三角形全等的判定条件

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判定全等三角形的五种方法

判定全等三角形的五种方法全等三角形是指具有相同形状和相等边长的三角形。

判定两个三角形是否全等是数学中的一个重要问题。

下面将介绍判定全等三角形的五种方法。

方法一：SSS判定法（边边边）SSS判定法是指通过比较两个三角形的三条边是否相等来判定其是否全等。

如果两个三角形的三条边长度相等，则可以判断它们是全等三角形。

方法二：SAS判定法（边角边）SAS判定法是指通过比较两个三角形的两条边和夹角是否相等来判定其是否全等。

如果两个三角形的一边和夹角分别相等，则可以判断它们是全等三角形。

方法三：ASA判定法（角边角）ASA判定法是指通过比较两个三角形的两个角和夹边是否相等来判定其是否全等。

如果两个三角形的两个角和夹边分别相等，则可以判断它们是全等三角形。

方法四：AAS判定法（角角边）AAS判定法是指通过比较两个三角形的两个角和非夹边的对应边是否相等来判定其是否全等。

如果两个三角形的两个角和非夹边的对应边分别相等，则可以判断它们是全等三角形。

方法五：HL判定法（斜边和直角边）HL判定法是指通过比较两个直角三角形的斜边和直角边是否相等来判定其是否全等。

如果两个直角三角形的斜边和直角边分别相等，则可以判断它们是全等三角形。

通过以上五种方法，我们可以准确地判定两个三角形是否全等。

这些方法都是基于几何学中的一些定理和公理推导而来，经过严谨的数学证明，可以确保判定结果的准确性。

需要注意的是，在判定全等三角形时，我们需要确保给定的条件足够，即要求已知的边长、角度等信息能够满足相应的判定条件。

如果给定的信息不足够，或者不满足判定条件，那么就无法准确地判定两个三角形是否全等。

判定全等三角形的方法还可以用于解决一些实际问题，例如在建筑设计、图形测量等领域。

通过判定三角形是否全等，可以确保设计和测量的准确性，提高工作效率。

总结起来，判定全等三角形的五种方法分别是SSS判定法、SAS判定法、ASA判定法、AAS判定法和HL判定法。

这些方法都是基于几何学中的定理和公理推导而来，通过比较边长、角度等信息，可以准确地判定两个三角形是否全等。

全等直角三角形的判定

全等直角三角形的判定要点一：判定直角三角形全等的一般方法；由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.要点二：判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理。

在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.【典型例题】类型一、直角三角形全等的判定——“HL”例1. 判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（）（2）一个锐角和斜边对应相等；（）（3）两直角边对应相等；（）（4）一条直角边和斜边对应相等．（）【答案】（1）全等，“AAS”；（2）全等，“AAS”；（3）全等，“SAS”；（4）全等，“HL”.【解析】理解题意，画出图形，根据全等三角形的判定来判断.【总结升华】直角三角形全等可用的判定方法有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.举一反三：【变式】下列说法中，正确的画“√”；错误的画“×”，并举出反例画出图形.（1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．（）（2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．（）（3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等．（）【答案】（1）√；（2）×；在△ABC和△DBC中，AB＝DB，AE和DF 是其中一边上的高，AE＝DF（3）×. 在△ABC和△ABD中，AB＝AB，AD＝AC，AE为第三边上的高，例2.如图AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．求证：AF平分∠BAC．【思路点拨】若能证得AD＝AE，由于∠ADB、∠AEC 都是直角，可证得Rt△ADF≌Rt△AEF，而要证AD＝AE，就应先考虑Rt△ABD与Rt△AEC，由题意已知AB＝AC，∠BAC是公共角，可证得Rt△ABD≌Rt△ACE．【答案与解析】证明：在Rt△ABD与Rt△ACE中∴Rt△ABD≌Rt△ACE(AAS)∴AD＝AE(全等三角形对应边相等)在Rt△ADF与Rt△AEF中∴Rt△ADF≌Rt△AEF(HL)∴∠DAF＝∠EAF(全等三角形对应角相等)∴AF平分∠BAC(角平分线的定义)【总结升华】条件和结论相互转化，有时需要通过多次三角形全等得出待求的结论.例3、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE 是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD ⊥BC交CF的延长线于D.（1）求证：AE＝CD；（2）若AC＝12图片，求BD的长.【答案与解析】（1）证明：∵DB⊥BC，CF⊥AE，∴∠DCB＋∠D＝∠DCB＋∠AEC＝90°．∴∠D＝∠AEC．又∵∠DBC ＝∠ECA ＝90°，且BC ＝CA ，∴△DBC ≌△ECA （AAS ）．∴AE ＝CD ．（2）解：由（1）得AE ＝CD ，AC ＝BC ，∴△CDB ≌△AEC （HL ）∴BD ＝EC ＝21BC ＝21AC ，且AC ＝12． ∴BD ＝6cm ．【总结升华】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件。

