梯度下降法[优质ppt]
《梯度下降法》课件
随机梯度下降法（Stochastic Gradient Descent）
总结词
计算量最小，收敛速度最快，适用于小数据集
详细描述
由于每次迭代只使用一个样本计算梯度，计算量最小，因 此随机梯度下降法的收敛速度最快。
详细描述
停止条件
迭代更新会一直进行直到满足某个停止条件，如达到预设的最大迭代次数、达到预设的精度要求或者梯度值足够 小等。
03
梯度下降法的分类
批量梯度下降法（Batch Gradient Descent）
总结词
计算量大，收敛速度慢，适用于大数据集
详细描述
由于每次迭代都需要使用整个数据集，计算量大，导致收 敛速度较慢。
发展方向：
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结合其他优化算法： 研究如何将梯度下降法与其他优化 算法（如牛顿法、拟牛顿法等）结合，以提高搜索效率。
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自适应学习率： 研究如何设计自适应学习率策略，以更 好地处理不同阶段的优化问题。
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挑战：
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高维优化： 在高维参数空间中，梯度下降法可能会遇到 维度诅咒问题，需要研究有效的降维或正则化策略。
利用前一次的梯度方向来指导当前步的搜索方向 ，加速收敛并减少震荡。
公式表达
v = μ * v - lr * gradient
参数解释
v是动量，μ是动量系数，lr是学习率，gradient是 当前点的梯度。
Adagrad、RMSprop和Adam优化算法
Adagrad
针对不同参数自适应调整学习率，对稀疏数据有较好 的效果。
梯度下降法神经网络控制教材(第三版)
将输入数据通过神经网络得到输出结果的过程， 用于计算损失函数值。
02
反向传播
根据损失函数对神经网络参数的梯度，调整神经 网络参数的过程，以最小化损失函数。
参数更新策略
01 批量梯度下降
使用整个训练集计算参数的梯度，更新参数。
02 小批量梯度下降
使用小批量数据计算参数的梯度，更新参数，可 以加速训练并减少计算资源消耗。
计算损失函数关于权重和偏置的梯度
01
在每次迭代中，计算当前权重和偏置下的损失函数梯度。
更新权重和偏置
02
根据计算出的梯度，沿着负梯度的方向更新权重和偏置。
迭代更新
03
重复上述步骤，直到满足停止条件（如达到预设的最大迭代次
数或损失函数的值小于预设阈值）。
梯度下降法的收敛性分析
01 收敛速度
梯度下降法的收敛速度取决于学习率的大小。学 习率过大可能导致算法收敛到局部最小值或鞍点， 而学习率过小可能导致算法收敛速度缓慢。
详细描述
控制参数和优化目标函数的选择对无人机飞行控制的效果有很大的影响。在梯度下降法中，需要根据具体问题选 择合适的控制参数和优化目标函数，以使得无人机能够更好地适应不同的飞行环境和任务需求。同时，还需要考 虑控制参数之间的耦合关系和约束条件等因素，以避免出现
07
总结与展望
总结
梯度下降法神经网络控制教材(第三 版)系统地介绍了神经网络的基本原 理、训练方法、优化技巧以及在控制
02 局部最小值和全局最小值
梯度下降法只能找到局部最小值，而非全局最小 值。在某些情况下，算法可能陷入局部最小值， 而非全局最优解。
03 初始点选择
初始权重和偏置的选择对算法的收敛结果有影响。 不同的初始点可能导致算法收敛到不同的局部最 小值。
梯度下降法
Q q0
*
q1
q2
q3
T
（二）参数定义、坐标系定义 如果不存在误差那么 a=Q ⊕G ⊕Q* h=Q ⊕H⊕Q* 实际上是不相等的。 H是参考坐标系下地磁场 G是参考坐标系下重力加速动 参考坐标系：X轴对应北；Y轴对应西；Z轴对应天 机体坐标系：初始与参考坐标同向 T 则： G 0 0 1
为地磁场与测量的磁场的偏差
2、由于相减的向量是单位向量，∆很小时，|∆|就相
当于角度。
ax 2(q1q3 q0 q2 ) ax 2(q q q q ) a a R * G a a 2 3 0 1 y y 2 2 2 2 a q q q q 1 2 3 az z 0
4hy H z q3 4hz H x q0 4hz H z q2
f 4ax q1 4a y q2 4az q3 4hx H x q3 4hx H z q1 4hy H x q0 q3
4hy H z q2 4hz H x q1 4hz H z q3
有了梯度，剩下的就是确定步长r 确定步长是梯度下降法的核心。步长未必是一成不变
梯度下降
2017/12/10
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最速下降法
2017/12/10
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最速下降法
Do you remember Hessian matrix?
