中国人民大学附属中学2018届高三三模数学理试题无答案

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普通高等学校2018届高三招生全国统一考试模拟(三)数学(理)试题+Word版含答案

2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数(三)本试卷共6页，23题(含选考题)。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上．并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第I 卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合(){}2ln 330A x x x =-->，集合{}231,B x x U R =->=，则()U C A B ⋂=A. ()2,+∞B. []2,4C. (]1,3D. (]2,42.设i 为虚数单位，给出下面四个命题：1:342p i i +>+；()()22:42p a a i a R -++∈为纯虚数的充要条件为2a =；()()23:112p z i i =++共轭复数对应的点为第三象限内的点；41:2i p z i +=+的虚部为15i . 其中真命题的个数为A ．1B ．2C ．3D ．43.某同学从家到学校途经两个红绿灯，从家到学校预计走到第一个红绿灯路口遇到红灯的概率为0.75，两个红绿灯路口都遇到红灯的概率为0.60，则在第一个路口遇到红灯的前提下，第二个路口也遇到红灯的概率为A ．0.85B ．0.80C ．0.60D ．0.564．已知函数()fx x =的值域为A ，且,a b A∈，直线()()2212x y x a y b +=-+-=与圆有交点的概率为A ．18B ．38 C. 78 D. 145．一条渐近线的方程为43y x =的双曲线与抛物线2:8C y x =的一个交点为A ，已知AF =(F为抛物线C 的焦点)，则双曲线的标准方程为A ．2211832x y -=B ．2213218y x -= C ．221916x y -=D ．2291805y x -= 6．如图，弧田由圆弧和其所对弦围成，《九章算术》中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一”，即弧田面积12=(弦×矢+矢2)．公式中“弦”指圆弧所对的线段，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述的经验公式计算弧田面积与实际面积存在误差，则圆心角为3π，弦长为1的弧田的实际面积与经验公式算得的面积的差为A ．18- B ．1168πC ．1623π+- D ．525-7．已知()()322101210223nn x d x x x a ax a x a=+-=+++⋅⋅⋅+⎰，且，则12310012102310a a a a a a a a +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+的值为 A ．823B ．845C ．965-D ．8778．已知函数()()s i n 2c o s 2,0,66f x x x x f x k ππ⎛⎫⎡⎤=++∈= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当时，有两个不同的根12,x x ，则()12f x x k ++的取值范围为A．⎡⎣ B． C．⎭ D．)9.运行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A ．2018201722⨯- B ．2018201822⨯+ C. 2019201822⨯-D ．2019201722⨯+10．已知直线()()21350m x m y m +++--=过定点A ，该点也在抛物线()220x py p =>上，若抛物线与圆()()()222:120C x y rr -+-=>有公共点P ，且抛物线在P 点处的切线与圆C 也相切，则圆C 上的点到抛物线的准线的距离的最小值为 A．3B. 3C ．3D．311．已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为A ．2143π B ．1273π C.1153π D ．1243π12．已知函数()f x 的导函数为()'f x ，且满足()32123f x x ax bx =+++，()()''24f x f x +=-，若函数()6ln 2f x x x ≥+恒成立，则实数b 的取值范围为A ．[)64ln3,++∞B ．[)5ln5,++∞ C.[)66ln6,++∞ D ．[)4ln 2,++∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2018年重庆市高三三模考试三诊考试数学(理)试题含答案

2018年普通高等学校招生全国统一考试5月调研测试卷理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}()|,,2A x x a B =≤=-∞，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（） A ．2a ≥ B ．2a > C ．2a ≤ D ．2a <2. 已知i 为虚数单位，复数z 满足21iz z =+，则z =（） A ．2155i -- B ．2155i + C ．2i + D ．2i - 3.设命题:,2ln 2x p x Q x ∃∈-<，则p ⌝为（）A ．,2ln 2x x Q x ∃∈-≥B ．,2ln 2x x Q x ∀∈-<C ．,2ln 2x x Q x ∀∈-≥D ．,2ln 2x x Q x ∀∈-= 4. 已知随机变量()22,XN σ，若()()1121P X a P X a ≤-+≤+=，则实数a =（）A ． 0B ．1 C. 2 D ．45.山城农业科学研究所将5种不同型号的种子分别试种在5块并成一排的试验田里，其中,A B 两型号的种子要求试种在相邻的两块试验田里，且均不能试种在两端的试验田里，则不同的试种方法数为（）A ．12B ． 24 C. 36 D ．486. 已知抛物线24y x =的焦点为F ，以F 为圆心的圆与抛物线交于M N 、两点，与抛物线的准线交于P Q 、两点，若四边形MNPQ 为矩形，则矩形MNPQ 的面积是（） A．．．37. 已知实数,x y 满足不等式组20x y x a x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≤⎩，且2z x y =-的最大值是最小值的2倍，则a =（）A ．34 B ．56 C. 65 D ．438. 《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.根据该问题设计程序框图如下，若输入103,97a b ==，则输出n 的值是（）A ． 8B ． 9 C. 12 D ．169.一个正三棱柱的三视图如图所示，若该三棱柱的外接球的表面积为32π，则侧视图中的x 的值为（）A ． 6B ． 4 C. 3 D ．210. 已知圆O 的方程为221x y +=，过第一象限内的点(),P a b 作圆O 的两条切线,PA PB ，切点分别为,A B ，若8PO PA =，则a b +的最大值为（）A ．3B ．．611. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左右焦点分别为12,F F ，以2OF 为直径的圆M 与双曲线C 相交于,A B 两点，其中O 为坐标原点，若1AF 与圆M 相切，则双曲线C 的离心率为（）A B D 12. 已知函数()32413327f x x x x =+++，等差数列{}n a 满足：()()()129911f a f a f a +++=，则下列可以作为{}n a 的通项公式的是（）A ．173n - B ．2333n - C. 452n- D ．49n - 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上 13.函数()22cos sin cos 1f x x x x =+-的最大值是．14.已知0a >，且102a x ⎛ ⎝的展开式中常数项为5，则a = ．15.在如图所示的矩形ABCD 中，点E P 、分别在边AB BC 、上，以PE 为折痕将PEB ∆翻折为PEB '∆，点B '恰好落在边AD 上，若1sin ,23EPB AB ∠==，则折痕PE = ．16.已知点I 为ABC ∆的内心，2,3,4AC BC AB ===，若AI xAB yAC =+，则x y += ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在ABC ∆中，A 为锐角，且()224sin 5cos sin cos 2422A A A A ππ⎛⎫⎫--=+ ⎪⎪⎝⎭⎭.（1）求A ；（2）若1,AC ABC =∆BC 边上的高.18. 从某校高三年级中随机抽取100名学生，对其高校招生体检表中的视图情况进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知从这100人中随机抽取1人，其视力在0.30.5的概率为110. （1）求,a b 的值；（2）若某大学A 专业的报考要求之一是视力在0.9以上，则对这100人中能报考A 专业的学生采用按视力分层抽样的方法抽取8人，调查他们对A 专业的了解程度，现从这8人中随机抽取3人进行是否有意向报考该大学A 专业的调查，记抽到的学生中视力在1.1 1.3的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.19.如图，三棱柱111ABCA B C 中，011111,,60AC B A AB AA BAA ⊥=∠=. （1）求证：ABC ∆为等腰三角形；（2）若平面BAC ⊥平面11ABB A ，且AB CB =，求二面角11A CC B --的正弦值.20. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，且右焦点与抛物线2y =的焦点重合.（1）求椭圆的C 的方程；（2）设点P 为圆22:2x y Γ+=上任意一点，过P 作圆Γ的切线与椭圆C 交于,A B 两点，证明：以AB 为直径的圆经过定点，并求出该定点的坐标. 21.已知函数()()1ln f x x a x a R x=+-∈. （1）若直线1y x =+与曲线()y f x =相切，求a 的值；（2）若关于x 的不等式()2f x e≥恒成立，求a 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos sin 1ρθρθ+=，曲线C 的极坐标方程为2sin 8cos ρθθ=. （1）求直线l 与曲线C 的直角坐标方程；（2）设点()0,1M ，直线l 与曲线C 交于不同的两点,P Q ，求MP MQ +的值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()2f x x a x =-+.（1）当3a =时，求不等式()3f x ≥的解集；（2）若关于x 的不等式()0f x ≤的解集为{}|2x x ≤-，求实数a 的值.试卷答案一、选择题1-6: DACCBA 7-12: BBCBCA 二、填空题13.214. 13 15. 278 16. 23三、解答题 17.解：（1）)1sin 4sin 1sin sin 223AA A A A π+=+⇒=⇒=；（2）1sin 42S bc A c ===，由余弦定理有：2222cos 13a b c bc A a =+-=⇒= 由面积公式有：1213S ah h =⇒=. 18.解：（1）0.20.10.50100b b a ⨯=⇒=⇒=；（2）ξ的可能取值为0，1，2，3，概率为：()()321553338810300,15656C C C P P C C ξξ======， ()()12353333881512,35656C C C P P C C ξξ======，所以其分布列如下：则()568E ξ==. 19.解：（1）设AB 中点为D ，连接1,CD DA ，又设2AB =，则11,12AD AA ==，又因为11cos 2BAA ∠=，所以1AB DA ⊥，又因为11111,CA A B CA DA ⊥，所以11A B⊥面1CDA ，所以11AB CD ⊥，又因为CD 为中线，所以ABC∆为等腰三角形；（2）设以AB 中点D 为原点，分别以1,,DA DA DC 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设2AB =，则()()(()(110,0,0,,,1,0,0,D A C B C --，故()()(110,3,3,1,3,0,1,0,CACC CB =-=-=-，设面11ACC 的法向量()1111,,n x y z =，则有()1111103,1,10n x =⇒=-=⎪⎩，同理得：面1BCC 的法向量()23,1,1n =-，设所求二面角为θ，则12123cos 5n n n n θ==，故4sin 5θ=.20.解：（1）由题意有：221263c e x y a c ⎧==⎪⇒+=⎨⎪=⎩；（2）由对称性，猜测该定点为()0,0O ，设该切线方程为y kx b =+，则有2222d b k ==⇒=+，联立方程有：()22222214260163y kx b k x kbx b x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩，()()()222212121212211366021OA OB x x y y k x x kb x x b b k k =+=++++=--=+，所以OA OB ⊥，即原点以在AB 为直径的圆上.21.解：（1）()2022111111a x ax f x x a x x x a x --'=--==⇒=-⇒-=，则有：()00000001ln 1ln 10f x x a x x x x x =+-=+⇒-+=，令()()1ln 1101h x x x h x x x'=-+⇒=-=⇒=，则()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，又因为()10h =，所以011x a =⇒=-；（2）令()12ln l x x a x x e=+--，则原命题等价于()0l x ≥恒成立，又()221x ax l x x --'=，设20000110,x ax a x x --==-，则()l x 在()00,x 上单减，在()0,x +∞上单增，故只需()()00000001120,ln l x l x x x x x x e⎛⎫≥=+--- ⎪⎝⎭，令()()21121ln 1ln m x x x x m x x x x e x ⎛⎫⎛⎫'=+---⇒=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()m x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，又()10m m e e ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴01,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即11,a e e e e ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦.22.解：（1）22cos sin 11,sin8cos 8x y y x ρθρθρθθ+=⇒+==⇒=；（2）考虑直线方程1x y +=，则其参数方程为21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入曲线方程有：22118102t ⎛⎫-=⇒-+= ⎪ ⎪⎝⎭，则有12MP MQ t t +=+=23.解：（1）()33,3323,3x x f x x x x x -≥⎧=-+=⎨+<⎩结合函数图像有：[)0,x ∈+∞；（2）由题意知()202f a -=⇒=或6a =-，经检验，两种情况均符合题意，所以2a =或6a =-.。

