2), 所以α∈(π2,π),故sin α=√5=√55.2.设α,β都为锐角,且cos α=√55,sin(α+β)=35,则sin β等于( )A.2√525B.11√525C.√55D.-√55或11√525α为锐角,cos α=√55,∴sin α=2√55.∵α,β都为锐角,∴0<α+β<π. ∵sin(α+β)=35,∴cos(α+β)=±45.当cos(α+β)=-45时,sin β=sin[(α+β)-α] =sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α =35×√55+45×2√55=11√525;当cos(α+β)=45时,sin β=sin[(α+β)-α] =sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α =35×√55−45×2√55=-√55,与已知β为锐角矛盾.∴sin β=11√525.3.若将函数f (x )=sin 2x+cos 2x 的图象向右平移φ个单位长度,所得图象关于y 轴对称,则φ的最小正值是 ( )A.π8 B.π4C.3π8D.3π4f (x )=sin 2x+cos 2x=√2sin (2x +π4),将其图象向右平移φ个单位长度,得函数y=√2sin [2(x -φ)+π4]=√2sin (2x -2φ+π4)的图象,要使图象关于y 轴对称,则π4-2φ=π2+k π,解得φ=-π8−kπ2,当k=-1时,φ取最小正值3π8.4.已知cos(α+β)=45,cos(α-β)=-45,则cos αcos β= .cos αcos β-sin αsin β=45,cos αcos β+sin αsin β=-45,两式相加得2cos αcos β=0,故cos αcos β=0.5.已知△ABC 中,√3tan A tan B-tan A-tan B=√3,则C 的大小为 .,tanA+tanB1-tanAtanB =-√3,即tan(A+B )=-√3,又0<A+B<π,所以A+B=2π3,故C=π-A-B=π3.6.已知α,β均为锐角,且tan β=cosα-sinαcosα+sinα,求tan(α+β)的值.β=cosα-sinαcosα+sinα=1-tanα1+tanα=tan (π4-α),因为α,β均为锐角,所以-π4<π4-α<π4,0<β<π2, 又y=tan x 在(-π2,π2)上是单调函数,所以β=π4-α,即α+β=π4,tan(α+β)=1. 7.已知向量a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),|a -b |=25√5.(1)求cos(α-β)的值;(2)若-π2<β<0<α<π2,且sin β=-513,求sin α的值.∵a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),∴|a |=|b |=1,∴|a -b |2=a 2-2a ·b +b 2=1+1-2(cos αcos β+sin αsin β)=2-2cos(α-β).又∵|a -b |=25√5, ∴|a -b |2=2-2cos(α-β)=45, ∴cos(α-β)=35.(2)∵-π2<β<0<α<π2,∴0<α-β<π,由cos(α-β)=35可得sin(α-β)=45,由sin β=-513,可得cos β=1213,∴sin α=sin [(α-β)+β]=sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β =45×1213+35×(-513)=3365. 8.已知函数f (x )=√22(cos x-sin x )sin (π4+x)-2a sin x+b (a>0)有最大值1和最小值-4,求a ,b 的值.(x )=√22(cos x-sin x )sin (π4+x)-2a sin x+b=12(cos 2x-sin 2x )-2a sin x+b=12(1-2sin 2x )-2a sin x+b=-(sinx+a )2+12+a 2+b.当a ≥1时,f (x )的最小值等于f (π2),最大值等于f (-π2),依题意得{-2a +b -12=-4,2a +b -12=1,解得a=54,b=-1.当0<a<1时,依题意可得{-2a +b -12=-4,12+a 2+b =1, 解得a=√5-1(舍去)或a=-√5-1(舍去). 综上可得a=54,b=-1.。

人教版高中数学必修四3.1.2 两角和差的正弦、余弦、正切公式练习【教师版】

必修四第三章 3.1.1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、选择题1．cos 160°sin 10°−sin 20°cos 10°=（）A ．．−12 D ．12【答案】C【解析】cos 160°sin 10°−sin 20°cos 10°=−cos 20°sin 10°−sin 20°cos 10° =−（cos 20°sin 10°+sin 20°cos 10°）=−sin 30°=−12，故选C ． 2、若tan α=3，tan β=43，则1tan()αβ-等于（） A ．−3 B ．−13C ．3 D ．13【答案】C【解析】∵tan α=3，tan β=43，∴1tan()αβ-=1tan tan tan tan αβαβ+-=41+33433⨯-=3，故选C ． 3.tan(α＋β)＝25，tan(α－β)＝14，则tan2α＝() A ．16B ．2213C ．322D ．1318【答案】D【解析】tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝错误!＝错误!＝错误!.故选D 。

4．在△ABC 中，若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C 的值是()A ．－22B ．22C ．12D ．－12 【答案】B【解析】由tan A ·tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，可得tanA ＋tanB 1－tanA·tanB ＝－1，即tan(A ＋B )＝－1，∵A ＋B ∈(0，π)，∴A ＋B ＝3π4，则C ＝π4，cos C ＝22.5．sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝() A ．－32 B ．－12 C.12 D.32【答案】C【解析】 (1)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin （17°＋30°）－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 17°cos 30°＋cos 17°sin 30°－sin 17°cos 30°cos 17°＝cos 17°sin 30°cos 17°＝sin 30°＝12. 故选C 。

高中数学必修四 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式测试题

3.1.1 两角差的余弦公式一、选择题1．cos(－75°)的值是( )A.6－22B.6＋22C.6－24D.6＋242．已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝1213，sin β＝－35，则cos(α－β)的值为( )A ．－6365B ．－3365 C.6365 D.33653．已知锐角α，β满足cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，则cos(2π－β)的值为( )A.3365 B ．－3365 C.5465 D ．－5465 4．在△ABC 中，若sin A sin B <cos A cos B ，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形 5．已知α，β均为锐角，且cos α＝2 55，cos β＝1010，则α－β等于( )A.π4 B ．－π4 C.π2 D ．－π26．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝45，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，7π4，则cos x 的值为( ) A.210 B.7 210 C.310 D.7 310二、填空题7．已知α是第二象限角，sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－35，则cos α＝________.8．若a ＝(cos60°，sin60°)，b ＝(cos15°，sin15°)，则a ·b ＝________. 三、解答题9．已知sin(π－α)＝437，cos(α－β)＝1314，0<β<α<π2，求角β的大小．10．已知函数f (x )＝－cos2x cos 5π4＋sin2x sin 9π4.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若π8<α<β<π2，f (α)＝2＋64，且f (β)＝6－24，求角2β－2α的大小．3.1.2 两角和与差的正弦、余弦和正切公式二、选择题1．已知下列四个等式：①sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； ②cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；③cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α；④tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.其中恒成立的等式有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 2.1－tan15°1＋tan15°的值为( ) A. 3 B.33C ．1D ．－ 33．若sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＋α＝( ) A ．－210 B ．210 C ．－7210 D ．72104．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan αtan β等于( )A ．2B ．1 C.12 D ．45．若0<α<π2，0<β<π2，且tan α＝17，tan β＝34，则α＋β等于( )A.π6B.π4C.π3D.3π46．已知tan α和tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，则a ，b ，c的关系是( )A ．b ＝a ＋cB ．2b ＝a ＋cC ．c ＝b ＋aD ．c ＝ab二、填空题7．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝______.8．若sin(α＋β)＝15，sin(α－β)＝35，则tan αtan β＝________.三、解答题9．求下列各式的值．(1)tan π12； (2)tan75°－tan15°1＋tan75°tan15°.10．已知tan α＝－13，cos β＝55，α，β∈(0，π)．(1)求tan(α＋β)的值；(2)求函数f (x )＝2sin(x －α)＋cos(x ＋β)的最大值．。