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原来如此简单~~~
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最速下降法
王世雄
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优化问题的表示
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2
公式推导的过程
2017/12/10
3为什么加系数α1数据规范化在面对多维特征问题的时候，我们要保证这
些特征都具有相近的尺度，这将帮助梯度下 降算法更快地收敛。 2）常用的学习率： 0.01，0.03，0.1，0.3，1，3，10
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7
梯度下降法
α的确定？
要求f(x) = x2的最小值
x(0)=5 x(1) = x(0) - α ▽f(x)=5-α•2•5 f(x(1) ) = (5-α•2•5)2 对f(x(1) )求导（令其为0）
α= 0.5
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梯度下降法
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最速下降法
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举个简单例子来理解
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梯度下降法
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梯度下降法
假设要求f(x) = x2的最小值
初始点为x(0)=5
根据梯度下降法 x(1) = x(0) - α ▽f(x)=5-α•2•5 显然f(x)的最小值为 x = 0 但是 ①不加α 时 x(1) = -5 ②α = 0.5 x(1) = 0 ③α = 0.01 x(1) = 4 那么α该怎么选取呢？
梯度下降法——精选推荐
梯度下降法
梯度下降法(gradient descent)或最速下降法(steepest descent)是求解⽆约束最优化问题的⼀种最常⽤的⽅法。
梯度下降法是迭代算法，每⼀步需要求解⽬标函数的梯度向量。
假设f(x)是R n上具有⼀阶连续偏导数的函数，要求解的⽆约束最优化问题是
x*表⽰⽬标函数f(x)的极⼩点。
提梯度下降法是⼀种迭代算法。
选取适当的初值x(0)，不断迭代，更新x值，进⾏⽬标函数的极⼩化，直到收敛。
由于负梯度⽅向是使函数值下降最快的⽅向，在迭代的每⼀步，以负梯度⽅向更新x的值，从⽽达到减少函数值的⽬的。
由于f(x)具有⼀阶连续偏导数，若第k次迭代值为x(k)，则可将f(x)在x(k)附近进⾏⼀阶展泰勒开：
这⾥，为f(x)在x(k)的梯度。
求出第k+1次迭代值x(k+1)：
其中，p k是搜索⽅向，取负梯度⽅向，λk是步长，由⼀维搜索确定，即λk使得：
梯度下降算法如下：
输⼊：⽬标函数f(x)，梯度函数，计算精度ε；
输出：f(x)的极⼩点x*
（1）取初值x(0)∈R n ，置k=0
（2）计算f(x(k))
（3）计算梯度g k=g(x(k)),当||g k||<ε时，停⽌迭代，令x*=x k；否则，令p k=-g(x(k))，求λk，使
（4）置x(k+1)=x(k)+λk p k，计算f(x(k+1))
当||f(x(k+1))-f(x(k))||<ε或||x(k+1)-x(k)||<ε时，停⽌迭代，令x*=x(k+1)
（5）否则，置k=k+1,转（3）。
梯度下降法原理
梯度下降法原理
梯度下降法是一种优化算法，主要用于寻找函数的最小值。
它的基本原理是通过不断迭代更新参数，从而逐步接近函数的最小值点。
1. 初始化参数：选择一个初始点作为起始点，即确定函数的初始参数。
2. 计算梯度：在当前参数点处，计算函数的梯度。
梯度是函数在某一点的偏导数，表示函数在该点上升最快的方向。
3. 更新参数：根据梯度的信息，更新参数点。
具体更新方法有多种，最常见的是通过参数点减去学习率乘以梯度的方法进行更新。
4. 判断收敛：判断当前参数点是否满足收敛条件。
可以通过设定一个阈值，当参数的变化小于阈值时停止迭代。
