高三数学最新专题综合演练第七章7.1向量的线性运算人教版必修4点题精析

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人教A版高考总复习一轮数学精品课件第七章平面向量、复数第一节平面向量的概念及线性运算 (2)

第七章
第一节平面向量的概念及线性运算
内
容
索
引
01
强基础增分策略
02
增素能精准突破
课标解读
衍生考点
核心素养
1.通过力和力的分析等实例,了解向量的实
际背景,理解平面向量和相等向量的含义,
1.平面向量
理解向量的几何表示.
的有关概念
2.通过实例,掌握向量的加、减运算,并理解 2.平面向量
其几何意义.
+

4
2
4
4
A.
=
1
1
+ 2
2
=
1
1
+ 4
2
3
1

+

,所以
4
4
=
3

4
=
1
+
2
1
− 4 ,故选
方法总结平面向量的线性运算的求解策略
对点训练 2(2021 广东梅州二模)设 P 是△ABC 所在平面内的一点, +
=2,则(
)
A. + =0
B. + =0
C. + =0
D. + + =0
答案 B
解析 + =2移项得 + -2=0, − + − = +
=0.故选 B.
考向2.向量加、减运算的几何意义
典例突破
例3.设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则(
满足=3 ,CD 与 AE 交于点 M.若=x +y ,则 x+y=(
5
A.2

高中数学人教A版必修第一册知识点总结

高中数学人教A版必修第一册知识点总结本册教材是高中数学人教版A版(2024)的必修第一册，总共包括了四个单元：集合与常用逻辑、函数与方程、数列与数学归纳法、几何与向量。

接下来将对这四个单元的知识点进行总结。

一.集合与常用逻辑1.集合与元素-集合的表示方法：列举法、描述法、条件法-集合之间的关系：相等、含于、相交、并集、交集、互补集2.集合的运算-并集、交集、差集、补集-嵌套集合的化简-运算律：交换律、结合律、分配律3.常用逻辑关系-全称量词、存在量词-逻辑运算：与、或、非-条件命题、充分条件、必要条件4.命题及命题的逻辑运算-命题的分类：命题主体、命题联结词、命题陈述、命题基础-命题的逻辑运算：否定、合取、析取、蕴含、等价二.函数与方程1.函数的概念-自变量、因变量、函数值-射影函数、指示函数2.函数的表示方法-函数的解析式-函数的图像3.函数的性质-定义域、值域、对应法则、单调性、奇偶性、周期性-奇函数、偶函数-反函数4.一次函数-一次函数的解析式及图像-平移变换、伸缩变换5.二次函数-二次函数的解析式及图像-平移变换、伸缩变换-最值、对称轴、零点及判别式三.数列与数学归纳法1.数列的概念-有限数列、无限数列、数列的一般表示2.等差数列-等差数列的概念及公式-等差数列前n项和公式-通项公式的推导3.等比数列-等比数列的概念及公比-等比数列前n项和公式-通项公式及其推导4.递推数列-递推数列的概念及表示-递推公式5.数学归纳法-数学归纳法三个步骤：证明基础、证明步骤、加强归纳前提四.几何与向量1.向量的概念-向量的定义、表示方法、相等与运算-向量的数量表示-零向量、单位向量2.向量的线性运算-加法、减法、数乘-加减法运算律、数乘运算律3.向量的坐标表示-坐标运算、线性变换4.向量的数量积-向量的点乘、模长及其性质-向量的夹角及性质5.平面向量的应用-共线向量、垂直向量、平行向量-向量在直角坐标系中的投影-多边形面积与向量运算-向量与几何问题的应用以上是《高中数学人教A版(2024)必修第一册》的知识点总结。

第01讲平面向量的概念及线性运算(六大题型)(课件)高考数学一轮复习(新教材新高考)

题型突破·考法探究
题型二：平面向量的线性运算及求参数问题
【典例2-1】若 = 7， = 4 ，则的取值范围是（）
A．[3，7]
B． 3，7
C． 3，11
D．(3，11)
【答案】C
【解析】由题意知 = 7， = 4，且 = | − |，
当, 同向时，取得最小值， = | − | = ||| − ||| = |4 − 7| = 3；
【答案】C
【解析】对于A，向量的模为非负数，它们可以比较大小，但向量不可以比较大小，故
A错误．
对于B，两个向量的模相等，但方向可以不同，故B错误．
对于C，若Ԧ = ，则,
，故C成立．
Ԧ 必定共线，故//
Ԧ
对于D，当Ԧ ≠ 时，它们可以模长不相等，但可以同向或反向，
故与
Ԧ 可以为共线向量，故D错误．故选：C
后一个向量终点的向量．
即 + + ⋯ + − = ．
（2）||| − ||| ≤ | ± | ≤ || + ||，当且仅当, 至少有一个为时，向量不等式的等号成
立．
（3）特别地：||| − ||| ≤ | ± |或| ± | ≤ || + ||当且仅当, 至少有一个为时或者
与向量长度无关，两个向量方向相同
且长度相等，就是相等向量．
题型突破·考法探究
题型一：平面向量的基本概念
【变式1-1】下列说法中，正确的是（
）
A．若||
Ԧ > ||，则Ԧ >
C．若Ԧ = ，则//
Ԧ
B．若||
Ԧ = ||，则Ԧ =
D．若Ԧ ≠ ，则与

2024年高考数学一轮复习(新高考版)《平面向量的概念及线性运算》课件ppt

思维升华
平面向量线性运算的常见类型及解题策略 (1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义. (2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值.
跟踪训练2 (1)五角星是指有五只尖角、并以五条直线画成的星星图形，有许多国家的国旗设计都包含五角星，如中华人民共和国国旗.如图，在正五角星中，每个角的角尖为36°，则下列说法正确的是
常用结论
3.若 A，B，C 是平面内不共线的三点，则P→A＋P→B＋P→C＝0⇔P 为△ABC 的重心，A→P＝13(A→B＋A→C). 4.对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关.( √ ) (2)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.( × )
(3)若向量A→B与向量C→D 是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.
( ×) (4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量.( √ )
教材改编题
1.(多选)下列命题正确的是 A.零向量是唯一没有方向的向量
√B.零向量的长度等于0 √C.若 a，b 都为非零向量，则使|aa|＋|bb|＝0 成立的条件是 a 与 b 反向共线 √D.若a＝b，b＝c，则a＝c
A.C→H＋I→D＝0 C.A→F＋F→G＝2H→G
B.A→B∥F→E
√D.A→F＝A→B＋A→J
A 项，由图可知 CH 与 ID 相交，所以C→H与I→D不是相反向量，故 A 错误； B 项，A→B与D→E共线，D→E与F→E不共线，所以A→B与F→E 不共线，故 B 错误； C 项，A→F＋F→G＝A→G≠2H→G，故 C 错误；

高中数学全套讲义必修4 平面向量的线性运算基础学生版

目录向量的线性运算 (2)模块一：向量基本概念 (2)考点1：向量概念辨析 (2)模块二：向量的加减运算 (3)考点2：向量的加减法 (4)模块三：三角形的三心 (6)考点3：三角形的三心 (6)课后作业： (7)向量的线性运算模块一：向量基本概念一、向量的概念与表示1．向量的概念：数学中，把既有大小，又有方向的量叫做向量．2．向量的表示：①几何表示法：用有向线段表示向量，有向线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的长度．②字母表示法：AB，注意起点在前，终点在后；也可以用a，b来表示．AB．③线段AB的长度也叫做有向线段AB的长度，记作||3．零向量：长度等于零的向量，叫做零向量．记作：0；零向量的方向是任意的．单位向量：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．4．相等向量：同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等向量．5．向量共线或平行：方向相同或相反的向量叫做平行向量．向量a平行于向量b，记作a∥b．任一组平行的向量都可以移动到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量．规定：零向量与任意向量平行．考点1：向量概念辨析例1.（1）（2019春•城关区校级月考）给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的：；③向量AB与BA相等，则所有正确命题的序号是()②若a，b都是单位向量，则a bA．①B．③C．①③D．①②（2）（2019春•北碚区期末）下列命题中，正确的个数是( ) ①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量；③若a ，b 满足||||a b >且a 与b 同向，则a b >； ④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合； ⑤若//a b ，//b c ，则//a c ． A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个模块二：向量的加减运算二、向量的运算 1．向量的加法：⑴ 三角形法则：AB a =，BC b =，a 和b 的和（或和向量）a b AB BC AC +=+=．⑵ 平行四边形法则：AB a =，AD b =，a b ，不共线，以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABCD ，则a b AC +=．⑶ 多边形法则：已知n 个向量，依次把这n 个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n 个向量的终点为终点的向量叫做这n 个向量的和向量．BC⑷ 向量的运算性质：向量加法的交换律：a b b a +=+；向量加法的结合律：()()a b c a b c ++=++．关于0：00a a a +=+=． 2．向量的减法：⑴ 相反向量：与向量a 方向相反且等长的向量叫做a 的相反向量，记作a -．00-=． ⑵ 差向量：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量．AB OB OA =-．3．数乘向量a λ：0λ>时，与a 方向相同；0λ<时，与a 方向相反；0λ=时，0a λ=；且a a λλ=；4．向量共线的条件⑴ 平行向量基本定理：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=． ⑵ 单位向量：a 的单位向量记作0a ，是指与a 方向相同，长度为1的向量，0a a a=．考点2：向量的加减法例2.（1）（2019•栖霞市模拟）在ABC ∆中，D 为线段BC 上一点，且2BD CD =，则(AD =)A ．3144AD AB AC =+ B ．1344AD AB AC =+ C ．2133AD AB AC =+ D ．1233AD AB AC =+（2）（2019•泰安模拟）在ABC ∆中，M 为AC 中点，BC CD =，MD xAB y AC =+，则(x y += )dA ．1B ．12 C ．13D ．32（3）（2017春•安吉县校级月考）如图所示，在ABC ∆中，点D 、E 、F 分别是边AB 、BC 、AC 的中点，则下面结论正确的是( )A ．AE AD FA =+B ．0DE AF +=C ．0AB BC CA ++≠D ．DE DF AD -=（4）（2017•临汾二模）设D 、E 、F 分别为ABC ∆三边BC 、CA 、AB 的中点，则23(DA EB FC ++= ) A ．12ADB ．32ADC ．12ACD ．32AC（5）（2016秋•宜昌期末）已知点P 在正ABC ∆所确定的平面上，且满足PA PB PC AB ++=，则ABP ∆的面积与BCP ∆的面积之比为( ) A ．1:1 B ．1:2C ．1:3D ．1:4模块三：三角形的三心已知ABC △，角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，⑴ 三角形的外心O ：外接圆的圆心，三边中垂线的交点，满足OA OB OC ==；⑵ 三角形的内心I ：内切圆的圆心，三个内角平分线的交点，满足0aIA bIB cIC ++=；考点3：三角形的三心例3.（1）（2017秋•重庆期末）设P 是ABC ∆所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则( ) A ．P 、A 、C 三点共线 B ．P 、A 、B 三点共线 C ．P 、B 、C 三点共线 D ．以上均不正确（2）（2019•江岸区校级模拟）过ABC ∆内一点M 任作一条直线l ，再分别过顶点A ，B ，C 作l 的垂线，垂足分别为D ，E ，F ，若0AD BE CF ++=恒成立，则点M 是ABC ∆的()A ．垂心B ．重心C ．外心D ．内心（3）（2019春•金水区校级期中）已知点O 是ABC ∆内部一点，并且满足230OA OB OC ++=，BOC ∆的面积为1S ，ABC ∆的面积为2S ，则12(S S = ) A ．16B ．13C ．23D ．34（4）（2019•滨州二模）在ABC ∆中，G 为ABC ∆的重心，M 为AC 上一点，且满足3MC AM =，则( )A ．11312GM AB AC =+B ．11312GM AB AC =--C ．17312GM AB AC =-+D ．17312GM AB AC =-课后作业：1.（2019春•北碚区期末）下列命题中，正确的个数是( ) ①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量；③若a ，b 满足||||a b >且a 与b 同向，则a b >； ④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合； ⑤若//a b ，//b c ，则//a c ． A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个2.（2019•泰安模拟）在ABC ∆中，M 为AC 中点，BC CD =，MD xAB y AC =+，则(x y +=) A ．1 B ．12 C ．13D ．323.（2016秋•宜昌期末）已知点P 在正ABC ∆所确定的平面上，且满足PA PB PC AB ++=，则ABP ∆的面积与BCP ∆的面积之比为( ) A ．1:1 B ．1:2 C ．1:3 D ．1:44.（2019春•沙坪坝区校级期中）向量,,a b c 正方形网格中的位置如图所示．若向量c a b λ=+，则实数(λ= )A ．2-B ．1-C ．1D ．25.（2019•滨州二模）在ABC ∆中，G 为ABC ∆的重心，M 为AC 上一点，且满足3MC AM =，则( )A ．11312GM AB AC =+B ．11312GM AB AC =--C ．17312GM AB AC =-+D ．17312GM AB AC =-。

高中数学必修4《平面向量的线性运算》教案

高中数学必修4《平面向量的线性运算》教案一、教学目标1.理解向量的加、减、数乘运算及其物理意义。

2.掌握平面向量的线性运算方法。

3.能够应用向量的线性运算解决实际问题。

二、教学重点平面向量的线性运算。

三、教学难点向量线性运算一个实际问题的解决。

四、教学方法讲授法，示范法，练习法，问题解决法。

五、教学工具黑板、多媒体投影仪等。

六、教学过程1.引入教师引导学生回忆已学过的向量概念以及向量的模、方向和共面等概念。

2.新课讲解（1）向量加法。

如果 $\vec {AB}$ 和 $\vec {BC}$ 表示两个向量，那么它们的和为 $\vec {AB} + \vec {BC} = \vec {AC}$，如图所示：向量和的性质：①结合律：$(\vec a+\vec b)+\vec c=\vec a+(\vec b+\vec c)$②交换律：$\vec a+\vec b=\vec b+\vec a$③零向量的性质：$\vec a+\vec 0=\vec a$（2）向量减法。