高中数学必修四同步练习题库：两角和差的正弦、余弦和正切公式(选择题：较易)

两角和差的正弦、余弦和正切公式（选择题：较易）1、已知,,则A． B．1 C． D．2、若tanα＝3，tanβ＝，则tan(α－β)等于 ()A．－3 B．C．3 D．3、下列各式中，值为的是（）A． B．C． D．4、若角的终边经过点，则= （）A． B． C． D．5、已知是方程的两根,则等于（）A．-3 B． C． D．36、，则（）A． B．C． D．7、设为第四象限的角，cos=，则sin2=（）A． B．C． D．8、已知＜＜π，3sin2=2cos，则等于（）A． B．C． D．9、sin15°sin105°的值是（）A． B． C． D．10、已知，则的值是（）A． B． C． D．11、已知角均为锐角，且cos=，tan（−）=−，tan=（）A． B． C． D．312、tan +tan +tan ∙tan 的值是（）A． B．C．0 D．113、=（）A． B． C． D．14、计算的值为（）A． B． C．2+ D．2−15、下列式子恒成立的是（）A．sin（α+β）="sin" α+sin βB．cos（α−β）="cos" αcos β+sin αsin βC．sin（α−β）="cos" αcos β−sin αsin βD．cos（α+β）="cos" αsin β−sin αcos β16、下面利用两角差的余弦公式化简，其中错误的是（）A．cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°＝cos 60°B．cos 75°＝cos 45°cos（－30°）＋sin 45°sin（－30°）C．sin（α＋45°）sin α＋cos（α＋45°）cos α＝cos 45°D．cos（α－）＝cos α＋sin α17、cos 17°等于（）A．cos 20°cos 3°－sin 20°sin 3°B．cos 20°cos 3°＋sin 20°sin 3°C．sin 20°sin 3°－cos 20°cos 3°D．cos 20°sin 20°＋sin 3°cos 3°18、sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°的值是（）A． B． C． D．19、已知，则（）A． B． C． D．20、设，若，则的值为（）A． B． C． D．21、已知，且，则A． B． C． D．22、已知为锐角，且满足，则等于（）A．或 B． C． D．23、已知为第二象限角，，则（）A． B． C． D．24、已知，则的值为（）A． B． C． D．25、式子的值为（）A． B． C． D．126、计算A． B． C． D．27、已知，且，则的是（）A． B． C． D．28、已知且，则=( )A． B． C． D．29、已知，则等于( )A． B． C． D．30、（）A． B． C． D．31、若，则为A． B． C． D．32、( )A． B．1 C． D．33、 sin13o cos17o+cos13o sin17o化简得（）A． B． C．sin4o D．cos4o34、向量，，若∥，则（）A．3 B． C． D．35、已知，，那么的值为（）.A． B． C． D．36、A． B． C． D．37、函数的零点是和，则（）A． B． C． D．38、已知函数，且，则的值是（）．A． B． C． D．39、在△ABC中，，BC边上的高等于，则sin A＝A． B． C． D．40、已知是第四象限角，且，则（）A． B． C． D．41、若点在直线上，则（）A． B． C． D．42、设，且，则（）A． B． C． D．43、已知，，则=（）A． B． C． D．44、已知角的终边经过点，则的值为（）A． B． C． D．45、下列各式中，值为的是（）A． B． C． D．46、已知sin 2x＝，则= ()A．－ B． C． D．－47、公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为，这一数值也可以表示为，若，则（）A． B． C． D．48、已知（）A． B． C． D．49、已知，则（）A． B． C． D．50、cos275°＋cos215°＋cos75°·cos15°的值是 ()A． B．C． D．1＋51、已知的内角所对的边分别为，若，，则角的度数为（）A．120° B．135° C．60° D．45°52、已知，则的值是A． B． C． D．53、若A．-3 B．3 C． D．54、若，则（）A． B． C． D．55、若，则（）A． B． C． D．56、在中，角所对的边分别为，且满足，则一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形57、在中，角的对边分别为，已知，则的大小是（）A． B． C． D．58、函数的最小正周期是（）A． B． C． D．59、已知，那么的值为（）A． B． C． D．60、当cos 2α=时,sin4α+cos4α的值是()A．1 B． C． D．61、已知向量,，，则等于( )A． B． C． D．62、若＝，则cos(π-2α)＝()A． B． C． D．63、的值为()A． B． C． D．64、的值是()A．- B．0 C． D．65、已知角的终边经过点，则（）A． B． C． D．66、若，则的值为（）A． B． C． D．167、已知α为锐角，且A． B． C．－ D．±68、，则（）A． B． C． D．69、已知，则（）A． B． C． D．70、已知，，则角是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角参考答案1、B2、D3、C．4、B5、C6、C7、D8、C9、A10、A11、D12、D13、A14、B15、B16、D17、B18、B19、D20、C21、C22、D23、C.24、D25、B26、B27、C28、C29、A30、B31、D32、B33、B34、B35、C36、D37、C38、D39、D40、D41、D42、B43、C44、A45、B46、C47、B48、D49、B50、A51、B52、D53、D54、C55、C56、A57、C58、B59、A60、C61、D62、C63、B64、D65、D66、C67、A68、A69、A70、A【解析】1、因为,,则，选B2、,故选D.3、试题分析：，，；故选C．考点：二倍角公式的应用．4、试题分析：由题意：，所以，，故选B.考点：1、任意见角的三角函数的定义；2、二倍角的正切人公式.5、∵是方程的两根，∴∴故选：C6、试题分析:因,故，,应选C. 考点：同角三角函数的关系及余弦二倍角公式的运用.7、∵为第四象限的角，cos=，∴sin= =，则sin2=2sin cos=，故选D．考点：二倍角的正弦.8、∵＜＜π，3sin2=2cos，∴sin=，cos=．∴，故选C．考点：二倍角的正弦.9、sin15°sin105°=sin15°cos15°=sin30°=，故选A．考点：二倍角的正弦.10、试题分析：，选A.考点：给值求值【方法点睛】三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数。

3.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式练习-人教版高中数学必修四

两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、两角差的余弦公式：cos(α－β)＝类型一、给角求值问题[典例] (1)cos 50°cos 20°＋sin 50°sin 20°的值为( )A.12B.13C.32D.33(2)cos(－15°)的值为( ) A.2－64 B.6－24 C.6＋24 D ．－6＋24 (3)化简cos(α＋45°)cos α＋sin(α＋45°)sin α＝________.[活学活用]计算下列各式的值：(1)cos 56°cos 26°＋sin 56°sin 26°；(2)cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)．类型二、给值求值问题[典例] (1)若sin(π＋θ)＝－35，θ是第二象限角， sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+ϕπ2＝－255，φ是第三象限角，求cos(θ－φ)的值． (2)已知cos α＝45，cos(α＋β)＝35，且α，β均为锐角，求cos β的值．类型三、给值求角问题[典例] 已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，α，β∈⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，，则β＝________. 二、两角和与差的正弦、余弦公式1．两角和的余弦公式cos(α＋β)＝，简记为C (α＋β)，其中α，β都是任意角．2．两角和与差的正弦公式(1)两角和的正弦：sin(α＋β)＝，简记为S (α＋β)，其中α，β都是任意角．(2)两角差的正弦： sin(α－β)＝，简记为S (α－β)，其中α，β都是任意角．类型一、给角求值问题[典例] 求值：(1)cos 75°；(2)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°.类型二、给值求值问题[典例] (1)已知sin α＝35，cos β＝－513，且α为第一象限角，β为第二象限角，求sin(α＋β)和sin(α－β)的值；(2)已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求cos 2α与cos 2β的值．类型三、给值求角问题[典例] 已知sin α＝55，sin β＝1010，且α和β均为钝角，求α＋β的值．[活学活用]已知α，β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010，求α－β的值．三、两角和与差的正切公式 tan(α＋β)＝；tan(α-β)＝类型一、给角求值问题[典例] 求值：(1)tan75°；(2)tan 74°＋tan 76°1－tan 74°tan 76°； (3)tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°.类型二、给值求值问题[典例] 已知cos α＝45，α∈(0，π)，tan (α－β)＝12，求tan β及tan (2α－β)．[活学活用]1．已知α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ，2，sin α＝35，则tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πα＝( ) A.17 B ．7 C ．－17D ．－72．已知sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan (α－β)＝2，则tan (β－2α)＝________. 类型三、给值求角问题[典例] 已知tan α＝2，tan β＝－13，其中0<α<π2，π2<β<π. (1)求tan (α－β)；(2)求α＋β的值．。