5. 迭代更新：如果参数点不满足收敛条件，则返回步骤2，继续进行梯度的计算和参数的更新，直到满足收敛条件为止。
通过以上步骤，梯度下降法不断迭代更新参数，直到找到函数的最小值点。
需要注意的是，梯度下降法只能保证找到局部最小值，并不一定能找到全局最小值。
此外，学习率是一个重要的超参数，过大或过小的学习率都会影响梯度下降法的性能，因此需要合理选择学习率。
13、梯度下降算法
13、梯度下降算法1、机器学习中为什么需要梯度下降梯度下降是机器学习中常见优化算法之⼀，梯度下降法有以下⼏个作⽤：（1）梯度下降是迭代法的⼀种，可以⽤于求解最⼩⼆乘问题。
（2）在求解机器学习算法的模型参数，即⽆约束优化问题时，主要有梯度下降法（Gradient Descent）和最⼩⼆乘法。
（3）在求解损失函数的最⼩值时，可以通过梯度下降法来⼀步步的迭代求解，得到最⼩化的损失函数和模型参数值。
（4）如果我们需要求解损失函数的最⼤值，可通过梯度上升法来迭代。
梯度下降法和梯度上升法可相互转换。
（5）在机器学习中，梯度下降法主要有随机梯度下降法和批量梯度下降法。
2、梯度下降法缺点梯度下降法缺点有以下⼏点：（1）靠近极⼩值时收敛速度减慢。
（2）直线搜索时可能会产⽣⼀些问题。
（3）可能会“之字形”地下降。
梯度概念也有需注意的地⽅：（1）梯度是⼀个向量，即有⽅向有⼤⼩。
（2）梯度的⽅向是最⼤⽅向导数的⽅向。
（3）梯度的值是最⼤⽅向导数的值。
3、梯度下降法直观理解梯度下降法经典图⽰如下图所⽰：形象化举例，由上图所⽰，假如最开始，我们在⼀座⼤⼭上的某处位置，因为到处都是陌⽣的，不知道下⼭的路，所以只能摸索着根据直觉，⾛⼀步算⼀步，在此过程中，每⾛到⼀个位置的时候，都会求解当前位置的梯度，沿着梯度的负⽅向，也就是当前最陡峭的位置向下⾛⼀步，然后继续求解当前位置梯度，向这⼀步所在位置沿着最陡峭最易下⼭的位置⾛⼀步。
不断循环求梯度，就这样⼀步步地⾛下去，⼀直⾛到我们觉得已经到了⼭脚。
当然这样⾛下去，有可能我们不能⾛到⼭脚，⽽是到了某⼀个局部的⼭势低处。
由此，从上⾯的解释可以看出，梯度下降不⼀定能够找到全局的最优解，有可能是⼀个局部的最优解。
当然，如果损失函数是凸函数，梯度下降法得到的解就⼀定是全局最优解。
核⼼思想归纳：（1）初始化参数，随机选取取值范围内的任意数；（2）迭代操作： a）计算当前梯度； b）修改新的变量； c）计算朝最陡的下坡⽅向⾛⼀步； d）判断是否需要终⽌，如否，返回a）；（3）得到全局最优解或者接近全局最优解。
常见的梯度下降算法
梯度下降算法是一种最优化算法，主要用于寻找一个函数的局部最小值。
在机器学习和深度学习中，梯度下降法被广泛用于优化损失函数，从而使得模型的参数能够更好地拟合训练数据。
梯度下降算法的核心思想是：从初始点开始，沿着函数梯度的反方向进行迭代，逐步调整参数，以找到使函数值最小化的最优解。
常见的梯度下降算法有以下几种：
批量梯度下降（Batch Gradient Descent）：这是最原始的梯度下降算法。
在每次迭代中，它使用整个数据集来计算梯度，并更新参数。
然而，由于需要使用整个数据集，因此在大规模数据集上，批量梯度下降的运算速度会比较慢。
随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent）：为了解决批量梯度下降的效率问题，随机梯度下降每次迭代只使用一个样本来计算梯度，并更新参数。
这使得随机梯度下降在大数据集上的运算速度更快，但同时也增加了参数的波动性。
小批量梯度下降（Mi。
梯度下降
05
梯度下降算法在机器学 习中的应用
线性回归模型参数优化
01
02
03
04
初始化参数
为线性回归模型的参数设定初 始值。
计算梯度
根据损失函数计算参数的梯度 。
更新参数
沿着梯度的反方向更新参数， 以减小损失函数的值。
迭代优化
重复计算梯度和更新参数的过 程，直到达到预设的迭代次数
或损失函数收敛。
逻辑回归模型参数优化
小批量梯度下降法适用于大 多数机器学习问题，特别是 数据集较大且需要高效优化 模型的情况。同时，该方法 也适用于需要在线学习和实 时更新的场景。
03
梯度下降算法实现步骤
数据预处理与特征选择
01
02
03
数据清洗
去除或填充缺失值、处理 异常值、删除重复数据等 。
特征缩放
通过标准化或归一化等方 法，使不同特征具有相同 的尺度，提高梯度下降算 法的收敛速度。
引入动量因子，使得梯度下降过程具有一定 的惯性，有助于逃离局部最小值。
鞍点问题及其影响分析
鞍点问题
梯度下降算法在优化过程中可能会遇 到鞍点，即某些方向上是局部最小值 ，而其他方向上是局部最大值，导致 优化过程停滞不前。
