8.5隐函数的求导公式
0805隐函数的求导公式
x y
Fy Fx
f1 2 f1 1
f2 2xyz3 f2 y2z3
.
例24 设 x2 y2 z2 4z, 求 z , z , 2z . x y xy
解.1. 令 F ( x, y, z) x2 y2 z2 4z,
则 Fx 2x,
Fz
2z 4,
z x
Fx Fz
x, z2
同理, z Fy y . y Fz z 2
解.2. 方程两边关于x求偏导,且视z为x, y的函数,得 :
2x 0 2z z x
4 z , x
z x
x, 2 z
同理 z y
y. 2 z
z x , z y . x 2 z y 2 z
2z xy
(
z x
)y
(
2
x
z
)y
(2
x z
y x2
x y2 ,
dy Fx x y . dx Fy y x
解.2. 方程两边关于x求导,并视y是x的函数,得 :
1 2( x2
y2) (2x
2y
y)
1
1 ( y)2
xy x2
y
,
x
例1 设方程 ln x2 y2 arctan y 确定 y f ( x), 求 dy .
南京航空航天大学《高等数学》8.5隐函数的求导公式
解二元一次方程组,得 1 v = x 4uv + 1 2v u = x 4uv + 1
解法 2
将方程组两边求全微分
2 udu dv + dx = 0 (1' ) du + 2 vdv dy = 0 (2 ' ) dx + dy 2 u( 2') ( 1') dv = 4uv + 1 2vdx + (4uv 2v + 1)dy du = 4uv + 1
它们满足方程组 (6 )且 (i ) u0 = u( x0 , y0 ), v 0 = v ( x0 , y0 )
1 (F , G ) u ( ii ) = = Fu J ( x, v ) x Gu Fx Gx Fv Gv Fv Gv
,
Fu Fx v 1 (F ,G ) = = Gu G x x J ( u, x )
设 : (1)F ( x , y , z )在点 P ( x 0 , y 0 , z 0 )的某一邻域内 具有连续的偏导数 ; (2 )F ( x 0 , y0 , z 0 ) = 0; √ )Fz ( x 0 , y0 , z 0 ) ≠ 0 (3
唯一确定具有连续偏导 数的单值函数 z = f ( x , y )
解法2 : 将方程组两边求全微分 2 xdx + 2 ydy + 2zdz = 0 dx + dy + dz = 0 (2') x y z' ( x) = yz
(1')
xz y' ( x) = yz
u = f ( ux , v + y ) 例 7 . 求方程组 确定的 2 v = f (u x , v y ) u v , . u , v 关于 x , y 的偏导数 x x
§5隐函数的求导公式
§8. 5 隐函数的求导公式课 题：§8.5隐函数的求导公式教学目的：通过学习，使学生掌握隐函数的求导公式教学重点：一个方程的情形隐函数的求导公式教学难点：方程组的情形隐函数的求导公式教学过程：一、一个方程的情形隐函数存在定理1设函数F (x , y )在点P (x 0, y 0)的某一邻域内具有连续偏导数, F (x 0, y 0)=0, F y (x 0, y 0)≠0, 则方程F (x , y )=0在点(x 0, y 0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y =f (x ), 它满足条件y 0=f (x 0), 并有yx F F dx dy -=. 求导公式证明: 将y =f (x )代入F (x , y )=0, 得恒等式F (x , f (x ))≡0,等式两边对x 求导得0=⋅∂∂+∂∂dxdy y F x F , 由于F y 连续, 且F y (x 0, y 0)≠0, 所以存在(x 0, y 0)的一个邻域, 在这个邻域同F y ≠0, 于是得yx F F dx dy -=. 例1 验证方程x 2+y 2-1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x =0时y =1的隐函数y =f (x ), 并求这函数的一阶与二阶导数在x =0的值. 解 设F (x , y )=x 2+y 2-1, 则F x =2x , F y =2y , F (0, 1)=0, F y (0, 1)=2≠0. 因此由定理1可知, 方程x 2+y 2-1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x =0时y =1的隐函数y =f (x ).y x F F dx dy y x -=-=, 00==x dx dy ;332222221)(y y x y y y x x y y y x y dx y d -=+-=---='--=, 1022-==x dx y d . 隐函数存在定理还可以推广到多元函数. 一个二元方程F (x , y )=0可以确定一个一元隐函数, 一个三元方程F (x , y , z )=0可以确定一个二元隐函数.隐函数存在定理2设函数F (x , y , z )在点P (x 0, y 0, z 0)的某一邻域内具有连续的偏导数, 且F (x 0, y 0, z 0)=0, F z (x 0, y 0, z 0)≠0 , 则方程F (x , y , z )=0在点(x 0, y 0, z 0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z =f (x , y ), 它满足条件z 0=f (x 0, y 0), 并有z x F F x z -=∂∂, z y F F yz -=∂∂. 公式的证明: 将z =f (x , y )代入F (x , y , z )=0, 得F (x , y , f (x , y ))≡0,将上式两端分别对x 和y 求导, 得0=∂∂⋅+xz F F z x , 0=∂∂⋅+y z F F z y . 