18.2 特殊的平行四边形 重难点、易错题汇编讲义

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特殊平行四边形重点题型

特殊平行四边形重点题型

特殊平行四边形重点题型一、题型概述特殊平行四边形是初中数学中经常出现的一个重要概念,它具有特殊的性质,常用于解决几何问题。

本文将介绍特殊平行四边形的定义、性质以及解题方法,并通过一些典型题目进行分析和讲解。

二、特殊平行四边形的定义特殊平行四边形是指具有特殊性质的平行四边形,包括矩形、正方形、菱形和长方形。

下面将逐个介绍这些特殊平行四边形的定义。

1.矩形矩形是一种特殊的平行四边形,具有以下特点:-所有内角均为直角;-两对相对边长度相等;-对角线相等且相互平分。

2.正方形正方形是一种特殊的矩形,具有以下特点:-所有内角均为直角;-所有边长相等;-对角线相等且相互平分。

3.菱形菱形是一种特殊的平行四边形,具有以下特点:-所有边长相等;-对角线相等且相互平分。

4.长方形长方形是一种特殊的矩形,具有以下特点:-所有内角均为直角;-两对相对边长度相等;-对角线相等且相互平分。

三、特殊平行四边形的性质特殊平行四边形具有一些独特的性质,这些性质是解决几何问题的重要依据。

下面将详细介绍这些性质。

1.矩形的性质-矩形的对角线相等且互相平分;-矩形的内角均为直角;-矩形的邻边互相垂直;-矩形的任意两边长度相等。

2.正方形的性质-正方形的对角线相等且互相平分;-正方形的内角均为直角;-正方形的任意两边长度相等。

3.菱形的性质-菱形的对角线相等且互相平分;-菱形的内角不一定为直角;-菱形的邻边互相垂直。

4.长方形的性质-长方形的对角线相等且互相平分;-长方形的内角均为直角;-长方形的邻边互相垂直。

四、特殊平行四边形的解题方法解决特殊平行四边形的问题,通常需要运用它们的特殊性质。

下面将介绍一些常见的解题方法。

1.利用对角线性质对于特殊平行四边形的问题,我们经常可以利用对角线的性质来解题。

例如,求特殊平行四边形的面积,可以先求出对角线的长度,然后利用面积公式计算。

2.利用内角性质特殊平行四边形的内角性质也是解题中常用的方法。

特殊的平行四边形重难点归纳总结最新版

特殊的平行四边形重难点归纳总结最新版

特殊的平行四边形常考题型总结必考点1:菱形的性质(求角的度数)掌握菱形的性质是解决此类问题的关键,菱形的四条边都相等;菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.例题1:如图,在菱形ABCD中,M,N分别在AB,CD上,且AM=CN,MN与AC交于点O,连接BO.若∠DAC=33°,则∠OBC的度数为()A.33°B.57°C.59°D.66°【分析】根据菱形的性质以及AM=CN,利用ASA可得△AMO≌△CNO,可得AO=CO,然后可得BO⊥AC,继而可求得∠OBC的度数.【解析】∵四边形ABCD是菱形,∴AB∥CD,AB=BC,∴∠MAO=∠NCO,∠AMO=∠CNO,在△AMO和△CNO中,{∠MAO=∠NCOAM=CN∠AMO=CNO,∴△AMO≌△CNO(ASA),∴AO=CO,∵AB=BC,∴BO⊥AC,∴∠BOC=90°,∵∠DAC=33°,∴∠BCA=∠DAC=33°,∴∠OBC=90°﹣33°=57°,选B.【小结】考查菱形性质和全等三角形的判定和性质,注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂直的性质.变式1:在菱形ABCD中,若∠B=60°,点E、F分别在AB、AD上,且BE=AF,则∠AEC+∠AFC度数等于【分析】菱形的四边相等,对角线平分每一组对角,因为∠B=60°,连接AC,AC和菱形的边长相等,可证明△ACE≌△CDF,可得到一个角为60°的等腰三角形从而可证明EFC是等边三角形,进而利用四边形的内角和为360°即可得出答案.【解析】连接AC,∵在菱形ABCD中,∠B=60°,∴AC=AB=BC=CD=AD,∵BE=AF,∴AE=DF,∵∠B=60°,AC是对角线,∴∠BAC=60°,∴∠BAC=∠D=60°,∴△ACE≌△CDF,∴EC=FC.∠ACE=∠DCF,∵∠DCF+∠ACF=60°,∴∠ACE+∠ACF=60°,∴△ECF是等边三角形.故可得出∠ECF=60°,又∠EAF=120°,∴∠AEC+∠AFC=360°﹣(60°+120°)=180°变式2:如图,在菱形ABCD中,AB的垂直平分线EF交对角线AC于点F,垂足为点E,若∠CDF=27°,则∠DAB的度数为.【解析】连接BD,BF,∵四边形ABCD是菱形,∴AD=CD,∴∠DAC=∠DCA.∵EF垂直平分AB,AC垂直平分BD,∴AF=BF,BF=DF,∴AF=DF,∴∠F AD=∠FDA,∴∠DAC+∠F AD+∠DCA+∠CDF=180°,即3∠DAC+∠CDF=180°,∵∠CDF=27°,∴3∠DAC+27°=180°,则∠DAC=51°,∴∠DAB=2∠DAC=102°变式3:如图,在菱形ABCD中,过点A作AH⊥BC,分别交BD,BC于点E,H,F为ED的中点,∠BAF =120°,则∠C的度数为.【分析】根据菱形的性质得出AD∥BC,∠ABD=∠CBD,进而利用三角形的内角和解答即可.【解析】设∠CBD=x,∵四边形ABCD为菱形,∴AD∥BC,∠ABD=∠CBD=x,∴∠ADB=∠CBD=x,∵AH⊥BC,AD∥BC,∴∠DAH=∠AHB=90°,∵F为ED的中点.∴AF=FD,∴∠F AD=∠ADB=x,∵∠BAF=120°,∴∠BAD=120°+x,∵AD∥BC,∴∠BAD+∠ABC=180°,可得:2x+120°+x=180°,解得:x=20°,∴∠BAD=120°+x=140°∵四边形ABCD为菱形,∴∠C=∠BAD=140°.必考点2: 菱形的性质(等面积法)掌握菱形的性质是解决此类问题的关键,菱形的四条边都相等;菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.例题2: 如图,四边形ABCD 是菱形,对角线AC ,BD 相交于点O ,DE ⊥AB 于点E ,若AC =8cm ,BD =6cm ,则DE =( )A .5√3cmB .2√5cmC .245 cmD .485 cm【分析】首先利用勾股定理求得菱形的边长,然后由菱形的两个面积计算渠道求得边AB 上的高DE 长即可.【解析】∵四边形ABCD 是菱形,AC =8cm ,BD =6cm ,∴S 菱形ABCD =12AC •BD =12×6×8=24, ∵四边形ABCD 是菱形,∴AC ⊥BD ,OA =OC =12AC =4cm ,OB =OD =3cm ,∴在直角三角形AOB 中,AB =2+OA 2=√32+42=5cm ,∴DH =S 菱形ABCD AB =245cm .选C . 【小结】本题考查了菱形的性质以及勾股定理的应用.注意菱形的面积等于对角线积的一半或底乘以高. 变式4: 如图,在菱形ABCD 中,AB =5,对角线BD =8,过BD 的中点O 作AD 的垂线,交AD 于点E ,交BC 于点F ,连接DF ,则DF 的长度为( )A .125B .245C .8√55D .8√135 【分析】连接AC ,由勾股定理求出OA =3,由三角形面积求出OE =125,同理OF =125,则EF =OE +OF =245,由勾股定理求出DE 的长,再由勾股定理求出DF 的长即可.【解析】连接AC ,如图:∵四边形ABCD 是菱形,O 是BD 的中点,∴OD =OB =12BD =4,AD =AB =5,AC ⊥BD ,∴OA =√52−42=3,∵OE ⊥AD ,∴△AOD 的面积=12AD ×OE =12OA ×OD ,∴OE =OA×OD AD =3×45=125, 同理:OF =125,∴EF =OE +OF =245, ∵DE =√OD 2−OE 2=√42−(125)2=165,EF ⊥AD ,∴DF =2+EF 2=√(165)2+(245)2=8√135;选D 变式5: 如图,在菱形ABCD 中,P 是对角线AC 上一动点,过点P 作PE ⊥BC 于点E .PF ⊥AB 于点F .若菱形ABCD 的周长为20,面积为24,则PE +PF 的值为( )A .4B .245C .6D .485 【分析】连结BP ,如图,根据菱形的性质得BA =BC =5,S △ABC =12S 菱形ABCD =12,然后利用三角形面积公式,由S △ABC =S △P AB +S △PBC ,得到12×5×PE +12×5×PF =12,再整理即可得到PE +PF 的值.【解析】连结BP ,如图,∵四边形ABCD 为菱形,菱形ABCD 的周长为20,∴BA =BC =5,S △ABC =12S 菱形ABCD =12,∵S △ABC =S △P AB +S △PBC ,∴12×5×PE +12×5×PF =12,∴PE +PF =245,选B . 变式6: 如图,菱形ABCD 的边长为5,对角线AC 的长为8,延长AB 至E ,BF 平分∠CBE ,点G 是BF 上任意一点,则△ACG 的面积为( )A .6√3B .12C .20D .24【分析】连接BD交AC于O,由菱形的性质和勾股定理求出OB=3,得出△ABC的面积=12,依据∠ACB =∠CBF,得出AC∥BF,进而得出△ACG的面积=△ABC的面积=12.【解析】如图所示,连接BD交AC于O,∵四边形ABCD是菱形,∴∠ACB=12∠BCD,AB=5,OA=12AC=4,AB∥CD,AC⊥BD,∴∠BCD=∠CBE,OB=√AB2−OA2=√52−42=3,∴△ABC的面积=12AC×OB=12×8×3=12,∵BF平分∠CBE,∴∠CBF=12∠CBE,∴∠ACB=∠CBF,∴AC∥BF,∴△ACG面积=△ABC面积=12,必考点3:菱形的性质(求点的坐标)掌握菱形的性质是解决此类问题的关键,菱形的四条边都相等;菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.例题3:如图,在菱形ABCD中,点A在x轴上,点B的坐标为(8,2),点D的坐标为(0,2),则点C 的坐标为()A.(2,2)B.(2,4)C.(4,2)D.(4,4)【分析】连接AC、BD交于点E,由菱形的性质得出AC⊥BD,AE=CE=12AC,BE=DE=12BD,由点B的坐标和点D的坐标得出OD=2,求出DE=4,AC=4,即可得出点C的坐标.【解析】连接AC、BD交于点E,如图所示:∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,AE=CE=12AC,BE=DE=12BD,∵点B的坐标为(8,2),点D的坐标为(0,2),∴OD=2,BD=8,∴AE=OD=2,DE=4,∴AC=4,∴点C的坐标为:(4,4);选D.变式7:如图,在平面直角坐标系xOy中,已知菱形ABCD的顶点A(3,3),C(﹣1,﹣1),对角线BD 交AC于点M,交x轴于点N,若BN=2ND,则点B的坐标是()A.(−32,72)B.(−√2,2√2)C.(4,﹣2)D.(﹣2,4)【分析】先求出BD的解析式,设点B(a,﹣a+2),则点D(2﹣a,a),由等腰直角三角形的性质和BN=2ND,可得√2(﹣a+2)=2×√2×(﹣a),即可求解.【解析】∵点A(3,3),C(﹣1,﹣1),∴直线AC为y=x,M(1,1),∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∴设直线BD为y=﹣x+b,∵点M在直线BD上,∴1=﹣1+b,∴b=2,∴直线BD为y=﹣x+2,设点B(a,﹣a+2),则点D(2﹣a,a),∵BN=2ND,∴√2(﹣a+2)=2×√2×(﹣a),∴a=﹣2,∴点B(﹣2,4),选D.【小结】考查菱形性质,坐标与图形性质,一次函数性质等,灵活运用这些性质进行推理是本题的关键.变式8:如图,在菱形OABC中,点B在x轴上,点A的坐标为(2,2√3),将菱形绕点O旋转,当点A 落在x轴上时,点C的对应点的坐标为()A.(﹣2,﹣2√3)或(2√3,﹣2)B.(2,2√3)C.(﹣2,2√3)D.(﹣2,﹣2√3)或(2,2√3)【分析】依据菱形的性质即可得到菱形的边长为4,△AOB是等边三角形,再分两种情况进行讨论,依据OD=12CO=2,CD=2√3,即可得到点C的对应点的坐标.【解析】∵菱形OABC中,点B在x轴上,点A的坐标为(2,2√3),∴AO=√22+(2√3)2=4,OB=4,∴菱形的边长为4,△AOB是等边三角形,分两种情况讨论:如图所示,当点A在x轴正半轴上时,过C作CD⊥AO于D,则OD=12CO=2,CD=2√3,∴点C的坐标为(﹣2,﹣2√3);如图所示,当点A在x轴负半轴上时,过C作CD⊥AO于D,则OD=12CO=2,CD=2√3,∴点C的坐标为(2,2√3);综上所述,点C的对应点的坐标为(﹣2,﹣2√3)或(2,2√3),选D.变式9:如图,在菱形OABC中,点A的坐标是(2,1),点B的横坐标是3,则点C的坐标是.【分析】作AD⊥x轴于D,BF⊥x轴于F,AE⊥BF于E,BG⊥y轴于H,CG⊥BH于G,CM⊥Y轴于M,则四边形BHOF是矩形,四边形ADFE是矩形,四边形GHMC是矩形,证明Rt△ABE≌Rt△AOD,得出BE =OD=2,求出BF=3,同理可证:△CBG≌△AOD,得出CG=AD=1,BG=OD=2,得出HM=1,OM =2,即可得出结果.【解析】作AD ⊥x 轴于D ,BF ⊥x 轴于F ,AE ⊥BF 于E ,BG ⊥y 轴于H ,CG ⊥BH 于G ,CM ⊥Y 轴于M ,如图所示:四边形BHOF 是矩形,四边形ADFE 是矩形,四边形GHMC 是矩形,∠ADO =∠AEB =∠CGB =∠CMO =90°,∵点A 的坐标是(2,1),点B 的横坐标是3,∴OD =2,EF =AD =1,BH =3,∴AE =1,∴AE =AD , ∵四边形OABC 是菱形,∴OA =AB =BC =OC ,在Rt △ABE 和Rt △AOD 中,{AB =OA AE =AD,∴Rt △ABE ≌Rt △AOD (HL ),∴BE =OD =2,∴BF =3=BH , 同理可证:△CBG ≌△AOD ,∴CG =AD =1,BG =OD =2,∴HM =1,OM =3﹣1=2,∴C (1,2);【小结】本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质;熟练掌握菱形的性质,证明三角形全等是解决问题的关键.必考点4: 菱形的性质(最值问题)例题4: 如图,菱形ABCD 的的边长为6,∠ABC =60°,对角线BD 上有两个动点E 、F (点E 在点F 的左侧),若EF =2,则AE +CF 的最小值为( )A .2√10B .4√2C .6D .8【分析】作AM ⊥AC ,连接CM 交BD 于F ,根据菱形的性质和等边三角形的判定和性质以及勾股定理解答【解析】如图,连接AC ,作AM ⊥AC ,使得AM =EF =2,连接CM 交BD 于F ,∵AC ,BD 是菱形ABCD 的对角线,∴BD ⊥AC ,∵AM ⊥AC ,∴AM ∥BD ,∴AM ∥EF ,∵AM =EF ,AM ∥EF ,∴四边形AEFM 是平行四边形,∴AE =FM ,∴AE +CF =FM +FC =CM ,根据两点之间线段最短可知,此时AE +FC 最短,∵四边形ABCD 是菱形,AB =6,∠ABC =60°,∴BC =AB ,∴△ABC 是等边三角形,∴AC =AB =6,在Rt△CAM中,CM=√AM2+AC2=√22+62=2√10,∴AE+CF的最小值为2√10.选A.【小结】本题考查菱形的性质、平行四边形的判定和性质、两点之间线段最短、勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,把问题转化为两点之间线段最短解决,属于中考填空题中的压轴题.变式10:如图,菱形ABCD的边长为2√3,∠ABC=60°,点E、F在对角线BD上运动,且EF=2,连接AE、AF,则△AEF周长的最小值是()A.4B.4+√3C.2+2√3D.6【解析】作AH∥BD,使得AH=EF=2,连接CH交BD于F,则AE+AF的值最小,即△AEF的周长最小.∵AH=EF,AH∥EF,∴四边形EFHA是平行四边形,∴EA=FH,∵F A=FC,∴AE+AF=FH+CF=CH,∵菱形ABCD的边长为2√3,∠ABC=60°,∴AC=AB=2√3,∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∵AH∥DB,∴AC⊥AH,∴∠CAH=90°,在Rt△CAH中,CH=√AC2+AH2=√(2√3)2+22=4,∴AE+AF的最小值4,∴△AEF的周长的最小值=4+2=6,选D.变式11:如图,菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=2,E、F分别是边BC和对角线BD上的动点,且BE=DF,则AE+AF的最小值为.【分析】如图,BC的下方作∠CBT=30°,在BT上截取BT,使得BT=AD,连接ET,AT.证明△ADF≌△TBE(SAS),推出AF=ET,AE+AF=AE+ET,根据AE+ET≥AT求解即可.【解析】如图,BC的下方作∠CBT=30°,在BT上截取BT,使得BT=AD,连接ET,AT.∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,∴∠ADC=∠ABC=60°,∠ADF=12∠ADC=30°,∵AD=BT,∠ADF=∠TBE=30°,DF=BE,∴△ADF≌△TBE(SAS),∴AF=ET,∵∠ABT=∠ABC+∠CBT=60°+30°=90°,AB=AD=BT=2,∴AT=√AB2+BT2=√22+22=2√2,∴AE+AF=AE+ET,∵AE+ET≥AT,∴AE+AF≥2√2,∴AE+AF的最小值为2√2,【小结】本题考查菱形的性质,全等三角形的判定和性质,两点之间线段最短等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,学会用转化的思想思考问题,属于中考填空题中的压轴题.变式12:如图,在菱形ABCD中,AB=6,∠B=60°,点G是边CD边的中点,点E、F分别是AG、AD上的两个动点,则EF+ED的最小值是.【分析】作DH⊥AC垂足为H与AG交于点E,点H关于AG的对称点为F,此时EF+ED最小=DH,先证明△ADC是等边三角形,在RT△DCH中利用勾股定理即可解决问题.【解析】如图作DH⊥AC垂足为H与AG交于点E,∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD=CD=BC=6,∵∠B=60°,∴∠ADC=∠B=60°,∴△ADC是等边三角形,∵AG是中线,∴∠GAD=∠GAC∴点F关于AG的对称点H在AC上,此时EF+ED最小=DH.在RT△DHC中,∵∠DHC=90°,DC=6,∠CDH=12∠ADC=30°,∴CH=12DC=3,DH=√CD2−CH2=√62−32=3√3,∴EF+DE的最小值=DH=3√3,故答案为3√3.【小结】本题考查菱形的性质、垂线段最短、等边三角形的判定、勾股定理等知识,解决问题的关键是利用垂线段最短解决最小值问题,属于中考常考题型.必考点5:菱形的判定与性质(计算与证明)例题5:如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E是AD上一点,连接EO并延长,交BC于点F.连接AF,CE,EF平分∠AEC.(1)求证:四边形AFCE是菱形;(2)若∠DAC=60°,AC=2,求四边形AFCE的面积.【分析】(1)由“AAS”证△AOE≌△COF,得OF=OE,证出四边形AFCE是平行四边形,再证CE=CF,即可得出结论;(2)由含30°角的直角三角形性质得出OE=√3AO=√3,则EF=2OE=2√3,由菱形面积公式可得答案【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AO=CO,∴∠AEF=∠CFE,在△AOE和△COF中,{∠AEF=∠CFE∠AOE=∠COFAO=CO,∴△AOE≌△COF(AAS),∴OF=OE,∵AO=CO,∴四边形AFCE是平行四边形;∵EF平分∠AEC,∴∠AEF=∠CEF,∴∠CFE=∠CEF,∴CE=CF,∴四边形AFCE是菱形;(2)由(1)得:四边形AFCE是菱形,∴AC⊥EF,AO=CO=12AC=1,∴∠AOE=90°,∵∠DAC=60°,∴∠AEO=30°,∴OE=√3AO=√3,∴EF=2OE=2√3,∴四边形AFCE的面积=12AC×EF=12×2×2√3=2√3.变式13:如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N.(1)求证:四边形BNDM是菱形;(2)若BD=24,MN=10,求菱形BNDM的周长.【分析】(1)证△MOD≌△NOB(AAS),得出OM=ON,由OB=OD,证出四边形BNDM是平行四边形,进而得出结论;(2)由菱形的性质得出BM=BN=DM=DN,OB=12BD=12,OM=12MN=5,由勾股定理得BM=13,即可得出答案.(1)证明:∵AD∥BC,∴∠DMO=∠BNO,∵MN是对角线BD的垂直平分线,∴OB=OD,MN⊥BD,在△MOD和△NOB中,{∠DMO=∠BNO∠MOD=∠NOBOD=OB,∴△MOD≌△NOB(AAS),∴OM=ON,∵OB=OD,∴四边形BNDM是平行四边形,∵MN⊥BD,∴四边形BNDM是菱形;(2)∵四边形BNDM是菱形,BD=24,MN=10,∴BM=BN=DM=DN,OB=12BD=12,OM=12MN=5,在Rt△BOM中,由勾股定理得:BM=√OM2+OB2=√52+122=13,∴菱形BNDM的周长=4BM=4×13=52.【小结】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识;熟练掌握菱形的判定与性质,证明三角形全等是解题的关键.变式14:如图,在△ABC中,BD平分∠ABC交AC于D,EF垂直平分BD,分别交AB,BC,BD于E,F,G,连接DE,DF.(1)求证:四边形BEDF是菱形;(2)若∠BDE=15°,∠C=45°,DE=2,求CF的长.【分析】(1)由线段垂直平分线的性质可得BE=DE,BF=DF,可得∠EBD=∠EDB,∠FBD=∠FDB,由角平分线的性质可得∠EBD=∠BDF=∠EDB=∠DBF,可证BE∥DF,DE∥BF,可得四边形DEBF是平行四边形,即可得结论;(2)由菱形的性质和外角性质可得∠DFC=30°,由直角三角形的性质可求CF的长.【解析】(1)∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC,∵EF垂直平分BD,∴BE=DE,BF=DF,∵∠EBD=∠EDB,∠FBD=∠FDB,∴∠EBD=∠BDF,∠EDB=∠DBF,∴BE∥DF,DE∥BF,∴四边形DEBF是平行四边形,且BE=DE,∴四边形BEDF是菱形;(2)过点D作DH⊥BC于点H,∵四边形BEDF是菱形,∴BF=DF=DE=2,∴∠FBD=∠FDB=∠BDE=15°,∴∠DFH=30°,且DH⊥BC,∴DH=12DF=1,FH=√3DH√3,∵∠C=45°,DH⊥BC,∴∠C=∠CDH=45°,∴DH=CH=1,∴FC=FH+CH=√3+1.【小结】本题考查了菱形的判定和性质,线段垂直平分线的性质,直角三角形的性质等知识,掌握菱形的判定方法是本题的关键.变式15:如图,在▱ABCD中,M、N分别是AD、BC的中点,∠AND=90°,连接CM交DN于点O.(1)求证:△ABN≌△CDM;(2)求证:四边形CDMN为菱形;(3)过点C作CE⊥MN于点E,交DN于点P,若PE=1,∠1=∠2,求NC的长.【分析】(1)由四边形ABCD是平行四边形,可得AB=CD,AD=BC,∠B=∠CDM,利用SAS证得△ABN ≌△CDM;(2)利用直角三角形形的性质结合菱形的判定方法证明即可.(3)易求得∠MND=∠CND=∠2=30°,然后由含30°的直角三角形的性质求解即可求得答案.