第二章.三角形单元有限元

m（7）
j （1） i （2）
x
特别指出：为使求得面积的值为正值，本单元节点号 的次序必须是逆时针转向，如图所示。至于将哪个节 点作为起始节点i，则没有关系。 将式(2-14）代入式(2-12）的第一式，整理后得
1 u [( ai bi x ci y)ui (a j b j x c j y)u j (am bm x cm y)u m ] 2A 同理 1 [( ai bi x ci y) i (a j b j x c j y) j (am bm x cm y) m ] 2A
1 u [( ai bi x ci y)ui (a j b j x c j y)u j (am bm x cm y)u m ] 2A (2-16） 1 [( ai bi x ci y) i (a j b j x c j y) j (am bm x cm y) m ] 2A
1 a1 uj 2A um ui xi xj xm yi yj ym
1 a2 1 uj 2A 1 um
1 ui
yi yj ym
(2-14）
1 a3 1 xj 2A 1 xm
1
xi
ui uj um
式中，
y A为三角形单元的面积，有
1 A 1 xj 2 1 xm
1
xi
yi yj ym
(2-15）
[N]为形函数矩阵，写成分块形式：
[ N ] [[Ni ] [ N j ] [ N [ Ni ] Ni [ I ] 0 Ni [I]是2×2的单位矩阵。
(i, j, m) (2-22）
2.3 单元应变和应力 1、单元应变 根据几何方程(2-6）和位移函数(2-16）可以求 得单元应变。
(2-24）
上式简写一般式：
{ } [ B]{ }
式中， [B]——单元应变矩阵。
[ B] [[Bi ] [ B j ] [ Bm ]]
(2-25）
对本问题，维数为3×6。它的分块形式为： 子矩阵
bi 0 1 [ Bi ] 0 ci 2A ci bi
1 u [( ai bi x ci y)ui (a j b j x c j y)u j (am bm x cm y)u m ] 2A (2-16） 1 [( ai bi x ci y) i (a j b j x c j y) j (am bm x cm y) m ] 2A
9
④
⑥ ⑤
① ②
3
③
5 5 5
⑦ ⑧
7 7
1
单元、节点需编号 弹性悬臂板剖分与集合
2.1 基本力学量矩阵表示
1、单元表面或边界上任意点的表面力列阵qs
qsx {qs } [qsx qsy ]T qsy q
s
（2-1）
j
y
j
·
i
y
qV
·
m
i
m
x
x
2、单元内任意点的体积力列阵qV
式中
ai x j ym xm y j
bi y j ym
j
ci x j xm
m (i, j, m) (2-17）
i
式(2-17）中（i、j、m）意指：按i、j、m依次轮换下 标，可得到aj、bj、cj～am、bm、cm。后面出现类似情 况时，照此推理。式(2-17）表明： aj、bj、cj～am、 bm、cm是单元三个节点坐标的函数。
i a4 a5 xi a6 yi
u j a1 a2 x j a3 y j
um a1 a2 xm a3 ym
j a4 a5 x j a6 y j
m a4 a5 xm a6 ym
(2-13）
从式(2-13）左边3个方程中解出待定系数a1、a2、a3为
qVx T {qV } [qVx qVy ] qVy
（2-2）
3、单元内任意点的位移列阵d
{d} [u
y
i m
]T
y
m
（2-3） ·
i
·u
v
j
j
x
x
图2-1
4、单元内任意点的应变列阵
{ } [ x y xy ]T
（2-4）
5、单元内任意点的应力列阵
T （2-4）
（2-6）
7、物理方程矩阵式 对于弹性力学的平面应力问题，物理方程的矩阵形 式可表示为：
x E y 1 2 xy 1 0 对 x y 1 称 1 xy 0 2
[S ] [[Si ] [S j ] [Sm ]]
(2-30）
由式(2-29）
[Si ] [ D][Bi ]
将弹性矩阵（式(2-9）） 和应变矩阵（式(2-26））代 入，得子矩阵[Si]
ci bi E b [ Si ] ci (i, j, m) (2-31） i 2(1 2 ) A 1 1 ci bi 2 2
用形函数把式(2-16）写成矩阵，有
u N i v 0
缩写为
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
{d} [ N ]{ }
(2-20）
ui v i 0 u j Nm v j um vm
a4 a5 x a6 y (2-12）
式中：a1、a2、…、a6——待定常数，由单元位移的 6个分量确定。a1、a4代表刚体位移，a2、 a3 、 a5 、 a6 代表单元中的常应变，而且，位移函数是 连续函数。 u v
x
x a2 , y y a5 , xy a3 a5 a2 a6
求导后代入式(2-6），得到应变和节点位移的关系式。
ui i x bi 0 b j 0 bm 0 1 u j y 0 ci 0 c j 0 cm 2 A c b c b c b j j j m m i i xy u m m
(i, j , m)
(2-26）
由于 A, bi , ci , b j , c j , bm , cm 与x、y无关，都是常量，因此 [B]矩阵也是常量。单元中任一点的应变分量是[B]矩阵 与单元位移的乘积，因而也都是常量。因此，这种单元 被称为常应变单元。
2、单元应力
{ } [ B]{ }
{ } [ x y xy ]T
y
i m
（2-5）
·
j
6、几何方程
x
u v u v x , y , xy x y y x
将上式代入式(2-4），
u { } x y u y x
T
{} [ x y xy ]
令
1 Ni (ai bi x ci y ) 2A
(i, j, m)
(2-18）
位移模式(2-16）可以简写为
u Ni ui N j u j Nmum Ni i N j j Nm m
(2-19）
式(2-19）中的Ni、Nj、Nm是坐标的函数，反应了 单元的位移形态，称为单元位移函数的形函数。数学 上它反应了节点位移对单元内任一点位移的插值，又 称插值函数。
1 E ，换为 2
1
。
{ } [ D]{ }
(2-8）
各种类型结构的弹性物理方程都可用式(2-8）描 述。但结构类型不同，力学性态 (应力分量、应变分 量)有区别， 弹性矩阵[D]的体积和元素是不同的。
2.2 位移函数和形函数
• 1、位移函数概念 由于有限元法采用能量原理进行单元分析，因而 必须事先设定位移函数。 “位移函数”也称 “位移 模式”，是单元内部位移变化的数学表达式，设为坐 标的函数。 一般而论，位移函数选取会影响甚至严重影响 计算结果的精度。在弹性力学中，恰当选取位移函数 不是一件容易的事情；但在有限元中，当单元划分得 足够小时，把位移函数设定为简单的多项式就可以获 得相当好的精确度。这正是有限单元法具有的重要优 势之一。
（2-7）
x
E ( x y ) 2 1
式中 E、——弹性模量、泊松比。
上式可简写为
{ } [ D]{ }
其中
（2-8）
1 E [ D] 2 1 0
对 1 称 1 0 2
(2-9）
矩阵[D]称为弹性矩阵。对于平面应变问题，将式(2-9） 中的E换为
1 u [( ai bi x ci y)ui (a j b j x c j y)u j (am bm x cm y)u m ] 2A (2-16） 1 [( ai bi x ci y) i (a j b j x c j y) j (am bm x cm y) m ] 2A
i T { } j [ui i u j j um m ] m (2-11）
y vi
i
vm
m v
um
u j
vj uj x
·
ui
本问题选位移函数（单元中任意一点的位移与节点 位移的关系）为简单多项式：
u a1 a2 x a3 y
2、位移函数设定
图2-2是一个三节点三角形 单元，其节点i、j、m按逆时针 方向排列。每个节点位移在单 元平面内有两个分量：
y
vi
i
vm
m