如果 $\vec {AB}$ 和 $\vec {AC}$ 表示两个向量，那么它们的差为 $\vec {AB}-\vec {AC} = \vec {CB}$，如图所示：向量差的性质：$\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$（3）向量数乘。

如果 $\vec a$ 表示一个向量，$\lambda$ 表示一个标量，那么$\vec a$ 与 $\lambda$ 的积为 $\lambda \vec a$，如图所示：向量数乘的性质：①交换律：$\lambda \vec a=\vec a \lambda$②系数倍数的分配律：$(k+l)\vec a=k\vec a+l\vec a$③数乘的分配律：$k(\vec a+\vec b)=k\vec a+k\vec b$（4）向量共线和平行。

向量 $\vec a$ 和 $\vec b$ 共线的充要条件是 $\vec a = \lambda \vec b (\lambda \in R)$；向量 $\vec a$ 和 $\vec b$ 平行的充要条件是 $\vec a \times \vec b =\vec 0$（叉乘得到的是一个向量，如果结果为 $\vec 0$ 说明它们是平行的），或者 $\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\cdot|\vec b|$。

高中数学人教版必修四第二章平面向量的线性运算

A、AD 1 AB 4 AC 33
C、AD 4 AB 1 AC 33
B、AD
1 3
AB
Байду номын сангаас
4 3
AC
D、AD 4 AB 1 AC 33
M A
B
C
D
N
AD AM AN 1 AB 4 AC 33
变式1：设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点， O 为平行四边形 ABCD所在平面内任意一点，则 OA OB OC OD 等于（）
自我检测：
4、在平行四边形 ABCD中，AB AD AB AD ，则必有（ C ）
A. AD 0 B. 四边形 ABCD是菱形 C. 四边形 ABCD是矩形 D. 四边形 ABCD是正方形
1、平面向量的线性运算及基本定理的应用
例1 （2015全国）设 D 为 ABC 所在平面内一点，
BC 3CD，则（）
BM _____53____ AB
MB 3
自我检测：
3、设 e1、e2 是两个不共线的向量，则下列各组
向量中，不能作为该平面内所有向量的一组基底的是___(_2_)__(4_)____.
(1)3e1,2e2
(2)0,e1 e2
(3)e1 e2 ,e1 e2 (4)e1 2e2,2e1 4e2
问题1：我们已经学习过向量的哪些运算？它们的运算结果是什么？
加法、减法、数乘三种运算线性运算的结果都是向量. 共线向量定理：
向量a(a 0) 与 b 共线，当且仅当存在唯
一实数，使__b_____a__.
平面向量基本定理：
设 e1, e2是同一平面内的两个不共线向量，
那么对于该平面内的任意向量 a ，有且只有

