核反应堆物理基础第4章

k 1 1.060 1 2.0 10 4 cm 2 2 L 300
Bg=0.01414cm-1，另一方面，根据Bg=π/a，因而有
a

Bg


1.414
222.2cm
由于外推距离d=2cm
求得临界时反应堆的厚度H=a-2d=222.2-4=218.2cm
根据无限平板型均匀裸堆单群扩散方程的解

xe ( kn 1)t / ln
4-15
随时间变化项为
e
k n 1 t ln
由
L2 ln 2 Dv(1 L2 Bn )
k kn 2 1 L2 Bn
Bn
(2n 1) , n 1,2,3 a
知n=1时，B1最小，k1最大
（1）当k1<1,所有kn-1都小于1，通量密度按指数规律衰减，无法维持一个恒
§4.1
均匀裸堆的单群理论
实际反应堆都是非均匀的，燃料以燃料棒的形式出现，而 且各燃料棒的富集度存在差异，但要严格按非均匀堆进行 中子扩散或输运方程求解，非常复杂，或则不可能。实际 都作“均匀化”处理，即把燃料、慢化剂、冷却剂及结构 材料看成均匀混合。 对中子能量的处理采用划分“能群”的方法，即把从源能量 到热能的范围划分成若干区间（能群）。最简单的扩散模型 就是单群，即把热中子反应堆内的所有中子都看成是热中子。 更精确一些的模型是双群，即把热中子划为一群，快中子为 一群。
4-4
是一二阶偏微分方程，通常用分离变量法求解
( x, t ) ( x)T (t )
代入4-4式
1 d 2 ( x) 1 dT (t ) k 1 2 2 ( x) dx DvT (t ) dt L
左端是x的函数，右端是t的函数，两端必须均等于某一常数，令为-B2,得方程组
和波动方程的基波解
中子通量密度只取决于r和z两个变量 通过严格的解析求解，半径为R，高为H 的圆柱裸堆的几何曲率为
2.405 B B B R H
2 2 g 2 r w z 2
Br2 称为径向几何曲率
Bz2
轴向几何曲率
中子通量密度的分布形式为
(r, z) AJ0 (Br r ) cos(Bz z) AJ0 2.405 r cos z R H
2 D2 DBg
和第一章的临界条件
完全一样，即k1就是前面定义的的反应 堆有效增殖系数k
从不泄漏几率 可以看出
1 PL 2 1 L2 Bg
反应堆的中子泄漏与几何曲率有关。从前面平板状反 应堆的例子中可以看到，当反应堆体积增大时， B 就 减小，因而正如所预期的那样，不泄漏几率也就增大。 同样，扩散长度L愈大，意味着中子自产生到被吸收所 穿行的距离也愈大，因而从反应堆中泄漏出去的几率 也就增大，不泄漏几率PL就要变小。
S f (r, t ) f (r ) (r, t )
根据无限介质增殖系数的定义
k
f (r ) (r , t ) f a (r ) (r , t ) a
得到
考虑启动过程的独 立的外中子源和用 斐克定律
S f (r, t ) ka (r, t )
1 (r , t ) D 2 (r , t ) a (r , t ) k a (r , t ) S 0 (r , t ) v t
根据临界方程
k k1 1 2 2 1 L B
得
k 1 B 2 L
2 g
与临界方 程等价的 临界条件
等式左端的几何曲率 Bg2 只与反应堆的形状和大小有关
等式右端k∞和L只与反应堆芯部材料特性有关
k 1 B 2 L
2 m
把右边记作
称为反应堆的材料曲率
反应堆临界条件可表述为：材料曲率等于几何曲率，即
l L2 ln 2 2 Dv(1 L2 Bn ) 1 L2 Bn
k n 1 t ln
1 dTn (t ) kn 1 Tn (t ) dt ln
kn
k 2 1 L2 Bn
l
a
v
方程4-10的解
Tn (t ) Ce
(4 13)
对应每个n,
n ( x)Tn (t )
（2）当反应堆处于临界状态时，中子通量密度按最小特征值 所对应的基波特征函数分布，也就是说稳态反应堆的中子通量 密度空间分布满足波动方程
2 2 (r) Bg (r) 0
2 Bg
由临界方程
k1 kBiblioteka 1 2 2 1 L B（4-17）
可以得到临界尺寸，对无限平板堆，临界方程为
k1 k 1 L2 a
§4.1
均匀裸堆的单群理论
一、均匀裸堆的单群扩散方程及其解
根据上一章所得单群中子扩散方程
1 (r , t ) S (r , t ) J (r , t ) a (r , t ) v t
在由燃料-慢化剂构成的有限大小的均匀裸堆系统的芯部，单位时间、单位体 积内产生的中子数为
定中子通量密度分布
（2）当k1>1,这时所有kn-1中至少有一项大于1，通量密度按指数规律增加，
反应堆也无法维持一个恒定中子通量密度分布 （3）k1等于1，这时只有对应n=1的一项不随时间变化，其余随时间衰减
2 a/2 ( x, t ) ( x) 0 ( x) cos xdx cos x A cos x a a a a a / 2
无限平板反应堆的单群扩散方程的解
1 ( x, t ) 2 ( x, t ) D a ( x, t ) k a ( x, t ) v t x 2
4-1
用D除上式各项，并注意到L2=D/∑a，得到
1 ( x, t ) 2 ( x, t ) k 1 ( x, t ) 2 2 Dv t x L
2 2 Bm Bg
第二类问题：给定反应堆形状尺寸，确定材料成分， 如例题中的第2问 。
k 1 2 B 2 Bg L
2 m
由于型状尺寸给定
2 Bg
为已知
材料成分（一般是燃料的浓缩度）便可确定。
实际计算中，在反应堆材料成分和几何尺寸均给定情 况下，求有效增殖系数k 和 反应性ρ
k k 1 L2 B 2
2
1
显然，系统的材料组成给定,即 k , L2
给定，则只有唯一的尺寸 a0满足上式
另一方面，若尺寸给定，必须调整堆芯燃料成分，使 k , L2
满足临界方程
（4-17）式临界方程
1/（1+L2 Bg2
）
k1
k 1 2 2 1 L B
式中各项的物理意义
是热中子在扩散过程中的不泄漏几率。
n ( x) An cos Bn x An cos
(2n 1) x a
n 1,2,3,
现在讨论时间相关 项方程的
1 dT (t ) k 1 2 B 2 DvT (t ) dt L
的解 4-10
对应一确定Bn，有一确定的Tn(t)，用 L2/(1+Bn2L2) 乘以上式，有 其中
ρ=0 ，反应堆处于临界
k 1 k
ρ>0，反应堆处于超临界
ρ<0，反应堆处于次临界
例题 若反应堆的有效增殖系数k=0.90，计算反应堆的反应性。
1 k 11.1% 0.111 k k
解：
1
核电厂通常用反应性单位：PCM
1PCM=10-5（△k/k）
即
11.1%
2 a/2 (2n 1) a / 2 0 ( x) cos a xdx a
代入上式，得4-15
二、热中子反应堆的临界条件 根据
2 a/2 (2n 1) (2n 1) ( x, t ) C n n ( x)Tn (t ) 0 ( x) cos xdx cos a / 2 a a n 1 n 1 a

