2018年秋沪科版九年级数学上册专题训练求锐角三角函数值常用方法归类

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九年级数学上册第23章解直角三角形23.1锐角的三角函数23.1.230°,45°,60°角的三角

2018年秋九年级数学上册第23章解直角三角形23.1 锐角的三角函数23.1.2 30°，45°，60°角的三角函数值同步练习（新版）沪科版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋九年级数学上册第23章解直角三角形23.1 锐角的三角函数23.1.2 30°，45°，60°角的三角函数值同步练习（新版）沪科版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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23。

1.2 30°，45°，60°角的三角函数值知识点 1 特殊角的三角函数值1．如图23－1－32在Rt△ABC中，∠C＝90°,∠A＝30°,则sin30°＝________．若AB ＝a，则BC＝________，AC＝________,∴cos30°＝________．图23－1－322．［2017·天津］cos60°的值等于（)A。

错误! B．1 C。

错误! D. 错误!3．如图23－1－33，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心,AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则tan∠AOB的值等于________．图23－1－33知识点 2 含特殊角的三角函数的实数运算4．计算错误!tan45°的结果等于（）A。

中考数学复习指导：求锐角三角函数值常用方法

求锐角三角函数值常用方法求锐角三角函数值，是“锐角三角函数”一节中重要内容，也是中考中常见的题型.现将求锐角三角函数值的常用方法总结如下，供同学们在学习时参考.一、直接用锐角三角函数的定义例1 在△ABC 中，∠C = 900，AC =6，BC =8.则sinA = （）. A 、54 B 、53C 、43 D 、34分析由定义知锐角A 的正弦等于角A 的对边比斜边，只要求出斜边AB 即可. 解：由勾股定理知，AB =22BC AC + = 10, ∴sinA =54 故选A.二、用同角三角函数间的关系例2 若∠A 为锐角，且sinA = 23，则cosA = ( ) A 、1 B 、23 C 、22D 、21分析本题可由sin 2A + cos 2A = 1直接求得.cosA = A 2sin 1- = 2)23(1-= 21故选D.(注：本题也可用三角函数的定义求解) 例3 已知 tanA =32, 则cotA =析解：由tanA ×cotA = 1.得 cotA =即cotA = 32.三、用等角来替换例4如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB = 900,CD ⊥AB 于D,BC=3,AC = 4,设∠BCD = a,求sina.析解：由题意可知，∠BCD = ∠A ，sin a =sinA = AB BC,只要求出AB 即可.在Rt △ABC 中，BC = 3,AC = 4,∴AB = 5.∴sinA =53 ∴sina = 53四、构造直角三角形例5 如图2，已知 △ABC 中，D 是AB 的中点，DC ⊥AC,且cotA = 23,求∠BCD 的四个三角函数值.分析为了求出∠BCD 的三角函数值，必须构造一个以∠BCD 为锐角的直角三角形，可作DE ⊥CD,接下来的关键是求出Rt △CDE 的三边长或三边之比.在Rt △CDE 中，由cotA =23，可设AC = 3a, CD = 2a,而DE= 21AC = 23a .在Rt △CDE 中，利用勾股定理可求出CE,故∠BCD 的四个三角函数值可求出.解：过D 点作DE ⊥CD 交BC 于点E. ∵∠ACD = ∠CDE = 900 ∴AC ∥DE 又∵D 为AB 的中点，∴DE 为△ABC 的中位线. 在Rt △ACD 中，由cotA =23，可设AC = 3a ,CD = 2a , ∴ DE = 23a. 在Rt △CDE 中，由勾股定理CE =22DE CD += 22)23()2(a a +=25a , ∴sin ∠BCD =CE DE = 53,cos ∠BCD =CE CD =54tan ∠BCD =CD DE =43, cot ∠BCD =DE CD =34巧记特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值有着广泛的应用，要求大家必须熟记，为了帮助记忆，可采用下面的方法．1、图示法：借助于下面三个图形来记忆，即使有所遗忘也可根据图形重新推出： sin30°=cos60°=21 sin45°=cos45°=22 tan30°=cot60°=33tan 45°=cot45°=12、列表法：说明：正弦值随角度变化，即0˚→30˚ →45˚ →60˚ →90˚变化；值从0→21 →22 →23 →1变化，其余类似记忆． 30˚12 3 145˚ 1212 60˚ 33、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律： ① 有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜α＜90°时，则0＜sin α＜1； 0＜cos α＜1 ； tan α＞0 ； cot α＞0。