影响分析
鞍点会使得梯度下降算法在优化过程 中陷入局部区域，难以继续搜索更优 的解，从而影响优化结果和算法收敛 速度。
初始化参数
为逻辑回归模型的参数设定初始值。
更新参数
使用梯度下降算法更新参数，以最小化对数 似然损失函数的值。
计算梯度
根据对数似然损失函数计算参数的梯度。
迭代优化与正则化
通过迭代优化算法不断调整参数，同时引入 正则化项以防止过拟合。
机器学习：梯度下降法
机器学习：梯度下降法⼀、梯度下降法基础定义：梯度下降法不是⼀个机器学习算法，是⼀种基于搜索的最优化⽅法；功能：最优化⼀个损失函数；梯度上升法：最⼤化⼀个效⽤函数；机器学习中，熟练的使⽤梯度法（下降法、上升法）求取⽬标函数的最优解，⾮常重要；线性回归算法模型的本质就是最⼩化⼀个损失函数，求出损失函数的参数的数学解；很多机器学习的模型是⽆法求出⽬标函数的参数的最优解；梯度下降法是在机器学习领域中最⼩化损失函数的最为常⽤的⽅法； 1）梯度下降法的逻辑思路每次改变⼀点参数theta，⽬标函数 J 跟着改变，不断的递进改变参数值，得到⽬标函数的极值；经过多次运⾏，每次随机选取初始化的点，得出不同的局部最优解（极值），⽐较所有最优解，最⼩/最⼤的合格值就是⽬标函数的最值；theta：模型中的参数，⽽不是模型中的变量；（以线性回归模型为例）模型中的每⼀个 X 表⽰⼀个样本，每⼀个 y 表⽰该样本对应的值；y = X.dot(θ)：结果为⼀个数值；变量 theta 的变化量 = 学习率 X 梯度/导数new_theta = last_theta - theta的变化量损失函数 J 应该有⼀个最⼩值，对于最⼩化⼀个损失函数来说，相当于在此坐标系中，寻找⼀个点参数theta使得 J 取得最⼩值导数可以代表函数变化的⽅向，对应 J 增⼤的⽅向，因为公式前加了符号 “ - ” ；η：学习率（Learning rate）1. η的取值影响获得最优解的速度；2. η取值不合适，甚⾄得不到最优解；3. η是梯度下降法的⼀个超参数；⼀般需要调参找到最适合的η；4. η太⼩，减慢收敛学习速度5. η太⼤，导致不收敛如果出现 J 的变化有减有曾，可能是η的取值太⼤；收敛：得到极值的过程 2）梯度下降法的问题问题：并不是所有的函数都有唯⼀的极值点，优化的⽬标是找到最⼩值点；⽅案：多次运⾏，随机化初始点，⽐较后取最优解；⽅案弊端：也不⼀定能找到全局最优解； 3）其它直线⽅程中导数代表斜率；曲线⽅程中导数代表在这⼀点的切线的斜率；为什么叫梯度：在多维函数中，要对各个⽅向的分量分别求导，最终得到的⽅向就是梯度；多维函数中，梯度代表函数变化的⽅向，对应就 J 增⼤/减⼩的⽅向；梯度下降法的初始点也是⼀个超参数，起始点对于⼀个算法是⾮常重要的；⼆、程序模拟梯度下降法原理 1）具体实现 # 模拟损失函数：y = (x - 2.5)**2 - 1 # 数据集特征值：plot_x = np.linspace(-1, 6, 141)代码import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt# np.linspace(-1, 6, 141)：将区间[-1, 6]等分成141份，包含-1和6plot_x = np.linspace(-1, 6, 141)# 记录搜索过程中的theta值theta_history = []# 1）计算当前theta值对应的损失函数的导数值def dJ(theta):return 2*(theta-2.5)# 2）计算当前theta值对应的损失函数值# 在计算损失函数时添加异常检测功能# 设置异常检测原因：当 eta 过⼤时，使得损失函数是不断增⼤的，也就得不到满⾜精度的损失函数值，就会报错# 异常检测：没有异常时执⾏try，有异常时执⾏except# 此处执⾏except时返回浮点数的最⼤值def J(theta):try:return (theta-2.5)**2 - 1.except:return float('inf')# 3）梯度下降，循环搜索，获取局部最优解# ⼀般判断函数的极值点位置：导数 == 0# 如何判断theta是否来到的极值点？