2013高三数学大一轮复习学案 圆锥曲线综合 板块三 切线问题

【例1】 抛物线2y x =上的点到直线24x y -=的最短距离是（ ）

A

B

C

D

【例2】 若曲线22y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则切线l 的方程为（ ）

A ．430x y ++=

B ．490x y +-=

C ．430x y -+=

D ．420x y --=

【例3】 与直线240x y -+=平行的抛物线2y x =的切线方程是 ；

【例4】 过点(01)P ，且与抛物线2

2y x =只有一个公共点的直线方程为

_______________________．

【例

5】 已知过定点A (2,0)的直线和抛物线2

14y x

=

有且只有一个交点，求满足条件的直线方

程．

【例6】 已知圆O ：222x y +=交x 轴于,A B 两点，曲线C 是以AB 为长轴，的

椭圆，其左焦点为F ．若P 是圆O 上一点，连结PF ，过原点O 作直线PF 的垂线交直线2x =-于点Q ．

⑴求椭圆C 的标准方程；

⑵若点P 的坐标为(1,1)，求证：直线PQ 与圆O 相切．

⑶试探究：当点P 在圆O 上运动时（不与,A B 重合），直线PQ 与圆O 是否保持相切的位置关系?若是，请证明；若不是，请说明理由．

典例分

板块三.切线问题

【例7】 如图，P 是抛物线C ：2

12y x

=

上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q ．

⑴若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程； ⑵若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ，与y 轴交于点T ，试求ST ST SP

SQ

+

的

取值范围．

【例8】 已知椭圆2212

2

:

1(0)y x C a b a

b

+

=>>的右顶点为(10)A ，，过1C 的焦点且垂直长轴的弦

长为1．

⑴求椭圆1C 的方程；

⑵设点P 在抛物线22:()C y x h h =+∈R 上，2C 在点P 处的切线与1C 交于点

M ，N ．当线段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等时，求h 的最小值．

【例10】 已知抛物线的焦点F 在y 轴上，抛物线上一点(,4)A a 到准线的距离是5，过点F 的

直线与抛物线交于,M N 两点，过,M N 两点分别作抛物线的切线，这两条切线的交

点为T ．

⑴求抛物线的标准方程；

⑵求FT MN ⋅

的值；

⑶求证：||FT 是||MF 和||NF

的等比中项．

值．

【例14】已知圆O：222

+=交x轴于,A B两点，曲线C是以AB为长轴，的x y

椭圆，其左焦点为F．若P是圆O上一点，连结PF，过原点O作直线PF的垂线交

直线2

x=-于点Q．

⑴求椭圆C的标准方程；

⑵若点P的坐标为(1,1)，求证：直线PQ与圆O相切．

⑶试探究：当点P在圆O上运动时（不与,A B重合），直线PQ与圆O是否

保持相切的位置关系?若是，请证明；若不是，请说明理由．

【例15】 如图，设抛物线方程为22(0)x py p =>，M 为 直线2y p =-上任意一点，过M 引抛

物线的切线，切点分别为A ，B ．

⑴ 求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列；

⑵ 已知当M 点的坐标为(22)p -，时，AB =，求此时抛物线的方程；

⑶ 是否存在点M ，使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛物线

2

2(0)x

py p =＞上，其中，点C 满足OC OA OB =+

（O 为坐标原点）．若存在，

求出所有适合题意的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．