全等三角形的判定定理汇总
全等三角形五个判断定理
全等三角形五个判断定理全等三角形是初中数学中的重要内容，它可以帮助学生更好地理解三角形的基本性质。
而全等三角形的判断定理，更是解决相关问题的关键。
以下是全等三角形的五个判断定理的详解，共计600字。
一、SAS定理两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。
这个定理简称为“SAS”定理。
在应用时，只需证明两个三角形的两边及夹角相等，即可判定它们全等。
二、ASA定理两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。
这个定理简称为“ASA”定理。
在应用时，只需证明两个三角形的两个角及夹边相等，即可判定它们全等。
三、SSS定理三边对应相等的两个三角形全等。
这个定理简称为“SSS”定理。
在应用时，只需证明两个三角形的三边相等，即可判定它们全等。
这个定理相对直观，也是初中阶段最常用的全等三角形判定方法之一。
四、HL定理斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
这个定理简称为“HL”定理，仅适用于直角三角形。
在应用时，只需证明两个直角三角形的斜边和一条直角边相等，即可判定它们全等。
五、AA定理两角对应相等的两个三角形，如果它们是同一类型的三角形（如同为锐角三角形或同为钝角三角形），则这两个三角形全等。
这个定理简称为“AA”定理，也被称为角的对应定理。
需要注意的是，这个定理仅在同一类型的三角形之间适用。
以上就是全等三角形的五个判断定理，每个定理都有其独特的应用场景和证明方法。
在实际问题中，可以根据具体情况选择合适的定理进行证明。
这些定理不仅可以帮助我们解决数学问题，还可以培养我们的逻辑思维能力和空间想象能力。
全等三角形判定经典
11.2三角形全等的判定ABC DEF（1）三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS ”。
表示方法：如图所示，在△ABC 和△DEF 中，AB DEAC DF BC EF=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEF （SSS ）。
例1. 如图所示，AB ＝CD ，AC ＝DB 。
求证：△ABC ≌△DCB 。
A BCD分析：由已知可得AB ＝CD ，AC ＝DB ，又因为BC 是两个三角形的公共边，所以根据SSS 可得出△ABC ≌△DCB 。
证明：在△ABC 和△DCB 中，∵⎩⎨⎧AB ＝CD AC ＝DB BC ＝CB，∴△ABC ≌△DCB （SSS ）评析：证明格式：①点明要证明的两个三角形；②列举两个三角形全等的条件（注意写在前面的三角形，条件也放在前面），用大括号括起来；③条件按照“SSS ”顺序排序；④得出结论，并把判断的依据注在后面。
“ASA ”。
表示方法：如图所示，在△ABC 和△DEF 中，B E BC EF C F∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABC ≌△DEF （ASA ）。
例2. 如图所示，AB ∥CD ，AF ∥DE ，BE ＝CF ，求证：AB ＝CD 。
ABEFCD分析：要证明AB ＝CD ，由于AB 、CD 分别是△ABF 和△DCE 的边，可尝试证明△ABF ≌△DCE ，由已知易证：∠B ＝∠C ，∠AFB ＝∠DEC ，下面只需证明有一边对应相等即可。
事实上，由BE ＝CF 可证得BF ＝CE ，由ASA 即可证明两三角形全等。
证明：∵AB ∥CD ，∴∠B ＝∠C （两直线平行，内错角相等） 又∵AF ∥DE ，∴∠AFC ＝∠DEB （同上） ∴∠AFB ＝∠CED （等角的补角相等）又∵BE ＝CF ，∴BE －EF ＝CF －EF ，即BF ＝CE 在△ABF 和△DCE 中，()()()B C BF CE AFB CED ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩已证已证已证∴△ABF ≌△DCE （ASA ）∴AB ＝CD （全等三角形对应边相等）角边”或“AAS ”。