沪科版九年级数学上册专题训练求锐角三角函数值常用方法归类

求锐角三角函数值常用方法归类► 方法一运用定义1．如图5－ZT －1，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线．若CD ＝5，AC ＝6，则tan B 的值是( )A. 45B. 35C. 34D. 43图5－ZT －12．如图5－ZT －2，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，若BC ＝14，AD ＝12，tan ∠BAD ＝34，求sin C 的值．图5－ZT －23．如图5－ZT －3，直线y ＝12x ＋32与x 轴交于点A ，与直线y ＝2x 交于点B . (1)求点B 的坐标；(2)求sin ∠BAO 的值．图5－ZT －34．如图5－ZT －4，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，sin A ＝45，BC ＝8，D 是AB 的中点，过点B 作直线CD 的垂线，垂足为E .(1)求线段CD 的长；(2)求cos ∠ABE 的值．图5－ZT －4► 方法二利用互余两角的三角函数关系求解5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若sin A ＝35，则cos B 的值是( ) A. 45 B. 35 C. 34 D. 436．若α为锐角，且cos α＝1213，则sin(90°－α)等于( ) A. 513 B. 1213 C. 512 D. 125► 方法三巧设参数法7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°.若sin A ＝45，则tan B 的值为( ) A. 43 B. 34 C. 35 D. 458．如图5－ZT －5，在正方形ABCD 中，M 是AD 的中点，BE ＝3AE ，求 sin ∠ECM 的值．图5－ZT －5► 方法四等角转换法9．如图5－ZT －6，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，E 为AC 的中点，如果AD ＝12，AB ＝15，BC ＝14，求tan ∠ADE 的值．图5－ZT －610．如图5－ZT －7，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，过点A 作AE ⊥CD ，AE 分别与CD ，CB 相交于点H ，E ，且AH ＝2CH ，求sin B 的值．图5－ZT －7► 方法五利用特殊角度求三角函数11．如图5－ZT －8，在△ABC 中，∠B ＝∠C ＝67.5°.(1)求sin A 的值；(2)求tan C 的值．图5－ZT －812．如图5－ZT －9，四边形纸片ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝90°，∠C ＝30°，折叠纸片使BC 经过点D ，点C 落在点E 处，BF 是折痕且BF ＝CF .求tan ∠ABD 的值．图5－ZT －9► 方法六巧构直角三角形13．如图5－ZT －10，将△ABC 放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，B ，C 均在格点上，则tan A 的值是( )A. 55B. 55C ．2 D. 12图5－ZT －1014．如图5－ZT －11，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝3，点D 在边AC 上，且AD ＝2CD ，DE ⊥AB ，垂足为E ，连接CE .求：(1)线段BE 的长；(2)∠ECB 的正切值．图5－ZT －1115．如图5－ZT －12，在∠A ＝30°的等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，试计算tan15°的值．图5－ZT －12教师详解详析1．C [解析] ∵CD 是直角三角形的斜边AB 上的中线，CD ＝5，∴AB ＝10.∵∠ACB ＝90°，∴BC ＝102－62＝8，∴tan B ＝AC BC ＝68＝34.故选C . 2．解：∵AD ⊥BC ，∴tan ∠BAD ＝BD AD. ∵tan ∠BAD ＝34，AD ＝12，∴BD ＝9， ∴CD ＝BC －BD ＝14－9＝5.∴在Rt △ADC 中，AC ＝AD 2＋CD 2＝122＋52＝13，∴sin C ＝AD AC ＝1213. 3．解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋32，y ＝2x ，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，∴点B 的坐标是(1，2)． (2)如图，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C.当y ＝0时，12x ＋32＝0，解得x ＝－3， ∴A(－3，0)，∴AC ＝4.∵BC ＝2，∴AB ＝42＋22＝2 5，∴sin ∠BAO ＝BC AB ＝22 5＝55. 4．解：(1)在△ABC 中，∵∠ACB ＝90°， ∴sin A ＝BC AB ＝45，而BC ＝8，∴AB ＝10. ∵D 是AB 的中点，∴CD ＝12AB ＝5. (2)在Rt △ABC 中，∵AB ＝10，BC ＝8，∴AC ＝AB 2－BC 2＝6.∵D 是AB 的中点，∴BD ＝5，S △BDC ＝S △ADC ＝12S △ABC .即12CD·BE ＝12×12AC·BC ， ∴BE ＝6×82×5＝245. 在Rt △BDE 中，cos ∠DBE ＝BE BD ＝2425，即cos ∠ABE 的值为2425. 5．B 6.B7．B [解析] 由题意，设BC ＝4x ，则AB ＝5x ，∴AC ＝AB 2－BC 2＝3x ，∴tan B ＝AC BC＝3x 4x ＝34.故选B . 8．解：设AE ＝x ，则BE ＝3x ，BC ＝CD ＝4x ，AM ＝DM ＝2x.由勾股定理，得CE ＝BE 2＋BC 2＝5x ，ME ＝AE 2＋AM 2＝5x ，MC ＝CD 2＋DM 2＝2 5x ，∴ME 2＋MC 2＝CE 2，∴△EMC 是直角三角形，则sin ∠ECM ＝ME CE ＝5x 5x ＝55.9．解：∵AD ⊥BC 于点D ，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°.由勾股定理得BD ＝AB 2－AD 2＝9，则CD ＝14－9＝5.又∵E 为AC 的中点，∴DE ＝AE ，∴∠ADE ＝∠EAD ，∴tan ∠ADE ＝tan ∠EAD ＝CD AD ＝512.10．解：∵∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，∴∠ACH ＋∠BCD ＝90°，CD ＝BD ，∴∠B ＝∠BCD ，∴∠B ＋∠ACH ＝90°.∵AE ⊥CD ，∴∠CAH ＋∠ACH ＝90°，∴∠B ＝∠CAH.∵AH ＝2CH ，∴由勾股定理得AC ＝5CH ，∴sin ∠CAH ＝CHAC ＝15＝55，∴sin B ＝55.11．解：(1)∵在△ABC 中，∠B ＝∠C ＝67.5°，∴∠A ＝180°－∠B －∠C ＝180°－67.5°－67.5°＝45°，∴sin A ＝sin 45°＝22.(2)如图所示，作BD ⊥AC 于点D.由(1)可知∠A ＝45°，设BD ＝a ，则AD ＝a ，AB ＝2a.∵AB ＝AC ，∴AC ＝2a ，∴CD ＝AC －AD ＝2a －a ，∴tan C ＝BD CD ＝a 2a －a＝2＋1. 12．解：∵∠C ＝30°，BF ＝CF ，∴∠FBC ＝30°.由折叠可知∠EBF ＝∠FBC ＝30°.∵AD ∥BC ，∠A ＝90°，∴∠ABC ＝90°，∴∠ABD ＝30°，∴tan ∠ABD ＝tan 30°＝33. 13．D [解析] 如图，作BD ⊥AC 于点D ，则BD ＝2，AD ＝2 2，则tan A ＝BD AD ＝22 2＝12. 14．解：(1)∵AD ＝2CD ，AC ＝3，∴AD ＝2.在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝3，∴∠A ＝45°，AB ＝AC 2＋BC 2＝3 2. ∵DE ⊥AB ，∴∠AED ＝90°，∠ADE ＝∠A ＝45°，∴AE ＝AD·cos 45°＝2，∴BE ＝AB －AE ＝2 2，即线段BE 的长是2 2.(2)如图，过点E 作EH ⊥BC ，垂足为H.在Rt △BEH 中，∠EHB ＝90°，∠B ＝45°，∴EH ＝BH ＝BE·cos 45°＝2.又∵BC ＝3，∴CH ＝1.在Rt △ECH 中，tan ∠ECH ＝EH CH＝2，即∠ECB 的正切值是2. 15．解：如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则∠ACD ＝60°，∠B ＝75°，∠BCD ＝15°. 设AB ＝AC ＝2a ，∵∠A ＝30°，CD ⊥AB ，∴CD ＝12AC ＝a. 在Rt △ACD 中，根据勾股定理，得AD 2＋CD 2＝AC 2，即AD 2＝AC 2－CD 2＝(2a)2－a 2＝3a 2，∴AD ＝3a ，∴BD ＝AB －AD ＝2a －3a ，∴tan 15°＝BD CD ＝2a －3a a＝2－ 3.。