人教版高中数学必修四《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》评估训练

双基达标 (限时20分钟)1．化简cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝( )．A ．sin(2α＋β)B ．sin βC ．cos(2α＋β)D ．cos β 解析原式＝cos [](α＋β)－α＝cos β，故选D.答案 D2．计算sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°的值是( )．A.32B.12 C ．－32 D ．－12解析原式＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝12，故选B.答案 B3．若α＋β＝34π，则(1－tan α)(1－tan β)的值为( )．A.12 B ．1 C.32 D ．2解析 (1－tan α)(1－tan β)＝1＋tan αtan β－(tan α＋tan β)①∵tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)＝tan 34π(1－tan αtan β)＝tan αtan β－1，∴①式＝2，故选D.答案 D4．已知tan α＝2，tan β＝3，α、β均为锐角，则α＋β的值是________．解析因为tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2＋31－2×3＝－1，又α、β是锐角，0<α＋β<π，所以由tan(α＋β)＝－1得α＋β＝34π.答案 3π4 5．如果cos θ＝－1213，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4的值是________．解析由cos θ＝－1213，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π知 sin θ＝－1－cos 2θ＝－ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12132＝－513， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝cos θcos π4－sin θsin π4 ＝22(cos θ－sin θ)＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－713＝－7226. 答案－72266．证明：sin(α＋β)sin(α－β)＝sin 2α－sin 2β，并用该式计算sin 220°＋sin 80°·sin 40°的值．解 sin(α＋β)sin(α－β)＝(sin αcos β＋cos αsin β)(sin αcos β－cos αsin β)＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2β＝sin 2α(1－sin 2β)－(1－sin 2α)sin 2β＝sin 2α－sin 2αsin 2β－sin 2β＋sin 2αsin 2β＝sin 2α－sin 2β，∴等式成立．于是，sin 220°＋sin 80°·sin 40°＝sin 220°＋sin(60°＋20°)sin(60°－20°)＝sin 220°＋sin 260°－sin 220°＝sin 260°＝34.综合提高 (限时25分钟) 7．(2012·武昌高一检测)已知0<α<π2<β<π，又sin α＝35，cos(α＋β)＝－45，则sin β＝( )．A ．0B ．0或2425 C.2425 D ．0或－2425解析 ∵0<α<π2<β<π，sin α＝35，cos(α＋β)＝－45，∴cos α＝45，sin(α＋β)＝35或－35.∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)·sin α＝2425或0.∵π2<β<π，∴sin β＝2425.故选C.答案 C8．在△ABC 中，若sin A sin B <cos A cos B ，则△ABC 一定为( )．A ．等边三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形解析由sin A sin B <cos A cos B ⇒cos A cos B －sin A sin B >0⇒cos(A ＋B )>0⇒cos C <0⇒C 是钝角，故选D.答案 D9．计算：sin 75°·sin 15°＝________.解析 sin 75°sin 15°＝cos 15°cos 75°＝cos(45°－30°)·cos(45°＋30°)＝(cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°)(cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°)＝(cos 45°cos 30°)2－(sin 45°sin 30°)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22×322－⎝ ⎛⎭⎪⎫22×122＝14. 答案 14 10．已知在锐角三角形ABC 中，sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝15，则tan A tan B ＝________.解析 ∵sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧ sin A cos B ＋cos A sin B ＝35sin A cos B －cos A sin B ＝15⇔⎩⎪⎨⎪⎧ sin A cos B ＝25cos A sin B ＝15⇔tan A tan B ＝2.答案 211．(2012·清远高一检测)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255.求tan(α＋β)的值．解由条件得cos α＝210，cos β＝255.∵α、β为锐角，∴sin α＝1－cos 2α＝7210，sin β＝ 1－cos 2β＝55. 由此tan α＝sin αcos α＝7，tan β＝sin βcos β＝12.tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝7＋121－7×12＝－3.12．(创新拓展)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－2cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π. (1)若sin x ＝45，求函数f (x )的值；(2)求函数f (x )的值域．解 (1)∵sin x ＝45，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π， ∴cos x ＝－35，f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x －2cos x ＝3sin x －cos x ＝453＋35.(2)f (x )＝3sin x －cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，∵π2≤x ≤π， ∴π3≤x －π6≤5π6，12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6≤1， ∴函数f (x )的值域为[1,2]．。

高中数学必修四同步练习题库：两角和差的正弦、余弦和正切公式(选择题：容易)

两角和差的正弦、余弦和正切公式（选择题：容易）1、设为钝角，且，则等于（）A． B． C． D．2、已知，则的值是（）A． B． C． D．3、 =（）A． B． C． D．4、的值为（）A． B． C． D．5、化简cos 15°cos 45°－cos 75°sin 45°的值为A． B． C．－ D．－6、已知，则（）A． B． C． D．7、（）A． B． C． D．8、在△中，若，则△一定为（）.A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定9、计算：（）A． B． C． D．10、已知，，则（）A． B． C． D．11、已知，则的值为（）A． B． C． D．12、若，则的值为（）A． B． C． D．13、sin7°cos37°﹣sin83°cos53°的值为（）A．﹣ B． C． D．﹣14、若，则=（）A． B． C． D．15、的值为( )A． B．－ C． D．－16、已知为锐角，且cos=,cos=，则的值是（）A． B． C． D．17、已知则的值为A． B． C． D．18、已知，则等于（）A． B． C． D．19、计算的值等于（）A． B． C． D．20、在△ABC中，已知，，则的值为（）A． B． C．或 D．21、等于（）A． B． C． D．22、已知tan(α+β) =, tan(β－ )= ,那么tan(α + )为（）A． B． C． D．23、已知则等于( )A． B． C． D．24、已知，，则的值等于（）A．． B．． C．． D．．25、设是方程的两个根，则的值为A．-3 B．-1 C．1 D．326、若，则的值为（）A． B． C． D．27、化简的值为 ( )A．0 B．- C．2 D．28、（）A． B． C． D．29、计算的值（）30、已知为锐角，且＝,＝－,则＝A． B．C． D．以上答案都不对31、若，则的值为()A．1 B．3 C．6 D．432、已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值为A． B． C． D．33、已知，则( )A． B． C． D．34、下列各式中的值为的是（）A． B．C． D．35、（）A． B． C． D．36、设，，，则的大小关系是（）A． B． C． D．37、的值为（）A．1 B．0 C． D．38、已知，则（）A． B． C． D．39、（）A． B． C． D．40、已知，则 ( )A． B． C． D．41、已知，则的值为（）A． B． C． D．42、若，则（）A． B． C． D．43、下列各式中，值为的是（）A． B． C． D．44、（）A． B． C． D．45、sin15°cos15°=（）A． B． C． D．46、若，则角的终边在第几象限（）A．1 B．2 C．3 D．447、函数是A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数48、已知则（）A． B． C． D．49、若|a|＝2sin15°，|b|＝4cos15°，a与b的夹角为30°，则a·b的值是（）A． B． C．2 D．50、在△ABC中，角C＝120°，tan A＋tan B＝，则tan A tan B的值为()．A． B． C． D．51、计算的结果是（）A． B．1 C． D．52、“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件53、已知，则的值分别为A． B．C． D．54、的值是A． B． C． D．55、已知cos α＝，α∈()，则cos等于()A． B．－ C． D．－56、设α，β为锐角，且sin α＝，cos β＝，则α＋β的值为()A．π B．π C． D．57、已知则=（）A． B． C． D．58、的值是A． B． C． D．59、计算的结果是( )A． B． C． D．60、若，则（）A． B． C． D．61、设单位向量，则（）A．0 B． C． D．62、已知，则（）A． B． C． D．63、的值为（）A． B． C． D．64、若|a|＝2sin15°，|b|＝4cos15°，a与b的夹角为30°，则a·b的值是（）A． B． C．2 D．65、已知cos(＋α)＝，则cos2α的值为（）A． B．－ C． D．－66、中国古代数学家赵爽设计的弦图是由四个全等的直角三角形拼成，四个全等的直角三角形也可拼成如图所示的菱形，已知弦图中，大正方形的面积为100，小正方形的面积为4，则图中菱形的一个锐角的正弦值为A． B． C． D．67、已知，则（）A． B． C． D．68、已知，则______．69、已知，且，则所在象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限70、若，，则等于（）A． B． C． D．参考答案1、B2、A3、D4、D5、A6、C7、A8、A9、D10、D11、A12、A13、A14、（C）15、C16、B17、D18、A19、A20、A21、D22、A23、A24、D25、A26、C27、B28、B29、 A30、A31、D32、D33、A34、C35、A36、B37、C38、C39、A40、A41、B42、D43、B44、C45、A46、D47、A48、A49、D50、A51、A52、A53、D54、B55、B56、C57、D58、C59、D60、A61、A62、D63、D64、D65、A66、A67、C68、69、B70、C【解析】1、由已知可得，故选B.2、由题意得，所以。