人教版高中数学必修4课后习题答案详解

数学必修四答案详解第二章平面向量2．1平面向量实际背景及基本概念练习（P77）1、略.2、AB u u u r ，BA u u u r. 这两个向量长度相等，但它们不等.3、2AB =u u u r ， 2.5CD =u u u r ，3EF =u u u r，GH =u u u r4、（1）它们的终点相同；（2）它们的终点不同. 习题2.1 A 组（P77） 1、（2）. 3、与DE u u u r 相等的向量有：,AF FC u u u r u u u r ；与EF u u u r相等的向量有：,BD DA u u u r u u u r ；与FD u u u r相等的向量有：,CE EB u u u r u u u r .4、与a r 相等的向量有：,,CO QP SR u u u r u u u r u u r ；与b r 相等的向量有：,PM DO u u u u r u u u r；与c r 相等的向量有：,,DC RQ ST u u u r u u u r uu u r5、AD =u u u r .6、（1）×；（2）√；（3）√；（4）×.习题2.1 B 组（P78）1、海拔和高度都不是向量.2、相等的向量共有24对. 模为1的向量有18对. 其中与AM u u u u r同向的共有6对，与AM u u u u r 反向的也有6对；与AD u u u r 同向的共有3对，与AD u u u r反向的也有6的向量共有4对；模为2的向量有2对2．2平面向量的线性运算练习（P84）1、图略.2、图略.3、（1）DA u u u r；（2）CB u u u r . 4、（1）c r ；（2）f u r ；（3）f u r ；（4）g u r . 练习（P87）1、图略.2、DB u u u r ，CA u u u r ，AC u u u r ，AD u u u r ，BA u u u r. 3、图略. 练习（P90） 1、图略.2、57AC AB =u u u r u u u r ，27BC AB =-u u u r u u u r .说明：本题可先画一个示意图，根据图形容易得出正确答案. 值得注意的是BCuuu r与AB u u u r反向.3、（1）2b a =r r ；（2）74b a =-r r ；（3）12b a =-r r；（4）89b a =r r .4、（1）共线；（2）共线.5、（1）32a b -rr ；（2）1112a -r r（3）2ya r . 6、图略.习题2.2 A 组（P91）1、（1）向东走20 km ；（2）向东走5 km ；（3）向东北走km ；（4）向西南走；（5）向西北走；（6）向东南走km. 2、飞机飞行的路程为700 km ；两次位移的合成是向北偏西53°方向飞行500 km.3、解：如右图所示：AB u u u r 表示船速，AD u u u r表示河水的流速，以AB 、AD 为邻边作□ABCD ，则 AC u u u r表示船实际航行的速度.在Rt △ABC 中，8AB =u u u r ，2AD =u u u r，所以AC ===u u u r 因为tan 4CAD ∠=，由计算器得76CAD ∠≈︒所以，实际航行的速度是km/h ，船航行的方向与河岸的夹角约为76°.4、（1）0r ；（2）AB u u u r ；（3）BA u u u r ；（4）0r ；（5）0r ；（6）CB u u u r ；（7）0r .5、略6、不一定构成三角形. 说明：结合向量加法的三角形法则，让学生理解，若三个非零向量的和为零向量，且这三个向量不共线时，则表示这三个向量的有向线段一定能构成三角形.7、略. 8、（1）略；（2）当a b ⊥r r 时，a b a b +=-r r r r9、（1）22a b --r r ；（2）102210a b c -+r r r ；（3）132a b +r r ；（4）2()x y b -r .10、14a b e +=r r u r ，124a b e e -=-+r r u r u u r ，1232310a b e e -=-+r r u r u u r . 11、如图所示，OC a =-u u u r r ，OD b =-u u u r r，DC b a =-u u u r r r ，BC a b =--u u u r r r .12、14AE b =u u u r r ，BC b a =-u u u r r r ，1()4DE b a =-u u u r r r ，34DB a =u u u r r，34EC b =u u u r r ，1()8DN b a =-u u u r r r ，11()48AN AM a b ==+u u u r u u u u r r r .13、证明：在ABC ∆中，,E F 分别是,AB BC 的中点，所以EF AC //且12EF AC =，即12EF AC =u u u r u u u r ；同理，12HG AC =u u u r u u u r，所以EF HG =u u u r u u u r .习题2.2 B 组（P92）1、丙地在甲地的北偏东45°方向，距甲地1400 km.2、不一定相等，可以验证在,a b r r不共线时它们不相等.3、证明：因为MN AN AM =-u u u u r u u u r u u u u r ，而13AN AC =u u u r u u u r ，13AM AB =u u u u r u u u r，所以1111()3333MN AC AB AC AB BC =-=-=u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r.4、（1）四边形ABCD 为平行四边形，证略（2）四边形ABCD 为梯形.证明：∵13AD BC =u u u r u u u r，∴AD BC //且AD BC ≠ ∴四边形ABCD 为梯形. （3）四边形ABCD 为菱形.（第11题）（第12题）EHGFC AB丙乙（第1题）（第4题(2)）BCD证明：∵AB DC =u u u r u u u r，∴AB DC //且AB DC =∴四边形ABCD 为平行四边形又AB AD =u u u r u u u r∴四边形ABCD 为菱形.5、（1）通过作图可以发现四边形ABCD 为平行四边形.证明：因为OA OB BA -=u u u r u u u r u u u r ，OD OC CD -=u u u r u u u r u u u r而OA OC OB OD +=+u u u r u u u r u u u r u u u r所以OA OB OD OC -=-u u u r u u u r u u u r u u u r 所以BA CD =u u u r u u u r，即∥.因此，四边形ABCD 为平行四边形.2．3平面向量的基本定理及坐标表示练习（P100）1、（1）(3,6)a b +=r r ，(7,2)a b -=-r r ；（2）(1,11)a b +=r r ，(7,5)a b -=-r r；（3）(0,0)a b +=r r ，(4,6)a b -=r r ；（4）(3,4)a b +=r r ，(3,4)a b -=-r r. 2、24(6,8)a b -+=--r r ，43(12,5)a b +=r r.3、（1）(3,4)AB =u u u r ，(3,4)BA =--u u u r ；（2）(9,1)AB =-u u u r ，(9,1)BA =-u u u r；（3）(0,2)AB =u u u r ，(0,2)BA =-u u u r ；（4）(5,0)AB =u u u r ，(5,0)BA =-u u u r4、AB ∥CD . 证明：(1,1)AB =-u u u r ，(1,1)CD =-u u u r，所以AB CD =u u u r u u u r .所以AB ∥CD .5、（1）(3,2)；（2）(1,4)；（3）(4,5)-.6、10(,1)3或14(,1)3-7、解：设(,)P x y ，由点P 在线段AB 的延长线上，且32AP PB =u u u r u u u r ，得32AP PB =-u u u r u u ur(,)(2,3)(2,3)AP x y x y =-=--u u u r ，(4,3)(,)(4,3)PB x y x y =--=---u u u r∴3(2,3)(4,3)2x y x y --=---- ∴32(4)233(3)2x x y y ⎧-=--⎪⎪⎨⎪-=---⎪⎩（第4题(3)）（第5题）∴815x y =⎧⎨=-⎩，所以点P 的坐标为(8,15)-.习题2.3 A 组（P101）1、（1）(2,1)-；（2）(0,8)；（3）(1,2).说明：解题时可设(,)B x y ，利用向量坐标的定义解题.2、123(8,0)F F F ++=u u r u u r u u r3、解法一：(1,2)OA =--u u u r ，(53,6(1))(2,7)BC =---=u u u r 而AD BC =u u u r u u u r ，(1,5)OD OA AD OA BC =+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r. 所以点D 的坐标为(1,5).解法二：设(,)D x y ，则((1),(2))(1,2)AD x y x y =----=++u u u r，(53,6(1))(2,7)BC =---=u u u r由AD BC =u u u r u u u r 可得，1227x y +=⎧⎨+=⎩，解得点D 的坐标为(1,5).4、解：(1,1)OA =u u u r ，(2,4)AB =-u u u r.1(1,2)2AC AB ==-u u u r u u u r ，2(4,8)AD AB ==-u u u r u u u r ，1(1,2)2AE AB =-=-u u u r u u ur .(0,3)OC OA AC =+=u u u r u u u r u u u r，所以，点C 的坐标为(0,3)；(3,9)OD OA AD =+=-u u u r u u u r u u u r，所以，点D 的坐标为(3,9)-； (2,1)OE OA AE =+=-u u u r u u u r u u u r，所以，点E 的坐标为(2,1)-. 5、由向量,a b r r 共线得(2,3)(,6)x λ=-，所以236x =-，解得4x =-.6、(4,4)AB =u u u r ，(8,8)CD =--u u u r ，2CD AB =-u u u r u u u r ，所以AB u u u r 与CD uuur 共线. 7、2(2,4)OA OA '==u u u r u u u r ，所以点A '的坐标为(2,4)； 3(3,9)OB OB '==-u u u r u u u r，所以点B '的坐标为(3,9)-；故(3,9)(2,4)(5,5)A B ''=--=-u u u u r习题2.3 B 组（P101）1、(1,2)OA =u u u r ，(3,3)AB =u u u r.当1t =时，(4,5)OP OA AB OB =+==u u u r u u u r u u u r u u u r，所以(4,5)P ；当12t =时，13357(1,2)(,)(,)22222OP OA AB =+=+=u u u r u u u r u u u r ，所以57(,)22P ；当2t =-时，2(1,2)(6,6)(5,4)OP OA AB =-=-=--u u u r u u u r u u u r，所以(5,4)P --；当2t =时，2(1,2)(6,6)(7,8)OP OA AB =+=+=u u u r u u u r u u u r，所以(7,8)P .2、（1）因为(4,6)AB =--u u u r ，(1,1.5)AC =u u u r，所以4AB AC =-u u u r u u u r ，所以A 、B 、C 三点共线；（2）因为(1.5,2)PQ =-u u u r ，(6,8)PR =-u u u r ，所以4PR PQ =u u u r u u u r，所以P 、Q 、R 三点共线；（3）因为(8,4)EF =--u u u r ，(1,0.5)EG =--u u u r，所以8EF EG =u u u r u u u r ，所以E 、F 、G 三点共线.3、证明：假设10λ≠，则由11220e e λλ+=u r u u r r ，得2121e e λλ=-u r uu r .所以12,e e u r u u r 是共线向量，与已知12,e e u r u u r是平面内的一组基底矛盾,因此假设错误，10λ=. 同理20λ=. 综上120λλ==.4、（1）OP =u u u r （2）对于任意向量12OP xe ye =+u u u r u r u u r，,x y 都是唯一确定的，所以向量的坐标表示的规定合理.2．4平面向量的数量积练习（P106）1、1cos ,86242p q p q p q ⋅=⋅⋅<>=⨯⨯=u r r u r r u r r .2、当0a b ⋅<r r 时，ABC ∆为钝角三角形；当0a b ⋅=r r时，ABC ∆为直角三角形.3、投影分别为0，-图略练习（P107）1、5a ==r ，b ==r 35427a b ⋅=-⨯+⨯=-r r .2、8a b ⋅=r r ，()()7a b a b +-=-r r r r ，()0a b c ⋅+=r r r ，2()49a b +=r r .3、1a b ⋅=r r ，a =r b =r88θ≈︒.习题2.4 A 组（P108）1、a b ⋅=-r r 222()225a b a a b b +=+⋅+=-r r r r r r a b +=r r2、BC uuu r 与CA u u u r 的夹角为120°，20BC CA ⋅=-u u u r u u u r.3、a b +==r r a b -==r r .4、证法一：设a r 与b r的夹角为θ.（1）当0λ=时，等式显然成立；（2）当0λ>时，a λr 与b r ，a r 与b λr的夹角都为θ，所以()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅==r r r r r r()cos a b a b λλθ⋅=r r r r()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅==r r r r r r所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r；（3）当0λ<时，a λr 与b r ，a r 与b λr的夹角都为180θ︒-，则 ()cos(180)cos a b a b a b λλθλθ⋅=︒-=-r r r r r r()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅==-r r r r r r()cos(180)cos a b a b a b λλθλθ⋅=︒-=-r r r r r r所以()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r ；综上所述，等式成立.证法二：设11(,)a x y =r ，22(,)b x y =r，那么 11221212()(,)(,)a b x y x y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+r r112212121212()(,)(,)()a b x y x y x x y y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+=+r r11221212()(,)(,)a b x y x y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+r r所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r；5、（1）直角三角形，B ∠为直角.证明：∵(1,4)(5,2)(6,6)BA =---=--u u u r ，(3,4)(5,2)(2,2)BC =-=-u u u r∴6(2)(6)20BA BC ⋅=-⨯-+-⨯=u u u r u u u r∴BA BC ⊥u u u r u u u r ，B ∠为直角，ABC ∆为直角三角形（2）直角三角形，A ∠为直角证明：∵(19,4)(2,3)(21,7)AB =---=u u u r ，(1,6)(2,3)(1,3)AC =-----=-u u u r∴2117(3)0AB AC ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r∴AB AC ⊥u u u r u u u r ，A ∠为直角，ABC ∆为直角三角形（3）直角三角形，B ∠为直角证明：∵(2,5)(5,2)(3,3)BA =-=-u u u r ，(10,7)(5,2)(5,5)BC =-=u u u r∴35350BA BC ⋅=-⨯+⨯=u u u r u u u r∴BA BC ⊥u u u r u u u r ，B ∠为直角，ABC ∆为直角三角形6、135θ=︒.7、120θ=︒.22(23)(2)44361a b a b a a b b -+=-⋅-=r r r r r r r r ，于是可得6a b ⋅=-r r ，1cos 2a b a bθ⋅==-r r r r ，所以120θ=︒. 8、23cos 40θ=，55θ=︒. 9、证明：∵(5,2)(1,0)(4,2)AB =--=-u u u r ，(8,4)(5,2)(3,6)BC =--=u u u r ， (8,4)(4,6)(4,2)DC =-=-u u u r∴AB DC =u u u r u u u r ，43(2)60AB BC ⋅=⨯+-⨯=u u u r u u u r∴,,,A B C D 为顶点的四边形是矩形.10、解：设(,)a x y =r ，则2292x y y x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.于是(55a=r或(55a=--r.11、解：设与ar垂直的单位向量(,)e x y=r，则221420x yx y⎧+=⎨+=⎩，解得5xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或5xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.于是,55e=-r或(55e=-r.习题2.4 B组（P108）1、证法一：0()0()a b a c a b a c a b c a b c⋅=⋅⇔⋅-⋅=⇔⋅-=⇔⊥-r r r r r r r r r r r r r r证法二：设11(,)a x y=r，22(,)b x y=r，33(,)c x y=r.先证()a b a c a b c⋅=⋅⇒⊥-r r r r r r r1212a b x x y y⋅=+r r，1313a c x x y y⋅=+r r由a b a c⋅=⋅r r r r得12121313x x y y x x y y+=+，即123123()()0x x x y y y-+-=而2323(,)b c x x y y-=--r r，所以()0a b c⋅-=r r r再证()a b c a b a c⊥-⇒⋅=⋅r r r r r r r由()0a b c⋅-=r r r得123123()()0x x x y y y-+-=，即12121313x x y y x x y y+=+，因此a b a c⋅=⋅r r r r2、cos cos cos sin sinOA OBAOBOA OBαβαβ⋅∠==+u u u r u u u ru u u r u u u r.3、证明：构造向量(,)u a b=r，(,)v c d=r.cos,u v u v u v⋅=<>r r r r r r，所以,ac bd u v+=<>r r ∴2222222222()()()cos,()()ac bd a b c d u v a b c d+=++<>≤++r r4、AB AC⋅u u u r u u u r的值只与弦AB的长有关，与圆的半径无关.证明：取AB 的中点M ，连接CM ，则CM AB ⊥，12AM AB =u u u u r u u u r 又cos AB AC AB AC BAC ⋅=∠u u u r u u u r u u u r u u u r ，而AM BAC AC∠=u u u u r u u u r 所以212AB AC AB AM AB ⋅==u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r 5、（1）勾股定理：Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，则222CA CB AB +=u u u r u u u r u u u r证明：∵AB CB CA =-u u u r u u u r u u u r∴2222()2AB CB CA CB CA CB CA =-=-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .由90C ∠=︒，有CA CB ⊥，于是0CA CB ⋅=u u u r u u u r ∴222CA CB AB +=u u u r u u u r u u u r（2）菱形ABCD 中，求证：AC BD ⊥证明：∵AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r ，,DB AB AD =-u u u r u u u r u u u r∴22()()AC DB AB AD AB AD AB AD ⋅=+⋅-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .∵四边形ABCD 为菱形，∴AB AD =，所以220AB AD -=u u u r u u u r∴0AC DB ⋅=u u u r u u u r ，所以AC BD ⊥（3）长方形ABCD 中，求证：AC BD =证明：∵ 四边形ABCD 为长方形，所以AB AD ⊥，所以0AB AD ⋅=u u u r u u u r∴222222AB AB AD AD AB AB AD AD +⋅+=-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .∴22()()AB AD AB AD +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以22AC BD =u u u r u u u r ，所以AC BD =（4）正方形的对角线垂直平分. 综合以上（2）（3）的证明即可.2．5平面向量应用举例习题2.5 A 组（P113）1、解：设(,)P x y ，11(,)R x y则1111(1,0)(,)(1,)RA x y x y =-=--u u u r ，(,)(1,0)(1,0)AP x y x =-=-u u u r由2RA AP =u u u r u u u r 得11(1,)2(1,)x y x y --=-，即11232x x y y=-+⎧⎨=-⎩代入直线l 的方程得2y x =. 所以，点P 的轨迹方程为2y x =.2、解：（1）易知，OFD ∆∽OBC ∆，12DF BC =, 所以23BO BF =. 2211()()3323AO BO BA BF a b a a a b =-=+=-+=+u u u r u u u r u u u r u u u r r r r r r r （2）因为1()2AE a b =+u u u r r r 所以23AO AE =u u u r u u u r ，因此,,A O E 三点共线，而且2AO OE= 同理可知：2,2BO CO OF OD ==，所以2AO BO CO OE OF OD === 3、解：（1）(2,7)B A v v v =-=-r u u r u u r ；（2）v r 在A v u u r 方向上的投影为135A Av v v ⋅=r u u r u u r . 4、解：设1F u u r ，2F u u r 的合力为F u r ，F u r 与1F u u r 的夹角为θ，则31F =+u r ，30θ=︒； 331F =+u u r ，3F u u r 与1F u u r 的夹角为150°.习题2.5 B 组（P113）1、解：设0v u u r 在水平方向的速度大小为x v u u r ，竖直方向的速度的大小为y v u u r ，则0cos x v v θ=u u r u u r ，0sin y v v θ=u u r u u r .设在时刻t 时的上升高度为h ，抛掷距离为s ，则001sin ,()2cos h v t gt g s v t θθ⎧=-⎪⎨⎪=⎩u u r u u r 为重力加速度所以，最大高度为220sin 2v g θu u r ，最大投掷距离为20sin 2v g θu u r . 2、解：设1v u r 与2v u u r 夹角为θ，合速度为v r ，2v u u r 与v r夹角为α，行驶距离为d .则1sin 10sin sin v v v θθα==u r r r ，0.5sin 20sin v d αθ==r . ∴120sin d v θ=r . 所以当90θ=︒，即船垂直于对岸行驶时所用时间最短.3、（1）(0,1)-O DF E A B C （第2题）（第4题）解：设(,)P x y ，则(1,2)AP x y =--u u u r . (2,22)AB =-u u u r . 将AB u u u r 绕点A 沿顺时针方向旋转4π到AP u u u r ，相当于沿逆时针方向旋转74π到AP u u u r ，于是7777(2cos 22sin ,2sin 22cos )(1,3)4444AP ππππ=+-=--u u u r 所以1123x y -=-⎧⎨-=-⎩，解得0,1x y ==- （2）32y x=- 解：设曲线C 上任一点P 的坐标为(,)x y ，OP u u u r 绕O 逆时针旋转4π后，点P 的坐标为(,)x y ''则cos sin 44sin cos 44x x y y x y ππππ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩，即2()2()2x x y y x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩ 又因为223x y ''-=，所以2211()()322x y x y --+=，化简得32y x =- 第二章复习参考题A 组（P118）1、（1）√；（2）√；（3）×；（4）×.2、（1）D ；（2）B ；（3）D ；（4）C ；（5）D ；（6）B .3、1()2AB a b =-u u u r r r ，1()2AD a b =+u u u r r r 4、略解：2133DE BA MA MB a b ==-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r r r 2233AD a b =+u u u r r r ，1133BC a b =+u u u r r r 1133EF a b =--u u u r r r ，1233FA DC a b ==-u u u r u u u r r r 1233CD a b =-+u u u r r r ，2133AB a b =-u u u r r r CE a b =-+u u u r r r5、（1）(8,8)AB =-u u u r ，82AB =u u u r ；（2）(2,16)OC =-u u u r ，(8,8)OD =-u u u r ；（3）33OA OB ⋅=u u u r u u u r . （第4题）6、AB u u u r 与CD u u u r 共线.证明：因为(1,1)AB =-u u u r ，(1,1)CD =-u u u r ，所以AB CD =u u u r u u u r . 所以AB u u u r 与CD u u u r 共线.7、(2,0)D -. 8、2n =. 