5等边三角形的判定定理

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第04讲等边三角形(原卷版)-2023-2024学年八年级数学上册同步学与练(人教版)

第04讲等边三角形课程标准学习目标①等边三角形的概念与性质②等边三角形的判定③含30°角的直角三角形 1.掌握等边三角形的性质并能够对其熟练应用。

2.掌握等边三角形的判定方法，能够运用已知条件熟练判定等腰三角形。

3.掌握含30°角的直角三角形的性质并对其熟练应用。

知识点01等边三角形的概念与性质1.等边三角形的概念：三条边都的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的。

2.等边三角形的性质：如图①等边三角形的三条边都，三个角也，且三个角都等于°。

②等边三角形三条边都存在。

③等边三角形是一个图形，它有条对称轴，对称轴的交点叫做中心。

题型考点：①等边三角形的性质求角度与线段。

【即学即练1】1．如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠1＝40°，则∠2的度数为（）A．80°B．70°C．60°D．50°【即学即练2】2．如图：等边三角形ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（）A．45°B．55°C．60°D．75°【即学即练3】3．如图，△ABC中，AD为角平分线，若∠B＝∠C＝60°，AB＝8，则CD的长度为．【即学即练4】4．如图，过边长为4的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为．知识点02含30°角的直角三角形1.30°角所对的直角边与斜边的关系：30°角所对的直角边等于斜边的。

证明如下：1如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC。

证明BD＝AB2∵△ABC是等边三角形∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝。

∵AD⊥BC∴AD平分∠BAC，∠BAD＝∠CAD＝BD＝CD＝BC∴BD＝AB。

题型考点：含30°角的直角三角形的性质。

等边三角形的特征

等边三角形的特征
等边三角形是一种特殊的三角形，其特征包括：
1.三边长度相等：这是等边三角形最直观的特征，三边的长度都相等。

2.三个内角度数均为60度：等边三角形的三个内角都是锐角，度数均为60
度。

3.等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、
高线或角的平分线所在的直线。

4.等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)。

5.等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。

6.等边三角形拥有等腰三角形的一切性质。

综上，等边三角形是一个特殊的三角形，具有独特的性质和特征。

等边三角形的性质和判定

A
你还能用其他
方法证明吗?
B
C
D
在直角三角形中,如果一个锐角等于30° 那么它所对的直角边等于斜边的一半.
A
30°
B┓ C
在直角△ABC中
∵∠A＝30° ∴AC＝2BC
下图是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC、 DE垂直于横梁AC,AB＝7.4m,∠A＝30°立柱 BC 、 DE要多长?
E
∴ △ADE 是等边三角形．
追问本题还有其他证法吗？B
C
动脑思考，变式训练
变式1 若点D、E 在边AB、AC 的延长线上，且 DE∥BC，结论还成立吗？
证明：∵ △ABC 是等边三角形， ∴ ∠A =∠ABC =∠ACB =60°． A
∵ DE∥BC，
∴ ∠ABC =∠ADE，
∠ACB =∠AED.
B
C
∴ ∠A =∠ADE =∠AED.
∴ △ADE 是等边三角形. D
E
动脑思考，变式训练
变式2 若点D、E 在边AB、AC 的反向延长线上，且DE∥BC，结论依然成立吗？
证明： ∵ △ABC 是等边三角形， E D
∴ ∠BAC =∠B =∠C =60°．
∵ DE∥BC，
A
∴ ∠B =∠D，∠C =∠E．
是（三线合一）
（等边对等角）
一条对称轴
相等每个角都等于60°
？
细心观察，探索性质
结合等腰三角形的性质，你能填出等边三角形对应的结论吗？
图形
等腰三角形
等边三角形
边
两边相等（定义）
三边相等（定义）
角
轴对称图形
两底角相等
是（三线合一）

等边三角形的性质和判定 (优质课)获奖课件

3．在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，你能得到AB＝BC＝CA 吗？为什么？你从中能得到什么结论？三个角都相等的三角形是等边三角形． 4．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°.(1)求证：△ABC是等边三角形； (2)如果把∠A＝60°改为∠B＝60°或∠C＝60°，那么结论还成立吗？ (3)由上你可以得到什么结论？有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．源自语文小魔方站作品盗版必究
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附赠中高考状元学习方法
前言
高考状元是一个特殊的群体，在许多人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目的星星那样遥不可及。但实际上他们和我们每一个同学都一样平凡而普通，但他们有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处就是在学习方面有一些独到的个性，又有着一些共性，而这些对在校的同学尤其是将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
11．2 与三角形有关的角
11．2.2 三角形的外角
1．了解三角形的外角． 2．知道三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 3．学会运用简单的说理来计算三角形相关的角．
重点三角形外角的性质．难点运用三角形外角性质进行有关计算时能准确地推理．
一、复习引入什么是三角形的内角？它是由什么组成的？三角形内角和定理的内容是什么？教师提出问题，学生举手回答问题．二、探究新知 1．探究三角形外角的概念．教师布置学生自学教材第14页最后一段话的内容，然后完成以下问题： (1)举例说明什么是三角形的外角．(上黑板画图说明) (2)如图，∠ADB，∠BPC，∠BDC，∠DPC分别是哪个三角形的外角？
四、练习与小结练习：教材练习．教师布置练习，学生举手回答．小结：谈谈你对三角形外角的认识．教师引导学生谈谈对三角形外角的认识．主要从定义和性质两个方面入手．五、布置作业习题11.2第5，6，8题，选做题：第11题．

等边三角形的性质和判定i

三线合一
等边三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.
思维链接:
满足什么条件的三角形是等腰三角形?
方法 1: 有两边相等的三角形是等腰三角形.(定义)
方法2:有两个角相等的三角形是等腰三角形.(定理)
满足什么条件的三角形是等边三角形
？
三条边都相等的三角形是等边三角形(定义)
A 想想看，等边三角形是等腰三角形吗? 它都有哪些性质？ B C ⑴三边之间 AB＿＝AC＝＿BC； ⑵三角之间 ∠A＿∠ ＝ B＿∠ ＝ C；
⑶是轴对称图形，有三条对称轴； ⑷三线合一
你能证明这个结论吗?
已知：⊿ABC中，AB＝AC=BC。
求证：∠A＝∠B＝∠C ＝ 60°
证明：∵ AB＝AC (已知) ∴∠B＝∠C (等边对等角) B 同理 ∠A＝∠B ∴ ∠A＝∠B＝∠C
2、三个角都相等的三角形是等边三角形.
等腰三角形
等边三角形
3、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
例４：
如图，⊿ＡＢＣ是等边三角形，ＤＥ∥ＢＣ，交ＡＢ，ＡＣ于Ｄ，Ｅ．求证： ⊿ＡＤＥ是等边三角形．证明：∵ ⊿ＡＢＣ是等边三角形 ∴∠A＝∠B＝∠C ＝ 60° ∵ＤＥ∥ＢＣ ∴ ∠AＤＥ＝∠AＥＤ = ∠A 三个角都相等的三角形是等边三角形 ∴ AＤ＝AＥ ∴ ⊿ＡＤＥ是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）
A
B
D
E
C
如图，等边三角形ABC中，AD是 BC上的高，∠BDE=∠CDF=60°，图中有哪些与BD相等的线段？
BD=CD=CF=BE=DE= FD=AF=AE E B A F D C
6 ．如图，已知点 B 、 C 、 D 在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交 AC于F，AD交CE于H， ①求证：△BCE≌△ACD； ②求证：CF=CH； ③判断△CFH的形状并说明理由．