人教版高中数学必修4 第六单元测试卷(两角和与差的正弦、余弦和正切公式)

(II) ，即，
，即 .
因为，所以，，
所以 .
15.（本小题共10分）
已知函数 .
(Ⅰ)求的定义域及最小正周期；
(II)求的单调递增区间.
知识点：析:
……………2分
……………4分
(Ⅰ) 原函数的定义域为，……………6分
最小正周期为．……………7分
题型：选择题
难易程度：较难
答案:C
解析： .
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
9.已知， (0，π)，则 =.
知识点：本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力
题型：填空题
难易程度：容易
答案:-1.
解析：
10. .
知识点：本题主要考查同角三角函数基本关系式和二倍角公式的应用
题型：解答题
难易程度：容易
解析: ,……………4分
即 ,……………8分
由条件＞0,故．……………10分.
14.（本小题满分10分）
已知函数，，且
(Ⅰ)求的值；
(II)设，，，求的值.
知识点：诱导公式，同角三角函数基本关系式，两角和的余弦公式的综合应用
题型：解答题
难易程度：中档
解析：(Ⅰ) ，解得 .
……………10分
题型：填空题
难易程度：容易
答案: .
解析：
.
11．若是锐角，且sin(- )= ，则cos的值是.
知识点：本题主要考查三角函数中的两角和余弦公式应用以及变角思想和运算求解能力
题型：填空题
难易程度：较难
答案: .
解析：
为锐角， .
12.设为锐角，若，则的值为．

高中数学两角和差的正弦、余弦、正切单元测试新人教版必修4

单元测试7—两角和差的正弦、余弦、正切第一卷〔选择题，共60分〕一、选择题〔每题5分，共60分，请将正确答案填在题后括号内〕 1．以下命题中的假命题．．．是〔〕A ．存在这样的α和β的值，使得cos 〔α＋β〕＝cos αcos β＋sin αsin βB ．不存在无穷多个α和β的值，使得cos 〔α＋β〕＝cos αcos β＋sin αsin βC ．对于任意的α和β，都有cos 〔α＋β〕＝cos αcos β－sin αsin βD ．不存在这样的α和β值，使得cos 〔α＋β〕≠cos αcos β－sin αsin β 2．函数))(6cos()3sin(2R x x x y ∈+--=ππ的最小值等于〔〕A ．－3B ．－2C ．－1D ．－53．在△ABC 中，cos A ＝53且cos B ＝135，那么cos C 等于〔〕A.－6533 B. 6533 C.－6563D. 65634．)cos(,32tan tan ,7)tan(βαβαβα-=⋅=+则的值〔〕A ．21B ．22C ．22-D ．22±5．假设3sin x －3cos x ＝23sin 〔x ＋φ〕，φ∈〔－π，π〕，那么φ等于〔〕A ．－6πB ．6π C ．65π D ．－65π 6．75sin 30sin 15sin ⋅⋅的值等于〔〕A ．43B ．83C ．81D ．417．在△ABC 中，tan A 、tan B 是方程3x 2＋8x －1＝0的两个根，那么tan C 等于〔〕A ．2B ．－2C ．4D ．－48．3tan11°+3tan19°+tan11°tan19°的值是〔〕A ．3B ．33C ．0D ．19．设0)4tan(tan 2=++-q px x 是方程和θπθ的两个根，那么p 、q 之间的关系是〔〕A ．p+q+1=0B ．p －q+1=0C ．p+q －1=0D ．p －q －1=0 10．)tan(),sin(4sin ,cos βαβααβ++==则a 的值是〔〕A ．412--a aB ．－412--a aC ．214a a --±D ．412--±a a11．在△ABC 中，假设sin A ·sin B ＜cos A ·cos B 那么△ABC 一定为〔〕A ．等边三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形12．设α∈( 0 ,2π),假设sin 53=α,那么2cos( 4πα+) =〔〕A ．57B ．51C ．27 D ．4第二卷〔非选择题，共90分〕二、填空题〔每题4分，共16分，将答案填在横线上〕 13．假设tan α=21,那么tan(α+4π)= . 14．在△ABC 中，33tan tan tan =++C B A ，C A B tan tan tan 2⋅= 那么∠B= .15．函数y =sin x cos (x +4π)+cos x sin(x +4π)的最小正周期T =_ __ 16．m =-⋅+)sin()sin(αββα，那么βα22cos cos -的值为 . 三、解答题〔本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分〕17．化简tan α+tan 〔45°－α〕〔1+tan α〕． 18．cos θ＝－53，且θ∈〔π，23π〕，那么tan 〔θ－4π〕的值为多少? 19．tan A 与tan(－A +4π)是x 2+px +q =0的解，假设3tan A =2tan(4π－A )，求p 和q 的值. 20．0<α<2π，252tan 2tan =+αα，求)3sin(πα-的值.21．求证：x x x x cos sin cos sin +-＝tan(x －4π)．22．锐角三角形ABC 中，.51)sin(,53)sin(=-=+B A B A〔Ⅰ〕求证B A tan 2tan =；〔Ⅱ〕设AB=3，求AB 边上的高．单元测试7—两角和差的正弦、余弦、正切参考答案一、选择题1．B2．C3．B4．D 5．A6．C 7．A8．D9．B10．D11．D12．B 二、填空题 13．3 14．3π15．π 16．m 三、解答题17．解析：原式=tan α+ααtan 1tan 1+-〔1+tan α〕=tan α+〔1－tan α〕=118．解析：∵cos θ＝－53且θ∈〔π，23π) ∴sin θ＝－54 那么tan θ＝34∴tan 〔θ－4π〕＝4tantan 14tantan πθπθ+-＝71341134=+- 19．解析:设t =tan A ，那么tan(4π－A )=t t A A +-=+-11tan 1tan 1 由3tan A =2tan(4π－A )，得3t =t t +-1)1(2，解之得t =31或t =－2.当t =31时，tan(4π－A )=t t +-11=21，p =－［tan A +tan(4π－A )］=－65，q =tan A tan(4π－A )=31×21=61.当t =－2时，tan(4π－A )=t t +-11=－3，p =－［tan A +tan(4π－A )］=5，q =tan A tan(4π－A )=6∴满足条件的p 、q 的值为：⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=656165q p q p 或 20．解析：由54sin ,25sin 22cot2tan===+αααα得.从而 3sincos 3cossin )3sin(παπαπα⋅-⋅=-)334(10123532154-=⨯-⨯=. 21．证明：左边＝)4cos(2)4sin(2ππ--x x ＝tan(x －4π)＝右边或：右边＝tan(x －4π)＝)4cos()4sin(ππ--x x ＝4sinsin 4cos cos 4sincos 4cossin ππππx x x x +-＝xx x x cos sin cos sin +-＝左边22．〔Ⅰ〕证明：,51)sin(,53)sin(=-=+B A B A所以.tan 2tan B A =〔Ⅱ〕解析：ππ<+<B A 2 ，,43)tan(,53)sin(-=+∴=+B A B A 即43tan tan 1tan tan -=-+B A B A ，将B A tan 2tan =代入上式并整理得解得262tan ±=B ，舍去负值得262tan +=B ， .62tan 2tan +==∴B A 设AB 边上的高为CD.。

