傅里叶光学初步
傅里叶光学
实验题目：傅里叶光学实验目的：傅里叶光学原理的发明最早可以追溯到1893年阿贝（Abbe ）为了提高显微镜的分辨本领所做的努力。
他提出一种新的相干成象的原理，以波动光学衍射和干涉的原理来解释显微镜的成像的过程，解决了提高成像质量的理论问题。
1906年波特（Porter ）用实验验证了阿贝的理论。
1948年全息术提出，1955年光学传递函数作为像质评价兴起，1960年由于激光器的出现使相干光学的实验得到重新装备，因此从上世纪四十年代起古老的光学进入了“现代光学”的阶段，而现代光学的蓬勃发展阶段是从上世纪六十年代起开始。
由于阿贝理论的启发，人们开始考虑到光学成像系统与电子通讯系统都是用来收集、传递或者处理信息的，因此上世纪三十年代后期起电子信息理论的结果被大量应用于光学系统分析中。
两者一个为时间信号，一个是空间信号，但都具有线性性和不变性，所以数学上都可以用傅立叶变换的方法。
将光学衍射现象和傅立叶变换频谱分析对应起来，进而应用于光学成像系统的分析中，不仅是以新的概念来理解熟知的物理光学现象，而且使近代光学技术得到了许多重大的发展，例如泽尼克相衬显微镜，光学匹配滤波器等等，因此形成了现代光学中一门技术性很强的分支学科—傅里叶光学。
实验原理：我们知道一个复变函数f(x,y)的傅立叶变换为⎰⎰+-=ℑ=dxdy vy ux i y x f v u F )](2exp[),()}y ,x (f {),(π ( 1 )F (u,v)叫作f(x,y)的变换函数或频谱函数。
它一般也为复变函数，f(x,y)叫做原函数，也可以通过求 F(u,v)逆傅立叶变换得到原函数f(x,y)，⎰⎰+=ℑ=-dudv vy ux 2i v u F v u F y x f 1)](exp[),()},({),(π （2）在光学系统中处理的是平面图形，当光波照明图形时从图形反射或透射出来的光波可用空间两维复变函数（简称空间函数）来表示。
傅里叶光学解析
20世纪上半叶
20世纪40年代至 60年代 20世纪60年代以来
1、傅里叶光学的发展历史
5）现代光学发展的三件大事
✓ 1948年，全息术的诞生，物理学家第一次精确地拍摄下一张立体的物体 像，它几乎记录了光波所携带的全部信息 (这正是“全息”名称的来历)！ ✓ 1955年，科学家第一次提出“光学传递函数”的新概念，并用它来评价 光学镜头的质量。 ✓ 1960年，一种全新的光源-激光器诞生了，它的出现极大地推动了相关学 科的发展。
2、傅里叶光学的研究内容和研究方法
1）傅里叶光学基于傅里叶变换的方法研究光学信息在线性系统中的 传递、处理、变换与存储等。 2）傅里叶光学主要的研究内容包括： ✓光在空间的传播（衍射和干涉问题） ✓光学成像（相干与非相干成像系统） ✓全息术（包括计算全息） ✓光学信息处理（相干滤波、相关识别等） ✓光学变换、光计算、光学传感等 3）傅里叶光学主要的研究方法：
傅里叶光学 Fourier Optics
薛常喜 光电工程学院
1、傅里叶光学的发展历史
1）光学是一门古老的学科，主要研究光波的本性、光 波
的传播以及光与物质的相互作用。 2）光学的发展历史可以追溯到公元前5世纪，到目前 已经
有2000多年的历史，并逐渐在物理学中形成了一门 独立
的基础学科。 3）光学的发展历史可以看成是人们对光本性认识的历
史，以及人们利用光学技术推动社会不断进步的历 史。 4）在整个发展历史中，光学也从经典光学发展到现代
光学的发展历程
第一阶段：17世纪 中叶之前
经典光学的早期发 展阶段
【几何光学】
傅里叶光学的实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的1. 深入理解傅里叶光学的基本原理和概念。
2. 通过实验验证傅里叶变换在光学系统中的应用。
3. 掌握光学信息处理的基本方法，如空间滤波和图像重建。
4. 理解透镜的成像过程及其与傅里叶变换的关系。
二、实验原理傅里叶光学是利用傅里叶变换来描述和分析光学系统的一种方法。
根据傅里叶变换原理，任何光场都可以分解为一系列不同频率的平面波。
透镜可以将这些平面波聚焦成一个点，从而实现成像。
本实验主要涉及以下原理：1. 傅里叶变换：将空间域中的函数转换为频域中的函数。
2. 光学系统：利用透镜实现傅里叶变换。
3. 空间滤波：在频域中去除不需要的频率成分。
4. 图像重建：根据傅里叶变换的结果恢复原始图像。
三、实验仪器1. 光具座2. 氦氖激光器3. 白色像屏4. 一维、二维光栅5. 傅里叶透镜6. 小透镜四、实验内容1. 测量小透镜的焦距实验步骤：（1）打开氦氖激光器，调整光路使激光束成为平行光。
（2）将小透镜放置在光具座上，调节光屏的位置，观察光斑的会聚情况。
（3）当屏上亮斑达到最小时，即屏处于小透镜的焦点位置，测量出此时屏与小透镜的距离，即为小透镜的焦距。
2. 利用夫琅和费衍射测光栅的光栅常数实验步骤：（1）调整光路，使激光束通过光栅后形成衍射图样。
（2）测量衍射图样的间距，根据dsinθ = kλ 的关系式，计算出光栅常数 d。
3. 傅里叶变换光学系统实验实验步骤：（1）将光栅放置在光具座上，调整光路使激光束通过光栅。
（2）在光栅后放置傅里叶透镜，将光栅的频谱图像投影到屏幕上。
（3）在傅里叶透镜后放置小透镜，将频谱图像聚焦成一个点。
（4）观察频谱图像的变化，分析透镜的成像过程。
