2实数

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实数 (2) —初中数学课件PPT

其总长大约为6700000m．将6700000用科学记
数法表示为（ B ）
A．6.7×105 B．6.7×106
C．0.67×107 D．67×108
6．（2017•益阳）目前，世界上能制造出的最
小晶体管的长度只有0.000 000 04m，将
0.000 000 04用科学记数法表示为（ B ）
A．4×108 B．4×10﹣8
C．0.4×108 D．﹣4×108
数学
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课堂精讲
考点2 科学记数法
7．（2017•凉山州）2017年端午节全国景区接待游客总人数8260万人，这个数用科学记数法可表示为 8.2考点3 实数的大小比较、数轴、估计无理数的大小
8．（2017•济南）在实数0，﹣2，，3中，最大的是（ D ） A．0 B．﹣2 C． D．3
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广东中考
26．（2017广东）计算： |﹣7|﹣（1﹣π）0+（）﹣1．
解：原式=7﹣1+3=9．
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谢谢！
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第一章数与式
第1节实数
课前预习考点梳理课堂精讲广东中考
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课前预习
1．（2017湘潭）2 017的倒数是（A）
A． B．-
C．2 017 D．-2 017
2．（2017连云港）2的绝对值是（B）
A．-2 B．2 C．-
D．
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课前预习
3．（2017广元）- 的相反数是（D）
(2)用式子表示a的绝对值. a
0 -a
不论有理数a取何值，它的绝对值总是非负数. 即|a|≥0.

实数知识点详细总结(二)2024

实数知识点详细总结（二）引言概述：本文将详细总结实数的相关知识点。

实数是数学中一个重要的概念，包括有理数和无理数。

本文将以五个大点为主线，分别介绍实数的基本性质、实数的运算、实数的表示方法、实数的大小比较以及实数的应用场景。

通过阅读本文，读者将全面了解实数的概念和性质。

正文内容：一、实数的基本性质1. 实数的定义及其分类：有理数和无理数2. 实数的分布性质：无缝覆盖整个数轴3. 实数的有序性：实数的大小可以进行比较4. 实数的等价性：实数可以有多种不同的表示形式5. 实数的密度性质：任意两个实数之间都存在其他实数二、实数的运算1. 实数的加法运算性质：满足交换律、结合律等2. 实数的减法运算性质：减法可以转化为加法运算3. 实数的乘法运算性质：满足交换律、结合律等4. 实数的除法运算性质：除法可以转化为乘法运算5. 实数的运算律和运算规则：涉及加法、减法、乘法和除法的运算规则三、实数的表示方法1. 实数的小数表示法：有限小数和无限循环小数2. 实数的百分数表示法：以百分数形式表示的实数3. 实数的科学计数法：用以10为底的指数形式表示的实数4. 实数的含参表示法：用字母表示实数中未知的部分5. 实数的根式表示法：以根式形式表示的实数四、实数的大小比较1. 实数的绝对值：实数的距离原点的距离2. 实数的大小比较原则：比较实数的大小需要考虑正负和绝对值3. 实数的大小比较方法：根据实数的绝对值大小分情况讨论4. 实数的大小比较示例：通过具体例子演示实数大小的比较过程5. 实数的大小比较应用：应用于实际问题中，如温度比较、长度比较等五、实数的应用场景1. 实数在几何学中的应用：用实数表示线段、角度等2. 实数在物理学中的应用：用实数表示物体的质量、速度等3. 实数在经济学中的应用：用实数表示价格、利润等4. 实数在统计学中的应用：用实数表示数据的数量5. 实数在计算机科学中的应用：用实数进行程序运算和计算机模拟总结：通过本文的阅读，我们了解了实数的基本性质、运算、表示方法、大小比较以及应用场景。