2018人大附三模物理高清Word版(官方校对)

中国人民大学附属中学2018届高三考前热身练习理科综合能力测试（物理部分） 2018.5.2913．各种不同频率范围的电磁波按频率由大到小的排列顺序是 A ．γ 射线、紫外线、可见光、红外线 B ．γ 射线、红外线、紫外线、可见光 C ．紫外线、可见光、红外线、γ 射线D ．红外线、可见光、紫外线、γ 射线14．如图所示是小明同学画的几种人造地球卫星轨道的示意图，视地球为均匀质量的球体，其中 a 卫星的轨道平面过地轴，b 卫星轨道与地轴夹角为一锐角，c 卫星轨道为与地轴垂直的椭圆。

则 A ．三个卫星都不可能是地球同步卫星 B ．各轨道运行的卫星的速度大小始终不变 C ．如果各卫星质量相等，它们的机械能也相等 D ．c 卫星在远地点的速度可能大于第一宇宙速度15．如图所示，小芳在体重计上完成下蹲动作，下列反映体重计示数随时间变化的t F 图像可能正确的是16．如图所示是某种频率的光常温下从真空向介质入射时几种介质对真空的折射率，由表中数据结合相关知识可以知道A ．这种光在玻璃中的速度大于在水中的速度B ．这种频率的光用同一装置在水中进行双缝干涉实验观测的条纹间距大于在空气中观测的条纹间距C ．光密介质的密度一定大于光疏介质密度D ．这种频率的光从水晶射入空气比从水射入空气更容易发生全反射ABC D17．在均匀介质中坐标原点O 处有一波源做简谐运动，其表达式⎪⎭⎫⎝⎛=t y 2sin 5π，它在介质中形成的简谐横波沿x 轴正方向传播，某时刻波刚好传播到m x 12=处，形成的波形图象如图所示，则A ．这一列波的波速等于s m /12B ．M 点在此后第3s 末的振动方向沿y 轴正方向C ．波源开始振动时的运动方向沿y 轴负方向D ．此后M 点第一次到达m y 5=处所需时间是2s18．如图，M 为半圆形导线框，圆心为M O ；N 是圆心角为直角的扇形导线框，圆心为N O ；两导线框在同一竖直面（纸面）内；两圆弧半径相等；过直线M O N O 的水平面上方有一匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里。

人大附中2018届高三模拟考试理科数学试题

于直线 l : y x 的对称区域 2 内的任一点，则 MN 的最大值为（ A． 2 B． 2 2 C． 4 2 D． 5 2 ）
9．[2018·赣州模拟]如图所示，为了测量 A ， B 处岛屿的距离，小明在 D 处观测， A ， B 分别在 D 处的北偏西 15 、北偏东 45 方向，再往正东方向行驶 40 海里至 C 处，观测 B 在 C 处的正北方向， A 在 C 处的北偏西 60 方向，则 A ， B 两处岛屿间的距离为（）
A． 20 6 海里
B． 40 6 海里
C． 20 1 3 海里 D．40 海里

10．[2018·衡水金卷]若函数 y f x 图像上存在两个点 A ， B 关于原点对称，则对称点 A, B 为函数 y f x 的“孪生点对”，且点对 A, B 与 B, A 可看作同一个“孪生点
2, x 0 对”．若函数 f x 3 恰好有两个“孪生点对”，则实数 a 的值 2 x 6 x 9 x 2 a, x 0
为（ A．0
） B．2 C．4 D．6
3
x2 y 2 11． [2018·渭南质检]已知 F1 ，F2 分别为双曲线 C ： 2 2 1 (a 0, b 0) 的左、右焦点， a b
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．[2018·菏泽期末]已知 z 1 3i 2i ，则复数 z 的共轭复数 z 在复平面内所对应的点位于（） B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限）
A．第一象限
B．20 步，60 步
7．[2018·常德期末]一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的体积为（）

人大附三模理综

中国人民大学附属中学2018届高三考前热身练习理科综合能力测试2018.5.29注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，考试时间150分钟.2．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题纸密封线内的规定位置.3．请将全部答案在答题纸的对应位置上完成，答在试卷上无效.4．考试结束后，只交答题纸.5．可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16第一部分（选择题共120分）本部分共20 小题，每小题6分，共120分。

在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。

1．二锅头作为京酒的代表，已有八百多年的历史。

以下关于酿造二锅头的叙述中，正确的是A．酵母菌能发酵产生酒精含量为52%的产品B．可用划线法测定发酵接种所用菌液的浓度C．酿酒时的环境温度不会影响酿酒进程D．选用菌种的种类和比例会影响酒的品质2．下列关于细胞内代谢活动和ATP的叙述，不正确的是A．大肠杆菌在核糖体上合成蛋白质需要线粒体提供ATPB．根毛细胞依靠主动转运从土壤中吸收K+时需要ATPC．乳酸杆菌在细胞溶胶进行厌氧呼吸时产生ATPD．蓝藻在细胞溶胶中进行碳反应的过程中不产ATP3．水稻种子在萌发过程中，赤霉素（GA）含量上升，引起α-淀粉酶等多种酶的合成，促进种子的萌发，该过程的信号调控过程如下图。

下列说法错误的是A．GA促进α-淀粉酶合成，水解淀粉以满足种子萌发需求B．GA只能与细胞核中的GA受体结合，从而发挥调控作用C．GA-GA受体复合物引起酶S与D蛋白结合，并促进其水解D．M蛋白可以启动某些GA生理反应相关基因的转录4．在退化荒丘上建成的塞罕坝林场是我国荒漠化治理的典范。

为更好的管理、利用林木资源，科研人员研究了不同砍伐强度对塞罕坝林场落叶松人工林的林木生物量影响，结果如下表所示。

下列相关叙述中错误的是A ．应采用样方法调查不同龄组各砍伐强度下的生物量B ．各龄组的林木生物量随砍伐强度的变化趋势基本一致C ．适当砍伐改变了落叶松种群的水平结构，减少了竞争D ．适度砍伐可以实现经济效益和生态效益的统一5．青霉素酰化酶能对青霉素进行加工，是抗生素生产的关键酶。