因为F z 连续且F z (x 0, y 0, z 0)≠0, 所以存在点(x 0, y 0, z 0)的一个邻域, 使F z ≠0, 于是得z x F F x z -=∂∂, z y F F yz -=∂∂. 例2. 设x 2+y 2+z 2-4z =0, 求22x z ∂∂. 解 设F (x , y , z )= x 2+y 2+z 2-4z , 则F x =2x , F y =2z -4, zx z x F F x z z x -=--=-=∂∂2422, 3222222)2()2()2()2()2()2()2(z x x z z x x x z x z x x x z -+-=--+-=-∂∂+-=∂∂. 二、方程组的情形在一定条件下, 由个方程组F (x , y , u , v )=0, G (x , y , u , v )=0可以确定一对二元函数u =u (x , y ), v =v (x , y ), 例如方程xu -yv =0和yu +xv =1可以确定两个二元函数22y x y u +=,22y x x v +=. 事实上, xu -yv =0 ⇒u y x v =⇒1=⋅+u y x x yu ⇒22yx y u +=, 2222yx x y x y y x v +=+⋅=. 如何根据原方程组求u , v 的偏导数？隐函数存在定理3设F (x , y , u , v )、G (x , y , u , v )在点P (x 0, y 0, u 0, v 0)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数, 又F (x 0, y 0, u 0, v 0)=0, G (x 0, y 0, u 0, v 0)=0, 且偏导数所组成的函数行列式:vG u Gv F u F v u G F J ∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=),(),( 在点P (x 0, y 0, u 0, v 0)不等于零, 则方程组F (x , y , u , v )=0, G (x , y , u , v )=0在点P (x 0, y 0, u 0, v 0)的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数u =u (x , y ), v =v (x , y ), 它们满足条件u 0=u (x 0, y 0), v 0=v (x 0, y 0), 并有vu v u v x v x G G F F G G F F v x G F J x u -=∂∂-=∂∂),(),(1, vu v u x u x u G G F F G G F F x u G F J x v -=∂∂-=∂∂),(),(1, vu v u v y v y G G F F G G F F v y G F J y u -=∂∂-=∂∂),(),(1, vu v u y u y u G G F F G G F F y u G F J y v -=∂∂-=∂∂),(),(1.隐函数的偏导数:设方程组F (x , y , u , v )=0, G (x , y , u , v )=0确定一对具有连续偏导数的二元函数u =u (x , y ), v =v (x , y ), 则偏导数x u ∂∂, x v ∂∂由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0x v G x u G G x v F x u F F v u x v u x 确定; 偏导数y u ∂∂, y v ∂∂由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0y v G y u G G y v F y u F F v u y v u y 确定. 例3 设xu -yv =0, yu +xv =1, 求x u ∂∂, x v ∂∂, yu ∂∂和y v ∂∂. 解 两个方程两边分别对x 求偏导, 得关于xu ∂∂和x v ∂∂的方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂++∂∂=∂∂-∂∂+00x v x v xu y x v y x u x u , 当x 2+y 2 ≠0时, 解之得22yx yv xu x u ++-=∂∂, 22y x xv yu x v +-=∂∂. 两个方程两边分别对x 求偏导, 得关于yu ∂∂和y v ∂∂的方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂--∂∂00y v x y u y u y v y v y u x , 当x 2+y 2 ≠0时, 解之得22y x yu xv y u +-=∂∂, 22yx yv xu y v ++-=∂∂. 另解 将两个方程的两边微分得⎩⎨⎧=+++=--+00xdv vdx ydu udy ydv vdy xdu udx , 即⎩⎨⎧--=+-=-vdxudy xdv ydu udx vdy ydv xdu . 解之得 dy y x yu xv dx y x yv xu du 2222+-+++-=,dy yx yv xu dx y x xv yu dv 2222++-+-=. 于是 22yx yv xu x u ++-=∂∂, 22y x yu xv y u +-=∂∂, 22y x xv yu x v +-=∂∂, 22yx yv xu y v ++-=∂∂. 