高三文科数学几何专题答案

高三文科数学几何专题答案1.本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。

满分13分。

（Ⅰ）证明：连接BD ，MO ，在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC的中点，所以O 为BD 的中点，又M 为PD 的中点，所以PB//MO 。

因为P B ⊄平面ACM ，M O ⊂平面ACM ，所以PB//平面ACM 。

（Ⅱ）证明：因为45AD C ∠=︒，且AD=AC=1，所以90D AC ∠=︒，即AD AC ⊥，又PO ⊥平面ABCD ，A D ⊂平面ABCD ，所以,P O A D A C P O O⊥⋂=而，所以AD ⊥平面PAC 。

（Ⅲ）解：取DO 中点N ，连接MN ，AN ，因为M 为PD 的中点，所以MN//PO ，且11,2M N P O P O ==⊥由平面ABCD ，得M N ⊥平面ABCD ，所以M A N ∠是直线AM 与平面ABCD 所成的角，在R t D A O ∆中，11,2A D A O ==，所以52D O =，从而1524AN DO ==，2.证明：（Ⅰ）因为D ，E 分别为AP ，AC 的中点，所以DE//PC 。

又因为DE ⊄平面BCP ， 所以DE//平面BCP 。

（Ⅱ）因为D ，E ，F ，G 分别为 AP ，AC ，BC ，PB 的中点， 所以DE//PC//FG ，DG//AB//EF 。

所以四边形DEFG 为平行四边形， 又因为PC ⊥AB ， 所以DE ⊥DG ，所以四边形DEFG 为矩形。

（Ⅲ）存在点Q 满足条件，理由如下： 连接DF ，EG ，设Q 为EG 的中点由（Ⅱ）知，DF∩EG=Q ，且QD=QE=QF=QG=21EG .分别取PC ，AB 的中点M ，N ，连接ME ，EN ，NG ，MG ，MN 。

与（Ⅱ）同理，可证四边形MENG 为矩形，其对角线点为EG 的中点Q ， 且QM=QN=21EG ，所以Q 为满足条件的点.在145,tan 554M N Rt AN M M AN AN∆∠===中，即直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值为45.5DCABPMO高三文科数学几何专题答案3.解法一（I ）取AB 中点E ，连结DE ，则四边形BCDE 为矩形，DE=CB=2， 连结SE ，则, 3.SE A B SE ⊥=又SD=1，故222ED SE SD =+， 所以D SE ∠为直角。

…………3分由,,AB DE AB SE DE SE E ⊥⊥= ， 得AB ⊥平面SDE ，所以A B SD ⊥。

SD 与两条相交直线AB 、SE 都垂直。

所以SD ⊥平面SAB 。

…………6分（II ）由AB ⊥平面SDE 知，平面A B C D ⊥平面SED 。

作,SF DE ⊥垂足为F ，则SF ⊥平面ABCD ，3.2S D S E SF D E ⨯== 作FG BC ⊥，垂足为G ，则FG=DC=1。

连结SG ，则SG B C ⊥， 又,BC FG SG FG G ⊥= ，故B C ⊥平面SFG ，平面SBC ⊥平面SFG 。

…………9分作FH SG ⊥，H 为垂足，则FH ⊥平面SBC 。

37S F F GF H SG⨯==，即F 到平面SBC 的距离为21.7由于ED//BC ，所以ED//平面SBC ，E 到平面SBC 的距离d 也有21.7设AB 与平面SBC 所成的角为α， 则2121sin ,arcsin.77d EBαα===…………12分解法二：以C 为坐标原点，射线CD 为x 轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C —xyz 。

设D （1，0，0），则A （2，2，0）、B （0，2，0）。

又设(,,),0,0,0.S x y z x y z >>>则（I ）(2,2,),(,2,)AS x y z BS x y z =--=- ，(1,,)D S x y z =-，由||||AS BS =得222222(2)(2)(2),x y z x y z -+-+=+-+故x=1。

由22||11,D S y z =+=得又由222||2(2)4,BS x y z =+-+=得即2213410,,.22y z y y z +-+===故 …………3分于是133333(1,,),(1,,),(1,,)222222S AS BS =--=- ，13(0,,),0,0.22D S D S AS D S BS =⋅=⋅=故,,,DS AD DS BS AS BS S ⊥⊥= 又 所以SD ⊥平面SAB 。

（II ）设平面SBC 的法向量(,,)a m n p =，则,,0,0.a BS a C B a BS a C B ⊥⊥⋅=⋅= 又33(1,,),(0,2,0),22BS C B =-=故330,2220.m n p n ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩ 取p=2得(3,0,2),(2,0,0)a A B =-=-又。

21cos ,.7||||AB aAB a AB a ⋅==⋅故AB 与平面SBC 所成的角为21arcsin.74.（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=︒=， 由余弦定理得3BD AD =从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD（Ⅱ）如图，作DE ⊥PB ，垂足为E 。

