高三数学理课件：专题5.2空间点、直线、平面的位置关系

设垂足为 O，过 O 作 OE⊥CD 于 E，连接 AE，则 OE<AE.
1 ∴S△COD＝ CD· OE<S△ACD 2 1 ＝ CD· AE. 2
同理可得S△ABD>S△BOD，S△ABC>S△BOC， ∴S△ACD＋S△ABC＋S△ABD>S△BCD.故④对.
题型与方法
专题五 第二讲
如图，点 E、F、G、H、M、N 为各边中点，
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这样可得到▱EFGH 和▱ENGM 它们的对角线 EG 和 FH 互相平分，EG 和 MN 也互相平分.
因此，三条线段 EG，FH，MN 交于一点，故⑤对.
答案 ①④⑤
题型与方法
专题五 第二讲
反思归纳
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准确画出相应的几何体， 结合该几何体来研究各命
题的真假.若判定一个命题为假，只需举一反例(特殊状态、特 殊位置、特殊图形)即可.有时用反证法来判断也可以.
考点整合
专题五 第二讲
第二讲 空间点、直线、平面的位置关系
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1.点、线、面的位置关系 (1)公理 1 ∵A∈ α，B∈α，∴ AB⊂α. (2)公理 2 ∵A，B， C 三点不共线，∴ A，B，C 确定一个 平面. (3)公理 3 ∵P∈α，且 P∈ β，∴ α∩ β＝l，且 P∈ l. 三个推论：①过两条相交直线有且只有一个平面. ②过两条平行直线有且只有一个平面. ③过一条直线和直线外一点有且只有一个平面.
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( A ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
C.充分必要条件
直的性质定理知，b⊥α.
解析 当 α⊥β 时，由于 α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，由面面垂
又∵a⊂α，∴b⊥a.∴“α⊥β”是“a⊥b”的充分条件.
而当 a⊂α 且 a∥m 时，∵b⊥m，∴b⊥a.
而此时平面 α 与平面 β 不一定垂直， ∴“α⊥β”不是“a⊥b”的必要条件，故选 A.
题型与方法
(4)面面垂直的性质定理 ∴ a⊥ β. 4.异面直线所成的角 (1)定义 .
π (2)范围：θ∈(0， ]. 2 (3)求法：先通过取中点或作平行线找到两异面直线所成的 角，然后解含有这个角的三角形 .若求得的角为钝角，则这个 角的补角才为所求的角 .
考点整合
5.直线与平面所成的角 (1)定义 . π (2)范围：θ∈[0， ]. 2
真题感悟
专题五 第二讲
1.(2013· 安徽)在下列命题中，不是公理的是
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( A )
A.平行于同一个平面的两个平面相互平行 B.过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 C.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上 所有的点都在此平面内 D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只 有一条过该点的公共直线
解析 本题关键是理解B＝fπ(A)的含义.
若平面α与平面β不垂直. 在其中一个平面 α 上取一点 P.则 PQ1≠PQ2. 所以平面 α 与平面 β 垂直，故选 A.
题型与方法
专题五 第二讲
题型一 例1
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空间点、线、面的位置关系
对于四面体 ABCD，下列命题正确的是 _____(写出所有
题型与方法
(2)证明 由已知MA⊥平面ABCD，PD∥MA，
∴PD⊥平面ABCD.
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专题五 第二讲
又BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC. ∵四边形 ABCD 为正方形，∴BC⊥DC. 又 PD∩DC＝D，∴BC⊥平面 PDC. 在△PBC 中，∵G、F 分别为 PB、PC 的中点， ∴GF∥BC，∴GF⊥平面 PDC. 又 GF⊂平面 EFG，∴平面 EFG⊥平面 PDC.
真题感悟
专题五 第二讲
5.(2013· 浙江)在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记 B＝fπ(A).设α、 β是两个不同的平面，对空间任意一点P， Q1＝fβ[fα(P)]，Q2＝fα[fβ(P)]，恒有PQ1＝PQ2，则 A.平面α与平面β垂直
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( A )
B.平面α与平面β所成的(锐 )二面角为45° C.平面α与平面β平行 D.平面α与平面β所成的(锐 )二面角为60°
解析 A 中，m 与 n 可垂直、可异面、可平行；
B 中 m 与 n 可平行、可异面；
C 中若 α∥β，仍然满足 m⊥n，m⊂α，n⊂β，故 C 错误；故 D 正确.
真题感悟
专题五 第二讲
3.(2013· 山东)已知三棱柱 ABC－A1B1C1 的侧棱与底面垂直， 9 体积为 ，底面是边长为 3的正三角形.若 P 为底面 A1B1C1 4
解析 可以利用模型进行判断.