等边三角形判定

例2 △ABC为正三角形，点M是BC边上任
意一点，点N是CA边上任意一点，且BM＝
CN，BN与AM相交于Q点，∠BQM等于多少度？解：∵△ABC为正三角形， ∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC. 又∵BM＝CN， ∴△AMB≌△BNC(SAS)， ∴∠BAM＝∠CBN， ∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM ＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°.
典例精析例3 如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC, 求证：△ADE是等边三角形.
证明： ∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A= ∠B= ∠C. ∵ DE//BC, ∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C. ∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED. ∴ △ADE是等边三角形. 想一想：本题还有其他证法吗？ D B
课堂小结
特殊性定义特殊性等边三角形性质底=腰边角轴对称性三边法特殊性
三边相等
三个角都等于60 °
轴对称图形，每条边上都具有 “三线合一”性质
判定
三角法等腰三角形法
随堂演练
辩一辩：根据条件判断下列三角形是否为等边三角形.
不是
（1）（2）
是Hale Waihona Puke （3）是不一定是
（4）（5）
是
（6）
是
3.下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形，其中是等边三角形的有（D ） A.①②③ B.①②④ C.①③ D.①②③④ 4.如果一个等腰三角形顶角的补角等于120°，那么这个等腰三角形一定是______ 等边三角形.

等边三角形的性质与判定八年级数学

第06讲等边三角形的性质与判定【学习目标】1.了解等边三角形的有关概念，探索并掌握性质及判定方法。

【基础知识】一．等边三角形的性质（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．二．等边三角形的判定（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．三．等边三角形的判定与性质（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．【考点剖析】一．等边三角形的性质（共5小题）1．（2020秋•濮阳期末）三个等边三角形的摆放位置如图所示，若∠1+∠2＝100°，则∠3的度数为（）A ．80°B ．70°C ．45°D ．30°2．（2022春•江都区月考）如图，△ABC 是等边三角形，P 是三角形内一点，PD ∥AB ，PE ∥BC ，PF ∥AC ，若△ABC 的周长为24，则PD +PE +PF ＝（）A ．8B ．9C ．12D ．153．（2022春•鼓楼区校级月考）如图，C 是线段AB 上一动点，△ACD ，△CBE 都是等边三角形，M ，N 分别是CD ，BE 的中点，若AB ＝4，则线段MN 的最小值为（）A ．√32B ．√3C ．2√3D ．3√324．（2021秋•无锡期末）如图，△ABC 是等边三角形，BC ＝BD ，∠BAD ＝20°，则∠BCD 的度数为．5．（2021秋•宝应县期中）如图，△ABC 为等边三角形，BD 平分∠ABC ，BD 交AC 于点D ，DE ∥BC ，DE 交AB 于点E ．（1）判断△ADE 的形状，并说明理由．（2）判断AE 与AB 的数量关系，并说明理由．二．等边三角形的判定（共4小题）6．（2021秋•淮安期末）三角形的三边长a，b，c满足（a﹣b）4+（b﹣c）2+|c﹣a|＝0，那么这个三角形一定是（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰非等边三角形D．钝角三角形7．（2021秋•渑池县期末）下列对△ABC的判断，错误的是（）A．若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形B．若AB＝BC，∠C＝50°，则∠B＝50°C．若AB＝BC，∠A＝60°，则△ABC是等边三角形D．若∠A＝20°，∠C＝80°，则△ABC是等腰三角形8．（2017秋•兴化市期中）有一个角是的等腰三角形是等边三角形．9．（2019秋•鼓楼区校级期中）如图，点D在线段BC上，∠B＝∠C＝∠ADE＝60°，AB＝DC．求证：△ADE为等边三角形．三．等边三角形的判定与性质（共3小题）10．（2021秋•淮安区期末）已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，若BC＝5cm，则AC＝cm．11．（2020秋•河北区期末）如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．（1）求∠F的度数．（2）求证：DC＝CF．12．（2021春•龙口市期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝60°，点E为AD上一点，连接BD，CE交于点F，CE∥AB．（1）判断△DEF的形状，并说明理由；（2）若AD＝12，CE＝8，求CF的长．【过关检测】一．选择题（共5小题）1．（2021秋•梁溪区校级期中）如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB＝12，BD＝7，则△ADE的周长为（）A．5B．36C．21D．152．（2021秋•鼓楼区月考）在等边三角形ABC中，AD是高，∠B的平分线交AD于E，下面判断中错误的是（）A．点E在AB的垂直平分线上B．点E到AB、BC、AC的距离相等C．点E是AD的中点D．过点E且垂直于AB的直线必经过点C3．（2021秋•鼓楼区期中）已知三个城镇中心A、B、C恰好位于等边三角形的三个顶点，在A、B、C之间铺设光缆连接，实线为所铺的路线，四种方案中光缆铺设路线最短的是（）A．B．C．D．4．（2020秋•东台市期中）一边上的中线等于这边的一半，此三角形一定是（）A．等边三角形B．有一角为钝角的等腰三角形C．直角三角形D．顶角是36°的等腰三角形5．（2021春•罗湖区校级期末）已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC 是等边三角形；④AB＝AO+AP．其中正确的是（）A．①③④B．①②③C．①③D．①②③④二．填空题（共3小题）6．（2021秋•淅川县期末）如图，两块完全一样的含30°角的直角三角板，将它们重叠在一起并绕其较长直角边的中点M转动，使上面一块三角板的斜边刚好过下面一块三角板的直角顶点C．已知AC＝4，则这两块直角三角板顶点A、A′之间的距离等于．7．（2020秋•韩城市期中）在△ABC中，∠A＝∠B＝60°，AB＝3，则BC等于．8．（2020秋•饶平县校级期末）如图，已知△ABC中高AD恰好平分边BC，∠B＝30°，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点且OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②△OPC是等边三角形；③AC＝AO+AP；④S△ABC＝S四边形AOCP．其中正确的为．（填序号）三．解答题（共6小题）9．如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；（2）若BC＝10，求△ODE的周长．10．（2018秋•盱眙县期中）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，过点D作DE∥AB交AC于点E．（1）求证：∠C＝∠CDE．（2）若∠A＝60°，试判断△DEC的形状，并说明理由．11．（2020秋•赣榆区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E在BC上，且AE＝BE．（1）求∠CAE的度数；（2）若点D为线段EC的中点，求证：△ADE是等边三角形．12．（2020秋•黄陂区期中）如图，已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE．（1）求证：BD＝CE；（2）若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度数．13．（2019秋•桐城市期末）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD．（1）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（2）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？14．（2019秋•滨海县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AE＝BE，D为EC中点．（1）求∠CAE的度数；（2）求证：△ADE是等边三角形．第06讲等边三角形的性质与判定【学习目标】1.了解等边三角形的有关概念，探索并掌握性质及判定方法。