4. 空间滤波实验实验步骤：（1）将光栅放置在光具座上，调整光路使激光束通过光栅。
（2）在傅里叶透镜后放置空间滤波器，选择不同的滤波器进行实验。
（3）观察滤波后的频谱图像，分析滤波器对图像的影响。
五、实验结果与分析1. 通过测量小透镜的焦距，验证了透镜的成像原理。
傅里叶光学基础02
透镜复振幅透过率表示为：
k 2 2 A exp jkdi exp j x y 2 d U l x, y i tl x, y U l x, y k 2 2 A exp jkd 0 exp j x y 2 d 0
1
弗朗禾费衍射可看作是对 U 0 ( x0 , y0 ) 的傅里叶变换
观察平面上的场分布正比于孔径平面上透射光场分布的傅里叶变换。 与菲涅尔衍射相比
U x, y
1
2 2 k exp jkz U 0 x0 , y0 exp j x x0 y y0 dx0 dy0 j z 2z
强度分布为
ab 2 ax 2 by I x, y sin c sin c z z z
2
举例
弗朗禾费圆孔衍射
r t x0 , y0 circ 0 a
圆孔的复振幅透过率可以表示为
其中，a为圆孔半径，r0为孔径平面的径向坐标，如图。
t(x0, y0)
实际影响衍射现象的因素： a. 照明光波的性质; b. 孔径的特点
假设平面波的振幅为A，则 U 0 ( x0 , y0 ) At ( x0 , y0 )
根据夫琅禾费衍射公式，观察平面场分布为：
U x, y A A x y k k exp jkz exp j x 2 y 2 F{t ( x0 , y0 )} exp jkz exp j x 2 y 2 T ( , ) j z j z z z 2z 2z
惠更斯—菲涅耳原理和角谱理论的联系和区别是什么？
光学第六章 - 傅里叶变换光学简介
(x , y )
F
+1
+1 -1
0 -1
衍射方向：
0级为正出射的平面波，衍射角为0 ；
空间频率越高， 衍射角就越大
代表向上斜出射的平面光，衍射角 满足： 1级U sin 1 + f 1 1 代表向下斜出射的平面光，衍射角 满足： 1级U sin 1 f 1 1
At U 0 1 0 1 A t ei (2 fx 0 ) U 1 11 2 2 i ( f ) x i0 1 1 A1t1e A1t1eik sin1 x i0 2 2 1 1 i (2 fx 0 ) U 1 A1t1e A1t1eik sin1 x i0 2 2
A1e
发散球面波
2 ( n 1) s ik
x2 y 2 ik ik ( n 1) x 2s
2s
e
2 x ( n 1) s y 2 ik
2s
发散中心，即像点的位置为：((n-1)s, 0, -s)
（3）窗函数
光学元件孔径有限 窗函数(window function) tw
变换相因子
（1）透镜（在傍轴条件下，忽略吸收）
L ( x, y ) e t
x2 y 2 ik 2f
二次相因子
（2）棱镜（小角）
（1x +2 y ) P ( x, y) eik (n1) t
线性相因子
试运用相因子分析法 分析 余弦型环状波带片的衍射场
4、 余弦光栅的衍射场 余弦光栅的制备：
x2 y 2 ik 2f
A1e
x2 y 2 ik 2s
ik
A1e
x2 y 2 fs 2 f s
光学经典理论傅里叶变换
光学经典理论｜傅里叶光学基础2018-02-24 17:00今天的光学经典理论为大家带来的是傅里叶光学基础，傅里叶光学是现代光学的一个分支，将电信理论中使用的傅里叶分析方法移植到光学领域而形成的新学科。
光学人们可以看看！在电信理论中，要研究线性网络怎样收集和传输电信号，一般采用线性理论和傅里叶频谱分析方法。
在光学领域里，光学系统是一个线性系统，也可采用线性理论和傅里叶变换理论，研究光怎样在光学系统中的传播。
两者的区别在于，电信理论处理的是电信号，是时间的一维函数，频率是时间频率，只涉及时间的一维函数的傅里叶变换；在光学领域，处理的是光信号，它是空间的三维函数，不同方向传播的光用空间频率来表征，需用空间的三维函数的傅里叶变换。
包含内容60年代发明了激光器，使人们获得了新的相干光源后，傅里叶光学无论在理论和应用领域均得到了迅速发展。
傅里叶光学运用傅里叶频谱分析方法和线性系统理论对广泛的光学现象作了新的诠释。
其主要内容包括标量衍射理论、透镜成像规律以及用频谱分析方法分析光学系统性质等。
推导演示一个光学信息系统和一个电学信息系统有许多相同之处，它们都是收集信息和传递信息，它们都有共同的数学工具──线性系统理论和傅里叶分析。
从信息论角度,关心的是信息在系统中传递过程;同样，对一个光学系统来讲，物和像的关系，也可以根据标量衍射理论由系统中光场的传播来确定，因此光学系统可以看成一个通信信道。
这样，通信理论中已经成熟的线性系统理论可以用来描述大部分光学系统。
当物体用非相干光照射时，在系统像平面上强度分布与物体上强度分布成线性（正比）关系。
而用来描述电学系统的脉冲响应h(t，τ)概念，即系统对一窄脉冲δ(t)（狄喇克δ函数）的响应，也可以用来描述光学系统，即用光学系统对点光源δ(x，y)的响应(点光源的像)h(x,y；ξ，η)来描述系统的性质，两者的区别仅仅在于电学系统的脉冲响应是时间一维函数，光学系统的脉冲函数是空间二维函数，另外两者都具有位移不变性，前者分布不随时间位移而变，后者分布不随空间位移而变（即等晕条件）。
《傅里叶光学基础》课件