(完整版)全等三角形证明方法(最新整理)

全等三角形的证明方法一、三角形全等的判定：（1）三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)；（2）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS) ；（3）有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA) ；（4）有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) ；（5）直角三角形全等的判定：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL).二、全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等；（2）全等三角形的周长相等、面积相等；（3）全等三角形的对应边上的高对应相等；（4）全等三角形的对应角的角平分线相等；（5）全等三角形的对应边上的中线相等；三、找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；（3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。

三角形全等的证明中包含两个要素：边和角。

①积极发现隐含条件：公共角对顶角公共边②观察发现等角等边:等边对等角同角的余角相等同角的补角相等等角对等边等角的余角相等等角的补角相等③推理发现等边等角:图1:平行转化图2 :等角转化图3:中点转化图4 :等量和转化图5:等量差转化图6:角平分线性质转化图7:三线合一转化图8:等积转化图9:中垂线转化图10:全等转化图11:等段转化四、构造辅助线的常用方法：1、关于角平分线的辅助线:当题目的条件中出现角平分线时，要想到根据角平分线的性质构造辅助线。

角平分线具有两条性质：①角平分线具有对称性；②角平分线上的点到角两边的距离相等。

关于角平分线常用的辅助线方法：（1）截取构造全等:如下左图所示，OC是∠AOB的角平分线，D为OC上一点，F为OB上一点，若在OA上取一点E，使得OE=OF，并连接DE，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。