等边三角形的判定和性质

证明:因为∠ABE+∠CBE=60°,∠CAD+∠ADC=60°,∠EBC=∠DAC,所以 ∠ABE= ∠ADC.因为CE∥AB,所以∠BEC=∠ABE.所以∠BEC=∠ADC.因为 BC=AC,∠EBC= ∠DAC,所以△BCE≌△ACD.所以CE=CD,∠BCE=∠ACD,即 ∠ECD=∠ACB=60°.所以△CDE是等边三角形.
【变式】直线AB,CD相交,求证:AB,CD只有一个交点.用反证法证明时,我们可先
假设AB,CD相交于两个交点O与O′, 那么过O,O′两点就有两条直线,这与
“过两点有且只有一条直线
”矛盾,所以假设不成立,则原命题成立.
1.(2018福建)如图,在等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为点D,点E在线段AD 上,∠EBC=45°,则∠ACE等于( A ) (A)15° (B)30° (C)45° (D)60°
等边三角形的判定方法的选择 (1)若已知三边关系,则考虑运用等边三角形的定义进行判定; (2)若已知三角关系,则根据“三个角都相等的三角形是等边三角形”进行判定; (3)若已知该三角形是等腰三角形,则可再寻找一个内角等于60°即可.
【变式】如图,已知点D是等边三角形ABC的边BC延长线上的一点,∠EBC=∠DAC, CE∥AB. 求证:△CDE是等边三角形.
知识点二等边三角形的有关性质【例2】如图,在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且DE∥AB,过点E作 EF ⊥DE,交BC的延长线于点F. (1)求∠F的度数; (2)若CD=2,求DF的长.
解:(1)因为△ABC为等边三角形,所以∠B=60°.因为DE∥AB,所以∠EDC=∠B= 60°.因为EF⊥DE,所以∠DEF=90°,所以∠F=90°-∠EDC=30°. (2)因为∠ACB=60°,∠EDC=60°,所以△EDC为等边三角形.所以ED=DC=2,因为∠DEF=90°,∠F=30°,所以DF=2DE=4.