2018年北京市民大附中高考数学三模试卷(理科)-教师用卷

2018年北京市民大附中高考数学三模试卷（理科）副标题一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.设集合A={x|x−1x−3≤0}，B={x|x>2}，则A∩B=()A. (2,3)B. (2,3]C. [1,+∞)D. [1,2)【答案】A【解析】解：集合A={x|x−1x−3≤0}={x|1≤x<3}，B={x|x>2}，则A∩B={x|2<x<3}=(2,3)．故选：A．解不等式化简集合A，根据交集的定义写出A∩B．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2.“a>0”是“函数f(x)=x3+ax在区间(0,+∞)上是增函数”的()A. 必要而不充分条件B. 充分而不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：函数f(x)=x3+ax在区间(0,+∞)上是增函数，所以f′(x)=3x2+a≥0，所以a≥0，显然，a>0则有函数f(x)=x3+ax在区间(0,+∞)上是增函数，函数f(x)=x3+ax在区间(0,+∞)上是增函数，a可以为0，所以“a>0”是“函数f(x)=x3+ax在区间(0,+∞)上是增函数”的充分而不必要条件．故选：B．求出导数，由题意求出a的范围，利用充要条件的判断方法，判断即可．此题主要考查必要条件、充分条件和充要条件的定义，导数的应用，是一道基础题．3.复数z满足：(z−i)(2−i)=5；则z=()A. −2−2iB. −2+2iC. 2−2iD. 2+2i【答案】C【解析】解：：(z−i)(2−i)=5；∴z=i+52−i =i+5(2+i)(2−i)(2+i)=2+2i，则z=2−2i．故选：C．利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x的值为3，每次输入的a值均为4，输出s的值为160，则输入n的值为()A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】解：模拟程序的运行，可得x=3，k=0，s=0，a=4s=4，k=1不满足条件k>n，执行循环体，a=4，s=16，k=2不满足条件k>n，执行循环体，a=4，s=52，k=3不满足条件k>n，执行循环体，a=4，s=160，k=4由题意，此时应该满足条件k>n，退出循环，输出s的值为160，可得：4>n≥3，所以输入n的值为3．故选：B．模拟程序的运行过程，依次写出每次循环得到的s，k的值，由题意可得4>n≥3，即可得解输入n的值．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．5.已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边落到直线y=−2x上，则cos2α=()A. −35B. ±35C. 35D. −45【答案】A【解析】解：∵角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边落到直线y=−2x 上，∴tanα=−2，则cos2α=cos2α−sin2αcos2α+sin2α=1−tan2α1+tan2α=1−41+4=−35，故选：A．利用任意角的三角函数的定义求得tanα的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos2α=cos2α−sin2αcos2α+sin2α的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．6. 在△ABC 中，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，P 是直线BN 上的一点，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数m 的值为( )A. 2B. −1C. 14D. 54【答案】B【解析】解：AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，又∵B ，P ，N 三点共线， m +2=1，∴m =−1．故选：B ．根据向量的加减运算法则，通过AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，把AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出来，可得m 的值．本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量加法法则的合理运用．7. 已知x ，y 满足{x ≥0x +y ≥0x −y ≤k(k 为常数)，若z =x −2y 最大值为8，则k =( )A. 3B. 4C. −3D. 163【答案】D【解析】解：画出满足条件的平面区域，如图：由{x −y =k x+y=0，解得A( k2，−k2)，将z =x −2y 转化为：y =12x −z2，显然直线过A( k2，−k2)时，z 最大， z 的最大值是：k2+k =8，解得：k =163，故选：D ．由目标函数z =x −2y 的最大值为8，画出满足条件的平面区域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数k 的方程组，消参后即可得到k 的取值．如果约束条件中含有参数，我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程(组)，代入另一条直线方程，消去x ，y 后，即可求出参数的值．8. 过直线l ：y =2x +a 上的点作圆C ：x 2+y 2=1的切线，若在直线l 上存在一点M ，使得过点M 的圆C 的切线MP ，MQ(P,Q 为切点)满足∠PMQ =90∘，则a 的取值范围是( ) A. [−10,10] B. [−√10,√10] C. (−∞,−10]∪[10,+∞) D. (−∞,−√10]∪[√10,+∞) 【答案】B【解析】解：圆C ：x 2+y 2=1，圆心为：(0,0)，半径为1， ∵在直线l 上存在一点M ，使得过M 的圆C 的切线MP ，MQ(P,Q 为切点)满足∠PMQ =90∘， ∴在直线l 上存在一点M ，使得M 到C(0,0)的距离等于√2，∴只需C(0,0)到直线l ：y =2x +a 的距离小于或等于√2，故√1+4≤√2，解得−√10≤a ≤√10，故选：B ．由切线的对称性和圆的知识将问题转化为C(0,0)到直线l 的距离小于或等于√2，再由点到直线的距离公式得到关于a 的不等式求解．本题考查直线和圆的位置关系，由题意得到圆心到直线的距离小于或等于√2是解决问题的关键，属中档题．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为x 2+y 2=1，曲线C 2的参数方程为{x =√2−t y =t(t 为参数).以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线C 1与C 2的交点的极坐标为______．【答案】(1,π4)【解析】解：曲线C 1的方程为x 2+y 2=1，曲线C 2的参数方程为{x =√2−t y =t (t为参数)．∴曲线C 2的普通方程为x +y −√2=0，联立{x 2+y 2=1x +y −√2=0，得x =√22，y =√22，∴ρ=√(√22)2+(√22)2=1，θ=π4，∴曲线C 1与C 2的交点的极坐标为(1,π4). 故答案为：(1,π4).曲线C 2的参数方程消去参数，得曲线C 2的普通方程为x +y −√2=0，联立{x 2+y 2=1x +y −√2=0，得x =√22，y =√22，由此能求出曲线C 1与C 2的交点的极坐标．本题考查两个曲线的交点的极坐标的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．10. 已知等差数列{a n }中，公差d ≠0，a 1=2，a 1，a 2，a 4是等比数列{b n }的前三项，则等差数列{a n }的公差d =______，等比数列{b n }的前n 项S n =______ 【答案】2；2n+1−2【解析】解：由a 1=2，a 1，a 2，a 4是等比数列{b n }的前三项，得a 22=a 1a 4，即(2+d)2=2(2+3d)，解得d =2． ∴a 2=a 1+d =4，则数列{b n }是以2为首项，以2为公比的等比数列， ∴S n =2(1−2n )1−2=2n+1−2．故答案为：2；2n+1−2．由已知列式求出等差数列的公差，进一步得到等比数列的公比，代入等比数列的前n 项和公式求等比数列{b n }的前n 项S n ．本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的性质及前n 项和，是中档题．11. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的侧面中有______个直角三角形，侧面中所有直角三角形的面积是______ 【答案】3；4+√2【解析】解：四棱锥的直观图如图所示：S −ABCD ，是正方体的一部分，其中△SAB ，△SAD ，△SBC 是直角三角形；共有3个．正方体的棱长为2，所以3个直角三角形的面积和为：12×2×2+12×2×2+12×1×2√2=4+√2．故答案为：3；4+√2．利用三视图画出直观图，判断直角三角形的个数，求出面积即可．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．12. 已知a =2∫x 10dx ，函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f(x +π4)+a 图象的对称中心可以是______【答案】(kπ2−5π12,1)，k ∈π【解析】解：由图象值A =2，周期T =4×(π3−π12)=4×3π12=π，即2πω=π，则ω=2，则f(x)=2sin(2x +φ)， ∵f(π12)=2sin(2×π12+φ)=2， ∴sin(π6+φ)=1，即π6+φ=2kπ+π2，则φ=2kπ+π3， ∵|φ|<π2，∴当k =0时，φ=π3，则f(x)=2sin(2x+π3)，a=2∫x10dx=2×12x2| 01=1，则y=f(x+π4)+a=f(x+π4)+1=2sin[2(x+π4)+π3]+1=2sin(2x+5π6)+1，由2x+5π6=kπ得x=kπ2−5π12，k∈Z，即函数的对称中心为(kπ2−5π12,1)，k∈Z，故答案为：(kπ2−5π12,1)，k∈Z根据条件先求出函数的解析式，结合函数的对称性进行求解即可．本题主要考查三角函数解析式以及三角函数的对称性的求解，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．13.某单位安排甲乙丙等5人从星期一到星期五值班，每人值班1天，每天值班1人，其中甲不值周一，乙不值周二，且甲和丙在相邻的两天值班，则不同的安排方案有______种(用数学作答)．【答案】34【解析】解：根据题意，甲和丙在相邻的两天值班，则分4种情况讨论：①，甲和丙安排在周一二值班，由于甲不值周一，则只有甲值周二，丙值周一这1种情况，将剩余的3人全排列，安排在剩下的3天值班，有A33=6种情况，此时有1×6=6种安排方法；②，甲和丙安排在周二三值班，则甲丙的安排方法有A22=2种，将剩余的3人全排列，安排在剩下的3天值班，有A33=6种情况，此时有2×6=12种安排方法；③，甲和丙安排在周三四值班，则甲丙的安排方法有A22=2种，乙不值周二，则乙有2种情况，将剩余的2人全排列，安排在剩下的2天值班，有A22=2种情况，此时有2×2×2=8种情况，④，甲和丙安排在周四五值班，则甲丙的安排方法有A22=2种，乙不值周二，则乙有2种情况，将剩余的2人全排列，安排在剩下的2天值班，有A22=2种情况，此时有2×2×2=8种情况，则一共有6+12+8+8=34种；故答案为：34．根据题意，由于甲和丙在相邻的两天值班，据此分4种情况讨论：①，甲和丙安排在周一二值班，②，甲和丙安排在周二三值班，③，甲和丙安排在周三四值班，④，甲和丙安排在周四五值班，分别求出每一种的安排方法数目，由加法原理计算可得答案．本题考查分类计数原理，分类讨论要做到“不重不漏”.分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．14.设函数f(x)={2x,x<a−x3+3x,x≥a．(1)若a=0，则f(x)的最大值是______(2)若f(x)有最大值，则a的取值范围是______【答案】2；a ≤1【解析】解：函数f(x)={2x,x <a −x 3+3x,x≥a． (1)a =0时，f(x)={2x,x <0−x 3+3x,x≥0，则f′(x)={2,x <0−3x 2+3,x≥0，当0<x <1时，f′(x)>0，此时函数为增函数，当x >1时，f′(x)<0，此时函数为减函数，当x <0时，f(x)<0；∴x =1时，f(x)取得最大值为2； (2)f′(x)={2x,x <a −3x 2+3,x≥a，令f′(x)=0，则x =±1，若f(x)有最大值，则{2a ≤2a≤1，或{2a ≤−a 3+3a a>1，解得：a ≤1或a ∈⌀； ∴a 的取值范围是a ≤1．故答案为：(1)2，(2)a ≤1．(1)a =0时，讨论f(x)的图象与性质，求出f(x)的最大值；(2)利用导数研究f(x)的单调性，求出f(x)有最大值时a 的取值范围．本题考查了分段函数的图象与性质的应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知acos(B −C)−acos(B +C)=2√3bsinCcosA(Ⅰ)求角A(Ⅱ)若△ABC 的周长为8，外接圆半径为√3，求△ABC 的面积．【答案】(本小题满分13分)解：(Ⅰ)∵acos(B −C)−acos(B +C)=2√3bsinCcosA ，∴a(cosBcosC +sinBsinC −cosBcosC +sinBsinC)=2√3bsinCcosA ， ∴2asinBsinC =2√3bsinCcosA ，∴由正弦定理可得：sinAsinBsinC =√3sinBsinCcosA ， ∵sinB >0，sinC >0， ∴sinA =√3cosA ，∴tanA =√3，由A ∈(0,π)，可得：A =π3．(Ⅱ)∵△ABC 的周长为8，外接圆半径为√3， ∴根据正弦定理asinA =2R 得，√32=2√3，解得a =3，∴b +c =5，平方可得b 2+c 2+2bc =25， ∵又由余弦定理可得：9=b 2+c 2−bc ， ∴9=b 2+c 2−bc =25−3bc ，解得：bc =163，∴S △ABC =12bcsinA =12×163×√32=4√33．【解析】(Ⅰ)由已知利用三角函数恒等变换的应用，正弦定理可求tanA 的值，结合A 的范围即可得解A 的值．(Ⅱ)由已知根据正弦定理可求a ，由已知可得b 2+c 2+2bc =25，由余弦定理进而可得bc 的值，根据三角形面积公式即可计算得解．