(整理)初中数学八年级下册《11不等关系》

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2024年初中数学所有知识点整理

新苏科版初中数学修订后目录七年级上册第1章　数学与我们同行第2章有理数第3章　代数式第4章一元一次方程第5章走进图形世界第6章　平面图形的认识（一）七年级下册第7章平面图形的认识（二）第8章幂的运算第9章整式乘法与因式分解第10章二元一次方程组第11章一元一次不等式第12章证明八年级上册第1章全等三角形第2章轴对称图形第3章勾股定理第4章数量、位置的变化第5章平面直角坐标系第6章　一次函数八年级下册第7章数据的搜集、整顿、描述第8章认识概率第9章　中心对称图形—平行四边形第10章分式第11章反百分比函数第12章　二次根式九年级上册第1章一元二次方程第2章　对称图形－-－圆第3章数据的集中程度和离散程度第4章等也许条件下的概率九年级下册第5章二次函数第6章图形的相同第7章　锐角三角函数第8章　统计和概率的简单应用七年级上第1章数学与我们同行一、生活数学1、生活中的数学观测、积累生活中常见的数学符号，了解它们体现的意义如:身份证号码、邮政编码……2、生活中的图形观测、认识生活中的图形,感知它们与数学知识的联系如：城市建筑群、超市的商品……二、活动　思考1、数学活动——动手操作、探索新知数学活动包括观测、试验、操作、猜测、归纳等。

2、数学思考——规律探索　数形结合、从特殊到一般的思想措施图形规律、数字规律三、思想措施转化思想、建模思想、归纳思想、从特殊到一般……四、常见题型　探究数字、图形规律题　实践操作题　图案设计题简单的数字推理题第二章:有理数一、实数与数轴1、整数分为正整数，０和负整数。

正整数和０统称自然数。

能被2整除的整数称为偶数,被2除余１的整数叫作奇数。

2、分数:能够写成两个整数之比的不是整数的数，叫做分数。

分数都能够转化为有限小数或循环小数。

反之，有限小数或循环小数都能够转化为分数。

3、有理数：整数和分数统称有理数。

4、无理数:无限不循环小数称为无理数。

5、实数：有理数和无理数统称为实数。

初中数学苏科版八年级下册第11章反比例函数11.1 反比例函数-章节测试习题

章节测试题1.【答题】已知y=y1+y2，其中y1与x成反比例，且比例系数为k1（k1≠0），y2与x成正比例，且比例系数为k2（k2≠0），当x=-1时，y=0，则k1与k2的关系是（）A. k1+k2=0B. k1-k2=0C. k1k2=1D. k1k2=-1【答案】A【分析】由题意y1与x成反比例，y2与x成正比例，可用待定系数法设出，再将x=-1时，y＝0代入即可表示出k1与k2的关系．【解答】解：∵，∵当x=-1时，y=0，∴0=-k1-k2，∴k1+k2=0，选A.2.【答题】已知y与x2成反比例，并且当x=-2时，y=2，那么当x=4时，y等于（）A. -2B. 2C.D. -4【答案】C【分析】由题意y与x2成反比例，设y=，然后把点（-2，2），代入求出k 值，从而求出函数的解析式，求出y值．【解答】解：∵y与x2成反比例，∴y=当x=-2时，y=2，∴，∴k=8，∴.当x=4时，．选C.3.【答题】甲、乙两地相距100千米，一辆汽车从甲地开往乙地，把汽车到达乙地所用时间t（小时）表示为汽车速度v（千米/时）的函数，其函数表达式为______.【答案】【分析】根据等量关系“路程=速度×时间”写出函数关系式．【解答】解：根据题意，得．故答案为：．4.【答题】已知y1与x成正比例系数为k1，y2与x成反比例，比例系数为k2，若函数y=y1-y2的图象经过点（1，2），（2，），则8k1+5k2的值为______.【答案】9【分析】设出y1和y2的解析式，由y=y1+y2的图象经过点（1，2），（2，），代入求得k1 、k2的值，再求得8k1+5k2的值．【解答】解：设则，将点（1，2），（2，），代入得，，解得，，∴8k1+5k2==9.5.【题文】已知y=y1+y2，其中y1与x成反比例，y2与(x-2)成正比例.当x=1时，y=-1；x=3时，y=3.（1）求y与x的函数关系式；（2）当x=-1时，y的值。

苏教版初中数学八年级下册教案(全册)