等边三角形知识讲解

等边三角形（进阶知识讲解）【学习目标】1. 掌握等边三角形的性质和判定.2. 掌握含30°角的直角三角形的一个主要性质．3. 熟练运用等边三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．【要点梳理】要点一、等边三角形等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形.要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．要点二、等边三角形的性质等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.要点三、等边三角形的判定等边三角形的判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．要点四、含30°的直角三角形含30°的直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.【典型例题】类型一、等边三角形1、已知：如图，B 、C 、E 三点共线，ABC ∆，DCE ∆都是等边三角形，连结AE 、BD 分别交CD 、AC 于N 、M ，连接MN.求证：AE ＝BD ，MN ∥BE.【答案与解析】证明： ABC ∆，DCE ∆都是等边三角形∴BC ＝AC ，CE ＝CD ，∠1＝∠3＝60°∠1＋∠2＋∠3＝180°∴∠2＝60°∴ECA BCD ∠=∠在BCD ∆和ACE ∆中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CE CD ACE BCD AC BC （已证）∴△BCD ≌△ACE （SAS ）∴BD ＝AE （全等三角形对应边相等）54∠=∠（全等三角形对应角相等）在BMC ∆和ANC ∆中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠2154AC BC （已证）∴△BMC ≌△ANC （ASA ）∴MC ＝NC （全等三角形对应边相等）∵∠2＝60°∴△MCN 是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）∴∠6＝60°，∴∠6＝∠1∴MN ∥BE （内错角相等，两直线平行）【总结升华】本题应从等边三角形的性质出发，利用三角形全等证明AE ＝BD ；为证明MN ∥BE ，可先证明△MNC 为等边三角形，再利用角去转化证明.2、如图，△ABC 为等边三角形，延长BC 到D ，延长BA 到E ，使AE ＝BD ，连接CE 、DE.求证：CE ＝DE.【思路点拨】此题如果直接找含有CE 和DE 的三角形找不到，也不方便证∠ECD ＝∠EDC ，联想的全等三角形的性质，把原等边△ABC 扩展成大等边△BEF 后，易证△EBC ≌△EFD.【答案与解析】证明：延长BD 至F ，使DF ＝AB ，连接EF ∵△ABC 为等边三角形∴AB ＝BC, ∠B ＝60º∵AE ＝BD ，DF ＝AB∴AE ＋AB ＝BD ＋DF 即BE ＝BF∴△BEF 为等边三角形∴BE ＝EF, ∠F ＝60º在△EBC 与△EFD 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DF BC F B EF EB∴△EBC ≌△EFD∴EC ＝ED【总结升华】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，关键是在现有图形不能解决问题时，将原图补全成为有对称美感的等边三角形，对学生综合运用知识解答问题的能力要求较高.举一反三：【变式】如图所示，△ABC 是正三角形，△BDC 是顶角∠BDC ＝120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB 、AC 边于M 、N 两点，连接MN ．试探究线段CN 、BM 、MN 之间的关系，并加以证明．【答案】对于此类题，三条线段之间的关系一般是它们的和差关系，证明方法通常采用截长补短法．证明：如图所示，延长AC 至M 1，使CM 1＝BM ，连接DM 1．∵ △ABC 是正三角形，∴ ∠ABC ＝∠ACB ＝60°．∵ ∠BDC ＝120°，且BD ＝CD ，∴ ∠DBC ＝∠DCB ＝30°．∴ ∠ABD ＝∠ACD ＝90°．又∵ BD ＝CD ，BM ＝CM 1，∴ Rt △BDM ≌Rt △CDM 1(SAS)．∴ DM ＝DM 1，∠BDM ＝∠CDM 1，∴ ∠MDM 1＝∠MDC ＋∠CDM 1＝∠MDC ＋∠BDM ＝∠BDC ＝120°．又∵ ∠MDN ＝60°．∴ ∠M 1DN ＝∠MDN ＝60°．又∵ DM ＝DM 1，DN ＝DN ，∴ △MDN ≌△M 1DN(SAS)．∴ MN ＝M 1N ＝NC ＋M 1C ＝CN ＋BM ．类型二、含30°的直角三角形3、如图所示，∠A ＝60°，CE ⊥AB 于E ，BD ⊥AC 于D ，BD 与CE 相交于点H ，HD ＝1，HE ＝2，试求BD 和CE 的长．【答案与解析】解：∵BD ⊥AC 于D ，∠A ＝60°，∴∠ABD ＝90°－60°＝30°，在Rt △BEH 中，∠HEB ＝90°，∠EBH ＝30°．∴BH ＝2EH ＝4．同理可得，CH ＝2HD ＝2，∴BD ＝BH ＋HD ＝4＋1＝5．CE ＝CH ＋HE ＝2＋2＝4．【总结升华】已知条件中出现60°角与直角三角形并存时，应考虑到“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，进而把三角形中角与角的关系转化为边与边之间的关系，充分应用转化思想来解决问题．举一反三：【变式】如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 边上的点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为点E 、F ，∠BAC ＝120°．求证：12DE DF BC +=．【答案】证明：∵ 在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，∴ ∠B ＝∠C ＝1(180)302BAC ︒-∠=︒． ∵ DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴ 12DE BD =，12DF CD =． ∴ 12DE DF BC +=．4、如图所示，在等边△ABC 中，AE ＝CD ，AD 、BE 相交于点P ，BQ ⊥AD 于Q ，求证：BP ＝2PQ ．【思路点拨】(1)从结论入手，从要证BP ＝2PQ 联想到要求∠PBQ ＝30°．(2)不能盲目地用截长补短法寻找要证的“倍半”关系．本题适合用“两头凑”的方法，从结论入手找已知条件，即BP ＝2PQ ⇒∠PBQ ＝30°，另一方面从已知条件找结论，即由条件⇒△ACD ≌△BAE ⇒∠BPQ ＝60°⇒∠PBQ ＝30°，分析时要注意联想与题目有关的性质定理．【答案与解析】证明：∵ △ABC 为等边三角形，∴ AC ＝BC ＝AB ，∠C ＝∠BAC ＝60°．在△ACD 和△BAE 中，,AC AB C BAE CD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ACD ≌△BAE(SAS)．∴ ∠CAD ＝∠ABE ．∵ ∠CAD ＋∠BAP ＝∠BAC ＝60°，∴ ∠ABE ＋∠BAP ＝60°，∴ ∠BPQ ＝60°．∵ BQ ⊥AD ，∴ ∠BQP ＝90°，∴ ∠PBQ ＝90°－60°＝30°，∴ BP ＝2PQ ．【总结升华】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形外角的性质、含30°直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质，考查了学生综合运用知识解答问题的能力.【巩固练习】一.选择题1. 以下命题中，正确的是（）A. 等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离之和大于腰上的高B. 一腰相等的两个等腰三角形全等C. 有一角相等和底边相等的两个等腰三角形全等D. 等腰三角形的角平分线、中线和高共有7条或3条2．如图，B 、C 、D 在一直线上，△ABC 、△ADE 是等边三角形，若CE ＝15cm ，CD ＝6cm ，则 AC ＝（）cm A.9 B.8 C.7 D.103. 已知∠AOB ＝30°，点P 在∠AOB 的内部，1P 与P 关于OB 对称，2P 与P 关于OA 对称，则1P ，2P 与O 三点构成的三角形是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.视P 点的位置而定4. 如图，木工师傅从边长为90cm 的正三角形木板上锯出一正六边形木块，那么正六边形木板的边长为（）A.34cmB.32cmC.30cmD.28cm5. 已知△ABC 是等边三角形，D 是BC 边上的任意一点，连接AD 并作等边三角形ADE ，若DE ⊥AB ，则BD DC的值是（） A.12 B.23 C.1 D.326. 如图，A 、C 、B 三点在同一条直线上，△DAC 和△EBC 都是等边三角形，AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ，有如下结论：①△ACE ≌△DCB ；②CM ＝CN ；③AC ＝DN ．其中，正确结论的个数是（）A.3个B.2个C.1个D.0个二.填空题7. 如图，已知AB＝AC＝BC＝AD,則∠BDC＝_________.8．如图，在△ABC中，∠1＝∠2，∠EDC＝∠BAC，AE＝AF，∠B＝60°，则图中的线段: AF、BF、AE、CE、AD、BD、DC、DF中与DE的长相等的线段有条.9. 如图，已知ΔABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，DE垂直平分AC交BC于D，垂足为E，若DE＝2cm，则BC＝_____cm.10. 在等边三角形ABC所在平面内能找到个点P，使△PAB,△PBC,△PAC都是等腰三角形.11．如图，已知△ABC是等边三角形，点O是BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等边三角形的高为1，则OE＋OF的值为．12．如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两个动点，且总使AD＝BE，AE与CD 交于点F ，AG⊥CD 于点G ，则AFFG ＝．三.解答题13.已知△ABC 为正三角形，点M 是射线BC 上任意一点，点N 是射线CA 上任意一点，且BM ＝CN ，直线BN 与AM 相交于点Q ．下面给出了三种情况（如图①，②，③），先用量角器分别测量∠BQM 的大小，然后猜测∠BQM 是否为定值并利用其中一图证明你的结论．14. 已知△ABC 和△DEF 为等边三角形，点D 在△ABC 边AB 上，点F 在直线AC 上．(1)若点C 和点F 重合(如图所示)，求证AE ∥BC ；(2)若F 在AC 的延长线上(如图所示)，(1)中的结论是否成立，给出你的结论并证明．15. 数学课上，李老师出示了如下框中的题目.在等边三角形ABC 中，点E 在AB 上，点D 在CB 的延长线上，且ED ＝EC ,如图.试确定线段AE 与DB 的大小关系，并说明理由. D A B CEA B C D E F D A B C E 小明与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点E 为AB 的中点时，如图1，确定线段AE 与DB 的大小关系，请你直接写出结论：AE______DB （填“＞”,“＜”或“＝”）.（2）一般情况，证明结论如图2，过点E 作EF //BC ，交AC 于点F.（请你继续完成对以上问题（1）中所填写结论的证明）证明：【答案与解析】1. 【答案】D ；【解析】一般等腰三角形的角平分线有7条，等边三角形的角平分线有3条.2. 【答案】A ；【解析】证△ABD ≌△ACE ，AC ＝BC ＝BD －CD ＝CE －CD ＝15－6＝9cm .3. 【答案】C ；【解析】根据对称性，∠12POP ＝60°，且12OP OP OP ==.4. 【答案】C ；【解析】图中小三角形也是正三角形，且边长等于正六边形的边长，所以正六边形的周长是正三角形的周长的23，正六边形的周长为90×3×23＝180cm ，所以正六边形的边长是180÷6＝30cm ． 5. 【答案】C ；【解析】根据题意：若DE ⊥AB ，必有∠BDE ＝30°，而∠EDA ＝60°；故AD ⊥BC ；即BD＝DC ；故BD DC的值是1． 6. 【答案】B ；【解析】①②正确. 证△ACE ≌△DCB （SAS ），△EMC ≌△BNC （ASA ）.二.填空题7. 【答案】150°；【解析】设∠CBD ＝x ，∠BCD ＝y ，由题意∠ADB ＝60°＋x ，∠ADC ＝60°＋y ，△BCD中，x ＋y ＋60°＋x ＋60°＋y ＝180°,x ＋y ＝30°，所以∠BDC ＝150°.8. 【答案】3；【解析】由题意可得∠DEC ＝60°，△AFD ≌△AED ，易证△BFD 为正三角形，故BD ＝BF ＝FD ＝DE.9. 【答案】12；【解析】连接AD ，反复利用30°所对直角边等于斜边的一半.10.【答案】10；图1 图2【解析】如图所示：11.【答案】1；【解析】连接AO ，△ABO 的面积＋△ACO 的面积＝△ABC 的面积，所以OE ＋OF ＝等边三角形的高.12．【答案】12；【解析】证△CBD ≌△ACE ，∠BCD ＝∠CAE ，因为∠ACF ＋∠BCD ＝60°，∠CAE ＋∠ACF ＝∠AFG ＝60°，所以∠FAG ＝30°，所以AF FG ＝12. 三.解答题13.【解析】解：∠BQM 为定值．理由：如图①∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC＝∠C＝60°，AB ＝BC∵BM＝CN∴△ABM≌△BCN（SAS ）∴∠BAM＝∠CBN（全等三角形的对应角相等），∴∠BQM＝∠BAQ＋∠ABQ＝∠CBQ＋∠ABQ＝∠ABC＝60°即∠BQM 为定值．图②中：∠BQM＝∠ABN＋∠BAM∵△ABM≌△BCN∴∠BAM＝∠CBN∴∠BQM＝∠ABN＋∠BAM＝∠ABN＋∠CBN＝∠ABC＝60°图③中：∠BQM＝∠N＋∠NAQ∵△ABM≌△BCN，∴∠N＝∠M，且∠NAQ＝∠CAM，又∵∠ACB＝∠M＋∠CAM＝∠N＋∠NAQ，且∠BQM＝∠N＋∠NAQ，∴∠BQM＝∠ACB＝60°．14.【解析】证明：(1)如图所示，∵ △ABC 和△DEF 为等边三角形∴∠3＋∠1＝∠2＋∠3＝60°，∴∠1＝∠2．∴△AEF≌△BDC，∴∠4＝∠B＝∠ACB＝60°．∴ AE∥BC．(2)如下图中结论仍成立，过点F作FH∥CB交AB延长线于点H，∴∠1＝∠2＝60°，∴△AHF为等边三角形．由(1)知，可证△AEF≌△HDF，∴∠3＝60°，∴∠3＝∠ACB＝∠AFH．∴ AE∥BC．15.【解析】解：（1）＝（2）证明：在等边△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝AC＝BC ∵EF∥BC∴∠AEF＝∠AFE＝60°＝∠BAC，且∠CEF＝∠ECD，∴AE＝AF＝EF，∴AB－AE＝AC－AF，即BE＝CF.∵ED＝EC，∴∠EDB＝∠ECB，∠CEF＝∠EDB∵∠ABC＝∠EDB＋∠BED＝60°，∠ACB＝∠ECB＋∠FCE＝60°，∴∠BED＝∠FCE，∴△DBE≌△EFC∴DB＝EF，∴AE＝BD.。