例4 设函数x =x (u , v ), y =y (u , v )在点(u , v )的某一领域内连续且有连续偏导数, 又0),(),(≠∂∂v u y x . (1)证明方程组⎩⎨⎧==),(),(v u y y v u x x 在点(x , y , u , v )的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数u =u (x , y ), v =v (x , y ).(2)求反函数u =u (x , y ), v =v (x , y )对x , y 的偏导数.解 (1)将方程组改写成下面的形式⎩⎨⎧=-≡=-≡0),(),,,(0),(),,,(v u y y v u y x G v u x x v u y x F , 则按假设 .0),(),(),(),(≠∂∂=∂∂=v u y x v u G F J 由隐函数存在定理3, 即得所要证的结论.(2)将方程组(7)所确定的反函数u =u (x , y ),v =v (x , y )代入(7), 即得⎩⎨⎧≡≡)],(),,([)],(),,([y x v y x u y y y x v y x u x x , 将上述恒等式两边分别对x 求偏导数,得⎪⎩⎪⎨⎧∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=xvv y x u u y x v v x x u u x 01.由于J ≠0, 故可解得v y J x u ∂∂=∂∂1, uy J x v ∂∂-=∂∂1. 同理, 可得 v x J y u ∂∂-=∂∂1, u x J y v ∂∂=∂∂1.。
《高等数学》同济(少学时第三版) (8.5) 第五节 隐函数求导公式(同济少学时第三版简约型)
相交，且其交线是否是一条光滑的曲
线 y = f( x )的问题。
z F x, y z
O
y
y f x
x
(2) 考察曲面与 xOy 平面相交的条件
由直观容易看出，曲面 z = F( x ,y )若与 xOy 平面相 交且交线为一条连续曲线，则其必需满足以下条件：
0.
由于 Fu = Fx，Fv = Fy，Fw = Fz，故有
u x
du dx
dx dx
1,
v x
0,
w x
f x
z x
,
u y
0,
v y
dv dy
dy dy
1,
w y
f y
z y
.
于是有
Fu
1
Fv
0
Fw
z x
0,
Fu 0 Fv 1 Fw
z y
0.
故求得
z x
Fx Fz
复合函数求导而导出的。其中 Fx ,Fy ,Fz 均是三元函 数 u = F( x ,y ,z )对中间变量 x ,y ,z 的导数，而不是复
合函数 F[ x , y , f( x ,y )]对自变量 x ,y 的导数。
例：设
x z
ln
z y
,
求:
z x
,
z y
.
条件给出了一个 x 、y 、z 的三元方程，由隐函
Fx Fy
Fxy Fy2 2Fxy Fx Fy Fyy Fx2
Fy3
.
d2y
dx2
d dx
dy dx
d dx
Fx Fy
8.5 隐函数的求导公式
高等数学
x
y
x
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u u v v , , , . 例 5 设 x u y v 0 , y u x v 1, 求 x y x y 解: u u ( x, y ), v v( x, y ) 方程组两边对 y 求偏导, 得 u u v v x x y v v y 0 y y y y 移项得 u v u v y x u u y x 0 y y y y v y x v u x xu yv xv yu v y u u 2 2 2 2 x y x y y y x y x y y x y x
2 2 3
解: y y ( x), z z ( x) 在方程两边分别对 x 求导,得 dy dz dy dz dz (1 2 z ) 1 1 2 z 0 dx dx dx dx dx d y dz dy 2 dz 2 dz 1 2 y 3 z 0 2 y (1 3z ) 1 d x dx dx dx dx
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F ( x, y ) 0
dy y f ( x), 求 . dx
Fx dy dx Fy
F ( x, y , z ) 0
公式法
直接法
z z z f ( x, y ), 求 , . x y
Fx z x Fz
推广: n 元方程
高等数学
Fy z y Fz
( n-1) 元隐函数
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2 z z f ( x, y ) 2 2 2 例3 设 x y z 4 z 0 , 求 2 . x 解法1 设 F ( x, y, z ) x 2 y 2 z 2 4z
8.5-1隐函数求导—-一个方程的情形
第八章 多元函数微分学 第5节 隐函数求导公式讨论 :1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .例如, 方程20x y C ++=当 C < 0 时, 能确定隐函数;当 C > 0 时, 不能确定隐函数;2) 在方程能确定隐函数时,研究其连续性、可微性 及求导方法问题 .隐函数求导—一个方程的情形一、由一个方程确定y是x的函数隐函数的求导公式例１ 验证方程0122=-+y x 在点)1,0(的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且0=x 时1=y 的隐函数)(x f y =，并求这函数的一阶和二阶导 数在0=x 的值. 解令1),(22-+=y x y x F 则,2x F x =,2y F y =,0)1,0(=F ,02)1,0(≠=y F 依定理知方程0122=-+y x 在点)1,0(的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且0=x 时1=y 的函数)(x f y =．