第3章 线性规划的解法(1)

当约束条件为: ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn ≥ bi 时，类似地令 s =(ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn)- bi 显然， s 也具有非负约束，即 s≥0， 这时新的约束条件成为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn-s = bi
松弛变量?
为了使约束由不等式成为等式而 引进的变量s称为“松弛变量”。 如果原问题中有若干个非等式约 束，则将其转化为标准形式时，必须 对各个约束引进不同的松弛变量。
目标函数为求极大值； 约束条件全为等式； 约束条件右端常数项全为非负值； 决策变量取值非负。
标准形式（用矩阵表示）
max Z c x Ax b s.t x 0
假定： （1）rank(A)=m o<m≤n； (2) b≥0 。若有bi<0,则考虑对第i个约束方程两边同时乗 以-1即可。
§3
内容: §3.1 §3.2 §3.3 §3.4 §3.5
线性规划的解法
线性规划的图解法 单纯形原理 表格形式的单纯形方法 单纯形法的进一步讨论 改进的单纯形法
§3.1 线性规划问题的图解法
对于只有两个变量的线性规划问题可以用图解法 求解： 1、约束条件用坐标系中的半平面或直线的交表示， 得到的可行区域是一个凸多边形。 2、目标函数用一组等值线表示，沿着增加或减少 的方向移动，与可行域最后的交点就是最优解。
其中：
C c1 , c2 ,, cn
X x1, x2 ,, xn
T
b b1, b2 ,, bn
T
a11 a21 A a n1
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
规 范 形式（用矩阵表示）
例1 用图解法求解：
max Z 4 x1 3 x2
x2 C
2 x1 3 x2 24 s.t.3 x1 2 x2 26 D x , x 0 1 2 4 解 : 在直角坐标系中分别做出 1.
各约束方程表示的直线,从而得 O 到可行域OBQD.
2.做出一条目标函数表示的等 值线,并确定Z的增大方向. 6
画出线性规划问题的可行域：
目标函数的几何意义：
最优解的确定：
图解法的解题步骤
1 在平面直角坐标系中画出所有的约束等式， 并找出所有约束条件的公共部分，称为可 行域，可行域中的点称为可行解。 2 标出目标函数值增加的方向。 3 若求最大（小）值，则令目标函数等值线 沿（逆）目标函数值增加的方向平行移动， 找与可行域最后相交的点，该点就是最优 解。 4 将最优解代入目标函数，求出最优值。
例如
（1）当约束条件为“≤”时
如： 2 x1 2 x2 12
可令：2x1 2x2 x3 12 ， 显然 x3 0
x3 称为松弛变量。
（2）当约束条件为“≥”时
10 如： x1 12x2 18 10 可令： x1 12x2 x4 18， 显然 x4 0
无穷多最优解的情况：
目标函数与某个约束条件恰好平行
无界解（或无最优解）的情况：
可行域上方无界
无可行解的情况：
约束条件不存在公共范围
由图解法的例可看出：
线性规划的最优解在顶点上
凸集
极点
凸集
不是凸集
(顶点)
一、凸集及其性质： 凸 集： 设 K R n 是 n 维 欧 氏空 间的 点集 ，若 对任 意 x K , y K 的连线上的一切点 X x (1 ) y K (0 1) ，就称 K 是一个凸集。 极点：设 K 是凸集，X K ,若不能用两个不同的点 K , y K x 的线性组合表示为 X x (1 ) y K (0 1) 则称 X 为 K 的一 个极点。
其中：
x 0，x 0
如变量 xj≤0
令
xj x j ，显然 xj 0
例3 化下面的模型为标准型.