三角形全等判定的定理
三角形全等判定的定理【知识】三角形全等判定的定理1. 引言三角形是几何学中最基本的图形之一，其性质和定理广泛应用于各个领域。
三角形全等判定的定理是其中一项重要的定理，在解决几何问题和证明中起到了关键作用。
本文将深入探讨三角形全等判定的定理，从简单到复杂，由浅入深地介绍相关概念和原理，并分享个人对这一定理的理解和观点。
2. 定义和基本概念（1）三角形：指由三条线段组成的图形。
根据边的长度和角的大小关系，可以划分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形等不同类型。
（2）全等：指两个或多个图形在形状和大小上完全相同。
通常用符号"≡"表示。
3. 三角形全等判定的定理三角形全等判定的定理是指根据既定条件，判断两个三角形是否全等的规则。
以下是常用的三角形全等判定定理：（1）SSS（边-边-边）判定条件：如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。
（2）SAS（边-角-边）判定条件：如果两个三角形的两边和夹角分别相等，则这两个三角形全等。
（3）ASA（角-边-角）判定条件：如果两个三角形的两角和夹边分别相等，则这两个三角形全等。
（4）AAS（角-角-边）判定条件：如果两个三角形的两角和一边角分别相等，则这两个三角形全等。
（5）RHS（直角边-斜边-直角边）判定条件：如果两个直角三角形的一条直角边和斜边分别相等，则这两个三角形全等。
4. 全等判定定理的证明全等判定定理的证明通常采用推理和几何构造的方法。
下面以SSS判定条件为例进行证明：（1）假设有两个三角形ABC和DEF，且满足边AB≡DE，边BC≡EF，边AC≡DF。
（2）通过构造，将三角形ABC和三角形DEF分别向同一方向平移，使得点A与点D重合。
（3）由于平移保持线段长度不变，所以线段AB和线段DE重合，线段BC和线段EF重合，线段AC和线段DF重合。
（4）根据重合的定义，可以得出三角形ABC与三角形DEF完全重合，即二者全等。
通过类似的推理和几何构造过程，可以证明其他全等判定定理。
三角形的全等性质
三角形的全等性质三角形是几何学中的基本形状之一，它有许多重要的性质和定理。
其中，全等性质是三角形的重要性质之一，指的是具有相等边长和相等内角的两个三角形是全等的。
本文将介绍三角形全等性质的定义、判定方法，以及全等性质的应用。
一、全等性质的定义对于两个三角形ABC和DEF，如果它们的对应边长相等，即AB=DE，BC=EF，AC=DF，并且对应角度也相等，即∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，那么我们可以说三角形ABC与三角形DEF是全等的。
全等性质可以用符号≌表示，即ABC≌DEF。
二、全等性质的判定为了判断两个三角形是否全等，我们可以利用下列常用的判定方法：1. SSS判定法（边-边-边）如果两个三角形的三条边分别相等，那么它们是全等的。
2. SAS判定法（边-角-边）如果两个三角形的一条边和与其相邻的两个角分别相等，那么它们是全等的。
3. ASA判定法（角-边-角）如果两个三角形的两个角和它们的夹边分别相等，那么它们是全等的。
4. RHS判定法（斜边-直角边-斜边）如果两个直角三角形的斜边和一个直角边分别相等，那么它们是全等的。
通过以上四种判定方法，我们可以准确地判断两个三角形是否全等。
三、全等性质的应用全等性质在解决几何问题中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 三角形的构造利用全等性质，我们可以根据已知条件构造全等的三角形。
例如，已知两条边和夹角大小，我们可以通过SAS判定法构造出全等的三角形。
2. 证明几何定理在证明几何定理时，我们常常利用全等性质来推导结论。
通过证明两个全等三角形的对应边和对应角相等，可以得到一些重要的几何定理。
3. 求解三角形的未知量当我们已知一些三角形的边长和角度大小时，利用全等性质可以求解出三角形其他未知量，如另外两个角度的大小、三角形的面积等。
4. 判定图形的全等除了三角形，全等性质在判定其他图形的全等时也是十分有用的。