苏教版小学数学八年级下册教案（全册）第七章教学目标与要求：（1）了解不等式的意义，掌握不等式的大体性质。

（2）会解一元一次不等式（组），能正确用轴表示解集。

（3）能够按照具体问题中的数量关系，用一元一次不等式（组），解决简单的问题。

知识梳理：（1）不等式及大体性质；（2）一元一次不等式（组）及解法与应用；（3）一元一次不等式与一元一次方程与一次函数。

1不等式：用不等号表示不等关系的式子叫做不等式2不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。

不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全部叫做这个不等式的解集。

3不等式的性质：○1不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。

○2不等式的两边都乘（或除以）一个正数，不等号的方向不变。

不等式的两边都乘（或除以）一个负数，不等号的方向改变。

4解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似。

可是，在不等式两边都乘（或除以）同一个不等于0的数时，必需按照这个数是正数，仍是负数，正确地运用不等式的性质2，特别要注意在不等式两边都乘（或除以）同一个负数时，要改变不等号的方向。

5用一元一次不等式解决问题步骤：（1）审：认真审题，分清已知量、未知量的及其关系，找出题中不等关系，要抓住题设中的关键字“眼”，如“大于”、“小于”、“不小于”、“不大于”等的含义。

（2）设：设出适当的未知数。

（3）列：按照题中的不等关系，列出不等式。

（4）解：解出所列不等式的解集。

（5）答：写出答案，并查验答案是不是符合题意。

6一元一次不等式组：由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组叫做一元一次不等式组。

不等式组中所有不等式的解集的公共部份叫做这个不等式组的解集，求不等式组解集的进程叫解不等式组。

一元一次不等式组解决实际问题的步骤：与一元一次不等式解决实际问题类似，不同的地方在与列出不等式组，并解出不等式组。

7一元一次不等式与一元一次方程、一次函数当一次函数中的一个变量的值确按时，可以用一元一次方程肯定另一个变量的值；当已知一次函数中的一个变量范围时，可以用一元一次不等式（组）肯定另一个变量取值的范围。

人教版初中数学教材全套教材编排顺序

人教版初中数学教材全套教材编排顺序（目录）七年级上册（62）
第1章有理数（19）
第2章整式的加减（8）
第3章一元一次方程（19）
第4章几何图形初步（16）
七年级下册（62）
第5章相交线与平行线（14）
第6章实数（8）
第7章平面直角坐标系（7）
第8章二元一次方程组（12）
第9章不等式与不等式组（11）
第10章数据的收集整理与描述（10）八年级上册（62）
第11章三角形（8）
第12章全等三角形（11）
第13章轴对称（14）
第14章整式的乘法与因式分解（14）
第15章分式（15）
八年级下册（62）
第16章二次根式（9）
第17章勾股定理（9）
第18章平行四边形（15）
第19章一次函数（17）
第20章数据的分析（12）
九年级上册（62）
第21章一元二次方程（13）
第22章二次函数（12）
第23章旋转（9）
第24章圆（16）
第25章概率初步（12）
九年级下册（48）
第26章反比例函数（8）
第27章相似（14）
第28章锐角三角函数（12）
第29章投影与视图（10）。

教案北师大版初中数学八年级下册《不等式的性质》

教案北师大版初中数学八年级下册《不等式的性质》一. 教材分析北师大版初中数学八年级下册《不等式的性质》这一节，主要让学生掌握不等式的性质，包括不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。

这些性质是解不等式问题的关键，也为后续学习不等式的解集和不等式的应用打下基础。

二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经掌握了整式的加减、乘除运算，具备了一定的逻辑思维能力。

但是，对于不等式的性质的理解和应用，还需要通过实例进行引导和巩固。

同时，学生可能对于不等式的两边同时乘以或除以同一个负数时，不等号方向改变的理解存在困难。

三. 教学目标1.让学生理解不等式的性质，并能够运用不等式的性质解不等式。

2.培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

3.激发学生对数学的兴趣，提高学生的数学素养。

四. 教学重难点1.教学重点：不等式的性质及其应用。

2.教学难点：不等式的两边同时乘以或除以同一个负数时，不等号方向的改变。

五. 教学方法采用问题驱动法、实例教学法、小组合作法等教学方法，通过引导、讲解、练习、讨论等方式，让学生深入理解不等式的性质，提高学生的数学思维能力。

六. 教学准备1.教案、PPT等相关教学资料。

2.练习题、黑板、粉笔等教学用品。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入不等式的性质，例如：“小明比小红高，如果小明再长高5厘米，那么他比小红高多少厘米？”引导学生思考不等式的性质。

