2020年广东省梅州市高考数学二模试卷1 (含答案解析)

2020年广东省梅州市高考数学二模试卷1
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.复数z=−3+i
2+i
的共轭复数是()
A. 2+i
B. 2 i
C. 1+i
D. −1−i
2.设集合M={x||x−1|<1},N={x|x<2}，则M∩N=()
A. (−1,1)
B. (−1,2)
C. (0,2)
D. (1,2)
3.已知向量a⃗=(1,1)，b⃗ =(3,m)，若a⃗⊥(a⃗−b⃗ )，则实数m的值是()
A. −1
B. 1
C. −2
D. 2
4.已知命题p:∀x∈(0,+∞)，，命题q:∃x∈R，e x<1，则下列为真命题的是()
A. B. C. D.
5.下课以后，教室里还剩下2位男同学和1位女同学，若他们依次走出教室，则第2位走出的是
女同学的概率是()
A. 1
2B. 1
3
C. 1
4
D. 1
5
6.双曲线x2
a2−y2
b2
=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线x−y+1=0平行，则它的离心率为()
A. 2
B. 3
C. √2
D. √3
7.一个几何体的三视图如图，其中主视图和左视图都是边长为1的正三角形，
那么这个几何体的侧面积为()
A. π
4
B. π
2
C. √2
4
π
D. √2
2
π
8.已知sin(π
2+α)=3
5
，则cos2α等于()
A. 9
25B. −9
25
C. 7
25
D. −7
25
9.下列命题正确的是()
A. 若a>b，则1
a <1
b
B. 若a>b，则a·c2>b·c2
C. 若a·c2>b·c2，则a>b
D. 若a>b>0，c>d，则a·c>b·d
10.已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|=
2|FB|，则点A到抛物线的准线的距离为()
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
11.祖暅是我国古代的伟大科学家，他在5世纪末提出祖暅：“幂势即同，则积不容异”，意思是：
夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等．祖暅原理常用来由已知几何体的体积推导未知几何体的体积，例如由圆锥和圆柱的体积推导半球体的体积，其示意图如图所示，其中图(1)是一个半径为R的半球体，图(2)是从圆柱中挖去一个圆锥所得到的几何体．(圆柱和圆锥的底面半径和高均为R)
利用类似的方法，可以计算抛物体的体积：在x−O−y坐标系中，设抛物线C的方程为y=1−x2(−1≤x≤1)，将曲线C围绕y轴旋转，得到的旋转体称为抛物体．利用祖暅原理可计算得该抛物体的体积为()
A. π
3B. π
2
C. 2π
3
D. 3π
4
12.已知函数f(x)=x2(a+1
2x+1
)是R上的奇函数，则实数a=()
A. −1
2B. 1
2
C. −1
D. 1
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为________．
14.曲线y=x2+1
x
在点(1,2)处的切线方程为______．
15.在一次蜡烛燃烧实验中，某蜡烛每燃烧10min，蜡烛高度就减少1cm，已知蜡烛原来的高度为
25cm，设y=f(x)是蜡烛燃烧后的剩余高度y(单位：cm)关于蜡烛燃烧时间x(单位：min)的函数，则该函数是__________．
16.在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a
sinB +b
sinA
=2c，则∠A的大小为______．
三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）
17.(1)在等差数列{a n}中，a1=−2，d=4，求S8
(2)在等比数列{a n}中，a4=27，q=3，求a7．
18.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC=120°，将△ABD沿BD折起，使点A到达A1的位
置，且A1C=√3．
(1)证明：A1C⊥BD；
(2)求点B到平面A1DC的距离．
19.我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水尤为突出．某市为了制定合理的节水方案，从该市随
机调查了100位居民，获得了他们某月的用水量，整理得到如图的频率分布直方图．
(Ⅰ)求图中a的值；
(Ⅱ)设该市有500万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由：
(Ⅲ)估计本市居民的月用水量平均数(同一组中的数据用该区间的中点值代表)．
20.已知动点E到点A(2,0)与点B(−2,0)的直线斜率之积为−1
，点E的轨迹为曲线C．
4
(1)求C的方程；
(2)过点D(1,0)作直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，求OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值．
21. 已知函数f(x)=(x +a −1)e x ，a ∈R ．
(1)当a =1时，求函数f(x)的极值；
(2)若函数g(x)=f(x)−12x 2−ax 在区间[0,+∞)上只有一个零点，求a 的取值范围．
22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =√32t y =3+12t (t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ=2√3cosθ．
(Ⅰ)写出圆C 的直角坐标方程；
(Ⅱ)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求点P 的坐标．
23. 已知f(x)=|x|−|2x −a|(a ∈R)．
(1)当a =1时，求不等式f(x)>−1的解集；
(2)若f(x)>|3−x|在x ∈[3,5]恒成立，求a 的取值范围．
-------- 答案与解析 --------1.答案：D
解析：解：由z=−3+i
2+i =(−3+i)(2−i)
(2+i)(2−i)
=−5+5i
5
=−1+i，
则复数z=−3+i
2+i
的共轭复数是：−1−i．
故选：D．
直接由复数代数形式的除法运算化简复数z，则z的共轭复数可求．
本题考查了复数代数形式的除法运算以及共轭复数的概念的运用，属于基础题．
2.答案：C
解析：
【分析】
本题考查集合的交集运算，属于基本题型．
先求出集合M，N，然后根据交集的运算求出答案．
【解答】
解：∵M={x||x−1|<1}={x|0<x<2}，
N={x|x<2}，
∴M∩N=(0,2)，
故选C．
3.答案：A
解析：解：a⃗−b⃗ =(−2,1−m)；
∵a⃗⊥(a⃗−b⃗ )；
∴a⃗⋅(a⃗−b⃗ )=−2+1−m=0；
∴m=−1．
故选：A．
可求出a⃗−b⃗ =(−2,1−m)，根据a⃗⊥(a⃗−b⃗ )即可得出a⃗⋅(a⃗−b⃗ )=0，进行数量积的坐标运算即可求出m．
考查向量垂直的充要条件，向量减法和数量积的坐标运算．
4.答案：C
解析：
【分析】
本题主要考查复合命题真假的应用，根据条件判断命题p，q的真假是解决本题的关键．
【解答】
解：命题，当x=1时，sin1=2∉[−1,1]，所以该命题是假命题，
命题q:∃x∈R,e x<1，当x=−1时，e x=e−1=1
e
<1，所以该命题是真命题，
故(¬p)∧q为真命题，
故答案选C．
5.答案：B
解析：
【分析】
本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
基本事件总数n=A33=6，第2位走出的是女同学包含的基本事件个数m=C21C11C11=2，由此能求出第2位走出的是女同学的概率．
【解答】
解：下课以后，教室里还剩下2位男同学和1位女同学，
他们依次走出教室，
基本事件总数n=A33=6，
第2位走出的是女同学包含的基本事件个数m=C21C11C11=2，
则第2位走出的是女同学的概率是p=m
n =2
6
=1
3
．
故选：B．
6.答案：C
解析：
【分析】
由题意可知，双曲线为等轴双曲线，则其离心率可求．
本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的简单性质，是基础题．【解答】
解：双曲线x2
a2−y2
b2
=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±b
a
x，
由双曲线x2
a2−y2
b2
=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线x−y+1=0平行，
可得b
a
=1，则双曲线为等轴双曲线，其离心率为√2．
故选：C．
7.答案：B
解析：
【分析】
本题考查了三视图求几何体侧面积的问题，考查空间想象能力，属于基础题．【解答】
解：由图可知，该几何体为圆锥，母线长为1，底面半径为，
则该几何体的侧面积为，。