9、1,0λμ=-=.10、34cos ,cos 0,cos 55A B C === 11、证明：2(2)22cos6010n m m n m m -⋅=⋅-=︒-=r u r u r r u r u r ，所以(2)n m m -⊥r u r u r . 12、1λ=-. 13、13a b +=r r ，1a b -=r r . 14、519cos ,cos 820θβ== 第二章复习参考题B 组（P119）1、（1）A ；（2）D ；（3）B ；（4）C ；（5）C ；（6）C ；（7）D .2、证明：先证a b a b a b ⊥⇒+=-r r r r r r .222()2a b a b a b a b +=+=++⋅r r r r r r r r ，222()2a b a b a b a b -=-=+-⋅r r r r r r r r .因为a b ⊥r r ，所以0a b ⋅=r r ，于是22a b a b a b +=+=-r r r r r r . 再证a b a b a b +=-⇒⊥r r r r r r .由于222a b a a b b +=+⋅+r r r r r r ，222a b a a b b -=-⋅+r r r r r r由a b a b +=-r r r r 可得0a b ⋅=r r ，于是a b ⊥r r所以a b a b a b +=-⇔⊥r r r r r r . 【几何意义是矩形两条对角线相等】3、证明：先证a b c d =⇒⊥r r r u r22()()c d a b a b a b ⋅=+⋅-=-r u r r r r r r r又a b =r r ，所以0c d ⋅=r u r ，所以c d ⊥r u r再证c d a b ⊥⇒=r u r r r .由c d ⊥r u r 得0c d ⋅=r u r ，即22()()0a b a b a b +⋅-=-=r r r r r r 所以a b =r r 【几何意义为菱形对角线互相垂直，如图所示】（第3题）（第6题）4、12AD AB BC CD a b =++=+u u u r u u u r u u u r u u u r r r ，1142AE a b =+u u u r r r 而34EF a =u u u r r ，14EM a =u u u u r r ，所以1111(4242AM AE EM a b a =+=++=u u u u r u u u r u u u u r r r r 5、证明：如图所示，12OD OP OP =+u u u r u u u r u u u u r ，由于1230OP OP OP ++=u u u r u u u u r u u u r r ，所以3OP OD =-u u u r u u u r ，1OD =u u u r 所以11OD OP PD ==u u u r u u u r u u u r 所以1230OPP ∠=︒，同理可得1330OPP ∠=︒ 所以31260P PP ∠=︒，同理可得12360PP P ∠=︒，23160P P P ∠=︒，所以123PP P ∆为正三角形.6、连接AB .由对称性可知，AB 是SMN ∆的中位线，22MN AB b ==-u u u u r u u u r r 7、（18=（千米／时），沿与水流方向成60°的方向前进；（2）实际前进速度大小为千米／时，沿与水流方向成90︒+的方向前进. 8、解：因为OA OB OB OC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以()0OB OA OC ⋅-=u u u r u u u r u u u r ，所以0OB CA ⋅=u u u r u u u r同理，0OA BC ⋅=u u u r u u u r ，0OC AB ⋅=u u u r u u u r ，所以点O 是ABC ∆的垂心.9、（1）2110200a x a y a y a x -+-=；（2）垂直；（3）当12210A B A B -=时，1l ∥2l ；当12120A A B B +=时，12l l ⊥，夹角θ的余弦cos θ=；（4）d =第三章三角恒等变换P 2（第5题）3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式练习（P127）1、cos()cos cos sin sin 0cos 1sin sin 222πππαααααα-=+=⨯+⨯=. cos(2)cos2cos sin 2sin 1cos 0sin cos παπαπαααα-=+=⨯+⨯=.2、解：由3cos ,(,)52πααπ=-∈，得4sin 5α==；所以34cos()cos cos sin sin ()44455πππααα-=+=-=3、解：由15sin 17θ=，θ是第二象限角，得8cos 17θ===-；所以8115cos()cos cos sin sin 33317217πππθθθ-=+=-⨯+=. 4、解：由23sin ,(,)32πααπ=-∈，得cos α==；又由33cos ,(,2)42πββπ=∈，得sin β== 所以32cos()cos cos sin sin (()43βαβαβα-=+=⨯⨯-=. 练习（P131） 1、（1；（2）（3（4）22、解：由3cos ,(,)52πθθπ=-∈，得4sin 5θ==；所以413sin()sin cos cos sin ()333525πππθθθ+=+=⨯+-=. 3、解：由12sin 13θ=-，θ是第三象限角，得5cos 13θ===-；所以5112cos()cos cos sin sin ()()66613213πππθθθ+=-=--⨯-=. 4、解：tan tan 314tan()241311tan tan 4παπαπα+++===--⨯-⋅.5、（1）1；（2）12；（3）1；（4）；（5）原式=1(cos34cos26sin34sin 26)cos(3426)cos602-︒︒-︒︒=-︒+︒=-︒=-；（6）原式=sin 20cos70cos20sin70(sin 20cos70cos20sin70)sin901-︒︒-︒︒=-︒︒+︒︒=-︒=-.6、（1）原式=cos cos sin sin cos()333x x x πππ-=+；（2）原式=1cos )2(sin cos cos sin )2sin()2666x x x x x πππ+=+=+；（3）原式=)2(sin cos cos sin )2sin()444x x x x x πππ=-=-；（4）原式=12(cos )cos sin sin ))2333x x x x x πππ=-=+. 7、解：由已知得3sin()cos cos()sin 5αβααβα---=，即3sin[()]5αβα--=，3sin()5β-= 所以3sin 5β=-. 又β是第三象限角，于是4cos 5β===-. 因此55534sin()sin cos cos sin ()(()(44455πππβββ+=+=-+-=练习（P135）1、解：因为812παπ<<，所以382αππ<< 又由4cos 85α=-，得3sin 85α=-，3sin 385tan 484cos 85ααα-===- 所以3424sinsin(2)2sin cos 2()()48885525αααα=⨯==⨯-⨯-= 2222437cos cos(2)cos sin ()()48885525αααα=⨯=-=---= 2232tan 23162484tan tan(2)3482771tan 1()84αααα⨯=⨯===⨯=-- 2、解：由3sin()5απ-=，得3sin 5α=-，所以222316cos 1sin 1()525αα=-=--=所以2221637cos2cos sin ()25525ααα=-=--= 3、解：由sin2sin αα=-且sin 0α≠可得1cos 2α=-，又由(,)2παπ∈，得sin α==，所以sintan (2)cos ααα==-=4、解：由1tan 23α=，得22tan 11tan 3αα=-. 所以2tan 6tan 10αα+-=，所以tan 3α=-5、（1）11sin15cos15sin3024︒︒=︒=；（2）22cos sin cos 88πππ-==；（3）原式=212tan 22.511tan 4521tan 22.522︒⋅=︒=-︒；（4）原式=cos45︒=. 习题3.1 A 组（P137） 1、（1）333cos()cos cos sin sin 0cos (1)sin sin 222πππαααααα-=+=⨯+-⨯=-；（2）33sin()sin cos 1cos 0sin cos22ππαααααα-=-=-⨯-⨯=-；（3）cos()cos cos sin 1cos 0sin cos παπαααα-=+-⨯+⨯=-；（4）sin()sin cos cos sin 0cos (1)sin sin παπαπαααα-=-=⨯--⨯=.2、解：由3cos ,05ααπ=<<，得4sin 5α==，所以431cos()cos cos sin sin 666552πππααα-=+=⨯=.3、解：由2sin ,(,)32πααπ=∈，得cos α===又由33cos ,(,)42πββπ=-∈，得sin β===，所以32cos()cos cos sin sin ()(43αβαβαβ-=+=-+⨯=.4、解：由1cos 7α=，α是锐角，得sin 7α=== 因为,αβ是锐角，所以(0,)αβπ+∈，又因为11cos()14αβ+=-，所以sin()αβ+===所以cos cos[()]cos()cos sin()sin βαβααβααβα=+-=+++1111()1472=-⨯= 5、解：由60150α︒<<︒，得9030180α︒<︒+<︒又由3sin(30)5α︒+=，得4cos(30)5α︒+=-所以cos cos[(30)30]cos(30)cos30sin(30)sin30αααα=︒+-︒=︒+︒+︒+︒431552=-⨯6、（1）（2）（3）2-7、解：由2sin ,(,)32πααπ=∈，得cos α===又由3cos 4β=-，β是第三象限角，得sin β===.所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-32()(43=--⨯=sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-23()((34=⨯--⨯=8、解：∵53sin ,cos 135A B ==且,A B 为ABC ∆的内角∴0,02A B ππ<<<<，124cos ,sin 135A B =±=当12cos 13A =-时，sin()sin cos cos sin AB A B A B +=+5312433()013513565=⨯+-⨯=-< A B π+>，不合题意，舍去∴124cos ,sin 135A B ==∴cos cos()(cos cos sin sin )C A B A B A B =-+=--1235416()13513565-⨯-⨯=- 9、解：由3sin ,(,)52πθθπ=∈，得4cos 5θ==-.∴sin 353tan ()cos 544θθθ==⨯-=-. ∴31tan tan 242tan()311tan tan 111()42θϕθϕθϕ-+++===--⋅--⨯. 31tan tan 42tan()2311tan tan 1()42θϕθϕθϕ----===-+⋅+-⨯. 10、解：∵tan ,tan αβ是22370x x +-=的两个实数根.∴3tan tan 2αβ+=-，7tan tan 2αβ⋅=-.∴3tan tan 12tan()71tan tan 31()2αβαβαβ-++===--⋅--.11、解：∵tan()3,tan()5αβαβ+=-=∴tan()tan()tan 2tan[()()]1tan()tan()αβαβααβαβαβαβ++-=++-=-+⋅-3541357+==--⨯tan()tan()tan 2tan[()()]1tan()tan()αβαββαβαβαβαβ+--=+--=++⋅-3511358-==-+⨯12、解：∵::2:3:6BD DC AD =∴11tan ,tan 32BD DC AD AD αβ====∴tan tan tan tan()1tan tan BAC αβαβαβ+∠=+=-⋅1132111132+==-⨯ 又∵0180BAC ︒<∠<︒，∴45BAC ∠=︒（第12题）13、（1）)6x π+；（23sin()3x π-；（3）2sin()26x π+；（47sin()12x π-；（5）2；（6）12；（7）sin()αγ+；（8）cos()αγ--；（9）（10）tan()βα-.14、解：由sin 0.8,(0,)2παα=∈，得cos 0.6α===∴sin22sin cos 20.80.60.96ααα==⨯⨯= 2222cos2cos sin 0.60.80.28ααα=-=-=- 15、解：由cos 270ϕϕ=︒<<︒，得sin ϕ===∴sin 22sin cos 2((ϕϕϕ==⨯⨯=22221cos2cossin ((3ϕϕϕ=-=-=- sin 2tan 2(3)cos 23ϕϕϕ==-=-16、解：设5sin sin 13B C ==，且090B ︒<<︒，所以12cos 13B =. ∴512120sin sin(1802)sin 22sin cos 21313169A B B B B =︒-===⨯⨯=2222125119cos cos(1802)cos2(cos sin )(()())1313169A B B B B =︒-=-=--=--=-sin 120169120tan ()cos 169119119A A A ==⨯-=-17、解：22122tan 33tan 211tan 41()3βββ⨯===--，13tan tan 274tan(2)1131tan tan 2174αβαβαβ+++===-⋅-⨯. 18、解：1cos()cos sin()sin 3αββαββ+++=⇒1cos[()]3αββ+-=，即1cos 3α= 又3(,2)2παπ∈，所以sin3α==-∴1sin 22sin cos 2(ααα==⨯⨯=222217cos2cos sin ()(39ααα=-=-=-∴7cos(2)cos2cos sin 2sin (4449πππααα+=-=-=19、（1）1sin2α+；（2）cos2θ；（3）1sin 44x ；（4）tan2θ.习题3.1 B 组（P138） 1、略. 2、解：∵tan ,tan A B 是x 方程2(1)10x p x +++=，即210x px p +++=两个实根∴tan tan A B p +=-，tan tan 1A B p ⋅=+ ∴tan tan[()]tan()C A B A B π=-+=-+tan tan 11tan tan 1(1)A B pA B p +-=-=-=--⋅-+由于0C π<<，所以34C π=. 3、反应一般的规律的等式是（表述形式不唯一）223sin cos (30)sin cos(30)4αααα++︒++︒=（证明略）本题是开放型问题，反映一般规律的等式的表述形式还可以是：223sin (30)cos sin(30)cos 4αααα-︒++-︒=223sin (15)cos (15)sin(15)cos(15)4αααα-︒++︒+-︒+︒=223sin cos sin cos 4αβαβ++=，其中30βα-=︒，等等思考过程要求从角，三角函数种类，式子结构形式三个方面寻找共同特点，从而作出归纳. 对认识三角函数式特点有帮助，证明过程也会促进推理能力、运算能力的提高.4、因为12PA PP =，则2222(cos()1)sin ()(cos cos )(sin sin )αβαβαβαβ+-++=-++ 即22cos()22cos cos 2sin sin αβαβαβ-+=-+ 所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-3．2简单的三角恒等变换练习（P142）1、略.2、略.3、略.4、（1）1sin 42y x =. 最小正周期为2π，递增区间为[,],8282k k k Z ππππ-++∈，最大值为12；（2）cos 2y x =+. 最小正周期为2π，递增区间为[2,22],k k k Z ππππ++∈，最大值为3；（3）2sin(4)3y x π=+. 最小正周期为2π，递增区间为5[,],242242k k k Z ππππ-++∈，最大值为2.习题3.2 A 组（ P143） 1、（1）略；（2）提示：左式通分后分子分母同乘以2；（3）略；（4）提示：用22sin cos ϕϕ+代替1，用2sin cos ϕϕ代替sin 2ϕ；（5）略；（6）提示：用22cos θ代替1cos2θ+；（7）提示：用22sin θ代替1cos2θ-，用22cos θ代替1cos2θ+；（8）略.2、由已知可有1sin cos cos sin 2αβαβ+=……①，1sin cos cos sin 3αβαβ-=……②（1）②×3－①×2可得sin cos 5cos sin αβαβ=（2）把（1）所得的两边同除以cos cos αβ得tan 5tan αβ= 注意：这里cos cos 0αβ≠隐含与①、②之中3、由已知可解得1tan 2θ=-. 于是2212()2tan 42tan 211tan 31()2θθθ⨯-===----1tan tan1142131tan tan 1()142πθπθ+-+===-⋅--⨯∴tan 24tan()4πθθ=-+4、由已知可解得sin x θ=，cos y θ=，于是2222sin cos 1x y θθ+=+=.5、()2sin(4)3f x x π=+，最小正周期是2π，递减区间为7[,],242242k k k Z ππππ++∈.习题3.2 B 组（P143） 1、略.2、由于762790+⨯=，所以sin76sin(9014)cos14m ︒=︒-︒=︒= 即22cos 71m ︒-=，得cos7︒=3、设存在锐角,αβ使223παβ+=，所以23απβ+=，tan()2αβ+又tantan 22αβ=，又因为tantan 2tan()21tantan 2αβαβαβ++=-，所以tantan tan()(1tan tan )3222αααβββ+=+-= 由此可解得tan 1β=， 4πβ=，所以6πα=.经检验6πα=，4πβ=是符合题意的两锐角.4、线段AB 的中点M 的坐标为11((cos cos ),(sin sin ))22αβαβ++. 过M 作1MM 垂直于x 轴，交x 轴于1M ，111()()22MOM βαααβ∠=-+=+. 在Rt OMA ∆中，cos cos 22OM OA βααβ--==. 在1Rt OM M ∆中，11cos cos cos22OM OM MOM αβαβ+-=∠=11sin sin cos22M M OM MOM αβαβ+-=∠=. 于是有 1(cos cos )cos cos222αβαβαβ+-+=， 1(sin sin )sin cos222αβαβαβ+-+= 5、当2x =时，22()sin cos 1f ααα=+=；当4x =时，4422222()sin cos (sin cos )2sin cos f ααααααα=+=+-211sin 22α=-，此时有1()12f α≤≤；当6x =时，662232222()sin cos (sin cos )3sin cos (sin cos )f ααααααααα=+=+-+231sin 24α=-，此时有1()14f α≤≤；由此猜想，当2,x k k N +=∈时，11()12k f α-≤≤6、（1）345(sin cos )5sin()55y x x x ϕ=+=+，其中34cos ,sin 55ϕϕ==所以，y 的最大值为5，最小值为﹣5；（2）)y x ϕ+，其中cos ϕϕ==所以，y ；第三章复习参考题A 组（P146）（第4题）1、1665. 提示：()βαβα=+- 2、5665. 提示：5sin()sin[()]sin[()()]44ππαβπαββα+=-++=-+--3、1.4、（1）提示：把公式tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-变形；（2；（3）2；（4）提示：利用（1）的恒等式.5、（1）原式4sin(3010)4sin 20︒-︒==︒；（2）原式=sin10sin 40(sin 40cos10︒︒=︒ =2sin 40cos40sin801cos10cos10-︒︒-︒==-︒︒；（3）原式=tan 70cos101)tan 70cos10︒︒-=︒ =sin702sin10sin 20cos101cos70cos20cos70︒-︒-︒⋅︒⋅==-︒︒︒；（4）原式=sin50(1sin50︒⋅=2cos50sin50cos10︒=︒⋅=︒6、（1）95；（2）2425；（3）. 提示：4422222sin cos (sin cos )2sin cos θθθθθθ+=+-；（4）1725.7、由已知可求得2cos cos 5αβ=，1sin sin 5αβ=，于是sin sin 1tan tan cos cos 2αβαβαβ==. 8、（1）左边=222cos 214cos232(cos 22cos21)αααα-++=++22242(cos21)2(2cos )8cos ααα=+===右边（2）左边=2222sin cos 2sin cos (sin cos )2cos 2sin cos 2cos (cos sin )αααααααααααα+++=++sin cos 11tan 2cos 22αααα+==+=右边（3）左边=sin(2)2cos()sin sin[()]2cos()sin sin 2cos (cos sin )αβαβααβααβααααα+-+++-+=+sin()cos cos()sin sin sin sin αβααβαβαα+-+===右边（第12（2）题）（4）左边=222234cos22cos 212(cos 22cos21)34cos22cos 212(cos 22cos21)A A A A A A A A -+--+=++-++ 2224222(1cos2)(2sin )tan (1cos2)(2cos )A A A A A -===+=右边 9、（1）1sin 21cos2sin 2cos222)24y x x x x x π=+++=++++递减区间为5[,],88k k k Z ππππ++∈（222，最小值为22.10、2222()(cos sin )(cos sin )2sin cos cos2sin 22)4f x x x x x x x x x x π=+--=-+（1）最小正周期是π；（2）由[0,]2x π∈得52[,]444x πππ+∈，所以当24x ππ+=，即38x π=时，()f x 的最小值为2-()f x 取最小值时x 的集合为3{}8π.11、2()2sin 2sin cos 1cos2sin 22)14f x x x x x x x π=+=-+=-+（1）最小正周期是π，最大值为21+；（2）()f x 在[,]22ππ-12、()3sin cos 2sin()6f x x x a x a π=++=++.（1）由21a +=得1a =-；（2）2{22,}3x k x k k Z πππ+∈≤≤.13、如图，设ABD α∠=，则CAE α∠=，2sin h AB α=，1cos hAC α=所以1212sin 2ABC h h S AB AC α∆=⋅⋅=，(0)2πα<<当22πα=，即4πα=时，ABC S ∆的最小值为12h h .第三章复习参考题B 组（P147）1、解法一：由221sin cos 5sin cos 1αααα⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，及0απ≤≤，可解得4sin 5α=， αh 1h 2l 2l 1BDE AC（第13题）13cos sin 55αα=-=，所以24sin 225α=，7cos225α=-，sin(2)sin 2cos cos2sin 44450πππααα-=-=. 解法二：由1sin cos 5αα-= 得21(sin cos )25αα-=，24sin 225α=，所以249cos 2625α=. 又由1sin cos 5αα-=，得sin()4πα-=.因为[0,]απ∈，所以3[,]444πππα-∈-.而当[,0]44ππα-∈-时，sin()04πα-≤；当3[,]444πππα-∈时，sin()4πα->所以(0,)44ππα-∈，即(,)42ππα∈所以2(,)2παπ∈，7cos225α=-.sin(2)4πα-=2、把1cos cos 2αβ+=两边分别平方得221cos cos 2cos cos 4αβαβ++=把1sin sin 3αβ+=两边分别平方得221sin sin 2sin sin 9αβαβ++=把所得两式相加，得1322(cos cos sin sin )36αβαβ++=，即1322cos()36αβ+-=，所以59cos()72αβ-=-3、由sin()sin 3παα++= 可得3sin 2αα=4sin()65πα+=-. 又02πα-<<，所以366πππα-<+<，于是3cos()65πα+=.所以cos cos[()]66ππαα=+-4、22sin 22sin 2sin cos 2sin 2sin cos (cos sin )sin 1tan cos sin 1cos x x x x x x x x x x x x x x +++==---1tan sin 2sin 2tan()1tan 4x x x x x π+==+-由177124x ππ<<得5234x πππ<+<，又3cos()45x π+=，所以4sin()45x π+=-，4tan()43x π+=-所以cos cos[()]cos()cos sin()sin 444444x x x x ππππππ=+-=+++=，sin 10x =-，7sin 22sin cos 25x x x ==, 所以2sin 22sin 281tan 75x x x +=--， 5、把已知代入222sin cos (sin cos )2sin cos 1θθθθθθ+=+-=，得22(2sin )2sin 1αβ-=.变形得2(1cos2)(1cos2)1αβ---=，2cos2cos2αβ=，224cos 24cos 2αβ= 本题从对比已知条件和所证等式开始，可发现应消去已知条件中含θ的三角函数.考虑sin cos θθ+，sin cos θθ这两者又有什么关系？及得上解法. 5、6两题上述解法称为消去法6、()21cos22sin(2)16f x x x m x m π=+++=+++.由 [0,]2x π∈ 得72[,]666x πππ+∈，于是有216m ++=. 解得3m =.()2sin(2)4()6f x x x R π=++∈的最小值为242-+=，此时x 的取值集合由322()62x k k Z πππ+=+∈，求得为2()3x k k Z ππ=+∈7、设AP x =，AQ y =，BCP α∠=，DCQ β∠=，则tan 1x α=-，tan 1y β=- 于是2()tan()()x y x y xyαβ-++=+-又APQ ∆的周长为2，即2x y +，变形可得2()2xy x y =+- 于是2()tan()1()[2()2]x y x y x y αβ-++==+-+-.又02παβ<+<，所以4παβ+=，()24PCQ ππαβ∠=-+=.8、（1）由221sin cos 5sin cos 1ββββ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，可得225sin 5sin 120ββ--=解得4sin 5β=或3sin 5β=-（由(0,)βπ∈，舍去）所以13cos sin 55ββ=-=-，于是4tan 3β=-（2）根据所给条件，可求得仅由sin ,cos ,tan βββ表示三角函数式值，例如，sin()3πβ+，cos22β+，sin cos 2tan βββ-，sin cos 3sin 2cos ββββ-+，等等.。