我们可以利用全等性质来判断两个四边形、两个多边形甚至其他更复杂的图形是否全等。
8全等三角形 三角形全等的判定定理(一)
全等三角形三角形全等的判定定理（一）一、一周知识概述1、全等三角形的概念能够完全重合的两个图形叫做全等形．能完全重合的两个三角形叫作全等三角形．全等三角形中互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角，互相重合的顶点叫做对应顶点．全等三角形用符号“≌”表示，表示全等，读作“全等于”，注意对应顶点写在对应位置上．将两个三角形的顶点同时按1→2→3→1的顺序轮换，可写出所有对应边和对应角相等的式子．如图，△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DFE．读作“△ABC全等于△DFE”．2、全等三角形的性质（1）全等三角形的对应边相等；（2）全等三角形的对应角相等.3、全等三角形的判定定理：边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．简记为“边角边”或“SAS”．角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．简记为“角边角”或“ASA”．二、重难点知识归纳1、全等三角形的性质.2、三角形全等的判定定理.3、两个判定定理的应用.三、典型例题剖析例1、（1）如下图，△ABC≌△CDA，找出对应边和对应角.（2）下图中，点O左右两边对应的三角形都能够重合，请找出全等的三角形.解：（1）∵△ABC与△CDA重合，互相重合的顶点是A和C，B和D，C和A；∴对应顶点是A和C，B和D，C和A；对应边为AB和CD，AC和CA，BC和DA；对应角为∠CAB和∠ACD，∠ABC和∠CDA，∠ACB和∠CAD.（2）△FAO与△EBO；△DFO与△CEO，△DAO与△CBO全等.例2、如下图，△ABC≌△ADE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，试求∠DFB和∠DGB的度数.解：∵△ABC≌△ADE，∴∠DAE=∠BAC.∴∠DAE=∠BAC=(∠EAB－∠CAD)=(120°－10°)=55°.在△ABF中，∠AFB=180°－(∠FAB＋∠B)= 180°－(55°＋10°＋25°)=90°.∴∠DFB=180°－∠AFB=180°－90°=90°.又∵∠DFG=180°－∠DFB=180°－90°=90°.在Rt△DFG中，∠DGB=90°－∠D=90°－25°=65°.∴∠DFB和∠DGB的度数分别为90°和65°.例3、如图，AE是∠BAC的平分线，AB=AC.（1）若D是AE上任意一点，求证：△ABD≌△ACD.（2）若D是AE反向延长线上一点，结论还成立吗？试证明你的猜想.例4、如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D.（1）求证：AE=CD；（2）若AC=12cm，求BD的长.例5、如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB．求证：AC=AE＋CD．在线测试1、全等三角形是（）错误！未找到引用源。
全等三角形的判定3-角边角和角角边(asaaas)定理
例３、已知：点D在AB上，点E在AC上，
AB=AC，∠B=∠C。
求证： ＡＤ＝ＡＥ
A
证明：在△ABE和△ACD中 ∠A=∠A（公共角） D
∵ AB=AC（已知） ∠B=∠C（已知） B
∴ △ABE≌△ACD(ASA) ∴ＡＤ＝ＡＥ
E C
１、要使下列各对三角形全等，需要增加 什么条件？
∠ A=∠ D , ∠ B=∠ F, _________;
三角形全等的判定(3)--角边角 和角角边定理(ASA、ＡＡＳ）
A E
B
FC
判定两个三角形全等有哪些方法? 边边边（ＳＳＳ）
三边对应相等的两个三角形全等
边角边(SAS)
有两边和它们夹角对应相等的 两个三角形全等。
如图,小明不慎将一块 三角形模具打碎为两 块,他是否可以只带其 中的一块碎片到商店 去,就能配一块与原来 一样的三角形模具吗? 如果可以,带哪块去合 适? 你能说明其中理由吗?