2.呈现（15分钟）讲解不等式的性质，包括不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。

通过实例进行讲解，让学生深入理解不等式的性质。

3.操练（15分钟）让学生分组讨论，每组找出一个不等式，运用不等式的性质进行变形，并解释为什么这样变形是正确的。

人教版【初中数学】知识点总结-全面整理(超全)

人教版初中数学知识点总结目录七年级数学（上）知识点1第一章有理数2第二章整式的加减6第三章一元一次方程8第四章图形的认识初步10七年级数学（下）知识点12第五章相交线与平行线12第六章平面直角坐标系15第七章三角形16第八章二元一次方程组22第九章不等式与不等式组24第十章数据的收集、整理与描述25八年级数学（上）知识点27第十一章全等三角形27第十二章轴对称29第十三章实数31第十四章一次函数32第十五章整式的乘除与分解因式34八年级数学（下）知识点36第十六章分式37第十七章反比例函数39第十八章勾股定理40第十九章四边形41第二十章数据的分析45九年级数学（上）知识点46第二十一章二次根式46第二十二章一元二次根式47第二十三章旋转49第二十四章圆51第二十五章概率54九年级数学（下）知识点58第二十六章二次函数59第二十七章相似62第二十八章锐角三角函数63第二十九章投影与视图65七年级数学（上）知识点人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容.第一章有理数一．知识框架二．知识概念1.有理数：(1)凡能写成)0p q ,p (p q≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数；(2)有理数的分类:①⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；(2)相反数的和为0 ⇔ a+b=0 ⇔ a 、b 互为相反数.4.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2) 绝对值可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0a (a )0a (0)0a (a a 或⎩⎨⎧<-≥=)0a (a )0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论；5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大的数-小的数＞ 0，小的数-大的数＜ 0.6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是a 1；若ab=1⇔ a 、b 互为倒数；若ab=-1⇔ a 、b 互为负倒数.7. 有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数.8．有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）.9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）.10 有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.11 有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba；（2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）；（3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac .12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：a.零不能做除数，无意义即13．有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n为正奇数时: (-a)n=-a n或(a -b)n=-(b-a)n, 当n为正偶数时: (-a)n=a n 或(a-b)n=(b-a)n .14．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；15．科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.请判断下列题的对错,并解释. 1.近似数25.0的精确度与近似数25一样.2.近似数4千万与近似数4000万的精确度一样.3.近似数660万,它精确到万位.有三个有效数字.4.用四舍五入法得近似数6.40和6.4是相等的.5.近似数3.7x10的二次方与近似数370的精确度一样.1、错。

(完整版)初中数学各章节详细知识点

各章节知识点七年级上册
第一章《有理数》
1.正数与负数的概念
2.正数与负数的实际意义
3.有理数的概念
4.数轴的概念
5.相反数的概念
6.绝对值的概念
7.有理数的大小比较
8.有理数的加法法则（6分）
9.有理数的减法法则
10.有理数的乘法法则
11.有理数的运算律
12.有理数的除法法则
13.有理数的混合运算法则（6分）
14.有理数的乘方相关概念（乘方、幂、底数、指数）
15.有理数的乘方法则
16.科学记数法（3分）
17.近似数（有效数字）
第二章《整式的加减》
1.单项式及其相关概念（单项式、系数、次数）
2.多项式及其相关概念（多项式、项、常数项、次数）
3.整式
4.同类项的概念
5.合并同类项的法则
6.去括号法则
7.整式加减的运算法则（6分）
第三章《一元一次方程》
1.方程的概念
2.一元一次方程的概念
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北师大版八年级下册数学《不等关系》一元一次不等式和一元一次不等式组研讨说课复习课件

A.两种客车总的载客量不少于500人 B.两种客车总的载客量不超过500人 C.两种客车总的载客量不足500人 D.两种客车总的载客量恰好等于500人
4. 用“＜”或“＞”号填空．
(1)－2_＜___2；
(2)－3_＜___－2；
(3)12_＞___6；
(4)0__＞__－8；
(5)－a__＜__a (a＞0)； (6)－a__＞__a(a＜0)．
5.用不等式表示下列问题中数量之间的关系．
(1)小陈的体重（x）至少100斤. x≥100
(2)这支铅笔的价钱（y）至多3元. y≤3
(3)一辆轿车在某公路上的行驶速度是 x km/h，已知 x≤100 这辆轿车在该公路上行驶的速度不超过100 km/h. (4)一块正方形的苗圃地，边长为y(m),周长不少于 36 m . 4y≥36 (5)某隧道限速为60km/h，一辆车在隧道中行驶的速度为v(km/h)的轿车因超速被交警处罚. v＞60 (6)山亭3月8日最低气温1oC，最高气温是 13oC，薛城这一天某一时刻的气温是toC . 1oC ≤ toC ≤ 13oC
探究新知
不等式的概念：
观察由上述问题得到的关系式： x>50 ， s>60x ， s<100x,a+b+c≤160 ，6+3x＞30，它们有什么共同的特点？
结论
一般地，用不等号“>”（或“≥”），“<”（或
“≤”）连接的式子叫做不等式.
探究新知
不等号：
不等号
＞
读作
大于
＜
第二章一元一次不等式与一元一次不等式组
不等关系
课件
情景导入
找出下列材料中的不等关系.

