三角函数基础题型归类(一)

2 - α , 例 1. （1）求值： cos600 ；

（2）化简： cos 2(

π

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三角函数基础题型归类（一）

1、运用诱导公式化简与求值：

要求：掌握 2k π + α , π + α , -α , π - α ,

π

π

2 + α 等诱导公式. 记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.

π －α )+cos 2( +α )

4

4

1 3π

练 1 （1）若 cos(π +α )= - ，

2 2

<α <2π , 则 sin(2π －α )等于 . （2）若 f (cos x) = cos3 x ，那么 f (sin30 ︒) 的值为 .

17

（3）sin( - π )的值为 .

6

(4)

2、运用同角关系化简与求值：

sin α 要求：掌握同角二式（ s in 2 α + cos 2 α = 1 , tan α =

），并能灵活运用. 方法：平方法、切弦互化.

cos α

例 2 （1）化简 sin x 1 + sin x 1

- ； （2）已知 sinx+cosx = , 且 0

tan x - tan x s in x cos x 5

1 π π

练 2 （1）已知 sin α ·cos α ＝ ，且 ＜α ＜ ，则 cos α －sin α 的值为

.

8 4 2 1 + 2sin α cos α

（2）已知 tan α =3, 计算：（i ） ； （ii ）sin 2α -3sin α cos α +4cos 2α .

sin 2 α - cos 2 α

3、运用和差角、倍角公式化简与求值：

要求：掌握和差角公式、倍角公式，能够顺用、逆用、活用，掌握基本方法（平方、1 的妙用、变角、切 弦互化、方程思想、整体思想）.

π

例 3 （1）已知 tan （ +α ）=2，求 sin2α +sin 2α +cos2α 的值.

4

π 3π π

3 3π 5

（2）已知 0 < β < < α < , cos( - α ) = ,sin( + β ) = ，求 cos(2α + 2β ) 的值

4 4 4

5 4 13

（6）已知 cos α + cos β = , sin α + sin β = ，则 cos (α -β ) 的值为

.

（10）已知 sin （α +β ）= ，sin （α －β ）= ，求 的值.

12 时取得最大值4。 （3）若（ α + ）= ，求 s in α.

练 3 （1）若 sin （

π 2 精品资料 欢迎下载 3

－α ）＝ ，则 cos2α ＝ .

5

π

π

π

（2）已知 tan( - θ

) + tan( + θ ) = 4, 且 -π < θ

< - , 则 sin θ =

.

4 4 2 2 （3）如果 tan(α + β ) = ,tan( β -

5 π 1 π

) = ，那么 tan(α + )= .

4 4 4 （4）如果 cos2 x = 3 5

，那么 sin 4x ＋cos 4x = .

1 1

（5）已知α ,β ∈（0,π ）且 tan(α - β ) = , tan β = - ，则 2α - β 的值为

.

2 7

3 4

5 5

(7)

(8)

(9)

2 1 tan α

3 5 tan β

（11）（本小题满分 l4 分）

已知函数f (x ) = A s in (3x + ϕ )( A ＞0，x ∈ (-∞, +∞ )，＜ϕ＜π），在x =

（1）求f (x)的最小周期 （2）求f (x)的解析式

2 π 12

f 3 12 5

π

（12）(本小题满分12分）已知向量 a = (sin θ , -2)与b = (1,cos θ ) 互相垂直，其中θ ∈ (0, π

2 ) ．

（1）求 sin θ和cos θ 的值；

（2）若 sin(θ - ϕ ) = 10 π

,0 < ϕ < ，求 cos ϕ 的值．

10 2

（13）(12 分) 已知函数 f ( x ) = 2 s in x - ⎪ ， x ∈ R . (1)求 f ⎪ 的值；

π ⎫ 6 ⎭ α , β ∈ ⎡⎢0, ⎤⎥ ， f ⎛ 3α + ⎪ = ， f (3β + 2π ) = ，求 cos (α + β )的值。 （15）△ABC 中，已知 sinA = 3 .

⎛ 1 ⎛ 5π ⎫

⎝ 3 ⎝ 4 ⎭

（2）设

π ⎣ 2 ⎦ ⎝

π ⎫ 10 6 2 ⎭ 13 5

（14）若 f(sinx)＝3－cos2x ，则 f(cosx)＝

（A ）3－cos2x

（B ）3－sin2x （C ）3＋cos2x （D ）3＋sin2x

5

, cosB = , 则 sin(A +B)的值为

.

5 13

4、结合三角变换研究三角函数性质：

要求：熟练进行三角变换，将 a s in x + b c os x 化为一个三角函数后研究性质. 方法：降次、化一、整体. 例 4 已知函数 f ( x ) = 2sin 2 x + 2sin x cos x - 1, x ∈ R. .

（i ）求 f ( x ) 的最小正周期及 f ( x ) 取得最小值时 x 的集合；

（ii ）在平面直角坐标系中画出函数 f ( x ) 在一个周期内的图象； （iii ）说明 f ( x ) 的图象如何由 y = sin x 变换得到；（iv ）求 f ( x ) 的单调区间、对称轴方程.

练 4 （1）若函数 y=2sinx ＋ a cosx ＋4 的最小值为 1，则 a = .

1 - tan

2 2 x x x

（2）函数 的最小正周期为 ；函数 y = sin + sin(60 - ) 的最大值是 .

1 + tan

2 2 x 2 2

5

（3）已知函数 f ( x ) = 5sin x ⋅ cos x - 5 3cos 2 x + 3 ( x ∈ R) . 求 f ( x ) 的最小正周期、单调区间、图象的

2

对称轴，对称中心.

5、运用单位圆及三角函数线：

要求：掌握三角函数线，利用它解简单的三角方程与三角不等式 方法：数形结合.

例 5 （1）已知

π

< θ <

4

π

2

，则 sin θ 、 cos θ 、 tan θ 的大小顺序为 .

（2）函数 f ( x ) = log (sin x - cos x) 的定义域为

.

1 2

1

练 5 （1）若 cos α > - , 则角α的取值集合为____________.

2

（2）在区间（0，2 π ）内，使 sinx

.