锐角三角函数的题型及解题技巧

锐角三角函数的题型及解题技巧锐角三角函数是三角函数的基础，它应用广泛，解题技巧性强，下面归纳出锐角三角函数的常见题型，并结合例题介绍一些解题技巧。

一、化简或求值例1 （1）已知tan 2cot 1αα-=，且α的值。

（2）化简()()22sin cos cos sin a b a b αααα++-。

分析（1）由已知可以求出tan α可用1tan cot αα=⋅；（2）先把平方展开，再利用22sin cos 1αα+=化简。

解（1）由tan 2cot 1αα-=得2tan 2tan αα-=，解关于tan α的方程得tan 2α=或tan 1α=-。

又α是锐角，∴tan 2α=。

＝＝tan cot αα-。

由tan 2α=，得1cot 2α=＝tan cot αα-＝13222-=。

（2）()()22sin cos cos sin a b a b αααα++-＝2222sin 2sin cos cos a ab b αααα+⋅⋅+＋2222cos 2cos sin sin a ab b αααα-⋅⋅+＝()()222222sin cos sin cos a b αααα+++＝22a b +。

说明在化简或求值问题中，经常用到“1”的代换，即22sin cos 1αα+=，tan cot 1αα⋅=等。

二、已知三角函数值，求角例2 在△ABC 中，若223cos sin 022A B ⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭(),A B ∠∠均为锐角，求C ∠的度数。

分析几个非负数的和为0，则这几个数均为0。

由此可得cos A 和sin B 的值，进而求出,A B ∠∠的值，然后就可求出C ∠的值。

解由题意得2cos 0,23sin 0.2A B ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得2cos ,23sin .3A B ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又∵,A B ∠∠均为锐角，∴45A ∠=,60B ∠=。

∴18075C A B ∠=-∠-∠=.说明解这类问题首先要熟记特殊角的三角函数值，还要掌握一些化简的技巧。

九年级数学上第23章解直角三角形阶段核心方法专训求锐角三角函数值的七种常用方法习题课沪科

sin∠ACD＝AAEC＝
2 13
＝7262.
2．如图，在△ ABC 中，∠C＝150°，AC＝4，tanB＝18. (1)求 BC 的长；
解：过点 A 作 AD⊥BC，交 BC 的延长线于点 D，如图 ①所示．在 Rt△ ADC 中，AC＝4. ∵∠ACB＝150°，∴∠ACD＝30°.
∴AD＝12AC＝2，CD＝AC·cos30°＝4× 23＝2 3. 在 Rt△ ABD 中，tanB＝ABDD＝B2D＝18， ∴BD＝16.
(1)求证：∠BAM＝∠AEF. 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠BAD＝90°. ∵EF⊥AM，∴∠AFE＝90°. ∴∠EAF＋∠BAM＝∠EAF＋∠AEF＝90°. ∴∠BAM＝∠AEF.
(2)若 AB＝4，AD＝6，cos ∠BAM＝45，求 DE 的长．解：在 Rt△ ABM 中，∵∠B＝90°，AB＝4， cos∠BAM＝45，∴AM＝5. ∵F 为 AM 的中点，∴AF＝52. ∵∠BAM＝∠AEF，∴cos∠AEF＝cos∠BAM＝45. ∴sin∠AEF＝35.
设每个小正方形的边长为 a，则 O′B＝ a2＋（2a）2
＝ 5a，O′D′＝（2a）2＋（2a）2＝2 2a，BD′＝3a.
过点 B 作 BE⊥O′D′于点 E，过点 O′作 O′F⊥BD′于点 F，
则 BE＝BDO′′·DO′′F＝32a·22aa＝322a，
∴O′E＝ O′B2－BE2＝
（
∴EF2＋AE2＝AF2. ∴△AEF 是直角三角形，且∠AEF＝90°.
∴sin∠EAF＝EAFF＝ 55kk＝ 55，
cos∠EAF＝AAFE＝2 5k5k＝2
5
5 .
7．如图，在矩形ABCD中，M为BC上一点，F 是 AM 的中点， EF ⊥ AM ，垂足为点 F ，交 AD于点E.