傅里叶光学是光学领域的重要基础知识，本课程将介绍傅里叶光学的基本原 理和应用领域，包括光通信、计算机技术和医疗影像。
傅里叶光学基础知识
1 传输函数
了解传输函数的概念以及在傅里叶光学中的作用。
2 光学变换
学习傅里叶变换和反变换，以及它们在光学领域的应用。
3 频谱分析
掌握频谱分析的方法和技巧，以及如何应用于光学系统的研究。
总结与展望
本课程回顾了傅里叶光学的基础知识和应用，介绍了其在光通信、计算机技 术和医疗影像中的重要性。希望通过本课程的学习，您能深入了解傅里叶光 学的原理和应用，并在相关领域取得更好的成就。
数据压缩
了解傅里叶光学在数据压缩领域的应用，如JPEG图像压缩算法。
频谱分析
学习傅里叶光学在信号处理和频谱分析中的作用。
傅里叶光学在现代医疗影像中的应用
1
CT扫描
掌握傅里叶光学在CT扫描中的重建算法和图
磁共振成像
2
像重建技术。
了解傅里叶光学在磁共振成像中的采样技术
和图像重建方法。
3
超声成像
学习傅里叶光学在超声成像中的频域分析和
傅里叶光学在光通信中的应用
高速数据传输
了解傅里叶光学在光通信中的高 速数据传输方案和技术。
光纤通信系统
探索调制与解调
学习傅里叶光学在光调制和解调 中的原理和技术。
傅里叶光学在现代计算机技术中的应 用
图像处理
探索傅里叶光学在图像处理中的应用，如图像滤波和频域图像增强。
分子影像学
4
图像增强技术。
探索傅里叶光学在分子影像学中的应用，如 光学断层成像和荧光成像技术。
傅里叶光学的发展现状
傅里叶光学基础
(x0 ,y0 )是对称中心
一维情况 二维情况
rect(x/a) rect(x/a) 1 0 0 x0 x x x0
rect(x rect(x,y)
y0
a b
y
20
第一章 §1.1 常用函数
矩形函数
光学意义 一维矩形函数 单缝 二维矩形函数 矩孔
的 的
透过率函数
透过率函数
21
一维情况
x x0 rect a
附录
2
sinc2 函数
2 2
sin (πx) sinc ( x) = [sinc( x)] = (πx) 2
sinc (x) sinc2(x) 表示: 表示:
1
a =1
光 学 意 义
单缝衍射花样
的
0 -1 1
光强分布
x
34
第一章 数学基础 §1.1 常用函数
课堂练习 (二)
1, ∧(x / 2) , ) 2, ∧(2x) , )
Sgn(x Sgn(x) = 2 Step (x) - 1 (x 请加以证明
作业之一
15
第一章 §1.1 常用函数
符号函数的性质
符号函数
与函数相乘
f( x ) 0 - f( x ) x > x0 x = x0 x < x0
Sgn( x-x0 ) f(x)=
作用
代表 变号 x < x0 函数 f(x)变符号
四,三角形函数 Triangle Function tri(x/a)
x ≤ a 其它
x x 1 , ∧ = 定义: 定义: a a 一维) (一维) 0,
原型
a>0
特点: 特点:
《傅里叶光学》课件
光通信
利用傅里叶光学原理实现高速光信号的传输和处 理，提高通信容量和速度。
3
光学仪器设计
傅里叶光学在光学仪器设计中的应用，如干涉仪 、光谱仪等。
傅里叶光学的发展前景和挑战
发展前景
随着光子技术的不断发展，傅里叶光学在光通信、光学仪器、生物医学等领域的应用前 景广阔。
傅里叶光学在光学显微镜、光谱仪和 OCT等生物医学成像技术中被广泛应 用。
光电子器件
利用傅里叶光学原理设计的光电子器 件，如光调制器、光滤波器和光开关 等。
02
傅里叶变换
傅里叶变换的定义和性质
傅里叶变换的定义
将一个时域信号转换为频域信号的过 程，通过正弦和余弦函数的线性组合 来表示信号。
傅里叶变换的性质
傅里叶变换在信号处理中的应用
频域滤波
通过在频域对信号进行滤波，可以实现信号的降噪、增强等处理 。
信号压缩
利用傅里叶变换可以将信号从时域转换到频域，从而实现对信号的 压缩和编码。
图像处理
傅里叶变换在图像处理中也有广泛应用，如图像滤波、图像增强、 图像压缩等。
03
光学信号的傅里叶分析
光学信号的表示和测量
05
傅里叶光学的实践应用
傅里叶光学的实验技术
光学干涉实验
利用干涉现象研究光的波动性质，验证傅里叶光学的 基本原理。
光学衍射实验
通过衍射实验观察光的衍射现象，理解傅里叶光学中 的衍射理论。
光学频谱分析实验
利用傅里叶变换对光信号进行频谱分析，研究光波的 频率成分。
傅里叶光学的应用案例
1 2
图像处理
干涉和衍射在光学系统中的应用
傅里叶光学实验
傅里叶光学实验傅里叶光学原理的发明最早可以追溯到1893年阿贝（Abbe ）为了提高显微镜的分辨本领所做的努力。
他提出一种新的相干成象的原理，以波动光学衍射和干涉的原理来解释显微镜的成像的过程，解决了提高成像质量的理论问题。
1906年波特（Porter ）用实验验证了阿贝的理论。
1948年全息术提出，1955年光学传递函数作为像质评价兴起，1960年由于激光器的出现使相干光学的实验得到重新装备，因此从上世纪四十年代起古老的光学进入了“现代光学”的阶段，而现代光学的蓬勃发展阶段是从上世纪六十年代起开始。
由于阿贝理论的启发，人们开始考虑到光学成像系统与电子通讯系统都是用来收集、传递或者处理信息的，因此上世纪三十年代后期起电子信息理论的结果被大量应用于光学系统分析中。
两者一个为时间信号，一个是空间信号，但都具有线性性和不变性，所以数学上都可以用傅立叶变换的方法。