全等三角形的判定方法五种证明

全等三角形的判定方法五种证明方法一：SSS判定法（边边边判定法）该方法基于全等三角形的定义，即三角形的三边相等。

假设有两个三角形ABC和DEF，若AB=DE，BC=EF，AC=DF，则可以得出两个三角形全等。

证明：假设有两个三角形ABC和DEF，且已知AB=DE，BC=EF，AC=DF。

通过图形可以发现，若容器DAB将图形DEF旋转并平移后完全重合于ABC，则两个三角形全等。

因此，通过旋转和平移操作，将DEF旋转至直线AC上的点F与C匹配，同时将点F移动至点C。

由于线段DE和线段AC相等，而由已知条件可知线段DF与线段AC相等，所以线段DC也与线段AC相等。

因此，可以得出点C与点D重合，即三角形DEF重合于三角形ABC，证明了两个三角形全等。

方法二：SAS判定法（边角边判定法）该方法基于全等三角形的定义，即当两个三角形的两边和夹角分别相等时，它们全等。

假设有两个三角形ABC和DEF，若AB=DE，角A=角D，BC=EF，则可以得出两个三角形全等。

证明：假设有两个三角形ABC和DEF，已知AB=DE，角A=角D，BC=EF。

根据已知条件可以得出角D与角A相等，以及线段DE与线段AB相等。

通过这两个已知条件可以得出点D与点A重合，即三角形DEF与三角形ABC重合，证明了两个三角形全等。

方法三：ASA判定法（角边角判定法）该方法基于全等三角形的定义，即当两个三角形的两角和一边分别相等时，它们全等。

假设有两个三角形ABC和DEF，若角A=角D，角B=角E，AB=DE，则可以得出两个三角形全等。

证明：假设有两个三角形ABC和DEF，已知角A=角D，角B=角E，AB=DE。

根据已知条件可以得出角D与角A相等，角E与角B相等，以及线段AB与线段DE相等。

通过这三个已知条件可以得出三角形DEF与三角形ABC完全重合，证明了两个三角形全等。

方法四：HL判定法（斜边和高判定法）该方法基于全等三角形的定义，即当两个三角形的斜边和高分别相等时，它们全等。

不能判定全等三角形的条件

不能判定全等三角形的条件要判断两个三角形是否全等，需要满足以下条件：1.三边对应相等（边边边法则）：两个三角形的三条边分别对应相等，即边长相等。

若三边对应相等，则可以判断两个三角形全等。

2.两边对应相等且夹角相等（边角边法则）：如果两个三角形的两边对应相等且夹角相等，即两边长度和夹角大小相等，则可以判断两个三角形全等。

3.两角对应相等且边对应相等（角边角法则）：如果两个三角形的两角对应相等且边对应相等，即两角的大小和两边的长度相等，则可以判断两个三角形全等。

这些条件是判定两个三角形全等的基本条件，但同时需要注意一些特殊情况和限制条件：1. SAS（边角边）法则只适用于非直角三角形，对于直角三角形需要使用其他法则进行判断。

2. SSS（边边边）法则适用于任何三角形，但要注意两个三角形的边对应相等。

3. AAA（角角角）法则不能用于判定全等三角形，因为只知道三个角相等并不能确定三角形的形状和大小。

4.在判定全等三角形时，两个三角形的对应边和对应角要一一对应，并且对应相等。

5.在给定的信息条件下，可能存在不止一个解，需要根据具体题目情况进行判断。

除了以上基本条件外，还有一些特殊情况和实际应用需要注意：1.直角三角形：对于直角三角形，可以通过两边长度相等和一个角为90度来判断全等。

2.等腰三角形：对于等腰三角形，可以通过两边对应相等和一个角对应相等来判断全等。

3.三角形的旋转和镜像：两个三角形的形状可以相同但是位置不同，需要注意在进行判断时要考虑旋转和镜像的可能性。

4.实际应用：全等三角形的判断在建筑设计、地理测量、工程建设等领域中常常会用到，在计算和实际情况中需注意判断条件和实际应用的结合。

总之，判断两个三角形是否全等需要根据不同的条件和限制情况进行综合判断。

在实际问题中，可以根据已知条件和问题的要求来选择合适的法则进行判断，并注意特殊情况和实际应用的考虑。

5种判定三角形全等的方法

5种判定三角形全等的方法判定三角形全等的方法有很多种，下面我将介绍其中五种常见的方法。

方法一：SSS全等法SSS全等法是指当两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形全等。

例如，如果三角形ABC的三条边与三角形DEF的三条边分别相等，即AB=DE，BC=EF，AC=DF，则可以判定三角形ABC全等于三角形DEF。

方法二：SAS全等法SAS全等法是指当两个三角形的两条边和夹角分别相等时，这两个三角形全等。

例如，如果三角形ABC的边AC和边BC分别与三角形DEF的边DF和边EF相等，且夹角∠ABC等于夹角∠DEF，则可以判定三角形ABC全等于三角形DEF。

方法三：ASA全等法ASA全等法是指当两个三角形的两个夹角和一条边分别相等时，这两个三角形全等。

例如，如果三角形ABC的两个夹角∠BAC和∠ABC分别等于三角形DEF的两个夹角∠EDF和∠DEF，且边AC等于边DF，则可以判定三角形ABC全等于三角形DEF。