求锐角三角函数值常用方法

求锐角三角函数值常用方法求锐角三角函数值，是“锐角三角函数”一节中重要内容，也是中考中常见的题型.现将求锐角三角函数值的常用方法总结如下，供同学们在学习时参考.一、直接用锐角三角函数的定义例1 在△ABC 中，∠C = 900，AC =6，BC =8.则sinA = （）. A 、54 B 、53C 、43 D 、34分析由定义知锐角A 的正弦等于角A 的对边比斜边，只要求出斜边AB 即可. 解：由勾股定理知，AB = 22BC AC + = 10, ∴sinA =54 故选A.二、用同角三角函数间的关系例2 若∠A 为锐角，且sinA = 23，则cosA = ( ) A 、1 B 、23 C 、22D 、21分析本题可由sin 2A + cos 2A = 1直接求得.cosA = A 2sin 1- = 2)23(1-= 21故选D.(注：本题也可用三角函数的定义求解) 例3 已知 tanA =32, 则cotA = 析解：由tanA ×cotA = 1.得 cotA =即cotA = 32.三、用等角来替换例4如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB = 900,CD ⊥AB 于D,BC=3,AC = 4,设∠BCD = a,求sina.析解：由题意可知，∠BCD = ∠A ，sin a =sinA = ABBC,只要求出AB 即可.在Rt △ABC 中，BC = 3,AC = 4,∴AB = 5.∴sinA = 53 ∴sina = 53四、构造直角三角形例5 如图2，已知 △ABC 中，D 是AB 的中点，DC ⊥AC,且cotA = 23,求∠BCD 的四个三角函数值.分析为了求出∠BCD 的三角函数值，必须构造一个以∠BCD 为锐角的直角三角形，可作DE ⊥CD,接下来的关键是求出Rt △CDE 的三边长或三边之比.在Rt △CDE 中，由cotA =23，可设AC = 3a, CD = 2a,而DE= 21AC = 23a .在Rt △CDE 中，利用勾股定理可求出CE,故∠BCD 的四个三角函数值可求出.解：过D 点作DE ⊥CD 交BC 于点E. ∵∠ACD = ∠CDE = 900 ∴AC ∥DE 又∵D 为AB 的中点，∴DE 为△ABC 的中位线. 在Rt △ACD 中，由cotA =23，可设AC = 3a ,CD = 2a , ∴ DE = 23a. 在Rt △CDE 中，由勾股定理CE = 22DE CD +=22)23()2(a a +=25a, ∴sin ∠BCD =CE DE = 53,cos ∠BCD =CE CD =54tan ∠BCD = CD DE =43, cot ∠BCD =DE CD =34锐角三角函数走进中考一、利用概念进行判断在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，则sinA=c a ,cosA=c b ,tanA=ab。

中考数学复习指导：求锐角三角函数值的常用方法

求锐角三角函数值的常用方法一、利用定义，求三角函数值例1 如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则sin A的值是( )(A)(B)(C) (D)分析本题可以利用锐角三角函数的定义求解，sin A为∠A的对边比上斜边，求出即可．解在△ABC中，故选A．二、巧设参数，求三角函数值例2 已知a，b，c是△ABC的三边，且满足等式(2b)2＝4(c＋a)(c－a)及5a－3c＝0，则sin A＋sin B＝________．分析先对等式化简，得到a，b，c的关系后，再求解锐角三角函数的值．三、构造直角三角形，求三角函数值例3 如图2，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝∠D＝90°，AB＝1，∠ABC是锐角，点E在CD上，且AE上EB，设∠ABE＝x，∠EBC＝y．求sin(x＋y)的值．（用x、y的三角函数表示）分析构造直角三角形，使x＋y这个角放在某一个直角三角形中，再利用三角函数的定义求解，过点A作AH⊥BC交BC于点H，则可求出sin(x＋y)＝DC，由已知条件再依次表示出sin x，c os x，sin y，c os y．因为∠AEB＝90°，∠C＝∠D＝90°，所以可判定△ADE∽△ECB，于是，从而可得问题答案．四、坐标系中求三角函数值例4 在平面直角坐标系中，已知点A(2，1)和点B(3，0)，则sin∠AOB的值等于( )(A)(B)(C)(D)分析过点A作AC⊥x轴于点C，利用A点坐标为(2，1)可得到OC＝2，AC＝1，利用勾股定理可计算出OA，然后根据正弦的定义即可得到sin∠AOB的值．五、网格中求三角函数值例5 如图5所示，则t a n∠BDC值等于_______．分析根据同弧所对的圆周角相等，可以把求三角函数的问题，转化为直角三角形的边的比的问题．解根据圆周角的性质，得故答案为．六、利用折叠中的不变量，求三角函数值例6 如图5，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE 对折，使点D正好落在AB边上，求t a n∠AFE．分析结合折叠的性质，易得∠AFE＝∠BCF，在Rt△BFC中，BC＝8，CF＝10，由勾股定理易得BF的长，根据三角函数的定义，易得t a n∠BCF的值，借助∠AFE＝∠BCF，可得t a n∠AFE的值．解由题意，得∠AFE＋∠EFC＋∠BFC＝180°．根据折叠的性质，∠EFC＝∠EDC＝90°，即有∠AFE＋∠BFC＝90°，在Rt△BCF中，七、利用增减性，求解三角函数例7 三角函数sin 50°，c os 50°，t a n 50°的大小关系是( )(A)sin50°>c os50°>t a n50°(B)t a n50°>c os50°>sin50°(C)t a n50°>sin50°>c os50°(D)c os50°>t a n50°>sin50°分析首先，根据锐角三角函数的定义可知sin 50°<1，c os 50°<1，再由锐角三角函数的增减性可知，t a n 50°> t a n 45°＝1，从而得出t a n 50°的值最大；然后，由互余两角的三角函数的关系，得出c os 50°＝sin 40°，又sin 50°>sin 40°，从而得出结果．八、利用二次方程的判别式以及根与系数的关系，求三角函数值例8 设α为锐角，x1.x2是关于x的方程8x2－4x－2c os α＋1＝0的两个实数根，且，求c osα的值．分析根据一元二次方程根的判别式，得到c osα的范围，然后利用根与系数的关系求出c osα的值．九、利用几何图形的性质求三角函数值例9 如图6，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为，AC＝2，则sin B的值是( )(A)(B)(C)(D)分析求角的三角函数值，可以转化为求直角三角形边的比，连结DC．根据同弧所对的圆周角相等，就可以转化为求直角三角形的锐角的三角函数值的问题．解连结DC，如图7．根据直径所对的圆周角是直角，得∠ACD＝90°．根据同弧所对的圆周角相等，得∠B＝∠D．∴sin B＝sin D＝．故选A．。