∠ A=∠ D, A B =D E , _________;
练一练
３、如图，要测量河两岸相对的两点A，B 的距离，可以在AB的垂线BF上取两点 C，D，使BC=CD，再定出BF的垂线 DE，使A， C，E在一条直线上，这时 测得DE的长就是AB的长。为什么？
A
B CD F
E
练习２
如图,AB⊥BC, AD⊥DC, ∠1=∠2.求证AB=AD
D
∠1=∠2 （已知）
∠D=∠C（已知）
A
1 2
B
AB=AB（公共边）
∴△ABD≌△ABC （AAS）
C
∴AC=AD （全等三角形对应 边相等）
本节课我们学习了判定两个三角形 全等的两种方法：
全等三角形的判定定理
全等三角形的判定定理1、边边边定理:有三边对应相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS ”例1、工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法如下:如图,∠AOB 是一个任意角,在边OA ,OB 上分别取OM =ON ,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与M ,N 重合.过角尺顶点C 的射线OC 便是∠AOB 的平分线.为什么?例2:已知,∠BAC (如图3,用直尺和圆规作∠BAC 的平分线AD ,说出该作法正确的理由。
作法:1、A2、分别以E 、F 为圆心,大于12EF 为半径作圆弧交于角内一点3、过点A 、D 作射线AD射线AD 就是所求的∠BAC 的平分线2、边角边定理:如果两个三角形的两边和它们的夹角对应相等,那么这两个三角形全等.这个事实可以简写为“边角边”或“SAS ”.探究:SAS 中的那个角不是夹角可以吗?由“两边及其中一边的对角对应相等”的条件能判定两个三角形全等吗?为什么? 不一定全等,现在进一步来说明。
我们可以通过画图回答,还可以通过实验回答。
把一长一短两根细木棍的一端用螺钉铰合在一起,使长木棍的另一端与射线BC 的端点B 重合。
适当调整好长木棍与射线BC 所成的角后,固定住长木棍,把短木棍摆起来(图13.2—7.AB图13.2—7中的△ABC 与△ABD 满足两边及其中一边对角相等的条件,但△ABC 与△ABD 不全等。
这说明,有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。
线段垂直平分线的定义?经过某一条线段的中点,并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线(中垂线。
垂直平分线,简称“中垂线”。
线段中垂线的画法:3、角边角定理:如果两个三角形的两个角和它们的夹边对应相等,那么这两个三角形全等.这个事实可以简写为“角边角”或“ASA ”4、角角边定理:两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS ”.例3、如图,在△ABC 中,ED垂直平分AB , 1 若BD =10,则AD= 。
直角三角形全等的判定
直角三角形全等的判定
直角三角形全等是指两个直角三角形的对边，对应边和
斜边分别相等。
在进行直角三角形全等的判定时，可以使用两种不同的方法，即SAS（边-角-边）和SSS（边-边-边）定理。
1. SAS定理：
SAS定理是指两个直角三角形的一条边、夹角和另一条边分别
相等，则这两个直角三角形全等。
具体而言，需要满足以下条件：
a) 两个直角三角形的一个角为直角（90度）。
b) 两个直角三角形的一条边相等。
c) 两个直角三角形的夹角（不是直角的角）相等。
d) 两个直角三角形的另一条边相等。
2. SSS定理：
SSS定理是指两个直角三角形的三条边分别相等，则这两个直
角三角形全等。
具体而言，需要满足以下条件：
a) 两个直角三角形的一个角为直角（90度）。
b) 两个直角三角形的三条边分别相等。
需要注意的是，在判定直角三角形全等时，必须要确定
其中一个角为直角。
因为如果两个直角三角形的所有边长相等，但没有一个角为直角，那么这两个三角形并不一定全等。
在解题时，需要根据给定的条件，判断所给的直角三角
形是否全等。
常见的判定方法包括测量边长和角度、利用勾股定理判断是否满足直角条件等。
判断过程中需要小心操作，确保测量准确、计算无误。
总之，直角三角形的全等判定是一种基本的几何判断方法，可以通过SAS定理或SSS定理来进行。
在解题时，要注意给定的条件，准确判断边长和角度是否相等，以确定两个直角三角形是否全等。
全等三角形考点汇总