【答案】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AD=BC,∠B=∠CDM,∵M、N分别是AD,BC的中点,∴BN=DM,∵在△ABN和△CDM中,{AB=CD∠B=∠CDMBN=DM,∴△ABN≌△CDM(SAS);(2)证明:∵M是AD的中点,∠AND=90°,∴NM=AM=MD,∵BN=NC=AM=DM,∴NC=MN=DM,∵NC∥DM,NC=DM,∴四边形CDMN是平行四边形,又∵MN=DM,∴四边形CDMN是菱形.(3)∵M是AD的中点,∠AND=90°,∴MN=MD=12AD,∴∠1=∠MND,∵AD∥BC,∴∠1=∠CND,∵∠1=∠2,∴∠MND=∠CND=∠2,∴PN=PC,∵CE⊥MN,∴∠CEN=90°,∠END+∠CNP+∠2=180°﹣∠CEN=90°,又∵∠END=∠CNP=∠2,∴∠2=∠PNE=30°,∵PE=1,∴PN=2PE=2,∴CE=PC+PE=3,∴NC=2√3.【小结】此题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及解直角三角形等知识等知识,熟练掌握菱形的判定与性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键.必考点6:矩形的性质掌握矩形的性质是解决此类问题的关键,矩形具有平行四边形的一切性质;矩形的四个角都是直角;矩形的对角线相等.例题6:如图,在矩形ABCD中,对角线BD的垂直平分线MN交AD于点M,交BC于点N,连结BM、DN.若AB=4,AD=8,则MD的长为()A.3B.4C.5D.6【分析】根据线段垂直平分线的的性质,求出DM=BM,在Rt△AMB中,根据勾股定理得出BM2=AM2+AB2,即可列方程求解.【解析】∵对角线BD的垂直平分线MN交AD于点M,交BC于点N,∴MB=MD,设MD长为x,则MB=DM=x,在Rt△AMB中,BM2=AM2+AB2, 即x2=(8﹣x)2+42,解得:x=5,∴MD长为5.选C.【小结】本题主要考查了矩形的性质以及勾股定理的运用,解题时注意,线段垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等.变式16:如图,在矩形ABCD中,AB=2,对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BD,垂足为E.若BE =EO,则AD的长是()A.6√2B.2√3C.3√2D.2√5【分析】由矩形的性质可得OB=OD=OA=OC,AC=BD,由线段垂直平分线的性质可得OA=AB=OB,可证△OAB是等边三角形,可得∠ABD=60°,由直角三角形的性质可求解.【解析】∵四边形ABCD是矩形,∴OB=OD,OA=OC,AC=BD,∴OA=OB,∵BE=EO,AE⊥BD,∴AB=AO,∴OA=AB=OB,即△OAB是等边三角形,∴∠ABD=60°,∴∠ADE=90°﹣∠ABD=30°,∴AD=√3AB=2√3,选B.【小结】本题考查了矩形的性质,等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质.此题难度不大,注意掌握数形结合思想的应用.变式17:如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,若DF⊥AC,∠ADF:∠FDC=3:2,则∠BDF=()A.18°B.36°C.27°D.54°【分析】根据∠ADC=90°,求出∠CDF和∠ADF,根据矩形性质求出OD=OC,推出∠BDC=∠DCO,求出∠BDC,即可求出答案.【解析】设∠ADF=3x,∠FDC=2x,∵四边形ABCD是矩形,∴∠ADC=90°,∴2x+3x=90°,∴x=18°,即∠FDC=2x=36°,∵DF⊥AC,∴∠DMC=90°,∴∠DCO=90°﹣36°=54°,∵四边形ABCD是矩形,∴AC=2OC,BD=2OD,AC=BD,∴OD=OC,∴∠BDC=∠DCO=54°,∴∠BDF=∠BDC﹣∠FDC=54°﹣36°=18°,选A.变式18:如图,矩形ABCD的对角线AC、BD交于点E,∠ACB=52°,AM平分∠BAC,交BC于点M,过点B作BF⊥AM.垂足为点F,则∠DBF的度数为()A.43°B.34°C.33°D.19°【分析】由矩形的性质得∠ABC=90°,AE=BE,求出∠ABD=∠BAC=38°,由角平分线定义得出∠BAM=∠CAM=12∠BAC=19°,则∠ABF=90°﹣∠BAM=71°,由∠DBF=∠ABF﹣∠ABD即可得出结果.【解析】∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,AE=BE,∴∠BAC=90°﹣∠ACB=90°﹣52°=38°,∴∠ABD=∠BAC=38°,∵AM平分∠BAC,∴∠BAM=∠CAM=12∠BAC=12×38°=19°,∵BF⊥AM,∴∠ABF=90°﹣∠BAM=90°﹣19°=71°,∴∠DBF=∠ABF﹣∠ABD=71°﹣38°=33°,选C.【小结】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、角平分线定义、三角形内角和定理等知识;熟练掌握矩形的性质和角平分线定义是解题的关键.必考点7:矩形的性质(最值问题)例题7:如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E为AB的中点,F为EC上一动点,P为DF中点,连接PB,则PB的最小值是()A.2B.4C.√2D.2√2【分析】根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是线段P1P2,再根据垂线段最短可得当BP⊥P1P2时,PB 取得最小值;由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1⊥P1P2,故BP的最小值为BP1的长,由勾股定理求解即可.【解析】如图:当点F与点C重合时,点P在P1处,CP1=DP1,当点F与点E重合时,点P在P2处,EP2=DP2,∴P1P2∥CE且P1P2=12CE.当点F在EC上除点C、E的位置处时,有DP=FP.由中位线定理可知:P1P∥CE且P1P=12CF.∴点P的运动轨迹是线段P1P2,∴当BP⊥P1P2时,PB取得最小值.∵矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E为AB的中点,∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形,CP1=1.∴∠ADE=∠CDE=∠CP1B=45°,∠DEC=90°.∴∠DP2P1=90°.∴∠DP1P2=45°.∴∠P2P1B=90°,即BP1⊥P1P2,∴BP的最小值为BP1的长.在等腰直角BCP1中,CP1=BC=1.∴BP1=√2.∴PB的最小值是√2.选C.【小结】本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识,解题的关键是学会利用特殊位置解决问题,有难度.变式19:如图,在矩形ABCD中,AD=2AB=4,点E是AD的中点,点M是BE上一动点,取CM的中点为N,则AN的最小值是.【分析】取BC的中点N′,连接AN′、DN′,证明AN′⊥DN′,由于CM的中点为N,始终在DN′上,当N与N′重合时,AN的值就最小,求出AN′的值便可.【解析】取BC的中点N′,连接AN′、DN′,∴BN′=CN′,∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,AB=DC,∠ABC=∠BCD=90°,∵AD=2AB=4,∴AB=BN′=CN′=CD=2,∴∠AN′B=∠DN′C=45°,AN′=√22+22=2√2,∴∠AN′D=90°,∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,AD∥BC,∵E是AD的中点,N′是BC的中点,∴DE=BN′,DE∥BN′,∴四边形AEDN′是平行四边形,∴BE∥DN′,∴DN′平分CM,即CM的中点N在DN′上,∴当N与N′重合时,AN⊥DN′,根据垂线段最短定理知,AN′的值就是AN的最小值为2√2变式20:学习新知:如图1、图2,P是矩形ABCD所在平面内任意一点,则有以下重要结论:AP2+CP2=BP2+DP2.该结论的证明不难,同学们通过勾股定理即可证明.应用新知:如图3,在△ABC中,CA=4,CB=6,D是△ABC内一点,且CD=2,∠ADB=90°,则AB 的最小值为.【解析】以AD、BD为边作矩形ADBE,连接CE、DE,如图所示:则AB=DE,由题意得:CD2+CE2=CA2+CB2,即22+CE2=42+62,解得:CE=4√3,当C、D、E三点共线时,DE最小,∴AB的最小值=DE的最小值=CE﹣CD=4√3−2;变式21:如图,在矩形纸片ABCD中,AB=8,BC=6,点E是AD的中点,点F是AB上一动点.将△AEF沿直线EF折叠,点A落在点A'处.在EF上任取一点G,连接GC,GA',CA’,则△CGA'的周长的最小值为.【分析】如图,当点F固定时,连接AC交EF于G,连接A′G,此时△CGA′的周长最小,最小值=A′G+GC+CA′=GA+GC+CA′=AC+CA′.当CA′最小时,△CGA′的周长最小,求出CA′的最小值即可解决问题.【解析】如图,当点F固定时,连接AC交EF于G,连接A′G,此时△A′GC的周长最小,最小值=A′G+GC+CA′=GA+GC+CA′=AC+CA′.∵四边形ABCD是矩形,∴∠D=90°,AD=BC=6,CD=AB=8,∴AC=√AD2+DC2=√62+82=10,∴△A′CG的周长的最小值=10+CA′,当CA′最小时,△CGA′的周长最小,∵AE=DE=EA′=3,∴CE=√DE2+CD2=√32+82=√73,∵CA′≥EC﹣EA′,∴CA′≥√73−3,∴CA′的最小值为√73−3,∴△CGA′的周长的最小值为7+√73,【小结】本题考查翻折变换,矩形的性质,轴对称最短问题等知识,解题的关键是学会用转化的思想思考问题,属于中考填空题中的压轴题.必考点8:矩形的判定与性质(计算与证明)矩形的判定:有一个角是直角的平行四边形是矩形;对角线相等的平行四边形是矩形;有三个角是直角的四边形是矩形.例题8:如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AE⊥BC交CB延长线于E,CF∥AE交AD 延长线于点F.(1)求证:四边形AECF是矩形;(2)连接OE,若AD=5,BE=3,求线段OE的长.【分析】(1)根据菱形的性质得到AD∥BC,推出四边形AECF是平行四边形,根据矩形的判定定理即可得到结论;(2)根据勾股定理求出AE,求得AC=4√5,由直角三角形的性质即可得到结论.(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AD∥BC,即AF∥EC,∵CF∥AE,∴四边形AECF是平行四边形,∵AE⊥BC,∴平行四边形AECF是矩形;(2)如图所示:∵四边形ABCD为菱形,四边形AECF为矩形,且BE=3,AD=5∴OA=OC,AB=BC=AD=5 DF=EB=3,∠AEC=90°,∴AE=√AB2−BE2=√52−32=4,CE=BC+BE=8,∴AC=√AE2+CE2=√42+82=4√5,∵OA=OC,∠AEC=90°,∴OE=OC=12AC=12×4√5=2√5.【小结】本题考查了矩形的判定和性质,菱形的性质,直角三角形斜边上的中线性质,勾股定理等知识;熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键.变式22:如图,在△ABC中,点O是AC边的中点,过点O作BC的平行线交∠ACB的角平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F.(1)求证:四边形CEAF是矩形;(2)若AE=3,EC=4,AB=12,BC=13,求四边形ABCF的面积.【分析】(1)由对角线互相平分证明四边形CEAF是平行四边形,再由对角线相等即可得出结论;(2)先根据勾股定理求出AC,得出△ACE的面积=12AE×EC,再由勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形,得出△ABC的面积=12AB•AC,代入数据即可得到结论.(1)证明:∵EF∥BC,∴∠OEC=∠BCE,∵CE平分∠ACB,∴∠BCE=∠OCE,∴∠OEC=∠OCE,∴EO=CO,同理:FO=CO,∴EO=FO,又∵O是AC的中点,∴AO=CO,∴四边形CEAF是平行四边形,∵EO=FO=CO,∴EO=FO=AO=CO,∴EF=AC,∴四边形CEAF是矩形;(2):∵四边形CEAF是矩形,∴∠AEC=90°,∵AE=3,EC=4,∴AC=√AE2+CE2=5,∵AB=12,BC=13,∴AB2+AC2=122+52=132=BC2,∴∠BAC=90°,∴四边形ABCF的面积=12AB•AC+12AF•CF=12×12×5+12×3×4=36.变式23:如图,已知△OAB中,OA=OB,分别延长AO、BO到点C、D.使得OC=AO,OD=BO,连接AD、DC、CB.(1)求证:四边形ABCD是矩形;(2)以OA、OB为一组邻边作▱AOBE,连接CE,若CE⊥BD,求∠AOB的度数.【分析】(1)根据已知条件推出四边形ABCD是平行四边形,求得AO=12AC,BO=12BD,等量代换得到AC=BD,于是得到四边形ABCD是矩形;(2)连接OE,设EC与BD交于F,根据垂直的定义得到∠CFD=90°,根据平行四边形的性质得到AE ∥BO,根据直角三角形的性质得到EO=AO,推出△AEO是等边三角形,于是得到结论.(1)证明:∵OC=AO,OD=BO,∴四边形ABCD是平行四边形,∴AO=12AC,BO=12BD,∵AO=BO,∴AC=BD,∴四边形ABCD是矩形;(2)连接OE,设EC与BD交于F,∵EC⊥BD,∴∠CFD=90°,∵四边形AEBO是平行四边形,∴AE∥BO,∴∠AEC=∠CFD=90°,即△AEC是直角三角形,∵EO是Rt△AEC中AC边上的中线,∴EO=AO,∵四边形AEBO是平行四边形,∴OB=AE,∵OA=OB,∴AE=OA=OE,∴△AEO是等边三角形,∴∠OAE=60°,∵∠OAE+∠AOB=180°,∴∠AOB=120°.变式24:如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠ADC,对角线AC、BD交于点O,AO=BO,DE平分∠ADC交BC于点E,连接OE.(1)求证:四边形ABCD是矩形;(2)若AB=1,求△OEC的面积.【分析】(1)先证四边形ABCD是平行四边形,得出OA=OC=12AC,OB=OD=12BD,再证出AC=BD,即可得出结论;(2)作OF⊥BC于F.求出EC、OF即可解决问题.(1)证明:∵AD∥BC,∴∠ABC+∠BAD=180°,∠ADC+∠BCD=180°,∵∠ABC=∠ADC,∴∠BAD=∠BCD,∴四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC=12AC,OB=OD=12BD,∵OA=OB,∴AC=BD,∴四边形ABCD是矩形.(2)作OF⊥BC于F,如图所示.∵四边形ABCD是矩形,∴CD=AB=1,∠BCD=90°,AO=CO,BO=DO,AC=BD,∴AO=BO=CO=DO,∴BF=FC,∴OF=12CD=12,∵DE平分∠ADC,∠ADC=90°,∴∠EDC=45°,在Rt△EDC中,EC=CD=1,∴△OEC的面积=1 2•EC•OF=14.必考点9:直角三角形斜边上的中线应用掌握在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键.例题9:如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,∠DAC=45°,∠BAC=30°,E是AC的中点,连接BE,BD.则∠DBE的度数为()A.10°B.12°C.15°D.18°【解析】连接DE,∵∠ADC=90°,E是AC的中点,∴DE=12AC=AE,∴∠EDA=∠DAC=45°,∴∠DEC=∠EDA+∠DAC=90°,同理,∠BEC=60°,∴∠DEB=90°+60°=150°,∵DE=12AC,BE=12AC,∴DE=BE,∴∠DBE=12×(180°﹣150°)=15°,选C.变式25:如图,在△ABC中,∠BCA=90°,D为AC边上一动点,O为BD中点,DE⊥AB,垂足为E,连结OE,CO,延长CO交AB于F,设∠BAC=α,则()A.∠EOF=32αB.∠EOF=2αC.∠EOF=180°﹣αD.∠EOF=180°﹣2α【分析】设∠ABD=β,则∠BDC=∠ABD+∠A=β+α,根据直角三角形斜边中线的性质得OE=12BD=OD,OC=OD,根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理表示∠EOD和∠COD,可得结论.【解析】设∠ABD=β,则∠BDC=∠ABD+∠A=β+α,∵DE⊥AB,∴∠BED=90°,∴∠BDE=90°﹣β,∵O为BD中点,∴OE=12BD=OD,∴∠OED=∠ODE,同理得OC=OD,∴∠OCD=∠ODC=α+β,∴∠EOD=180°﹣2(90°﹣β)=2β,∠COD=180°﹣2(α+β)=180°﹣2α﹣2β,∴∠EOF=180°﹣∠EOD﹣∠COD=180°﹣2β﹣(180°﹣2α﹣2β)=2α;选B.变式26:如图,在△ABC中,∠ABC=90°,∠C=52°,BE为AC边上的中线,AD平分∠BAC,交BC边于点D,过点B作BF⊥AD,垂足为F,则∠EBF的度数为()A.19°B.33°C.34°D.43°【解析】∵∠ABC=90°,BE为AC边上的中线,∴∠BAC=90°﹣∠C=90°﹣52°=38°,BE=12AC=AE=CE,∴∠EBC=∠C=52°,∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=12∠BAC=19°,∴∠ADB=∠C+∠DAC=52°+19°=71°,∵BF⊥AD,∴∠BFD=90°,∴∠FBD=90°﹣∠ADB=19°,∴∠EBF=∠EBC﹣∠FBD=52°﹣19°=33°;选B.【小结】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识;熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质是解题的关键.变式27:如图,CE、BF分别是△ABC的高线,连接EF,EF=6,BC=10,D、G分别是EF、BC的中点,则DG的长为.【解析】连接EG、FG,∵CE,BF分别是△ABC的高线,∴∠BEC=90°,∠BFC=90°,∵G是BC的中点,∴EG=FG=12BC=5,∵D是EF的中点,∴ED=12EF=3,GD⊥EF,由勾股定理得,DG=√GE2−DE2=4,故答案为:4.必考点10: 正方形的性质掌握在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键.例题10: 如图,正方形ABCD 中,AB =√2,点E 是对角线AC 上一点,EF ⊥AB 于点F ,连结DE ,当∠ADE =22.5°时,EF 的长是( )A .1B .2√2−2C .√2−1D .14 【分析】证明∠CDE =∠CED =67.5°,则CD =CE =√2,计算AC 的长,得AE =2−√2,证明△AFE 是等腰直角三角形,可得EF 的长.【解析】∵四边形ABCD 是正方形,∴AB =CD =BC =√2,∠B =∠ADC =90°,∠BAC =∠CAD =45°, ∴AC =√2AB =2,∵∠ADE =22.5°,∴∠CDE =90°﹣22.5°=67.5°,∵∠CED =∠CAD +∠ADE =45°+22.5°=67.5°,∴∠CDE =∠CED ,∴CD =CE =√2,∴AE =2−√2, ∵EF ⊥AB ,∴∠AFE =90°,∴△AFE 是等腰直角三角形,∴EF =AE √2=√2−1,选C . 变式28: 如图,已知正方形ABCD 的边长为4,点E ,F 分别在AD ,DC 上,AE =DF =1,BE 与AF 相交于点G ,点H 为BF 的中点,连接GH ,则GH 的长为( )A .2B .2.5C .3D .3.5【解析】∵四边形ABCD 为正方形,∴∠BAE =∠D =90°,AB =AD ,在△ABE 和△DAF 中,∵{AB =AD∠BAE =∠D AE =DF,∴△ABE ≌△DAF (SAS ),∴∠ABE =∠DAF ,∵∠ABE +∠BEA =90°,∴∠DAF +∠BEA =90°,∴∠AGE =∠BGF =90°,∵点H 为BF 的中点,∴GH =12BF ,∵BC =4、CF =CD ﹣DF =4﹣1=3,∴BF =√BC 2+CF 2=5,∴GH =12BF =12×5=2.5,选B . 变式29: 如图,正方形ABCD 中,点E 、F 分别在边CD ,AD 上,BE ⊥CF 于点G .若BC =4,AF =1,则CE 的长为( )A .3B .125C .195D .165【分析】先根据同角的余角相等得∠CBE =∠DCF ,再证明△BCE ≌△CDF ,得CE =DF ,便可求得结果.【解析】正方形ABCD 中,∵BC =4,∴BC =CD =AD =4,∠BCE =∠CDF =90°,∵BE ⊥CF 于点G .∴∠CBG +∠BCG =∠BCG +∠DCF =90°,∴∠CBE =∠DCF ,在△BCE 和△CDF 中,{∠BCE =∠CDFBC =CD ∠CBE =∠DCF,∴△BCE ≌△CDF (ASA ),∴CE =DF ,∵DF =AD ﹣AF =4﹣1=3,∴CE =3.选A .变式30: 如图,正方形ABCD 的边长为4,点E ,F 分别在AB ,AD 上,若CE =2√5,且∠ECF =45°,则CF 的长为( )A .4√103B .5√103C .2√10D .7√103【解析】把△FCD 绕点C 逆时针旋转90°得△F ′CB ,此时E ,B ,F '三点共线,则△CBF '≌△CDF ,连接EF .∴CF =CF ′,∵∠FCF ′=90°,∴∠ECF =45°,∴∠ECF =∠ECF ′=45°,∵CE =CE ,∴△CEF ≌△CEF '(SAS ),∴EF =EF '.在Rt△EBC中,BE=√CE2−BC2=√(2√5)2−42=√20−16=2,∴AE=AB﹣BE=2.设DF=x,则AF=4﹣x.∵DF=BF′,∴EF=EF'=BE+BF'=2+x,在Rt△F AE中,EF2=AE2+AF2,∴(2+x)2=22+(4﹣x)2,解得:x=4 3.在Rt△F AE中,DF=43,CD=4,∴CF2=42+(43)2,解得:CF=4√103.选A.【小结】本题主要考查了全等三角形的判定及性质,勾股定理等,构建全等三角形,利用方程思想是解答此题的关键.必考点11:正方形的性质(最值问题)例题11:如图,在边长为6的正方形ABCD中,点M为对角线BD上一动点,ME⊥BC于E,MF⊥CD 于F,则EF的最小值为()A.3√2B.6√2C.3D.2【解析】连接MC,如图所示:∵四边形ABCD是正方形,∴∠C=90°,∠DBC=45°,∵ME⊥BC于E,MF⊥CD于F∴四边形MECF为矩形,∴EF=MC,当MC⊥BD时,MC取得最小值,此时△BCM是等腰直角三角形,∴MC=√22BC=6×√22=3√2,∴EF的最小值为3√2;选A.变式31:如图,在边长为4的正方形ABCD中,点E、F分别是边BC、CD上的动点,且BE=CF,连接BF、DE,则BF+DE的最小值为()A.√12B.√20C.√48D.√80【分析】连接AE,利用△ABE≌△BCF转化线段BF得到BF+DE=AE+DE,则通过作A点关于BC对称点。