必修四两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)(附答案)

两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)[学习目标] 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差正切公式的常见变形，并能灵活应用．知识点一两角和与差的正切公式(1)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β. (2)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β. 思考1 你能根据同角三角函数基本关系式tan α＝sin αcos α，从两角和与差的正弦、余弦公式出发，推导出用任意角α，β的正切值表示tan(α＋β)，tan(α－β)的公式吗？答案当cos(α＋β)≠0时，tan(α＋β)＝sin (α＋β)cos (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β－sin αsin β. 当cos αcos β≠0时，分子分母同除以cos αcos β，得tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β. 根据α，β的任意性，在上面式子中，以－β代替β得tan(α－β)＝tan α＋tan (－β)1－tan αtan (－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β. 思考2 在两角和与差的正切公式中，α，β，α±β的取值是任意的吗？答案在公式T (α＋β)，T (α－β)中α，β，α±β都不能等于k π＋π2(k ∈Z )．知识点二两角和与差的正切公式的变形(1)T (α＋β)的变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)．tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)．tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β). (2)T (α－β)的变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β)．tan αtan β＝tan α－tan βtan (α－β)－1. 这些变式在解决某些问题时是十分方便的．请利用两角和与差的正切公式或变形公式完成以下练习．思考1 直接写出下列式子的结果：(1)tan 12°＋tan 33°1－tan 12°tan 33°＝； (2)tan 75°＝；(3)1－tan 15°1＋tan 15°＝ . 答案 (1)1 (2)2＋3 (3)33思考2 求值：tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°.解方法一 ∵tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)，∴原式＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)＋3tan 20°tan 40°＝3－3tan 20°tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝ 3.方法二 ∵tan 20°tan 40°＝1－tan 20°＋tan 40°tan (20°＋40°)＝1－13(tan 20°＋tan 40°)， ∴原式＝tan 20°＋tan 40°＋3－(tan 20°＋tan 40°)＝ 3.题型一化简求值例1 求下列各式的值． (1)3＋tan 15°1－3tan 15°； (2)tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°.解 (1)原式＝tan 60°＋tan 15°1－tan 60°tan 15°＝tan(60°＋15°) ＝tan 75°＝tan(30°＋45°)＝tan 30°＋tan 45°1－tan 30°tan 45°＝33＋11－33＝2＋3；(2)∵tan 45°＝tan 15°＋tan 30°1－tan 15°tan 30°＝1，∴tan 15°＋tan 30°＝1－tan 15°tan 30°∴原式＝(1－tan 15°tan 30°)＋tan 15°tan 30°＝1.跟踪训练1 求下列各式的值．(1)cos 75°－sin 75°cos 75°＋sin 75°；(2)tan 36°＋tan 84°－3tan 36°tan 84°.解 (1)原式＝1－tan 75°1＋tan 75°＝tan 45°－tan 75°1＋tan 45°tan 75°＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－tan 30°＝－33.(2)原式＝tan 120°(1－tan 36°tan 84°)－3tan 36°tan 84°＝tan 120°－tan 120°tan 36°tan 84°－3tan 36°tan 84°＝tan 120°＝－ 3.题型二给值求值(角)例2 若α，β均为钝角，且(1－tan α)(1－tan β)＝2，求α＋β.解 ∵(1－tan α)(1－tan β)＝2，∴1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝2，∴tan α＋tan β＝tan αtan β－1，∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝－1.∴tan(α＋β)＝－1.∵α，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴α＋β∈(π，2π)．∴α＋β＝7π4.跟踪训练2 已知sin α＝12，α为第二象限的角，且tan(α＋β)＝－3，则tan β的值为() A ．－ 3 B. 3 C ．－33 D.33答案 C解析 ∵α为第二象限角，∴cos α<0，cos α＝－32， ∴tan α＝－33. tan β＝tan [(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)·tan α＝－3＋331＋(－3)·(－33)＝－33.题型三三角形中的问题例3 已知△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，且3tan A ＋3tan B ＝tan A tan B －1，试判断△ABC 的形状．解 ∵3tan A ＋3tan B ＝tan A tan B －1， ∴3(tan A ＋tan B )＝tan A tan B －1，∴tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－33， ∴tan(A ＋B )＝－33. 又∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝5π6，∴C ＝π6， ∵tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，tan C ＝33， ∴tan B ＋33＋tan B ＝3，tan B ＝33， ∴B ＝π6，∴A ＝2π3， ∴△ABC 为等腰钝角三角形．跟踪训练3 已知A 、B 、C 为锐角三角形ABC 的内角．求证：tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C .证明 ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C .∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－tan C . ∴tan A ＋tan B ＝－tan C ＋tan A tan B tan C .即tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C .忽视条件中隐含的角的范围而致错例4 已知tan 2α＋6tan α＋7＝0，tan 2β＋6tan β＋7＝0，α、β∈(0，π)，且α≠β，求α＋β的值．错解由题意知tan α、tan β是方程x 2＋6x ＋7＝0的两根，由根与系数的关系得： ⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－6， ①tan αtan β＝7， ② ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－61－7＝1. ∵0<α<π，0<β<π，∴0<α＋β<2π，∴α＋β＝π4或α＋β＝54π. 错因分析由①②知tan α<0，tan β<0.角α、β都是钝角．上述解法忽视了这一隐含条件．正解由⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－6tan αtan β＝7易知 tan α<0，tan β<0.∵α、β∈(0，π)，∴π2<α<π，π2<β<π.∴π<α＋β<2π. 又∵tan(α＋β)＝1，∴α＋β＝54π.1．若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)等于( ) A.13 B ．