初中数学《实数2》教案

实数2教学目标知识与技能：1、掌握实数的相反数和绝对值；2、掌握实数的运算律和运算性质.过程与方法：通过复习有理数的相反数、绝对值、运算律、运算性质，引出实数的相反数、绝对值、运算律、运算性质，并通过例题和练习题加以巩固，适当加深对它们的认识. 情感态度与价值观：通过建立有理数的一些概念和运算在实数范围里也成立的意识，让学生了解在这种数的扩充中所体现的一致性，让学生充分感受数的不断发展.教学重点1、会求实数的相反数和绝对值；2、会进行实数的加减法运算；3、会进行实数的近似计算.教学难点认识和理解有理数的一些概念和运算在实数中仍适用的这种扩充.教学过程一、复习引入：有理数的一些概念和运算性质运算律：1、相反数：有理数a 的相反数是a -.2、绝对值：当a ≥0时，a a =，当a ≤0时，a a -=.3、运算律和运算性质：有理数之间可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方、非负数的开平方、任意数的开立方运算，有理数的运算中还有交换律、结合律、分配律.二、实数的运算：1.实数的相反数：数a 的相反数是a -.2.一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0. 3、实数之间可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方、非负实数的开方运算，还有任意实数的开立方运算，在进行实数的运算中，交换律、结合律、分配律等运算性质也适用.三、应用：例1、(1)求364-的绝对值和相反数；(2)已知一个数的绝对值是3，求这个数.解：(1)因为4643-=-，所以44643=-=--，4)4(643=--=--(2)因为33,33=-=，所以绝对值为3的数是3或3-. 例2、计算下列各式的值： (1)2)23(-+； (2)3233+.分析：运用加法的结合律和分配律.解：(1)303)2_2(32)23(=+=+=-+； (2)353)23(3233=+=+例3、计算： (1)π+5 (精确到01.0) (2)23⋅ (结果保留3个有效数字)解：(1)38.5142.3236.25≈+≈+π； (2)45.2414.1732.123≈⨯≈⋅.四、随堂练习：1、计算： (1)2624-； (2))23(3+； (3)3253+-； (4)23)54(198-+--.2、计算： (1)322-(精确到； (2)π-+34225、 (精确到十分位). 3、在平面内有四个点，它们的坐标分别是)2,2(),2,5(),22,5(),22,2(D C B A .(1)依次连接D C B A 、、、，围成的四边形是一个什么图形？(2)求这个四边形的面积.(3)将这个四边形向下平移2个单位长度，四个顶点的坐标变为多少？五、课堂小结1、实数的运算法则及运算律.2、实数的相反数和绝对值的意义六、布置作业课本P57习题第4、5、6、7题；。

2 实数的概念与应用

初三数学中考总复习2实数的概念与应用备课时间：上课时间：课型：复习学生姓名：教学目标：1．了解实数的概念、分类以及大小比较．2．理解相反数、绝对值及倒数的意义．3．掌握实数的运算法则、运算律，并能熟练应用它们解决计算问题．4．了解近似数与有效数字的概念，能用科学记数法按问题的要求对结果取近似值．教学过程：一、基础知识：1、叫做无理数。

2、统称为实数。

二、例题：1、2005年末我国外汇储备达到8 189亿美元，8 189用科学记数法表示（保留3个有效数）（）A．8.19×1011B．8.18×1011C．8.19×1012D．8.18×1012解题思路：解答本题的关键是正确理解近似数的精确度及有效数字等概念，精确到哪一位，保留几个有效数字．2、若a的倒数是－1，b+2与a－3互为相反数，c的绝对值为2，且ac>0，试比较：b+c与ab的大小．3、计算：（1）103+（130）－2×（－7）0－（－3）3×0.3－1+│－5│+5；（2）（5.7）÷（－113）－4.3×13+（－25+56）×30．评析：（1）题中含有加、减、乘、除、乘方运算，计算此类型题目，应注意运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．（2）恰当运用乘法分配律，•可使运算简便．二、选择题1．冬季的一天，室内温度是8℃，室外温度是－2℃，则室内外温度相差（）A．4℃B．6℃C．10℃D．16℃2．－a的相反数是（）A．a B．1aC．－a D．－1a3．已知a、b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（•）A．a>b B．ab<0 C．b－a>0 D．a+b>04．如图，数轴上表示1A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数是（）A 1 B．1C．2D 25．如果a<0，b>0，a+b<0，那么下列关系式中正确的是（）A．a>b>－b>－a B．a>－a>b>－b C．b>a>－b>－a D．－a>b>－b>a6．若x的相反数是3，│y│=5，则x+y的值为（）A．－8 B．2 C．8或－2 D．－8或2二、填空题1．2的相反数是_____，1－______，－23的倒数为_______．2．下列各数中：－300.31，227，2π，2.161 161 161…，（－2 005）0是无理数的是_______________．3．据某网站报道：一粒废旧纽扣电池可以使600t水受到污染，某校团委四年来共回收废旧纽扣电池3 600粒．若这3 600粒废旧纽扣电池可以使m（t）水受到污染，用科学记数法表示m为__________（保留2位有效数字）；用四舍五入法得到的近似数3.20×105的精确度是精确到_______位，有效数字为_________．三、解答题1．计算：（1）（－413）－0.14+413；（2）12（13－14）+（－12）－2÷（－5）0×（－1）2007；（3）－（－4）－14÷（－12）×（－2）；（4）（－13－12）×（－6）－（－2）3÷（－12）2+π0．（5）[－32×2－（－4）2]÷（－2）2；（6）（79－56－718）×18－1.45×6－3.55×6；。

实数(2)

2.5实数(2) --- [ 教案]教学目标：1、了解实数的意义，能对实数按要求进行分类。

2、了解实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义。

3、了解数轴上的点与实数一一对应，能用数轴上的点来表示无理数。

重点、难点：：了解实数意义，能对实数进行分类，明确数轴上的点与实数一一对应并能用数轴上的点来表示无理数。

教学过程：一、创设问题情景，引出实数的概念1、什么叫无理数，什么叫有理数，举例说明。

2、把下列各数分别填入相应的集合内。

32，41，7，π，25-，2，320，5-，38-，94，0，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）教师引导学生得出实数概述并板书：有理数和无理数统称实数（real number ）。