初中数学不等式知识点大全

初中数学不等式知识点大全知识点1：不等式不等式是用不等号（。

≥、<、≤、≠）表示不等关系的式子。

常用的表示不等关系的语言及符号有：1.大于、比……大、超过。

2.小于、比……小、低于。

<；3.不大于、不超过、至多：≥；4.不小于、不低于、至少。

≤；5.正数。

6.负数：<；7.非负数：≥；8.非正数：≤。

例1中是不等式的有-1>2，3x≥-1，3x-4<2y，3x-5=2x+2，a^2+2≥0，a^2+b^2≠c^2.例2中不能用不等式表示的是m+n等于。

练1中是不等式的有5>x，3a+4b>y，2a+3≤7，x^2+1≥8.练2中(1)的含义是x^2大于等于0，(2)的含义是-x小于等于0.知识点2：不等式的基本性质不等式有以下基本性质：1.不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

即如果a>b，那么a+c>b+c，a-c>b-c。

2.不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

即如果a>b，c>0，那么ac>bc，a/b>b/b。

3.不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

即如果a>b，c<0，那么ac<bc，a/b<b/a。

4.如果a>b，那么b<a。

5.如果a>b，b>c，那么a>c。

例1中由a-3<b+1可得到的结论是a<b+4.例2中如果a>b，那么下列变形错误的是2-2a>2-2b。

例3中正确的判断是若a<b，则a^2<b^2.例4中若a1，a+b<ab。

例1】解下列不等式组，结果正确的是（）B．不等式组x7的解集是x 1解析：用数轴法解不等式组，先求出每一个不等式的解集，再找出它们的公共部分。

对于不等式组x7的解集是x 1x 1其解集为x7，x1，即x7.结果正确的是B.练1】嘉年华小区计划新建50个停车位，已知新建1个地上停车位和1个地下停车位需0.7万元，新建3个地上停车位和2个地下停车位需1.6万元。