求锐角三角函数值的经典题型方法归纳超级经典好用

求锐角三角函数值的经典题型+)超级经典好用(方法归纳．求锐角三角函数值的几种常用方法一、定义法可直接运用锐角三角函数的定当已知直角三角形的两条边，义求锐角三角函数的值．，则=5BC例1 如图1，在△ABC中，∠C=90°，AB=13，)sin A的值是(121355 )) (C ) (D (A ) (B5131213对应训练：) ( ，则tan的值为190°，若BC＝，ABA=中，∠1．在Rt△ABC C＝515522 ． A ． D B ． C ．552二、参数（方程思想）法锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需将三角函数转化为线段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长，然后结合相关条件解决问题．5BC=90°，如果tan A=，那么sin ABC 例2 在△中，∠12的值是．对应训练：31.）tanA的值等于（ A=．在△ABC中，∠C=90°，sin，那么54334.D C. . A． B 3455则AC= ，已．知△中，，3cosB=2，2?5290C??AB．AB=3．cosABAC求△3．已知RtABC中，、和B,90C???BC,A tan,?12?43，OC⊥AB于C点，＝4．已知：如图，⊙O的半径OA16cm??sin?AOC4求：AB 及OC的长．三、等角代换法当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时，可将此角通过等两锐角“角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用”相等，则三角函数值也相等来解决．ABABCRtBCACD边上3 在△°，中，∠是=90例ACDCDBC的值为 =5，=4，则∠的中线，．cos对应训练的直径，是的如图，若的外接圆，是1.OO⊙⊙⊙OABC△AD32，，则的值是（）A．半径为B sin2AC 32．433．． C． DB234落在，使点42. 如图，沿折叠矩形纸片BCABCDAEDA D的值边的点处．已知，则，AB=8,8?ABEFC tan?10∠BCFEB C3434Ｃ．Ｄ．为 ( )Ａ．Ｂ．F 5534为3. 如图6，在等腰直角三角形中，，，ACDABC?6??C?90?AC1( ) ，则上一点，若的长为?tan?DBA AD5． D．．A． B C y22212C A与经过点直径为10的⊙，和点4．如图，A，C，0)(05)O(0xDO yDBx轴右侧圆弧上一点，，轴的正半轴交于点是B题图第8OBC313 C B．．则cos∠的值为（）A．2524．D5Ox轴的正半的顶点为5.如图，角，它的一边在?OAP（3，4点一），则，轴上另一边上有．??sin ABCDDEAB3，⊥的边长为10cm如图，，6.（庆阳中考）菱形， A sin52．则这个菱形的面积= cm ABCCACA的平分线=8=90°，，∠，在7. 如图6Rt△中，∠ABADBCB316.、的长 =求∠的度数及边3B C D．四、构造（直接三角形）法直角三角形是求解或运用三角函数的前提条件，故当题目中已知条件并非直角三角形时，需通过添加辅助线构造直角三角形，然后求解，即化斜三角形为直角三角形．）化斜三角形为直角三角形（1sinBABCAABAC的值是=2°，=4，在△例4 ，则中，∠=120( ) BCAD2152173 ())() ( ()147145对应训练：ABCABBCABC的面积等6，＝9，△＝．已知：如图，△1中，B． sin9于，求在△ABC中，∠BAC=90°2．（重庆）如图，在DRt，点的ABCBC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△周长．（结果保留根号））利用网格构造直角三角形（2网格的格例5 如图所示，△ABC的顶点是正方形）的值为（点，则sinA155210 D．．A． B C．25105C对应练习：sin A =_______. 1．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则ABC?逆时针绕着点三点在正方形网络线的交点处，若将．如图，A、B、CA2BA'B?AC'B'tan旋转得到的值为（，则）1111 D. C. A.B. 3243．正方形网格中，如图放置，则tan的值是（） AOB∠AOB∠A1Ｃ．Ｄ．Ｂ．Ａ．25525OB4. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点在格点上，ABC△请按要求完成下列各题：CDAD∥BCD）线段（用签字笔画，连接2；（为格点））（1 ．．．的长为CD；若你所选的锐的三个内角中任选一个锐角，（3）请你在ACD△．．值数应的正弦函对，则它所角是tan的BC中点，则CAE∠若是．（4） E为 . 值是三角函数与四边形： 2，BCD=90°，AB=BC=如图，四边形ABCD中，∠BAD=135°，∠．16 ．AD(2) 求的长BDC= ． (1) 求BD的长； tan ∠3A分别作AE⊥BC于点E，AF中，过点2．如图，在平行四边形⊥CD于点F． ABCD243，，求CF的长．AF2）若AE=4，= DAF∠（1）求证：BAE=∠；（ sin BAE55三角函数与圆：3.如图，DE是⊙O的直径，CE与⊙O相切，E为切点.连接CDEF=BF.，使F上取一个点EC，在B于点O交⊙．（1）求证:BF是⊙O的切线;DE4=9，求BF的长． , 2（）若 cosC5E OD FBC。