函数的一阶和二阶导数为d d x y F y x F =-,y x -=0d 0,d x y x ==222d d y y xy x y'-=-2y y x x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛---=,13y -=220d 1.d x yx ==-解令则,arctan ln ),(22x y y x y x F -+=,),(22y x y x y x F x ++=,),(22yx x y y x F y +-=d d x yF y x F =-.x y y x -+-=隐函数求导—一个方程的情形二、由一个方程确定z是x、y的函数例3 设04222=-++z z y x ，求22x z ∂∂.解令则,4),,(222z z y x z y x F -++=,2x F x =,42-=z F z ,2z x F F x z z x -=-=∂∂22x z ∂∂2)2()2(z x z x z -∂∂+-=2)2(2)2(z z x x z --⋅+-=.)2()2(322z x z -+-=隐函数求导—一个方程的情形三、含有抽象函数的隐函数求导思路：把z 看成y x ,的函数对x 求偏导数得xz ∂∂，把x 看成y z ,的函数对y 求偏导数得yx ∂∂，把y 看成z x ,的函数对z 求偏导数得zy ∂∂.解令,z y x u ++=,xyz v =则),,(v u f z =把z 看成y x ,的函数对x 求偏导数得x z ∂∂)1(xz f u ∂∂+⋅=),(x z xy yz f v ∂∂+⋅+整理得x z ∂∂;1u v u vf yzf f xyf +=--解令,z y x u ++=,xyz v =则),,(v u f z =把x 看成y z ,的函数对y 求偏导数得)1(0+∂∂⋅=yx f u ),(y x yz xz f v ∂∂+⋅+整理得;u v u v f xzf f yzf +=-+yx ∂∂解令,z y x u ++=,xyz v =则),,(v u f z =把y 看成z x ,的函数对z 求偏导数得)1(1+∂∂⋅=zy f u ),(z y xz xy f v ∂∂+⋅+整理得zy ∂∂.1v u v u xzf f xyf f +--=隐函数求导—一个方程的情形四、隐函数确定的函数求全微分z x F F x z -=∂∂ -=∂∂x z 例5.设F ( x , y )具有连续偏导数,(,)0,x y F z z =d .z 求解法1 利用偏导数公式.是由方程设),(y x f z =0),(=z y z x F -=∂∂y z 212F y F x F z '+''=211F y F x F z '+''=y y z x x z z d d d ∂∂+∂∂=z F 11⋅'⋅'1F )(2z x -⋅'+2F )(2z y -z F 12⋅'确定的隐函数,1212(d d ).z x F y x F y F ''=+''+则)()(2221zy z x F F -⋅'+-⋅'已知方程故对方程两边求微分:⋅'1F )d d (d 2121y F x F F y F x z z '+''+'=)d d (2z z x x z -z z F y F x d 221'+'z y F x F d d 21'+'=解法2 微分法.d (,0x y F z z =)d d (2zz y y z -(d z x ⋅'+2F 0)(d =z y ⋅'1F ⋅'+2F 0=THANK YOU。
§8.5 隐函数有求导法则 - 吉林化工学院
dy Fx x dy 0 ; dx Fy y dx x 0
提示: 由方程F(x y)0确定的隐函数yf(x)的导数为 dy Fx dx Fy
Jlin Institute of Chemical Technology
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例1 验证方程x2y210在点(0 1)的某一邻域内能唯一确 定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x) 并求这函数 的一阶与二阶导数在x0的值 解 设F(x y)x2y21 则 Fx2x Fy2y F(0 1)0 Fy(0 1)20 由隐函数存在定理 方程x2y210在点(0 1)的某一邻域内能 唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x)
上页 下页 返0 1)的某一邻域内能唯一确 定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x) 并求这函数 的一阶与二阶导数在x0的值 解 设F(x y)x2y21 则 Fx2x Fy2y F(0 1)0 Fy(0 1)20 由隐函数存在定理 方程x2y210在点(0 1)的某一邻域内能 唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x)
隐函数的求导法则
（分以下几种情况）
(1) F ( x, y) 0
(2) F ( x, y, z) 0
F ( x, y , u , v ) 0 (3) G ( x, y, u, v) 0
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dy Fx x dy 0 ; dx Fy y dx x 0
d2y y xy 1 d2y 1 2 3 2 2 dx x 0 dx y y
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8.5_隐函数的求导公式
dx dx
x x
的方法相同.