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北师大八年级数学下册所有定理知识点_总汇

北师大版初中数学八年级下册定理知识点汇总第一章证明(一) 二. 定义与命题定义与命题※1. 一般地,能明确指出概念含义或特征的句子,称为定义. 定义必须是严密的.一般避免使用含糊不清的术语,例如“一些”、“大概”、“差不多”等不能在定义中出现. ※2. 可以判断它是正确的或是错误的句子叫做命题. 正确的命题称为真命题,错误的命题称为假命题. ※3. 数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的,并且把它们作为判断其他命题真假的原始依据,这样的真命题叫做公理. ※4. 有些命题可以从公理或其他真命题出发,用逻辑推理的方法判断它们是正确的,并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据,这样的真命题叫做定理. ¤5. 根据题设、定义以及公理、定理等,经过逻辑推理,来判断一个命题是否正确,这样的推理过程叫做证明. 三. 为什么它们平行为什么它们平行※1. 平行判定公理: 同位角相等,两直线平行.(并由此得到平行的判定定理) ※2. 平行判定定理: 同旁内互补,两直线平行. ※3. 平行判定定理: 同错角相等,两直线平行. 四. 如果两条直线平行如果两条直线平行※1. 两条直线平行的性质公理: 两直线平行,同位角相等; ※2. 两条直线平行的性质定理: 两直线平行,内错角相等; ※3. 两条直线平行的性质定理: 两直线平行,同旁内角互补. 五. 三角形和定理的证明三角形和定理的证明※1. 三角形内角和定理: 三角形三个内角的和等于180°¤2. 一个三角形中至多只有一个直角一个三角形中至多只有一个直角¤3. 一个三角形中至多只有一个钝角一个三角形中至多只有一个钝角¤4. 一个三角形中至少有两个锐角一个三角形中至少有两个锐角六. 关注三角形的外角关注三角形的外角※1. 三角形内角和定理的两个推论: 推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和; 推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 第二章一元一次不等式和一元一次不等式组一. 不等关系不等关系※1. 一般地,用符号“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式. ¤2. 要区别方程与不等式: 方程表示的是相等的关系;不等式表示的是不相等的关系.※3. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语. 非负数非负数 <===> 大于等于0(≥0) <===> 0和正数和正数 <===> 不小于0 非正数非正数 <===> 小于等于0(≤0) <===> 0和负数和负数 <===> 不大于0 二. 不等式的基本性质不等式的基本性质※1. 掌握不等式的基本性质,并会灵活运用: (1) 不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即: 如果a>b,a>b,那么那么a+c>b+c, a-c>b-c.(2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即如果a>b,a>b,并且并且c>0,c>0,那么那么ac>bc,cb c a >. (3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即: 如果a>b,a>b,并且并且c<0,c<0,那么那么ac<bc, cb c a < ※2. 比较大小:(a (a、、b 分别表示两个实数或整式分别表示两个实数或整式) )一般地: 如果a>b,那么a-b 是正数;反过来,如果a-b 是正数,那么a>b; 如果a=b,那么a-b 等于0;反过来,如果a-b 等于0,那么a=b; 如果a<b,那么a-b 是负数;反过来,如果a-b 是正数,那么a<b; 即: a>b <===> a-b>0 a=b <===> a-b=0 a<b <===> a-b<0(由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了. 三. 不等式的解集: ※1. 能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;一个不等式的所有解,组成这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式. ※2. 不等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,与方程的解不同. ¤3. 不等式的解集在数轴上的表示: 用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向: ①边界①边界::有等号的是实心圆圈有等号的是实心圆圈,,无等号的是空心圆圈无等号的是空心圆圈; ;②方向②方向::大向右大向右,,小向左小向左四. 一元一次不等式: ※1. 只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是1. 像这样的不等式叫做一元一次不等式. ※2. 解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,特别要注意,当不等式两边都乘以一个负数时,不等号要改变方向. ※3. 解一元一次不等式的步骤: ①去分母①去分母; ;②去括号②去括号; ;③移项③移项; ;④合并同类项④合并同类项; ;⑤系数化为1(1(不等号的改变问题不等号的改变问题不等号的改变问题))※4. 一元一次不等式基本情形为ax>b(或ax<b) ①当a>0时,解为abx >; ②当a=0时,且b<0,b<0,则则x 取一切实数取一切实数; ;当a=0时,且b ≥0,0,则无解则无解则无解;; ③当a<0时, , 解为解为a bx <;¤5. 不等式应用的探索(利用不等式解决实际问题) 列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似,即: ①审①审: : : 认真审题认真审题认真审题,,找出题中的不等关系找出题中的不等关系,,要抓住题中的关键字眼要抓住题中的关键字眼,,如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义小于”等含义;;②设②设: : : 设出适当的未知数设出适当的未知数设出适当的未知数;;③列③列: : : 根据题中的不等关系根据题中的不等关系根据题中的不等关系,,列出不等式列出不等式;;④解④解: : : 解出所列的不等式的解集解出所列的不等式的解集解出所列的不等式的解集; ;⑤答⑤答: : : 写出答案写出答案写出答案,,并检验答案是否符合题意并检验答案是否符合题意..五. 一元一次不等式与一次函数一元一次不等式与一次函数六. 一元一次不等式组一元一次不等式组※1. 定义: 由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组,叫做一元一次不等式组. ※2. 一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集.如果这些不等式的解集无公共部分,就说这个不等式组无解. 几个不等式解集的公共部分,通常是利用数轴来确定. ※3. 解一元一次不等式组的步骤: (1)分别求出不等式组中各个不等式的解集; (2)利用数轴求出这些解集的公共部分,即这个不等式组的解集. 两个一元一次不等式组的解集的四种情况(a (a、、b 为实数为实数,,且a<b)一元一次不等式一元一次不等式解集解集图示图示叙述语言表达叙述语言表达îíì>>b x a x x>b b a 同大取大同大取大 îíì<<bx a x x>a b a 同小取小同小取小 îíì<>b x ax a<x<b b a 小于大小于大大于小大于小中间最好中间最好 îíì><bx a x 无解无解 b a大大小小解不了大大小小解不了 (是空集) （注：※表示重点部分；¤表示了解部分；◎表示仅供参阅部分；）。