将光学衍射现象和傅立叶变换频谱分析对应起来，进而应用于光学成像系统的分析中，不仅是以新的概念来理解熟知的物理光学现象，而且使近代光学技术得到了许多重大的发展，例如泽尼克相衬显微镜，光学匹配滤波器等等，因此形成了现代光学中一门技术性很强的分支学科—傅里叶光学。
实验原理：我们知道一个复变函数f(x,y)的傅立叶变换为⎰⎰+-=ℑ=dxdy vy ux 2i y x f y x f v u F )](exp[),()},({),(π ( 1 )F (u,v)叫作f(x,y)的变换函数或频谱函数。
它一般也为复变函数，f(x,y)叫做原函数，也可以通过求F(u,v)逆傅立叶变换得到原函数f(x,y)， ⎰⎰+=ℑ=-dudv vy ux 2i v u F v u F y x f 1)](exp[),()},({),(π （2）在光学系统中处理的是平面图形，当光波照明图形时从图形反射或透射出来的光波可用空间两维复变函数（简称空间函数）来表示。
在这些情况下一般都可以进行傅里叶变换或广义的傅里叶变换。
傅里叶光学基础01
专题：傅里叶光学基础Fundamentals of Fourier Optics§1.1 数学基础知识和傅里叶变换的基本概念§1.2 光波的傅里叶分析§1.3 平面波角谱理论§1.4 透镜的傅里叶变换§1.5 光阿贝成像原理§1.6 光全息术傅里叶光学：研究以光作为载波，实现信息传递、变换、记录和再现的问题。
§1.1 数学基础知识和傅里叶变换的基本概念一、一些常用函数在现代光学中，常用各种非初等函数和特殊函数来描述光场的分布。
常用函数定义图形表示应用阶跃函数1 x0step(x )1step( ) 2 0x x1x0 x 0直边（或刀口）的透过率符号函数1 0xsgn(x) 0 x 01 x 0孔径的一半嵌有相位板的复振幅透过率矩形函数xrect( )ax1 1/ 2a0 else狭缝或矩孔的透过率常用函数定义图形表示应用三角形函数| x|x1 x 1( ) aa0 else光瞳为矩形的非相干成像系统的光学传递函数狭缝或矩孔的sinc函数x sin( x/ a )sinc( )a x/ a 夫琅禾费衍射图样高斯函数2x xGaus( ) expa a 激光器发出的高斯光束x y2 2circ( )r圆域函数圆孔的透过率2 21 x y r0 else二、傅里叶级数的定义一个周期性函数g(x) ，周期为T（频率f = 1/T ），在满足狄里赫利条件（函数在一个周期内只有有限个极值点和第一类不连续点），可以展开为三傅里叶系数角傅里叶级数:ag x a nfx b nfx()cos(2)sin(2)n n2n1在[-T/2, T/2]区间逐项积分：a aT2T2T2T2g x dx dx a nfx dx b nfx dx T()cos(2)sin(2)00(1) nn2 2T2T2T2T2n1因此有：2T2a g(x)dx 02TT将公式(1)两端同乘以cos(2πmfx)，并利用三角函数的正交性：0,for m n0, sin(mx)sin(nx)dx cos(mx)cos(nx)dx,for m n ,sin(mx)cos(nx)dx0,for any m and n for m n for m n逐项积分：aT2T2g(x)cos(2mfx)dx cos(2mfx)dxT2T2= 02= 0T2T2a cos(2nfx)cos(2mfx)dxb sin(2nfx)cos(2mfx)dxn T n T22 n1(m n)T2aa nfx dx Tcos(2)n2n T222T2a g(x)cos(2nfx)dxn TT2系数：2T/2直流分量a g(x)dx0/2TT2T/2余弦分量的幅度a g(x)cos2nfx dxn TT/22T/2正弦分量的幅度b g(x)s in2nfx dxn TT/2用傅里叶级数展开表示矩形周期函数ag x a nfx b nfx ()cos2sin2n n2n1f 周期信号可分解为直流，基波( )和f nf各次谐波( )的线性组合。
傅立叶光学第一章总结
第一章 傅里叶分析第一章内容为傅里叶光学课程的数学基础。
主要介绍了δ函数的定义及其相关性质，由δ函数引申出梳状函数。
介绍了其他一些常用函数：阶跃函数、符号函数、矩形函数、三角形函数、sinc 函数、高斯函数和圆域函数等，主要用于表述振幅透过率或者光强分布等。
重点讲解了以上常用函数的傅里叶变换以及傅里叶变换的主要性质。
另一个重要内容是卷积与相关性，它们在后续的学习中均有十分重要的应用。
δ函数：常用于描述点质量、点电荷、点光源等在某一坐标系中高度集中的物理量。
○1筛选性：()()()0000,,d d ,x x y y x y x y x y δφφ∞--=⎰⎰ ○2比例变换性：()()1,,ax by x y abδδ= ○3与普通函数乘积：()()()()000000,,,,f x y x x y y f x y x x y y δδ--=--梳状函数：常用于对其他函数作等间距抽样。