此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．16. 某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量(单位：台)，并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．(1)求在这10个卖场中，甲型号电视机的“星级卖场”的个数； (2)从乙型号的10个销售数据中任取两个数据，记其中大于等于30的数据有X 个，求X 的分布列和数学期望E(X)(3)若a =1，记乙型号电视机销售量的方差为s 2，根据茎叶图推断b 为何值时，s 2达到最小值(只需写出结论)【答案】解：(1)根据茎叶图，得甲组数据的平均数为10+10+18+14+22+25+27+30+41+4310=24，由茎叶图，知甲型号电视机的“星级卖场”的个数为5．(2)X 的可能取值为0，1，2乙型电视机销售数据中有5个数据大于等于30.P(X =0)=∁52∁102=29，P(X =1)=∁51∁51∁102=59，P(X =2)=∁52∁102=29．所以X 的分布列为 X 012P295929X 的数学期望E(X)=0×29+1×59+2×29=1．(3)当b =0时，s 2达到最小值达到最小值．【解析】(1)根据茎叶图，利用平均数的计算公式可得得甲组数据的平均数，即可得出由茎叶图，知甲型号电视机的“星级卖场”的个数．(2)X 的可能取值为0，1，2.利用超几何分布列的计算公式及其性质即可得出． (3)当b =0时，s 2达到最小值达到最小值．本题考查了茎叶图的性质、超几何分布列的性质、随机变量的数学期望与方差，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17. 在三棱柱A′B′C′−ABC 中，A′A =5，AB =4，A′B =AC =3，AC ⊥BC ，cos∠A′AC =35 (1)求证：面A′C′CA ⊥面A′BC(2)求二面角C −A′A −B 的余弦值；(3)若E ，F 分别为棱A′B′，′BC 上的点，A′E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λA′B′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且EF//面A′C′CA ，求λμ的最大值．【答案】证明：(1)∵在三棱柱A′B′C′−ABC 中，A′A =5，AB =4，A′B =AC =3，AC ⊥BC ，cos∠A′AC =35， ∴A′C =√AA ′2+AC 2−2×AA ′×AC ×cos∠A ′AC =√25+9−2×5×3×35=4，在△A′AC 中，A′A 2=AC 2+A′C 2，∴A′C ⊥AC ， ∵AC ⊥BC ，A′C ∩BC =C ，∴AC ⊥面A′BC ，∵AC ⊂面A′C′CA ，∴面A′C′CA ⊥面A′BC ．解：(2)∵A′A =5，AB =4，A′B =3，∴A′B ⊥AB ，∵AC ⊥面A′BC ，∴A′B ⊥AC ，又∵AC ∩AB =A ，∴A′B ⊥面ABC ，如图过点B 作AC 的平行线建立坐标系， AC ⊥BC ，AB =4，AC =3，∴BC =√7，∴C(√7,0,0)，A(√7,3，0)，A′(0,0，3)，B′(−√7,−3,3)，设面A′AC 的法向量为n⃗ =(x,y ，z)， AA ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√7,−3,3)，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3，0)， ∴{n ⃗ ⋅AA ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√7x +3y −3z =0n⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3y =0，令z =7，得n⃗ =(3,0，√7)，设面A′AB 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， AA ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√7,−3,3)，BA⃗⃗⃗⃗⃗ =(√7,3，0)， ∴{m ⃗⃗⃗ ⋅AA ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√7x +3y −3z =0m⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =√7x +3y =0，令y =−√7，得m ⃗⃗⃗ =(3,−√7,0)，设所求二面角为α，则|cosα|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=916，而α∈(0,π2)， ∴二面角C −A′A −B 的余弦值cosα=916．(3)∵A ′E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λA ′B ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BF⃗⃗⃗⃗⃗ =μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，设E(x 1,y 1,z 1)，F(x 2,y 2,z 2)，∴{(x 1,y 1,z 1−3)=λ(−√7,−3,0)(x 2,y 2,z 2)=μ(√7,0,0)，∴E(−√7λ,−3λ,3)，F(3√7,0，0)，∴EF⃗⃗⃗⃗⃗ =(3√7+√7λ,3λ,−3)，n ⃗ =(3,0，√7)，由EF//面A′C′CA ，得EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ，∴3(√7μ+√7λ)−3√7=0， ∴λ+μ=1，而λ，μ∈(0,1)， ∴λμ≤(λ+μ2)2=14，∴λμ的最大值为14，此时λ=μ=12．【解析】(1)求出A′C =4推导出A′C ⊥AC ，AC ⊥面A′BC ，由此能证明面A′C′CA ⊥面A′BC ．(2)推导出A′B ⊥AB ，A′B ⊥AC ，从而A′B ⊥面ABC ，过点B 作AC 的平行线建立坐标系，利用向量法能求出二面角C −A′A −B 的余弦值．(3)推导出EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3√7+√7λ,3λ,−3)，n ⃗ =(3,0，√7)，由EF//面A′C′CA ，得EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ，由此能求出λμ的最大值．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查两数值的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18. 如图，已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的上顶点为A(0,1)，离心率为√22．(I)求椭圆C 的方程； (II)若过点A 作圆M ：(x +1)2+y 2=r 2(圆M 在椭圆C 内)的两条切线分别与椭圆C 相交于B ，D 两点(B,D 不同于点A)，当r 变化时，试问直线BD 是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由．【答案】解：(Ⅰ)∵e =c a=√1−b 2a 2=√22，由题设知{b =1b 2a 2=12⇒{b =1a =√2．故所求椭圆C 的方程是x 22+y 2=1．(Ⅱ)：设切线方程为y =kx +1，则有，化简得|1−k|√1+k 2=r ，即(1−r 2)k 2−2k +1−r 2=0设两条切线分别的斜率分别为k 1，k 2，于是k 1，k 2是方程(1−r 2)k 2−2k +1−r 2=0的两实根，故k 1⋅k 2=1．设直线BD 的方程为y =mx +t ，由{x 2+2y 2=2y=mx+t得(1+2m 2)x 2+4tmx +2t 2−2=0， ∴x 1+x 2=−4mt1+2m 2，x 1x 2=2t 2−21+2m 2，又k 1k 2=y 1−1x 1⋅y 2−1x 2=1，即(mx 1+t −1)(mx 2+t −1)=x 1x 2⇒(m 2−1)x 1x 2+m(t −1)(x 1+x 2)+(t −1)2=0，⇒(m 2−1)2(t 2−1)1+2m 2+m(t −1)−4mt 1+2m 2+(t −1)2=0，⇒t =−3．∴直线BD 过定点(0,−3)【解析】(Ⅰ)利用已知条件求出a ，b 即可求解椭圆C 的方程．(Ⅱ)设切线方程为y =kx +1，则有(1−r 2)k 2−2k +1−r 2=0，设两条切线分别的斜率分别为k 1，k 2，于是k 1，k 2是方程(1−r 2)k 2−2k +1−r 2=0的两实根，故k 1⋅k 2=1．设直线BD 的方程为y =mx +t ，由{x 2+2y 2=2y=mx+t 得(1+2m 2)x 2+4tmx +2t 2−2=0，又k 1k 2=y 1−1x 1⋅y 2−1x 2=1，即(mx 1+t −1)(mx 2+t −1)=x 1x 2⇒(m 2−1)x 1x 2+m(t −1)(x 1+x 2)+(t −1)2=0，求得t ，推出直线BD 过定点．本题考查椭圆的简单性质椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，直线恒过定点问题，考查转化思想以及计算能力．19. 已知函数f(x)=e x (x −1)(x ∈R)．(Ⅰ)求函数f(x)在x =1处的切线方程；(Ⅱ)讨论函数g(x)=f(x)−m(x −1)2零点的个数．【答案】解：(Ⅰ)f′(x)=xe x ，∴f′(1)=e ，切点为(1,0)，则切线方程为y −0=e(x −1)，即ex −y −e =0．(Ⅱ) 函数g(x)=f(x)−m(x −1)2零点的个数即是方程f(x)−m(x −1)2=0根的个数，等价于两个函数ℎ(x)=e x x−1与函数y =m 图象交点的个数加1． ℎ′(x)=e x (x−2)(x−1)2，当x ∈(−∞,1)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)在(−∞,1)上单调递减；当x ∈(1,2)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)在(1,2)上单调递减；当x ∈(2,+∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)在(2,+∞)上单调递增，∴ℎ(x)在(1,+∞)上有最小值为ℎ(2)=e 2.其图象为：当m ∈(−∞,0)或m =e 2时，函数ℎ(x)=e x x−1与函数y =m 图象交点的个数为1；当m ∈[0,e 2)时，函数ℎ(x)=e xx−1与函数y =m 图象交点的个数为0；当m ∈(e 2,+∞)时，曲函数ℎ(x)=e x x−1与函数y =m 图象交点的个数为2．综上所述，当m ∈(e 2,+∞)时，时，函数g(x)有三个零点；当m ∈(−∞,0)或m =e 2时时，函数g(x)有两个零点；当m ∈[0,e 2)时时，函数g(x)有一个零点．【解析】(Ⅰ)f′(x)=xe x ，可得f′(1)=e ，切点为(1,0)，利用点斜式即可得出． (Ⅱ) 函数g(x)=f(x)−m(x −1)2零点的个数即是方程f(x)−m(x −1)2=0根的个数，等价于两个函数ℎ(x)=e x x−1与函数y =m 图象交点的个数加1.ℎ′(x)=e x (x−2)(x−1)2，利用导数研究其单调性即可得出．本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、函数零点、分类讨论方法、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20. 已知曲线C ：xy =1，过C 上一点A 1(x 1,y 1)作斜率k 1的直线，交曲线C 于另一点A 2(x 2,y 2)，再过A 2(x 2,y 2)作斜率为k 2的直线，交曲线C 于另一点A 3(x 3,y 3)，…，过A n (x n ,y n )作斜率为k n 的直线，交曲线C 于另一点A n+1(x n+1,y n+1)…，其中x 1=1，k n =−x n +1x n 2+4x n (x ∈N ∗) (1)求x n+1与x n 的关系式；(2)判断x n 与2的大小关系，并证明你的结论；(3)求证：|x 1−2|+|x 2−2|+⋯+|x n −2|<2．【答案】解：(1)由已知过A n (x n ,y n )斜率为−x n +1x n 2+4x n 的直线为y −y n =−x n +1x n 2+4x n (x −x n )，直线交曲线C 于另一点A n+1(x n+1,y n+1)所以y n+1−y n =−x n +1x n 2+4x n (x n+1−x n )(2分) 即1x n+1−1x n =−x n +1x n 2+4x n (x n+1−x n )，x n+1−x n ≠0，所以x n+1=x n +4x n +1(n ∈N ∗)(4分) (2)解：当n 为奇数时，x n <2；当n 为偶数时，x n >2(5分)因为x n −2=x n−1+4x n−1+1−2=−x n−1−2x n−1+1，(6分) 注意到x n >0，所以x n −2与x n−1−2异号由于x 1=1<2，所以x 2>2，以此类推，当n =2k −1(k ∈N ∗)时，x n <2；当n =2k(k ∈N ∗)时，x n >2(8分)(3)由于x n >0，x n+1=x n +4x n +1=1+3x n +1，所以x n ≥1(n =1,2，3，)(9分)所以|x n+1−2|=|x n −2x n +1|=|x n −2||x n +1|≤12|x n −2|(10分) 所以|x n −2|≤12|x n−1−2|≤122|x n−2−2|≤⋯≤12n−1|x 1−2|=12n−1(12分) 所以|x 1−2|+|x 2+2|+⋯+|x n −2|≤1+12+(12)2+⋯+(12)n−1=2−(12)n−1<2(14分)【解析】(1)过A n (x n ,y n )斜率为−x n +1x n 2+4x n 的直线为y −y n =−x n +1x n 2+4x n (x −x n )，A n+1在直线上，化简即可求x n+1与x n 的关系式；(2)利用(1)的结论，分当n 为奇数时，判断x n <2；当n 为偶数时，判断x n >2，然后推理证明的结论；(3)利用x n+1=x n+4x n+1=1+3x n+1，再利用放缩法，推出|x n−2|≤12n−1，再证明|x1−2|+|x2−2|+⋯+|x n−2|<2．本题考查直线的斜率，不等式的证明，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．。