全等三角形全等三角形的概念：经过翻转、平移、旋转后，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 全等三角形的性质：1. 对应边和对应角完全相等2. 能完全重合的顶点叫做对应顶点3. 全等三角形的周长和面积相等（反之不成立）4. 对应边上的高对应相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等 三角形全等判定定理1. 三边对应相等的三角形是全等三角形（SSS 边边边）2. 两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形（SAS 边角边)3. 两角及其夹边对应相等的三角形是全等三角形（ASA 角边角)4. 两角及其一角的对边对应相等的三角形是全等三角形（AAS 角角边)5. 在一对直角三角形中，斜边及一条直角边对应相等是全等三角形（HL) 备注：1）判定三角形全等必须有一组对应边相等2）三角形全等中，两边对应相等，一角，必须是夹角才全等 全等三角形的证明思路SAS HL SSS AAS SAS ASAAAS ASA AAS ⎧→⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎪→⎩⎪⎪→→⎧⎪⎪→⎧⎪⎪⎨⎨⎪→⎨⎪⎪⎪⎪⎪→⎩⎩⎪⎪→⎧⎪⎨→⎪⎩⎪⎩找夹角已知两边找直角找另一边边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一边专题一考点一 全等图形识别略定义：经过翻转 平移可以完全重合的图形才是全等图形考点二 利用全等图形求正方形网格中角度之和例题1：（2021·全国·八年级专题练习）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3-∠2=（ ）A．30°B．45°C．60°D．135°+= 2.（2022·山东·济南市槐荫区教育教学研究中心二模）如图，在44⨯的正方形网格中，求αβ______度．3.（2020·江苏省灌云高级中学城西分校八年级阶段练习）如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中，∠1+∠2+∠3=________度．考点三全等三角形的概念略考点四全等三角形的性质1.（2022·四川省南充市白塔中学八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（-12，5），过点A作AB∠x轴于B，C是x轴负半轴上一动点，D是y轴正半轴上一动点，若始终保持CD=OA，且使∠ABO与∠OCD全等，则点D坐标为__________________．2.（2022·云南昭通·八年级期末）如图，把∠ABC沿线段DE折叠，使点B落在点F处；若∥，∠A=70°，AB=AC，则∠CEF的度数为（）AC DEA．55°B．60°C．65°D．70°3.（2022·广西·西林县民族初中八年级期末）如图，△ABC∠∠ADE，若∠BAE=135°，∠DAC=55°，那么∠CFE的度数是_________．4.（2022·辽宁·东北育才学校七年级期中）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=16．点P从A点出发沿A—C—B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B—C—A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以2和6的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE∠l于E，QF∠l于F．若要△PEC 与△QFC全等，则点P的运动时间为_______．专题二 全等三角形的判定（证明） 考点一 用SAS 证明三角形全等1.（2022·四川省南充市白塔中学八年级阶段练习）如图，点B 、C 、E 、F 共线，AB =DC ，∠B =∠C ，BF =CE ．求证：∠ABE ∠∠DCF ．考点二 用ASA 证明三角形全等1.（2022·广西百色·二模）如图，在△ABC 和△DCB 中，∠A ＝∠D ，AC 和DB 相交于点O ，OA ＝OD ．(1)AB ＝DC ； (2)△ABC ∠∠DCB ．2.（2022·贵州遵义·八年级期末）如图，已知AB DE ∥，ACB D ∠=∠，AC DE =．(1)求证：ABC EAD ≅．(2)若60BCE ∠=︒，求BAD ∠的度数．考点三 用AAS 证明三角形全等1.（2022·福建省福州第一中学模拟预测）如图，已知A ，F ，E ，C 在同一直线上，AB ∠CD ，∠ABE =∠CDF ，AF =CE ．求证：AB =CD ．考点四 用SSS 证明三角形全等1.（2021·河南省实验中学七年级期中）如图，在线段BC 上有两点E ，F ，在线段CB 的异侧有两点A ，D ，且满足AB CD =，AE DF =，CE BF =，连接AF ；(1)B 与C ∠相等吗？请说明理由．(2)若40B ∠=︒，20∠=DFC °，AF 平分BAE ∠时，求BAF ∠的度数．2.（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在四边形ABCD 中，CB AB ⊥于点B ，CD AD ⊥于点D ，点E ，F 分别在AB ，AD 上，AE AF =，CE CF =．