(完整版)高中数学必修4平面向量知识点总结与典型例题归纳.docx

平面向量【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】1. 向量：既有大小又有方向的量。

记作：uuur rAB 或 a 。

uuur r2.向量的模：向量的大小（或长度），记作： | AB |或 | a |。

r r3. 单位向量：长度为 1 的向量。

若e是单位向量，则| e| 1。

r r4.零向量：长度为 0 的向量。

记作：0。

【0方向是任意的，且与任意向量平行】5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。

6.相等向量：长度和方向都相同的向量。

7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。

8.三角形法则：uuur uuur AB BA。

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuurAB BC AC；AB BC CD DE AE； AB AC CB （指向被减数）9.平行四边形法则：r r r r r r以 a, b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b ， a b 。

r r r r r r r r10. 共线定理：a b a / /b 。

当0 时，a与b同向；当0 时，a与b反向。

11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。

12.r rx2y 2r 2r r r r r2向量的模：若 a(x, y) ，则| a |， a| a |2， | a b |( a b)r r r rr rcos ra br13.数量积与夹角公式： a b| a | | b | cos；| a || b |r r r r r r r r14.平行与垂直： a / / b a b x1 y2x2 y1； a b a b0x1 x2y1 y2 0题型 1. 基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。

（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。

（ 3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。

（ 4）四边形 ABCD是平行四边形的条件是uuur uuurAB CD 。

人教版高中数学必修一向量的线性运算-课件牛老师

所以OM OA OB OM，即OM +OM OB OA， 2OM OB OA，因此OM 1（OB OA）.
2
例3.点O为任意一点，求证：点M 为线段AB的中点的充要条件是 OM 1 (OA OB). 2
证明：（）点M 为线段AB的中点，则AM MB，
所以OM OA OB OM，即OM +OM OB OA， 2OM OB OA，因此OM 1（OB OA）.
解：原式 2a 2b 2a 2b
2a 2a 2b 2b 4b；
(1)2(a b) 2(a b)；
解：原式 2a 2b 2a 2b
2a 2a 2b 2b 4b；
(2)2a 1 3b 1 4a；
3
2
(1)2(a b) 2(a b)；
解：原式 2a 2b 2a 2b
二、向量的线性运算数量乘法
a b c ab ac 分配律
向量数乘
( )a a a (a b) a b
对于第一条分配律，
当 0, 0, a = 0之一成立时，显然( )a a a;
二、向量的线性运算数量乘法
a b c ab ac 分配律
向量数乘
( )a a a (a b) a b
若 | || | 时，显然( )a = a + a成立；
二、向量的线性运算数量乘法
a b c ab ac 分配律
向量数乘
( )a a a (a b) a b
对于第一条分配律，当 0时，
若 | || | 时，显然( )a = a + a成立；
若||>| | 时，a + a与( )a都与a的方向相同，而且他们的模都等于 (||-||)|a|，此时( )a = a + a成立；

高中数学2.2 平面向量的线性运算课件人教版必修4

(1)AD CA CD (2)AB CB DC AD (3)AB AC BD CD 0
实际背景
在物理中：位移与速度的关系：s=vt，力与加速度的关系：f=ma.
其中位移、速度，力、加速度都是向量，而时间、质量都是数量
a
3a = a +
a
+
a
A
B
AB BC CA 0
（对）
（5）若 AB BC CA 0，
则A、B、C三点必是一个三角形的三个顶点。（错）
3、选择题：
（1）(在A)△a AbBC中(B，) B(Ca
a,
b)
CA
(C
)a
b ，则 AB
b (D)b
等于（
a
B
）
例2 （1）已知e1
,
e2均为非零向量，设a

4e1

2 5
e2
,b

e1

1 10
e2
, 说明b与a关系
（2）a与b是非零不共线向量,OA 2a b , OB 3a b ,OC a 3b 求证 : AB// BC
（3）a与b是非零不共线向量,设OA a, OB b ,OC 3a 2b 证明: A、B、C三点共线
用数乘向量能解决几何中的相似问题.
练习2:
(1) 根据定义，求作向量3(2a)和(6a) (a≠0)，并比较。

a

3(2a )
结论: 3(2a)=6 a
=
3(2a )
6a
(2) 已知向量a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b，并比较。

高中数学平面向量的线性运算教案新人教版必修4-新人教版高一必修4数学教案

§2.2 平面向量的线性运算教材分析本节首先从数及数的运算谈起，有了数只能进行计数，只能引入了运算，数的威力才得以充分展现。

类比数的运算，向量也能够进行运算，运算引入后，向量的工具作用才能得到充分发挥。

教学中应引导学生体会考察一个量的运算问题，最主要的是认清运算的定义及其运算律，这样才能正确、方便地实施运算。

平面向量的线性运算包括：向量加法、向量减法、向量数乘运算，以及它们之间的混合运算。

其中加法运算是最基本、最重要的运算，减法、数乘运算都以加法运算为基础，都可以归结为加法运算。

向量的加法运算是通过类比数的加法，以位移的合成、力的合成等两个物理模型为背景引入的，使加法运算的学习建立在学生已有认知基础上。

由于向量有方向，在进行运算时，不但要考虑大小，而且要考虑方向，应注意体会向量运算与数的运算的联系与区别，更好地把握向量加法的特点。

类比数的减法（减去一个数等于加上这个数的相反数），向量减法的实质是：减去一个向量，等于加上这个向量的相反向量；向量数乘运算则是相同向量的连加。

因此，与数的运算的类比，是学习向量的线性运算的重要方法。

向量的线性运算具有深刻的物理背景和几何意义，使得向量在解决物理和几何问题时可以发挥很好的作用。

2.2.1 向量加法运算及其几何意义一、教学分析向量的加法是学生在认识向量概念之后首先要掌握的运算,是向量的第二节内容.其主要内容是运用向量的定义和向量相等的定义得出向量加法的三角形法则、平行四边形法则,并对向量加法的交换律、结合律进行证明,同时运用他们进行相关计算,这可让同学们进一步加强对向量几何意义的理解,同时也为接下来学习向量的减法奠定基础,起到承上启下的重要作用.学生已经通过上节的学习,掌握了向量的概念、几何表示,理解了什么是相等向量和共线向量.在学习物理的过程中,已经知道位移、速度和力这些物理量都是向量,可以合成,而且知道这些矢量的合成都遵循平行四边形法则,这为本课题的引入提供了较好的条件.培养数学的应用意识是当今数学教育的主题,本节课的内容与实际问题联系紧密,更应强化数学来源于实际又应用于实际的意识.在向量加法的概念中,由于涉及到两个向量有不平行和平行这两种情况,因此有利于渗透分类讨论的数学思想,而在猜测向量加法的运算律时,通过引导学生利用实数加法的运算律进行类比.则能培养学生类比、迁移等能力.在实际教学中,类比数的运算,向量也能够进行运算.运算引入后,向量的工具作用才能得到充分发挥.实际上,引入一个新的量后,考察它的运算及运算律,是数学研究中的基本问题.教师应引导学生体会考察一个量的运算问题,最主要的是认清运算的定义及其运算律,这样才能正确、方便地实施运算.向量的加法运算是通过类比数的加法,以位移的合成、力的合力等两个物理模型为背景引入的.这样做使加法运算的学习建立在学生已有的认知基础上,同时还可以提醒学生注意,由于向量有方向,因此在进行向量运算时,不但要考虑大小问题,而且要考虑方向问题,从而使学生体会向量运算与数的运算的联系与区别.这样做,有利于学生更好地把握向量加法的特点.二、教学目标：1、知识与技能：掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力。