等边三角形的性质及判定

A M C D B
2 如图,在△ABC 中,AB=AC, ∠A=120°,AB的垂直平分线 MN交BC于M,交AB于N, M 求证:CM=2BM
B N A
C
2、在Rt△ABC 中，如果∠BＣＡ＝９0° ， ∠A＝ 30 °，CD 是高，（1）BD=1，则BC、AB各等于多少；（2）求证：BD=1/2BC=1/4AB C 解（1）由已知可求得 ∠BＣD= 30 ° 于是在Rt△ADC 与Rt△BDC A D B 中用本定理得BC=2，AB=4 （2）在Rt△ADC 与Rt△BDC运用本定理 BD=1/2BC BC=1/2AB ∴ BD=1/2BC=1/4AB
等边三角形的性质:
名称
等边三角 B 形
图形
性三条边都相等
质
A
三个角都相等，且都为60°
C
三线合一轴对称图形，有三条对称轴
等边三角形的判定:
名称
等边三角 B 形
图形
判
定
三条边都相等的三角形
A
三个角都等于60°的三角形
C
有一个角等于60°的等腰
三角形
将两个含有30°的直角三角板如图摆放在一起你能借助这个图形,找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗?
要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户去种植,如果∠C＝90°∠A＝ 30°,要使这三家农户所得土地的大小和形状都相同,请你试着分一分,在图上画出来. A
┓
C
B
请你说一说这节课的收获和体验让大家与你一起分享？
教师寄语
愿你用勤奋的汗水浇灌智慧的花朵
例：如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC, 请问△ADE是等边三角形吗?试说明理由.