北京市中国人民大学附属中学2019届高三数学下第三次调研考试试题理

∵AB＝AA1＝4，AM＝A1B1＝2，
`∴BM＝AB1＝2 5.
AB·AM 4 5
设 AB1∩BM＝N，则 AN＝
＝.
BM 5
65 ∴B1N＝AB1－AN＝ .
14.面积为 S 的平面凸四边形的第 i 条边的边长记为 ai （ i 1,2,3,4 ），此四边形内任一点 P 到
-3-
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第
i
条边的距离记为
hi
（
i 1,2,3,4
），若
a1 a2 a3 a4 k 1234
，则
h1
2h2
3h3
4h4
2S k
．类比以上性质，体积为 V
-7-
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(1)证明取 AA1 的中点 M，连接 BM，PM， ∴PM∥AD∥BC，∴BM⊂平面 PBC. ∵AA1⊥平面 ABCD，BC⊂平面 ABCD，∴AA1⊥BC， ∵ABCD 是正方形，∴AB⊥BC，又 AB⊂平面 ABB1A1，AA1⊂平面 ABB1A1，AB∩AA1＝A， ∴BC⊥平面 ABB1A1，∵AB1⊂平面 ABB1A1， ∴BC⊥AB1. ∵AB＝AA1＝4，∠BAM＝∠B1A1A＝90°， AM＝B1A1＝2， ∴△ABM≌△A1AB1，∴∠MBA＝∠B1AA1， ∵∠BAA1＝∠B1A1A＝90°，∴∠MBA＋∠BAB1＝90°， ∴BM⊥AB1， ∵BM⊂平面 PBC，BC⊂平面 PBC，BM∩BC＝B， ∴AB1⊥平面 PBC.
y2
sin
3
,
f
( )
y1
y2
sin
sin
3
3
sin
6
Q 0 , 2
26

