吉林省吉林一中2014-2015学年高二数学下学期期末考试试题理

吉林一中2014-2015届高二年级下学期期末数学理试卷数学理测试试卷考试范围：XXX ；考试时间：100分钟；命题人：XXX学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________ 题号 一 二 三 总分 得分1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2. 请将答案正确填写在答题卡上 评卷人 得分一、单项选择（注释）1、抛物线22x y =的准线方程是( ) A.21=x B.81=y C.21-=y D.81-=y2、双曲线22221x y a b-=的两条渐进线互相垂直，那么该双曲线的离心率是( )A 、2B 、3C 、2D 、323、在平面直角坐标系xoy 中，抛物线C:22(0y px p =>）的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，若OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆面积9，则p=（ ） A ．2 B 2 C ．3 D 34、函数ax x x f +-=3)(在),0[+∞上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．(),0-∞ B ．(],0-∞ C ．()0,+∞ D ．[)0,+∞5、已知()x f 是可导的函数，且()()x f x f <'对于R x ∈恒成立，则（ ） A 、2015(1)(0),(2015)(0)f ef f e f <> B 、2015(1)(0),(2015)(0)f ef f ef >>C 、2015(1)(0),(2015)(0)f ef f e f >< D 、2015(1)(0),(2015)(0)f ef f ef <<6、若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 （ ）A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++=7、已知1>a ，则=+--∞→xxx a a 321lim（ ） A ．21 B ．31- C ．21或31- D ．不存在 8、已知椭圆125222=+y ax )5(>a 的两个焦点为1F 、2F ，且8||21=F F ，弦AB 过点1F ，则△2ABF 的周长为（ ）（A ）10 （B ）20 （C ）241（D ） 4149、若a ＝(0,1，－1)，b ＝(1,1,0)，且(a ＋λb )⊥a ，则实数λ的值为( )． A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－210、过双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左焦点()0,c F -作圆222a y x =+的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线cx y 42=于点P ，O 为原点，若()+=21，则双曲线的离心率为（ ） A ．333+ B ．251+ C ．25D ．231+11、已知函数()ln xf x e a x =+的定义域是D ，关于函数()f x 给出下列命题： ①对于任意(0,)a ∈+∞，函数()f x 是D 上的减函数； ②对于任意(,0)a ∈-∞，函数()f x 存在最小值；③存在(0,)a ∈+∞，使得对于任意的x D ∈，都有()0f x >成立； ④存在(,0)a ∈-∞，使得函数()f x 有两个零点．其中正确命题的序号是( ) A ．①② B ．②③C ．②④ D ．③④12、已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=＞＞与双曲线221:14y C x -=有公共的焦点，1C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则（ ） （A ）2132a = （B ）213a = （C ）212b = （D ）22b = 评卷人 得分二、填空题（注释）13、双曲线2288kx ky -=的一个焦点为(0,3)，则k 的值为______________。

14、若不等式|3ln ax x -|≥1对任意(0,1]x ∈都成立，则实数a 取值范围是__________．15、设A 、B 为在双曲线上两点，O 为坐标原点.若OA 丄OB,则ΔAOB 面 积的最小值为______ 16、设曲线2cos sin x y x -=在点(,2)2π处切线与直线10x ay ++=垂直，则a =评卷人 得分三、解答题（注释）17、在平面直角坐标系中,已知一个椭圆的中心在原点，左焦点为(3,0)F ,且过(2,0)D ． （1）求该椭圆的标准方程；（2）若P 是椭圆上的动点，点(1,0)A ，求线段PA 中点M 的轨迹方程18、一物体沿直线以速度()23v t t =-（t 的单位为:秒,v 的单位为:米/秒）的速度作变速直线运动，求该物体从时刻t=0秒至时刻 t=5秒间运动的路程?19、已知椭圆的两个焦点分别为12(0,22),(0,22)F F -,离心率23e =，求椭圆的标准方程.20、已知椭圆C: 13422=+y x 的右焦点为F,左顶点为A,点P 为曲线D 上的动点,以PF 为直径的圆恒与y 轴相切.(I)求曲线D 的方程;(II)设O 为坐标原点,是否存在同时满足下列两个条件的ΔAPM?①点M 在椭圆C 上;②点O 为ΔAPM 的重心.若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由.(若三角形 ABC 的三点坐标为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3),则其重心G 的坐标为3321x x x ++,3321y y y ++))21、由原点O 向三次曲线()3230y x ax bx a =-+≠引切线，切于不同于点O 的点()111,,P x y 再由1P 引此曲线的切线，切于不同于1P 的点()222,P x y ,如此继续地作下去，…，得到点列(){},,nnnP x y 试回答下列问题：（Ⅰ）求1;x（Ⅱ）1n n x x +求与的关系；（Ⅲ）若a>0, 求证：当n 为正偶数时，;.n n x a n x a <>当为正奇数时， 22、已知函数),(,)(2R n m nx mxx f ∈+=在1=x 处取得极小值2． （1）求函数)(x f 的解析式； （2）求函数)(x f 的极值；（3）设函数a ax x x g +-=2)(2，若对于任意R x ∈1，总存在]1,1[2-∈x ，使得)()(12x f x g ≤，求实数a 的取值范围．参考答案一、单项选择 1、【答案】D【解析】 2、【答案】 C【解析】 3、【答案】B【解析】 4、【答案】B【解析】 5、【答案】D【解析】令()()x e x f x h =，则()()()()()()x x x x e x f x f ee xf e x f x h -'=-'='2，由于()()0,><'x e x f x f 对于R x ∈恒成立，所以()0<'x h 在R 上恒成立，所以()()xex f x h =为减函数，()()001ef e f <∴，即()()0ef x f <；()()020*******ef e f <，即()()020152015f e f <. 6、【答案】A【解析】设切点为）（00,y x ，因为切线l 与直线480x y +-=垂直，故其斜率为4，又4y x=的导数为34x y ='，所以44|300=='=x y x x ，所以10=x ，所以10=y ，所以l 的方程为034=--y x .7、【答案】A 【解析】 8、【答案】D 9、【答案】D【解析】a ＋λb ＝(λ，1＋λ，－1)． 由(a ＋λb )⊥a ，知(a ＋λb )·a ＝0， 所以1＋λ＋1＝0，解得λ＝－2． 【解析】 10、【答案】B 【解析】11、【答案】C【解析】由对数函数知：函数的定义域为：（0，+∞），xaf x e x'=+（）①∵a ∈（0，+∞）∴xaf x e x'=+（）≥0，是增函数．所以①不正确， ②∵a ∈（-∞，0），∴存在x 有x af x e x'=+（）=0，可以判断函数有最小值，②正确．③画出函数y=e x，y=alnx 的图象，如图：显然不正确.④令函数y=e x是增函数，y=alnx 是减函数，所以存在a ∈（-∞，0），f （x ）=e x+alnx=0有两个根，正确． 故选C. 12、【答案】C【解析】考察圆锥曲线相关综合知识，考察学生的分析能力和计算能力。