方法四：AAS全等法AAS全等法是指当两个三角形的两个夹角和一条边的对边比例分别相等时，这两个三角形全等。

例如，如果三角形ABC的两个夹角∠BAC和∠ABC分别等于三角形DEF的两个夹角∠EDF和∠DEF，且边AC与边DF的对边比例相等，则可以判定三角形ABC全等于三角形DEF。

方法五：HL全等法HL全等法是指当两个三角形的一条斜边和两个直角边分别相等时，这两个三角形全等。

例如，如果三角形ABC的斜边BC和直角边AB、AC分别等于三角形DEF的斜边EF和直角边DE、DF，则可以判定三角形ABC全等于三角形DEF。

这五种判定三角形全等的方法在实际应用中经常被使用。

通过观察和比较三角形的边长、夹角以及比例关系，可以准确判定两个三角形是否全等。

这在几何学中具有重要的意义，不仅可以用于解决实际问题，还可以推导出其他几何性质和定理。

需要注意的是，在判定三角形全等时，要保证所给的条件足够，不能漏掉关键信息。

三角形全等的判定(SAS)

D
例1
已知: 如图,AC=AD ,∠CAB=∠DAB. 求证: △ACB ≌ △ADB.
C
证明: △ACB ≌ △ADB. 这两个条件够吗?
A
B
还要什么条件呢? 还要一条边
D
例1已知:
证明:
如图,AC=AD ,∠CAB=∠DAB. 求证: △ACB ≌ △ADB.
C
在△ACB 和 △ADB中 AC = A D (已知)
3.如图，要证△ACB≌ △ADB ，至少选用哪些条件可
证得△ACB≌ △ADB △ACB≌ △ADB
C
A S B AB=AB ∠CBA= ∠ DBA BC=BD D S A
作业：
1、一张试卷 2、笔记补充完整
谢谢！
三角形全等的判定定理
SAS
我们学过哪几种判定三角形全等的方法？
1、全等三角形概念：三条边对应相等，三个角对应相等。 2、全等三角形判定条件（一）三边对应相等的两个三角形全等。简称“边边边”或“SSS”
问题:如图有一池塘。要测池塘两端A、B的距离，可无法直接达到，因此这两点的距离无法直接量出。你能想出办法来吗？
要证△BOD≌ △COE需添加什么条件?
A
△BOD≌ △COE
D E
O
S
A
S
B
C
OB=OC ∠BOD= ∠ COE OD=OE
3.如图，要证△ACB≌ △ADB ，至少选用哪些条件才可以？
证得△ACB≌ △ADB △ACB≌ △ADB
C
A S A
S B AB=AB ∠CAB= ∠ DAB AC=AD D
△ABD≌ △ACD
D B S A S AB=AC C

13.2.4三角形全等的判定(角边角或角角边)

用符号语言表达为：
B E ∵BC EF C F
在△ABC和△DEF中，
A
D
B
\
C
E
\
F
练习
∴ △ABC≌△DEF (A.S.A.)
例1、已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和 CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C。求证： △ABE≌△ACD
A
证明：在△ABE和△ACD中 ∠A=∠A（公共角） ∵ AB=AC（已知）
C
A
O
B
D
探究2
在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E ， BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？
A D
C E B
F
探究反映的规律是：
有两角和其中一个角的对边分别对应相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或 “A.A.S.”）
用数学符号表示
在△ABC和△A`B`C`中 ∠A=∠A` A
例2.如图，已知AB=AC，∠ADB= ∠AEC，求证：△ABD≌△ACE
证明：∵ AB=AC， ∴ ∠B= ∠C（等边对等角） ∵ ∠ADB= ∠AEC， AB=AC，
A
∴ △ABD≌△ACE（A.A.S.）
B
D
E
C
练习：
1.如图,AB⊥BC, AD⊥DC, ∠1=∠2.求证AB=AD
2：如图，已知∠ABC＝∠D， ∠ACB＝∠CBD判断图中的两个三角形是否全等，并说明理由．
不全等。因为虽然有两组内角相等，且BC＝BC，但BC不都是两个三角形两组内角的夹边，所以不全等。
作业：
1.如图已知∠ABC＝∠DCB， ∠ACB＝ ∠DBC，求证：△ABC≌△DCB， AB=DC