○1()()n comb x x n δ∞=-∞=-∑ ○2()1n x comb x n δτττ∞=-∞⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑ ○3与普通函数乘积：()()()1n x f x comb f n x n τδτττ∞=-∞⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑卷积：()()()(),,,,d d f x y h x y f h x y ξηξηξη∞*=--⎰⎰○1展宽：一般卷积的宽度等于被卷积函数宽度之和； ○2平滑化：被卷积函数经卷积运算，其细微结构在一定程度上被消除。
相关：包括自相关与互相关。
互相关是两个信号之间存在多少相似性的量度；自相关是同一函数自变量相差某一大小时，函数值间相关的量度。
对于周期函数（满足狄里赫利条件），可以将其展开为傅里叶级数形式，包括三角傅里叶级数和指数傅里叶级数；它的傅里叶系数是频率的函数，称为频谱函数，是离散的。
对于非周期函数，可以作傅里叶变换，它的频谱函数是连续的。
主要讨论傅里叶变换：空间域 ()()(),,exp 2d d x y x y x y g x y G f f j xf yf f f π∞⎡⎤=+⎣⎦⎰⎰ 频域 ()()(),,exp -2d d x y xy G f f g x y j xf yf x y π∞⎡⎤=+⎣⎦⎰⎰ 卷积定理：()(){}()()()(){}()(),,,,,,,,x y x yx y x yg x y h x y G f f H f f g x y h x y G f f H f f *==*常见傅里叶变换对：见课本p39。
傅里叶光学实验报告[整理]
![傅里叶光学实验报告[整理]](https://img.taocdn.com/s3/m/b17830dbafaad1f34693daef5ef7ba0d4a736db1.png)
傅里叶光学实验报告[整理]傅里叶光学实验报告一、实验目的1. 掌握傅里叶光学的基本原理和方法；2. 实验验证平面波和球面波通过透镜之后的傅里叶变换关系；3. 了解频谱成像的基本原理和方法。
二、实验原理傅里叶光学是一种将光场分解为一组微小的平面波或球面波的方法，然后利用傅里叶变换将这些平面波或球面波的振幅和相位信息转换为相应的频谱图像。
1. 平面波通过透镜的傅里叶变换关系当平面波通过透镜时，透镜将平面波折射成球面波。
根据惠更斯原理，球面波前可以看作由无限多的次波分布组成。
如果透镜的曲率半径为R，球面波前中心距离透镜为s，则透镜折射后的球面波前半径为r=R+s。
当球面波面向透镜的时候，透镜将其中心处的波捕获并将其折射到焦平面上。
由于透镜的几何关系，球面波的频谱可以通过傅里叶变换转换为另一个球面波，其频率等于初始球面波频率的两倍，且与原始平面波的振幅和相位有关。
2. 球面波通过透镜的傅里叶变换关系当球面波通过透镜时，透镜将其变为以透镜为中心的球面波。
根据惠更斯原理，透镜表面的每个点都在向球面波前广播无限多的次波。
在透镜上选择一个点作为坐标原点，并定义该点上的波面为 z=0。
当球面波辐射到该点上的时候，透镜所发出的微光波会在该点上聚焦。
此时，球面波的频谱可以通过傅里叶变换转换为平面波，其频率等于初始球面波频率的两倍，且与原始球面波的振幅和相位有关。
3. 频谱成像将频谱图像转换为空间图像的方法称为频谱成像。
在傅里叶光学中，频谱成像允许我们在不影响图像分辨率的情况下调整像场大小和形状。
简单地说，对于一张图像，我们可以选择不同的频率空间滤波器进行滤波，然后通过傅里叶反变换将滤波后的频谱图像转换为空间图像。
滤波后的频谱图像通常会显示出图像的高频信息，使我们可以对图像分辨率和清晰度进行调整。
三、实验仪器1. He-Ne激光器2. 分束器3. 透镜4. 母线5. 干涉条纹增强滤波器6. 透镜支架7. CCD相机8. 分光仪9. 激光干涉仪四、实验步骤1. 准备实验仪器并清洁透镜表面。
第6章傅里叶光学基础(1)
∑ g
(
x)
= a20 + n∞=1 an cos
2π nx T
+
bn
sin
2π nx T
其中傅里叶系数
(6-1)
∫ a0
=
2 T
T /2
g ( x)dx
−T /2
∫ an
=
2 T
T/ −T
2 /2
g
(
x)
cos
2π nx T
dx
∫ bn
=
2 T
T/ −T
2 /2
g
(
x)
sin
2π nx T
6.1.1 一些常用函数
一些常用函数及其在光学中的应用如下：
常用函
定义
图形表示
数
step(x)
阶跃函 数
step( x)
=
1 0
x≥0 x<0
1 x
0
应用
直边（或刀 口）的透过
率
2
符号函 数
1 x > 0 = sgn(x) = 0 x 0
−1 x < 0
矩形函 数
rect(
x a
)
=
1 0
x ≤1/ 2 a
g(x) 的振幅频谱，而 cn 的幅角ϕn 随 µ 的分布图叫做 g(x) 的位相频谱。由式(6-4) 可得出
cn =
cn ⋅ cn* =
1 2
(an2
+
bn 2
)
ϕn
=
arctan
−bn an
图 6-1 画出了锯齿波及它的振幅频谱图形。由图看出，周期函数的频谱具有 分立的结构。
f (x)
第1章傅里叶光学基础
(40)
推导中用到积分变换式：
(u - n fo) exp(i2nfox) ．
1.1.4 特殊函数及其傅里叶变换
g(x) = ∞-∞Cnexp(i2nfox) G(u) = ∞-∞ Cn (u - n fo) 4、函数comb(x)
comb(x) = ∞-∞(x - n) = ∞-∞exp(i2nx)