专题训练(六)求锐角三角函数的四种方法

专题训练(六) 求锐角三角函数的四种方法► 方法一运用定义求锐角三角函数值1．如图6－ZT －1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，那么sin A 的值为( ) A .34 B .43 C .35 D .45图6－ZT －1 图6－ZT －22．如图6－ZT －2，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线．若CD ＝5，AC ＝6，则tan B 的值是( )A .45B .35C .34D .433．a ，b ，c 是△ABC 中∠A ，∠B ，∠C 的对边，且a ∶b ∶c ＝1∶2∶3，则cos B 的值为( )A .63 B .33 C .22 D .244．如图6－ZT －3，△ABC 的顶点都在小正方形组成的网格的格点上，则cos C 的值为( )图6－ZT －3A .12B .32C .55D .2 555．如图6－ZT －4，在△ABC 中， ∠C ＝90°，BC ＝3，AB ＝5，求sin A ，cos A ，tan A 的值．图6－ZT －46．如图6－ZT －5，在正方形ABCD 中，M 是AD 的中点，BE ＝3AE ，试求sin ∠ECM 的值．图6－ZT －5► 方法二利用互余两角三角函数的关系求锐角三角函数值 7．在△ABC 中，cos A ＝513，则sin (90°－∠A)的值为( )A .513B .1213C .813D .5128．小明在某次作业中得到如下结果： sin 27°＋sin 283°≈0.122＋0.992＝0.9945， sin 222°＋sin 268°≈0.372＋0.932＝1.0018， sin 229°＋sin 261°≈0.482＋0.872＝0.9873，sin 237°＋sin 253°≈0.602＋0.802＝1.0000， sin 245°＋sin 245°＝(22)2＋(22)2＝1. 据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin 2α＋sin 2(90°－α)＝1. (1)当α＝30°时，说明sin 2α＋sin 2(90°－α)＝1是否成立；(2)小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．► 方法三利用等角求锐角三角函数值9．如图6－ZT －6，已知l 1∥l 2∥l 3，相邻两条平行直线间的距离相等．若等腰直角三角形ABC 的三个顶点分别在这三条平行直线上，则sin α的值是( )A .13B .617C .55D .1010图6－ZT －6 图6－ZT －710．如图6－ZT －7，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8.∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点P ，则tan P ＝________．11．如图6－ZT－8，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A 作AE⊥CD，AE与CD，CB分别相交于点H，E，且AH＝2CH.(1)求sin B的值；(2)如果CD＝5，求BE的长．图6－ZT－812．如图6－ZT－9，已知△ABC，AB＝AC＝1，∠A＝36°，∠ABC的平分线BD交AC于点D.(1)求AD的长；(2)求cos∠DBC的值．图6－ZT－9 ►方法四利用同角三角函数的关系求锐角三角函数值13．若∠A为锐角，且sin A＝32，则cos A的值为()A ．1B .32 C .22 D .1214．在△ABC 中，∠C ＝90°，如果sin A ＝35，那么tan A 的值为( )A .34B .54C .35D .4315．已知tan α＝25，α是锐角，求tan (90°－α)，sin α，cos α的值．16．计算：sin 215°＋cos 215°－cos 30°tan 60°.教师详解详析1．[解析] C 在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AB ＝32＋42＝5，所以sin A ＝BC AB ＝35.故选C.2．C3．[解析] B 设a ＝k ，则b ＝2k ，c ＝3k ，则a 2＋b 2＝k 2＋(2k )2＝3k 2，c 2＝(3k )2＝3k 2，∴a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 是直角三角形，且∠C ＝90°，∴cos B ＝a c ＝k 3k ＝33.故选B.4．[解析] D 设每个小正方形的边长均为1.如图，过点A 作AD ⊥BC ，交CB 的延长线于点D ，则AD ＝2，CD ＝4，∴AC ＝AD 2＋CD 2＝22＋42＝2 5，故cos C ＝CD AC ＝42 5＝2 55.5．解：∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AB ＝5， ∴AC ＝52－32＝4，∴sin A ＝BC AB ＝35，cos A ＝AC AB ＝45，tan A ＝BC AC ＝34.6．解：设AE ＝x ，则BE ＝3x ，BC ＝4x ，AM ＝DM ＝2x ，CD ＝4x ， ∴CE ＝（3x ）2＋（4x ）2＝5x ，EM ＝x 2＋（2x ）2＝5x ，CM ＝（2x ）2＋（4x ）2＝2 5x ， ∴EM 2＋CM 2＝CE 2，∴△CEM 是直角三角形，且∠CME ＝90°，∴sin ∠ECM ＝EM CE ＝55.7．A8．[解析] (1)将α＝30°代入，根据三角函数值计算可得； (2)α和90°－α互余，由此可在直角三角形中根据勾股定理验证．解：(1)当α＝30°时，sin 2α＋sin 2(90°－α)＝sin 230°＋sin 260°＝(12)2＋(32)2＝1.(2)小明的猜想成立，证明如下：如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，设∠A ＝α，则∠B ＝90°－α.∴sin 2α＋sin 2(90°－α)＝(BC AB )2＋(AC AB )2＝BC 2＋AC 2AB 2＝AB 2AB2＝1.9．[解析] D 如图所示，过点A 作AD ⊥l 1于点D ，交l 2于点F ，则AF ⊥l 2，过点B 作BE ⊥l 1于点E ，设l 1和l 2之间的距离为1，则l 2和l 3之间的距离也为1.∵∠CAD ＋∠ACD ＝90°，∠BCE ＋∠ACD ＝90°，∴∠CAD ＝∠BCE .在等腰直角三角形ABC 中，AC ＝CB .在△ACD 和△CBE 中，∵⎩⎨⎧∠CAD ＝∠BCE ，∠ADC ＝∠CEB ＝90°，AC ＝CB ，∴△ACD ≌△CBE ， ∴CD ＝BE ＝1.在Rt △ACD 中，AC ＝AD 2＋CD 2＝5，在等腰直角三角形ABC 中， AB ＝AC 2＋CB 2＝10，∴sin α＝sin ∠ABF ＝AF AB ＝110＝1010.10．[答案] 43[解析] ∵∠ACD ＝∠BAC ＋∠ABC ，CP 平分∠ACD ， BP 平分∠ABC ，∠PCD ＝∠PBC ＋∠P ， ∴2(∠PBC ＋∠P )＝∠BAC ＋∠ABC ， ∴∠P ＝12∠BAC .如图，过点A 作AE ⊥BC 于点E .∵AB ＝AC ＝5，∴BE ＝12BC ＝12×8＝4，∠BAE ＝12∠BAC .∵∠P ＝12∠BAC ，∴∠P ＝∠BAE .在Rt △BAE 中，由勾股定理，得AE ＝AB 2－BE 2＝52－42＝3， ∴tan P ＝tan ∠BAE ＝BE AE ＝43.11．解：(1)∵在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线， ∴CD ＝AD ＝BD ，∴∠DCB ＝∠B . ∵AE ⊥CD ，∴∠AHC ＝90°， ∴∠ACD ＋∠CAH ＝90°.∵∠ACD ＋∠DCB ＝90°，∴∠DCB ＝∠CAH ，∴∠B ＝∠CAH . 在Rt △ACH 中，AH ＝2CH ，∴AC ＝5CH .∴sin B ＝sin ∠CAH ＝CH AC ＝CH 5CH ＝55.(2)由(1)知sin B ＝55. ∵CD ＝5，∴AB ＝2CD ＝2 5， ∴AC ＝2，∴BC ＝AB 2－AC 2＝4. ∵∠B ＝∠CAH ，∴sin ∠CAH ＝CE AE ＝55，∴AE ＝5CE ，由CE 2＋AC 2＝(5CE )2，解得CE ＝1， ∴BE ＝BC －CE ＝3.12．解：(1)设AD ＝x ，则CD ＝1－x . ∵∠A ＝36°，AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠C ＝72°. 又∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD ＝∠A ＝36°， ∴∠BDC ＝∠C ＝72°，BD ＝AD ， ∴BC ＝BD ＝AD ＝x ，△ABC ∽△BCD ， ∴AB BC ＝BCCD，∴BC 2＝AB ·CD ，即x 2＝1－x ，解得x ＝5－12(负值已舍去)．即AD ＝5－12. (2)过点D 作DE ⊥AB 于点E .∵BD ＝AD ，∴AE ＝BE ＝12.在Rt △ADE 中，cos ∠DBC ＝cos A ＝AEAD ＝5＋14.13．D14．[解析] A ∵sin A ＝35，∴cos A ＝1－sin 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45，∴tan A ＝sin A cos A ＝3545＝34.故选A.15．解：如图所示，tan B ＝tan α＝25.设AC ＝2x ，则BC ＝5x ，则AB ＝29x ， ∴tan(90°－α)＝tan A ＝5x 2x ＝52，sin α＝AC AB ＝2x 29x ＝22929，cos α＝BC AB ＝5x 29x ＝52929.16．解：原式＝1－32×3＝－12.。