教师点明：实数可分为有理数与无理数。

二、议一议1、在实数概念基础上对实数进行不同分类。

无理数与有理数一样，也有正负之分，如3是正的，π-是负的。

教师提出以下问题，让学生思考：（1）你能把32，41，7，π，25-，2，320，5-，38-，94，0，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）等各数填入下面相应的集合中？正有理数：负有理数：有理数：无理数：（2）0属于正数吗？0属于负数吗？（3）实数除了可以分为有理数与无理数外，实数还可怎样分？让学生讨论回答后，教师引导学生形成共识：实数也可以分为正实数、0、负实数。

2、了解实数范围内相反数、倒数、绝对值的意义：在有理数中，有理数a 的的相反数是什么，不为0的数a 的倒数是什么。

在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。

例如，2和2-是互为相反数，35和351互为倒数。

33=，00=，ππ=-，33-=-ππ。

三、想一想让学生思考以下问题1、a 是一个实数，它的相反数为，绝对值为；2、如果0≠a ，那么它的倒数为。

让学生回答后，教师归纳并板书：实数a 的相反数为a -，绝对值为a ，若0≠a 它的倒数为a 1（教师指明：0没有倒数）四、议一议。

实数(2)

）
））））
…………………………（ 6）有理数都是有限小数。
）
3.下列叙述正确的是（ C ） A 无限小数是无理数 B 绝对值等于本身的数是正数 C 实数和数轴上的点一一对应 D 带根号的数是无理数 4.下列说法中，错误的个数是（ C ） ①无理数都是无限小数； ②无理数都是开方开不尽的数； ③带根号的都是无理数； ④无限小数都是无理数。
实数的分类
实数可按定义进行分类
整数有理数实数
正整数零负整数
正分数
分数
负分数
正无理数
无理数
负无理数
实数的分类
实数也可按正负进行分类
正有理数正实数实数
正整数正分数
正无理数零
负有理数负实数负无理数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
负整数
负分数
把数从有理数扩充到实数以后，有理数的相反数和绝对值的概念同样适用于实数。例如： 2 和 2互为相反数 ∵
知识回顾：
无理数：无限不循环小数叫做无理数有理数：有限小数或无限循环小数常见无理数 1) 圆周率及一些含有的数都是无理数
2)开方开不尽的数都是无理数。 3) 有一定的规律，但不循环的无限小数, 如0.232232223…
1.复习实数的意义 2.会按要求对实数进行分类，了解实数的相反数和绝对值的意义； 3.了解实数与数轴上的点具有一一对应的关系； 4.了解有理数的运算律和运算性质在实数范围内仍然成立
3
6 （4）绝对值等于 6 的数是 _________
2. 判断下列说法是否正确，并说明理由：
…………………………（ 1）无限小数都是无理数；
…………………………（ 2）无理数都是无限小数； …………（ 3）正实数包括正有理数和正无理数； ………（ 4）实数可以分为正实数和负实数两类 ……（ 5）无理数包括正无理数、零、负无理数.

数学六年级下册第六章-实数(2)-课件与答案

数学
七年级下册
配RJ版
第六章
6.3
2.实数的运算:实数之间可以进行加、减、乘、除(除数不为
0)、乘方运算,而且正数和0可以进行开平方运算,任意一个
实数都可以进行开立方运算.
3.实数的运算律:实数进行运算时,有理数的运算法则及运算
律在实数范围内同样适用.
数学
基础过关
1.下列说法正确的是
A.0没有平方根
为相反数”成立.
6.3
数学
七年级下册
配RJ版

(2)∵ − 和 − 互为相反数,
∴ −+

− =0,
解得y=-3.
∵x+5的平方根是它本身,
∴x+5=0,
∴x=-5,
∴x+y=-3-5=-8,
∴x+y的立方根是-2.
∴8-y+2y-5=0,
第六章
6.3
A. -1
B.1-
C.2-
D. -2
数学
七年级下册
配RJ版
第六章
6.3
9.如图,大长方形内有两个相邻的正方形,面积分别为9和6.
(1)小正方形边长的值在哪两个连续的整数之间?与哪个整
数较接近?
(2)求图中阴影部分的面积.
(3)若小正方形边长的值的整数部分为x,
小数部分为y,求(y- )x的值.

(2)若 =m,c= ,求b-4d+m的值.
6.3
数学
七年级下册
(1)解:∵a,b互为相反数, ∴a+b=0.
∵c,d互为倒数,
∵|m|=2 且m<0,
∴m=-2.