gs称 g 的抽样函数，X为抽样间隙，xn=nX 称样点，g(xn)称样值．所以g(x)的抽样函 数gs(x)是以样值为权重的 函数序列．
1.1.5 功率谱与空间自相关函数
由Parseval 定理
∞-∞g(x, y)2 dxdy = ∞-∞ G(u,v)2 dudv g(x,y)为光场的复振幅分布，
= ∞-∞g [X(x/X-n ]= ∞-∞g(x - nX) (44) 结果得到了以nX (n = 0，±1，± 2，…)为中心 的一系列重复出现的波形g(x - nX) ，这一现象 称为“复现”．
1.1.4 特殊函数及其傅里叶变换
4、函数comb(x)
gs(x)= g(x) comb(x/X) = g(x) ∞-∞(x/X - n) = ∞-∞ g(nX) (x - nX)
g g 在光学上称为空间自相关函数．上式表示 功率谱是空间自相关函数的傅氏变换．
空间自相关函数表征空间相距为(x,y)的两 点之间场的相似性或关联性，它是场的空间相 干性的度量。场的相干性较高时，功率谱的弥 散就较小，表示光功率在频域内集中在很小的 区域中(可称为准单色光)；反之当场的相干性较 差时，功率谱的弥散就较大，表示光功率在频 域中分布在较大的区域内，包含较宽的波段。
其中 Jo 为第一类零阶贝塞尔函数 傅里叶-贝塞尔逆变换为
g(r) = B-1 {G()} = 2 ∞o G()Jo(2r)d
傅里叶光学
实验题目：傅里叶光学实验目的：加深对傅里叶光学中的一些基本概念和基本理论的理解，如空间频率、空间频谱、空间滤波和卷积等。
通过实验验证阿贝成像理论，理解透镜成像的物理过程，进而掌握光学信息处理的实质，通过阿贝成像原理，也可进一步了解透镜孔径对分辨率的影响。
实验原理：见预实验报告。
实验步骤：1、调节仪器打开激光器，取一张白纸挡在光路上，观察光圈中红光集中在那个位置，调节全反射镜，使红光集中在光圈中心。
然后将一维光栅、透镜放在光具座上，调节仪器竖直位置与水平位置，使得激光正好经过仪器正中央。
2、测透镜焦距取一张白纸家在遮光屏上，移动遮光屏，观察其上的激光，待到出现一排清晰的衍射光点时，该位置到透镜的距离即为透镜的焦距。
3、观察光分别经过一维、二维光栅后在屏上所成像，并计算一维光栅参数。
取下白纸，观察墙上光幕中有何现象。
取下一维光栅，安上二维光栅，观察墙上光幕有何现象。
4、观察一维光栅条纹取下二维光栅，换上一维光栅。
把白纸放回焦点上，并在k=0级衍射点处扎一小孔，使得只让0级衍射光通过，观察墙上光幕中有何现象。
在k=0、1、-1级衍射点处扎一小孔，使得只让0、1、-1级衍射光通过，观察墙上光幕有何现象。
在k=0、1、-1、2、-2级衍射点处扎一小孔，使得只让0、1、-1、2、-2级衍射光通过，观察墙上光幕有何现象。
5、观察二维光栅条纹取下一维光栅，换上二维光栅，将白纸放到焦平面上。
扎透含零级衍射的一列水平方向的衍射点，观察现象。
扎透含零级衍射的一列竖直方向的衍射点，观察现象。
扎透含零级衍射的一列与水平方向成45°角（逆时针方向旋转）的衍射点，观察现象。
扎透含零级衍射的一列与水平方向成135°角的衍射点，观察现象。
6、观察光通过光字板后的成像将小透镜与二维光栅取下，换上光字板与大透镜。
观察墙上光幕中光字中的条纹。
设法将光字中的横条纹去掉。
设法将光字中的纵条纹去掉。
设法将光字中的条纹都去掉。
现代光学第3章 傅里叶光学基础
18
第3章 傅里叶光学基础
1) 索末菲辐射条件和SR上的积分 对于SR面上的积分，由于基尔霍夫积分定理中积分面 的选择的任意性，可以假定R→∞， 则SR为趋于无限大的 半球壳。考虑到U和G在SR面上都按1/R随R的增大而减小， 所以，R→∞时，在SR面上被积函数趋于零，但同时积分面 的面积SR按R2增大，故不能直接认为SR面上的积分为零。 下面具体讨论SR面上的积分。当R很大时，在SR面上有
(3.1-22)
相应光强分布为
(3.1-23)
33
第3章 傅里叶光学基础
3.1.3 瑞利-索末菲衍射公式
索末菲通过巧妙地选择格林函数G，排除了边界条件
中对U和
同时规定为零的要求，从而克服了基
尔霍夫理论的不自恰性。在解决了SR上的积分之后，式 (3.1-12)简化为
(3.1-24)
34
第3章 傅里叶光学基础
(3.1-3)
5
第3章 傅里叶光学基础
式中: c为光在真空中的速度;
为拉普
拉斯算符。把式(3.1-2)代入式(3.1-3)，得到自由空间单色
光场满足的波动方程为
(3.1-4)
式中: k=2πν/c=2π/λ为波矢量的大小。该式称为亥姆霍兹方 程。这表明自由空间传播的任何单色光波的复振幅必然满 足亥姆霍兹方程。
11
第3章 傅里叶光学基础
于是式(3.1-7)简化为 或
12
(3.1 -8)
第3章 傅里叶光学基础
在Sε面上，n与r处处反向，有 故
(3.1-9)
13
第3章 傅里叶光学基础
令ε→0，则有
(3.1-10)
14
第3章 傅里叶光学基础
5-第五章傅里叶光学
平面波的复振幅分布与空间频率
14 / 120
2π 2π E ( x) A exp i z0 cos γ exp i x cos α λ λ 2π A 'exp i x cos α λ
~
λ x方向空间周期： d x cos α
参考书
4 / 120
Introduction to Fourier Optics_Third edition, Dec. 2004.