26
8.5 隐函数的求导公式
例
设 xx2yy 2 z 1 2z22,(y0,z0)求ddxy
, dz 及 dx
dy dz
,
.
dxx1 dxx1
F F
(F ,G) (u, v )
u G
y = f (x), 它满足条件y0 = f (x0), 并有
dy Fx(x, y) 隐函数的求导公式 dx Fy(x, y)
(证明从略)仅推导公式. 将恒等式 F(x,f (x))0
两边关于x求导, 由链导法则, 得
4
8.5 隐函数的求导公式
F(x,f (x))0
Fx(x,y)Fy(x,y)
d d
一个隐函数y
=
f
(x),
并求
dy dx
.
证 记 F (x ,y ) x y e x ey,则
(1) F x(x,y)yex与 F y(x,y)xey在点 (0,0) 的邻域内连续;
(2) F(0,0)0;
(3) F y(0,0)10, 隐函数存在定理1
所以方程在点(0,0)附近确定一个有连续导数、
当 x0时 y0的隐函数 y = f (x), 且
隐函数的求导公式 dy Fx(x, y) dx Fy(x, y)
8
8.5 隐函数的求导公式
2. 由三元方程F(x, y, z) = 0确定二元隐函数
z = f (x, y), 求 z , z . x y
隐函数存在定理2 若三元函数F (x, y, z)满足:
(1) 在点P (x0, y0, z0)的某一邻域内具有连续
zz
求 z , z . x y
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u
r
x yx y
u y u x r r r 2 u 2 u 2 u 2 1 u 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) x y r r
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u x
x r x 2 2u u x x u r ( 2) ( ) r 2 r r r r2 x2
则
u v Fx Fu Fv 0 x x 两边对 x 求导得 Gx Gu u Gv v 0 x x
u v 这是关于 , 的线性方程组 , x x
解的公式
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x 2 y 2 z 2 50, dy dz 求 例3. 设 , dx dx x 2 y 3z 4. F ( x, y, z ) x2 y2 z 2 50, 解法1 利用公式 G( x, y, z ) x 2 y 3z 4.
例. 323页第7题
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例. 设
二阶偏导数连续,求下列表达式在
极坐标系下的形式
解:
u
r
x yx y
u u r (1) x r x
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u x u u r u y r y y
r y , y r x 2 y 2 2 y 1 ( x ) x y
(v, u )
y 3u 2 y
y 3u 3 xy 9u 2v 2
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3v 2
内容小结
1. 隐函数( 组) 存在定理
2. 隐函数 ( 组) 求导方法
方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ; 方法2. 利用微分形式不变性 ; 方法3. 代公式 .
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Fy z y Fz
定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:
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则
F ( x, y , f ( x , y ) ) 0
两边对 x 求偏导
z Fx Fz 0 x
Fx z x Fz
同样可得
Fy z y Fz
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2 z 2 2 2 例 2. 设 x y z 4 z 0 , 求 2 . x 解法1 利用隐函数求导 z x z z 2x 2z 4 0 x 2 z x x
dy (3x z ) (3 y 2 z ) 0 dx dz (2 x y ) (2 z 3 y ) 0 dx
dy z 3x dx 3 y 2 z dz y 2 x dx 2 z 3 y
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3 u xv y, u u v v 求 例4. 设 3 , , , . x y x y v yu x. 3 F ( x , y , u , v ) u xv y, 解 利用公式 3 G ( x , y , u , v ) v yu x.