题型与方法
题型二 平行关系与垂直关系
专题五 第二讲
例 2 在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 是正方形，MA⊥平面 ABCD， PD∥ MA， E、 G、 F 分别为 MB、PB、PC 的中点，且
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AD＝ PD＝ 2MA. (1)求证：平面 EFG∥平面 PMA； (2)求证：平面 EFG⊥平面 PDC； (3)求三棱锥 P－ MAB 与四棱锥 P－ ABCD 的体积之比.
审题破题 可以画出四面体 ABCD 的直观图，根据图形分 析点、线、面的位置关系.
题型与方法
解析
专题五 第二讲
若 AB 与 CD 共面，ABCD 就成了平面图形，故①对；
若垂足为△BCD 高线的交点，必推出对棱垂直，故②错；
只有当以 AB 为底的三角形是等腰三角形时，垂足才能重合， 故③错；
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பைடு நூலகம்
解析 B、C、D 选项是公理.
真题感悟
专题五 第二讲
2.(2013· 广东)设 m，n 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的 平面，下列命题中正确的是 A.若 α⊥β， m⊂α， n⊂β，则 m⊥n
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( D )
B.若 α∥β， m⊂α， n⊂β，则 m∥ n C.若 m⊥ n，m⊂ α，n⊂ β，则 α⊥β D.若 m⊥ α，m∥ n，n∥ β，则 α⊥β
审题破题 (1) 证明 EG 、FG 都平行于平面 PMA.(2) 证明
GF⊥平面 PDC.(3)设 MA 为 1， 从而其他边的长度都可表示， 问题可求解.
题型与方法
专题五 第二讲
(1)证明 ∵E、G、F 分别为 MB、PB、PC 的中点，
∴EG∥PM，GF∥BC.
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又∵四边形 ABCD 是正方形， ∴BC∥AD，∴GF∥AD. ∵EG、GF 在平面 PMA 外，PM、AD 在平面 PMA 内， ∴EG∥平面 PMA，GF∥平面 PMA. 又∵EG、GF 都在平面 EFG 内且相交， ∴平面 EFG∥平面 PMA.
题型与方法
专题五 第二讲
(2)若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则下列命题中假
①③④ 命题的序号是________.
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①过点P有且仅有一条直线与l，m都平行；②过点P有且仅有 一条直线与l，m都垂直；③过点P有且仅有一条直线与l，m 都相交；④过点P有且仅有一条直线与l，m都异面.
1 正方形 ABCD＝ ×1×2∶(2×2)＝1∶4. 2
题型与方法
专题五 第二讲
反思归纳 垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行， 常 用方法如下： (1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直
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线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转 换； 三是利用三角形的中位线定理证线线平行； 四是利用线面 平行、面面平行的性质定理进行平行转换 . (2)证明线线垂直常用的方法： ①利用等腰三角形底边中线即 高线的性质；②勾股定理；③线面垂直的性质：即要证两线垂 直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可， l⊥α， a⊂ α ⇒ l⊥ a.
考点整合
专题五 第二讲
(4)公理 4 ∵ a∥ c， b∥ c，∴ a∥ b. (5)等角定理
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∵ OA∥ O1A1， OB∥ O1B1，
∴∠ AOB＝∠ A1O1B1 或∠ AOB＋∠ A1O1B1＝ 180° . 2.直线、平面平行的判定及其性质 (1)线面平行的判定定理 (2)线面平行的性质定理 (3)面面平行的判定定理 b∥ α，∴ α∥ β. (4)面面平行的性质定理 ∵ α∥ β， α∩ γ＝ a， β∩ γ＝ b， ∴ a∥ b. ∵ a⊄ α， b⊂ α， a∥ b，∴ a∥ α. ∵ a∥ α， a⊂ β，α∩ β＝ b，∴ a∥ b. ∵ a⊂ β， b⊂ β， a∩ b＝ P， a∥ α，
真题感悟
专题五 第二讲
3 2 又 OA＝ × 3× ＝1， 2 3
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OP π ∴tan∠OAP＝ ＝ 3，又 0<∠OAP<2， OA
π ∴∠OAP＝3.
答案 B
真题感悟
专题五 第二讲
4.(2012· 安徽 )设平面 α 与平面 β 相交于直线 m，直线 a 在平面 α 内， 直线 b 在平面 β 内， 且 b⊥ m， 则“ α⊥ β”是“ a⊥ b” 的 A.充分不必要条件
正确命题的编号 ). ①相对棱 AB 与 CD 所在的直线是异面直线； ②由顶点 A 作 四面体的高，其垂足是△ BCD 三条高线的交点；③若分别 作△ ABC 和△ ABD 的边 AB 上的高，则这两条高的垂足重 合；④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积；⑤分 别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点 .
解析 命题①可用反证法证明成立；
命题②利用线面平行的性质，过 l、m 分别作平面 γ、δ 交平 面 α 于 l′，n′，易知 n⊥l′，n⊥m′且 m′，n′相交， 故 n⊥α；