吕乃光，傅里叶光学，第二版，机械工业出版社，2007 吕乃光，周哲海，傅里叶光学 概念.题解，机械工业出版社， 2008 Ronald N. Bracewell, The Fourier transform and its application, Third edition, McGrawHill, 2000
本章内容和组织结构
3 / 120
5.6 相干成像系统分析及相干传递函数 成像系统的普遍模型，成像系统的线性和空间不变性，点扩展函数概 念，扩展物体成像，相干传递函数（CTF）概念。 5.7 非相干成像系统分析及光学传递函数 非相干成像系统的光学传递函数（OTF）概念，CTF与OTF的关系， 典型孔径的OTF。 5.8 阿贝成像理论和阿贝-波特实验 阿贝二次衍射成像理论，阿贝-波特实验及空间滤波概念。 5.9 相干光学信息处理 相干光学信息处理的应用：泽尼克相衬显微镜、激光束去噪、集成电 路瑕疵检查、图像加减、图像识别。 5.10 非相干光学信息处理 非相干光学处理的应用：孔径光阑的高斯切趾及变迹。
二维傅里叶变换
二维傅里叶变换：
31 / 120
E ( x, y) ε(u, v) exp i 2π ux vy dudv
第十四章傅里叶光学-文档资料
u
x y 1 v 1 d0 d0
~ x E 2, y 2
Ex ,y 1 1
~ Ex, y
t x ,y l 2 2
t x ,y 1 1
~ 而 FT E x ,y 1 1 A FT tx ,y A T u , v 1 1
2 f
~ ~ x E ,y 1 1 E x ,y 1 1
~ Ex, y
f
f
表明：透镜后焦面上的光场分布正比于 tl x ,y 衍射物体平面上复振幅的傅里叶变换。 tx 1 1 f ,y 1 1
jk 2 2 exp 2f x y ，后焦面上的位相分布与物体频谱的位相分布不
tx, y
tl x, y f
~ 2）紧靠透镜之后的平面上的复振幅分布E x ,y 1 1
~ 3）后焦面上的复振幅分布 Ex, y
,y 物体的复振幅透过率为tx ，则物体与透镜之间的平面上的 1 1 复振幅分布为 ~ E x , y A t x , y 1 1 1 1
k 2 2 代入上式得到 ~ 将 E x , y A t x , y exp j x y 1 1 1 1 1 1
jk 2 1 2 Ex, y exp x y j f 2f ~ x y FTEx 1, y 1 u 1 v 1
但是这种FT关系不是准确的。由于变换式前存在位相因子
一样，但他对观察平面上的强度分布没有影响，其光强为
A x y I x , y T , f f f f
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
衍射的认识过程
1、当光在传播过程中遇到障碍物时，将发生
偏离直线传播或偏离几何光学的传播行为
2、H-F原理应用于圆孔、圆屏、单缝、多缝等衍射问题时，意识到，衍射的发生是由于光波在传播过程中其波面受到某种限制，既自由、完整的波面发生了破缺
3、当光在传播过程中，由于某种原因改变了波前的复振幅分布包括振幅分布和相位分布，则后场不再是自由传播时的光波场，这便是衍射
衍射—波前—HFK ⇔积分运算比较复杂二维波前决定三维波场，而波场的主要特征体现在波前函数的相位因子上
波前相因子分析法
不少场合，人们只需要掌握衍射场的主要特征就够用了（例，全息术）
就是根据波前函数的相因子，来判断其波场的类型、分析其衍射场的主要特征
波前相因子波场特征
从余弦光栅输出三列波，根据相因子判断，均为平面波；且衍射方向满足
cos sin sin 2,0αθθπ==↔=±x k x k x k x k f 0(,)sin 0U x y θ→=%1(,)sin U x y f θλ
+→=%1
(,)sin U x y f θλ−→=−%这三列平面衍射波交叠于后场而形成较复杂的波场但是可以经透镜分离它即凝聚于三个鲜明的衍射斑三个衍射斑集中了余弦光栅这一物结构的所有特征最重要的联系是最重要的联系是：±1衍射斑的角方位与余弦光栅的空间频率（空间结构）一一对应sin f θλ
±=±
傅里叶光学的基本思想
数学上可以将一个复杂的周期函数作傅里叶级数展开，这一点在光学中体现为，一个复杂的图像可以被分解为一系列不同空间频率的单频信息的合成。
即，一个复杂的图像可以被看作一系列不同频率、不同取向的余弦光栅之和。
为了将这种傅里叶分解在物理上付诸实现，必须找到相应的物理途径---物理效应、物理元件或物理装置。
余弦光栅的衍射特征表明，当单色光入射于二维图像上，通过夫琅和费衍射，使一定空间频率的光学信息由一对待定方向的平面衍射波传输出来；这些衍射波在近场区域彼此交织，到了远场区域彼此分离，从而达到分频的目的