初中数学速记笔记：2.实数

（2）按正负（性质）分类
（二）实数的有关性质数的范围从有理数扩充到实数以后，实数范围内的相反数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、绝对值的意义完全一样. （1）实数的相反数为− ；0 的相反数是其本身；若与互为相反数，则 + = 0，反之亦然.
（2）实数的绝对值表示为，
>0 ， = 0 =0 ，
2 = （ ≥0）.
2.平方根的定义、表示及性质
（1）定义：一般地，如果一个数的平方等于，那么这个数叫做
的平方根或二次方根.这就是说，如果 2＝，那么叫做的平方根.
（2）表示方法：正数的平方根表示为± ，读作“正、负根号 ”.
（3）性质：正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是 0；
实数
一、平方根与立方根
（一）算术平方根、平方根的定义及性质
1.算术平方根的定义、表示及性质
（1）定义：一般地，如果一个正数的平方
等于，即 2＝，那么这个正数叫做的算
术平方根.
规定：0 的算术平方根是 0.
（2）表示方法：（ ≥0）的算术平方根记作，读作“根号 ”，
叫做被开方数.
（3）性质：
负数没有平方根.
3.开平方运算
求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开
平方互为逆运算.根据这种互逆关系，可以求一个数的平方根.如±4 的平方为 ±4 2 = 16，所以 16 的平
方根为±4，即± 16 =± 4.
4.平方根（或算术平方根）的重要结论（1）式子± 有意义的条件为 ≥0. （2）（ ≥0）表示的算术平方根，是非负数，即 ≥0. （3）− （ >0）表示的算术平方根的相反数，也表示的负的平方根. （二）立方根的定义及性质 1.立方根的定义、表示及性质（1）定义：一般地，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根. （2）表示方法：的立方根记作“3 ”，读作“三次根号 ”. （3）性质：正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0 的立方根是 0. 2.开立方的定义及性质（1）定义：求一个数的立方根的运算，叫做开立方. （2）性质：3 − =− 3 ； 3 3 = . （三）用计算器求平方根或立方根（1）在求某些数的算术平方根时，可借助科学计算器快捷地求出，绝大多数的计算器都有键，使用它可以计算出正有理数的算术平方根（或其近似值）.（不同计算器有不同的按键顺序）（2）利用计算器求一个数的立方根：①一般的计算器设（3）有键，利用它可以求出一个数的立方根（或其近（4）似值）.按键顺序为先按键，再输入被开方数，最后按实数与数轴上的点是一一对应的，每一个实数都可以用数轴上

2实数的运算(教师)