等边三角形人教版说课稿

等边三角形人教版说课稿一、教学目标本节课的教学目标旨在使学生掌握等边三角形的基本概念、性质及其判定方法。

通过对等边三角形的学习，培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力，同时提高学生解决几何问题的能力。

二、教学重点与难点1. 教学重点：- 等边三角形的定义及其性质。

- 等边三角形的判定定理。

- 等边三角形与其他几何图形的关系。

2. 教学难点：- 等边三角形的性质证明。

- 等边三角形在实际问题中的应用。

三、教学过程1. 引入新课- 通过回顾等腰三角形的性质，引导学生思考如果一个三角形的三条边都相等，它会有怎样的特性。

- 展示生活中的等边三角形实例，如足球图案、蜂巢结构等，激发学生的兴趣。

2. 概念讲解- 明确等边三角形的定义：三条边长度相等的三角形。

- 介绍等边三角形的性质：三个内角都相等，且每个角都是60度。

3. 性质证明- 利用已知的全等三角形判定方法，证明等边三角形的三个内角相等。

- 通过构造辅助线，证明等边三角形的高、中线、角平分线和中垂线的性质。

4. 判定方法- 介绍等边三角形的判定定理：如果一个三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是等边三角形。

- 通过例题演示如何应用判定定理解决具体问题。

5. 应用拓展- 探讨等边三角形在几何图形中的应用，如正六边形的构造。

- 讨论等边三角形在实际生活中的应用，如建筑设计、图案设计等。

6. 课堂练习- 设计针对性的练习题，帮助学生巩固等边三角形的性质和判定方法。

- 鼓励学生自主思考，提出问题并尝试解答。

7. 课堂总结- 回顾本节课所学的主要内容，强调等边三角形的性质和判定方法。

- 鼓励学生在课后继续探索等边三角形的其他性质和应用。

四、教学评价1. 过程评价：- 观察学生在课堂上的参与情况，了解学生对等边三角形概念的理解程度。

- 通过提问和小组讨论，评估学生对等边三角形性质证明的掌握情况。

2. 结果评价：- 通过课堂练习和课后作业，检查学生对等边三角形知识的掌握情况。

等边三角形

的度数.
B
C DA E
将两个含有30°的同样的三角尺如图摆放在一起是个什么图形，都有哪些性质？
定理
在直角三角形中,如果一个锐角等于
30°则它所对的直角边等于斜边的一
半。
几何语言:
A
Байду номын сангаас∵ ∠ ACB=90 °（在直角
30°
△ABC中） ,∠A＝30°
C┓
∴BC＝
1
AB
B
2
你还能用其它方法证明吗
实际应用
(三角形的一个外角,等于和不相邻的两内角的和).
′
∴CD= 1 2
AC=
1 2
×2a=a
(在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,则它所对
的直角边等于斜边的一半).
D
A
150
B
150
C
3、如图，在△ABC中， ∠ACB= 90°，BA的
垂直平分线交边CB于D。若AB=10，AC=5，
则图中等于 30°的角的个数为（B）
(1) △ AOB. △ BOC和△ AOC有什么关系请说明理由.
(2) 求∠ AOB, ∠ BOC, ∠ AOC
的度数.△ABC绕O旋转,
A
问要旋转多少度,就能和原来的三角形重合(只要
F OE
求说出一个旋转度数.)
B
D
C
例2：已知:等边△ABC中，DB
是AC边上的高，E是BC延长线
上一点，且DB=DE，求∠ E
比一比：看谁算的快
1.如图：在Rt△ABC中 ∠A=300,AB+BC=12cm 则AB=__８___cm Ｂ
３００
Ｃ
Ａ