# 问题：编程具体实现的时候，有可能由于eta设置的不合适，或者求导时有浮点精度，使得求取的损失函数最⼩值所对应的theta点，不是导数刚好等于 0 的点# 循环结束：当前的损失函数值 - 上⼀次的损失函数值之间的差 < 精度，此时停⽌循环，以为当前的损失函数值为局部最优解# initial_theta：theta的初始值# eta：学习率# n_iters：循环次数，默认10000次；（如果不设定循环次数，程序出现死循环时会⼀直执⾏）# espsilon：精度，默认10**-8def gradient_descent(initial_theta, eta, n_iters = 10**4, espsilon=10**-8):theta = initial_thetatheta_history.append(initial_theta)i_iter = 0while i_iter < n_iters:# 循环开始时，先求取当前theta所对应的梯度gradient = dJ(theta)# abs(x)：求x的绝对值last_theta = thetatheta = theta - eta * gradienttheta_history.append(theta)if(abs(J(theta) - J(last_theta)) < epsilon):break# 每进⾏⼀次循环，得不到结果时，记录⼀次循环次数# 如果得到了结果，break直接终端循环i_iter += 1# 4）绘制参数与损失函数的关系图形、绘制循环搜索过程中的theta值与损失函数的关系图def plot_theta_history():plt.plot(plot_x, J(plot_x))plt.plot(np.array(theta_history), J(np.array(theta_history)), color='r', marker='+')plt.show()其它1. 计算当前theta值对应的损失函数 J 的值时，要进⾏异常检测；原因：当 eta 过⼤时，使得损失函数是不断增⼤的，也就得不到满⾜精度的损失函数值，就会报错；2. 如何判断theta是否来到了极值点？⽅案：设定精度，当前的损失函数值 - 上⼀次的损失函数值之间的差 < 精度，此时停⽌循环，以为当前的损失函数值为局部最优解；3. 问题：①、⼀般判断函数的极值点位置：导数 == 0②、编程具体实现的时候，有可能由于eta设置的不合适，或者求导时有浮点精度，使得求取的损失函数最⼩值所对应的theta点，不是导数刚好等于 0 的点；4. 梯度下降，循环搜索时，设定循环次数；原因：如果不设定循环次数，程序出现死循环时会⼀直执⾏；5. np.linspace(-1, 6, 141)：将区间 [-1, 6] 等分成141个点，包含 -1 和 6；6. abs(x)：返回x的绝对值； 2）给定不同的学习率、初始值，查看优化情况1. eta = 0.1theta_history = []gradient_descent(0., eta)plot_theta_history()# len(theta_history) == 462. eta = 0.01theta_history = []gradient_descent(0., eta)plot_theta_history()# len(theta_history) == 4243. eta = 0.8theta_history = []gradient_descent(0., eta)plot_theta_history()# len(theta_history) == 224. eta = 1.1theta_history = []gradient_descent(0., eta, n_iters=10)plot_theta_history()# len(theta_history) == 10001分析1. 现象：搜索开始时 J 和 theta 变化都⽐较⼤，最后变化较⼩；（搜索点的分布：由疏到密）# 原因：theta的每次变化量 == eta * 2 * (theta-2.5)，随着theta的不断减⼩，每次的变化量也会减⼩，因此⽔平⽅向上点的分布越来越密另外，由J == (theta - 2.5) ** 2 - 1看出，每次的 J 的变化量也会减⼩，因此垂直⽅向上点的分布也会越来越密# 变化量 == 学习率 X 导数，导数 == 2*(theta - 2.5)，new_theta == last_theta — last_变化量。
梯度下降算法
梯度下降算法 在求解机器学习算法的模型参数，即⽆约束优化问题时，梯度下降（Gradient Descent）是最常采⽤的⽅法之⼀，另⼀种常⽤的⽅法是最⼩⼆乘法。
这⾥就对梯度下降法做⼀个完整的总结。
⼀、梯度 在微积分⾥⾯，对多元函数的参数求∂偏导数，把求得的各个参数的偏导数以向量的形式写出来，就是梯度。