高一数学人教版必修4考点同步向量的线性运算

考点同步(4)向量的线性运算1、若向量a r 与b r 是两个不平行的向量, //a c r r 且//b c r r ,则c r 等于( )A. 0rB. a rC. b rD.不存在这样的向量c r2、在ABC △中,若,2,1,,AB AC AB AC AB AC E F +=-==u u u r u u u r u u u r u u u r 为BC 边的三等分点,则AE AF ⋅u u u r u u u r ( ) A.89 B. 109 C. 259 D. 269 3、在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若12,3AD DB CD CA CB λ==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则λ等于( ) A ．23 B ．13 C ．13- D ．23- 4、在四边形ABCD 中,若,AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r 则（） A. ABCD 是矩形 B. ABCD 是菱形 C. ABCD 是正方形 D. ABCD 是平行四边形。

5、在四边形ABCD 中, 2,4,53AB a b BC a b CD a b =+=--=--u u u r r r u u u r r r u u u r r r ,其中,a b r r 不共线,则四边形ABCD 为( )A.平行四边形B.矩形C.梯形D.菱形6、设P 是ABC ∆所在平面内的一点, 2BC BA BP +=u u u r u u u r u u u r ,则( )A. 0PA PB +=u u u r u u u rB. 0PC PA +=u u u r u u u rC. 0PB PC +=u u u r u u u rD. 0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r7、,a b rr 为非零向量,且a b a b +=+r r r r ,则( )A. a b r P r ,且a r 与b r 方向相同B. ,a b r r 是共线向量且方向相反C. a b =-r rD. ,a b r r 无论什么关系均可8、已知菱形的两邻边OA a =u u u r ,OB b =u u u r ,其对角线交点为D ,则OD u u u r 等于( ) A. 12a b +r r B. 12b a +r r C. ()12a b +r r D. a b +r r 9、下列等式不正确的是( )A. 0a a -=r rB. ()a b b a -=--r r r r C.0AB BA +≠u u u r u u u r D.AC DC AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r 10、平面上有三点A ,B ,C ,设m AB BC =+u u u r u u u r ,n AB BC =-u u u r u u u r ,若m ,n 的长度恰好相等,则有( )A. A ,B ,C 三点必在同一直线上B. ABC ∆必为等腰三角形且B ∠为顶角C. ABC ∆为直角三角形且90B ∠=︒D. ABC ∆必为等腰直角三角形11、已知G 是ABC ∆的重心,则GA GB GC ++=u u u r u u u r u u u r __________12、已知3,2a b ==r r ,则a b +r r 的取值范围是__________13、在菱形ABCD 中, 60DAB ∠=o,向量1AB =u u u r ,则BC CD +=u u u r u u u r __________. 14、已知6,9AB CD ==u u u r u u u r ,则AB CD -u u u r u u u r 的取值范围是__________15、若112()(3)032x a b c x b --+-+=rr r r r r ,其中,,a b c r r r 为已知向量,则未知向量x =r __________.16、ABC ∆三个顶点坐标分别是(1,2),(2,4),(6,3)A B C -,则BC 的中点坐标是__________;ABC ∆的重心坐标是__________17、若()()2,8,7,2OA OB ==-u u u r u u u r ,则OA OB +=u u u r u u u r __________;13AB =u u u r __________ 18、如图,半径为1的扇形AOB 的圆心角为120o ,点C 在圆弧AB 上,且30COA ∠=︒,若OC OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r ,则λμ+=__________.答案以及解析1答案及解析：答案：A解析：∵零向量与任一向量共线，又∵,a b r r 不平行，∴0c =r r2答案及解析：答案：B解析：3答案及解析：答案：A解析：∵2AD DB =u u u r u u u r ,∴222()3CD CA AD AB DB CB CD -====-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,即得1233CD CA CB =+u u u r u u u r u u ur,由已知条件13CD CA CB λ=+u u u r u u u r u u u r 可得23λ=,故选A.4答案及解析：答案：D解析：根据向量的加法的平行四边形法则可得,以,AB AC u u u r u u u r 为邻边做平行四边形ABCD ,则可得AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r ,所以四边形ABCD 为平行四边形,故选D.5答案及解析：答案：C解析：因为822AD AB BC CD a b BC =++=--=u u u r u u u r u u u r u u u r r r u u u r ,所以AD BC P u u u r u u u r 且AD BC ≠u u u r u u u r ,而,AB CD u u u r u u u r 不平行,所以四边形ABCD 为梯形,答案选C.考点:向量的运算与平行的判断6答案及解析：答案：B解析：∵2BC BA BP +=u u u r u u u r u u u r ∴0PB BC PB BA +++=u u u r u u u r u u u r u u u r ,即()()0PB BC PB BA +++=u u u r u u u r u u u r u u u r , ∴0PC PA +=u u u r u u u r .故选B.7答案及解析：答案：A 解析：由不等式a b a b +≤+r r r r 取等号时的条件可知.8答案及解析：答案：C解析：作出图形, OA OB OC a b ++=+u u u r u u u r u u u r r r ,∴()12OD a b =+u u u r r r .9答案及解析：答案：C解析：根据向量减法的三角形法则,A 正确;B 正确;因为AB u u u r 与BA u u u r 是一对相反向量,相反向量的和为零向量,所以C 不正确; 根据向量加法的多边形法则,D 正确10答案及解析：答案：C解析：如图所示,作平行四边形ABCD ,其中AB BC AC +=u u u r u u u r u u u r ,AB BC AB AD DB -=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,∵m n =,∴AC DB =u u u r u u u r .∴平行四边形ABCD 是矩形,∴ABC ∆为直角三角形且90B ∠=︒.11答案及解析：答案：0r解析：如图,连接AG 并延长交BC 于E ,点E 为BC 中点,延长AE 到D ,使GE ED =,则,0GB GC GD GD GA +=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r ,所以0GA GB GC ++=u u u r u u u r u u u r r12答案及解析：答案：[]1,5 解析：321,325a b a b -=-=+=+=r r r r ,又a b a b a b -≤+≤+r r r r r r ,则有15a b ≤+≤r r .13答案及解析：答案：1解析：BC CD BD +=u u u r u u u r u u u r ,在菱形ABCD 中, 1AD AB ==u u u r u u u r ,又60DAB ∠=o ,∴ABD ∆为等边三角形,∴1BD =u u u r ,即1BC CD +=u u u r u u u r .14答案及解析：答案：[]3,15解析： ∵AB CD AB CD AB CD -≤-≤+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,且9,6CD AB ==u u u r u u u r , 315.AB CD ∴≤-≤u u u r u u u r当CD uuu r 与AB u u u r 同向时, 3AB CD -=u u u r u u u r ;当CD uuu r 与AB u u u r 反向时, 15AB CD -=u u u r u u u r .AB CD ∴-u u u r u u u r 的取值范围为[]3,1515答案及解析：答案：4112177a b c -+ 解析：由原方程得112()(3)032x a b c x b --+-+=r r r r r r , ∴72112322x a b c =-+r r r r , ∴4112177x a b c =-+r r r r16答案及解析：答案：14,2⎛⎫ ⎪⎝⎭解析：17答案及解析：答案：()(),,,---51032解析：18答案及解析：解析：。

人教课标版高中数学必修4《平面向量的线性运算、基本定理及坐标表示》链接高考

《平面向量的线性运算、基本定理及坐标表示》链接高考一、三年模拟练考点1向量的线性运算1.(★☆☆)已知向量,a 则2a a +=( )A.4aB.3aC.2aD.a2.(★★☆)关于向量，下列结论错误的是( )A.00a ⋅=B.()()(),m na mn a m n R ⋅=⋅∈C.AB BA =D.()(),n R m n a m a n a m +⋅=⋅+⋅∈考点2向量的共线 3.(★★☆)已知向量()18,,,1,0,2a x b x x ⎛⎫==> ⎪⎝⎭若2a b -与2a b +共线，则x 的值为( )A.4B.8C.0D.2考点3平面向量基本定理及坐标表示4.下列各组向量中，可以作为基底的是( )A.()()120,0,1,2e e ==B.()()121,2,5,7e e =-=C.()()123,5,6,10e e ==D.()12132,3,,24e e ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭5.(★★☆)已知O 是正ABC ∆的中心.若,CO AB AC λμ=+其中,,R λμ∈则λμ的值为( ) A.14- B.13- C.12- D.2 二、五年高考练考点1向量的线性运算1.(2014北京,3，5分，数学运算)已知向量()()2,4,1,1,a b ==-则2a b -=( )A.()5,7B.()5,9C.()3,7D.()3,92.(2017课标全国III 理，12，5分，★★☆，数学运算）在矩形ABCD 中，1,2,AB AD ==动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若,AP AB AD λμ=+则λμ+的最大值为( )A.3B.D.2考点2向量的共线3.(2018课标全国III ,13，5分，★★☆,数学运算）已知向量()()()1,2,2,2,1,.a b c λ==-=若()//2,c a b +则=_____.λ4.(2017山东，11，5分，★★☆，数学运算）已知向量()()2,6,1,.a b λ==-若//,a b 则_____.λ=5.(2015课标全国丨丨,13,5分，★☆☆，数学运算）设向量,a b 不平行.向量a b λ+与2a b +平行，则实数_____.λ=考点3平面向量基本定理及坐标表示6.(2018课标全国I ，6，5分，★★☆，直观想象）在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =( ) A.3144AB AC - B.1344AB AC - C.3144AB AC + D.1344AB AC + 7.(2014福建，8，5分，★★☆，数学运算）在下列向量组中，可以把向量()3,2a =表示出来的是( )A.()()120,0,1,2e e ==B.()()121,2,5,2e e =-=-C.()()123,5,6,10e e ==D.()()122,3,2,3e e =-=-8.(2015北京，13,5分，★★☆,直观想象）在ABC ∆中，点,M N 满足2,,AM MC BN x AB y AC ==+则_____,_____.x y ==参考答案三年模拟练1.答案：B解析：由向量的加法运算得，23.a a a +=2．答案：A解析：对于A,0.00,a =≠故A 错误；对于B ，当,m n R ∈时，()(),m na mn a ⋅=⋅故B 正确；对于C ，因为,AB BA 长度相等，方向相反,则,AB BA =故C 正确；对于D,当,m n R ∈时，(),m n a m a n a +⋅=⋅+⋅故D 正确.3.答案：A解析：由题意可得，()1282,2,216,1,2a b x x a b x x ⎛⎫-=--+=++ ⎪⎝⎭因为2a b -与2a b +共线，所以()()()18-21216 4.2x x x x x ⎛⎫+=-+⇒= ⎪⎝⎭4.答案：B解析：A 选项中，零向量与任意向量都共线，故错误;B 选项中，不存在实数λ，使得12,e e λ=故两向量不共线，故正确；C 选项中，212e e =，两向量共线，故错误；D 选项中124,e e =两向量共线，故错误.5答案：C解析：O 是正ABC ∆的中心，延长CO 交AB 与D .则()()221112,332333CO CD CA CB AC AB AC AB AC ⎡⎤==+=-+-=-⎢⎥⎣⎦即121=,.332λλμμ=-∴=-，五年高考练1.答案：A解析：()()()()()2,4,1,1,2221,2415,7,a b a b ==-∴-=⨯--⨯-=故选A.2.答案：A解析：本题考查向量的运算.以C 点为坐标原点，以CB CD 、所在的直线为x 轴、y 轴建立直角坐标系，则()()()2,1,2,0,0,1.A B D 点P 在以C 为圆心且与BD 相切的圆上，∴可设cos ,sin .55P θθ⎫ ⎪⎝⎭则()()()()0,1,2,0,,sin 1,5cos 1,2sin cos 2sin ,555AB AD AP AB AD λμλθμθλμθθθϕ=-=-=+∴=-+=-+∴+=--=-+其中()max 1tan , 3.2ϕλμ=∴+=3.答案：见解析解析：由题意得()24,2,a b +=因为()()1,,//2,c c a b λ=+所以420,λ-=解得1=.2λ4.答案:见解析解析：()()()2,6,1,,//,2610, 3.a b a b λλλ==-∴-⨯-=∴=- 5.答案：见解析解析：,a b 不平行，a b λ+与2a b +平行，()2,,a b t a b t R λ∴+=+∈即,22,12,t a b ta tb t λλ=⎧+=+∴⎨=⎩解得1=21.2t λ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 6.答案：A解析：E是AD的中点，11,, 22AE AD EB EA AB AD AB∴=-∴=+=-+又D 为BC的中点，()1,2AD AB AC∴=+因此()131,444EB AB AC AB AB AC=-++=-故选A.7.答案：B解析：设1122,a k e k e=+A选项，()()22223,32=,2,22,kk kk=⎧∴⎨=⎩，无解.B选项，()()1212121253,32=5,22,222,k kk k k kk k-+=⎧-+-∴⎨-=⎩，解得122,1.kk=⎧⎨=⎩故B中的12,e e可把a表示出来.同理，C、D选项同A选项，无解.8.答案：见解析解析：由2AM MC=知M为AC上靠近C的三等分点，由BN NC=知N为BC的中点，作出草图如下：则有()1,2AN AB AC=+所以()1211,2326MN AN AM AB AC AC AB AC=-=+-=-又因为,MN x AB y AC=+所以11,.26x y==-。