沪科版九年级数学上册第23章专题技能训练(五) 求锐角三角函数值的常见类型

(1)y 的值；解：如图，作 PC⊥x 轴于 C. ∵tan α＝43，OC＝3，∴PC＝4，即 y＝4.
专题技能训练
(2)α 的正弦值．解：∵PC＝4，OC＝3， ∴OP＝5，∴sin α＝45.
专题技能训练 2．如图，已知△ABC 的顶点都位于 5×5 的网格格点上，求锐角
α 的各个三角函数值．
沪科版九年级下
第23章解直角三角形
技能训练(五) 求锐角三角函数值的常见类型
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专题技能训练
1．如图所示，在平面直角坐标系中，P 是第一象限的点，其坐标是(3，y)，且 OP 与 x 轴的正半轴的夹角 α 的正切值是43. 求：
【答案】D
专题技能训练
6．[中考·福建]小明在某次作业中得到如下结果：
sin 27°＋sin 283°≈0.122＋0.992＝0.994 5，
sin 222°＋sin 268°≈0.372＋0.932＝1.001 8，
sin 229°＋sin 261°≈0.482＋0.872＝0.987 3，
sin 237°＋sin 253°≈0.602＋0.802＝1.000 0，
专题技能训练
11．对于钝角 α，定义它的正弦、余弦如下： sin α＝sin (180°－α)，cos α＝－cos (180°－α)．
(1)求 sin 120°、cos 120°、sin 150°的值；解：由题意，得 sin 120°＝sin (180°－120°)＝sin 60°＝ 23， cos 120°＝－cos (180°－120°)＝－cos 60°＝－12， sin 150°＝sin (180°－150°)＝sin 30°＝12.