(1)若8AE =，6CD =，求四边形AECF 的面积；(2)猜想∠DAB ，∠ECF ，∠DFC 三者之间的数量关系，并证明你的猜想．考点五 用HL 证明三角形全等1.（2022·四川省南充市白塔中学八年级阶段练习）如图，AB =CD ，AE ∠BC 于E ，DF ∠BC 于F ，且BF =CE ．(1)求证AE=DF；(2)判定AB和CD的位置关系，并说明理由．2.（2022·安徽安庆·八年级期末）如图，AD，BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D=90°．(1)求证：∠ACB∠∠BDA；(2)若∠CAB=54°，求∠CAO的度数．2.（2022·江西·永丰县恩江中学八年级阶段练习）如图，在∠ABC中，BC=AB，∠ABC=90°，F 为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．(1)求证：Rt∠ABE∠Rt∠CBF；(2)若∠CAE=30°，求∠ACF的度数．全等三角形综合和常见全等模型汇总1.全等三角形中的平移模型几种常见全等三角形基本图形（平移）1.如图所示，AB∥DE，AC∥DF，BE=CF，求证AB=DE.2.如图，点O是线段AB的中点,OD∥BC且OD=BC，已知∠ADO=34°，∠B=67°，求∠A的度数．2.全等三角形中的轴对称模型1.如图，过等边△ABC的顶点A作线段AD，若∠DAB=20°，则∠COD的度数是（）A,100°B,80°C,60°D,40°2.在等边△ABC,点E是AB上的动点，点E与点A，B不重合，点D在CB的延长线上，且EC=ED。
三角形全等的判定定理
何思中学： 何思中学：谢琼
1、全等三角形的性质： 、全等三角形的性质： a、对应角相等 、 b、对应边相等 、 己学的全等三角形的判定： 己学的全等三角形的判定： a、边角边 、 b、角边角 、
２、动脑筋： 动脑筋：
如图： 如图：在△ABC和△A′B′C′中，如果 和 中 BC= B′C′。∠A=∠A′，∠B=∠B′，那 。 ∠ ， ∠ ， 么，△ABC和△A′B′C′是全等三角形 和 是全等三角形 吗？
3、角角边定理： 、角角边定理： 有 两角和其中一角的对边对应相等 的两个三角形全等（ 的两个三角形全等（可简写 成“角角边”或“AAS”）。 角角边” ）。
4、学习致用： 、学习致用： 练习：如图， ∥ ， 练习：如图，BE∥DF， ∠B=∠D，AE=CF，那么， ∠ ， ，那么， 全等吗？ △ADF和△CBE全等吗？ 和 全等吗
A E F B C D
谢 谢， 再 见！
A E F B C D
5、例题：己知如图， 、例题：己知如图， △ABC≌△A′B′C′，BE，B′E′分别是 ≌ ， ， 分别是 对应边AC和 边上的高， 对应边 和A′C′边上的高，那么， 边上的高 那么， BE和B′E′相等吗？ 相等吗？ 和 相等吗
B
B′
A
E
C
A′
≌ ∴AB=A′B′ ∠A=∠A ′( 全等三角形的对应角相等 ) ∠ 又∵BE⊥AC,B′E′⊥A′C′ ⊥ ⊥ A O ∴∠AEB=∠A′E′B′=90 ∴∠ ∠ 在△AEB和△A′E′B′中 和 中 ∠AEB=∠A′E′B′ ∠ ∠A=∠A′ ∠ A′ AB=A′B′ ) ∴△AEB≌△A′E′B′( ≌ AAS 全等三角形的对应边相等 ) ∴BE=B′E′(
全等三角形判定公式
全等三角形判定公式
一种常用的全等三角形判定公式是SSS（边边边）判定法。
如
果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。
这意味着
如果三角形ABC和三角形DEF的对应边长分别满足AB=DE, BC=EF, AC=DF，那么这两个三角形就是全等的。
另一种常用的全等三角形判定公式是SAS（边角边）判定法。
如果两个三角形的一对对应边和夹角分别相等，则这两个三角形全等。
这意味着如果三角形ABC和三角形DEF的满足AB=DE, ∠B=∠E, BC=EF，那么这两个三角形就是全等的。
还有一种全等三角形判定公式是ASA（角边角）判定法。
如果
两个三角形的一对对应角和夹边分别相等，则这两个三角形全等。
这意味着如果三角形ABC和三角形DEF的满足∠A=∠D, BC=EF,
∠B=∠E，那么这两个三角形就是全等的。
这些是常用的全等三角形判定公式，通过这些公式我们可以判
断两个三角形是否全等，从而在解决几何问题时能够更加准确地应
用相似三角形的性质。
全等三角形的判定定理
一、边边边（SSS）学习全等三角形判定法则时，第一条就是边边边。
内容：它们的夹角分别相等的两个三角形全等。
理解：若给出三条线段的长度(满足三角形三边关系)，即可确定出的三角形形状，大小。
若给出三条线段长度AB=c，BC=a，AC=b，确定过程如下：①先确定一边AB；②分别以AB为圆心，分别做半径为b，a长的圆，交于C点；③最后连接AC，BC。
这样三角形的大小，形状就都被确定出来了。