全等三角形的判定方法五种例题

全等三角形的判定方法五种例题三角形是初中数学学习中的重要内容之一，而全等三角形又是其中比较基础且重要的一部分。

那么，如何判断两个三角形是否全等呢？我们可以从以下5个方法入手。

第一种方法：角角角（AAA）判定法。

当两个三角形的对应角度相等时，就可以判断它们是全等的。

例如：若在两个三角形中角A、角B、角C分别对应相等，则这两个三角形就全等。

第二种方法：边角边（AAS）判定法。

当两个三角形的两边和夹角分别相等时，就可以判断它们是全等的。

例如：若在两个三角形中，两边AB、AC相等，并且夹角A的大小也相等，则这两个三角形就全等。

第三种方法：角边角（ASA）判定法。

当两个三角形的一对角和对应边相等，且另外一对角也相等时，就可以判断它们是全等的。

例如：若在两个三角形中，角A、边BC和角C分别对应相等，并且角B的大小也相等，则这两个三角形全等。

第四种方法：直角边（HL）判定法。

当两个直角三角形的一条直角边和另外一条边相等时，就可以判断它们是全等的。

例如：若在两个三角形中，直角边AB、边AC的长度分别相等，并且三角形ABC还有一个相等的直角，则这两个三角形就全等。

第五种方法：全等多边形拼凑法。

将一个三角形分割成两个或多个小三角形，然后将这些小三角形重新拼凑成另一个三角形。

如果这个三角形和另一个给定的三角形重合，则它们是全等的。

例如：将一个三角形ABC划分成两个小三角形，分别是三角形ABE和三角形AEC，然后将它们重新拼凑成三角形FDC，如果三角形FDC和另一个给定的三角形重合，则这两个三角形就全等。

在实际操作时，我们可以根据题目所给条件，选择一种或多种判定方法，来判断两个三角形是否全等。

因为不同的题目所给条件不同，因此我们要灵活掌握这些判定方法，并且要根据具体情况加以分析和判断。

只有将这些方法掌握好，才能在解题中灵活应用，提高我们的解题能力。

全等三角形的判定条件

我们已经认识了图形的平移、旋转、翻折，这是图形的三种基本变换。图形经过这样的变换变换前后的图形全等
能够完全重合的三角形叫做全等三角形.
A
D
B
C
E
F
记作:△ABC≌△DEF
性质:全等三角形的对应边相等;
全等三角形的对应角相等;
做一做
如图，以直线l为对称轴，画出∆ABC的对称图形，并指出它们的对应顶点、对应边和对应角。 l D A 若∠A =60°, ∠B =80°
⑴ 有两个角对应相等， ⑵ 有两条边对应相等， ⑶ 有一条边、一个角对应相等，
一角和这角的邻边
C1 C
A1
B1
AБайду номын сангаас
B
试一试
只有两组对应元素相等（边或角）两个三角形一定全等吗？
想想会有几种可能的情况？
⑴ 有两个角对应相等， ⑵ 有两条边对应相等， ⑶ 有一条边、一个角对应相等，
一角和这角的对边
A D
B
E
C
F
练一练
(课本P61第3题)
3. 如图，点D是∆ABC内一点， ∠BAC=90°，
AB=AC, 将∆ABD绕点A逆时针旋转90 °,点D
旋转至点E，则∆ABD ≌ ∆ACE ， AD=
BD= CE .
A
AE ,
E
B
D
C
课外作业
P61 练习第1、2、3题预习课本 P62－65
(课本P61第1题)
1. 如图,将△AOB绕点O旋转180°，得到△COD 这时△AOB≌△ COD。这两个三角形的对应边是 AO与 CO ，OB与 OD ， BA与 DC ；对应角是：∠AOB与∠ COD ，∠OBA与∠ ODC ， ∠BAO与∠ DCO 。