－13C ．3D ．－3 2．已知A ＋B ＝45°，则(1＋tan A )(1＋tan B )的值为( )A ．1B ．2C ．－2D ．不确定3．已知A ，B 都是锐角，且tan A ＝13，sin B ＝55，则A ＋B ＝ . 4．已知tan ⎝⎛⎭⎫α－β2＝12，tan ⎝⎛⎭⎫β－α2＝－13，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝ .5．已知tan(π12＋α)＝2，tan(β－π3)＝22，求： (1)tan(α＋β－π4)； (2)tan(α＋β)．一、选择题1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值等于( ) A.17 B ．7 C ．－17D ．－7 2．若sin α＝45，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tan β的值是( ) A.43 B ．－43 C ．－7 D ．－173．已知tan α＝12，tan β＝13，0<α<π2，π<β<3π2，则α＋β的值是( ) A.π4 B.3π4 C.5π4 D.7π44．A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2－5x ＋1＝0的两个实数根，则△ABC 是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．无法确定5．若tan 28°tan 32°＝a ，则tan 28°＋tan 32°等于( ) A.3a B.3(1－a ) C.3(a －1) D.3(a ＋1)6．化简tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于( )A ．1B ．2C ．tan 10° D.3tan 20°二、填空题7.1＋tan 75°1－tan 75°＝ . 8．如果tan α，tan β是方程x 2－3x －3＝0两根，则sin (α＋β)cos (α－β)＝ . 9．已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，则12sin αcos α＋cos 2α的值为． 10．已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝ . 三、解答题11．求下列各式的值．(1)sin 7°＋cos 15°sin 8°cos 7°－sin 15°sin 8°； (2)(1－tan 59°)(1－tan 76°)．12．已知tan α，tan β是方程x 2－3x －3＝0的两根，试求sin 2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos 2(α＋β)的值．13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．当堂检测答案1．答案 A解析 tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3－431＋3×43＝13. 2．答案 B解析 (1＋tan A )(1＋tan B )＝1＋(tan A ＋tan B )＋tan A tan B＝1＋tan(A ＋B )(1－tan A tan B )＋tan A tan B＝1＋1－tan A tan B ＋tan A tan B ＝2.3．答案 π4解析 ∵B 为锐角，sin B ＝55，∴cos B ＝255，∴tan B ＝12， ∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝13＋121－13×12＝1. ∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝π4. 4．答案 17解析 tan ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2＋⎝⎛⎭⎫β－α2 ＝tan ⎝⎛⎭⎫α－β2＋tan ⎝⎛⎭⎫β－α21－tan ⎝⎛⎭⎫α－β2tan ⎝⎛⎭⎫β－α2＝12＋⎝⎛⎭⎫－131－12×⎝⎛⎭⎫－13＝17. 5．解 (1)∵(π12＋α)＋(β－π3)＝α＋β－π4， ∴tan(α＋β－π4)＝tan[(π12＋α)＋(β－π3)] ＝tan (π12＋α)＋tan (β－π3)1－tan (π12＋α)tan (β－π3) ＝2＋221－2×22＝321－4＝－ 2.(2)∵α＋β＝(α＋β－π4)＋π4， ∴tan(α＋β)＝tan (α＋β－π4)＋tan π41－tan (α＋β－π4)tan π4＝－2＋11＋2＝－(2－1)2＝22－3.课时精练答案一、选择题1．答案 A2．答案 C3．答案 C4．答案 A解析 ∵tan A ＋tan B ＝53，tan A ·tan B ＝13， ∴tan(A ＋B )＝52，∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－52， ∴C 为钝角．5．答案 B解析 ∵tan(28°＋32°)＝tan 28°＋tan 32°1－tan 28°tan 32°＝3， ∴tan 28°＋tan 32°＝3(1－a )． 6．答案 A解析原式＝tan 10°tan 20°＋3tan 20°＋ 3 tan 10° ＝3(tan 10°＋tan 20°＋33tan 10°tan 20°)＝3×33＝1. 二、填空题7.答案－ 3解析原式＝tan(45°＋75°)＝tan 120°＝－ 3.8．答案－32解析 sin (α＋β)cos (α－β)＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β ＝tan α＋tan β1＋tan αtan β＝31＋(－3)＝－32.9．答案 23解析 ∵tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，∴1＋tan α1－tan α＝2，解得tan α＝13. ∴12sin αcos α＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝tan 2α＋12tan α＋1＝19＋123＋1＝23. 10．答案 1解析 ∵tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α. ∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α.∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1.∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β.∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，∴tan(α＋β)＝1. 三、解答题11．解 (1)原式＝sin (15°－8°)＋cos 15°sin 8°cos (15°－8°)－sin 15°sin 8°＝sin 15°cos 8°cos 15°cos 8°＝tan 15°＝tan(45°－30°) ＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝1－331＋33＝2－ 3. (2)原式＝1－tan 59°－tan 76°＋tan 59°tan 76° ＝1－(tan 59°＋tan 76°)＋tan 59°tan 76°＝1－tan 135°(1－tan 59°tan 76°)＋tan 59°tan 76° ＝1＋1－tan 59°tan 76°＋tan 59°tan 76°＝2.12．解由已知有⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝－3. ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－(－3)＝34. ∴sin 2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos 2(α＋β)＝sin 2(α＋β)－3sin (α＋β)cos (α＋β)－3cos 2(α＋β)sin 2(α＋β)＋cos 2(α＋β)＝tan 2(α＋β)－3tan (α＋β)－3tan 2(α＋β)＋1＝(34)2－3×34－3(34)2＋1＝－3.13．解由条件得cos α＝210，cos β＝255.∵α，β为锐角，∴sin α＝1－cos 2α＝7210，sin β＝1－cos 2β＝55.因此tan α＝sin αcos α＝7，tan β＝sin βcos β＝12.(1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3.(2)∵tan 2β＝tan(β＋β)＝2tan β1－tan 2β＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43，∴tan(α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan αtan 2β＝7＋431－7×43＝－1.∵α，β为锐角，∴0<α＋2β<3π2，∴α＋2β＝3π4.。