二、边角边（SAS）内容：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。
理解：若确定两条公共端点线段的长度，及它们的夹角，即可确定出的三角形形状，大小。
若给出AB=c BC=a ∠B=α，确定过程如下：①画∠EAD=α；②在射线AE上截取AC=c，在射线AD上截取AB=c；③连接BC。
这样，三角形的.大小形状同样被确定了。
三、角边角（ASA）内容：两角和他们的夹边分别相等的两个三角形全等。
理解：若给出三角形的两个角的大小和它们的夹边的长度了，即可确定出的三角形形状，大小。
若有AB=c，∠CAB=α，∠CBA=β，确定过程如下：①先确定一边AB=c；②在AB同旁画∠DAB=α，∠EBA=β，AD，BE 交于点C。
这样，三角形的大小形状同样被确定了。
四、角角边（AAS）内容：两边分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。
理解：若给出三角形的两个角的大小和其中一个角对边的长度了，即可确定出的三角形形状，大小。
若有AB=c，∠CAB=α，∠ACB=β，确定过程如下：由三角形的内角和为180度可得出剩下一角∠CBA的度数，这样，利用角边角的思路即可确定三角形形状大小。
相关定理：三角形内角和为180度五、斜边，直角边（HL）内容：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
(HL)理解：若确定一个三角形为直角三角形，同时得到其一个直角边和斜边的长度，即可确定出三角形的形状大小。
若确定三角形为直角三角形，还得到其一直角边和斜边，则可勾股定理得出剩下一边，再通过SSS或SAS即可确定三角形形状大小。
直角三角形判定全等的方法
直角三角形判定全等的方法
要判定两个直角三角形是否全等，需要比较它们的三个角度和三个边
长是否相等。
以下是判定方法：
1.角度相等判定法。
直角三角形的两个锐角相加必须等于90度，所以如果两个直角三角
形的两个角度分别相等，那么这两个三角形全等。
2.边长相等判定法。
如果两个直角三角形的两条直角边长度分别相等，那么这两个三角形
全等。
3.边角边相等判定法。
如果两个直角三角形的一条直角边和两条与其相邻的边长度分别相等，那么这两个三角形全等。
注意：这种情况也可以写成边边角相等判定法。
4.正弦定理和余弦定理。
正弦定理和余弦定理可以用来判断两个不全等的三角形是否相似或全等。
但如果两个三角形中有一个是直角三角形，那么用这种方法判断是否
全等会显得复杂，不利于实际应用。
全等三角形的判定3--角边角和角角边(ASA AAS)定理
A
B
A′
B′
通过实验你发现了什么结论？
角边角定理 如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等, 那么这两个三角形全等. (ASA) A′ A
B′
B
C
C′
在△ABC和△ A'B'C'中 ∠A= ∠A' AB= A'B' ∠B= ∠B' ∴ △ABC≌△ A'B'C'
｛
(ASA)
(2) (1)
怎么办？可以 帮帮我吗？
A
D
C
E
B
先任意画出一个△ABC，再画一个 △A/B/C/，使A/B/=AB，∠A/ =∠A，∠B/ =∠B 把画好的△A/B/C/剪下，放到 △ABC上，它们全等吗？
作法： 1、作A/B/＝AB； 2、在 A/B/的同旁作∠DA/ B/ =∠A ，
∠EB/A/ =∠B， A/ D与B/E交于点C/。
C′
B
C
B′
在△ABC和△ A'B'C'中
｛
∠A= ∠A' ∠B= ∠B' BC= B'C' ∴ △ABC≌△ A'B'C'
(AAS)
两角和它们的夹边对应相等的两个三角 形全等，简写成“角边角”或“ASA”。
（ASA）
（AAS）
两角和其中一角的对边对应相等的两个 三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”
利用“角边角”可知,带第(2)块去， 可以配到一个与原来全等的三角 形玻璃。
在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E ， BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？能利用角边 角条件证明你的结论吗？
三角形全等的判定定理
1、什么叫全等三角形？
ห้องสมุดไป่ตู้
能完全重全的两个三角形叫 作全等三角形 2、全等三角形有哪 些性质？ 全等三角形的对应边相等 全等三角形的对应角相等 例如：如右图△ABC≌△A'B'C',有
AB＝A'B', BC＝B'C' ,AC＝A'C' ∠A＝∠A',∠B＝∠B',∠C＝∠C'
B C B' A A'
C'
探究
如果在△ABC和
，那么△ABC与
中，
，
，
全等吗？
(1)如果△ABC 和△A＇B＇C＇的位置关系如下左图， △ABC 和 △ A＇B＇C＇ 能像右图那样重合吗?