高中数学必修四知识讲解,巩固练习(复习补习,期末复习资料)：24【提高】向量的线性运算

【提高】向量的线性运算平面向量的线性运算【学习目标】1.能熟练运用三角形法则和平行四边形法则，作出几个向量的和、差向量.2．能结合图形进行向量的计算．3．能准确表达向量加法的交换律和结合律，并能熟练地进行向量计算．4．理解实数与向量的积的意义，会利用实数与向量的积的运算律进行计算．5．掌握向量共线的条件．【要点梳理】要点一：向量加法的三角形法则与平行四边形法则1.向量加法的概念及三角形法则已知向量,a b ，在平面内任取一点A ，作,AB a BC b ==，再作向量AC ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a b +，即a b AB BC AC +=+=．如图本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则．2．向量加法的平行四边形法则已知两个不共线向量,a b ，作,A B a A D b ==，则,,A B D 三点不共线，以,AB AD 为邻边作平行四边形ABCD ，则对角线AC a b =+．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．求两个向量和的运算，叫做向量的加法．对于零向量与任一向量a ，我们规定00a a a +=+=．要点诠释：两个向量的和与差仍是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点.要点二：向量求和的多边形法则及加法运算律1.向量求和的多边形法则的概念已知n 个向量，依次把这n 个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第n 个向量的终点为终点的向量叫做这n 个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则． 112231n n n A A A A A A A A -=++⋅⋅⋅+特别地，当1A 与n A 重合，即一个图形为封闭图形时，有1223110n n n A A A A A A A A -++⋅⋅⋅++=2．向量加法的运算律（1）交换律：a b b a +=+；（2）结合律：()()a b c a b c ++=++要点三：向量的三角形不等式由向量的三角形法则，可以得到(1)当,a b 不共线时，||||||a b a b +<+；(2)当,a b 同向且共线时，,,a b a b +同向，则||||||a b a b +=+；(3) 当,a b 反向且共线时，若||||a b >，则a b a +与同向，||||||a b a b +=-；若||||ab <，则a b b +与同向，||||||a b b a +=-．要点四：向量的减法1．向量的减法（1）如果b x a +=，则向量x 叫做a 与b 的差，记作a b -，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．此定义是向量加法的逆运算给出的．相反向量：与向量a 方向相反且等长的向量叫做a 的相反向量．（2）向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差，即()a b a b -=+-．求两个向量差的运算，叫做向量的减法，此定义是利用相反向量给出的，其实质就是把向量减法化为向量加法．要点诠释：（1）两种方法给出的定义其实质是一样的．（2）对于相反向量有()0a a +-=；若a ，b 互为相反向量，则,0a b a b =-+=．（3）两个向量的差仍是一个向量．2．向量减法的作图方法（1）已知向量a ，b ，作,OA a OB b ==，则BA a b =-=OA OB -,即向量BA 等于终点向量（OA ）减去起点向量（OB ）．利用此方法作图时，把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点的，被减向量的终点为终点的向量．（2）利用相反向量作图，通过向量加法的平行四边形法则作出a b -．作,,OA a OB b AC b ===-，则()OC a b =+-，如图．由图可知，一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量．要点五：数乘向量1.向量数乘的定义实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：a λ(1)||||||a a λλ=；(2)①当0>λ时，a λ的方向与a的方向相同； ②当0<λ时.a λ的方向与a 的方向相反； ③当0=λ时，0 =a λ.2．向量数乘的几何意义由实数与向量积的定义知，实数与向量的积a λ的几何意义是：a λ可以由a 同向或反向伸缩得到．当||1λ>时，表示向量a 的有向线段在原方向（0λ>）或反方向（0λ<）上伸长为原来的||λ倍得到a λ；当0||1λ<<时，表示向量a 的有向线段在原方向（0λ>）或反方向（0λ<）上缩短为原来的||λ倍得到a λ；当1λ=时，a λ=a ；当1λ=-时，a λ=-a ，与a 互为相反向量；当0λ=时，aλ=0．实数与向量的积得几何意义也是求作向量aλ的作法．3.向量数乘的运算律设λμ、为实数结合律：()()a a λμλμ=；分配律：a a a μλμλ+=+)(，b a b a λλλ+=+)(要点六：向量共线的条件1．向量共线的条件（1）当向量0a =时，a 与任一向量b 共线．（2）当向量0a ≠时，对于向量b ．如果有一个实数λ，使b a λ=，那么由实数与向量的积的定义知b 与a 共线．反之，已知向量b 与a （0a ≠）共线且向量b 的长度是向量a 的长度的λ倍，即||||b a λ=，那么当b 与a 同向时，b a λ=；当b 与a 反向时，b a λ=-．2．向量共线的判定定理a 是一个非零向量，若存在一个实数λ，使b a λ=，则向量b 与非零向量a 共线．3．向量共线的性质定理若向量b 与非零向量a 共线，则存在一个实数λ，使b a λ=．要点诠释：（1）两个向量定理中向量a均为非零向量，即两定理均不包括0与0共线的情况；（2）0a ≠是必要条件，否则0a =，0b ≠时，虽然b 与a 共线但不存在λ使b a λ=；（3）有且只有一个实数λ，使b a λ=．（4）//(0)a b a b b λ⇔=≠是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一.【典型例题】类型一：向量的加法运算例1．如图所示，已知三个向量a 、b 、c ，试用三角形法则和平行四边形法则分别作向量a +b +c ．【解析】利用三角形法则作a +b +c ，如图1所示，作=OA a ，以A 为起点，作=AB b ，再以B 为起点，作=BC c ，则=+=++=++OC OB BC OA AB BC a b c ．利用平行四边形法则作a +b +c ，如图2所示，作=OA a ，=OB b ，=OC c ，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OADB ，则=+OD a b ，再以OD 、OC 为邻边作平行四边形ODEC ，则=+=++OE OD OC a b c ．【总结升华】题中，要求作三个向量的和，首先求作两个向量的和，因为这两个向量的和仍为一个向量，然后求这个向量与另一个向量的和，方法是多次使用三角形法则或平行四边形法则．举一反三：【变式1】已知任意四边形ABCD ，E 为AD 的中点，F 为BC 的中点，求证：EF EF AB DC +=+．【证明】如图所示，在四边形CDEF 中，0EF FC CD DE +++=，所以EF FC CD DE CF DC ED =---=++．在四边形ABFE 中，0EF FB BA AE +++=，所以EF BF AB EA =++．所以(E F +=．因为E 、F 分别是AD 、BC 的中点，所以0ED EA +=，0CF BF +=．所以EF EF AB DC +=+．【总结升华】本题主要应用了封闭图形中所有向量依次相加之和为零向量的知识．类型二：向量的减法运算例2．（1）在平面内任画两个非零向量a 、b ，求作a －b ；（2）如图，已知不共线的两个非零向量a 、b ，求作向量a ―b ，b ―a ．【解析】（1）①当a 、b 共线时，若a 、b 同向，如下图甲．任取一点A ，作=A B a ，=-BC b ，则=-AC a b ．若a 、b 反向，如上图乙．任取一点，作=AB a ，=-BC b ，则()=-=+-AC a b a b ． ②当a 、b 不共线时，如下图（左）．在平面内任取一点O ，作=OA a ，=OB b ，则． ()=+=+-=-=-BA BO OA OA OB OA OB a b ．（2）作=OA a ，=OB b ，则=-BA a b ，=-AB b a ，如图（右）．【总结升华】（1）题中，需要根据不同的情况分别求解．紧扣向量减法的定义是解决问题的关键．（2）题中，求两个向量的加法、减法要注意三角形法则和平行四形法测的应用，求两个向量的减法可以转化为向量的加法来进行，也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则两向量的差就是连接两向量的终点，且指向被减向量的终点．举一反三：【变式1】O 为正六边形ABCDEF 的中心，设OA a =,OB b =，则DE 等于（）．（Ａ）a b + （Ｂ）a b - （Ｃ）b a - （Ｄ）a b --【答案】Ｂ【变式2】化简 ()()AC DB AB DC +-+【解析】原式=()()0AC AB DB DC BC CB -+-=+=．类型三：与向量的模有关的问题例3．（1）已知a 、b 、c 的模分别为1、2、3，求|a +b +c |的最大值；（2）如图所示，已知矩形ABCD 中，||43AD =设=A B a ，=BC b ，=BD c ，试求|a +b +c |的大小．【思路点拨】（1）利用向量的三角形不等式求解；（2）构造平行四边形求向量模的长度．【解析】（1）∵|a +b +c |≤|a |+|b |+|c |=1+2+3=6，∴|a +b +c |的最大值为6．（2）过点D 作AC 的平行线，交BC 的延长线于E ，如图所示．∵DE ∥AC ，AD ∥BE ，∴四边形ADEC 为平行四边形， ∴DE AC =，CE AD =，于是2++=++=+=+==+=a b c AB BC BD AC BD DE BD BE AD AD AD ， ∴||2||83++==a b c AD ．【总结升华】求若干个向量的和的模（或最值）问题通常按下列方法进行：寻找或构造平行四边形——借助已知长度的向量表示待求模的向量来求模（或利用向量的和的模的性质）．举一反三：【变式1】已知非零向量a ，b 满足||71=+a ，||71=-b ，且|a －b |=4，求|a +b |的值．【解析】如图，=OA a ，=OB b ，则||=-BA a b ．以OA 与OB 为邻边作平行四边形OACB ，则||||=+OC a b ．由于2221)1)4+=．故222||||||OA OB BA +=，所以△OAB 是∠AOB 为90°的直角三角形，从而OA ⊥OB ，所以OACB 是矩形．根据矩形的对角线相等有||||4OC BA ==，即|a +b |=4．类型四：向量的数乘运算例4．（2018 安徽合肥月考）计算下列各式：（1）3(2)2(43)a b a b ---；（2）113(43)(3)322a b a b b +--+；（3）2(34)3(23)a b c a b c -+-+-．【答案】（1）23a b -+；（2）136a b -+；（3）1111b c -+．【解析】（1）3(2)2(43)638623a b a b a b a b a b ---=--+=-+；（2）11343131(43)(3)332232226a b a b b a b a b b a b +--+=+-++=-+；（3）2(34)3(23)6826391111a b c a b c a b c a b c b c -+-+-=-+--+=-+．【总结升华】数乘向量与数乘数不同，前者结果是一个向量，后者结果是一个数，λ＞0时，λa 与a 同向；λ＜0时，λa 与a 反向；λ=0时，λa =0；故λa 与a 一定共线．应用实数与向量的积的运算律时，应联想数与数乘积运算的有关知识，加深对数乘向量运算律的理解．举一反三：【变式1】计算：（1）6(3a ―2b )+9(―2a +b )；（2）127137(32)236276⎡⎤⎡⎤⎛⎫+---++ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦a b a b a b a ；（3）6(a ―b +c )―4(a ―2b +c )―2(―2a +c )．【解析】（1）原式=18a ―12b ―18a +9b =―3b ．（2）127137(32)236276⎡⎤⎡⎤⎛⎫+---++ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦a b a b a b a 12711332236227⎛⎫⎛⎫=-+--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a a b b a a b17732367⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b a b 717106262a b a b =+--=．（3）原式=6a ―6b +6c ―4a +8b ―4c +4a ―2c =(6a ―4a +4a )+(8b ―6b )+(6c ―4c ―2c ) =6a +2b ．例5.（2017春山西运城期中）在边长为1的正△ABC 中，2BC BD =，3AC EC =，AD 与BE 相交于点F ．（1）求AD BE ⋅的值；（2）若AF FD λ=，求实数λ的值．【思路点拨】（1）通过题意可得AD ⊥BC ，设AB a =，AC b =，利用23AE AC =，代入计算即可；（2）通过计算可得22(1)2(1)BF BA AF AB AC λλλλ+=+=-+++，记BF BE μ=，通过计算可得2()3BF AB AE AB AC μμμ=-+=-+，根据平面向量的基本定量计算即得结论．【解析】（1）由题意，D 为BC 的中点，而△ABC 为正三角形，∴AD ⊥BC ，设AB a =，AC b =，又3AC EC =，则1()()2AD BE AB AC AE AB ⋅=+⋅- 12()()23a b b a =+⋅-22111326b a a b =--⋅14=-；（2）根据题意：1BF BA AF AB AD λλ=+=-++ ()2(1)AB AB AC λλ=-+++22(1)2(1)AB AC λλλλ+=-+++记BF BE μ=，则2()3BF AB AE AB AC μμμ=-+=-+，根据平面向量的基本定理可得：22(1)22(1)3λμλλμλ+⎧-=-⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩ 解得：λ=4．【总结升华】用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量加、减法、数乘向量外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解，既充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系，运用加法三角形、平行四边形法则，运用减法三角形法则，充分利用三角形的中位线，相似三角形对应边成比例的平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.举一反三：【变式1】如图，已知ABC ∆三边中点为D E F 、、，求证：0AD BE CF ++=.【解析】AD BE CF ++=3()2AG BG CG ++ =3()2GA GB CG ⎡⎤-++⎣⎦=322GF CG ⎡⎤-+⎣⎦ =302⋅ =【变式2】如图，四边形OADB 是以向量=OA a ，=OB b 为邻边的平行四边形，又13=BM BC ，13=CN CD ，试用向量a 、b 表示OM ，ON ，MN ．【解析】 ∵1111()()3666===-=-BM BC BA OA OB a b ， ∴11156666=+=+-=+OM OB BM b a b a b ， ∵1136CN CD OD ==， ∴11222()()26333=+=+==+=+ON OC CN OD OD OD OA OB a b ，21511()36626=-=+--=-MN ON OM a b a b a b ．类型五：共线向量与三点共线问题例6.设两非零向量1e 和2e 不共线，(1)如果121212,28,3(),AB e e BC e e CD e e =+=+=-求证D B A ,,三点共线.(2)试确定实数k ，使12ke e +和12e ke +共线.【思路点拨】要证明D B A ,,三点共线，须证存在λ使12()BD e e λ=+即可.而若12ke e +和12e ke +共线，则一定存在λ，使1212()ke e e ke λ+=+.【解析】(1)证明 12121212,283()5()5,AB e e BD BC CD e e e e e e AB =+=+=++-=+=,A B B D ∴共线，又有公共点B ，∴D B A ,,三点共线.(2)解 ∵12ke e + 和12e ke + 共线，∴存在λ，使1212()ke e e ke λ+=+，则12()(1),k e k e λλ-=-由于1e 和2e 不共线，只能有⎩⎨⎧=-=-010k k λλ 则1k =±.【总结升华】本题充分地运用了向量共线的充要条件，即,a b 共线⇔存在λ使b a λ=(正用与逆用)举一反三：【变式1】（2017秋安徽滁州月考）（1）设两个非零向量1e ，2e 不共线，如果1223AB e e =+，12623BC e e =+，1248CD e e =-，求证：A ，B ，D 三点共线．（2）设1e ，2e 是两个不共线的向量，已知122AB e ke =+，123CB e e =+，122CD e e =-，若A ，B ，D 三点共线，求k 的值．【答案】（1）略；（2）－8【解析】（1）证明：∵121210155(23)5BD BC CD e e e e AB =+=+=+=， ∴BD 与AB 共线，又它们有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线；（2）121212(2)(3)4BD CD CB e e e e e e =-=--+=-，∵A 、B 、D 三点共线，∴AB 与BD 共线，则AB BD λ=，即12122(4)e ke e e λ+=-，所以24k λλ=⎧⎨=-⎩，解得k =－8．类型六：向量的综合应用例7．已知A 、B 、C 是不共线的三点，O 是△ABC 内一点，若0OA OB OC ++=，证明O 是△ABC 的重心．【思路点拨】要证明O 是△ABC 的重心，即证O 是△ABC 各边中线的交点，可联系重心的性质证之．【证明】 ∵0OA OB OC ++=，∴()OA OB OC =-+，即O B O C +是与OA 方向相反且长度相等的向量．如图所示，以OB 、OC 为相邻两边作OBDC ，则OD OB OC =+，∴OD OA =-．在OBDC 中，设BC 与OD 相交于E ，则BE EC =，OE ED =， ∴AE 是△ABC 的BC 边上的中线，且||2||OA OE =．根据平面几何知识，知O 是△ABC 的重心．【总结升华】若AB CD λ=且直线AB 与直线CD 不重合，则AB ∥CD ．若AB CD =且直线AB 与直线CD 不重合，则以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形．举一反三：【变式1】如图，已知任意平面四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，求证：1()2EF AB DC =+．证明：取以点A 为起点的向量，应用三角形法则求，如图．∵E 是AD 的中点，∴12AE AD =．∵F 是BC 的中点，∴1()2AF AB AC =+，又∵AC AD DC =+， ∴1()2AF AB AD DC =++11()22AB DC AD =++． ∴1111()()2222EF AF AE AB DC AD AD AB DC =-=++-=+．【总结升华】掌握向量的线性运算是关键，利用封闭图形的依次各向量之和为零向量进行变形而得到．例8． 2009年8月份，南方遭遇暴雨袭击，在某小镇的一次营救中，小汽艇在静水中的速度是12 km / h ，水流的速度是6 km / h ．如果小汽艇向着垂直河岸的方向行驶，则小汽艇在河水中的实际运动速度是多大？方向怎样？此时，必须到河正对岸去营救一人，要使小汽艇沿垂直方向到达对岸，船头方向该怎样？【解析】如图（1）所示，AB 为汽艇在静水中的速度，AD 为水流速度，由平行四边形法则可知，小汽艇在实际速度为AC AB AD =+，在Rt △ADC 中，||6AD =，||||12DC AB ==，||13.4AC =≈，∠CAD ≈63°43′．即小汽艇在河水中的速度大小约为13.4 km / h ，方向与水流速度的夹角约为63°43′．如图（2）所示，欲使小汽艇垂直河岸方向到达对岸码头，设小汽艇实际速度为AC ，则AC AB BC =+．在Rt △ABC 中，||12AB =，||6BC =，从而∠BAC=30°，∠BAE=60°，即小汽艇应沿与河岸成60°角的方向逆水行驶，才能沿垂直河岸方向到达对岸．【总结升华】用向量加法解决简单的实际问题其步骤为：先用向量表示相关物理量（如速度等），再进行向量运算，然后归结到实际问题去解决．举一反三：【变式1】在湘江的某渡口处，江水以12.5 km / h 的速度向北流去，渡船的速度是25 km / h ，现渡船要垂直地渡过湘江，问：其航向应该怎样确定？【解析】设AB 表示水流速度，AD 表示船的速度，AC 表示渡船实际垂直过江的速度，现以AB 为一边，以AC 为对角线作ABCD ，则AD 就是船的速度（如图）．在Rt △ACD 中，∠ACD=90°，||||12.5DC AB ==，||25AD =，所以∠CAD=30°．故其航向应该调整为东偏南30°．【巩固练习】1．下列等式不成立的是（）A ．a +0=aB ．a +b =b +aC ．0AB BA +=D ．AB BC AC +=2．若O E F ，，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )A.EF OF OE =+B.EF OF OE =-C.EF OF OE =-+D.EF OF OE =-- 3．化简AB BC DC +-等于（）A ．0B ．ADC ．CD D ．04．在矩形ABCD 中，||2AB =，||1BC =，则向量AB AD AC ++的长度等于（）A B ． C ． D ．5．已知P 是△ABC 所在平面内的一点，若CB PA PB λ=+，λ∈R ，则点P 一定在（）A ．△ABC 的内部B ．AC 边所在的直线上C ．AB 边所在的直线上D ．BC 边所在的直线上6．（2017春安徽宿松县期中）设a ，b 为不共线向量，2AB a b =+，4BC a b =--，53CD a b =--，则下列关系式中正确的是（）A ．AD BC =B ．2AD BC = C ．AD BC =- D ．2AD BC =-7．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、C ），则AP 等于（）A ．()AB AD λ+，(0,1)λ∈ B ．()AB BC λ+，0,2λ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭C ．()AB AD λ-(0,1)λ∈ D ．()AB BC λ-，0,2λ⎛∈ ⎝⎭8.若非零向量a 、b 满足｜a -b ｜=｜b ｜，则( )A.｜2b ｜＞｜a -2b ｜B.｜2b ｜＜｜a -2b ｜C.｜2a ｜＞｜2a -b ｜D.｜2a ｜＜｜2a -b ｜9．（2018 江苏江阴市模拟）在边长为1的正方形ABCD 中，设,,AB a BC b AC c ===，则||b a c --=________10．若1e ，2e 是两个不共线的向量，已知122AB e ke =+，123CB e e =+，122CD e e =-，若A ，B ，D 三点共线，则k =________．11．在矩形ABCD 中，O 为AC 、BD 的交点，若13BC e =，22DC e =，则AO =________．12．在ABCD 中，E 、F 分别在DC 和AB 上，且113DE DC =，1213AF AB =，则AE 与CF 的关系是____．13．（2018 甘肃模拟）在△ABC 中，D 为AC 的中点，3BC BE =，BD 与AE 交于点F ，若AF AE λ=，则实数λ的值为________．14．如图，已知向量AB a =，AD b =，∠DAB=120°，且|a |=|b |=3，求|a +b |和|a －b |．15．（2017 广东模拟）设1e ，2e 是两个不共线的向量，122AB e ke =+，1212+32CB e e CD e e ==-，，若A ，B ，D 三点共线，求k 的值．16．已知平面中不同的四点,,,A B C D 和非零向量,a b ，且2A B a b =+，56,72CB a b CD a b =-=-．（1）证明：,,A B D 三点共线；（2）若a 与b 共线，证明,,,A B C D 四点共线．【答案与解析】C AO B 1．【答案】C【解析】 AB BA +=0，而不是数0．2. 【答案】B【解析】向量的加、减法法则.3．【答案】B【解析】AB BC DC AC DC AD +-=+=．4．【答案】B【解析】A B A D A B B C +=+=．2||415AC =+=，∴||5AC =，∴||25AB AD AC ++=5．【答案】 B【解析】易得CB PB PA λ-=，即CP PA λ=，从而//CP PA ，又CP ，PA 有一个公共点P ，所以C 、P 、A 三点共线，又R λ∈，所以点P 在直线AC 上．6．【答案】B【解析】由条件可得822AD AB BC CD a b BC =++=--=，则关系式中正确的是2AD BC =，故选B ．7．【答案】A 【解析】由向量加法运算法则可知，AC AB AD =+及点P 在对角线AC 上，故AP 与AC 同向，且||||AP AC <，故()AP AB AD λ=+，λ∈（0，1）．8. 【答案】A 【解析】若两向量共线，则由于a b ，　是非零向量，且a b b -=，则必有2a b =；代入可知只有A 、C 满足；若两向量不共线，注意到向量模的几何意义，故可以构造如图所示的三角形，使其满足OB=AB=BC ；令OA a =， OB b =，则BA a b =-，∴2CA a b =-且a b b -=；又BA+BC>AC ∴2a b b a b -+>- ∴22b a b >-，选A.9．【答案】2【解析】∵边长为1的正方形ABCD 中，设,,AB a BC b AC c ===，∴||1,||2,a c a b c ==+=．∴|||||2|2||2b a c b a a b a a --=---=-==．故答案为2．10．【答案】―8【解析】121212(2)(3)4BD CD CB e e e e e e =-=--+=-因为A ，B ，D 三点共线，所以AB k BD =，已知122AB e ke =+，124BD e e =-所以k =―8，故答案为：―8．11．【答案】121(32)2e e +【解析】121111()()(32)2222AO AC AD DC BC DC e e ==+=+=+．12．【答案】CF AE =-【解析】设AD a =，AB b =，∵113DE DC =，1213AF AB =，∴113AE AD DE a b =+=+，1()13CF CB BF a b AE =+=-+=-．13．【答案】34【解析】作EG ∥AC 交BD 于G ，∵13BE BC =，∴13EGDC =，∵D 为AC 的中点， ∴13EGAD =，∴13EF FA =，∴34AF AE =．∴实数λ的值为34，故答案为：34．14．【解析】以AB 、AD 为邻作平行四边形ABCD ，由于||||3AD AB ==，故此四边形为菱形．由向量的加减法知，AC a b =+，DB a b =-，故||||AC a b =+，||||DB a b =-，因为∠DAB=120°，所以∠DAC=60°，所以△ADC 是正三角形，则||3AC =，由于菱形对角线互相垂直平分，所以△AOD 是直角三角形，||||sin 60322OD AD =︒=⨯=，即||33DB =． 15．【解析】∵1212122(3)4BD CD CB e e e e e e =-=--+=-若A ，B ，D 三点共线，则AB 与BD 共线，∴设AB BD λ=即121224e ke e e λλ+=-由于1e 与2e 不共线可得：112e e λ=224ke e λ=-故λ=2，k =－816．（1）证明：24BD CD CB a b =-=+，2BD AB ∴=,//AB BD ∴，因为二者均经过B ，所以A 、B 、D 三点共线．（2）证明：a 与b 共线，设a b λ=，∴(24)BD b λ=+，(72)CD b λ=-． 0CD ≠，0BD ≠，720,240.λλ∴-≠+≠ 24,BD CD λ+∴= //BD CD ∴,所以B 、C 、D 三点共线，又A 、B 、D 三点共线所以A 、B 、C 、D 四点共线．。