初中数学教学课例《不等关系》教学设计及总结反思

本节分为七个教学环节：第一环节引入新课、第二教学策略选环节问题提出、第三环节活动探究、第四环节猜想归纳、
择与设计第五环节运用巩固、第六环节课时小结、第七环节课后作业。第一环节：创设情景，引入新课活动内容：寻找相等的量和不等的量师：我们学过等式，等式的定义是什么？生：表示相等关系的式子叫等式。师：我们知道相等关系的量可以利用等式来描述。
教学目标
2、过程与方法目标经历由具体实例建立不等式模型的过程，进一步发
展学生的符号感与数学化的能力。
3、情感与态度目标
感受生活中存在着的大量不等关系，通过用不等式
解决实际问题，使学生进一步认识数学与人类生活的密
切联系，激发学生学习数学的信心和兴趣。
学生的知识技能基础：在小学，学生已经学过一些学生学习能
引导学生回答：能根据题意列出不等式，特别要注意“不大于”，“不小于”等词语的理解。通过不等关系的式子归纳出不等式的概念。
第七环节：课后作业习题 2.1:第 1、2、3、4 题
不等式是现实世界中不等关系的一种数学表示形式，它是现阶段学生学习的重点内容，而且也是学生后续学习的重要基础。
本节课充分通过学生举例和老师的选例，让学生体会在现实生活中除了存在许多等量关系外，更多的是不等关系的存在，并通过感受生活中的大量不等关系，初课例研究综步体会不等式是刻画量与量之间关系的重要数学模型。述经历由具体实例建立不等式模型的过程，进一步发展学生的符号感与数学化的能力。

论、解答后，教师根据情况进行点评）（1）问题：（2）探究：投影 C 通过测量一棵树围（树干的周长）可以计算出它的
树龄。通常规定以树干离地面 1.5 米的地方作为测量部位，某树栽种时的树围为 5 ㎝，以后树围每年增加约为 3 ㎝，这棵树至少生长多少年其树围才能超过 2.4m？（只列关系式）

八年级不等关系知识点

八年级不等关系知识点在数学学科的学习中，不等关系是十分重要的一个知识点。

在八年级的数学课程中，学生们需要学会理解和应用不等关系的基本概念和方法，以便在日常生活、学术研究和职业发展中得到更好的应用。

一、不等关系的基本概念不等关系是指两个数、两个量或两个代数式之间的大小或大小关系不同的关系。

在不等关系中，有等于、大于、小于、大于等于和小于等于五个常用的运算符号。

以数的不等关系为例，对于两个数 a 和 b，如果 a > b，则说明a 大于 b；如果 a < b，则说明 a 小于 b；如果a ≥ b，则说明 a 大于或等于 b；如果a ≤ b，则说明 a 小于或等于 b；如果 a = b，则说明 a 等于 b。

二、不等关系的性质除了运算符号的含义外，不等关系还有一些重要的基本性质，对于学生们的学习和理解也是十分关键的。

1. 对称性。

不等关系的对称性是指，如果 a > b，则 b < a；如果 a < b，则 b > a。

2. 传递性。

不等关系的传递性是指，如果 a > b，b > c，则 a > c；如果 a < b，b < c，则 a < c。

3. 反对称性。

不等关系的反对称性是指，如果a ≥ b，b ≥ a，则a = b。

三、不等关系的应用不等关系不仅仅是理论知识，还具有实际应用。

在日常生活和工作中，人们常常需要应用不等关系来进行量化和比较。

1. 应用于数学领域。

不等关系在代数学、函数学、几何学等学科中有广泛的应用，帮助研究人员更好地理解数学基础理论的构建和发展。

2. 应用于物理学领域。

在物理学中，不等关系用于物体的质量、速度、角度等多种因素的比较和分析中。

3. 应用于经济学领域。

不等关系在经济学中常用于分析收入、财富等经济因素的差异和不平等现象，并提出相应的政策建议和措施。

总结在八年级的数学学习中，透彻理解不等关系的基本概念、性质和应用是至关重要的。

初中不等式知识总结归纳

初中不等式知识总结归纳不等式是初中数学中非常重要的一部分，它是指不等关系的数学表达方式。

与等式不同，不等式通过不等于号（<、>、≤、≥）来表示两个数之间的大小关系。

在初中数学学习过程中，我们学习了许多与不等式相关的知识和技巧。

本文将对初中不等式的基本概念、性质和解题方法进行总结归纳。

一、不等式的基本概念不等式是数学中用不等于号表示的数值之间的大小关系。

在不等式中，我们可以使用大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）、小于等于号（≤）来表示不同的关系。