高二数学人教A必修4测试题两角差的余弦公式,两角和与差的正弦、余弦、正切公式

数学必修4 测试题7(两角差的余弦公式,两角和与差的正弦、余弦、正切公式)A 组一、选择题:共6小题1、(易)tan 2tan 3αβ==,则tan()αβ-=( )A.7-B.15 C.15- D.17-2、(易)设(0,)2απ∈,若3sin 5α=,)4απ+=( )A.15B.75C.75-D.15- 3、(易)sin110sin 40cos 40cos 70+o o o o 等于( )A.12-C.12D.4、(中)0000(1tan 21)(1tan 22)(1tan 23)(1tan 24)++++的值等于( ) A.16 B.8 C.4 D.25、(中)1sin10-o ( ) A.1 B.2 C.4 D.146、(中)sin1212ππ-的值是( )B. D.-12二、填空题:共3小题7、(易)已知3sin 5α=-,α是第四象限角,则sin 4απ⎛⎫- ⎪⎝⎭=____________. 8、(中)若tan()24πα+=,则212sin cos cos ααα=+____________.9、(中)0000tan 20tan 4020tan 40+=_____________. 三、解答题:共2小题10、(中)化简:()()1sin cos sin 2sin 2αβααββ+-+-⎡⎤⎣⎦.11、(中)已知44απ3π<<,0＜β＜4π,cos(4π+α)=－53,sin(43π+β)=135, 求sin(αβ+)的值.B 组一、选择题:共6小题1、(易)sin(27)cos(18)sin(18)cos(27)x x x x +-+-+o o o o =( )A.12 B.12- C.2、(中)tan 20tan(50)1tan 20tan 50--=-o o o o( )A. 3、(中)2cos10sin 20cos 20-o oo的值是 ( )124、(中)已知11tan(),tan 34αββ+==则tan α的值为( )A.112B.113C.713D.12135、(难)如果sin()2009sin()2010αβαβ-=+,则=βαtan tan ( )A.14019 B.14019-C.4019D.4019-6、(难)已知A.B 均为钝角,sin A =,sin B =则A+B 的值为( ) A.74π B.54π C.34π D.4π二、填空题:共3小题 7、(中)︒+︒︒-︒15cos 15sin 15cos 15sin =_______8、(中)函数22sincos()336x x y π=++的图象中相邻两对称轴的距离是 .9、(中)若,22sin sin =+βα则βαcos cos +的取值范围. . 三、解答题:共2小题10、(中)化简:［2sin50°+sin10°(1+3tan10°)］·︒80sin 22.11、(难)已知tan tan αβ，是一元二次方程22(42)230mx m x m +-+-=的两个不等实根,求函数2()53tan()4f m m m αβ=+++的值域.C 组解答题:共2小题1、(难)已知非零常数a 、b 满足5πsin 5πcos 5πcos 5πsinb a b a -+=tan 15π8,求a b . 2、(较难)已知sin sin sin 0,cos cos cos 0.αβγαβγ++=++= (1)求cos()αβ-的值; (2)若,,[0,3αβγ4π∈],求sin()αβγ++的值.参考答案 A 组1.D tan tan 23tan()1tan tan 123αβαβαβ---==++⨯=17- 2.A ∵(0,)2απ∈,3sin 5α=,∴4cos 5α=, 原式cos sin sin )44ααππ-=431cos sin 555αα-=-=3.B 原式cos 40cos 70sin 40sin(18070)=+-o o o o ocos 40cos 70sin 40sin 70=+o o o o=cos(4070)cos(30)-=-=o o o 4.C 0000(1tan 21)(1tan 24)2,(1tan 22)(1tan 23)2++=++=,更一般的结论 045,(1tan )(1tan )2αβαβ+=++=,5.C 原式()2sin 301041sin 202-=o oo6.B 原式=12sin 21212⎛⎫ππ- ⎪⎝⎭=2sin 2sin 1234πππ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭由3sin 5α=-,α是第四象限角,得4cos 5α===,于是有sin sin cos cos sin 444ααα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭πππ4355⎛⎫=- ⎪⎝⎭=8.23 由1tan tan()241tan αααπ++==-,得1tan 3α=∴212sin cos cos ααα=+2222sin cos tan 122sin cos cos 2tan 13ααααααα++==++∵0000tan 20tan 40tan 60tan(2040)1tan 20tan 40+=+==-,0000tan 20tan 40tan 20tan 40-=+,即原式10.解:()()1sin cos sin 2sin 2αβααββ+-+-⎡⎤⎣⎦ = ()()()1sin cos sin sin 2αβααβααβα+-++-+-⎡⎤⎣⎦= ()()()()()1sin cos sin cos cos sin sin cos cos sin 2αβααβααβααβααβα+-+++-+++⎡⎤⎣⎦ =()()sin cos cos sin αβααβα+-+=()sin αβα+-=sin β 11.解:∵4π＜α＜4π3, ∴2π＜4π+α＜π.又cos(4π+α)=－53, ∴sin(4π+α)=54.又∵0＜β＜4π, ∴4π3＜4π3+β＜π.又sin(4π3+β)=135, ∴cos(4π3+β)=－1312,∴sin(α+β)=－sin ［π+(α+β)］=－sin ［(4π+α)+(4π3+β)］=－［sin(4π+α)cos(4π3+β)+cos(4π+α)sin(4π3+β)］=－［54×(－1312)－53×135］=6563.B 组1.D 原式=sin(2718)sin 45x x ++-==o o o2.B 原式=tan 20tan 50111tan 50tan 20tan(5020)tan 30+===--o o o o o o o 3.A 2cos10sin 20cos 20-o o o =2cos 3020sin 20cos 20--o o oo（）4.B []tan()tan tan tan ()1tan()tan αββααββαββ+-=+-=++⋅=1135.C 可得2010sin cos 2010cos sin 2009sin cos 2009cos sin αβαβαβαβ-=+, ∴sin cos 4019cos sin αβαβ=,得tan 4019tan αβ=,∴tan 4019tan αβ=.6.A,,cos 22A B A B ππ<<π<<π∴==cos()cos cos sin sin A B A B A B +=-=(=又724A B A B ππ<+<π∴+=Q 7.－33把原式分子、分母同除以cos15°,有 ︒+︒︒-︒15cos 15sin 15cos 15sin =115tan 115tan +︒-︒=145tan 15tan 45tan 15tan +︒︒︒-︒=tan(15°－45°)=tan(－30°)=－33. 8.32π 22222sin cos cos sin sin cos cos sin sin 336363636x x x x x y ππππ=+-=+ 22cos(),3362/3x T ππ=-==π,相邻两对称轴的距离是周期的一半9.t ≤≤令cos cos t αβ+=, 则2221(sin sin )(cos cos ),2t αβαβ+++=+221322cos(),2cos()22t t αβαβ+-=+-=-2231722,,222t t t -≤-≤-≤≤≤≤10.解:原式=［2sin50°+sin10°(1+3tan10°)］·︒80sin 22 =［2sin50°+sin10°(1+3︒︒10cos 10sin )］·︒10cos 22 =［2sin50°+sin10°(︒︒+︒10cos 10sin 310cos )］·︒10cos 22=(2sin50°+2sin10°·︒︒10cos 50cos )·2cos10° =22(sin50°cos10°+sin10°·cos50°) =22sin60°=6. 11.解:由已知,有12tan tan m m αβ-+=,23tan tan 2m mαβ-=·, 24tan()3mαβ-∴+=. 又由0∆>,知10(0)2m ⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭U ，，∞,2224()534(1)33mf m m m m -∴=++=++·. Q 当10(0)2m ⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭U ，，∞时()f m 在两个区间上都为单调递增,故所求值域为134(4)4⎛⎫+ ⎪⎝⎭U ，，∞.C 组1.分析:这道题看起来复杂,但是只要能从式子中整理出a b ,用15π8、5π的三角函数表示出来,再利用两角和与差的正、余弦公式计算即可.解:由于5πsin 5πcos 5πcos 5πsin 5πsin 5πcos 5πcos 5πsina b a b b a b a -+=-+,则15π8tan 5πsin 5πcos 5πcos 5πsin =-+a b a b . 整理,有)5π15π8cos()5π15π8sin(5πsin 15π8sin 5πcos 15π8cos 5πsin 15π8cos 5πcos 15π8sin--=+-=a b =tan 3π=3. 2.解:(1)sin sin sin ,cos cos cos ,αβγαβγ+=-+=-22(sin sin )(cos cos )1,αβαβ+++=22cos()1,αβ+-=∴1cos()2αβ-=-.(2)由(1)同理得11cos(),cos()22βγαγ-=--=-,∵,,[0,3αβγ4π∈],由对称性,不防设03αβγ4π≥>>≥,则03αβ4π<-<,03βγ4π<-<,03αγ4π<-≤,又由(1)知3αβ2π-=,3βγ2π-=,3αγ4π-=,若0γ>,则33αγ4π4π=+>矛盾！∴0γ=,有3β2π=,3α4π=, ∴sin()sin 2αβγ++=π=0.。