(完整版)求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用)

求锐角三角函数值的几种常用方法一、定义法当已知直角三角形的两条边，可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值．例1 如图1，在△ABC 中，∠C =90°，AB =13，BC =5，则sin A 的值是( )(A )513 (B )1213 (C )512 (D )135 对应训练：1．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB =5，则tan A 的值为( )A ．5 B ．25 C ．12D ．2 二、参数（方程思想）法锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需将三角函数转化为线段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长，然后结合相关条件解决问题．例2 在△ABC 中，∠C =90°，如果tan A =512，那么sin B 的值是．对应训练：1．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=53，那么tan A 的值等于（）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 432．已知△ABC 中，ο90=∠C ，3cosB=2， AC=52 ，则AB= ．3．已知Rt △ABC 中，,12,43tan ,90==︒=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．4．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，⋅=∠43sin AOC求：AB 及OC 的长．D C B A Oyx第8题图AD ECBF三、等角代换法当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时，可将此角通过等角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用“两锐角相等，则三角函数值也相等” 来解决．例3 在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是AB 边上的中线，BC =5，CD =4，则cos ∠ACD 的值为．对应训练1.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为32，2AC =，则sin B 的值是（）A ．23 B ．32 C ．34 D ．432. 如图4，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =，AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( )Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．453. 如图6，在等腰直角三角形ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，D 为AC 上一点，若1tan 5DBA ∠= ，则AD 的长为( )A ．2B ．2C ．1D ．224．如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ，和点(00)O ，，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y 轴右侧圆弧上一点，则cos ∠OBC 的值为（）A ．12 B ．32 C ．35D ．455.如图，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P （3，4），则sin α= ．6.（庆阳中考）如图，菱形ABCD 的边长为10cm ，DE ⊥AB ，3sin 5A =，则这个菱形的面积= cm 2．7. 如图6，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，∠A 的平分线AD =3316求 ∠B 的度数及边BC 、AB 的长.DABCCBA四、构造（直接三角形）法直角三角形是求解或运用三角函数的前提条件，故当题目中已知条件并非直角三角形时，需通过添加辅助线构造直角三角形，然后求解，即化斜三角形为直角三角形．（1）化斜三角形为直角三角形例4 在△ABC 中，∠A =120°，AB =4，AC =2，则sinB 的值是( )(A )5714 (B )35 (C )217 (D )2114对应训练：1．已知：如图，△ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，△ABC 的面积等于9，求sin B ．2．（重庆）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形．若AB=2，求△ABC 的周长．（结果保留根号）（2）利用网格构造直角三角形例5 如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为（）A ．12 B ．55 C ．1010D ．255 1．如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______. 2．如图，A 、B 、C 三点在正方形网络线的交点处，若将ABC ∆绕着点A 逆时针旋转得到''B AC ∆，则'tan B 的值为（）A.41B.31C.21D.13．正方形网格中，AOB∠如图放置，则tan AOB∠的值是（）Ａ．5Ｂ．25Ｃ．12Ｄ．24. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，ABC△的三个顶点在格点上，请按要求完成下列各题：（1）用签字笔．．．画AD∥BC（D为格点），连接CD；（2）线段CD的长为；（3）请你在ACD△的三个内角中任选一个锐角．．，若你所选的锐角是，则它所对应的正弦函数值是．（4）若E为BC中点，则tan∠CAE的值是 .三角函数与四边形：1．如图，四边形ABCD中，∠BAD=135°，∠BCD=90°，AB=BC=2，tan∠BDC=63．(1) 求BD的长；(2) 求AD的长．2．如图，在平行四边形ABCD中，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．（1）求证：∠BAE=∠DAF；（2）若AE=4，AF=245，3sin5BAE∠=，求CF的长．三角函数与圆：3.如图，DE是⊙O的直径，CE与⊙O相切，E为切点.连接CD交⊙O于点B，在EC上取一个点F，使EF=BF. （1）求证:BF是⊙O的切线;（2）若54Ccos=, DE=9，求BF的长．ABO。

九年级数学上册专题训练六求锐角三角函数方法归类华东师大版

1 16．如图，在△ABC 中， AB＝AC＝5， BC＝8.若∠BPC＝2∠BAC， 3 则 cos∠BPC＝_______ 5 ．
五、利用特殊角求锐角三角函数值 17．如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点 D 为边 AC 的中点，DE⊥BC 于点 E，连结 BD，则 tan∠DBC 的值为( 1 1 A.3 B. 2－1 C．2－ 3 D.4
二、巧设参数求锐角三角函数值 5 5．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，tanA＝12，则 sinA＝( A ) 5 12 5 12 A.13 B.13 C.12 D. 5 6．如图，在 Rt△ABC 中， ∠BAC＝90°， AD⊥BC 于点 D，若 BD∶ CD＝3∶2，则 tanB＝( 3 2 6 6 A.2 B.3 C. 2 D. 3
四、利用等角转换求锐角三角函数值 14．如图，A，B，C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB 绕着点 A 逆时针旋转得到△AC′B′，则 tanB′的值为( 1 1 1 2 A.2 B.3 C.4 D. 4
B
)
15．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点 D.若 AC＝2，BC＝1，则 sin∠ACD 的值为( B ) 5 2 5 5 2 A. 3 B. 5 C. 2 D.3
解：(1)AD 是 BC 边上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.∵∠ADC＝90 °，∠C＝45°，AD＝1，∴DC＝AD＝1.在△ADB 中，∠ADB＝90°， 1 AD sinB＝，AD＝1，∴AB＝＝3，∴BD＝ AB2－AD2＝2 2，∴BC 3 sinB ＝BD＋DC＝2 2＋1 1 1 (2)∵AE 是 BC 边上的中线，∴CE＝ BC＝ 2＋，∴DE＝CE－CD＝ 2 2 1 DE 1 2－，∴tan∠DAE＝＝ 2－ 2 AD 2