2018学年度高三第三次模拟考试理科数学试题及答案精品

x2
5．已知实数 x、y 满足约束条件 y 2 ，则 z 2 x 4y 的最大值为（
）．
xy6
A．24
B
．20
C
．16
D
． 12
6．已知向量 | a | 10,| b | 12 , 且 a b 60 ，则向量 a 与 b 的夹角为（
）
A． 600
B
． 1200
C
．1350
D
．150 0
7．下列命题错误的是（
17. （本小题满分 14 分）
18. （本小题满分 14 分） 1
P
E
D C
O
A
B
19. （本小题满分 14 分）
20. （本小题满分 14 分）
2018-2018 学年度高三第三次模拟考试 ( 理科 ) 数学试题参考答案
一、选择题 : （本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分．） 1．D本题主要考察互为共轭复数的概念及复数的乘法运算．
20．（本小题满分 14 分）设 { an} 是等差数列， {bn} 是各项都为正数的等比数列，且 a1 b1 1 ，a3 b5 21 ，
a5 b3 13
（Ⅰ）求 { an} ， { bn} 的通项公式；
（Ⅱ）求数列
an bn
的前 n 项和 Sn ．
2018-2018 学年度高三第三次模拟考试
）
A．命题“若 m 0 ，则方程 x2 x m 0 有实根”的逆否命题为： “若方程
x2 x m 0 无实根，则 m 0 ”。
B．“ x 1 ”是“ x2 3x 2 0 ”的充分不必要条件。
C．命题“若 xy 0 ，则 x, y 中至少有一个为零”的否定是： “若 xy 0，则 x, y 都不为零”。 D．对于命题 p : x R ，使得 x2 x 1 0 ；则 p 是 : x R ，均有 x2 x 1≥ 0 。

民大附中2018届高三三模数学(理)试题及答案(官方版)

2018年中央民族大学附属中学高三，三模考试数学(理科)本试卷共4页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设集合1{|0}3x A x x -=≤-，{|2}B x x =>，则A B ⋂= （A ）(2,3)（B ）(2,3]（C ）[1,)+∞（D ）[1,2)2.“0a >”是“函数3()(0,)f x x ax =++∞在区间上是增函数”的____________ （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件3.复数z 满足：()(2)5z i i --=；则Z =（）（A ）22i --（B ）22i -+（C ）i 2-2 （D ）i 2+24.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x 的值为3，每次输入的a 值均为4，输出s 的值为160，则输入n 的值为（）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）55.已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边落到直线2y x =-上，则cos 2α=（A ）35-（B ）35± （C ）35 （D ）45- 6.在ABC ∆中，12AN AC = ，P 是直线BN 上的一点，若AP mAB AC =+，则实数m 的值为（）（A ）2（B ）1-（C ）14（D ）547.已知,x y 满足0,0,.x x y x y k ≥⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩（k 为常数），若2z x y =-最大值为8，则k=________.（A ）3（B ）4 （C ）3-（D ）1638.过直线:2l y x a =+上的点作圆22:=1C x y +的切线，若在直线l 上存在一点M ,使得过点M 的圆C 的切线,MP MQ (,P Q 为切点)满足90PMQ ∠= ,则a 的取值范围是（）（A ）[10,10]-（B ）⎡⎣（C ）(,10][10,)-∞-⋃+∞（D ）(,)-∞⋃+∞二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案直接填在Ⅱ卷对应题号后的横线上）9.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为221x y +=，曲线2C 的参数方程为,(x t t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数)．以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线1C 与2C 的交点的极坐标．．．为__________． 10. 已知等差数列{}n a 中，公差0d ≠，12a =，124,,a a a 是等比数列{}n b 的前三项，则等差数列{}n a 的公差d =__________,等比数列{}n b 的前n 项n S =____________11. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的侧面中有_______个直角三角形，侧面中所有直角三角形的面积是_____12.已知12a xdx =⎰，函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数4f x a π⎛⎫++ ⎪⎝⎭图象的对称中心可以是___________13.某单位安排甲乙丙等5人从星期一到星期五值班，每人值班1天，每天值班1人，其中甲不值周一，乙不值周二，且甲和丙在相邻的两天值班，则不同的安排方案有_________种（用数学作答）.14. 设函数33,()2,x x x af x x x a⎧-+≥=⎨<⎩，(1) 若0a =，则()f x 的最大值是________________(2) 若()f x 有最大值，则a 的取值范围是_________________三、解答题：（本大题共6个小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，） 15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，内角A,B,C 所对的边分别为,,a b c 已知（Ⅰ）求角A(Ⅱ)若ABC ∆的周长为8求ABC ∆的面积.16.（本小题共13分）某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．（1）求在这10个卖场中，甲型号电视机的“星级卖场”的个数；（2）从乙型号的10个销售数据中任取两个数据，记其中大于等于30的数据有X 个，求X 的分布列和数学期望()E X ；（3）若a =1，记乙型号电视机销售量的方差为s 2，根据茎叶图推断b 为何值时，s 2达到最小值（只需写出结论）17.（本小题满分14分）在三棱柱'''A B C ABC -中，''5,4,3A A AB A B AC ====，AC BC ⊥，'3cos 5A AC ∠=。

2018届北京市中国人民大学附属中学高三5月考前热身练习(三模)数学(理)试题(解析版)

2018届北京市中国人民大学附属中学高三5月考前热身练习（三模）数学（理）试题一、单选题1．已知集合，，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：化简集合，由，可得，由此列不等式求得实数的取值范围.详解：集合，，，故选B.点睛：本题主要考查集合中参数的取值范围问题，两个集合的交集的定义，判断是解题的关键，属于简单题.2．若，，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：本题是一个求夹角的问题，条件中给出了两个向量的模长，要求夹角只要求出向量的数量积，需要运用，数量积为零，得到关于与数量积的方程，解出结果代入求夹角的公式，注意夹角的范围.详解：，，，，，，两个向量的夹角是，故选C.点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）. 3．执行如图所示的程序框图，若输出的的值为8，则图中判断框内①处可以填（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到输出的的值为,即可得到输出条件.详解：执行程序框图，输入，第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，，此时输出，退出循环，故退出条件为，故选C.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可. 4．如图，一个空间几何体的三视图均是直角边为1的等腰直角三角形，那么这个几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意可知三视图复原的几何体是三棱锥，为正方体的一个角，根据三视图的数据，求出三棱锥的表面积即可.详解：由题意可知三视图复原的几何体是三棱锥，为正方体的一个角，几何体的表面积为个等腰三角形与一个等边三角形的面积的和，即，故选D.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.5．“”的充分不必要条件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据充分条件与必要条件逐一验证选项中的命题是否符合题意即可.详解：是的充要条件，错；是的必要不充分条件，错；，不能推出，（如），是充分不必要条件，对；是的充要条件，错，故选C.点睛：判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.6．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有1个这种细菌和200个这种病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要（）A. 6秒钟B. 7秒钟C. 8秒钟D. 9秒钟【答案】C【解析】分析：由题意可得，解不等式可得结果.详解：根据题意，每秒细菌杀死的病毒数成等比数列，设需要秒可将细菌将病毒全部杀死，则，，，结合解得，即至少需秒细菌将病毒全部杀死，故选C.点睛：本题主要考查等比数列在生产生活中的实际应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的求和的项数一定要准确.7．若双曲线：与：的离心率分别为和，则下列说法正确的是（）A. B.C. 与的渐近线相同D. 与有8个公共点【答案】A【解析】分析：求出两双曲线的离心率与渐近线，逐一判断四个选项中的命题是否正确即可.详解：的离心率为；的离心率为，，所以对错；因为的渐近线方程为，的渐近线方程为，错；与有8个公共点有四个公共点，错，故选A.点睛：本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查双曲线的标准方程、离心率。