特殊的平行四边形章节知识点归纳(全)

特殊的平行四边形章节知识点归纳(全)

5. 矩形的性质
A
D
) )
O
B
C
(1)∵四边形 ABCD 是矩形
∴∠DAB=∠ABC =∠BCD=∠CDA=90°(

(2)∵四边形 ABCD 是矩形 ∴AC=BD( OA=OC= OB=OD(
) )
6. 矩形的判定
A
D
O
B
C
(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形,且∠BAD=90°
∴□ABCD 是矩形(
(2)∵四边形 ABCD 是正方形
∴AC=BD(

AC⊥BD,且 OA=OC= OB=OD(
8. 正方形的判定
A
D
) )

O
B
C
(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形,且∠BAD=90° ,AB=BC
∴□ABCD 是正方形(

(2)∵四边形 ABCD 是菱形,且∠BAD=90°
∴菱形 ABCD 是正方形(

(2)∵四边形 ABCD 是平行四边形,且 AC=BD
∴□ABCD 是矩形(

(3)∵∠DAB=∠ABC =∠BCD =90°
∴四边形 ABCD 是矩形(

7. 正方形的性质
A
D
O
B
C
(1)∵四边形 ABCD 是正方形 ∴AB= BC =CD=AD( ∠DAB=∠ABC =∠BCD=∠CDA=90°(
(正方形既是菱形也是矩形)
4. 菱形的判定:有一组邻边相等的平行四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形; 四条边相等的四边形是菱形.
5. 矩形的判定:有一个角是直角的平行四边形是矩形 对角线相等的平行四边形是矩形; 有三个角是直角的四边形是矩形.

18.2 拓展专题 特殊平行四边形中的最值问题-2022-2023学年八年级下册初二数学(人教版)

18.2 拓展专题 特殊平行四边形中的最值问题-2022-2023学年八年级下册初二数学(人教版)

18.2 拓展专题特殊平行四边形中的最值问题•作者:初二数学(人教版)编写组•发布日期:2022年引言本文将介绍拓展专题中的一个重要主题:特殊平行四边形中的最值问题。

我们将通过解析具体的例题,帮助读者理解并掌握该问题的解题方法和技巧。

1. 特殊平行四边形简介特殊平行四边形是指具有一些特殊性质的平行四边形,如矩形、正方形和菱形等。

这些特殊平行四边形在几何学中经常出现,具有重要的几何性质。

2. 特殊平行四边形中的最值问题特殊平行四边形中的最值问题是指在特殊平行四边形中寻找某些属性的最大值或最小值。

这种问题通常需要我们利用特殊平行四边形的某些性质来进行求解。

在解决这类问题时,我们通常需要先了解特殊平行四边形的性质,然后确定所要求的属性,并根据特殊平行四边形的性质来推导解决方法。

3. 解题方法和技巧3.1 矩形中的最值问题矩形是一种特殊的平行四边形,具有相等的对边和相等的内角。

因为矩形具有对角线相等、对角线互相平分以及对边相等的性质,所以在矩形中寻找某些属性的最值问题,我们可以运用这些性质来解决。

例如,我们要在一个给定周长的矩形中求解最大的面积。

由于矩形的周长等于两倍的长加两倍的宽,我们可以设矩形的长为x,宽为y,得出周长等式:2x + 2y= 周长。

然后,我们利用矩形的面积公式S = xy,将x用y的表达式代入,从而得到关于y的函数,然后求这个函数的最大值,即可得到最大面积。

3.2 正方形中的最值问题正方形是边长相等的矩形,具有特殊的性质。

在正方形中寻找某些属性的最值问题,常常可以通过利用其对称性来解决。

例如,我们要在一个给定周长的正方形中求解最大的面积。

由于正方形的周长等于四倍的边长,我们可以设正方形的边长为x,得出周长等式:4x = 周长。

然后,我们利用正方形的面积公式S = x²,将x代入,从而得到关于x的函数,然后求这个函数的最大值,即可得到最大面积。

3.3 菱形中的最值问题菱形是具有对边相等、对角线互相垂直的平行四边形。

18.2特殊的平行四边形菱形的性质(教案)

18.2特殊的平行四边形菱形的性质(教案)
b.菱形的性质:熟练掌握菱形的四条边相等、对角线互相垂直、对角线平分一组对角、轴对称性质等,这是解决菱形相关问题的关键。
c.性质的运用:培养学生将菱形的性质应用于解决实际问题的能力,例如求菱形的面积、周长等。
举例:讲解菱形性质时,通过具体图形的绘制和实际例题的演示,强调菱形边长和对角线的关系,以及如何利用这些性质解题。
2.教学难点
a.菱形性质的推导:学生需要通过观察、操作、推理等过程,理解菱形性质的形成,特别是对角线垂直平分的推导,这是学生理解的难点。
b.性质的应用:在解决具体问题时,如何灵活运用菱形的性质,特别是在综合问题中,如何识别并利用菱形的性质简化问题。
c.空间想象能力的培养:在分析菱形时,学生需要具备较强的空间想象能力,能从不同角度审视和解决问题。
4.培养学生的数学运算和数据分析能力,通过解决与菱形相关的问题,让学生熟练运用相关知识进行计算和分析。
5.培养学生的合作交流能力,鼓励学生在小组讨论中分享观点,倾听他人意见,共同探讨菱形性质的应用。
三、教学难点与重点
1.教学重点
a.菱形的定义:确保学生理解邻边相等的平行四边形是菱形,这是判断菱形的基础。
五、教学反思
在今天的课堂中,我发现学生们对菱形的性质表现出很大的兴趣,这让我感到很欣慰。通过导入环节的提问,大家能够联想到生活中的菱形实例,这说明学生们已经具备了观察和联系实际的能力。在新课讲授部分,我注意到有些学生对菱形对角线垂直平分的性质理解不够深入,这是今后教学中需要重点关注的地方。
在实践活动环节,学生们分组讨论和实验操作的过程较为顺利,但我也观察到部分小组在解决问题时仍存在一定的困难。这说明我在教学中需要更多地关注学生的个体差异,给予他们个性化的指导和帮助。此外,在学生小组讨论中,我发现有些学生发言不够积极,可能是因为他们对主题不够熟悉或者缺乏自信。在今后的教学中,我要更加注重激发学生的积极性,鼓励他们大胆表达自己的观点。

特殊的平行四边形专题(题型详细分类)要点

特殊的平行四边形专题(题型详细分类)要点

特殊的平⾏四边形专题(题型详细分类)要点特殊的平⾏四边形讲义知识点归纳矩形,菱形和正⽅形之间的联系如下表所⽰:四边形分类专题汇总专题⼀:特殊四边形的判定矩形菱形正⽅形性质边对边平⾏且相等对边平⾏,四边相等对边平⾏,四边相等⾓四个⾓都是直⾓对⾓相等四个⾓都是直⾓对⾓线互相平分且相等互相垂直平分,且每条对⾓线平分⼀组对⾓互相垂直平分且相等,每条对⾓线平分⼀组对⾓判定 ·有三个⾓是直⾓; ·是平⾏四边形且有⼀个⾓是直⾓; ·是平⾏四边形且两条对⾓线相等. ·四边相等的四边形;·是平⾏四边形且有⼀组邻边相等;·是平⾏四边形且两条对⾓线互相垂直。