三角形全等的判定条件

三角形全等的判定条件
全等三角形判定条件(六种)是：
1、定义法：两个完全重合的三角形全等。

2、SSS：三个对应边相等的三角形全等。

3、SAS：两边及其夹角对应相等的三角形全等。

4、ASA：两角及其夹边对应相等的三角形全等。

5、AAS：两角及其中一角的对边对应相等的三角形全等。

6、HL：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

经过翻转、平移、旋转后，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，而该两个三角形的三条边及三个角都对应相等。

全等三角形指两个全等的三角形，它们的三条边及三个角都对应相等。

三角形全等的判定

三角形全等的判定+性质+辅助线技巧三角形全等的判定+性质+辅助线技巧在初中三角形问题集中体现在“全等”和“相似”两大问题上，非常考验大家的解题能力、思维能力、耐性与定力。

有时证不出来，急不可耐、恨它恨的牙痒痒。

豆姐这次整理了全等三角形判定、性质，最重要的是后面附上了所有证明全等三角形，包括添加各种辅助线的方法，认真看完这篇文章，保证关于三角形全等所有的题型你都会做！一、三角形全等的判定1.三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)。

2.有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。

3.有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)。

4.有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)。

5.直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)。

二、全等三角形的性质①全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。

②全等三角形的周长、面积相等。

③全等三角形的对应边上的高对应相等。

④全等三角形的对应角的角平分线相等。

⑤全等三角形的对应边上的中线相等。

三、找全等三角形的方法(1)可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；(2)可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；(3)从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；(4)若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。

三角形全等的证明至少需要三个条件(包含两个要素：边和角)，其中必须有边的条件。

缺个角的条件：缺条边的条件：四、构造辅助线的常用方法1.关于角平分线的辅助线当题目的条件中出现角平分线时，要想到根据角平分线的性质构造辅助线。

角平分线具有两条性质：①角平分线具有对称性；②角平分线上的点到角两边的距离相等。

关于角平分线常用的辅助线方法：(1)截取构全等如下左图所示，OC是∠AOB的角平分线，D为OC上一点，F为OB上一点，若在OA上取一点E，使得OE=OF，并连接DE，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。

八年级数学上册三角形全等的判定知识点

八年级数学上册三角形全等的判定知识点01三角形全等的判定1.三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)。

2.有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。

3.有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)。

4.有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)。

5.直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)。

02全等三角形的性质①全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。

②全等三角形的周长、面积相等。

③全等三角形的对应边上的高对应相等。

④全等三角形的对应角的角平分线相等。

⑤全等三角形的对应边上的中线相等。

03找全等三角形的方法(1)可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；(2)可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；(3)从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；(4)若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。

三角形全等的证明中包含两个要素：边和角。

缺个角的条件：缺条边的条件：04构造辅助线的常用方法1.关于角平分线的辅助线当题目的条件中出现角平分线时，要想到根据角平分线的性质构造辅助线。

角平分线具有两条性质：①角平分线具有对称性；②角平分线上的点到角两边的距离相等。

例：如上右图所示，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。

提示：在BC上取一点F使得BF=BA，连结EF。

(2)角分线上点向角两边作垂线构全等利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。

如下左图所示，过∠AOB的平分线OC上一点D向角两边OA、OB作垂线，垂足为E、F，连接DE、DF。

rt三角形全等判定定理

rt三角形全等判定定理
三组对应边分别相等的两个三角形全等、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等、斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全（rt三角形全等）等。