等边三角形(基础)知识讲解

等边三角形（基础）【学习目标】1. 掌握等边三角形的性质和判定.2. 掌握含30°角的直角三角形的一个主要性质．3. 熟练运用等边三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．【要点梳理】要点一、等边三角形等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形.要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．要点二、等边三角形的性质等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.要点三、等边三角形的判定等边三角形的判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．要点四、含30°的直角三角形含30°的直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.【典型例题】类型一、等边三角形1、如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE=BD，求证：△ADE为等边三角形．【思路点拨】由条件可以容易证明△ABD≌△ACE，进一步得出AD=AE，∠BAD=∠CAE，加上∠DAE=60°，即可证明△ADE为等边三角形．【答案与解析】证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠ACB=60°，AB=AC，即∠ACD=120°，∵CE平分∠ACD，∴∠1=∠2=60°，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，又∠BAC=60°，∴∠DAE=60°，∴△ADE为等边三角形．【总结升华】本题考查了等边三角形的判定与性质，难度适中，关键找出判定三角形等边的条件．举一反三：【变式】等边△ABC，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P 上，使三角板绕P点旋转．如图，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状.【答案】解：∵PE⊥AB，∠B＝60°，因此直角三角形PEB中，BE＝12BP＝13BC＝PC，∴∠BPE＝30°，∵∠EPF＝60°，∴FP⊥BC，∵∠B＝∠C＝60°，BE＝PC，∠PEB＝∠FPC＝90°，∴△BEP≌△CPF，∴PE＝PF，∵∠EPF＝60°，∴△EPF是等边三角形．2、已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠ABC ＝60°，AD ＝CE ，求∠BPD 的度数.【答案与解析】证明：在ABC ∆中， AB ＝AC ，∠ABC ＝60°∴ABC ∆为等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）∴AC ＝BC ，∠A ＝∠ECB ＝60°在ADC ∆和CEB ∆中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=)()()(已知已证已证CE AD ECB A CB ACADC ∆≌CEB ∆（SAS ）∴21∠∠＝（全等三角形对应角相等）23DPB ∠∠∠＝＋（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）∴13DPB ACB ∠∠∠∠＝＋＝∴∠DPB ＝60°.【总结升华】这道题利用等边三角形每个角都是60°的性质，并借助全等三角形，和三角形的外角性质使问题得以解决.举一反三：【变式】△ABC 为正三角形，点M 是射线BC 上任意一点，点N 是射线CA 上任意一点，且BM=CN ，BN 与AM 相交于Q 点，∠AQN 等于多少度？【答案】解：证法一．∵△ABC 为正三角形∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=BC在△AMB 和△BNC 中，△AMB≌△BNC（SAS ），∵∠ANB=∠C+∠NBC=60°+∠NBC，∠MAN=∠BAC﹣∠MAB=60°﹣∠MAB，又∵∠NBC=∠MAB（全等三角形对应角相等），∴∠ANB+∠MAN=120°，又∵∠ANQ+∠MAN+∠AQN=180°，∴∠AQN=180°﹣∠ANB﹣∠MAN，∠AQN=180°﹣（∠ANB+∠MAN），=180°﹣120°=60°，∠BOM=∠AQN=60°（全等三角形对应角相等）．证法二．∵△ABC为正三角形∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=BC在△AMB和△BNC中∴△AMB≌△BNC（SAS）∵∠ANB=∠C+∠NBC=60°+∠NBC∠MAN=∠BAC﹣∠MAB又∵∠NBC=∠MAB（全等三角形对应角相等）∴∠ANB+∠MAN=120°又∵∠ANQ+∠MAN+∠AQN=180°∴∠AQN=180°﹣∠ANB﹣∠MAB∠AQN=180°﹣（∠ANB+∠MAN）=180°﹣120°=60°3、（1）如图，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC，求∠AEB的大小；（2）如图，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕着点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠），求∠AEB的大小．【思路点拨】（1）由于△O CD 和△OAB 都是等边三角形，可得OD ＝OC ＝OB ＝OA ，进而求出∠BDA 与∠CAD 的大小及关系，则可求解∠AEB．（2）旋转后，△BOD 与△AOC 仍然保持全等，∠ACO ＝∠BDO ，∠AED ＝∠ACO ＋∠DCO ＋∠CDB ＝∠BDO ＋60°＋∠CDB ＝60°＋∠CDO ＝120°，从而得到∠AEB 的值.【答案与解析】证明：（1）∵O 是AD 的中点，∴AO ＝DO又∵等边△AOB 和等边△COD∴AO ＝DO ＝CO ＝BO ，∠DOC ＝∠BOC ＝∠AOB ＝60°∴∠CAO ＝∠ACO ＝∠BDO ＝∠DBO ＝30°∴∠AEB ＝∠BDO ＋∠CAO ＝60°（2）∵∠BOD ＝∠DOC ＋∠BOC ，∠AOC ＝∠AOB ＋∠BOC∴∠BOD ＝∠AOC在△BOD 与△AOC 中，BO AO BOD AOC DO CO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BOD ≌△AOC （SAS ）∴∠ACO ＝∠BDO∵∠AED ＝∠ACO ＋∠DCO ＋∠CDB＝∠BDO ＋60°＋∠CDB ＝60°＋∠CDO ＝60°＋60°＝120°∴∠AEB ＝180°－∠AED ＝60°.【总结升华】这道题利用等边三角形每个角都是60°的性质，并借助全等三角形，和三角形的外角性质使问题加以解决.举一反三：【变式】如图，已知△ABC 和△CDE 都是等边三角形，AD 、BE 交于点F ，求∠AFB 的度数.【答案】解：∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形，∴AC ＝BC ，CE ＝CD ，又∵∠ACB ＋∠BCD ＝∠ECD ＋∠BCD ，即∠ACD ＝∠BCE ，∴△ACD ≌△BCE ，∴∠CAD ＝∠CBE ，设AD 与BC 相交于P 点，在△ACP 和△BFP 中，有一对对顶角，∴∠AFB ＝∠ACB ＝60°．类型二、含30°的直角三角形4、如图，E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OB ，ED ⊥OA ，C 、D 是垂足，连接CD 交OE于点F ，若∠AOB=60°．（1）求证：△OCD 是等边三角形；（2）若EF=5，求线段OE 的长.【答案与解析】解：（1）∵点E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OB ，ED ⊥OA ，C 、D 是垂足，∴DE=CE ，在Rt △ODE 和Rt △OCE 中，DE CE OE OE =⎧⎨=⎩∴Rt △ODE ≌Rt △OCE （LH ）∴OD=OC ，∵∠AOB=60°，∴△OCD 是等边三角形；（2）∵△OCD 是等边三角形，OF 是角平分线，∴OE ⊥DC ，∵∠AOB=60°，∴∠AOE=∠BOE=30°，∵∠ODF=60°，ED ⊥OA ，∴∠EDF=30°，∴DE=2EF=10，∴OE=2DE=20.【总结升华】本题考查等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，30°的直角三角形的性质等，熟练掌握性质和定理是解题的关键。

初中数学等边三角形的计算公式大全

初中数学等边三角形的计算公式大全等边三角形定理：等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。

等边三角形与圆的有关计算公式h=asin60°=1/2√3r=1/2acot(π/3)=1/2atan(π/6)=1/6√3aR=1/2acsc(π/3)=1/2asec(π/6)=1/3√3aS=1/4nacot(π/3)=1/4√3aSr=πr=1/12πa表示内切圆面积SR=πR=1/3πa表示外接圆面积知识延伸：等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合(三线合一)初中数学正方形定理公式关于正方形定理公式的内容精讲知识，希望同学们很好的掌握下面的内容。

正方形定理公式正方形的特征：①正方形的四边相等；②正方形的四个角都是直角；③正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；正方形的判定：①有一个角是直角的菱形是正方形；②有一组邻边相等的矩形是正方形。

希望上面对正方形定理公式知识的讲解学习，同学们都能很好的掌握，相信同学们会取得很好的成绩的哦。

初中数学平行四边形定理公式同学们认真学习，下面是老师对数学中平行四边形定理公式的内容讲解。

平行四边形平行四边形的性质：①平行四边形的对边相等；②平行四边形的对角相等；③平行四边形的对角线互相平分；平行四边形的判定：①两组对角分别相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③对角线互相平分的四边形是平行四边形；④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

上面对数学中平行四边形定理公式知识的讲解学习，同学们都能很好的掌握了吧，相信同学们会从中学习的更好的哦。

初中数学直角三角形定理公式下面是对直角三角形定理公式的内容讲解，希望给同学们的学习很好的帮助。

直角三角形的性质：①直角三角形的两个锐角互为余角；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；③直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）；④直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形的判定：①有两个角互余的三角形是直角三角形；②如果三角形的三边长a、b、c有下面关系a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）。