是满足方程4-1的解，其线性组合 也是原问题的解

( x, t ) C n n ( x)Tn (t ) An cos
n 1 n 1

(2n 1) a
xe ( kn 1)t / ln
其中Cn和An为待定系数，利用余 旋函数系的正交关系可求得
An
1 d 2 ( x) B 2 2 ( x) dx
4-5
1 dT (t ) k 1 2 B 2 DvT (t ) dt L
4-6
方程4-5可改写为
1 d 2 ( x) B2 0 2 ( x) dx
为典型的波动方程，容易得出其通解为 由于初始通量密度 关于x=0平面对称
2 g
设有如图所示一维石墨慢化反应堆 k∞=1.06，L2=300cm2，试求： （i）达到临界时反应堆的厚度H和中子通量密度的分布（设外 推距离为2cm)； （ii）设取H=250cm，试求反应堆的有效增殖系数k。
例题：
解：根据临界条件 求得临界反应堆的几何曲率
2 Bg
k1
k 1 2 2 1 L B
(2n 1) (r , t ) An cos a n xe ( kn 1)t / ln
得临界时中子通量密度分布为
( x) A cos
2 g

a
x
2
（ii）若H=250cm，则反应堆的几何曲率
4 2 B 1.53010 cm H 2d
( x) A cos Bx C sin Bx
( x) A cos Bx
a ( ) 0 2
要求
由边界条件