·是矩形,且有⼀组邻边相等; ·是菱形,且有⼀个⾓是直⾓。

对称性既是轴对称图形,⼜是中⼼对称图形(1)______________ (2)______________ (3)______________ (4)______________ (5)______________2.矩形的判定⽅法:(1)______________ (2)______________ (3)______________3.菱形的判定⽅法:(1)______________ (2)______________ (3)______________4.正⽅形的判定⽅法:(1)______________ (2)______________ (3)______________5.等腰梯形的判定⽅法:(1)______________ (2)______________ (3)______________【练⼀练】⼀.选择题1.能够判定四边形ABCD是平⾏四边形的题设是().A.AB∥CD,AD=BC B.∠A=∠B,∠C=∠DC.AB=CD,AD=BC D.AB=AD,CB=CD2.具备下列条件的四边形中,不能确定是平⾏四边形的为().A.相邻的⾓互补 B.两组对⾓分别相等C.⼀组对边平⾏,另⼀组对边相等 D.对⾓线交点是两对⾓线中点3.下列条件中,能判定四边形是平⾏四边形的条件是( )A.⼀组对边平⾏,另⼀组对边相等B.⼀组对边平⾏,⼀组对⾓相等C.⼀组对边平⾏,⼀组邻⾓互补D.⼀组对边相等,⼀组邻⾓相等4.如下左图所⽰,四边形ABCD的对⾓线AC和BD相交于点O,下列判断正确的是().A.若AO=OC,则ABCD是平⾏四边形;B.若AC=BD,则ABCD是平⾏四边形;C.若AO=BO,CO=DO,则ABCD是平⾏四边形;D.若AO=OC,BO=OD,则ABCD是平⾏四边形5.不能判定四边形ABCD是平⾏四边形的条件是()A.AB=CD,AD=BC B.AB∥CD,AB=CDC.AB=CD,AD∥BC D.AB∥CD,AD∥BC6.四边形ABCD的对⾓线AC,BD相交于点O,能判断它为矩形的题设是()A.AO=CO,BO=DO B.AO=BO=CO=DOC.AB=BC,AO=CO D.AO=CO,BO=DO,AC⊥BD7.四边形ABCD的对⾓线互相平分,要使它变为矩形,需要添加的条件是()A.AB=CD B.AD=BC C.AB=BC D.AC=BD8.在四边形ABCD中,O是对⾓线的交点,下列条件能判定这个四边形是正⽅形的是()A、AC=BD,AB∥CD,AB=CDB、AD∥BC,∠A=∠CC、AO=BO=CO=DO,AC⊥BDD、AC=CO,BO=DO,AB=BC9.在下列命题中,真命题是()A.两条对⾓线相等的四边形是矩形B.两条对⾓线互相垂直的四边形是菱形C.两条对⾓线互相平分的四边形是平⾏四边形D.两条对⾓线互相垂直且相等的四边形是正⽅形10.在下列命题中,正确的是()11.如图,已知四边形ABCD 是平⾏四边形,下列结论中不正确的是() A .当AB=BC 时,它是菱形 B .当AC ⊥BD 时,它是菱形C .当∠ABC=900时,它是矩形D .当AC=BD 时,它是正⽅形12.如图,在ABC △中,点E D F ,,分别在边AB ,BC ,CA 上,且DE CA ∥,DF BA ∥.下列四个判断中,不正确...的是() A .四边形AEDF 是平⾏四边形B .如果90BAC ∠=o ,那么四边形AEDF 是矩形C .如果AD 平分BAC ∠,那么四边形AEDF 是菱形D .如果AD BC ⊥且AB AC =,那么四边形AEDF 是菱形 13.下列条件中不能判定四边形是正⽅形的条件是()。

宁蒗彝族自治县四中八年级数学下册第18章平行四边形18.2平行四边形的判定二教案新版华东师大版

宁蒗彝族自治县四中八年级数学下册第18章平行四边形18.2平行四边形的判定二教案新版华东师大版

一、教学目标:1.掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法. 2.会综合运用平行四边形的四种判定方法和性质来证明问题.3.通过平行四边形的性质与判定的应用,启迪学生的思维,提高分析问题的能力.二、重点、难点1.重点:平行四边形各种判定方法及其应用,尤其是根据不同条件能正确地选择判定方法.2.难点:平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用. 三、例题的意图分析本节课的两个例题都是补充的题目,目的是让学生能掌握平行四边形的第三种判定方法和会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题.学生程度好一些的学校,可以适当地自己再补充一些题目,使同学们会应用这些方法进行几何的推理证明,通过学习,培养学生分析问题、寻找最佳解题途径的能力.四、课堂引入1.平行四边形的性质; 2.平行四边形的判定方法;3.【探究】 取两根等长的木条AB 、CD ,将它们平行放置,再用两根木条BC 、AD 加固,得到的四边形ABCD 是平行四边形吗?结论:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.五、例习题分析例1(补充)已知:如图,ABCD 中,E 、F 分别是AD 、BC 的中点,求证:BE=DF .分析:证明BE=DF ,可以证明两个三角形全等,也可以证明 四边形BEDF 是平行四边形,比较方法,可以看出第二种方法简单.证明:∵ 四边形ABCD 是平行四边形, ∴ AD ∥CB ,AD=CD .∵ E 、F 分别是AD 、BC 的中点, ∴ DE ∥BF ,且DE=21AD ,BF=21BC .∴ DE=BF .∴ 四边形BEDF 是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形平行四边形). ∴ BE=DF .此题综合运用了平行四边形的性质和判定,先运用平行四边形的性质得到判定另一个四边形是平行四边形的条件,再应用平行四边形的性质得出结论;题目虽不复杂,但层次有三,且利用知识较多,因此应使学生获得清晰的证明思路.例2(补充)已知:如图,ABCD中,E、F分别是AC上两点,且BE⊥AC于E,DF⊥AC于F.求证:四边形BEDF是平行四边形.分析:因为BE⊥AC于E,DF⊥AC于F,所以BE∥DF.需再证明BE=DF,这需要证明△ABE 与△CDF全等,由角角边即可.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴ AB=CD,且AB∥CD.∴∠BAE=∠DCF.∵ BE⊥AC于E,DF⊥AC于F,∴ BE∥DF,且∠BEA=∠DFC=90°.∴△ABE≌△CDF (AAS).∴ BE=DF.∴四边形BEDF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形平行四边形).六、课堂练习1.(选择)在下列给出的条件中,能判定四边形ABCD为平行四边形的是().(A)AB∥CD,AD=BC (B)∠A=∠B,∠C=∠D(C)AB=CD,AD=BC (D)AB=AD,CB=CD2.已知:如图,AC∥ED,点B在AC上,且AB=ED=BC,找出图中的平行四边形,并说明理由.3.已知:如图,在ABCD中,AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的平分线.求证:四边形AFCE是平行四边形.七、课后练习1.判断题:(1)相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形; ( )(2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形; ( )(3)一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形; ( )(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形; ( )(5)对角线相等的四边形是平行四边形; ( )(6)对角线互相平分的四边形是平行四边形. ( )2.延长△ABC的中线AD至E,使DE=AD.求证:四边形ABEC是平行四边形.3.在四边形ABCD中,(1)AB∥CD;(2)AD∥BC;(3)AD=BC;(4)AO=OC;(5)DO=BO;(6)AB=CD.选择两个条件,能判定四边形ABCD是平行四边形的共有________对.(共有9对)15.1 分 式15.1.1 从分数到分式1.了解分式的概念,能判断一个代数式是否为分式,会求分式的值.(重点)2.理解当分母不为零时分式才有意义;在分式有意义的条件下,会求分式的分母中所含字母的取值范围;会确定分式的值为零的条件.(难点)一、情境导入多媒体展示,学生欣赏一组图片(长江三峡).长江三峡自古以来就是四川通往中原的重要水路,也是秀美壮丽、享誉中外的世界旅游胜地.早在1500多年前的魏晋时期,地理学家郦道元就在他的著作《水经注》中留下一段生动的描述:“有时朝发白帝城,暮至江陵,期间千二里,虽乘龙御风,不以疾也.”多媒体出示以下问题:(1)如果客船早6时从白帝城启航,顺水而下,傍晚6时到达江陵,航程600千米,客船航行的平均速度约为多少千米/小时?(2)如果客船8小时航行了s 千米,该船航行的平均速度是多少?(3)如果客船在静水中的航行速度为v 千米/小时,江水流动的平均速度为20千米/小时.那么客船顺水而下,航行600千米需多少时间?如果客船逆水航行s 千米,需要多少时间?你能解答情境导入中的问题吗?与同学交流.二、合作探究探究点一:分式的概念【类型一】 判断代数式是否为分式在式子1a 、2xy π、3a 2b 3c 4、56+x 、x 7+y 8、9x +10y 中,分式的个数有( )A .2个B .3个C .4个D .5个解析:1a 、56+x 、9x +10y这3个式子的分母中含有字母,因此是分式.其他式子分母中均不含有字母,是整式,而不是分式.故选B.方法总结:分母中含有字母的式子就是分式,注意π不是字母,是常数.【类型二】 探究分式的规律观察下面一列分式:x 3y ,-x 5y 2,x 7y 3,-x 9y4,…(其中x ≠0).(1)根据上述分式的规律写出第6个分式;(2)根据你发现的规律,试写出第n (n 为正整数)个分式,并简单说明理由.解析:(1)根据已知分式的分子与分母的次数与系数关系得出答案;(2)利用(1)中数据的变化规律得出答案.解:(1)观察各分式的规律可得:第6个分式为-x 13y6;(2)由已知可得:第n (n 为正整数)个分式为(-1)n +1×x 2n +1yn ,理由:∵分母的底数为y ,次数是连续的正整数,分子底数是x ,次数是连续的奇数,且偶数个为负,∴第n (n 为正整数)个分式为(-1)n +1×x 2n +1yn .方法总结:此题主要考查了分式的定义以及数字变化规律,得出分子与分母的变化规律是解题关键.【类型三】 根据实际问题列分式每千克m 元的糖果x 千克与每千克n 元的糖果y 千克混合成杂拌糖,这样混合后的杂拌糖果每千克的价格为( )A.nx +my x +y 元B.mx +nyx +y 元 C.m +n x +y 元 D.12(x m +y n)元 解析:由题意可得杂拌糖每千克的价格为mx +nyx +y元.故选B. 方法总结:解决问题的关键是读懂题意,找到关键描述语,找到所求的量的等量关系,列出代数式.探究点二:分式有意义或无意义的条件 【类型一】 分式有意义的条件分式x -1(x -1)(x -2)有意义,则x 应满足的条件是( )A .x ≠1B .x ≠2C .x ≠1且x ≠2D .以上结果都不对解析:∵分式有意义,∴(x -1)(x -2)≠0,∴x -1≠0且x -2≠0,∴x ≠1且x ≠2.故选C.方法总结:分式有意义的条件是分母不等于零.【类型二】 分式无意义的条件使分式x3x -1无意义的x 的值是( )A .x =0B .x ≠0C .x =13D .x ≠13解析:由分式有意义的条件得3x -1≠0,解得x ≠13.则分式无意义的条件是x =13,故选C.方法总结:分式无意义的条件是分母等于0.探究点三:分式的值为零、为正或为负的条件若使分式x 2-1x +1的值为零,则x 的值为( )A .-1B .1或-1C .1D .以上都不对解析:由题意得x 2-1=0且x +1≠0,解得x =1,故选C.方法总结:分式的值为零的条件:(1)分子为0;(2)分母不为0.这两个条件缺一不可.三、板书设计从分数到分式1.分式的概念:一般地,如果A 、B 表示两个整式,并且B 中含有字母,那么式子A B叫做分式.2.分式A B 有无意义的条件:当B ≠0时,分式有意义;当B =0时,分式无意义. 3.分式A B值为0的条件:当A =0,B ≠0时,分式的值为0.本节采取的教学方法是引导学生独立思考、小组合作,完成对分式概念及意义的自主探索;通过“课后练习应用拓展”这一环节发展了学生思维,巩固了课堂知识,增强了学生实践应用能力.提出问题让学生解决,问题由易到难,层层深入,既复习了旧知识又在类比过程中获得了解决新知识的途径.在这一环节提问应注意循序性,先易后难、由简到繁、层层递进,台阶式的提问使问题解决水到渠成.等腰三角形基础训练1.若一个等腰三角形的两边长分别为2和5,则它的周长为(A ) A. 12 B. 9C. 12或9D. 9或72.如果三角形满足一个角是另一个角的3倍,那么我们称这个三角形为“智慧三角形”.下列各组数据中,能作为一个智慧三角形三边长的一组是(D )A. 1,2,3B. 1,1, 2C. 1,1, 3D. 1,2, 33.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,则顶角度数为(D ) A. 60° B. 120°C. 60°或150°D. 60°或120°4.下面给出的几种三角形:①有两个角为60°的三角形;②三个外角都相等的三角形;③一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形;④有一个角为60°的等腰三角形.其中一定是等边三角形的有(B )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个(第5题图)5.如图,在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ,过点O 作EF ∥BC 交AB 于点E ,交AC 于点F ,过点O 作OD ⊥AC 于D ,下列四个结论:①EF =BE +CF ;②∠BOC =90°+12∠A ;③点O 到△ABC 各边的距离相等;④设OD =m ,AE +AF =n ,则S △AEF =mn . 其中正确的结论是( A )A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①③④(第6题图)6.如图,在△ABC 中,D ,E 分别是AC ,AB 上的点,BD 与CE 交于点O .给出下列三个条件:①∠EBO =∠DCO ;②∠BEO =∠CDO ;③BE =CD .上述三个条件中,哪两个条件组合可判定△ABC 是等腰三角形(用序号写出一种情形):①③或②③.7.在△ABC AB =22,BC =1,∠ ABC =45°,以AB 为一边作等腰直角三角形ABD ,使∠ABD =90°,连结CD ,则线段CD 的长为__5或13__.(第8题图)8.如图,在△ABC 中,AB =AC ,D 为CA 延长线上一点,DE ⊥BC ,交线段AB 于点F .请找出一组相等的线段(AB =AC 除外)并加以证明.解:AD =AF .证明如下: ∵AB =AC ,∴∠B =∠C . ∵DE ⊥BC ,∴∠B +∠BFE =∠C +∠D =90°, ∴∠BFE =∠D . ∵∠BFE =∠DFA , ∴∠DFA =∠D , ∴AF =AD .拓展提高(第9题图)9.如图,△ABC 是等边三角形,点P 是∠ABC 的平分线BD 上一点,PE ⊥AB 于点E ,线段BP 的垂直平分线交BC 于点F ,垂足为Q .若BF =2,则PE 的长为(B )A. 2B. 3C. 2 3D. 310.已知等腰△ABC 中,AD ⊥BC 于点D ,且AD =12BC ,则△ABC 底角的度数为(D )A. 45°B. 75°C. 60°D. 45°或75°11.在平面直角坐标系中,点A (2,2),B (32,32),动点C 在x 轴上,若以A ,B ,C 三点为顶点的三角形是等腰三角形,则点C 的个数为(B )A. 2B. 3C. 4D. 512.如图,等腰△ABC 纸片(AB =AC )可按图中所示方法折成一个四边形,点A 与点B 重合,点C 与点D 重合,则在原等腰△ABC 中,∠B =72度.(第12题图)(第13题图)13.如图,在四边形ABCD 中,AD ∥BC ,∠ABC 与∠DCB 的平分线相交于点H ,过H 作AD 的平分线交AB 于E ,交CD 于F .若BE =3,CF =2,则EF =__5__.14.如图,已知∠AOB =α,在射线OA ,OB 上分别取点OA =OB 1,连结AB 1,在B 1A ,B 1B 上分别取点A 1,B 2,使B 1B 2=B 1A 1,连结A 1B 2,…,按此规律下去,记∠A 1B 1B 2=θ1,∠A 2B 2B 3=θ2,…,∠A n B n B n +1=θn ,则:(1)θ1=180°+α2;(2) θn =()2n -1·180°+α2n. ,(第14题图))15.在如图所示的钢架中,焊上等长的13根钢条来加固钢架.若AP 1=P 1P 2=P 2P 3=…=P 13P 14=P 14A ,则∠A 的度数是__12°__.,(第15题图))16.如图,∠BOC =9°,点A 在OB 上,且OA =1,按下列要求画图: 以点A 为圆心,1为半径向右画弧交OC 于点A 1,得第1条线段AA 1; 再以点A 1为圆心,1为半径向右画弧交OB 于点A 2,得第2条线段A 1A 2; 再以点A 2为圆心,1为半径向右画弧交OC 于点A 3,得第3条线段A 2A 3; ……这样画下去,直到得第n 条线段,之后就不能再画出符合要求的线段了,则n =__9__.,(第16题图))17.如图,已知点A (3,0),B (0,4),C 为x 轴上一点. (1)画出等腰三角形ABC . (2)求出C 点的坐标.,(第17题图))解:(1)如解图.,(第17题图解))(2)①当A 是顶点时,C 1(-2,0),C 2(8,0), ②当B 是顶点时,C 3(-3,0)③当C 是顶点时,C 4⎝ ⎛⎭⎪⎫-76,0.(第18题图)18.如图,在△ABC 中,AD ⊥BC ,垂足为D ,BE ⊥AC ,垂足为E ,M 为AB 边的中点,连结ME ,MD ,ED . (1)求证:△MED 为等腰三角形. (2)求证:∠EMD =2∠DAC .解:(1)证明:∵M 为AB 边的中点,AD ⊥BC ,BE ⊥AC ,∴ME =12AB ,MD =12AB ,∴ME =MD ,∴△MED 为等腰三角形.(2)∵ME =12AB =MA ,∴∠MAE =∠MEA , ∴∠BME =2∠MAE .同理,MD =12AB =MA ,∴∠MAD =∠MDA , ∴∠BMD =2∠MAD ,∴∠EMD =∠BME -∠BMD =2∠MAE -2∠MAD =2∠DAC .(第19题图)19.如图,已知点D 为等腰直角△ABC 内一点,∠CAD =∠CBD =15°,E 为AD 延长线上的一点,且CE =CA .(1)求证:DE 平分∠BDC .(2)若点M 在DE 上,且DC =DM ,求证:ME =BD . 解:(1)证明:∵△ABC 为等腰Rt△, ∴AC =BC ,∠CAB =∠CBA =45°. ∵∠CAD =∠CBD =15°,∴∠BAD =∠ABD =45°-15°=30°,∴BD =AD . 又∵CA =CB ,∴△BDC ≌△ADC (SAS ). ∴∠DCA =∠DCB .又∵∠ACB =90°,∴∠DCA =∠DCB =45°.∵∠BDE =∠ABD +∠BAD =30°+30°=60°,∠EDC =∠DAC +∠DCA =15°+45°=60°, ∴∠BDM =∠EDC .∴DE 平分∠BDC .(第19题图解)(2)如解图,连结MC .∵DC =DM ,且∠MDC =60°, ∴△MDC 是等边三角形, ∴CM =CD .又∵∠EMC=180°-∠DMC=180°-60°=120°,∠ADC=180°-∠MDC=180°-60°=120°,∴∠EMC=∠ADC.又∵CE=CA,∴∠DAC=∠CEM=15°.∴△ADC≌△EMC(AAS).∴ME=AD=BD.11。