一、判定定理
1、三组对应边分别相等的两个三角形全等（简称SSS或“边边边”），这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。

2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS或“边角边”）。

3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA或“角边角”）。

4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS或“角角边”）。

5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL或“斜边，直角边”）。

二、全等三角形的性质
1、全等三角形的对应角相等。

2、全等三角形的对应边相等。

3、能够完全重合的顶点叫对应顶点。

4、全等三角形的对应边上的高对应相等。

5、全等三角形的对应角的角平分线相等。

6、全等三角形的对应边上的中线相等。

7、全等三角形面积和周长相等。

8、全等三角形的对应角的三角函数值相等。

三、证明三角形全等的题步骤
1、读题，明确题中的已知和求证。

2、要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三角形中。

3、分析要证两个三角形全等，已有什么条件，还缺什么条件。

4、有公共边的，公共边一定是对应边，有公共角的，公共角一定是对应角，有对顶角，对顶角也是对应角。

5、先证明缺少的条件，再证明两个三角形全等。

“三角形全等的条件”学习要点及注意事项

“三角形全等的条件”学习要点及注意事项 2014.5.9一、三角形全等的条件：1、三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”，或SSS ；2、两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，简写为“角边角”，或ASA ；3、两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写为“角角边”，或AAS ；4、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，简写为“边角边”，或SAS ；注意：（1）条件中的边、角一定是三角形中的边、角！（2）条件中只有对应相等的边、对应相等的角；（3）“边边角”不能保证两个三角形全等！！二、过程的书写要求：先交待所要证的两个三角形，其次用单边大括号把三个条件写在一起，得出两个三角形全等，并在后面注明理由；例：如图，AB=AC , ∠CDA =∠BEA, △ACD 与△ABE 全等吗？为什么?解：在△ACD 和△ABE 中，∠CDA =∠BEA （已知）∵ ∠ A = ∠A （公共角） AB= AC （已知）∴ △ACD ≌△ABE （AAS ）注意事项：（1）按判定条件的顺序书写，例如上例中，利用的是“AAS ”，书写时先写两个角的条件，再写边的条件；（2）如果所需的条件不是题中直接给出，则先证明，再按上面要求书写；例：如图，O 是AB 的中点，∠A =∠B ， △AOC 与△BOD 全等吗？为什么？解： △AOC ≌△BOD 理由：∵ O 是AB 的中点，∴ AO=BO在 △AOC 与△BOD 中，∠A =∠ B （已知） ∵ AO=BO （已证） ∠AOC= ∠BOD （对顶角相等）∴ △AOC ≌△BOD （ASA ）说明：（1）条件中一定是相等的边、角，所以要把“中点”的条件转化为相等的边；（2）对顶角相等是能直接得到的结论，不需要先证明；（3）除对顶角相等可以直接写在条件中外，公共边、公共角也能直接作为条件写；A OD C B AE C DB。

《三角形全等的判定》(ASA)

然后证明两个三角形边相等。
示例证明
示例一
以已知两角和一边相等的三角形为例，进行全等的证明。
示例二
展示两个角相等的证明过程，以及最后的边相等。
示例三
通过已知两个角和边相等，来证明三角形全等的过程。
应用举例
实际测量
1. 测量两个角的大小。 2. 测量边的长度。 3. 根据ASA条件判断是否
全等。
《三角形全等的判定》 (ASA)
已知两角和一边相等。判定两个三角形全等的三个条件之一。
两角和一边相等 (ASA)
1 条件 1
两个三角形的两个角相等。
3 条件 3
两个三角形的一个边相等。
2 条件 2
两个三角形的另外一个角相等。
证明方法
步骤 1
先证明两个三角形角相等。
步骤 3
最后证明另一个角相等。
步骤 2
地图制图
• 标注已知的角和边。 • 应用ASA判定两个三角
形是否全等。 • 使用全等的三角形制作
地个三角形。 • 通过ASA条件确定其中
一个三角形的尺寸与角 • 度遵。循全等的原则，完成
建筑设计。
易错点
• 计算角度时，需要确保单位一致。 • 测量边和角时，需使用准确的工具。 • 在证明过程中，每一步都需要详细的解释。
总结和要点
1 要点 1
已知两角和一边相等的三角形可以通过ASA条件判定是否全等。
2 要点 2
证明过程需要按照角和边的顺序进行。
3 要点 3
应用举例包括实际测量、地图制图和建筑设计等领域。