北京人大附中2018届高三上学期期末考试数学(理)仿真(B)卷及答案

2017-2018学年上学期高三期末考试仿真测试卷理科数学（B）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2017·榆树一中]设全集，，则图中阴影部分表示的集合是（）A．{1，3，5} B．{1，5，6} C．{6，9} D．{1，5}2．[2017·台州中学]已知复，则复数的共轭复数（）A．B．C． D．3．[2017·遵义四中]已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．或D．2或4．[2017·耀华实验中学]已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．4 D．5．[2017·莆田二十四中]已知函数，且，又，则函数的图象的一条对称轴是（）A．B．C．D．6．[2017·呼和浩特质检]“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现，数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数，具体数列为：1，1，2，3，5，8…，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和，已知数列为“斐波那契”数列，为数列的前项和，若，则（）A． B．C．D．7．[2017·漯河高级中学]已知，满足约束条件，则的最大值是（）A．3 B．5 C．6 D．78．[2017·华师附中]如图，半径为1的扇形中，，是弧上的一点，且满足，，分别是线段，上的动点，则的最大值为（）A．B．C．1 D．9．[2017·德化一中]已知定义在上的偶函数满足，且当时，，则函数的零点个数是（）A．0 B．2 C．4 D．610．[2017·咸宁联考]在锐角中，角，，对应的边分别是，，，向量，，且，则的取值范围是（）A．B．C．D．11．[2017·西城8中]已知点在曲线上，⊙过原点，且与轴的另一个交点为，若线段，⊙和曲线上分别存在点、点和点，使得四边形（点，，，顺时针排列）是正方形，则称点为曲线的“完美点”．那么下列结论中正确的是（）A．曲线上不存在“完美点”B．曲线上只存在一个“完美点”，其横坐标大于C．曲线上只存在一个“完美点”，其横坐标大于且小于D．曲线上存在两个“完美点”，其横坐标均大于12．[2017·成都七中]在直角坐标平面上的一列点，，，，简记为，若由构成的数列满足，，其中为方向与轴正方向相同的单位向量，则称为点列．有下列说法①为点列；②若为点列，且点在点的右上方．任取其中连续三点，则可以为锐角三角形；③若为点列，若正整数，，，满足，且满足，则；④若为点列，若正整数，，，满足，且满足，则．其中，正确说法的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2017·合肥八中]函数在上的单调情况是_______________．14．[2017·南开中学]如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是__________．15．[2017·济宁模拟]已知圆：和圆：，若点（，）在两圆的公共弦上，则的最小值为__________．16．[2017·嘉兴一中]如图，已知为圆的直径，为圆上一动点，圆所在平面，且，过点作平面，交，分别于，，当三棱锥体积最大时，_________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分，每个试题12分．17．[2017·济南外国语学校]各项均为正数的等比数列，前项和为，且满足，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．18．[2017·南宁二中]交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：交强险浮动因素和浮动费率比率表浮动因素浮动比率上一个年度未发生有责任道路交通事故下浮10%上两个年度未发生有责任道路交通事故下浮20% 上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故下浮30% 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故0%上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故上浮10% 上一个年度发生有责任道路交通死亡事故上浮30%某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：类型数量10 5 5 20 15 5以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：（1）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定，．某同学家里有一辆该品牌车且车龄刚满三年，记为该品牌车在第四年续保时的费用，求的分布列与数学期望值；（数学期望值保留到个位数字）（2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元：①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望值．19．[2017·广州一调]如图，已知多面体的底面是边长为的菱形，底面，，且．（1）证明：平面平面；（2）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值．20．[2017·河南联考]如图，已知为椭圆：的右焦点，，，为椭圆的下、上、右三个顶点，与的面积之比为．（1）求椭圆的标准方程；（2）试探究在椭圆上是否存在不同于点，的一点满足下列条件：点在轴上的投影为，的中点为，直线交直线于点，的中点为，且的面积为．若不存在，请说明理由；若存在，求出点的坐标．21．[2017·广州联考]函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）若函数有两个极值点，，且，证明：．（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．[2017·西安中学]已知直线的参数方程为（，为参数），曲线的极坐标方程为．（1）将曲线的极坐标方程化为直坐标方程，并说明曲线的形状；（2）若直线经过点，求直线被曲线截得的线段的长．23．[2017·临川一中]已知，，函数的最小值为4．（1）求的值；（2）求的最小值．2017-2018学年上学期高三年级期末考试仿真测试卷理科数学（B）答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】D【解析】∵，，∴，∴图中阴影部分表示的集合是，故选D．2．【答案】C【解析】，所以复数的共轭复数，故选C．3．【答案】A【解析】因为焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，所以，，，，，故选A．4．【答案】B【解析】几何体为四棱锥，高为2，底面为正方形面积为，，选B．5．【答案】A【解析】因为函数，又，，所以，，即，，故可取，令，求得，，则函数的图象的一条对称轴为，故选A．6．【答案】D【解析】，，故选D．7．【答案】C【解析】绘制不等式组表达的平面区域如图所示，则目标函数，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点处取得最大值：．本题选择C选项．8．【答案】C【解析】∵扇形的半径为1，∴，∵，∴，∵，∴，，故选C．9．【答案】D【解析】由题意，偶函数的周期为2，作出函数的图象与函数的图象，如图所示，观察图象可知，两个函数的交点个数为6个，所以函数的零点个数是6．10．【答案】B【解析】，，，，，因为是锐角三角形，所以，，，，，由正弦定理，可得：，，，．本题选择B选项．11．【答案】B【解析】如图1，如果点为“完美点”则有，以为圆心，为半径作圆（如图2中虚线圆）交轴于，（可重合），交抛物线于点，，当且仅当时，在圆上总存在点，使得为的角平分线，即，利用余弦定理可求得此时，即四边形是正方形，即点为“完美点”，如图，结合图象可知，点一定是上方的交点，否则在抛物线上不存在使得，也一定是上方的点，否则，，，，不是顺时针，再考虑当点横坐标越来越大时，的变化情况：设，当时，，此时圆与轴相离，此时点不是“完美点”，故只需要考虑，当增加时，越来越小，且趋近于，而当时，；故曲线上存在唯一一个“完美点”，其横坐标大于1．故选．12．【答案】C【解析】①由题意可知，，，显然有，是点列，①正确；②在中，，，，点在点的右上方，，为点列，，，则，为钝角，为钝角三角形，不可以为锐角三角形，②错；③，，，，③正确；④同理③，由于为点列，于是，可推导，，即，④正确，正确说法的个数为3，故选C．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】单调递增【解析】在上有，所以在单调递增，故答案为单调递增．14．【答案】【解析】当，时，，则；当，时，，则；当，时，，则；当，时，，此时运算程序结束，输出，应填答案．15．【答案】【解析】由题意得，圆：和圆：两个方程相减即可得到两圆的公共弦，即，又点（，）在两圆的公共弦上，即，则（当且仅当，即，等号成立），即的最小值为．16．【答案】【解析】平面，则，又，，平面，，平面，，设，在中，，在中，，，，时，三棱锥体积最大为，此时，，，，．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分，每个试题12分．17．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设等比数列的公比为，由得，解得或，∵数列为正项数列，∴，代入，得，∴．（2），此时，∴．18．【答案】（1）答案见解析；（2）①；②50万元．【解析】（1）由题意可知的可能取值为，，，，，．由统计数据可知：，，，，，．所以的分布列为：所以．（2）①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为，三辆车中至少有一辆事故车的概率为．②设为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，的可能取值为－5000，10000．所以的分布列为：－5000 10000所以．所以该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望为万元．19．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）证明：连接，交于点，设中点为，连接，．因为，分别为，的中点，所以，且，因为，且，所以，且．所以四边形为平行四边形，所以，即．因为平面，平面，所以．因为是菱形，所以．因为，所以平面．因为，所以平面．因为平面，所以平面平面．（2）解：因为直线与平面所成角为，所以，所以．所以，故为等边三角形．设的中点为，连接，则．以为原点，，，分别为轴，建立空间直角坐标系（如图）．则，，，，，，．设平面的法向量为，则，即，，则，所以．设平面的法向量为，则，即，令，则，所以．设二面角的大小为，由于为钝角，所以．所以二面角的余弦值为．20．【答案】（1）．（2）存在满足条件的点，其坐标为．【解析】（1）由已知得．又，∴，∴，∴椭圆的标准方程为．（2）假设存在满足条件的点，设其坐标为（），则，且．又，∴直线的方程为．∵，∴，令，得．又，则，∴．直线的方程为，即，∴点到直线的距离为，∴，解得，又，∴，∴存在满足条件的点，其坐标为．21．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．【解析】函数的定义域为，．（1）令，开口向上，为对称轴的抛物线，当时，①，即时，，即在上恒成立，②当时，由，得，，因为，所以，当时，，即，当或时，，即，综上，当时，在上递减，在和上递增，当时，在上递增．（2）若函数有两个极值点，，且，则必有，且，且在上递减，在和上递增，则，因为，是方程的两根，所以，，即，，要证，又，即证对恒成立，设，则，当时，，，，故，所以在上递增，故，所以，所以．（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．【答案】（1）详见解析；（2）8．【解析】（1）由可得，即，∴曲线表示的是焦点为，准线为的抛物线．（2）将代入，得，∴，∵，∴，∴直线的参数方程为（为参数）．将直线的参数方程代入得，由直线参数方程的几何意义可知，．23．【答案】（1）；（2）最小值为．【解析】（1）因为，所以，当且仅当时等号成立，又，，所以，所以的最小值为，所以．（2）由（1）知，，所以，故当，时，的最小值为．。

北京市中国人民大学附属中学2025届高三年级10月质量检测练习物理试卷+答案

人大附中2025届高三年级10月质量检测练习-物理参考答案2024-10-811．（1）CD （2）1.76 -0.468 0.465 （3）D12.（1）C （2）D （3）B （4）如下图所示：（5） 9.86 （6）C13．（8分）（1）（2分）如图1所示；-------------------------【2分】（2）（3分）将拉力F 分别沿水平和竖直方向进行分解，根据牛顿运动定律，可得:cos F f ma θ-=------------------------ ----【1分】sin 0N F mg θ+-=---------------------------【1分】物体所受滑动摩擦力大小为f N μ=联立上述三式，可得()2cossin 6m /s F a g m θμθμ=+-=-----------------【1分】（3）（3分）根据运动学公式，可得2112m 2x at ==----------------------------【3分】14. （8分）（1）（3分）水从管口沿水平方向喷出做平抛运动，设水喷出时速度为0v ，落地时间为t 。