【高中数学】两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式

两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式一、基础知识1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式S (α±β)：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.C (α±β)：cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.T (α±β)：tan(α±β)，β，α±β≠π2＋k π，k ∈两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点及关系：C (α±β)同名相乘，符号反；S (α±β)异名相乘，符号同；T (α±β)分子同，分母反.2．二倍角公式S 2α：sin 2α＝2sin αcos α.C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.T 2α：tan 2α≠k π＋π2且α≠k π2＋π4，k ∈二倍角是相对的，例如，α2是α43α是3α2的二倍角．二、常用结论(1)降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α.(3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．(4)辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φsin φ＝b a 2＋b 2，cos φ考点一三角函数公式的直接应用[典例](1)已知sin α＝35，αtan β＝－12，则tan(α－β)的值为()A ．－211B.211C.112D ．－112(2)(2019·呼和浩特调研)若sin (π－α)＝13，且π2≤α≤π，则sin 2α的值为()A ．－229B ．－429C.229D.429[解析](1)因为sin α＝35，α所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝－34.所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝－211.(2)因为sin(π－α)＝sin α＝13，π2≤α≤π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－223，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×13×＝－429.[答案](1)A(2)B[解题技法]应用三角公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．[题组训练]1．已知sin α＝13＋cos α，且α，则cos 2α()A ．－23B.23C ．－13D.13解析：选A因为sin α＝13＋cos α，所以sin α－cos α＝13，所以cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin αcos π4＋cos αsin π4＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)22(sin α＋cos α)＝－1322＝－23.2．已知sin α＝45，且αsin α________．解析：因为sin α＝45，且αα所以cos α＝－1－sin 2α＝－＝－35.因为sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.所以αsin 2αcos π3＋cos 2αsin π3＝－24＋7350.答案：－24＋7350考点二三角函数公式的逆用与变形用[典例](1)(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.(2)计算：tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°＝________.[解析](1)∵sin α＋cos β＝1，①cos α＋sin β＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，∴sin αcos β＋cos αsin β＝－12，∴sin(α＋β)＝－12.(2)原式＝tan(25°＋35°)(1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°·tan 35°＝3(1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°tan 35°＝3.[答案](1)－12(2)3[解题技法]两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．(2)公式的一些常用变形：sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β；cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β；1±sin αsin α2±cos ；sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1；cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.[提醒](1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．(3)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32，3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．[题组训练]1.设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°，则a ，b ，c 的大小关系是()A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．a >c >b解析：选D由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a ＝cos 50°cos 127°＋cos40°cos 37°＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos 77°＝sin 13°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)＝22sin 56°－22cos 56°＝sin(56°－45°)＝sin 11°，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°＝1－sin 239°cos 239°1＋sin 239°cos 239°＝cos 239°－sin 239°＝cos 78°＝sin 12°.因为函数y ＝sin x ，x ∈0，π2为增函数，所以sin 13°>sin 12°>sin 11°，所以a >c >b .2.已知sin α＝435，则________.解析：由sin α＝435，可得32cos α＋12sin α＋sin α＝435，即32sin α＋32cos α＝435，∴3sin ＝435，即＝45.答案：453.化简sin sin sin 2α的结果是________．解析：sin 2α＝1－12cos ααsin 2α＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12.答案：12考点三角的变换与名的变换考法(一)三角公式中角的变换[典例](2018·浙江高考改编)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点－35，－若角β满足sin(α＋β)＝513，则cos β的值为________．[解析]由角α的终边过点－35，－得sin α＝－45，cos α＝－35.由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α，得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，所以cos β＝－5665或cos β＝1665.[答案]－5665或1665[解题技法]1．三角公式求值中变角的解题思路(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．2．常见的配角技巧2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝考法(二)三角公式中名的变换[典例](2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值；(2)求tan(α－β)的值．[解](1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α.因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－55，所以α＋β所以sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝255，所以tan(α＋β)＝－2.因为tan α＝43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247.所以tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan (α＋β)1＋tan 2αtan (α＋β)＝－211.[解题技法]三角函数名的变换技巧明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．[题组训练]1．已知tan θ＋1tan θ＝4，则cos ()A.12B.13C.14D.15解析：选C由tan θ＋1tan θ＝4，得sin θcos θ＋cos θsin θ＝4，即sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝4，∴sin θcos θ＝14，∴cos ＝1－sin 2θ2＝1－2sin θcos θ2＝1－2×142＝14.2．(2018·济南一模)若＝7210A sin A 的值为()A.35B.45C.35或45D.34解析：选B ∵A A ＋π4∈∴＝－210，∴sin A ＝－π4＝cos π4－sin π4＝45.3．已知sin α＝－45，α∈3π2，2π，若sin (α＋β)cos β＝2，则tan(α＋β)＝()A.613B.136C ．－613D ．－136解析：选A ∵sin α＝－45，α∈3π2，2π，∴cos α＝35.又∵sin (α＋β)cos β＝2，∴sin(α＋β)＝2cos[(α＋β)－α]．展开并整理，得65cos(α＋β)＝135sin(α＋β)，∴tan(α＋β)＝613.[课时跟踪检测]A 级1．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝()A ．1 B.12C.32D ．－12解析：选B sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°·cos 15°＋(－cos 45°)sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝12.2．若2sin x ＋1，则cos 2x ＝()A ．－89B ．－79C.79D ．－725解析：选C 因为2sin x ＋1，所以3sin x ＝1，所以sin x ＝13，所以cos 2x ＝1－2sin 2x ＝79.3．(2018·山西名校联考)若＝－33，则cos α＝()A ．－223B ．±223C ．－1D ．±1解析：选C cos α＝12cos α＋32sin α＋cos α＝32cos α＋32sin α＝3cos ＝－1.4．tan 18°＋tan 12°＋33tan 18°tan 12°＝()A.3B.2C.22D.33解析：选D ∵tan 30°＝tan(18°＋12°)＝tan 18°＋tan 12°1－tan 18°tan 12°＝33，∴tan 18°＋tan 12°＝33(1－tan 18°tan 12°)，∴原式＝33.5．若α3cos 2α＝sin 2α的值为()A ．－118B.118C ．－1718D.1718解析：选C由3cos 2α＝3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，又由α∈可知cos α－sin α≠0，于是3(cos α＋sin α)＝22，所以1＋2sin αcos α＝118，故sin 2α＝－1718.6．已知sin 2α＝13，则cos ()A ．－13B.13C ．－23D.23解析：选Dcos ＝12＋12sin 2α＝12＋12×13＝23.7．已知＝12，α－π2，cos________．解析：由已知得cos α＝12，sin α＝－32，所以＝12cos α＋32sin α＝－12.答案：－128．(2019·湘东五校联考)已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan αtan β＝________.解析：因为sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，所以sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin αcos β－cosαsin β＝13，所以sin αcos β＝512，cos αsin β＝112，所以tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝5.答案：59．(2017·江苏高考)若＝16，则tan α＝________.解析：tan α＝＋π4＝tanπ41－tan π4＝16＋11－16＝75.答案：7510．化简：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝________.解析：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝1－cos 70°2－12cos 10°sin 10°＝－12cos 70°12sin 20°＝－1.答案：－111．已知tan α＝2.(1)求tan(2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．解：＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝2＋11－2＝－3.(2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－(2cos 2α－1)－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×222＋2－2＝1.12．已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值；(2)求cos β的值．解：(1)∵α，β，∴－π2<α－β<π2.又∵tan(α－β)＝－13<0，∴－π2<α－β<0.∴sin(α－β)＝－1010.(2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010.∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝45.∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝45×31010＋35×＝91050.B 级1．(2019·广东五校联考)若4cos(2π－θ)，|θ|<π2，则tan2θ＝________.解析：∵4cos(2π－θ)，∴cos θsin θ＝4cos θ，又∵|θ|<π2，∴sin θ＝14，∴0<θ<π2，cos θ＝154，tan θ＝sin θcos θ＝115，从而tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝157.答案：1572．(2018·江西新建二中期中)已知A ，B 均为锐角，cos(A ＋B )＝－2425，＝35，则________.解析：因为A ，B 均为锐角，cos(A ＋B )＝－2425，＝35，所以π2<A ＋B <π，π2<B ＋π3<π，所以sin(A ＋B )＝1－cos 2(A ＋B )＝725，＝－45，可得cos (A ＋B )＝－2425×＋725×35＝117125.答案：1171253．(2019·石家庄质检)已知函数f (x )＝x ∈R.(1)求f(2)若cos θ＝45，θf θ解：(1)－π4＋＝－12.(2)θθ－π3＋θ＝22(sin 2θ－cos 2θ)．因为cos θ＝45，θsin θ＝35，所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2425，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝725，所以θ＝22(sin 2θ－cos 2θ)＝22×＝17250.。