八年级数学下册18.2特殊的平行四边形易错题

八年级数学下册18.2特殊的平行四边形易错题

八年级数学下册18.2特殊的平行四边形易错题1、下列图形中,是轴对称图形的是()答案C 解析考点:轴对称图形.分析:根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.解答:解:A、B、D都不是轴对称图形,只有C是轴对称图形.故选C.点评:掌握好轴对称的概念.轴对称的关键是寻找对称轴,两边图象折叠后可重合.2、1. 下列说法不正确的是答案D 解析3、如图,在矩形ABCD中,AB=11cm,BC=6cm,点E、F分别在AB、CD上,将矩形ABCD沿EF折叠,使点答案B 解析考点:翻折变换(折叠问题).分析:延长A′E交CD于点G,由题意知GE=EH,FH=GF,则阴影部分的周长与原矩形的周长相等.解答:解:延长A′E 交CD于点G,由题意知,GE=EH,FH=GF,四边形EHD′A′≌四边形EGDA∴阴影部分的周长=矩形的周长=(11+6)×2=34cm.故选B.4、对左下方的几何体变换位置或视角,则可以得到的几何体是()答案B 解析5、用四舍五入法按要求对0.05049分别取近似值,其中错误的是()A.0.1(精确到0.1)B.0.05(精确答案C 解析6、如图,在数轴上点A和点B之间的整数是; 答案?2 解析7、下列函数不属于二次函数的是( ;)答案解析8、计算结果是A.0B.1C.-1D.x 答案C 解析9、一个平行四边形绕着对角线的交点旋转90°能够与本身重合,则该平行四边形为(;答案C 解析考点:旋转的性质;正方形的判定.分析:根据题意,该四边形的对角线互相垂直平分且相等.解答:解:因为平行四边形对角线互相平分,绕着它的对角线的交点旋转90°,能够与它本身重合,说明对角线互相垂直平分且相等,所以该四边形是正方形.故选C.点评:此题考查了平行四边形的性质及与特殊四边形的关系,属基础题.解题时要根据旋转的性质解答.10、、若,则二次函数的图象的顶点在答案D 解析11、图中的两个三角形是位似图形,它们的位似中心是();A.答案A 解析12、﹣5的相反数是()A.﹣5B.5C.﹣D.答案B 解析13、;(2011浙江丽水,7,3分)计算–的结果为(答案C 解析14、右图是某同学对二氧化碳部分知识构建的网络图(部分反应条件和部分生成物省略)。

人教版八年级下册 第十八章特殊平行四边形复习总结 复习讲义(无答案)

人教版八年级下册 第十八章特殊平行四边形复习总结 复习讲义(无答案)

一、教学内容及授课目标:教学内容:1.掌握菱形、矩形、正方形的概念和性质;2.理解菱形、矩形、正方形与平行四边形的区别与联系。

知识目标:熟练掌握特殊的平行四边形之间的区别与联系能力目标:通过定理的证明与应用的学习,使学生逐步学会从题设和结论出发,寻找论证思路分析法和综合法,进一步提高分析问题,解决问题的能力情感目标:通过性质定理的探索过程。

进一步发展合情推理能力二、教学重点、难点、疑点:重点:1.熟练掌握特殊平行四边形的性质与判定2.综合利用不同特殊平行四边形的性质和判定进行证明和解决相关问题难点:掌握特殊平行四边形的判定、性质及从属关系知识梳理知识点一:特殊平行四边形的判定和性质:知识点二:. 平行四边形、矩形、菱形与正方形之间的联系:例题精讲 考点1 矩形的性质和判定(5年2考)【例1】(2016广东)如图1-5-23-3,矩形ABCD 中,对角线AC=32,E 为BC 边上一点,BC=3BE ,将矩形ABCD 沿AE 所在的直线折叠,B 点恰好落在对角线AC 上的B ′处,则AB=______.1. (2019通辽)如图1-5-23-4,在矩形ABCD 中,AD =8,对角线AC 与BD 相交于点O ,AE ⊥BD ,垂足为点E ,且AE 平分∠BAC ,试求线段AB 的长.2. (2019广州)如图1-5-23-5,矩形ABCD 中,对角线AC 的垂直平分线EF 分别交BC ,AD 于点E ,F.若BE =3,AF =5,则AC 的长为 ( )A. 54B. 34C. 10D. 83. (2019新疆)如图1-5-23-6,在菱形ABCD 中,对角线AC, BD 相交于点O ,E 是CD 的中点,连接OE. 过点C 作CF ∥BD 交OE 的延长线于点F ,连接DF.求证:(1)△ODE ≌△FCE ;(2)四边形OCFD 是矩形.考点2 菱形的性质和判定(5年2考)【例2】(2015广东)如图1-5-23-7,菱形ABCD的边长为6,∠ABC=60°,则对角线AC的长是______.1. (2017广东)如图1-5-23-8,已知四边形ABCD,四边形ADEF都是菱形,∠BAD=∠FAD,∠BAD为锐角.(1)求证:AD⊥BF;(2)若BF=BC,求∠ADC的度数.2. (2019泸州)一个菱形的边长为6,面积为28,则该菱形的两条对角线的长度之和为( )A. 8B. 12C. 16D. 323. (2019百色)如图1-5-23-9,菱形ABCD中,作BE⊥AD, CF⊥AB,分别交AD,AB的延长线于点E,F.(1)求证:AE=BF;(2)若点E恰好是AD的中点,AB=2,求BD的值.考点3 正方形的性质和判定(5年2考)【例3】(2019广东)如图1-5-23-10,正方形ABCD的边长为4,延长CB至点E使EB=2,以EB为边在上方作正方形EFGB,延长FG交DC于点M,连接AM,AF,H为AD的中点,连接FH分别与AB,AM交于点N,K,则下列结论:①△ANH≌△GNF;②∠AFN=∠HFG;③FN=2NK;④S△AFN∶S△ADM=1∶4. 其中正确的结论有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个1. (2019兰州)如图1-5-23-11,边长为的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O,将正方形ABCD沿直线DF折叠,点C落在对角线BD上的点E处,折痕DF交AC于点M,求OM的长.2. (2017广东)如图1-5-23-12,已知正方形ABCD,点E是BC边的中点,DE与AC相交于点F,连接BF.下列结论:①S△ABF=S△ADF;②S△CDF=4S△CEF;③S△ADF=2S△CEF;④S△ADF=2S△CDF,其中正确的是( )A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④3. (2019长沙)如图1-5-23-13,正方形ABCD中,点E,F分别在AD,CD上,且DE=CF,AF与BE相交于点G.(1)求证:BE=AF;(2)若AB=4,DE=1,求AG的长.考点点拨:本考点的题型不固定,难度中等.解此类题的关键在于熟练掌握正方形的性质和判定定理.能力提升1. (2019毕节)如图1-5-23-14,点E在正方形ABCD的边AB上,若EB=1,EC=2,则正方形ABCD的面积为()A.3B. 3C. 5D. 52. (2019重庆)下列命题正确的是 ( )A. 有一个角是直角的平行四边形是矩形B. 四条边相等的四边形是矩形C. 有一组邻边相等的平行四边形是矩形D. 对角线相等的四边形是矩形3. (2019宁夏)如图1-5-23-15,四边形ABCD 的两条对角线相交于点O ,且互相平分. 添加下列条件,仍不能判定四边形ABCD 为菱形的是 ( )A. AC ⊥BDB. AB =ADC. AC =BDD. ∠ABD =∠CBD4. (2019郴州)我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的三角形,如图1-5-23-16.已知∠A =90°,BD =4,CF =6,则正方形ADOF 的边长是( ) A.2 B. 2 C. 3 D. 45. (2019徐州)如图1-5-23-17,矩形ABCD 中,AC,BD 交于点O ,M,N 分别为BC,OC 的中点. 若MN =4,则AC 的长为______.6. (2019宁夏)如图1-5-23-18,已知矩形ABCD 中,点E ,F 分别是AD ,AB 上的点,EF ⊥EC ,且AE =CD.(1)求证:AF =DE ;(2)若DE = 52AD ,求tan ∠AFE.7. (2019宁波)如图1-5-23-19,矩形EFGH的顶点E,G分别在菱形ABCD的边AD,BC上,顶点F,H在菱形ABCD 的对角线BD上.(1)求证:BG=DE;(2)若E为AD的中点,FH=2,求菱形ABCD的周长.8. (2019青岛)如图1-5-23-20,在菱形ABCD中,点P是BC边上一点,连接AP,点E,F是AP上的两点,连接DE,BF,使得∠AED=∠ABC,∠ABF=∠BPF.求证:(1)△ABF≌△DAE;(2)DE=BF+EF.9. (2019孝感)如图1-5-23-21,正方形ABCD中,点E,F分别在边CD,AD上,BE与CF交于点G. 若BC=4,DE =AF=1,求GF的长.10. (2019广州)如图1-5-23-22,正方形ABCD 的边长为a ,点E 在边AB 上运动(不与点A ,B 重合),∠DAM =45°,点F 在射线AM 上,且AF =2BE ,CF 与AD 相交于点G ,连接EC ,EF ,EG ,则下列结论:①∠ECF =45°;②△AEG 的周长为;③BE2+DG2=EG2;④△EAF 的面积的最大值为281a . 其中正确的结论是______. (填写所有正确结论的序号)11. (2019深圳)如图1-5-23-23,已知菱形ABCD 中,E ,F 是动点,边长为4,BE=AF ,∠BAD=120°,则下列结论正确的有 ( )①△BEC ≌△AFC ;②△ECF 为等边三角形;③∠AGE=∠AFC ;④若AF=1,则31 EG GF A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个课后练习1. (2019巴中)下列命题是真命题的是( )A. 对角线相等的四边形是矩形B.对角线互相垂直的四边形是矩形C.对角线互相垂直的矩形是正方形D.四边相等的平行四边形是正方形2. (2019河北)如图K1-5-23-1,菱形ABCD 中,∠D=150°,则∠1=( )A. 30°B. 25°C. 20°D. 15°3. (2017葫芦岛)如图K1-5-23-2,将矩形纸片ABCD 沿直线EF 折叠,使点C 落在AD 边的中点C ′处,点B 落在点B ′处,其中AB=9,BC=6,则FC ′的长为 ( )A. 310 B. 4 C. 4.5 D. 54. (2019甘肃)如图K1-5-23-3,在正方形ABCD 中,点E 是BC 的中点,连接DE ,过点A 作AG ⊥ED 交DE 于点F ,交CD 于点G.(1)证明:△ADG ≌△DCE ;(2)连接BF ,证明:FB=AB.5. (2019鹤岗)如图K1-5-23-4,矩形ABCD 的对角线AC, BD 相交于点O ,AB ∶BC=3∶2,过点B 作BE ∥AC ,过点C 作CE ∥DB ,BE,CE 交于点E ,连接DE ,则tan ∠ EDC= ( )A. 92B. 41C. 62D. 103。

专题06 特殊平行四边形重点知识讲义(解析版)

专题06 特殊平行四边形重点知识讲义(解析版)