sin y e x x y 1 0, y y( x)
两边对 x 求导
y
x0
ex y cos y x (0,0)
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定理2 . 若函数 F ( x, y, z ) 满足:
① 在点 ② F ( x0 , y0 , z0 ) 0 ; ③ Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0 , 则方程 在点 某一邻域内可唯一确 定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足 并有连续偏导数 Fx z , x Fz 的某邻域内具有连续偏导数 ;
再对 x 求导
2
z 2 1 ( ) x
z 4 2 0 x
2
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解法2 利用公式 设 F ( x, y , z ) x 2 y 2 z 2 4 z 则 Fx 2x , Fz 2z 4
x x Fx z z2 2 z x Fz
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例1. 验证方程
可确定一个单值可导隐函数 解: 令 F ( x, y ) sin y e x x y 1, 则 ② F (0,0) 0 ; ③ Fy (0,0) 1 0 ,
在点(0,0)某邻域
并求 d y dx x 0
① F e x y, Fy cos y x 连续 ; x
以两个方程确定两个隐函数的情况为例 ,
F ( x, y , z ) 0 G ( x, y, z ) 0
y y ( x) z z ( x)
dy dx
( F , G ) ( x, z ) ( F , G ) ( y, z )
dz dx
( F , G ) ( x, y ) ( F , G ) ( z, y )
称为F、G 的雅可比 行列式.
Fv Gv
( F , G) Fx ( x, v ) Gx
Fv Gv
( F , G) ( F , G) (u , v) (v, u )
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预备知识
克拉默法则
ì a11 x1 + a12 x2 = b1 ï ï í ï ï î a21 x1 + a22 x2 = b2 b1a22 - b2 a12 x1 = a11a22 - a12a21
由 定理1 可知, 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可
导的隐函数
且
x Fx dy e y Fy x 0 cos y x x 0, y 0 dx x 0
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例1. 验证方程
dy ,求 dx x 0导数的另一求ຫໍສະໝຸດ — 利用隐函数求导本节讨论:
一、一个方程所确定的隐函数 及其导数 *二、方程组所确定的隐函数组 及其导数
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一、一个方程所确定的隐函数及其导数
定理1. 设函数 在点 的某一邻域内满足 ① 具有连续的偏导数; ② F ( x0 , y0 ) 0 ; ③ Fy ( x0 , y0 ) 0
v x ( F , G ) 2 1 3 v u ( x, v ) 3v3 x 2 2 2 ( F , G ) 9u v xy 3u x x (u , v ) y 3v 2 2 1 3 u ( F , G )
u v ( y, u ) ( F , G ) x y
则还可求隐函数的 二阶导数 :
Fx dy dx Fy
d y Fx Fx d y ( ) ( ) 2 x Fy y Fy d x dx
2
x y x
Fx ( ) Fy
Fx x Fy Fy x Fx
2 Fy
Fx y Fy Fy y Fx
2 Fy
Fx x Fy 2 2 Fx y Fx Fy Fy y Fx 2 Fy3
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F ( x, y , u , v ) 0 G ( x, y, u, v) 0
( F , G ) u ( x, v ) ( F , G ) x (u , v ) ( F , G ) v ( x, u ) ( F , G ) x (v, u )
u u ( x, y ) v v ( x, y )
( F , G ) u ( y, v) ( F , G ) y (u , v ) ( F , G ) v ( y, u ) ( F , G ) y (v, u )
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F ( x, y , u , v ) 0 有隐函数组 设方程组 G ( x, y, u , v) 0
dz dy Fy Fz Fx dx dx G dy G dz G y z x dx dx
( F , G ) ( x, y ) ( F , G ) ( z, y )
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Fy F xFx Fz F F F)y FF x x x Fz y ( F , G (1) xGx Gz G G G G G dz dy G y G xx, z ( )y x x Gz y (zF , G F F F F F) dx dx Fy FyFz Fz z y Fy z y (z y , z )y G G G y GyGz Gz G G G z y Gy z
雅可比 目录 上页 下页 返回 结束
F ( x, y , z ) 0 G ( x, y, z ) 0
dy dz Fx Fy Fz 0 dx dx G G dy G dz 0 x y z dx dx
y y ( x) z z ( x)
b1 a12 b2 a22 = a11 a12 a21 a22
a11a22 - a12a21 ? 0
b2 a11 - b1a21 x2 = a11a22 - a12a21
a11 b1 a21 b2 = a11 a12 a21 a22
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二、方程组所确定的隐函数组及其导数
隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.
dy dx dz dx
( F , G ) ( x, z ) ( F , G ) ( y, z ) ( F , G ) ( x, y ) ( F , G ) ( z, y )
2x 1 2y 2
2z 3 z 3x 2z 3y 2z 3