⽐如函数f(x,y), 分别对x,y求偏导数，求得的梯度向量就是(∂f/∂x, ∂f/∂y)T,简称grad f(x,y)或者▽f(x,y)。
对于在点(x0,y0)的具体梯度向量就是(∂f/∂x0, ∂f/∂y0)T.或者▽f(x0,y0)，如果是3个参数的向量梯度，就是(∂f/∂x, ∂f/∂y，∂f/∂z)T,以此类推。
那么这个梯度向量求出来有什么意义呢？他的意义从⼏何意义上讲，就是函数变化增加最快的地⽅。
具体来说，对于函数f(x,y),在点(x0,y0)，沿着梯度向量的⽅向就是(∂f/∂x0, ∂f/∂y0)T的⽅向是f(x,y)增加最快的地⽅。
或者说，沿着梯度向量的⽅向，更加容易找到函数的最⼤值。
反过来说，沿着梯度向量相反的⽅向，也就是 -(∂f/∂x0, ∂f/∂y0)T的⽅向，梯度减少最快，也就是更加容易找到函数的最⼩值。
⼆、梯度下降与梯度上升 在机器学习算法中，在最⼩化损失函数时，可以通过梯度下降法来⼀步步的迭代求解，得到最⼩化的损失函数，和模型参数值。
反过来，如果我们需要求解损失函数的最⼤值，这时就需要⽤梯度上升法来迭代了。
梯度下降法和梯度上升法是可以互相转化的。
⽐如我们需要求解损失函数f(θ)的最⼩值，这时我们需要⽤梯度下降法来迭代求解。
但是实际上，我们可以反过来求解损失函数 -f(θ)的最⼤值，这时梯度上升法就派上⽤场了。
三、梯度下降算法 梯度下降算法可以看做是⼀个下⼭的过程，我们不知道如何下⼭，于是决定⾛⼀步算⼀步，没⾛⼀步都计算⼀下当前位置的梯度，然后沿着梯度的负⽅向，迈出下⼀步。
梯度下降法原理和步骤
梯度下降法原理和步骤一、梯度下降法原理梯度下降法是一种常用的优化算法，用于求解目标函数的最小值。
在机器学习和深度学习中，梯度下降法被广泛应用于参数优化。
其基本原理是通过迭代的方式，不断更新参数的值，使得目标函数的值逐渐趋近于最小值。
梯度下降法的核心思想是利用函数的梯度信息来指导参数的更新方向。
梯度是函数在某一点上的变化率，表示函数在该点上升最快的方向。
因此，梯度的反方向就是函数下降最快的方向。
通过不断沿着梯度反方向更新参数的值，可以逐步接近最优解。
二、梯度下降法步骤1. 初始化参数：首先需要选择适当的初始参数值，这些参数将在梯度下降的过程中被更新。
通常可以随机初始化参数或者根据经验选择一组合理的初始值。
2. 计算梯度：利用目标函数对参数求偏导，得到目标函数的梯度。
梯度是一个向量，它的每个分量表示目标函数对相应参数的偏导数。
3. 更新参数：根据梯度的反方向更新参数的值。
这个更新的过程可以通过参数的当前值减去梯度乘以一个学习率来实现。
学习率控制了参数更新的步长，过大的学习率可能导致在最小值附近震荡，过小的学习率可能导致收敛速度过慢。
4. 判断停止条件：判断是否达到停止条件，即目标函数是否已经收敛到最小值附近。
常用的停止条件包括目标函数的变化量小于某个阈值，或者迭代次数达到预设的最大值。
5. 继续迭代：如果停止条件不满足，继续进行迭代，重复步骤2-4，直到满足停止条件为止。
三、总结梯度下降法是一种常用的优化算法，通过不断更新参数的值，使得目标函数的值逐渐趋近于最小值。
其核心思想是利用函数的梯度信息来指导参数的更新方向。
梯度下降法的步骤包括初始化参数、计算梯度、更新参数、判断停止条件和继续迭代。
在实际应用中，需要选择适当的学习率和停止条件，以及合适的初始化参数值，来使梯度下降法收敛到最优解。
举例常见的梯度下降算法
举例常见的梯度下降算法
常见的梯度下降算法有：
1. 批量梯度下降算法（Batch Gradient Descent）：每次迭代使用所有训练样本的梯度来更新模型参数。
2. 随机梯度下降算法（Stochastic Gradient Descent）：每次迭代使用单个训练样本的梯度来更新模型参数。
3. 小批量梯度下降算法（Mini-batch Gradient Descent）：每次迭代使用一小批训练样本的梯度来更新模型参数。
通常小批量大小为2~100。
这些算法在优化模型时都使用了梯度信息，不同之处在于每次迭代采用的样本数量。
批量梯度下降算法能够保证收敛到全局最优解，但每次更新参数需要计算所有训练样本的梯度，计算代价较高，不适用于大型数据集。
随机梯度下降算法每次只使用一个样本的梯度来更新参数，计算代价小，但更新参数的方向容易受到噪声的影响，收敛速度较慢。
小批量梯度下降算法综合了以上两者的优缺点，既不需要计算所有训练样本的梯度，也不会像随机梯度下降一样容易受到噪声的影响，是最常用的梯度下降算法之一。
梯度下降法
梯度下降法