专题06 特殊平行四边形重点知识讲义几个结论1. 平行四边形对角线与边关系AC2+BD2=2(AB2+BC2)思考:在证明含有线段平分的关系时,考虑勾股定理,而勾股定理离不开直角三角形,故而需要作垂线构造直角三角形.理由:过A,D分别作AE⊥BC于E,DF⊥BC于F,则AC2+BD2=AE2+CE2+BF2+DF2= AE2+(BC-BE)2+(BC+CF)2+DF2=AE2+BC2-2BC·BE+BE2+BC2+2BC·CF+CF2+DF2 = AE2+BC2+BE2+BC2+CF2+DF2=2(AB2+BC2)2. 对角线互相垂直四边形四边形ABCD对角线,AC⊥BD,结论:S=12 AC·BDAB2+CD2=BC2+AD23. 中点四边形任意四边形中点四边形均为平行四边形对角线垂直的四边形的中点四边形为矩形对角线相等的四边形的中点四边形为菱形对角线垂直且相等的四边形的中点四边形为正方形4. 三角形一边的中线等于这边的一半,则该三角形为直角三角形.由图,知∠ACB=x+y=90°.5. 正方形中的“蝴蝶”四边形ABCD为正方形,BN⊥AM,则BN=AM.典例解析1.【特殊四边形判定】【例1】(2021·重庆渝中区月考)下列命题中,是真命题的是()A.对角线相等的平行四边形是菱形B.一组邻边相等的四边形是菱形C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.四个角相等的四边形是菱形【答案】C.【解析】解:A、对角线相等的平行四边形是矩形,A错误;B、一组邻边相等的平行四边形是菱形,B错误;C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形,C正确;D、四个角相等的四边形是矩形,D错误;故答案为:C.【变式1-1】下列命题中,正确的是()A.两邻边相等的四边形是菱形B.一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形C.对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形D.对角线垂直的四边形是菱形【答案】B.【解析】解:两邻边相等的平行四边形是菱形,故A错误;一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形,故B正确;对角线垂直且一组邻边相等的四边形不一定是菱形,比如筝形,故C错误;对角线垂直的平行四边形是菱形,故D错误;故答案为:B.【例2】(2020·银翔实验中学月考)下列四个命题中,假命题是()A.对角线互相平分的四边形是平行四边形B.对角线互相垂直平分的四边形是矩形C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形【答案】B.【解析】A、对角线互相平分的四边形是平行四边形,是真命题;B、对角线相等且平分的四边形是矩形,原命题是假命题;C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形,是真命题;D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形,是真命题;故答案为:B.【变式2-1】(2020·河南开封期末)下列命题中,真命题是()A.一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形B.有一个角是直角的四边形是矩形C.一组邻边相等且对角线互相垂直的四边形是菱形D.有一个角是直角且对角线互相垂直平分的四边形是正方形【解析】A.一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形,错误;B.有一个角是直角的平行四边形是矩形,错误;C.一组邻边相等且对角线互相垂直的四边形不一定是菱形,错误;D.有一个角是直角且对角线互相垂直平分的四边形是正方形,正确.故答案为:D.【变式2-2】(2020·河南驻马店期末)下列说法正确的个数是()①对角线互相垂直或有一组邻边相等的矩形是正方形;②对角线相等或有一个角是直角的菱形是正方形;③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形;④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D.【解析】解:①对角线互相垂直或有一组邻边相等的矩形是正方形,正确;②对角线相等或有一个角是直角的菱形是正方形,正确;③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形,正确;④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形,正确;故答案为:D.【例3】(2020·石家庄市期中)如图,在△ABC中,点D是边BC上的点(与B、C两点不重合),过点D作DE//AC,DF//AB,分别交AB、AC于E、F两点,下列说法错误的是()A.四边形AEDF是平行四边形B.若AD平分∠BAC,则四边形AEDF是菱形C.若AB⊥AC,则四边形AEDF是矩形D.若BD=CD,则四边形AEDF是正方形【答案】D.【解析】解:∵DE//AC,DF//AB,∴四边形AEDF是平行四边形,故A正确;若AD平分∠BAC,则∠EAD=∠F AD,又∵∠EAD=∠FDA,∴∠F AD=∠FDA∴平行四边形AEDF是菱形,故B正确;∵AB⊥AC,∴平行四边形AEDF是矩形,故C正确;若BD=CD,则四边形AEDF不一定是正方形;选项D错误.故答案为:D.【变式3-1】(2021·上海月考)已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中不正确的是()=时,四边形ABCD是菱形A.当AB BC⊥时,四边形ABCD是菱形B.当AC BD∠=时,四边形ABCD是矩形C.当90ABC=时,四边形ABCD是正方形D.当AC BD【答案】D.【解析】解:根据邻边相等的平行四边形是菱形,A叙述正确;根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形,B叙述正确;根据有一个角是直角的平行四边形是矩形,C叙述正确;根据对角线相等的平行四边形是矩形,D叙述错误,符合题意;故答案为:D.>,【变式3-2】(2021·辽宁铁岭市期末)如图,点O为矩形ABCD的对称中心,AD AB 点E从点B出发(不含点B)沿BC向点C运动,移动到点C停止,延长EO交AD于点F,则四边形BEDF形状的变化依次为()A.平行四边形→菱形→正方形→矩形B.平行四边形→正方形→菱形→矩形C.平行四边形→菱形→平行四边形→矩形D.平行四边形→正方形→平行四边形→矩形【答案】C.【解析】解:连接BD∵点O为矩形ABCD的对称中心,∴BD经过点O,OD=OB,∴∠FDO =∠EBO , ∴△DFO ≌△BEO , ∴DF =BE , ∵DF ∥BE ,∴四边形BEDF 是平行四边形,观察图形可知,四边形AECF 形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形. 故答案为:C .【例4】(2021·广东模拟)如图,Rt △ABC 中,∠ABC =90°,点D ,F 分别是AC ,AB 的中点,CE ∥DB ,BE ∥DC .(1)求证:四边形DBEC 是菱形;(2)若AD =5,DF =2,求四边形DBEC 面积.【答案】(1)见解析;(2).【解析】(1)证明:∵CE ∥DB ,BE ∥DC , ∴四边形DBEC 为平行四边形.∵Rt △ABC 中,∠ABC =90°,点D 是AC 的中点, ∴CD =BD =12AC , ∴平行四边形DBEC 是菱形;(2)∵点D ,F 分别是AC ,AB 的中点,AD =5,DF =2, ∴DF 是△ABC 的中位线,AC =2AD =10,S △BCD =12S △ABC ∴BC =2DF =4. ∵∠ABC =90°,∴AB ==∵平行四边形DBEC 是菱形,∴S 四边形DBEC =2S △BCD =S △ABC =12AB •BC =142⨯= 【变式4-1】(2021·山东济宁市)在Rt △ABC 中,∠BAC =90°,D 是BC 的中点,E 是AD 的中点,过点A 作AF ∥BC 交BE 的延长线于点F .(1)求证:△AEF≌△DEB;(2)证明四边形ADCF是菱形.【答案】见解析.【解析】解:(1)∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DBE,∵E是AD的中点,∴AE=DE,∵∵AEF=∵DEB∵∵AEF∵∵DEB;(2)由(1)可知,AF=BD,∵D是BC的中点,∴BD=CD,∴AF=CD,∵AF∥CD,∴四边形ADCF是平行四边形,∵△ABC为直角三角形,∴AD=CD,∴四边形ADCF是菱形.【例5】(2021·湖南娄底市)如图,已知平行四边形ABCD,若M,N是BD上两点,且BM =DN,AC=2OM,(1)求证:四边形AMCN是矩形;(2)△ABC满足什么条件,四边形AMCN是正方形,请说明理由.【答案】见解析.【解析】(1)证明:四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD,∵BM=DN,∴OB-BM=OD-DN,即OM=ON,∴四边形AMCN是平行四边形,∴MN=2OM,∵AC=2OM,∴MN=AC,∴四边形AMCN是矩形;(2)当AB=BC时,四边形AMCN是正方形;∵AB=BC,四边形ABCD是平行四边形,∴四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∴AC⊥MN,由(1)可知四边形ABCD是矩形,∴四边形ABCD是正方形;【变式5-1】(2020·赣州市期中)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线m//AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线m于点E,垂足为点F,连接CD、BE.(1)求证:CE=AD;(2)当点D是AB中点时,四边形BECD是什么特殊四边形?说明你的理由;(3)若点D是AB中点,则当∠A的大小满足什么条件时,四边形BECD是正方形?【答案】见解析.【解析】(1)证明:∵直线m//AB,∴EC//AD.∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC.又∵DE⊥BC,∴DE//AC.∵EC//AD,DE//AC,∴四边形ADEC是平行四边形,∴CE=AD.(2)当点D是AB中点时,四边形BECD是菱形.证明:∵D是AB中点,∴DB=DA,又∵直线m //AB ,CE =AD , ∴DB =CE ,DB //CE ,∴四边形BDCE 是平行四边形, 又∵DE ⊥BC ,∴四边形BECD 是菱形,(3)当∠A 的大小是45°时,四边形BECD 是正方形. 证明:∵D 是AB 中点, ∴DB =DA ,又∵直线m //AB ,CE =AD , ∴DB =CE ,DB //CE ,∴四边形BDCE 是平行四边形, ∵DE ⊥BC ,∴四边形BECD 是菱形, ∴BC 平分∠EBD , ∵∠A =45°, ∴∠CBA =45°, ∴∠EBD =90°, ∴菱形BECD 是正方形.【变式5-2】(2020·四川广安市期末)如图,在ABC 中,点O 是AC 边上的一个动点,过点O 作直线//BC MN ,设MN 交BCA ∠的角平分线于点E ,交BCA ∠的外角的平分线于点F ,连接AF . (1)求证:EO FO =;(2)当点O 运动到何处时,四边形AECF 是矩形?并证明你的结论.(3)在(2)的条件下,ABC 满足什么条件时,四边形AECF 是正方形?并说明理由.【答案】见解析.【解析】(1)证明:∵MN ∥BC ∴∠3=∠2. 又∵CF 平分∵ACG , ∴∠1=∠2,∴∠1=∠3,∴OC=OF,同理,OC=OE,∴OE=OF.(2)解:当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形,证明如下:当点O运动到AC的中点时,OA=OC.又∵OE=OF,∴四边形AECF是平行四边形,由(1)可知,OC=OF,∵AC=EF,∴四边形AECF是矩形.(3)在(2)的条件下,∵ACB=90°时,四边形AECF是正方形.理由:由(2)知,当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形.∵MN∥BC,∴∠AOE=∠ACB,当∵ACB=90°时,∵AOE=90°,即AC∵EF,∴四边形AECF是正方形.2.【特殊四边形性质应用】【例6】(2020·吉水县期末)如图,边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG,EF交AD于点H,那么DH的长是_____.【解析】解:连接CH,∵四边形ABCD,四边形EFCG都是正方形,∵∵F=∵D=90°,∵∵CFH与∵CDH都是直角三角形,在Rt∵CFH与Rt∵CDH中,∵,∵∵CFH ∵∵CDH (HL ). ∵∵DCH =12∵DCF =12(90°﹣30°)=30°. 在Rt ∵CDH 中,CD =3,∵DH【变式6-1】(2021·重庆南开中学月考)如图,菱形ABCD 的对角线AC ,BD 相交于O 点,E ,F 分别是AB ,BC 边上的中点,连接EF .若EF 8BD =,则菱形ABCD 的周长为( )A .B .16C .D .32【答案】C .【解析】解:∵E ,F 分别是AB ,BC 边上的中点,EF =∵AC =2EF =∵四边形ABCD 是菱形,BD =8,∵AC ∵BD ,OA =12AC =OB =12BD =4,∵AB =∵菱形ABCD 的周长为:4= 故答案为:C .【变式6-2】(2021·四川成都市期中)如图,在等腰Rt ∵ABC 中,∵ACB =90°,AC =3,以斜边AB 为边向外作正方形ABDE ,连接CE ,则CE 的长为( )A .5BC .D 【答案】C .【解析】解:过E 作EF ∵AC ,交CA 的延长线于F ,∵四边形ABDE 为正方形, ∵∵BAE =90°,AE =AB ,∵∵EAF +∵AEF =90°,∵EAF +∵BAC =90°, ∵∵AEF =∵BAC , 在∵AEF 和∵BAC 中, ,∵∵AEF ∵∵BAC (AAS ), ∵EF =AC =AF =BC =3,在Rt ∵ECF 中,EF =3,FC =F A +AC =3+3=6,根据勾股定理得:CE = 故答案为:C .【例7】(2020·渠县期末)如图,在ABC 中,,BD 为AC 的中线,过点C 作CE BD ⊥于点E ,过点作BD 的平行线,交CE 的延长线于点F ,在AF 的延长线上截取FG BD =,连接BG ,DF .若13AG =,6CF =,则四边形BDFG 的周长为______.【答案】20.【解析】解:∵AG ∵BD ,BD =FG , ∵四边形BGFD 是平行四边形, ∵CF ∵BD , ∵CF ∵AG ,又∵点D 是AC 中点, ∵BD =DF =12AC , ∵四边形BGFD 是菱形, 设GF =x ,则AF =13-x ,AC =2x ,在Rt ∵AFC 中,由勾股定理可得:36+(13-x )2=(2x )2, 解得:x =5,即GF =5∵四边形BDFG 的周长=4GF =20. 故答案为:20.【例8】(2021·沭阳县月考)如图,在四边形ABCD 中,AC =BD =6,E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点,则EG 2+FH 2的值为( ) A .9 B .18 C .36 D .48【答案】C .【解析】解:连接EF 、FG 、GH 、EH ,设EG 和FH 交于点O , ∵E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点, ∵EF ∵AC ,HG ∵AC ,EF =12AC ,FG =12BD , ∵EF ∵HG ,同理:EH ∵FG ,∵四边形EFGH 为平行四边形, ∵AC =BD , ∵EF =FG ,∵平行四边形EFGH 为菱形, ∵EG ∵FH ,EG =2OG ,FH =2OH ,∵EG 2+FH 2=(2OE )2+(2OH )2=4(OE 2+OH 2)=4EH 2=4×(12BD )2=62=36; 故答案为:C .【例9】(2020·四川广安市期末)如图,O 是菱形ABCD 的对角线,AC BD 的交点,E ,F 分别是,OA OC 的中点给出下列结论:∵ADEEOD SS=;∵四边形BFDE也是菱形;∵四边形ABCD 的面积大小等于;∵;∵是轴对称图形.其中正确的结论有( ) A .2个 B .3个C .4个D .5个【答案】C .【解析】解:∵E 、F 分别是OA 、OC 的中点. ∵AE =OE . ∵S ∵ADE 12=⨯AE ×OD 12=⨯OE ×OD =S ∵EOD ∵S ∵ADE =S ∵EOD ∵正确.∵四边形ABCD 是菱形,E ,F 分别是OA ,OC 的中点.∵EF∵OD,OE=OF.∵OD=OB.∵四边形BFDE是菱形.∵正确∵菱形ABCD的面积12=AC×BD.∵E、F分别是OA、OC的中点.∵EF12=AC.∵菱形ABCD的面积=EF×BD.∵正确由已知可求得∵FDO=∵EDO,而无法求得∵ADE=∵EDO.∵不正确∵EF∵OD,OE=OF,OD=OD.∵∵DEO∵∵DFO.∵∵DEF是轴对称图形.∵正确∵正确的结论有四个,分别是∵∵∵∵,故答案为:C.【例10】(2020·浙江杭州月考)如图,菱形ABCD的边长为4cm,且,E是BC中点,P 点在BD上,则PE PC+的最小值为_______.【答案】【解析】解:在菱形ABCD中,点A、C关于BD对称,AB=BC,连接AE,与BD的交点即为所求作的点P,∵∵ABC= 60°,AB=BC,∵∵ABC是等边三角形,∵AB=BC=4,点E是BC的中点,∵BE=2,∵AE∵BC,∵AE即PE+PC的最小值为故答案为:【例11】(2020·广东惠州市期末)如图,在矩形ABCD 中,点O 为对角线AC 的中点,过点O 作EF AC ⊥交BC 于点E ,交AD 于点F ,连接AE ,CF .(1)求证:四边形AECF 是菱形; (2)连接,若4AB =,5AF =,求的长. 【答案】见解析.【解析】证明:(1)∵O 是AC 的中点,且EF ∵AC , ∵AF =CF ,AE =CE ,OA =OC , ∵四边形ABCD 是矩形, ∵AD ∵BC , ∵∵AFO =∵CEO , 在∵AOF 和∵COE 中, ,∵∵AOF ∵∵COE (AAS ), ∵AF =CE ,∵AF =CF =CE =AE , ∵四边形AECF 是菱形; (2)如图,连接BO ,∵AB =4,AF =AE =EC =5, ∵BE =, ∵BC =8, ∵AC =,∵AO =CO ,∵ABC =90°,∵BO =12AC = 【变式11-1】(2021·山东潍坊市期末)如图,在四边形ABCD 中,,E F 分别是,AD BC 的中点,,G H 分别是对角线,BD AC 的中点,依次连接,,,E G F H 连接,EF GH .(1)求证:四边形EGFH 是平行四边形;(2)当AB CD =时,EF 与GH 有怎样的位置关系?请说明理由; (3)若,20,70AB CD ABD BDC =∠=︒∠=︒,则GEF ∠= . 【答案】(1)(2)见解析;(3)25.【解析】证明:(1)∵E 、G 分别是AD 、BD 的中点, ∵EG ∵AB ,AB =2EG同理可证:FH ∵AB ,AB =2HF ∵EG ∵HF ,EG =HF∵四边形EGFH 是平行四边形; (2)GH ∵EF ,理由:∵G 、F 分别是BD 、BC 的中点, ∵FG =12CD , 由(1)知GE =12AB , 又∵AB =CD , ∵GE =GF又四边形EGFH 是平行四边形, ∵四边形EGFH 是菱形, ∵GH ∵EF ;(3)由题意,EG ∵AB ,HF ∵AB ,GE =12AB ∵EG ∵HF , 同理,EH ∵FG ,GF =12CD ∵四边形EGFH 是平行四边形, ∵AB =CD , ∵GE =GF ,∵四边形EGFH 是菱形,∵∵ABD =20°,∵BDC =70°,EG ∵AB ,GF ∵CD , ∵∵EGD =∵ABD =20°,∵BGF =∵BDC =70°, ∵∵DGF =180°-∵BGF =110°,∵∵EGF =∵EGD +∵DGF =20°+110°=130°,∵∵GEH =180°-∵EGF =50º, ∵FE 平分∵GEH , ∵∵GEF =12∵GEH =25°. 故答案为:25.【例12】(2020·河南郑州月考)如图,在平行四边形ABCD 中,AE 是BC 边上的高,将ABE △沿BC 方向平移,使点E 与点C 重合,得GFC .(1)求证:BE DG =;(2)若,当BC =______AB 时,四边形是菱形;(3)若,当BC =______AB 时,四边形AECG 是正方形.【答案】(1)见解析;(2)32;(3. 【解析】(1)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∵AD ∵BC ,AB =CD . ∵AE ∵BC , ∵CG ∵AD ,AE =CG , ∵∵AEB =∵CGD =90°. 在Rt ∵ABE 与Rt ∵CDG 中, ,∵Rt ∵ABE ∵Rt ∵CDG (HL ), ∵BE =DG . (2)当BC =32AB 时,四边形ABFG 是菱形. 证明:∵AB ∵GF ,AG ∵BF , ∵四边形ABFG 是平行四边形. ∵Rt ∵ABE 中,∵B =60°, ∵∵BAE =30°, ∵BE =12AB ,∵BE=CF,BC=32 AB,∵EF=12 AB.∵AB=BF.∵四边形ABFG是菱形.故答案是:32;(3)BC AB时,四边形AECG是正方形.∵AE∵BC,GC∵CB,∵AE∵GC,∵AEC=90°,∵AG∵CE,∵四边形AECG是矩形,当AE=EC时,矩形AECG是正方形,∵∵B=60°,∵EC=AE=AB,BE=12 AB,∵BC AB..【变式12-1】(2020·渠县月考)如图所示,O为ABC的边AC上一动点,过点O的直//MN BC,设MN分别交ACB∠的平分线及其外角平分线于点,E F.(1)求证:OE OF=(2)当点O在何处时,四边形AECF是矩形?(3)在(2)的条件下,请在ABC中添加条件,使四边形AECF变为正方形,并说明你的理由.【答案】见解析.【解析】(1)证明:∵MN∵BC,∵∵OEC=∵BCE,∵CE平分∵ACB,∵∵BCE=∵OCE,∵∵OEC=∵OCE,∵EO=CO,同理:FO=CO,∵EO=FO;(2)解:当点O运动到AC的中点时,四边形CEAF是矩形;理由如下:由(1)得:EO=FO,又∵O是AC的中点,∵AO=CO,∵四边形CEAF是平行四边形,∵EO=FO=CO,∵EO=FO=AO=CO,∵EF=AC,∵四边形CEAF是矩形;(3)解:当点O运动到AC的中点时,且∵ACB为直角时,四边形AECF是正方形.理由如下:∵当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形,∵MN∵BC∵ACB=90°,∵∵AOE=∵ACB=90°,∵AC∵EF,∵四边形AECF是正方形.【例13】(2021·广东深圳期末)如图,在直角坐标系中,四边形OABC是矩形,OA=8,OC=6,点D是对角线AC的中点,过点D的直线分别交OA、BC边于点E、F.(1)求证:四边形EAFC是平行四边形;(2)当CE=CF时,求EF的长;(3)在条件(2)的情况下,P为x轴上一点,当以E,F,P为顶点的三角形为等腰三角形时,请求出点P的坐标.【答案】(1)见解析;(2);(3)点P的坐标为(8,0)或(,0)或(﹣,0)或(,0).【解析】(1)证明:∵四边形OABC是矩形,∵BC∵OA,∵∵FCD=∵DAE,∵CFD=∵AED,∵D是AC的中点,∵CD=AD,∵∵CDF∵∵ADE,∵DF=DE,∵四边形EAFC是平行四边形;(2)解:∵四边形EAFC是平行四边形,CE=CF,∵四边形EAFC是菱形,∵CE=EA,AC∵EF,设CE=AE=x,∵OC2+OE2=CE2,∵62+(8﹣x)2=x2,∵x=,∵CE=,∵OA=8,OC=6,∵AC10,∵CD=12AC=5,∵ED∵EF=2ED=;(3)由(2)可知,AE=CE=,OE=74,∵若PE=PF,点P与点A重合,∵P(8,0),∵若EF=EP=,当点P在x轴的正半轴上,OP=OE+PE==,∵P(,0),当点P在x轴的负半轴上,OP=PE﹣OE==,∵P (﹣,0),∵若EF =FP ,过点F 作FG ∵AE 于点G ,则EG =CF ﹣OE =﹣74=92, ∵EP =9,∵OP =OE +EP =74+9=, ∵P (,0).综上可得,点P 的坐标为(8,0)或(,0)或(﹣,0)或(,0).【变式13-1】(2021·广东佛山期末)如图,在Rt ABC △中,90C ∠=︒,10AC =,.点P 从点B 出发沿BA 方向以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动,同时点Q 从点出发沿AC 方向以每秒1个单位长度的速度向点C 匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点P 、Q 运动的时间是t 秒.过点P 作PM BC ⊥于点M ,连接PQ 、QM . (1)请用含有t 的式子填空:AQ =______,AP =______,PM =______;(2)是否存在某一时刻使四边形AQMP 为菱形?如果存在,求出相应的t 值;如果不存在,说明理由;(3)当t 为何值时,PQM 为直角三角形?请说明理由.(备用图)【答案】见解析.【解析】解:(1)由题意知,AQ =t ,∵∵C =90°,AC =10,∵A =60,∵∵B =30°,∵AB =2AC =20,∵AP =AB -BP =20-2t ,∵PM ∵BC ,∵∵PMB=90°,∵PM=12PB=t.故答案为:AQ=t,AP=20-2t,PM=t.(2)存在,理由如下:由(1)知,AQ=PM∵AC∵BC,PM∵CB∵AQ∵PM∵四边形AQMP是平行四边形.当AP=AQ时,四边形AQMP是菱形即20-2t=t,解得:t=.故当t=时四边形AQMP为菱形.(3)∵当∵MPQ=90°时,此时四边形CMPQ为矩形在Rt∵APQ中,∵A=60°,∵APQ=30°∵AP=2AQ,即20-2t=2t,解得:t=5∵当∵MQP=90°时,同理,AQ=2AP,即t=2(20-2t),解得:t=8∵当∵PMQ=90°时,此种情况不存在.综上所述,t=5或t=8时,∵PQM为直角三角形.【变式13-2】(2020·江苏泰州市月考)对于平面直角坐标系xOy中的线段MN及点Q,给出如下定义:若点Q满足QM=QN,则称点Q为线段MN的“中垂点”;当QM=QN=MN 时,称点Q为线段MN的“完美中垂点”.(1)如图1,A(4,0),在Q1(0,4)、Q2(2,-4)、Q3(1中,可以是线段OA的中垂点是;(2)如图2,点A为x轴上一点,若点Q(2,为线段OA的“完美中垂点”,请求出线段OQ的“完美中垂点”的坐标;(3)若点A为x轴正半轴上一点,点Q为线段OA的“完美中垂点”,点P(0,m)在y轴上,在线段P A上方画出线段AP的“完美中垂点”M,请问∵MQA的度数是否是一个定值?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由.【答案】(1)(2,-4);(2)(4,0)或(-2,;(3)∵MQA =90,见解析.【解析】解:(1)根据“中垂点”的定义得:QM=QN,∵点Q在线段OA的垂直平分线上,∵O(0,0),A(4,0),∵线段OA的垂直平分线是:x=2,在Q1(0,4)、Q2(2,-4)、Q3(1中,只有Q2(2,-4)符合题意,∵可以是线段OA的中垂点是Q2(2,-4),故答案为:Q2(2,-4);(2) ∵Q(2,,∵OQ=4,∵点Q(2,为线段OA的“完美中垂点”,∵OA=QA=OQ=4,即A(4,0)为线段OQ的“完美中垂点”,设线段OQ的另外一个“完美中垂点”为D,如图所示:则OD=QD=OA=QA=OQ=4,∵四边形AODQ为菱形,∵DQ∵OA,∵D (-2,,∵线段OQ的“完美中垂点”的坐标为(4,0)或(-2,;(3) ∵MQA的度数是一个定值,∵MQA =90°,理由如下:如图所示,点M为线段AP的“完美中垂点”,∵点Q为线段OA的“完美中垂点”,∵P A=PM=AM,OA=QA=OQ,∵∵OAQ和∵P AM为等边三角形,∵∵OAQ=∵P AM=60°,∵∵OAP=∵QAM,在∵OAP和∵QAM中,,∵∵OAP∵∵QAM(SAS),∵∵MQA=∵POA=90°.【变式13-3】(2020·株洲市期中)如图所示,在四边形ABCD中,AD∵BC,∵B=90°,AD =24cm,BC=26cm动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动,动点Q从点C出发沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动.点P,Q分别从点A和点C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点随之停止运动.(1)经过多长时间,四边形PQCD是平行四边形?(2)经过多长时间,四边形PQBA是矩形?(3)若AB=8,如果Q点的移动速度不变,要使PQBA是正方形,则P点移动速度是多少?【答案】(1)6s;(2)s;(3)43cm/s.【解析】解:(1)∵PD∵CQ,∵当PD=CQ时,四边形PQCD是平行四边形,设运动时间为t,PD=24-t,CQ=3t,则24﹣t=3t,解得t=6,∵经过6秒,四边形PQCD是平行四边形;(2)∵AP∵BQ,∵B=90°,∵当AP=BQ时,四边形PQBA是矩形,设运动时间为t,AP=t,BQ=26-3tt=26﹣3t,解得t=,∵经过秒,四边形PQBA是矩形;(3)当BQ=AB=8时,四边形PQCD是正方形,设运动时间为t,26﹣3t=8,解得t=6,∵P A=6•V P=8,∵V P=43cm/s.。