全等三角形的判定小结

D
变式：请问线段
BC与线段DE有什
么关系？
C
B
A
E
D
连接CE，BD，若设
C是AD的中点，那
么BD与CE有什么关
系？
C
B
A
E
3、已知：ΔABC和ΔBDE是等边三角形,
点D在AE的延长线上。
求证：BD + DC = AD
A
E
B
C
D
4
1、两个三角形全等，必须有一边相等； 2、只要有两角一边相等，就可以判断两个三角形全等。
1、已知: 如图,AC=AD .请你添加一个条件使 △ACB≌△ADB.
C
A
1、找第三边（SSS）； 2、找两边的夹角（SAS）； 3、看是否为直角三角形（HL）.
B D
2、已知: 如图,AB平分∠CAD .请你添加一个条件使 △ACB≌△ADB.
SSS（边边边） SAS（边角边）ASA（角边角） AAS（角角边）HL（斜边直角边）
有三边对应相等的两个三角形全等.
有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.
有两角和它们有两角和及其
的夹边对应相中一个角所对的
等的两个三角边对应相等的两
形全等.
个三角形全等.
直角三角形斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
８、旋转——角相等，边相等。
11
1.如图，已知AB=AC，AD=AE，AB、DC相交于点M，
AC、BE相交于点N，∠1=∠2，求证：（1）
△ABE ≌ △ACD （2）AM=AN. A
12
D
E
M
NBC来自创造条件！？ 132、如图，已知AB=AD，AC=AE， ∠BAC=∠DAE=900. 求证：△ABC≌△ADE.

三角形全等的判定(上课用)

角边角相等判定法
总结词
当两个三角形的两角及其夹边分别相等时，这两个三角形全等。
详细描述
根据ASA判定定理，如果两个三角形的两个角大小相等，并且这两个角所夹的边也相等，则这两个三角形全等。
角角边相等判定法
总结词
当两个三角形的两角及其非夹的一边分别相等时，这两个三角形全等。
详细描述
根据AAS判定定理，如果两个三角形的两个角大小相等，并且这两个角所对的边也相等，则这两个三角形全等。
03
三角形全等的证明步骤
明确已知条件和未知条件
已知条件
明确三角形三边的长度或三角形的角度。
未知条件
需要证明的两个三角形是否全等。
选择合适的判定方法
边边边（SSS）
如果两个三角形的三边长度分别相等，则这两个三角形全等
。
边角边（SAS）
如果两个三角形的两边长度和它们之间的夹角相等，则这两个三角形全等。
则这两个三角形全等。
三角形全等的应用
01
02
03
解决几何问题
通过三角形全等关系，可以证明线段相等、角相等以及解决一些复杂的几何问题。
制作精密零件
在制造精密零件时，可以通过三角形全等关系来确保零件的精确度。
建筑设计
在建筑设计中，可以利用三角形全等关系来构建稳定、美观的建筑结构。
02
三角形全等的判定方法
纠正方法
纠正步骤缺失或混乱需要重新审视证明过程，确保每一步都完整且顺序正确。可以采用列表、图表等方法来梳理证明步骤，避免出现遗漏或混乱。
THANKS
注意证明过程中的步骤完整性
步骤完整性是三角形全等证明的重要要求，必须按照完整的步骤进行证明。