实数的运算课时目标1. 学习将无理数用数轴上的点表示，理解实数与数轴上的点的对应关系；2. 会求无理数的绝对值、相反数和倒数，会对实数进行大小比较；3. 理解有理数的运算律和运算法则在实数范围内仍适用，能够熟练进行实数的四则运算，并按要求进行化简；4. 进一步认识近似数与有效数学的概念，能够按要求对结果取近似数.知识精要1. 点和实数的关系数轴上的点与实数是一一对应关系. 2. 绝对值的定义实数a 的绝对值就是数轴上表示实数a 的点与原点之间的距离.记作a .则： ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a 3. 相反数的定义绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数. 非零实数a 的相反数是－a ， 0的相反数是0. 4. 倒数的定义乘积为1的两个数互为倒数.任意非零实数a 的倒数是a1，0没有倒数. 5. 两数大小的比较（1）正数大于0，负数小于0；（2）两个正数比较大小，绝对值大的比较大；两个负数比较大小，绝对值大的反而小；（3）从数轴上看，右边的数总比左边的大.6. 数轴上两点的距离公式在数轴上，如果点A 、点B 所对应的数分别为a 、b ，则距离AB=b a -. 7. 实数的四则运算有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立，运算顺序：先乘方，开方，再乘除，最后加减. 同级运算按照从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 8. 实数的运算法则（1）)0()(≥+=+c c b a c b c a （2）)0,0(≥≥⋅=b a b a ab)0,0(>≥=b a bab a9. 准确数和近似数准确数：完全符合实际地表示一个量多少的数.近似数（或近似值）：与准确数达到一定接近程度的数叫做近似数. 精确度：对近似数与准确数的接近程度的要求，叫做精确度. 10．有效数字对于一个近似数，从左边第一个非零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字.热身练习1．求下列各数的相反数，倒数和绝对值. （1）34-解：（1）43,34,43- （2）3 （2）3,31,3- （3）3－5 （3）35,351,35--- 2. 已知,a b 为两个连续整数，且7a b <<，则a b += 5 . 3. 一个正数的平方是3，这个数的准确数是3；近似数（精确到千分位）是 1.732 ；近似数的有效数字有 4 位，有效数字是 1,7,3,2 . 4. 计算（1）3362-=33- （2）2279⨯= 63（3）2714⨯=214 （4）32(2162)--=428- （5）122÷=12 （6）9632÷÷= 4 （7）(2123)6-⨯=92 （8）(23)(32)+-= 1 （9）133(323)2--（10）1102510⨯÷ 解：原式=239 解：原式=520（11）(525)5-÷ （12）62(2)⨯- 解：原式52=- 解：原式82=（13）222222513683)4(--++-- 解：原式=－15. 用四舍五入法,按括号内的要求对下列数取近似值. (1)0.008435(保留三个有效数字) ≈ 0.00844 (2)12.975(精确到百分位) ≈ 12.98 (3)548203(精确到千位) ≈ 51048.5⨯ (4)5365573(保留四个有效数字) ≈65.36610⨯精解名题例1 比较大小1.（近似值法）比较52+与32.11+的大小解：∵52+≈1.414+2.236=3.6532.11+≈1.732+2.11=3.842∴52+<3 2.11+2.（平方法）比较322+与26+的大小解：∵6411)223(2+=+ 6410)62(2+=+∴322+>26+3.（求差法）比较a 与1a（01a <<）的大小.解：∵0112<-=-a a a a ∴a <1a例2 已知数轴上A,B,C 三点表示的数分别是11.2,5,33--，求A 与B ，A 与C两点之间的距离. 解：AB=2.15-AC=15842.1313=+例3 已知13x <<，化简下列各式：（1）3131x x x x --+--；（2）13x x -+- 解：原式=－1+1 解：原式= x －1+3－x = 0 = 2例4 化简2(1)1m m -++解：原式=⎪⎩⎪⎨⎧-≤-<≤->=++-)1(2)11(2)1(211m m m m m m m巩固练习一选择题1．49的平方根是（ C ）A ．±7B ．－7C ．±7D ．7 2．下列各式计算正确的是（ C ）A ．4=±2B ．38=±2C ．31-=－1D ．±9=3 3．下列各组数中，互为相反数的一组是（ A ）A ．－2与2(2)-B ．－2与38-C ．－2与－12D ．│－2│与2 4．若2(3)x -+x －3=0，则x 的取值范围是（ D ）A ．x >3B ．x <3C ．x ≥3D ．x ≤3 5．下列计算正确的是（ C ） A ．0(2)0-=B ．239-=-C ．93=D ．325+=6. 下列式子，正确的是（ B ）A. 3232+=B. (21)(21)1+-=C. 122-=-D. 2222()x xy y x y +-=- 7. 计算29328+-的结果是（ A ） A ．22-B ． 22C ．2D ．223 8. 52a =+，52b =-，则227a b ++的值为（ C ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 9. a 是实数，则2a 与a 的大小关系是（ B ）A ．2a =aB ．2a ≥aC ．2a ≤aD ．2a >a 二、计算题 1. 化简（1）122332-+-+-（2）a b b c c a -+---（a <b <c ）（3）433(0,0)a b b a a ab ----+<< （4）比较27+与36+的大小. 解：（1）原式=1 （2）原式= 0（3）由已知得：b >0>a ，∴原式=错误！未找到引用源。

实数(2)

1，什么是无理数？什么是实数？无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数 2：实数与数轴上的点的关系？
数轴上的点与实数是一一对应的，就是说数轴上的点要么表示有理数要么表示无理数 3：无理数有哪些特征？
无理数的特征:
１．圆周率及一些含有的数２．开不尽方的数３．有一定的规律，但不循环的无限小数注意:带根号的数不一定是无理数
把下列各数分别填入相应的集合内： 1 5 20 3 2 , 4 , 7 , , , 2 , 3 , 5, 3 8, 2 （相邻两个3之间 4 , 0 , 0.3737737773 的7的个数逐次加1） 9 5 1 , , 3 8, 3 , 2, 20 , 4 2 2, 7 , 3 4 5, 0.3737737773 , 0, 9
(3)、(-2) ( 3) ( 2) 4
2 2 3 3
通过今天的学习,用你自己的话谈谈你的收获和体会?
(2)3 3 2 3 3 2） 3 （ 5 3
例：计算（结果保留小数点后两位）
(1) 5 π ；(2) 3 2
解： 5 π 2.236+3.142 5.38 (1) (2) 3 2 1.732 1.414 2.45
注意：计算过程中要多保留一位!
计算：
(1)、（ 3 4） 3 (2)、2 2 3(1 3 2)
（3）因为 3 所以
3
64 64 4
3
64 4 4
（4）因为
3 3, 3 3
所以绝对值为
3
的数是
3或 3
在进行实数运算时，有理数的运算法则及运算性质同样适用例：计算下列各式的值