特殊的平行四边形(解析版)-2021-2022学年八年级数学下册高频易错必刷题汇编(人教版)

特殊的平行四边形(解析版)-2021-2022学年八年级数学下册高频易错必刷题汇编(人教版)

18.2 特殊的平行四边形高频易错必刷题汇编【高频考点精讲】1、菱形的性质与判定(1)菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

(2)菱形的性质:①菱形具有平行四边形的一切性质;②菱形的四条边都相等;③菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;(3)菱形的面积计算:①利用平行四边形的面积公式;②菱形面积=ab(a、b是两条对角线的长度)(4)菱形的判定:①一组邻边相等的平行四边形是菱形;②四条边都相等的四边形是菱形,即∵AB=BC=CD=DA∴四边形ABCD是菱形;③对角线互相垂直的平行四边形是菱形(对角线互相垂直平分的四边形是菱形),即∵AC⊥BD,四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形。

2、矩形的性质与判定(1)矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形。

(2)矩形的性质:①所有平行四边形的性质;②角:矩形的四个角都是直角;③边:邻边垂直;④对角线:矩形的对角线相等;(3)由矩形的性质,可以得到直角三角形的一个重要性质,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

(4)矩形的判定:①一个角是直角的平行四边形;②对角线相等的平行四边形;③三个角是直角的四边形;④任意两角是直角,任意一组对边相等的四边形;⑤对角线相等且互相平分的四边形。

3、正方形的性质与判定(1)正方形的定义:有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

(2)正方形的性质:①四条边都相等,四个角都是直角;②两条对角线相等,互相垂直平分,并且每条对角线平分一组对角;③具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质。

(3)正方形的判定:①先判定四边形是矩形,再判定这个矩形有一组邻边相等;②先判定四边形是菱形,再判定这个菱形有一个角为直角;【热点题型精练】一、选择题1.(2021•兰州模拟)四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,设有下列条件:①AC=BD;②AC⊥BD;③AC与BD互相平分;④矩形ABCD;⑤菱形ABCD;⑥正方形ABCD,则下列推理成立的是()A.①④⇒⑥B.②④⇒⑥C.①②⇒⑥D.①③⇒⑤解:A、对角线相等的矩形不能得到正方形,故错误;B、对角线垂直的矩形是正方形,正确;C、对角线相等且垂直的四边形不一定是正方形,故错误;D、对角线相等且平分的四边形是矩形,但不但能得到菱形,故错误.答案:B.2.(2021•成都模拟)如图,菱形OABC的边OA在平面直角坐标系中的x轴上,∠AOC=60°,OA=4,则点C 的坐标为()A.B.C.D.(2,2)解:过C作CD⊥OA于D,如图:则∠ODC=90°,∵四边形OABC是菱形,∴OC=OA=4,∵∠AOC=60°,∴∠CDO=90°﹣∠AOC=30°,∴DD=OC=2,∴CD===2,∴点C的坐标为(2,2),答案:A.3.(2021•晋中模拟)如图,四边形ABCD是菱形,点E、F分别在边AD、CD上,且AE=CF,BA=BE.若∠EBF =60°,则∠C的度数为()A.70°B.80°C.90°D.100°解:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,∠A=∠C,在△ABE与△CBF中,,∴△ABE≌△CBF(SAS),∴∠ABE=∠CBF,BE=BF,∴BC=BF,∴∠C=∠BFC,设∠ABE=∠CBF=α,∵∠EBF=60°,∴∠ABC=2α+60°,∴∠C=180°﹣∠ABC=180°﹣2α﹣60°=120°﹣2α,∴∠BFC=∠C=120°﹣2α,∵∠C+∠BFC+∠CBF=180°,∴120°﹣2α+120°﹣2α+α=180°,∴α=20°,∴∠C=80°,答案:B.4.(2021•龙岩模拟)如图,正方形ABCD边长为4,连接AC,∠CAD的平分线AE交BC的延长线于点E,过A 作F A⊥AE交CB延长线于点F,则EF的长为()A.8 B.C.D.解:∵四边形ABCD为正方形,且边长为2,∴AC=AB=4,∵AE平分∠CAD,∴∠CAE=∠DAE,∵AD∥CE,∴∠DAE=∠E,∴∠CAE=∠E,∴CE=CA=4,∵F A⊥AE,∴∠F AC+∠CAE=90°,∠F+∠E=90°,∴∠F AC=∠F,∴CF=AC=4,∴EF=CF+CE=4+4=8,答案:B.5.(2021•沈阳模拟)如图,在矩形ABCD中,点E是BC的中点,连接AE,点F是AE的中点,连接DF,若AB =9,AD=,则四边形CDFE的面积是()A.B.C.D.54解:过点F作直线MN,使MN⊥AD,∵四边形ABCD是矩形,∴∠AMF=∠ENP=90°,AD=BC=6,∵点F是AE的中点,∴AF=EF,∵∠AFM=∠EFN,∴△AFM≌△EFN(AAS),∴MF=FN=AB=4.5,∵点E是BC的中点,∴BE=BC=3,∴四边形CDFE的面积=S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S△AFD=9×6﹣×9×3﹣×4.5×6=27,答案:C.6.(2021•大同模拟)平行四边形ABCD的边BC上有一动点E,连接DE,以DE为边作矩形DEGF且边FG过点A.在点E从点B移动到点C的过程中,矩形DEGF的面积()A.先变大后变小B.先变小后变大C.一直变大D.保持不变解:如图,连接AE,∵矩形DEGF的面积=2△ADE的面积=2×DE×FD=DE×FD,∴矩形DEGF的面积保持不变.答案:D.7.(2021•揭阳模拟)如图,在菱形ABCD中,P是对角线AC上一动点,过点P作PE⊥BC于点E.PF⊥AB于点F.若菱形ABCD的周长为24,面积为24,则PE+PF的值为()A.4 B.C.6 D.解:连接BP,如图,∵四边形ABCD为菱形,菱形ABCD的周长为24,面积为24,∴BA=BC=6,S△ABC=S菱形ABCD=12,∵S△ABC=S△P AB+S△PBC,∴×6×PE+×6×PF=12,∴PE+PF=4,答案:A.8.(2021•宁波模拟)如图,正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=1,CE=3,H是AF的中点,那么CH的长是()A.2.5 B.C.D.2解:如图,连接AC、CF,∵正方形ABCD和正方形CEFG中,BC=1,CE=3,∴AC=,CF=3,∠ACD=∠GCF=45°,∴∠ACF=90°,由勾股定理得,AF===2,∵H是AF的中点,∴CH=AF=×2=.答案:B.9.(2021•成都模拟)如图,正方形ABCD的对角线相交于点O,以点O为顶点的正方形OEGF的两边OE,OF分别交正方形ABCD的两边AB,BC于点M,N,记△AOM的面积为S1,△CON的面积为S2,若正方形的边长AB=10,S1=16,则S2的大小为()A.6 B.7 C.8 D.9解:∵四边形ABCD和四边形OA'B'C'都是正方形,∴OB=OC,∠OBA=∠OCB=45°,∠BOC=∠A'OC'=90°,∴∠A'OB=∠COC'.在△OBM与△OCN中,,∴△OBM≌△OCN(ASA),∴S1+S2=S△OAB=×10×10=25,∴S2=25﹣16=9,答案:D.10.(2021•南平模拟)已知:如图,E是正方形ABCD的边CD上任意一点,F是边AD上的点,且FB平分∠ABE.则()A.BE>AF+CEB.BE=AF+CEC.BE<AF+CED.BE与AF+CE的大小不确定证明:如图,延长DC到G,使CG=AF,连接BG,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠A=∠BCG=90°,在△ABF和△CBG中,,∴△ABF≌△CBG(SAS),∴∠AFB=∠G,∠ABF=∠CBG,∵∠ABF=∠EBF,∴∠EBF=∠CBG,∴∠EBF+∠CBE=∠CBG+∠CBE,即∠FBC=∠EBG,∵AD∥BC,∴∠AFB=∠FBC=∠EBG,∴∠EBG=∠G,∴BE=EG=CG+CE=AF+CE.答案:B.11.(2021•湖州模拟)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BD,AB=5,BD=4,CD=3,点E是AC的中点,则BE的长为()A.2 B.C.D.3解:过点C作CF⊥AB的延长线于点F,如图所示:∵AB∥CD,AB⊥BD,∴CD⊥BD,∵CF⊥AB,∴CF⊥CD,∴BD∥CF,∴四边形BFCD是矩形,∴BF=CD=3,CF=BD=4,在Rt△BCF中,BC=,在Rt△AFC中,AC==,∴BC=AB=5,∴△ABC是等腰三角形,∵点E是AC的中点,∴BE⊥AC,∵,∴×5×4=×BE,解得:BE=.答案:C.12.(2021•齐齐哈尔模拟)如图,已知在正方形ABCD中,AB=BC=CD=AD=10厘米,∠A=∠B=∠C=∠D=90°,点E在边AB上,且AE=4厘米,如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CD上由C点向D点运动,设运动时间为t秒.当△BPE与△CQP全等时,t的值为()A.2 B.2或1.5 C.2.5 D.2.5或2解:当点Q的运动速度与点P的运动速度都是2厘米/秒,若△BPE≌△CQP,则BP=CQ,BE=CP,∵AB=BC=10厘米,AE=4厘米,∴BE=CP=6厘米,∴BP=10﹣6=4厘米,∴运动时间=4÷2=2(秒);当点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,∴BP≠CQ,∵∠B=∠C=90°,∴要使△BPE与△OQP全等,只要BP=PC=5厘米,CQ=BE=6厘米,即可.∴点P,Q运动的时间t==(秒),答案:D.二、填空题13.(2021•沈阳模拟)如图,点E,F在正方形ABCD的对角线AC上,AC=10,AE=CF=3,则四边形BFDE的面积为20.解:连接BD交AC于点O,∵四边形ABCD为正方形,∴OA=OB=OC=OD,AC⊥BD,又∵AE=CF,∴OE=OF,∴四边形BEDF为平行四边形,∵EF垂直平分BD,∴EB=ED,∴四边形BEDF是菱形,∴BD=AC=10,∵AE=CF=3,∴EF=4,∴四边形BFDE的面积为BD•EF=×10×4=20.答案:20.14.(2021•重庆模拟)如图1,直角三角形纸片的一条直角边长为1,斜边为3,把它们按图2,拼摆正方形,纸片在结合部分不重叠无缝隙,则图2的中间空白部分,即四边形ABCD的面积为.解:∵直角三角形纸片的一条直角边长为1,斜边为3,∴直角三角形的直角边=,∴直角三角形的面积=,∴四边形ABCD的面积=,答案:.15.(2021•惠州模拟)如图,在△ABC中,AC=3,BC=4,AB=5,点P在AB上(不与A,B重合),过P作PE ⊥AC,PF⊥BC,垂足分别是E,F,连接EF,M为EF的中点,则CM的最小值为 1.2.解:∵AC=3,BC=4,AB=5,∴AC2+BC2=25=AB2,∴△ABC是直角三角形且∠ACB=90°,又∵PE⊥AC,PF⊥BC,∴四边形CEPF是矩形,如图,连接CP,则CP=EF,∵M为EF的中点,∠ECF=90°,∴Rt△CEF中,CM=EF,∴CM=CP,如图,当CP⊥AB时,CP最短,此时,×AC×BC=×AB×CP,∴CP==,∴CM=CP=1.2,即CM的最小值为1.2.答案:1.2.16.(2021•洛阳模拟)如图,正方形ABCD中,AD=5,点E、F是正方形ABCD内的两点,且AE=FC=4,BE =DF=3,则EF的平方为2.解:延长BE交CF于G,如图:∵AB=5,AE=4,BE=3,∴同理可得△DFC是直角三角形,可得△BCG是直角三角形,∴∠ABE+∠BAE=∠GBC+∠ABE,∴∠GBC=∠BAE,同理可得:∠BCG=∠ABE,在△CBG和△BAE中,,∴△CBG≌△BAE(ASA),∴AE=BG=4,CG=BE=3,∴EG=4﹣3=1,同理可得:GF=1,∴EF2=EG2+GF2=2,答案:2.17.(2021•威海中考)如图,在正方形ABCD中,AB=2,E为边AB上一点,F为边BC上一点.连接DE和AF 交于点G,连接BG.若AE=BF,则BG的最小值为﹣1.解:如图,取AD的中点T,连接BT,GT,∵四边形ABCD是正方形,∴AD=AB=2,∠DAE=∠ABF=90°,在△DAE和△ABF中,,∴△DAE≌△ABF(SAS),∴∠ADE=∠BAF,∵∠BAF+∠DAF=90°,∴∠EDA+∠DAF=90°,∴∠AGD=90°,∵DT=AT,∴GT=AD=1,BT===,∴BG≥BT﹣GT,∴BG≥﹣1,∴BG的最小值为﹣1.答案:﹣1.18.(2021•沈阳模拟)如图,矩形ABCD中,AB=18,AD=6.点E从D向C以每秒2个单位的速度运动,以AE 为一边在AE的右上方作正方形AEFH,同时垂直于CD的直线PQ也从C向D以每秒4个单位的速度运动,当经过2秒时,直线PQ和正方形AEFH开始有公共点.解:如图,过点F作FN⊥CD于N,∵四边形AEFH是正方形,∴AE=EF,∠AEF=90°,∴∠AED+∠FEN=90°=∠AED+∠DAE,∴∠DAE=∠FEN,在△ADE和△ENF中,,∴△ADE≌△ENF(AAS),∴AD=EN=6,∵直线PQ和正方形AEFH开始有公共点,∴DE+EN+CQ≥DC,∴2t+6+4t≥18,∴t≥2,∴当t=2时,直线PQ和正方形AEFH开始有公共点,答案:2.三、解答题19.(2021•白银模拟)如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=4,过对角线BD中点O的直线分别交AB,CD边于点E,F.(1)求证:四边形BEDF是平行四边形.(2)当四边形BEDF是菱形时,求EF的长.(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,O是BD的中点,∴∠A=90°,AD=BC=4,AB∥DC,OB=OD,∴∠OBE=∠ODF,在△BOE和△DOF中,,∴△BOE≌△DOF(ASA),∴EO=FO,∴四边形BEDF是平行四边形;(2)解:∵四边形BEDF为菱形,∴BE=DE,DB⊥EF,又∵AB=8,BC=4,设BE=DE=x,则AE=8﹣x,在Rt△ADE中,42+(8﹣x)2=x2,∴x=5,∴,∴,∴,∴EF=2OE=.20.(2021•太原模拟)如图,在四边形ABCD中,AC、BD相交于点O,AD∥BC,∠ADC=∠ABC,OA=OB.(1)如图1,求证:四边形ABCD为矩形;(2)如图2,P是AD边上任意一点,PE⊥BD,PF⊥AC,E、F分别是垂足,若AD=12,AB=5,求PE+PF 的值.证明:(1)∵AD∥BC,∴∠ABC+∠BAD=180°,∠ADC+∠BCD=180°,∵∠ABC=∠ADC,∴∠BAD=∠BCD,∴四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC=AC,OB=OD=BD,∵OA=OB,∴AC=BD,∴四边形ABCD是矩形;(2)如图,连接OP,∵AD=12,AB=5,∴BD===13,∴BO=OD=AO=CO=,∵S△AOD=S矩形ABCD=×12×5=15,∴S△AOP+S△POD=15,∴××FP+××EP=15,∴PE+PF=.21.(2021•杭州模拟)如图,四边形ABCD是菱形,E是AB的中点,AC的垂线EF交AD于点M,交CD的延长线于点F.(1)求证:AM=AE;(2)连接CM,DF=2.①求菱形ABCD的周长;②若∠ADC=2∠MCF,求ME的长.(1)证明:如图,连接BD,∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥DB,AD=AB,∵EM⊥AC,∴ME∥BD,∵点E是AB的中点,∴点M是AD的中点,AE=AB,∴AM=AD,∴AM=AE.(2)解:①由(1)得,点M是AD的中点,∴AM=MD,∵四边形ABCD是菱形,∴AB∥CD,∴∠F=∠AEM,∠EAM=∠FDM,∴△MDF≌△MAE(AAS),∴AE=DF,∵AB=2AE,DF=2,∴AB=4,∴菱形ABCD的周长为4AB=4×4=16.②如图,连接CM,记EF与AC交点为点G,∵AM=AE,△MAE≌△MDF,∴DF=DM,MF=ME,∴∠DMF=∠DFM,∴∠ADC=2∠DFM,∵∠ADC=2∠MCD,∴∠MCD=∠DFM,∴MF=MC=ME,∠EMC=2∠FDM=∠MDC,∵ME⊥AC,AM=ME,∴∠MGC=90°,ME=2MG,∴MC=2MG,∴∠MGC=60°,∴∠ADC=60°,∴∠MCD=30°,∴∠DMC=90°,∴△DMC为直角三角形,∵DF=2,∴DM=2,CD=4,∴CM==2,∴ME=2.22.(2021•珠江模拟)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点D 作DE⊥BC,垂足为F,交直线MN于E,连接CD,BE.(1)求证:CE=AD;(2)当D为AB中点时,四边形BECD是什么特殊四边形?说明你的理由;(3)在满足(2)的条件下,当△ABC满足什么条件时,四边形BECD是正方形?(不必说明理由)(1)证明:∵DE⊥BC,∴∠DFB=90°,∵∠ACB=90°,∴∠ACB=∠DFB,∴AC∥DE,∵MN∥AB,即CE∥AD,∴四边形ADEC是平行四边形,∴CE=AD;(2)解:四边形BECD是菱形,理由是:∵D为AB中点,∴AD=BD,∵CE=AD,∵BD∥CE,∴四边形BECD是平行四边形,∵∠ACB=90°,D为AB中点,∴CD=BD,∴四边形BECD是菱形;(3)解:当∠A=45°时,四边形BECD是正方形,理由:∵∠ACB=90°,∴∠ABC=45°,由(2)可知,四边形BECD是菱形,∴∠ABC=∠CBE=45°,∴∠DBE=90°,∴四边形BECD是正方形。