m ax Z 4 x1 3 x2 2 x1 3 x2 24 s.t 3 x1 2 x2 26 x , x 0 1 2 解： 加上松弛变量 3 , x4得如下标准型 x ： m ax Z 4 x1 3 x2 0 x3 0 x4 2 x1 3 x2 x3 24 s.t 3 x1 2 x2 x4 26 x , x , x , x 0 1 2 3 4
3.2 约束条件不是等式的问题：
设约束条件为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn ≤ bi 可以引进一个新的变量s ，使它等 于约束右边与左边之差 s =bi–(ai1 x1 + ai2 x2 + … + ain xn ) 显然，s 也具有非负约束，即s≥0， 这时新的约束条件成为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn+s = bi
决策变量
约束条件
注释
x j ; j 1,2,..., n 为待定的决策变量，
c (c1 , c2 ,, cn ) 为价值向量， c j ; j 1,2,..., n 为价值系
数，
b (b1 , b2 ,..., bm ) ′为资源限量向量，
矩阵
a11 a 21 A a m1 a12 a 22 am2 a1n a 2n a mn
最优值：最优解的目标函数值
v c x, x O
基、基向量、基变量？
下面讨论线性规划标准形式的基、基 本解、基本可行解的概念。 考虑线性规划标准形式的约束条件： Ax=b，x≥0 其中A为m×n的矩阵，n≥m，秩(A) = m， b Rm 。
3、把线性规划模型转化为标准形 式
可以看出，线性规划的标准形式 有如下四个特点：目标最大化、约束 为等式、决策变量均非负、右端项非 负。 对于各种非标准形式的线性规划 问题，我们总可以通过以下变换，将 其转化为标准形式。
3.1 极小化目标函数的问题：
设目标函数为 Min f = c1x1 + c2x2 + … + cnxn 则可以令 z ＝ -f ，该极小化问 题与下面的极大化问题有相同的最优 解，即 Max z = -c1x1 - c2x2 - … - cnxn 但必须注意，尽管以上两个问题 的最优解相同，但他们最优解的目标 函数值却相差一个符号，即 Min f ＝ - Max z
为资源消耗系数矩阵。
简写形式：
max （或 min）z c j x j
j 1 n
n （或 ， ）bi （i 1， ，m） aij x j j 1 x 0 （j 1， ，n） j
矩阵形式表示为：
max （或 min ）z CX （或 ， ）b AX X 0
可行解（或可行点） ：满足所有约束条件的向量 x ( x1 , x2 , xn ) 可行集（或可行域） ：所有的可行解的全体
D { x Ax b, x 0}
最优解：在可行域中目标函数值最大（或最小）的可行解，最优解的全体 称为最优解集合
O {x D cT x c y, y D }
x4 称为松弛变量.
目标函数中松弛变量的系数
由于松弛变量表示未被充分利用的资源以及超 用的资源，都没有转化为价值和利润. 因此,目标函数中松弛变量的系数为0。
3. 3 取值无约束的变量
如果变量 x 代表某产品当年计划数与上 一年计划数之差，显然 x 的取值可能是正也 可能是负，这时可令：
x x x
例 化下面的模型为标准型.
max Z x1 x2 2 x1 x2 2 x 2x 2 1 2 s.t. x1 x2 5 x1 0 max z x1 ( x2 x2 ) 0 x3 0 x4 0 x5 2 x1 ( x2 x2 ) x3 2 x 2( x x) x 2 1 2 2 4 s.t. x1 ( x2 x2 ) x5 5 x2 0, x2 0, xi 0; i 1,3, 4,5
max Z cx Ax b s.t. x0
2、线性规划问题的标准形式
标准形式：
max z c j x j
j 1 n
标准形式特点：
1. 2. 3. 4.
n aij x j bi （i 1， ，m） j 1 x 0 （j 1， ，n） j
把问题转化为标准形式的方法
(1)如果目标函数是minZ=cx ,只须令 -Z=Z′,化为 maxZ′= -cx. (2)如果约束方程为不等式： “≥”约束：不等式左端 － 某松弛变量=右端
“≤ ”约束：不等式左端＋某松弛变量=右端 其中松弛变量≥ 0且它的价值系数为0. 3) 若xk 0时, 令xk xk
极点即可行域的顶点.
上图中（1）（2）是凸集， （3）（4）不是凸集
§3.1.3 线性规划问题的标准型
内容： 1、线性规划模型的一般形式 2、线性规划模型的标准形式 3、把线性规划模型转化为标准形式 4、例题
1、线性规划的一般形式
目标函数
max(min) c1 x1 c2 x2 cn xn Z ai1 x1 ai 2 x2 ain xn ( )bi .......... .......... ......... 1,2,...,m i s.t. x j 0; j 1,2,...,n
Q(6,4) A
B
x1
3.把等值线沿Z增大方向移动,当移至与可行域OBQD相 切于Q(6,4)点时,Z值最大,maxZ=36