等边三角形的十个充要条件

三角形是等边三角形有许多充要条件，这些充要条件的形式往往借助三角函数，数列以及向量等语言，并且形式整齐，充满趣味性和思辨性，下面加以整理归纳．为方便叙述，下面涉及的均为ABC ，,,A B C 为ABC 的内角，,,a b c 分别为三内角,,A B C 的对边，因为条件的必要性容易验证，故只分析说明对应条件的充分性．１．ABC 是等边三角形的充要条件是,,A B C 成等差数列，,,a b c 成等比数列．分析由,,A B C 成等差数列，得3B π=，由余弦定理得2221cos 22a c b B ac +-==，又2b ac =，可得2()0a c -=，即a c =，则a b c ==，ABC 是等边三角形．２．ABC 是等边三角形的充要条件是,,A B C 成等差数列，111,,a b c也成等差数列．分析由,,A B C 成等差数列，得3B π=，又2221cos 22a c b B ac +-==，再由211b a c =+，消去b ，得2222()ac a c ac a c +-=+，即222222[()][()2]4a c ac a c ac a c +-++=，则2222222()()60a c ac a c a c +++-=，2222[()3][()2]0a c ac a c ac +++-=，得a c =．故a b c ==，ABC 是等边三角形．３．ABC 是等边三角形的充要条件是sin sin sin a b c B C A==．分析由正弦定理及比例性质，得1a b c a b c b c a b c a++====++，则a b c ==．４．ABC 是等边三角形的充要条件是AB BC BC CA CA AB ==．分析移项有()0BC AB CA -=，即()()0AC AB AB AC -+=，则||||AB AC =，同理，||||BC AC =，ABC △是等边三角形．５．ABC 是等边三角形的充要条件是()0ABACBC AB AC +=，12AB ACAB AC =．分析()0ABACBC AB AC +=表示角A 的平分线垂直于BC ，故AB AC =，又cos A =12||||AB AC AB AC = ， 3A π∠=，所以ABC 是等边三角形．６． ABC 是等边三角形的充要条件是ABC 的重心与外接圆圆心重合．分析如图１，设ABC 的重心与外接圆的圆心均为O ，因为OA OC =，且E 为AC 的中点，所以BE AC ⊥；同理，CD AB ⊥，AF BC ⊥．在Rt ABF 与Rt ACF 中，AF 为公共边，AF BC ⊥，BF FC =得AB AC =，同理可得AB BC =，故可知ABC 是等边三角形．７．ABC 是等边三角形的充要条件是存在点O ，使得0OA OB OC ++=，且 ||||||0OA OB OC ==≠．分析由0OA OB OC ++=，得OA OB OC +=-，所以2222()2OA OB OC OA OB OA OB+==++，又222OA OB OC ==，得212OA OB OA =-；同理可得212OA OC OA OB OC =-=．于是2222()2AB OB OA OB OA OB OA=-=+-，2222()2AC OC OA OC OA OC OA =-=+-，得AB AC =，同理AB BC =．故ABC 是等边三角形．８．ABC 是等边三角形的充要条件是cot cot cot A B C ++=分析由已知可得222cot cot cot 2(cot cot cot cot cot cot )3A B C A B A C B C +++++=，由在斜三角形中有tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，可得cot cot cot cot cot cot 1A B A C B C ++=①，代入前式得222cot cot cot 1A B C ++=②，②－①后可以整理得到222(cot cot )(cot cot )(cot cot )0A B A C B C -+-+-=，于是图１cot cot cot 3A B C ===，则3A B C π===，则ABC 是等边三角形．９．ABC 是等边三角形的充要条件是1(1cos )(1cos )(1cos )8A B C ---=．分析由余弦定理，可得222()1cos 22a b c a A bc bc---=，同理可得21cos 2b B ac -，21cos 2c C ab -，三式相乘可得，2221(1cos )(1cos )(1cos )2228a b c A B C bc ac ab ---⨯⨯=，当且仅当a b c ==时等号成立，于是可得ABC 是等边三角形．１０．ABC 是等边三角形的充要条件是cos()cos()cos()1A B B C C A ---=．分析因为cos(),cos(),cos()A B B C C A ---均在区间(1,1]-内，故只有cos()cos()cos()1A B B C C A -=-=-=时，cos()cos()cos()1A B B C C A ---=成立，于是A B C ==，故ABC 是等边三角形．。

判定三角形形状的十种常用方法

判定三角形形状的十种常用方法三角形是数学和几何学中非常基础且重要的概念。

根据三角形的边长和角度，我们可以将其划分为不同的形状。

本文将介绍十种常用的判定三角形形状的方法。

边长比较法：对于任意三角形ABC，若a² + b² = c²（其中a、b、c分别代表三边长度），则三角形ABC为直角三角形，c为斜边。

角度测量法：如果一个三角形中有一个角是90度，那么这个三角形就是直角三角形。

此外，如果三个角都是60度，那么它是等边三角形；如果两个角是45度，那么它是等腰直角三角形。

边长比例法：对于三角形ABC，如果三边长度满足a:b:c = 1:√3:2，那么它是一个30-60-90度的特殊三角形。

中线长度法：在任意三角形ABC中，如果一条中线（连接一个顶点和对边中点的线段）等于该三角形的一半，则这个三角形是直角三角形。

角平分线法：如果一个三角形的角平分线、中线和高重合，那么这个三角形是等腰三角形。

余弦定理法：利用余弦定理，可以通过三角形的三边长度来计算其角度，从而判断其形状。

正弦定理法：正弦定理可以用来计算三角形的边长，通过边长关系可以进一步判断三角形的形状。

面积法：对于直角三角形，其面积等于两直角边乘积的一半；对于等边三角形，其面积等于边长的平方乘以√3再除以4。

向量法：在向量表示中，如果两个向量的点积为零，则这两个向量垂直。

因此，如果三角形两边的向量点积为零，则这个三角形是直角三角形。

代数法：通过代数运算，如求解二次方程等，可以判断三角形的形状。

例如，在三角形ABC 中，如果a² + b² - c² = 0，则三角形ABC是直角三角形。

这十种方法各有其特点和应用场景，可以灵活选择和使用。

在解决实际问题时，可以根据已知条件和需求选择合适的方法来判断三角形的形状。

等边三角形课件

三条边都相等的三角形
三角
A
三个角都相等的三角形
形
B
C 有一个角等于60°的等腰三
角形
问题3：能否根据等腰三角形的性质和判定猜测出等边三角形的性质和判定？
类比学习：
图形等腰三角形（腰不一定等于底）
等边三角形
定义两边相等的三角形三边都相等的三角形
性轴对称图形（1条）轴对称图形（3条）
质
两个底角相等
三个角都是60º
三线合一
三线合一
关系等边三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.
类比学习：
满足什么条件的三角形是等腰三角形?
方法1:有两边相等的三角形是等腰三角形.(定义)
方法2:有两个角相等的三角形是等腰三角形.(定理)
结合边和角来看,会有什么新的结论吗?
满足什么条件的三角形
是等边三角形？
三条边都相等的三角形是等边三角形(定义)
三个角都相等的三角形是等边三角形
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
探究性质
已知：△ABC中，AB=AC=BC；求证：∠A=∠B=∠C=60°
证明：∵ AB=AC
A
∴ ∠B=∠C
∵ AC=BC ∴ ∠A=∠B
B
C
∴ ∠A=∠B=∠C
∵ ∠A+∠B+∠C=180°
∴ ∠A=∠B=∠C=60°
探究判定一
1、已知：△ABC中，∠A=∠B=∠C；求证：△ABC是等边三角形
等边三角形
知识回顾
名称图形
性质
等
腰
A 两腰相等
三
角
等边对等角
形