【1分】水平方向：tv h 010= ----------------------------------【1分】【1分】θ F mg f 图1 图13 T 2/s 2L/m 0.80 0.90 1.00 1.10 1.20 3.05.0（2）（2分）时间t ∆内喷出的水的质量0m v t S ρ∆=⋅⋅∆⋅，联立以上各式解得：0m ρ= ----------------------------【2分】（3）（3分）设地面与水面的距离为H ，则时间t ∆内水泵输出功201()2W m g H h m v =∆⋅++∆⋅ -----------------------------------【1分】输出功率P =Wt ∆---------------------------------------------【1分】解得：26)P H h ρ=+=150ρ【1分】15.（8分）（1）（2分）由牛顿第二定律可得 mgsin θ =ma代入数据可得 a = 6m/s 2由匀加速直线运动公式v 2 = 2aL代入数据可得/B v s = -------------------------------------------------------------【1分】所以重力做功的功率sin 6000.6B P mg v θ=⋅=⨯⨯=-------------------------------------------【1分】（2）（3分）从A 到B ，根据动能定理mgL sin θ+W f =2102mv - ---------------------【2分】解得 W f =-9000J --------------------------------------------------------【1分】（3）（3分）设CD 间距离为，根据平抛运动的规律-------------------------------------------------------【1分】'21sin 2L gt θ=--------------------------------------------【1分】联立解得 --------------------------------------【1分】16.（9分）（1）a.（2分）不变量分别是第一段：拉力、加速度，第二段：功率----------------------------【2分】 b. （3分）由图象可知，第一时间段内重物所受拉力F 1＝6.0N ------------------------------------【1分】设重物质量为m ，重物加速mG F a -1=，第三个时间段内重物所受拉力F 2=mg =5.0N 联立解得 a =2.0m/s 2-----------------------------【1分】在第二段时间内，拉力的功率12W P Fv ==--------------------------------------------------------------【1分】L '3cos =L θv t '=192m L '（2）（2分）第一时间段内拉力大小恒定，则拉力的平均功率为0026622v P F v F W W ++=⋅=⋅=⨯=--------------------------------------【2分】（3）（2分）设第一段时间为t 1，重物在这段时间内的位移为x 1，则12.0s 1.0s 2.0B v t a ===， x 1=12at 12=1.0m ；设第二段时间为t 2，t 2=t -t 1=0.50s ；重物在t 2这段时间内的位移为x 2，根据动能定理有22221122C B Pt Gx mv mv -=-，解得 x 2=1.112m -------------------------------【1分】所以被提升重物在第一时间段内和第二时间段内通过的总路程：12 2.112x x x m =+=------------------------------【1分】17.（10分）（1）（2分）证明：由212v GMmm R R =⋅可知：1v =【2分】（2）a （2分）:错误原因：将上升过程的加速度当成不变的-------------------------------------【2分】 b （3分）:设物体上升的最大高度为h ，由能量守恒可知：21102GMm GMmmv R R h-+=-++ 地面上质量为0m 的物体受到地球引力等于其重力，即02GMm m g R = 联立解得：h R =------------------------------------------------------------------------------------------------------------【3分】（3）（3分）当物体距离高度h 时的重力加速度为h g ，则2()h GMmmg R h =+，h 增大，h g 将减小。

中国人民大学附属中学2018-2019学年高三文科数学练习卷(三)试题

高三文科数学练习卷（三）数学文科注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1,2,3,4,5,6A =， {}2|30B x x x =-≤，则A B ⋂=A. []0,3B. []1,3C. {}0,1,2,3D. {}1,2,3 2.设复数z 满足z i 3i ⋅=-，则z =（）A ．13i +B ．13i --C ．13i -+D ．13i - 3.已知函数2lg(54)y x x =++的零点是1tan x α=和2tan x β=，则tan()αβ+= A ．53B ．53-C ．52D ．52-4．某市某公园举办水仙花展，有甲、乙、丙、丁4名志愿者，随机安排2人到A 展区，另2人到B 展区维持秩序，则甲、乙两人同时被安排到A 展区的概率为 A.112B.16C.13D.125.执行如图所示俄程序框图，若输入的2018x =，则输出的i = A ．2B ．3C ．4D ．56.已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线的方程是y =，它的一个焦点落在抛物线216y x =的准线上，则双曲线的方程的A ．221824x y -= B ．221248x y -=C ．221412x y -=D ．221124x y -=7.公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍．当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米．当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟．按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为210-米时，乌龟爬行的总距离为A ．410190-B ．5101900-C ．510990-D ．4109900-8．若函数()21f x x=在{}19,x x x ≤≤∈R 上的最大值为M ，最小值为m ，则M m -=A ．24181 B ．24281 C ．269 D ．319二、填空题：本大题共6小题，每小题5分．9．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为．10．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且sin cos c B C =，45A =︒，则cos B = ．11．已知()()22,0,23,0,x a x f x x x a x ⎧--≥⎪=⎨---+<⎪⎩若x ∀∈R ，()()0f x f ≤恒成立，则a 的取值范围为．12．抛物线()220y px p =>的焦点为F ，,A B 为抛物线上的两点，以AB 为直径的圆过点F ，过AB 的中点M 作抛物线的准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为．13.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为．14.已知椭圆C 1：x 2a2＋y 2b2＝1(a >b >0)与圆C 2：x 2＋y 2＝b 2，若在椭圆C 1上存在点P ，过P 作圆的切线PA 、PB ，切点为A 、B 使得∠BPA ＝π3，则椭圆C 1的离心率的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知11326a a +=，981S =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）令121n n n b a a ++=，12n n T b b b =+++…，若300n T m -≤对一切*n N ∈成立，求实数m 的最小值．16.从高三年级所有女生中，随机抽取n 个，其体重(单位：公斤)的频率分布表如下：已知从n 个女生中随机抽取一个，抽到体重在[50，55)的女生的概率为419.(1)求出n ，x 的值；(2)用分层抽样的方法从体重在[40，45)和[55，60)的女生中共抽取5个，再从这5个女生中任取2个，求体重在[40，45)和[55，60)的女生中各有1个的概率． 17.已知函数 ()()2122,0,2x f x xe m x x m ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭.（1）若14m =，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若函数()()442x g x f x e m mx =-++，记函数()g x 在()0,+∞上的最小值为A ，求证：22e A -<<-.18.如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，PA ＝AB ＝BC ＝2，D 为线段AC 的中点，将△CBD 折叠至△EBD ，使得ED 交PC 于PC 的中点F .(1)求证：平面BDE ⊥平面PAC . (2)求三棱锥E －PBC 的体积．19.已知函数()()()()sin 220f x x x ϕϕϕπ=+++<<在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且满足()2f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求ϕ的值；（2）将()y f x =的图象向左平移3π个单位后得到()y g x =的图象，求()g x 的解析式. 20.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22a x +22by =1（a ＞b ＞0）的离心率e= 23，在顶点为A （﹣2，0），过点A 作斜率为k （k ≠0）的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E ．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的k （k ≠0）都有OP ⊥EQ ？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，说明理由；（3）若过点O 作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求|OM ||AE ||AD |+的最小值．文科数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分．9．13 10．4 11．[]2,0- 12．2 13. 24π＋8314. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.解：（1）∵等差数列{}n a 中，11326a a +=，981S =， ∴75226,981,a a =⎧⎨=⎩解得7513,9,a a =⎧⎨=⎩∴751392752a a d --===-， ∴5(5)92(5)21n a a n d n n =+-=+-=-．（2）∵1211111()(21)(23)22123n n n b a a n n n n ++===-++++w ，∴1111111111()()2355721232323n T n n n =-+-++-=-+++…， ∵111()2323n -+随着n 的增大而增大， ∴{}n T 递增，又1023n >+， ∴16n T <，∴5m ≥，∴实数m 的最小值为5．16.(Ⅰ)依题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧x n ＝419n ＝10＋50＋20＋x，从而得x ＝20，n ＝95.(Ⅱ)若采用分层抽样的方法从体重在[40，45)和[55，60)的女生中共抽取5个，则体重在[40，45)的个数为1010＋15×5＝2；记为x ，y ，在[55，60)的个数为1510＋15×5＝3；记为a ，b ，c ，从抽出的5个女生中，任取2个共有(x ，a )，(x ，b )，(x ，c )，(a ，b )，(a ，c )，(b ，c )，(y ，a )，(y ，b )，(y ，c )，(x ，y )10种情况.其中符合体重在[40，45)和[55，60)的女生中各有1个的情况共有(x ，a )，(x ，b )，(x ，c )，(y ，a )，(y ，b )，(y ，c )6种.设事件A 表示“从这5个女生中任取2个，体重在[40，45)和[55，60)的女生中各有1个”，则P (A )＝610＝35.答：从这5个女生中任取2个，体重在[40，45)和[55，60)的女生中各有1个的概率为35.17.（1）由题意知，()()21224x f x xe x x =++，∴()()12212x x f x e xe x '=+++， ∴()502f '=，()00f =，则所求切线方程为52y x =，即520x y -=.（2）由题意知，()()22444x x g x xe m x x e m =++-+， ∴()()()()()224222222x x x g x e x e m x x e m x '=+-++=-++。