人教A版高中数学必修四最新专题第七章向量的线性运算文数人教课件

②若a＝－b，则|a|＝|b|； ③若A→B＝D→C，则 ABCD 为平行四边形；
④在▱ABCD 中，一定有A→B＝D→C； ⑤若m＝n，n＝p，则m＝p；
⑥若非零向量a，b，c满足a∥b，b∥c，则a∥c.
其中不正确的个数是
()
A．2
B．3
C．4
D．5
解析：①③不正确，②④⑤⑥正确．①中由两个向量相
⑤A→B∥C→D，则直线 AB∥直线 CD；
→
⑥与A→B共线的单位向量为
AB →
.
|AB|
其中不正确的个数是
()
A．2
B．3
C．4
D．5
解析：①③正确，②④⑤⑥不正确，②中A→B＋B→A＝
0 而不是 0；④中向量相等只需方向相同、大小相等，位
置可以平移；⑤中可以 A、B、C、D 四点共线；⑥与A→B
(2)解：A→C＝A→B＋B→C＝3e1－2e2. 因为 A、C、D 三点共线，所以A→C与C→D共线．从而存在 λ 使得A→C＝λC→D，所以 3e1－2e2＝λ(2e1－ke2)．
得－3＝2＝2λ，－λk，所以kλ＝＝3243，.
考点四向量的应用【案例 4】已知 O 是平面上一定点，A、B、C
运算叫做a
与b的差
运算律
a－b＝ a＋(－b)
(1)|λa|＝|λ||a|
求实数λ与 (2)当λ＞0时，λa与a的 λ(μa)＝(λμ)a 数乘向量a的积方向_相__同_；当λ＜0 (λ＋μ)a＝_λ_a_＋__μ_a
的运算时，λa与b方向_相__反_， λ(a＋b)＝_λ_a_＋__λ_b 当λ＝0时，λa＝_0_.
＝λA→P0(λ≥0)是以
AP0同向的向量，A→P＝O→P－O→A＝λA→P0(λ≥0)，故 P 的轨迹是∠BAC 的平分线(含 A)．