梯度下降法是机器学习中常用的一种优化方法，其原理是通过迭代求解最适合某个函数参数值的方法。
梯度下降是在函数空间中搜索最优解的有效算法。
它是一种以极小化最优化技术来求解最小值的一种算法，可以用来求解优化问题，包括凸优化问题，即优化目标变量是凸函数的最小值求解问题。
拟牛顿法、调整系数算法和梯度下降法都可以用来求解最小值问题，但梯度下降法有几个显著优点：算法简单，精度可以得到较好的收敛，而且它有很灵活的学习率，能使模型容易收敛，训练数据集要求不是很大，计算复杂度也不高，这也使得梯度下降法比较受欢迎。
但梯度下降法也有一些限制，其中之一是它只有在函数为连续可导的情况下才能有效求解。
它使用较大的学习率可能影响收敛精度，而且当所有数据点都极其相似时，它也不能保证找到最小值。
如果函数中存在局部最小值或者鞍点，它也可能导致收敛慢，不能发现全局最小值。
总之，梯度下降法是一种简单无脑的优化方法，因为它着重于通过简单的迭代求解最优函数参数，而无需考虑更复杂的求解过程，节省了大量的时间成本。
然而，它也存在一些局限性，特别是在局部最小情况下，所以在做深度学习或者大规模优化时，应该综合考虑使用其他的优化算法。
优化算法- 梯度下降法
从ak点出发，沿着 s ( k ) 方向走一步，步长为 k ,得到新 ˆ 点ak+1,表示为：
ˆ ak 1 ak k s ( k )
5
J (a )
J (a )
k
J (a )
ak 1 a k
a
6
因此，在新点ak+1，函数J(a)的函数值为：
ˆ J ( ak 1 ) J ( ak k s ( k ) )
4) 计算最佳步长
5) 令：
。
* k
* 6) 计算并检验另一判据： k 1 ak k s ( k ) ，满足转8， ˆ a 否则继续。 J ( a ) J (a )
7) 令k=k+1,转2。
k 1
k
8) 输出结果，结束。
9
J (a )
J (a )
ak
a
3
求函数J(a)极小值的问题，可以选择任意初始点a0,从a0 出发沿着负梯度方向走，可使得J(a)下降最快。
s (0) J (a0 )
s(0)：点a0的搜索方向。
4
对于任意点ak，可以定义ak点的负梯度搜索方向的单位 向量为:
ˆ s
(k )
J 列由迭代算法生成 a0, a1, a2, …. , ak, ak+1, ... 该序列在一定条件下收敛于使得J(a)最小的解a*
ˆ 迭代算法公式：ak 1 ak k s ( k )
7
迭代算法公式：
ˆ ak 1 ak k s ( k )
关键问题：如何设计步 长
梯度下降法
1
梯度下降法又称最速下降法。函数J(a)在某点ak的梯度
J ( ak ) 是一个向量，其方向是J(a)增长最快的方向。显
梯度下降法原理
梯度下降法原理梯度下降法（Gradient Descent）是一种常用的优化算法，用于最小化一个函数的值。
在机器学习和深度学习领域，梯度下降法被广泛应用于优化模型的参数，以使模型能够更好地拟合数据。
本文将介绍梯度下降法的原理及其在优化问题中的应用。
梯度下降法的原理很简单，它通过不断地沿着目标函数的负梯度方向更新参数，从而逐渐减小目标函数的值。
具体来说，对于目标函数f(θ)，我们希望找到使f(θ)最小化的θ。
梯度下降法的更新公式如下：θ = θα∇f(θ)。
其中，α是学习率，∇f(θ)是目标函数f(θ)的梯度。
梯度是一个向量，它指向目标函数在当前点的最快上升方向。
因此，沿着梯度的反方向更新参数，可以使目标函数的值逐渐减小。
在实际应用中，梯度下降法通常分为批量梯度下降（Batch Gradient Descent）、随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent）和小批量梯度下降（Mini-batch Gradient Descent）三种形式。
批量梯度下降在每一轮迭代中都使用所有样本来计算梯度，因此计算准确但速度较慢；随机梯度下降在每一轮迭代中只使用一个样本来计算梯度，因此速度较快但计算不够稳定；小批量梯度下降综合了上述两种方法，使用一个小批量样本来计算梯度，兼具计算速度和计算稳定性的优势。
梯度下降法虽然简单，但在实际应用中有一些需要注意的问题。
首先是学习率的选择，学习率过大会导致参数更新过大，甚至发散；学习率过小会导致参数更新缓慢，收敛速度慢。
其次是局部最优解的问题，目标函数可能存在多个局部最优解，梯度下降法不保证找到全局最优解。
因此，在实际应用中，通常会结合其他技巧来提高梯度下降法的效果，如学习率衰减、动量法、自适应学习率等。