2实数

正数a的正的平方根也叫做a的算术平方根，
零的算术平方根还是零。记作 a
非负数a的算术平方根是非负数，即 a≥0
如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a的立方根（也叫做a的三次方根），记做 3 。其中a是被开方数，3是根指数，符号 “3 a ” 读做“三次根号”。
即如果x3= a,那么x叫做a的立方根.x= 3 a
(3)、类似于0.0100100010 0001
[注意]
(1)任何分数都是有理数，如272，－131等． (2)0 既不是正数，也不是负数，但 0 是自然数． (3)常见的几种无理数：
①根号型： 2，3 4等开方开不尽的；
②三角函数型：sin60°，tan30°等；
③与π 有关的：π3 ，π －1 等； ④构造型：1.323223222…(每两个 3 之间依次多一个 2)等．
·江苏科技版
4．绝对值比较法设 a、b 是两负实数，则 |a|>|b|⇔a<b；|a|＝|b|⇔a＝b；|a|<|b|⇔a>b. 5．运算法则法：负数<零<正数．除此之外，还有平方法、倒数法、特殊值法等方法． [注意] 比较实数大小时，常常用到实数的减法和除法运算．
平方数；(4)立方； (5)平方根；(6)算术平方
根；(7)立方根等于它的本身，则这个数分别为：
• (1) (2)
(3)_____(4)_____(5)____(6)____(7)_____
• 学生答案展示 (1)1；(2)正数；(3)1；(4)1或－1；(5)1；(6)0；(7)1和－1.
• 例1 若一个实数的(1)倒数；(2)绝对值；(3) 平方数；(4)立方；(5)平方根；(6)算术平方根；(7)立方根等于它的本身，则这个数分别为：

实数2

第十章实数的复习第一部分：本章重要知识点一、平方根1、如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根（或二次方根）。

即：如果x 2=a ，那么就叫做的平方根。

a即x=求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方．开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根，以及检验是不是另一个数的平方根．2、一个正数有两个平方根，它们互为________;零的平方根是_____；____数没有．．平方根. 3、如果一个正．数的平方等于a ，这个正数就叫做a 的算术平方根。

a即：如果x>0,且x 2=a ，那么x 就叫做a 的_________________,即的算术平方根是______. 4①当a ≥0. 例如：当x ≥____时0;=0，那么a=0,b=_____；③2a =；例如：2=________; 2⎛⎝=_______； ④⎪⎩⎪⎨⎧-===)0()0()0(2a a a a a a a a ，例如：=-2)52( ，=-2)(y x （x<y ），=-2)23( 。

二、立方根1、如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根。

•即：如果x 3=a ，那么就叫做的立方根。

a 的立方根表示为3a ,即x=3a .求一个实数的立方根的运算，叫做开立方。

开立方与立方是互逆运算。

2、正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0．任何数都有立方根，而负数没有平方根，这是开立方与开平方的重要区别．3、立方根的有关性质：a a =33，a a =33)(。

例如：=-33)2( ，=-33)64( 。

三、有理数和无理数统称为实数，实数的分类可以从两个角度去思考． 1、实数的分类： ①按定义分类：•ba2、实数和有理数一样也有许多重要的性质，可从以下几方面去思考：①实数a 的相反数是-a ，具体地，若a 与b 互为相反数，则a+b=0；反之，•若a+b=0，则a 与b 互为相反数； ②一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0；③乘积为1的两个实数互为倒数，即若a 与b 互为倒数，则ab=1；反之，若ab=•1，则a 与b 互为倒数．这里应特别注意的是0没有倒数；④实数与数轴上的点是一一对应的．•也就是说所有的实数都可以用数轴上的点来表示；反之，数轴上的每一个点都表示一个实数； ⑤任意两个实数都可以比较大小；⑥在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、•开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．⑦有理数的运算律在实数范围内仍然适用．第二部分：对应练习一、选择题:1.(-4)2的平方根是 ( )A.16B.-4C.±4D.没有平方根2.下列数中:0,32,(-5)2,-4,-│-16│, π有平方根的个数是( ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个3.如果一个数的平方根等于它的立方根,则这个数是( ) A.0 B.1 C.-1 D.±14.下列各式中,正确的是( )±4 B.=-45.在227π,无理数的个数是( ) A.2个 B.3个 C.4个D.5个 ( )A.4B.±4C.2D.±2 7.下列说法正确的是( )A.两个无理数的和一定是无理数；B.负数没有平方根和立方根；C.有理数和数轴上的点一一对应；D.绝对值最小的数是0。

实数2

再见
乘法交换律
1 1 3⋅ 2⋅ = 3 ⋅ 2 ⋅ = 3 2 2 乘法结合律
2 2 + 3 2 = (2 + 3) 2 = 5 2
合并同类项法则
做一做：做一做： 1、、
4× 9 =
4×9 =
2、利用计算器计算：、利用计算器计算：
6× 7 =
你发现了什么规律？你发现了什么规律？
6× 7 =
a ⋅ b = ab (a ≥ 0, b ≥ 0 )
做一做 3、、
4 = 9
4 = 9
4、利用计算器计算：、利用计算器计算：
6 = 7
你又发现了什么规律？你又发现了什么规律？
6 = 7
a a (a ≥ 0, b > 0) = b b
你能自己的语言说出这个规律吗？你能自己的语言说出这个规律吗？
a ⋅ b = ab (a ≥ 0, b ≥ 0 )
a a (a ≥ 0, b > 0) = b b
例1、化简、
(1) 12 × 3 − 5
6× 3 ( 2) 2
(3)( 5 + 1)
2
ห้องสมุดไป่ตู้
(4)( 2 + 1)( 2 − 1)
随堂练习：随堂练习： 1、49页、页 2、习题2.9 、习题通过这节课的学习,你有哪些收获？通过这节课的学习你有哪些收获？你有哪些收获作业：见作业本：实数作业：见作业本：实数2
实数
知识回顾：知识回顾： 1、有理数的运算法则有哪些？、有理数的运算法则有哪些？ 2、有理数的运算律有哪些？、有理数的运算律有哪些？实数和有理数一样也可以进行乘方运算，加、减、乘、除、乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。仍然适用。