A(A')
B(B')
C(C')
探究
（2）如果 那么 和 和 的位置关系如图3-26， 全等吗？
探究
（3）如果 那么 和 和 的位置关系如图3-27， 全等吗？
证明 因为 所以 AB⊥AC， ∠DAC＝∠EAB＝90° 在△ADC和△AEB中, 因为 AD＝AE, ∠DAC＝∠EAB,（已证） AB＝AC, 所以 △ADC＝△AEB. (SAS)
图3-29
课堂练习
2、 在图３-３３中，已知ＡＢ＝ＡＣ，其中Ｅ，Ｆ分别 是ＡＣ，ＡＢ的中点。小明说：“△AEB≌△AFC.”小兰说： “ΔBFC≌ΔCEB.”你认为谁说的对？ 答： 两人说的都对。 因为 AB=AC，E，F分别是AC，AB的中点。 所以 ∠ABC＝∠ACB AE=AF BF=CE 在△AEB和△AFC中, 因为 AE＝AF（已证） ∠A＝∠A（公共角） AB＝AC 所以 因为 △AEB≌△AFC.（SAS） 在ΔBFC和ΔCEB中, BF＝CE(已证) ∠ABC＝∠ACB (已证) BC＝CB(公共边) ΔBFC≌ΔCEB.（SAS）
数学中考总复习(一轮复习)第17讲全等三角形
第17讲全等三角形【考点总汇】一、全等三角形的性质及判定定理 1•性质(1) _________________________ 全等三角形的对应边，对应角 。
(2) ________________________________ 全等三角形的对应边的中线 _______________________ ，对应角平分线 _____________________________________ ，对应边上的高 __________ ，全等三角 形的周长 _________ ，面积 _________ 。
2•判定定理(1)三边分别 _________ 的两个三角形全等(简写“边边边”或“ _______ ”)。
微拨炉：已知两边和一角判定三角形全等时，没有“ SSA ”定理，即不能错用成“两边及一边对角相等的两个三角形全等”。
二、角的平分线1•性质：角的平分线上的点到角的两边的距离 ___________ 。
2•判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在 ____________ 。
3•三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离 微拨炉： 1•三角形的角平分线是一条线段，不是射线。
2•角的平分线的性质定理和判定定理互为逆定理。
注意分清题设和结论。
高频考点1、全等三角形的判定与性质 【范例】如图，在△ ABC 中，AB=CB ，■ ABC =90，D 为AB 延长线上一点，点 E 在BC 边上, 且 BE 二 BD ，连接 AE 、DE 、DC 。
(2)两边和它们的夹角分别________ 的两个三角形全等(简写“边角边”或 ”) (3)两角和它们的夹边分别________ 的两个三角形全等(简写“角边角”或”)(4)斜边和一条直角边分别 的两个直角三角形全等(简写“斜边、直角边”或 ”)(1)求证：△ ABE ◎△ CBD(2)若• CAE =30 ［求• BDC 的度数D得分要领：判定全等三角形的基本思路1•已知两边：（1）找夹角（SAS） ; （2）找直角（HL或SAS） ; （3）找第三边（SSS）。
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一、全等三角形判定定理：
1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)
在△ABC和△DEF中
AB=DEBC=EFCA=FD∴△ABC≌△DEF（SSS）
2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)
在△ABC与△DEF中
AC=DF
∠C=∠F
BC=EF
∴△ABC≌△DEF（SAS）
3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)
在△ABC和△DEF中
∠A=∠D（已知）
AB=DE（已知）
∠B=∠E（已知）
∴△ABC≌△DEF（ASA）
4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)
在△ABC和△DFE中
∠A=∠D ,
∠C=∠F
AB=DE
∴△ABC≌△DFE(AAS)
5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)
Rt△ABC和Rt△A′B′C′中
AB=AB (直角边)
BC = B′C′（斜边）
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）
二、全等三角形的性质：
1、全等三角形的对应角相等。
2、全等三角形的对应边、对应中线、对应高、对应角平分线相等。