常见的远场分频装置是利用透镜，将不同方向的平面衍射波会聚于后焦面ℑ的不同位置上，形成一个个衍射斑；衍射斑位置与图像空间频率一一对应，且集中了这一频率成分所有光学信息。
频率越高的成分衍射角越大
各衍射斑的强度正比于对应频率傅里叶系数的平方
总之，在夫琅和费衍射系统中，输入图像的傅里叶频谱直观地显示在透镜的后焦面上。
后焦面就是输入图像的傅里叶频谱面，简称傅氏面，因此那些夫琅和费衍射斑，也常称为频斑。
可见，夫琅和费衍射装置就是一个图像的空间频谱分析器。
这就是现代光学对经典光学中夫琅和费衍射的一个重新评价---夫琅和费衍射实现了屏函数的傅里叶变换。
傅里叶光学的基本思想和基本内容，可概括为两条：
对图像产生的复杂波前的傅里叶分析，这意味着将其复杂的衍射场分解为一系列不同方向、不同振幅的平面衍射波，故傅里叶光学就是一种平面波衍射理论。
特定方向的平面衍射波，作为一种载波，携带着特定空间频率的光学信息，并将其集中于夫琅和费衍射场的相应位置上，实现了分频。
分频，从而为选频即空间滤波开辟了可行的技术途径，---故傅里叶光学也是一种关于空间滤波和光学信息处理技术的理论基础
阿贝成像原理和空间滤波概念
成像过程：
几何光学的观点：点的对应
阿贝的观点（阿贝成像原理）：
物是一系列不同空间频率信息的集合，相干成像过程分两步完成
1、入射光物平面发生夫衍射，在透镜后焦面上（频谱面）形成一系列衍射斑
2、干涉，即各衍射斑发出的球面次波在像平面上相干迭加，像就是干涉场
波动光学的观点，相干成像：频谱的转换
阿贝观点看光学仪器分辨本领
成像光学仪器(如显微镜,照相机)要求图像尽可能还原，亦即我们希望所成的像除几何尺寸放大或缩小外，尽可能与原物相似。
从阿贝成像原理的眼光来看,这要求在分频与合成的过程中尽可能尽量不使频谱改变。
如果物平面包含一系列从低频到高频的信息，由于实际透镜的口径总是有限的，频率超过一定限度的信息将因衍射角过大而从透镜边缘之外漏掉，所以透镜本身总是一个”低通滤波器”。
丢失了高频信息的频谱再合成到一起时，图像的细节将变得有所模糊。
因此要提高系统成像的质量，就应该扩大透镜的口径。
空间滤波概念（光学信息处理）
然而图像还原并非所有光学仪器的要求，人们还有更积极的需要，那就是改造图像。
阿贝成像原理的真正价值在于它提供了一种新的频谱语言来描述信息，启发人们用改变频谱的手段来改造信息。
现代变换光学中的空间滤波技术和光学信息处理，就概念来说，都起源于阿贝成像原理
空间滤波具体作法如下
阿贝成像原理告诉我们，物信息的频谱展现在透镜的后焦面(傅氏面)上,我们可在这平面上放置不同结构的光阑，以提取(或摒弃)某些频段的物信息，亦即我们可主动地改变频谱，以此来达到改造图像的目的。
用频谱分析的眼光来看，傅氏面上的光阑起着“选频”的作用。
广义地说,凡是能够直接改变光信息空间频谱的器件,通称空间滤波器，或光学滤波器。
物:网格
频谱（衍射图样）
一 列 频 谱 通 过 像
一 行 频 谱 通 过 像
像 倾斜方向的频谱通过
网 格 粘 上 的 灰 尘
只 让 网 格 的 频 谱 通 过
网 格 的 像 灰 尘 消 失
(3) θ调制实验
用白光照明透明物体,物体的不同部分是由不同取向的透射 白光 光栅片组成。
频谱面上(除零级外)干涉主极大呈彩色。
物面 干涉主极大呈彩色 上不同的部分的频谱在不同方向上。
将一个方向的频谱,只 保留一种颜色,滤掉其余的颜色,其对应的象面上,就显示出 该频率的颜色来。
物面 白光 傅里叶 变换镜 频谱面 输出面
S
f′
f′
f′
f′
物面
频谱面
调制后的频谱面
调制后的像
光学空间滤波和信息处理技术应用于 实际方面的一项首创性的工作
→ 相衬显微镜
相位物
高度透明的样品（生物切片、晶体切片、凝聚态、风洞中 的气流、薄膜等）—结构信息主要体现在其内部折射率的 不均匀或几何厚度的不均匀而不是光吸收的不均匀
相位物的透过率
%( x, y) = eiϕ ( x, y ) t
2π
单色平行光照射下，透射光强分布是均匀的，但 位相有分布
ϕ ( x, y) =
λ
nd
显微镜观察相位物的问题： 探测器（眼睛）感受光强，对相位物，均匀亮场， 显微镜无法显示有价值的相位信息 1935年荷兰科学家泽尼克发明了相衬法 将样品的相位信息，通过一种特殊的滤波器，转化 为输出像面上的光强分布，由此制成新型的相衬显 微镜，为分析相位型样品提供了一种有效手段 该工作是：光学空间滤波和信息处理技术应用于 实际方面的一项首创性的工作 1953年诺贝尔物理学奖
相衬法原理及其数学描述
相衬法采用的空间滤波器是一块玻璃基片，其上局部镀上一层 膜或蚀刻一槽条，置放于后焦面且让膜层对准零频处，旨在改 后焦面 变零频成分的相位 2π
δ=
λ
n0 h
根据阿贝成像原理， 频谱面上的每一点是一个新的波源，发 频谱面 出的球面波参与整个像面的迭加，因此零频斑的相移，将改 变像面的光强分布 x ′, y ′
x, y
ℜ
。