例如，对于a和b两个数，我们可以有以下表示：a > b：表示a大于ba < b：表示a小于ba ≥ b：表示a大于等于ba ≤ b：表示a小于等于b二、不等式的性质在使用不等式进行计算时，我们需要了解不等式的一些基本性质，以便能够在解题过程中正确操作。

1. 加减性质：如果a > b，则对于任意正数c，有a + c > b + c；对于任意负数c，有a - c > b - c。

同理，如果a < b，则对于任意正数、负数c，不等式的方向不变。

2. 乘除性质：如果a > b，并且c 是正数，则ac > bc；如果c 是负数，则ac < bc。

同理，如果a < b，则对于正数、负数c，不等式的方向不变。

3. 倒置性质：如果a > b，则-b > -a；如果a < b，则-b < -a。

4. 倍数性质：如果a > b，则ka > kb (k > 0)；如果a < b，则ka < kb (k > 0)。

5. 去括号性质：如果a > b，则a + c > b + c。

三、不等式的解法解不等式是数学学习中的重点，我们需要掌握不同类型不等式的求解方法。

这里我们将介绍一些常见的不等式求解方法。

1. 一元一次不等式的解法：一元一次不等式的求解与一元一次方程非常相似。

不等关系、不等式的基本性质、不等式的解集(5类热点题型讲练)(原卷版)--初中数学北师大版8年级下册

第01讲不等关系、不等式的基本性质、不等式的解集(5类热点题型讲练)1.了解不等式的概念；将自然语言转化为符号语言．2.经历不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同.3.掌握不等式的基本性质，并能初步运用不等式的基本性质把比较简单的不等式转化为“x>a”或“x<a”的形式.4.理解不等式的解与解集的意义.知识点01不等式的概念一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．特别说明：(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．(2)五种不等号的读法及其意义：符号读法意义“≠”读作“不等于”它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小“＜”读作“小于”表示左边的量比右边的量小“＞”读作“大于”表示左边的量比右边的量大“≤”读作“小于或等于”即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量“≥”读作“大于或等即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量于”(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x ＞5中，x 表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．知识点02不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a ＞b ，那么a ±c ＞b ±c ．不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc (或a b c c >)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc (或a b c c<)．特别说明：不等式的基本性质的掌握注意以下几点：(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．知识点03不等式的解与解集1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．注意：不等式的解是具体的未知数的值，不是一个范围不等式的解集是一个集合，是一个范围．其含义：①解集中的每一个数值都能使不等式成立；②能够使不等式成立的所有数值都在解集中题型01不等式的定义【例题】（2023下·辽宁抚顺·七年级统考期末）下列数学式子：①30-<；②230x y +≥；③1x =；④222x xy y -+；⑤13x +≠；其中是不等式的有（）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【变式训练】1．（2023下·全国·八年级假期作业）有下列式子：①30-<；②350+>x ；③26x -；④2x =-；⑤0y ≠；⑥220x +≥．其中不等式的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．52．（2023下·河北保定·八年级统考阶段练习）下列各式：①8x -；②523x -≤；③3x >；④3210x x -+=，不等式的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4题型02列不等式题型03不等式的基本性质【例题】（2023上·湖南永州·八年级校考阶段练习）下列判断不正确的是（）A ．若a b >，则44a b -<-B ．若23a a >，则0a <C ．若a b >，则22ac bc >D ．若22ac bc >，则a b>【变式训练】题型04利用不等式的基本性质解不等式【例题】（2023下·湖南衡阳·七年级校考期中）下列说法中，正确的是（）A ．不等式28x <-的解集是4x <B ．5x =是不等式28x <-的一个解C ．不等式28x <-的整数解有无数个D ．不等式28x <-的正整数解有4个【变式训练】1．（2023下·八年级课时练习）下列说法错误的是（）A ．5是不等式26+>x 的解B ．2是不等式350x ->的解C ．284x -<的解集是6x <D ．3x <的解集就是1、2、32．（2023下·七年级课时练习）下列说法错误的是（）A ．不等式5100x ->的解是3B ．3是不等式5100x ->的解C ．不等式5100x ->的解集是2x >D ．2x >是不等式5100x ->的解集题型05不等式的解集【例题】（2023下·河南周口·八年级校联考阶段练习）将下列不等式化成“x a >”或“x a <”的形式：(1)541x x >-；(2)27x --<．【变式训练】一、单选题1．（2023下·山东淄博·七年级统考期末）在下列数学表达式中，不等式的个数是（）①30-<；②430x y +>；③3x =；④5x ≠；⑤23x y +>+．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．（2021下·全国·八年级专题练习）下列说法中，正确的是（）A ．x ＝3是不等式2x ＞1的解B ．x ＝3是不等式2x ＞1的唯一解C ．x ＝3不是不等式2x ＞1的解D ．x ＝3是不等式2x ＞1的解集3．（2023下·河北石家庄·七年级统考期末）下列表示的不等关系中，正确的是（）A ．a 不是负数，表示为0a >B ．m 比3至少多1，表示为31m -≥C ．x 与1的和是非负数，表示为10x +>D ．x 不大于3，表示为3x <4．（2023上·浙江·八年级校考期中）下列不等式的变形正确的是（）A ．由a b <，得ac bc <B ．由ac bc <，得a b <C ．由a b <，得22ac bc <D ．由22ac bc <，得a b<二、填空题。