总之，梯度下降法是一种常用的优化算法，它通过不断地沿着目标函数的负梯度方向更新参数，逐渐减小目标函数的值。
在机器学习和深度学习领域，梯度下降法被广泛应用于优化模型的参数，是实现模型训练的重要工具之一。
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随机梯度下降收敛图（SGD迭代的次数较多， 在解空间的搜索过程看起来很盲目。但是 大体上是往着最优值方向移动。）
5. 小批量梯度下降法MBGD
为综合解决BGD的训练速度慢，以及SGD的 准确性低的问题，提出MBGD 它是利用部分样本的损失函数对θ求偏导得 到对应的梯度，来更新θ。
6. 总结
方法 BGD
对所有m个样本数据，上述损失函数的偏导 （累和）为：
（2）由于是要最小化风险函数，所以按每个
参数θ的梯度负方向，来更新每个θj(j=0, 1, 2, …, n)
上例中，利用BGD求得
由更新公式可知，批量梯度下降得到的是一 个全局最优解，每一次的参数更新都用到了 所有的训练数据，如果训练数据非常多的话， 执行效率较低。
梯度下降法
2017.6.13
1. 引言
梯度下降（GD）是最小化风险函数、损失 函数的一种常用方法。
在应用机器学习算法时，通常采用梯度下 降法来对采用的算法进行训练。
梯度下降法包含三种不同形式：
批量梯度下降BGD（Batch Gradient Descent ）
随机梯度下降SGD（Stochastic Gradient Descent ）
参考文献
https:///p/25765735 /lilyth_lilyth/article/details/8973972 http://other/504873.ht
m
畅想网络
其中： m是训练集的样本个数 1/2是为了后面求导计算方便
一个二维参数（ θ 0 ， θ 1 ）组对应能量函数 （描述整个系统的优化程度，随着网络的变化
而减小，最终网络稳定时能量达到最小）的可 视化图
3. 批量梯度下降法BGD
更新算法的目的：误差函数尽可能小，即 求解参数使误差函数尽可能小。
批量梯度下降法的收敛图（迭代的次数相对 较少）：
4. 随机梯度下降法SGD
由于批梯度下降每更新一个参数的时候， 要用到所有样本，所以训练速度会随着样 本数量的增加而变得非常缓慢。
随机梯度下降正是为了解决这个办法而提 出的。它是利用单个样本的损失函数对θ求 偏导得到对应的梯度，来更新θ。
上例中，利用SGD求得
SGD
MBGD
优点
缺点
最小化所有训练样本的损失 如果样本值很大的话，更新 函数，使得最终求解的是全 速度会很慢。 局的最优解
最小化每个样本的损失函数，训练数据的噪声较多，导致 大大加快更新速度，最终的 不是每次迭代得到的损失函 结果在全局最优解附近。 数都向着全局最优方向。
训练速度快，参数准确性高 不同的问题需要设置不同的 小批量值。
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随机梯度下降是通过每个样本来迭代更新一次， 如果样本量很大的情况（例如几十万），那么 可能只用其中几万条或者几千条的样本，就已 经将参数迭代到最优解。
对比上面的批量梯度下降，迭代一次需要用到 十几万训练样本，一次迭代不可能最优，如果 迭代10次的话就需要遍历训练样本10次。
SGD的问题是噪音较BGD要多，使得SGD并不 是每次迭代都向着整体最优化方向。
假设一维线性模型表达式如下：
其中：
hƟ(x)是假设函数，即要拟合的函数 θ为待求解参数，即要迭代求解的值， θ求解 出来了那最终要拟合的函数hƟ(x)就确定了。 n表示输入特征数，为方便计算，所有的样本 都加入了x0=1这个特征，所以维数为n+1维。
对应的损失/误差函数，即估计值与真实值之间 的差距，这里用2-范数表示为：
主要思想：
首先，随机初始化参数； 然后，不断反复的更新参数使得误差函数减小，
直到满足要求时停止。
梯度下降算法，利用初始化的参数θ并且反 复更新参数θ：
α代表学习率，表示每次向着函数J最陡峭 的方向迈步的大小（步长？）
（1）将J(θ)对θ求偏导，得到每个θ对应的的 梯度
当m=1时，即只有一个样本数据（x, y），J对 第j个参数θj的偏导数是：
小批量梯度下降法MBGD (Mini-Batch Gradient Descent )
下文将以线性回归算法为例来对三种梯度下 降法进行比较
2. 先导知识
一元线性回归(拟合曲线) 假设这里存在m=6组数据(x, y)
从图上可以看出，大致数据的大致走势是 可以用线性模型y=kx+b来表示的，为此我们 建立一维线性回归模型。