实数2

第二功能键方根运算键
解:
3 9 2.080083823. 4.3265 2.080024038. 2.080083823 2.080024038, 3 9 4.3265
1、比较大小：
(1) 75与 3 110 （2）-3 2与 2 3 做一做 1 1 （3） 0.04与 (4) 3与 0.04 3 2、计算： (1) 5 (保留2位小数);
4. 3
4 64 的绝对值是__________.
3 5.已知一个数的绝对值是 3，则这个数是____．
2或3 6.如果整数a满足 2 a 3 30, 则a ______.
学力测试
0, 1, 2 7.绝对值小于 7 的整数有_____________,
0 这些整数的和是_______． 8.试比较
※学习了利用计算器进行实数的四则运算. ※体会到数学的和谐美！
小结与回顾
a 1.a是一个实数,它的相反数为____； 1
a 如果，a≠0那么它的倒数为______.
学力测试
3 3 2. 3 的相反数是______,绝对值是_____.
3 1 3 1 3. 1 3 的相反数是______,绝对值是______.
5 1 5 与 2 8
的大小.
9.计算: (1) 3 2 2 (保留3位小数) (2) 2 5 5 3 2 （保留2位小数）
布置作业
1.课本75页 2、3.
2.完成课课练实数(2)
8.设m是 11 的整数部分，nΒιβλιοθήκη 11 的小数部分，试求m－n的值
怎样比较
5 1 与 0.5 的大小 2
★作差比较
5 1 1 5 1 2 2 2 5 所以只要比较与1的大小.

实数2

2
π 的相反数是
0 的相反数是
（2） 2 ＝
0
＝
．
总结：当数从有理数扩充到实数以后相反数：数 a 的相反数是绝对值：一个正实数的绝对值是它是它的；0 的绝对值是 . ；；一个负实数的绝对值
1
七年级
数学学科
第五章相交线与平行线
主备课教师：
即设 a 表示一个实数，则
a，当a 0时； | a | 0，当a 0时； - a，当a 0时；

（1） 36 25；
（2） 36 25；
（3） 9 16 25；（4） 9 16 25. 结论： a b c ... a b c ...
例3.
3
的整数部分与小数部分的差是多少？
（结果保留3位小数）
板书设计 1、无理数的概念：无限不循环小数叫无理数。 2、实数的概念：有理数和无理数统称实数。 3、实数的分类：教学反思：
2．实数的运算在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质同样适用例1 计算下列各式的值：
（2） 2 2 （-2） 3 2 ；（4） 3 8 2 10 3 ．（3）（ 6 +3） 2；例 2 计算，看看有什么规律：
（1） 3 7 4 7；Fra bibliotek七年级
数学学科
第五章相交线与平行线
主备课教师：
课
授课教师：
题
主备课二次备课
教学目标：会求实数的相反数与绝对值；会对实数进行简单的运算. 教学重点和难点重点：有理数的运算律和运算性质同样适合于实数的运算难点：实数的相反数与绝对值的应用课时安排： 1 教学准备：课件课堂练习本一、一复习导入，明确目标请你思考以下问题：1.复习回顾无理数，实数相关概念 1. 有理数关于相反数和绝对值的意义是什么？ 2. 用字母来表示有理数的乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律. 3. 用字母表示有理数的加法交换律和结合律. 4. 有理数的混合运算顺序是怎样的？二、自主学习，合作交流（一）探索新知 1．实数的相反数与绝对值你能解答下列问题吗? （1） 2 的相反数是，，；，－π ＝，

《实数(2)》参考教案

实数（2）教案一．教学目标：1．了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用。

2．用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能用这些法则，运算律在实数范围内正确计算。

3．让学生根据现有的条件或式子找出它们的共性，进而发现规律，培养学生的钻研精神和创新能力。

二．教学重难点：1．重点：实数的运算法则、运算律，在实数范围内正确计算2．难点：发现规律的过程三．教学过程：1．复习：在实数范围内与在有理数范围内的相反数、倒数、绝对值意义完全一样。