特殊的平行四边形-知识点全面覆盖

特殊的平行四边形-知识点全面覆盖

CDAB A BCD O特殊的平行四边形1.平行四边形的性质(重点):ABCD 是平行四边形⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧.54321)邻角互补()对角线互相平分;()两组对角分别相等;()两组对边分别相等;()两组对边分别平行;( 2.平行四边形的判定(难点):.3. 矩形的性质:因为ABCD 是矩形⇒⎪⎩⎪⎨⎧.3;2;1)对角线相等()四个角都是直角(有通性)具有平行四边形的所( (4)是轴对称图形,它有两条对称轴.4矩形的判定:矩形的判定方法:(1)有一个角是直角的平行四边形;(2)有三个角是直角的四边形; (3)对角线相等的平行四边形;(4)对角线相等且互相平分的四边形. ⇒四边形ABCD 是矩形. 5. 菱形的性质: 因为ABCD 是菱形⇒⎪⎩⎪⎨⎧.321角)对角线垂直且平分对()四个边都相等;(有通性;)具有平行四边形的所( 6. 菱形的判定:⎪⎭⎪⎬⎫+边形)对角线垂直的平行四()四个边都相等(一组邻边等)平行四边形(321⇒四边形四边形ABCD 是菱形. 7.正方形的性质:ABCD 是正方形⇒⎪⎩⎪⎨⎧.321分对角)对角线相等垂直且平(角都是直角;)四个边都相等,四个(有通性;)具有平行四边形的所(ABDOCABDOCAD BCAD BC OCDBAOCDBAO8. 正方形的判定:⎪⎭⎪⎬⎫++++一组邻边等矩形)(一个直角)菱形(一个直角一组邻边等)平行四边形(321⇒四边形ABCD 是正方形.矩形习题:1.矩形具有而平行四边形不具有的性质是( )A.对边相等B.对角相等C.对角互补D.对角线平分2.直角三角形中,两直角边长分别为12和5,则斜边中线长是( ) A.26 B.13 C.8.5 D.6.53.矩形ABCD 对角线AC 、BD 交于点O ,AB=5,12,cm BC cm =则△ABO 的周长为等于 .4. 如图所示,四边形ABCD 为矩形纸片.把纸片ABCD 折叠,使点B 恰好 落在CD 边的中点E 处,折痕为AF .若CD =6,则AF 等于 ( ) A.34 B.33 C.24D.85. 如图所示,矩形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O , 过点O 的直线分别交AD 和BC 于点E 、F ,23AB BC ==,, 则图中阴影部分的面积为 .6.已知矩形的周长为40cm ,被两条对角线分成的相邻两个三角形的周长 的差为8cm ,则较大的边长为 .7. 如图,矩形ABCD 中,AC 与BD 交于O 点,BE AC ⊥于E ,CF BD ⊥于F 。

特殊的平行四边形易错点剖析

特殊的平行四边形易错点剖析
特殊的平行四边形是初中阶段一个重要的知识点一般在考试中命题都是以中等偏上题为主有难度不容易得满分究其原因是什么
特殊的平行四边形易错点剖析
特殊的平行四边形是初中阶段一个重要的知识点,一般在考试中命题都是以中等偏上题为主,有难度,不容易得满分,究其原因是什么?经过长期收集纠错本和学校调研,我们总结出常见的易错点,为各位考生解决此类问题。
一、不能正确理解特殊的平行四边形的概念和识别方法
二、在证明过程中忽视条
三、形状
五、问题考虑不够全面
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18.2 特殊的平行四边形重难点、易错题汇编讲义矩形、菱形、正方形是三类特殊的平行四边形,有关性质与判定是其重要内容,初学时,不少同学会出现错误.本文将分类对常见判定误区进行剖析,供同学们学习时参考.一、有关矩形判定的误区例1判断下列说法是否正确:(1)有三个角相等的四边形是矩形;(2)对角线相等的四边形是矩形.错解:(1)正确;(2)正确.剖析:(1)是把矩形的判定方法记错了,应是“有三个角是直角的四边形是矩形”,其中的条件是“三个角是直角”而不是“三个角相等”;(2)中错误地认为“对角线相等的四边形是矩形”,对矩形的判定方法理解不透彻.我们知道只有在平行四边形中加上“对角线相等”的条件,得到的才是矩形.正解:(1)错误;(2)错误.跟踪训练1下列说法中,错误的是【】A.矩形的四个角都是直角B.矩形的对角线相等C.对角线垂直平分的四边形是矩形D.四个角都是直角的四边形是矩形二、有关菱形判定的误区例2已知线段AB,试求作两点C、D,使四边形ADBC是菱形.错解:在线段AB的垂直平分线EF上取两点C、D,并且使C、D在线段AB的两侧,连接CA、CB、DA、DB,则四边形ADBC是菱形.剖析:错解错在对菱形的判定方法理解不透.在对角线垂直的条件下,必须说明四边形ADBC是平行四边形,才能保证四边形ADCB为菱形.作图过程只反映出CD平分AB,但AB是否平分CD就不一定了,故四边形ADBC不一定为平行四边形,也就不一定为菱形了.正解:在线段AB的垂直平分线EF上取两点C、D,并且使AB平分CD,连接CA、CB、DA、DB,则四边形ADBC为菱形.跟踪训练2如图,已知在平行四边形ABCD中,∠A的平分线与BC交于点E,∠B 的平分线与AD交于点F,AE与BF交于点O.试说明四边形ABEF是菱形.三、有关正方形判定的误区例3判断下列说法是否正确:(1)四条边相等的四边形是正方形;(2)两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形;(3)两条对角线分别平分一组对角的四边形是正方形.错解:(1)正确;(2)正确;(3)正确.剖析:(1)虽有四条边相等,但只能判定它是菱形,要判定它是正方形,还缺少一个条件,这个条件是一角是直角,或其他判定既是菱形又是矩形的条件;(2)此题的错误是对正方形的判定方法不清楚造成的,对角线相等且互相垂直,但对角线不一定互相平分,故不能判定它是正方形;(3)片面应用了正方形的性质,虽然正方形的每一条对角线都平分每一组对角,但反过来就不成立了,它只能判定是菱形,还缺少一个再判断它是矩形的条件.正解:(1)错误;(2)错误;(3)错误.跟踪训练3下列四边形一定是正方形的是【】A.有一个角是直角的菱形B.有一个角是直角的平行四边形C.对角线相等的平行四边形D.对角线互相垂直的平行四边形答案1.C2.理由:先得到AE⊥BF,再得到四边形ABEF是平行四边形,即可得四边形ABEF 是菱形.3.A利用旋转妙解正方形问题正方形是最特殊的四边形,具有高度的对称性。

因此,在正方形中的线段证明和计算等问题上,利用旋转变换可巧妙地拼接图形,使条件发生转化并相对集中,可达到化难为易的目的。

现举例如下。

例1 如图 正方形ABCD 中,E 、F 分别是AD 、CD 边上两点,BF 平分∠EBC 。

求证:BE=AE+CF 。

分析:四边形ABCD 是正方形,AB=BC ,∠A=∠C=90°, 把△BCF 绕点B 逆时针旋转90°到△BAG 的位置,如图, 此时AG=CF ,只需再证BE=GE 即可,由于∠GBE=∠FBE=∠GBA ,所以∠GBE=∠ABF=∠BFC=∠G 。

因而BE=GE 。

证明略。

评注:本题将△BCF 绕点B 进行旋转变换,使线段CF 与AE 巧妙 拼接,并与BE 组成三角表,从而利用等腰三角形的知识解题。

例2 如图P 为正方形ABCD 内一点,PA=1,PB=2,∠APB=135°,求PC 的长。

分析:由AB=BC ,∠ABC=90°,可将△BAP 绕点B 按顺时针方向旋转90°,得△BCP′,如图连结PP′,则△BPP′是等腰直角三角形。

因为PB=P ′B==2,根据勾股定理,得PV′2 2 。

又因为∠CP′B=∠APB=135°,∠PP′B=45°,所以∠CP′P=90°,即△CP′P 是直角三角形,从而PC=(2 2 )2+12 =3。

评注:本题通过旋转变换,将线段PC 、P′与PP′巧妙构成直角三角形,且使已知条件相对集中,并与结论沟通起来,达到了化难为易的目的。

P'以下两题供同学们练习:1、如图,在正方形ABCD 中,E 、F 是BC 、CD 边上的两点,∠EAF=45°。

求证:EF=BE=DF 。

2、如图,正方形ABCD 的边长为1,BC 、CD 边上各角一点E 、F ,若△CEF 的周长为2,求∠EAF 的度数。

中考矩形开放题荟萃矩形是一种特殊的平行四边形,也是中考的必考内容.为考查同学们分析能力、想象能力、探究能力和创新能力,矩形开放题便成了各地中考命题的热点,现仅就2008年中考题有关矩形开放题精选几例解析如下,供同学们鉴赏:一、条件开放型例1 如图,在平行四边形ABCD 中,E 为BC 的中点,连接AE 并延长交DC 的延长线于点F .(1)求证:CF AB ;(2)当BC 与AF 满足什么数量关系时,四边形ABFC 是矩形,并说明理由.分析 要证AB=CF,可通过平行四边形的性质和三角形全等的判定,证△ABE ≌△CFE 得到;由△ABE ≌△CFE,可得EA=EF,EB=EC,从而四边形ABFC 是平行四边形,再根据矩形的判定,要平行四边形ABFC 是矩形则只要对角线相等或有一角为直角,根据题设,显然是BC=AF.证明 (1)由平行四边形ABCD,得到AB ∥CD,则∠ABE=∠FCE, 又EB=EC, ∠AEB=∠FEC,∴△ABE ≌△CFE(ASA).∴AB=CF. (2) 当BC =AF 时,四边形ABFC 是矩形.ACB DE F由△ABE ≌△CFE,得到EA=EF,EB=EC,所以四边形ABFC 是平行四边形. 又BC=AF, 四边形ABFC 是矩形.例2如图,在△ABC 中,点O 是AC 边上的一个动点,过点O 作直线MN ∥BC ,设MN 交∠BCA 的角平分线于点E ,交∠BCA 的外角平分线于点F .(1)求证:EO =FO ;(2)当点O 运动到何处时,四边形AECF 是矩形?并证明你的结论.分析 通过角平分线和平行线的性质,可以推得EO=CO,及FO=CO,从而EO =FO ; 要四边形AECF 是矩形,则必是平行四边形,现已有EO=FO,故还需OA=OC, 即点O 为AC 的中点.证明(1)∵CE 平分BAC ∠,∴12∠=∠,又∵MN ∥BC , ∴13∠=∠, 则32∠=∠,∴EO CO =. 同理FO CO =, ∴ EO FO =. (2)当点O 运动到AC 的中点时,四边形AECF 是矩形.∵EO FO =,点O 是AC 的中点.即OA=OC ∴四边形AECF 是平行四边形.又∵12∠=∠, 45∠=∠, ∴124180902∠+∠=⨯︒=︒,即90ECF ∠=︒, ∴四边形AECF 是矩形.评注 条件开放型,是指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分,解决这类问题的基本思路是:执果索因逆向思维,从已有条件和结论入手,逐步分析探索结论成立的条件,从而使问题得以解决.二、结论开放型例3如图,四边形ABCD 是矩形,E 是AB 上一点,且DE =AB ,过C 作CF ⊥DE ,垂足为F . (1)猜想:AD 与CF 的大小关系;(2)请证明上面的结论.分析 由图可以直观看出,AD=CF;根据矩形的性质和三角形全等的判定, 可以得到AD,CF 所在的两个三角形△ADE ≌△FCD,从而 AD=CF.解 (1)AD CF =. (2)四边形ABCD 是矩形,,AED FDC DE AB CD ∴∠=∠∴==又,90,CF DE CFD A ⊥∴∠=∠=︒ ∴△ADE ≌△FCD, AD CF ∴=例4如图,在ABC △中,D 是BC 边上的一点,E 是AD 的中点,过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于F ,且AF DC =,连接CF .(1)求证:D 是BC 的中点;(2)如果AB AC =,试猜测四边形ADCF 的形状,并证明你的结论.分析 要证D 是BC 的中点,即DB=DC,现已有AF=DC,故只需AF=DB,所以只要证△AEF ≌△DEB;已知AF ∥DC,又AF=DC,所以四边形ADCF 为平行四边形.如果AB=AC,D 是BC 的中点,则有AD ⊥BC,从而得到四边形ADCF 为矩形. 证明 (1)AF BC ∥, AFE DBE ∴∠=∠.E 是AD 的中点, AE DE ∴=.又AEF DEB ∠=∠, AEF DEB ∴△≌△(AAS).AF DB ∴=. AF DC =,DB DC ∴=.即D 是BC 的中点.(2)四边形ADCF 是矩形,AF DC ∥,AF DC =,∴四边形ADCF 是平行四边形. AB AC =,D 是BC 的中点,AD BC ∴⊥.即90ADC ∠=. ∴四边形ADCF 是矩形.评注 结论开放型,是指问题的结论不确定或答案不唯一的开放型问题,解决这类问题的基本思路是:根据条件,联想定理,寻求结论.中考数学“点在特殊平行四边形的边上运动”点在运动,同学们一点也不觉得稀奇,可点运动进中考试卷中,同学们不免有点惊奇,不仅如此,点在特殊的平行四边形的边上运动,已成为中考的一个热点,现分别举一例说明.一、点在矩形边上运动例1、如图1,在矩形MNPQ中,动点R从点N出发,沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止.设点R运动的路程为x,△MNR的面积为y,如果y关于x的函数图象如图2所示,则当x=9时,点R应运动到()A.N处B.P处C.Q处D.M处分析依题意,结合图象可知,当点R从N运动到P时,△MNR的面积在逐渐增大,当点R从P运动到Q时,△MNR的面积始终保持不变,当点R从Q运动到M时,△MNR 的面积在逐渐减小,由此可以求解.解依题意,得当x=4时,点R应运动到P处,当x=9时,点R应运动到Q处.故应选C.说明研究此类问题时,一定注意观察图形随点运动的变化情况,及时捕捉有用信息.二、点在菱形边上运动例2、如图所示,两个全等菱形的边长为1米,一个微型机器人由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动,行走2009米停下,则这个微型机器人停在___点.分析微型机器人由A点开始,每向前行走1米就转换一个菱形的顶点,由于2009米可以分成2009个1米,即可以转换2009个菱形的顶点,由此可以求解.解因为有两个全等菱形,则周长和等于8,所以微型机器人由A点开始行走,每运动8米,则又回到A点,而2009÷8=251…1,所以微型机器人由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动,行走2009米时则在点B处停下.说明求解本题时一要注意菱形的边长相等,二是每运动8米一个循环.三、点在正方形边上运动例3、如图,正方形ABCD边长为1,动点P沿正方形的边按逆时针方向运动,当它的运动路程为2009时,点P所在位置为___;当点P所在位置为D点时,点P的运动路程为___(用含自然数n的式子表示).分析由题意知,点P运动一周路程为4,点P从A点出发,当运动的路程是2008时,点P恰好回到点A,所以当运动路程为2009时,点P所在位置是点B,点P从点A运动到点D运动的路程是3,由此可进一步获解.解因为正方形的边长等于1,所以点P运动一周路程为4,又因为2008×4=502,所以点P从A点出发,当运动的路程是2008时,点P恰好回到点A,所以当运动路程为2009时,点P所在位置是点B.又因为点P从点A运动到点D运动的路程是3,当运动n圈后,点P走的路程为4n+3.说明本题考查以动点为背景,在正方形中的探索规律问题,求解时必须注意正方形边长的特点和动点运动情况.。

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