已知PD ⊥底面ABCD ，则PD ⊥BC 。

由（Ⅰ）知BD ⊥AD ，又BC//AD ，所以BC ⊥BD 。

故BC ⊥平面PBD ，BC ⊥DE 。

则DE ⊥平面PBC 。

由题设知，PD=1，则BD=3，PB=2，根据BE·PB=PD·BD ，得DE=23，即棱锥D —PBC的高为.235.解：（I ）由条件知PDAQ 为直角梯形因为QA ⊥平面ABCD ，所以平面PDAQ ⊥平面ABCD ，交线为AD.又四边形ABCD 为正方形，DC ⊥AD ，所以DC ⊥平面PDAQ ，可得PQ ⊥DC.在直角梯形PDAQ 中可得DQ=PQ=22PD ，则PQ ⊥QD所以PQ ⊥平面DCQ. ………………6分 （II ）设AB=a .由题设知AQ 为棱锥Q —ABCD 的高，所以棱锥Q —ABCD 的体积311.3V a =由（I ）知PQ 为棱锥P —DCQ 的高，而PQ=2a ，△DCQ 的面积为222a ，所以棱锥P —DCQ 的体积为321.3V a =故棱锥Q —ABCD 的体积与棱锥P —DCQ 的体积的比值为1.…………12分6.【解析】18．（本小题满分12分） 解：（1）令(02),',2,PA x x A P PD x BP x =<<===-则 因为'A P P D ⊥，且平面'A PD ⊥平面PBCD ， 故'A P ⊥平面PBCD 。

所以3'111(2)(2)(4)366A PBCD V Sh x x x x x -==-+=-，令31()(4),6f x x x =- 由212'()(43)0,363f x x =-=得x=，当2(0,3),'()0,()3x f x f x ∈>时单调递增 当2(3,2),'()0,()3x f x f x ∈<时单调递减， 所以，当233x =时，()f x 取得最大值，即：当'A PBC D V -最大时，23.3PA =（2）设F 为'A B 的中点，连接PF ，FE ， 则有1//,//22E F B C P D B C ====1所以DE//PF ，又'A P PB = 所以'PF A B ⊥ ，故'.D E A B ⊥高三文科数学几何专题答案7.证法一因为1D D ⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ， 所以1D D BD ⊥，又因为AB=2AD ，60B A D ∠=︒， 在ABD ∆中，由余弦定理得22222cos 603BD AD AB AD AB AD =+-⋅︒=，所以222AD BD AB +=， 因此AD BD ⊥， 又1,AD D D D = 所以11.BD AD D A ⊥平面 又1A A ⊂平面ADD 1A 1， 故1.AA BD ⊥ 证法二：因为1D D ⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ， 所以1.BD D D ⊥取AB 的中点G ，连接DG ，在ABD ∆中，由AB=2AD 得AG=AD ， 又60B A D ∠=︒，所以A D G ∆为等边三角形。

因此GD=GB ， 故D BG G D B ∠=∠， 又60A G D ∠=︒ 1,D D ∠︒∠∠∠︒︒︒⊥= 所以GDB=30,故ADB=ADG+GDB=60+30=90,所以BD AD.又AD D所以B D ⊥平面ADD 1A 1， 又1A A ⊂平面ADD 1A 1， 故1.AA BD ⊥（II ）连接AC ，A 1C 1，设AC BD E = ，连接EA 1因为四边形ABCD 为平行四边形， 所以1.2E C A C =由棱台定义及AB=2AD=2A 1B 1知A 1C 1//EC 且A 1C 1=EC ，所以边四形A 1ECC 1为平行四边形， 因此CC 1//EA 1，又因为EA 1⊂平面A 1BD ，1C C ⊂平面A 1BD ， 所以CC 1//平面A 1BD 。

8.解（Ⅰ）∵折起前ＡＤ是ＢＣ边上的高，∴ 当Δ ＡＢＤ折起后，AD ⊥ＤＣ，AD ⊥ＤＢ， 又DB ⋂ＤＣ＝Ｄ， ∴ＡＤ⊥平面ＢＤＣ， ∵AD 平面平面ABD ．BDC.ABD ∴⊥平面平面（Ⅱ）由（Ⅰ）知，DA D B ⊥,D B D C ⊥,D C D A ⊥, DB=DA=DC=1，∴AB=BC=CA=2,从而1111,22D A M D B C D C A S S S ===⨯⨯=1322sin 6022ABC S =⨯⨯⨯︒=表面积：13333.222S +=⨯+=9.．解：⑴ 连1111,,,BD AB B D AD ，∵ 1111//,B D B D A B A D =， ∴ 异面直线B D 与1A B 所成角为11AB D ∠，记11AB D θ∠=，222111111110cos 210AB B D AD AB B D θ+-==⨯∴ 异面直线B D 与1A B 所成角为10arccos10。

⑵ 连11,,AC C B C D ，则所求四面体的体积11111111242433A B C D A B C D C B C D V V V --=-⨯=-⨯=。