那么，在有理数范围内的运算法则，运算律等能不能在实数范围内继续用呢？让我们一起来研究。

2．新课讲解：回顾在有理数范围内学过哪些法则和运算律。

（加、减、乘、除、乘方、加法交换律、结合律、分配律）。

有理数范围的运算法则在实数范围内仍然适用。

如：2332=⋅ ，321232123=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅=⋅⋅ ()252322322=+=+3．例题讲解4．拓展讲解 ①=⨯94 ， =⨯94 ②=⨯916 ， =⨯916 ③=94， =94 ④=2516 ， =2516 ⑤=⨯76 ，=⨯76 =76， =76 （利用计算器计算）根据计算结果讨论：发现什么规律？学生讨论总结： ①=⨯9494⨯ ②=⨯916916⨯ ③=9494 ④=25162516 ⑤=⨯7676⨯ ， =7676 用字母将规律表示出来： ①=⋅b a b a ⋅ （a≥0, b≥0）②=b a b a （a≥0, b>0）学生讨论补充完整a,b的条件.5．课堂练习（1）ppt演示或者板书练习题（2）直角三角形的一直角边和斜边分别为5cm、45cm，求这个直角三角形的面积。

6．课堂小结：实数范围内运算的技巧及规律。

2实数的性质及运用

《数学思维与能力训练》辅导讲义姓名辅导时间实数的性质及运用【知识要点】无限不循环小数叫做无理数。

无理数和我们前面学过的有理数统称为实数。

有理数扩大到实数后，在有理数范围内定义的一些概念 (如相反数、倒数) 在实数范围内仍适用，比较大小的法则在实数范围内也适用，有理数的运算法则、运算律在实数范围内也适用。

实数的绝对值与有理数的绝对值也一样。

实数与数轴上的点一一对应。

在初中数学竞赛中涉及的数都是实数，有关实数的性质、绝对值、大小比较等类型的题目常出现，所以我们有必要在这一讲中进行探讨。

【夯实基础】［例题1］把下列各数分别填入相应的括号内：0，13-，0.15，0.25⋅，152，4π，-π2，3.1415 – 3，– 2.121121121……，227整数 { …… } 分数 { …… } 正数 { …… } 负数 { …… } 有理数 { …… } 无理数 { …… } ［例题2］比较下列各数的大小：(1)172(2) 与(3) 11,,3π--〖小试牛刀〗1、在 –π，0(，0，0.020032003，1001012、比较大小：当实数a < 0 时，1 + a 1 – a (填 > 或 < )3、下列各组数中互为相反数的一组数是 ( )A 、– 2 与B 、– 2 与C 、– 2 与 12- D 、| 与4、在 – 7，03π，2(- 这六个实数中，有理数的个数是 ( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个5、当0 < x < 1时，比较 21,,x x x的大小，并说明理由［例题3］化简下列各式：(1) | 1.7|⋅(2) | a – | a – 4 | | (a ≤4) (3) | x 2 + 6x + 10 |［例题4］已知x 、y 是有理数，且x 、y 满足等式x 2–x + y 值〖小试牛刀〗已知x 、y 是有理数且(430x y ++=，求x 、y 的值［例题5］已知 1x =，求x 2 + 2x + 2 的值［例题6］已知a、b、c、d为实数，且a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值等于2，试求x 2– (a + b + cd) x + (a + b) 2007 + (- cd) 2007的值〖拓展探究〗y=，求x的值1、已知x、y为实数，且32、设a=a 3与a 5的值，试比较a 3与a 5大小，若设a=a=，结果又如何？或1。

实数(2)——实数的性质及运算

只有符号不同的两个数,其中一个是另一个的相反数.
②绝对值
数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值,用︱a︱表示.
③倒数
如果两个数的积是1,则这两个数互为倒数 .
思考：无理数也有相反数吗？怎么表示？有绝对值吗？怎么表示？有倒数吗？怎么表示？
讲授新课
一实数的性质
在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的
2.①一个正实数的绝对值是它本身； ②一个负实数的绝对值是它的相反数； ③0的绝对值是0.
a, 当a 0时； a 0, 当a 0时；
a, 当a 0时.
例2 求下列各数的相反数和绝对值：
3,π 3.14.
解: 因为 ( 3) 3, (π- 3.14)= 3.14 π,
所以， 3,π 3.14 的相反数分别为
（8）a(b+c) = ab+ac （乘法对于加法的分配律）， (b+c)a = ba+ca （乘法对于加法的分配律）；
（9）实数的减法运算规定为a-b = a+ (-b) ；
（10）对于每一个非零实数a，存在一个实数b，满足a·b = b·a =1，我们把b叫作a的＿＿倒＿数＿＿；
（11）实数的除法运算（除数b≠0），规定为
意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的
意义完全一样．
例如：
2 与 2 互为相反数
35
与
1 35
互为倒数
| 3 | 3, | 0 | 0,| |
典例精析
例1：分别求下列各数的相反数、倒数和绝对值．
(1) 3 64 ; (2) 225 ;
(3) 11 .
解：(1)∵ 3 64 ＝－4，
∴3 64 的相反数是4，倒数是 1 ，绝对值是4. 4