北师大版八年级下册数学《不等式的解集》一元一次不等式和一元一次不等式组说课研讨教学复习课件

解：设至多可买Ｘ支笔，则有：
3×4 + 2Ｘ ≤ 30
表示不等式的解集你能用什么办法把不等式 x>5的解集和不等式x-5≤-1的解集表示在数轴上?
x>5
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
x≤4
将不等式的解集表示在数轴上时,要注意:
1)指示线的方向,“>”向右,“<”向左. 2)有“=”用实心点,没有“=”用空心圈.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
探究新知
知识点 2 在数轴上表示不等式的解集
思考：如何在数轴上表示出不等式x＞2的解集呢？先在数轴上标出表示2的点A; 则点A右边所有的点表示的数都大于2，而点A左边所有的点表示的数都小于2;
因此可以像图那样表示不等式的解集x>2.
A -1 0 1 2 3 4 5 6
课堂检测
能力提升题
2、根据不等式的基本性质确定不等式2-x<1的解集,并把解集表
示在数轴上. 解:根据不等式的基本性质1,不等式的两边同时减去2得-x<-1; 根据不等式的基本性质3,不等式的两边同时除以-1得x>1. 这个不等式的解集在数轴上表示为:
课堂检测
拓广探索题
1、不等式2x-3≥-1的解集在数轴上表示为( A )
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
根据不等式的基本性质求不等式的解集，
并把解集表示在数轴上．
(1)x-2≥ -4
(2)2x ≤ 8
解：两边同时加２得：
解：两边同时除以２得：
x ≥ -2
x ≤4
-3 -2 -1 0 1 2
(3)-2x-2 > -10

初中数学《不等关系》教案

初中数学《不等关系》教案第一章一元一次不等式和一元一次不等式组1．不等关系一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在小学差不多学习过一些不等式的相关知识，了解“大于”、“小于”等符号的用法和意义；在本章学习的前面，学生差不多能比较两数的大小，并能用数学的语言表达；学生活动体会基础：在相关的知识学习过程中，学生差不多经历了将生活中的数学现象抽象为数学问题或数学模型的形式，获得并积存了解决实际问题的数学体会的基础，同时在往常的学习中学生差不多有了专门多合作的过程。

具备了一定的合作交流能力，为本章的学习奠定了知识与体会的基础。

二、教学任务分析（一）教学目标：1、知识与技能目标①明白得不等式的意义.②能依照条件列出不等式.2、过程与方法目标通过认识实际问题中的不等式关系，训练学生的分析判定能力和逻辑推理能力。

3、情感与态度目标通过用不等式解决实际问题，使学生认识数学与人类生活的紧密联系以及对人类历史进展的作用，并激发学生学习数学的信心和爱好。

（二）教学重点：通过探寻实际问题中的不等式关系，认识不等式。

三、教学过程分析本节分为七个教学环节：第一环节引入新课、第二环节问题提出、第三环节活动探究、第四环节猜想归纳、第五环节运用巩固、第六环节课时小结、第七环节课后作业。

第一环节：创设问题情形，引入新课活动内容：查找相等的量和不等的量师：我们学过等式，明白利用等式能够解决许多问题，同时，我们也明白现实生活中还存在许多不等关系，利用不等关系同样能够解决实际问题，本章我们就来了解不等式有关的内容。

师：既然不等式关系在实际生活中并许多见，大伙儿确信能举出许多例子。

生：能够，比如每天我都比他早起5分钟师：专门好，还有其他例子吗？（同学们各抒己见）师：我那个地点也有一些例子。

拿出给同学们参考一下。

展现投影片活动目的：通过这一活动，期望学生体会不等关系如相等关系一样处处存在，培养学生观看生活、乐于探究的品质。

活动成效：学生举出了许多不等的例子，不仅能从数字上，还能从现象、感受上去体会不等关系。