首先画出示意图，由已知条件可知2a -2b =5，以双曲线的一条渐进线y=2x 为例，由图形的对称性可知y=2x 与椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=＞＞、圆222x y a +=在第一象限的交点横坐标之比为1:3，即2222(5)1:3555a a a a -=-，求出2112a =，故212b =，选C 。

二、填空题13、【答案】2288kx ky -=【解析】焦点在y 轴上，则22811,()9,181y x k k k k k-=-+-==--- 14、【答案】3l n ax x -【解析】15、【答案】2222a b b a -【解析】设直线OA 的方程为y kx =，则直线OB 的方程为1y x k=-， 则点()11,A x y 满足22221y kx x y ab =⎧⎪⎨-=⎪⎩故222222211222222,a b a b k x y b a k b a k ==--， ∴()222222112221k a b OA x y b a k +=+=-，同理()22222221k a b OBk b a +=-，故()()2222222222222211k a b k a bOA OBb a kk b a++⋅=⋅--()()44222222221a b ka b a bk =-++⋅+∵()22222111412k kk k=≤+++（当且仅当1k =±时，取等号） ∴()44222224a b OA OB ba⋅≥-，又0b a >>，故12AOBS OA OB ∆=⋅的最小值为2222a b b a -.16、【答案】 1.a = 【解析】三、解答题17、【答案】解：(1)由已知得椭圆的半长轴2a =,半焦距c =则半短轴1b =．又椭圆的焦点在x 轴上, ∴椭圆的标准方程为2214x y += (2)设线段PA 的中点为(,)M x y ,点P 的坐标是00(,)x y ，由00122x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得00212x x y y =-⎧⎨=⎩因为点P 在椭圆上,得22(21)(2)14x y -+=, ∴线段PA 中点M 的轨迹方程是221()412x y -+=． 【解析】18、【答案】【解析】19、【答案】12(0,22)(0,22)F F -【解析】设椭圆方程为)0(12222>>=+b a ay b x ，由已知222,3c c a ==，222a c b =+ 3,1a b ∴==，∴椭圆方程为2219y x +=20、【答案】解:(Ⅰ)设(,)P x y ,由题知(1,0)F ,所以以PF 为直径的圆的圆心)2,21(yx E +, 则22|1|11||(1)222x PF x y +==-+, 整理得24y x =为所求. (Ⅱ)不存在,理由如下:若这样的三角形存在,由题可设211122(,)(0),(,)4y P y y M x y ≠,由条件①知2222143x y +=, 由条件②得0OA OP OM ++=u u u r u u u r u u u u r r,又因为点(2,0)A -,所以2121220,40,y x y y ⎧+-=⎪⎨⎪+=⎩即222204y x +-=,故2223320416x x -+-=, 解之得22x =或2103x =(舍), 当22x =时,解得(0,0)P 不合题意, 所以同时满足两个条件的三角形不存在.【解析】21、【答案】（Ⅰ）解：由()32/23136,y x ax bx y x ax b =-+=-+得过曲线（1）上点()111,P x y 的切线1l 的方程是y-()321113x ax bx -+=()21136x ax b -+（x -1x ）,（10x ≠） 由它过原点，有()322111111336,x ax bx x x ax b -+-=--+()3211113230,.2ax ax x x =≠=即故 （Ⅱ）过曲线（1）上点()111,n n n P x y +++的切线1n l +的方程是()()()322111111336n n n n n n y x ax bx x ax b x x ++++++--+=-+-由()()11,,n n n n l P x y +过曲线上的点有()()()323221*********,n n n n n n n n n n x ax bx x ax bx x ax b x x ++++++-+--+=-+-∵11n n n n x x x x ++≠-,以除上式并化简得，1113230..22n n n n x x a x x a +++-==-+即（Ⅲ）由113.22n n x x a +=-+得()112n n x a x a +-=--故{}12n a x a x a --=1是以为首项，公比为-的等比数列，2∴111,1.222n n n n a x a x a -⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-=--⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦即∵a>0,∴当n 为正偶数时，112n n x a ⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦11;2n a a ⎡⎤⎛⎫=-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦当n 为正奇数时，112n n x a ⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=112n a a ⎡⎤⎛⎫+>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦。