高中数学第二章 2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式

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高中数学第二章平面向量2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式课件新人教B版必修

答案：2
平面向量数量积的坐标运算
[典例] (1)(全国卷Ⅱ)向量 a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋
b)·a＝
()
A．－1
B．0
C．1
D．2
(2)(广东高考)在平面直角坐标系 xOy 中，已知四边形 ABCD 是
平行四边形， AB＝(1，－2)， AD＝(2,1)，则 AD·AC ＝ ( )
[解析] (1)由ab⊥∥cc， ⇒22xy＋－44＝＝00， ⇒xy＝＝－2，2. ∴a＝(2,1)，b＝(1，－2)，a＋b＝(3，－1)． ∴|a＋b|＝ 10. (2)由题意可设 AB＝λa(λ＞0)， ∴ AB＝(2λ，3λ)．又| AB|＝2 13， ∴(2λ)2＋(3λ)2＝(2 13)2，解得 λ＝2 或－2(舍去)． ∴ AB＝(4,6)．又 A(1，－2)，∴B(5,4)． [答案] (1)B (2)(5,4)
[活学活用] 已知平面向量 a＝(3,4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且 a∥b，a⊥c. (1)求 b 与 c； (2)若 m＝2a－b，n＝a＋c，求向量 m，n 的夹角的大小．解：(1)∵a∥b，∴3x＝4×9，∴x＝12. ∵a⊥c，∴3×4＋4y＝0，∴y＝－3， ∴b＝(9,12)，c＝(4，－3)． (2)m＝2a－b＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)， n＝a＋c＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)．设 m，n 的夹角为 θ，
向量的夹角和垂直问题
[典例] (1)已知 a＝(3,2)，b＝(－1,2)，(a＋λb)⊥b，则实数 λ ＝________.
(2)已知 a＝(2,1)，b＝(－1，－1)，c＝a＋kb，d＝a＋b，c 与 d 的夹角为π4，则实数 k 的值为________．

2.3.2、2.3.3向量积的运算公式及度量公式概述.

张喜林制2.3.2 向量数量积的运算律2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式考点知识清单1．向量数量积的运算律： (1)交换律： (2)分配律：(3)数乘向量结合律： 2．常用结论：=+2))(1(b a =-2))(2(b a=-⋅+)())(3(b a b a3．两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若=a ),,(21a a ),,(21b b b =则=⋅b a 4．设).,(),,(2121b b b a a a == 如果,b a ⊥则如果,02211=+b a b a 则对于任意实数k ，向量),(12b b k -与向量),(21b b 垂直．5．向量),,(),,(2121b b b a a a ==则=||a ,cos a <>=b6．若),,(),,(2211y x B y x A 则),,(1212y y x x AB --=所以=||AB要点核心解读1．向量数量积的运算律 a b b a ⋅=⋅)1(（交换律）； )()())(2(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅（结合律）； c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+))(3(（分配律）． 2．向量数量积的运算律的证明a b b a ⋅=⋅)1(（交换律）证明：,,cos ||||,cos ||||a b a b a b b a b a b a ⋅>=<>=<=⋅.a b b a ⋅=⋅∴)()()()2(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅（结合律）证明：.,cos ||||)(><=⋅b a b a b a λλ①.,cos ||||)(><=⋅b a b a b a λλλ②当0>λ时，a λ与a 同向，),,(,b a b a >=<λ.,cos ||||)(><=⋅∴b a b a b a λλ当0=λ时，,00)0()(=⋅=⋅=⋅b b a b a λ,0,cos ||||>=<b a b a λ.,cos ||||)(><=⋅∴b a b a b a λλ,0时当<λb a 与λ反向，),,,(b a b a <->=πλ],cos[||||)()(><--=⋅∴b a b a b a πλλ],cos [||||><--=b a b a λ .,cos ||||><=b a b a综合以上可得.,cos ||||)(><=⋅b a b a b a λλ ③由②同理可证得：.,cos ||||)(><=b a b a b a λλ综合以上可得：.||||)()()(b a b a b a b a λλλλ=⋅=⋅=⋅.,cos ><b ac b c a c b a ⋅+⋅=⋅+))(3(（分配律）证明：作轴L 与向量c 的单位向量0c 平行．如图2-3 -2 -1，作==a ,,b 则.b a +=设点0、A 、B 在轴L 上的射影为、O ,//B A 、跟据向量的数量积的定义有,00/c a c OA ⋅=⋅= ,00//c b c AB B A ⋅=⋅== ,)(00/c b a c OB OB ⋅+=⋅=但对轴上任意三点,//B A O 、、都有,0////B A A OB += 即,)(000c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+ 上式两边同乘以|,|c 由c c c =0||得：.)(c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+∴ 得证．3．关于向量数量积的运算律需要注意的几点(1)数量积是由向量的长度和夹角来确定的，它对于这两个向量是对称的，即与次序无关，因而有交换律．.a b b a ⋅=⋅(2)从力做功情况来看，若力增大几倍，则功也增大几倍，而当力反转方向时，功要变号，于是有).()(b a b a ⋅=⋅λλ(3)两个力在同一物体上所做的功等于合力所做的功，于是有分配律.)(2121b a b a b a a ⋅+⋅=⋅+(4)值得注意的是，平面向量的数量积不满足结合律，.a C b a c b ⋅⋅=⋅)()(是错误的，这是因为c b b a ⋅⋅与都是数量，所以c b a c b a ⋅⋅⋅⋅)()(与分别表示a 的共线向量和c 的共线向量，当然就不能相等．(5)由,)()(d b c b d a c a d c b a ⋅+⋅+⋅+⋅=+⋅+可得向量的三个运算公式：,||||)()(22b a b a b a -=-⋅+,||2||)(222b b a a b a +⋅+=+ .||2||)(222b b a a b a +⋅-=-4．向量内积的坐标运算建立正交基底}.,{21e e 已知),(),,(2121b b b a a a ==，则.)()(121111122112211e b a e e b a e b e b e a e a b a +⋅=+⋅+=⋅.2122e b a e +⋅⋅+22221e e b a e因为,0,112212211=⋅=⋅=⋅=⋅e e e e e e e e 所以我们得到数量积的坐标表达式：5．用向量的坐标表示两个向量垂直的条件设),,(),,(2121b b b a a a == 则.02211=+⇔⊥b a b a b a 6．向量的长度、距离和夹角公式(1)如图2-3 -2 -2，已知,1a a （=),2a 则=⋅=⋅=),(),(||21212a a a a a a a .2221a a +因此①这就是根据向量的坐标求向量长度的计算公式，这个公式用语言可以表述为：向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根．(2)如果),,(),,(2211y x B y x A 则),,(1212y y x x AB --=从而②AB 的长就是A 、B 两点之间的距离，因此②式也是求两点的距离公式．这与我们在解析几何初步中得到的两点距离公式完全一样．(3)设),,(),,(2121b b b a a a == 则两个向量夹角余弦的坐标表达式7．如何运用坐标来解决垂直问题(1)设两非零向量),,(),,(2211y x b y x a ==则⇔⊥b a .02121=+y y x x利用向量垂直的坐标的条件，可使向量垂直问题代数他，从而有利于问题的解决．例如：已知： <<<<==βαββαα0)sin ,(cos ),sin ,(cos b a ),π则b a +与b a -是否互相垂直？并说明理由．解：由已知),sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==b a 有=+b a ),sin sin ,cos (cos βαβα++),sin sin ,cos (cos βαβα--=-b a又++-+=-<+αβαβα(sin )cos )(cos cos (cos )).(b a b a ).sin β)sin (sin βα-.0sin sin cos cos 2222=-+-=βαβα所以).()(b a b a -⊥+(2)平面向量数量积的坐标形式，一定要注意a 与b 的数量积等于两个向量对应坐标乘积之和．在用坐标形式判断两个向量垂直时，要与判断两个向量平行的坐标条件相区别：.0//;012212121=-⇔=+⇔⊥y x y x b a y y x x b a8．利用数量积求两个向量的夹角一定要注意两个向量的数量积为正不能得到它们的夹角一定为锐角，同样，两个向量的数量积为负也不能得到它们的夹角一定为钝角．设a ，b 为非零向量，如果,0>⋅b a 那么a ，b 的夹角为锐角或a ，b 同向，反之也成立；如果,0<⋅b a 那么a ，b 的夹角为钝角或a ，b 反向，反之也成立，典例分类剖析考点1 判断向量运算的正误[例1] 给出下列命题：①设a 、b 、c 是非零向量，则c b a ⋅⋅)(与c 共线；②若=a λ,R b ∈<λλ 且),0=/λ则0;=⋅=b a b a ③与a ⊥b 是等价命题；④若,.c b c a =⋅则;b a =⑤若a 与b 共线，则.||a b a =⋅ |;|b ⑥若.0<⋅b a 则),(b a 是钝角．其中真命题为（填序号）．[解析] 向量的加、减、数乘、数量积运算及运算律要理解透彻；注意有些命题在特殊情况下是否成立．①因为a ×b 是一个实数，不妨记作λ，故.)(λ=⋅⋅c b a ,//c c C λ=所以①正确．,0)(0=-⇔=-⇔=b a b a b a λλλλλ②因为,0=/λ所以,0=-b a 所以,b a =故②正确．③因为,c o s ||||,0θb a b a b a =⋅=⋅所以0||0||==b a 或或,0cos =θ所以0=a 或0=b 或.90 =θ又因为规定O 与任意向量垂直，所以.b a ⊥反之，.0cos 90,a b a b a ⇔=⇔>=⇔<⊥θ ,090cos ||||== b a b 故③正确．c b c a ⋅=⋅④不一定有.b a =例如,,C b c a ⊥⊥且,2b a =此时,0=⋅=⋅c b C a 但.b a =/故④错．⑤a 与b 共线b a 与⇒方向相同或方向相反0,>=⇒<b a 或.||||),(b a b a b a ±=⋅⇒=π故⑤错， ⑥因为,cos ||||,0θb a ab b a ⋅=<⋅所以,0cos <θ所以),,2(ππθ∈所以θ为钝角或平角，故⑥错．[答案] ①②③[点拨] 此例题为概念综合题，其中③是重要结论，注意深刻理解，灵活应用；⑤⑥的完整形式应用也较广泛，注意特殊情况1．已知a 、b 、c 是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数为( )．;//||||||b a b a b a ⇔⋅=⋅①②a 、b 反向.||a b a -=⋅⇔|;|b |;|||b a b a b a -=+⇔⊥③④=a;c b c a b ⋅=⋅⇔⑤.000==⇔=⋅b a b a 或 1.A 2.B 3.C 4.D考点2 向量的混合运算[例2] (1)已知,2||,4||,120==>=⋅<b a b a则+a |=+⋅-+)()2(|b a b a b(2)若向量a 、b 、c 满足,0=++c b a 且,1||,3||==b a .4||=c 则=⋅+⋅+⋅a c c b b a [解析] （1）)()2(b a b a b a +⋅-++2222)(b a b b a a b a -⋅-⋅+++= 2222b b a a b b a a -⋅-++⋅+=222120cos 24164120cos 24216⨯-⨯⨯-++⨯⨯+= .1232+=(2)根据已知条件，可知a 与b 同向，c 与a+b 反向．解法一：由已知得.|,|||||b a c b a c --=+=可知向量a 与b 同向，而向量c 与它们反向，-=++=⋅+⋅+⋅∴3180cos 12180cos 40cos 3 o a c c b b a .13124-=-解法二： ),(2)(2222a c cb b ac b a c b a ⋅+⋅+⋅+++=++a c cb b a ⋅+⋅+⋅∴2)()(2222c b a c b a ++-++=2)413(0222++-=.13-=[答案] 2132)1( + 13)2(- [点拨] ①利用公式2||a a a =⋅和向量数量积的运算性质计算．②(2)问解法二是利用2222)(b b a a b a +⋅+=+推广到=++2)(C b a +++222C b a)(2a c c b b a ⋅+⋅+⋅予以解答的．2．已知,21||,5||,4||=+==b a b a 求：;)1(b a ⋅)2()2)(2(b a b a -⋅+的值，考点3 利用数量积及运算律求横[例3] 已知向量a 、b 满足,1||||==b a 且,3|23|=-b a 求|3|b a +的值．[解析] 通过数量积a ×b 来探求已知条件3|23|=-b a 与目标式|3|b a +之间的关系..1||||,1||||22==∴==b a b a又,9)23(,3|23|2=-∴=-b a b a,9||412||922=+⋅-∴b b a a 将,1||||22==b a 代入有,31=⋅b a而 ,1213169||6||9)3(222=+⨯+=+⋅+=+b b a a b a.32|3|=+∴b a[点拨] 解题过程中要注意模与数量积之间的转换．3．已知向量a 、b 、c 满足：.0a c b a ，（=++:)(:)c b b ⋅=⋅)(a c ),23(:3:1-当1||=a 时；求||b 及||c 的值．考点4 向量夹角问题[例4] 已知a ，b 是两个非零向量，且|,|||||b a b a +==求向量b 与b a -的夹角．[解析] 我们可以利用向量减法的平行四边形法则，画出以a 、b 为邻边的平行四边形．如图2-3 -2 -3所示，若,,b a ==则=,,b a D b a -=+由+==a b a ||||||,b 可知,60oABC =∠b 与D所成角是.150我们还可以利用数量积的运算，得出b 与a-b 的央角，为了巩固数量积的有关知识，我们采用第二种方法解题，由||||)(,cos b a b b a b b a b --⋅>=-<作为切入点，.)(|,||||,|||22b a b a b b a b +=∴=+=.||21||)(2||||2222b b a b b a a b -=⋅+⋅+=∴ 而.||23||||21)(2222b b b b a b b a b -=--=-⋅=-⋅ ①由+-⨯-=+⋅-=-22222||)21(2||)(2)(b b b b a a b a ,|31||22b b =而.||3||,||3)(||222b b a b b a b a =-∴=-=- ②,||||)(,cos b a b b a b b a b --⋅>=-<代入①②得⋅-=⋅->=-<23||3||||23,cos 2b b b b a b 又 ⋅=-∴>∈-<65),(],,0[,ππb a b b a b 4．已知.3||,4||==b a(1)若a 与b 的夹角为,600求+-⋅+a b a b a |),3()2(|;3||,2b a b -(2)若,61)2()32(=+⋅-b a b a 求a 与b 的夹角．考点5 垂直问题[例5] 已知,4||,5||==b a 且a 与b 的夹角为,60问：当且仅当k 为何值时，向量b ka -与b a 2+垂直？[解析] 利用,0=⋅⇔⊥b a b a 得到关于k 的方程，通过解此方程得到k 的值．于是,4||,5||==b a且a 与b 的夹角为,60o.10214560cos ||||=⨯⨯==⋅∴ b a b a 又向量b ka -与b a 2+垂直，.0)2()(=+⋅-∴b a b ka 则有k ,0||2)12(||22=-⋅-+b b a k a 即,042)12(10252=⨯--+k k解得⋅=1514k [点拨] 非零向量a ，b 若满足,0=⋅b a 则,b a ⊥反之也成立．根据这一结论我们可以解决两类问题：(1)由垂直条件求参数的值；(2)利用题谩条件证明向量垂直或直线垂直．5．已知a 、b 都是非零向量，且b a 3+与b a 57-垂直，b a 4-与b a 27-垂直，求a 与b 的夹角．考点6 向量线性运算与数量积的综合问题[例6] △ABC 三边的长分别为a 、b 、c ，以A 为圆心，r 为半径作圆，如图2 -3 -2 -4，PQ 为直径，试判断P 、Q 在什么位置时，C ⋅有最大值？[解析] 由三角形法则构造P B 及Q C 的数量积转化为实数范围内求最大值，,.Q ,B B CA QA C A AP P =+-=即,--=--=A A C---=⋅∴AC AB C B ().AP (.Q P ⋅+⋅-=B A AC AP AP .)()22.r AC AB AP AB AP AC -⋅=⋅+- =-+)(=⋅+-⋅r AC ..2..cos ||.||2r A AB +-.cos 2+-=r A bc ⋅当与同向时，⋅最大为.||.||ra AP =即当QP 与共线且同方向时，C BP ⋅有最大值+A bc cos .2r ar -[点拨] 利用||||b a b a ⋅≤⋅求最值，但必须先构造出..C B ⋅6．如图2 -3 -2 -5，在Rt△ABC 中，已知,a BC =若长为2a 的线段PQ 以点A 为中心，问：Q B P 与的夹角θ为何值时，.CQ BP ⋅的值最大？并求出这个最大值，考点7 向量内积的坐标运算[例7] 已知),3,1(),1,2(-==b a 若存在向量c ，使得：.9,4-=⋅=⋅C b c a 试求向量c 的坐标． [解析] 设),,(y x c =则由4=⋅c a 可得;42=+y x 又由9-=⋅c b 可得.93-=+-y x于是有⎩⎨⎧-=+-=+,93,42y x y x 解得⎩⎨⎧-==⋅.2,3y x⋅-=∴)2,3(c[点拨] 已知两向量a 、b ，可以求出它们的数量积a ×b ，但是反过来，若已知向量a 及数量积a ×b ，却不能确定b ．需要像本例一样，已知两向量，及这两个向量与第三个向量的擞量积，则我们可利用数量积的坐标表示，通过解方程组的方法，确定第三个向量．7．巳知,1),4,2(),3,2(-=-==（c b a ),2-求.)()(),)((,2b a C b a b a b a b a +⋅+⋅-+⋅ 考点8 运用坐标运算处理垂直问题[例8] 在△ABC 中，),,1(),3,2(k ==且△ABC 的一个内角为直角，求k 的值． [解析] 题目没有明确哪一个角是直角，要对三个角分别进行讨论，当90=A 时，;32,0312,0.-=∴=⨯+⨯∴=⋅k k A A当90=B =--=-==)3,21(,0k A B ),3,1(--k,0)3(3)1(2=-⨯+-⨯∴k;311=∴k 当oC 90=时，,0)3(1,0C C =-+-∴=⋅k k B A⋅±=∴2133k 32-=∴k 或⋅±2133311或8．(1)已知点A(1，2)和B(4，一1)，问在y 轴上是否存在一点C ，使得.90=∠ACB 若不存在，请说明理由；若存在，求出点C 的坐标．(2)已知),2,4(=a 求与a 垂直的单位向量的坐标，考点9 运用坐标运算求向量的夹角[例9] 已知a 、b 是两个非零向量，同时满足==b a |||,|b a -求a 与b a +的夹角．[解析] 解法一：根据,|||||,|||22b a b a ==有又由|,|||b a b -=得,||.2||||222b b a a b +-=.||212a b a =⋅∴ 而,||3||2||||2222a b b a a b a =+⋅+=+.||3||a b a =+∴设a 与b a +的夹角为θ，则,23||3||||21||||.||)(cos 22=⋅+=++=a a a a b a a b a a θ .30,1800o o =∴≤≤θθ解法二：设向量),,(),,(2211y x b y x a ==.|,|||22222121y x y x b a +=+∴=由|,|||b a b -= 得),(2121212121y x y y x x +=+即⋅+=⋅)(212121y x b a 由),(3)(212)(2||2121212121212y x y x y x b a +=+⨯++=+ 得.3||211y x b a +=+设a 与b a +的夹角为θ，则⋅=+⋅⋅++++=+⋅+=233)(21)(||||)(cos 212121212121212y x y x y x y x b a a b a a t θ .30,1800 =∴≤≤θθ解法三：根据向量加法的几何意义，作图（如图2 -3 -2 -6)．在平面内任取一点O ．作B b a 0,,以==为邻边作平行四边形OACB.|,|||b a = 即|,|||=∴ 四边形OACB 为菱形，OC 平分,AOB ∠这时,,0b a BA b a C -=+=而|,|||||b a b a -==即 .||||||==∴ △AOB 为正三角形，则,60 =∠AOB 于是,30 =∠AOC即a 与b a +的夹角为.30[点拨] 基于平面向量的表示上的差异，也就是表示方法的不同，才产生了以上三种不同的解法．9．(1)已知),1,1(),432,2(=-=b a 求a 与b 的夹角．(2)已知),1,1(),2,1(==b a 且a 与b a λ+的夹角为锐角，求实数A 的取值范围，考点10 向量坐标运算的综合应用[例10] 已知),23,21(),1,3(=-=b a 且存在实数k 和t ，使得,)3(2b t a x -+=,tb ka y +-=且 ,y x ⊥试求t t k 2+的最小值．[解析] 由题意可得,2)1()3(||22=-+=a,1)23()21(||22=+=b ,0231213=⨯-⨯=⋅b a 故有.b a ⊥ 由,y x ⊥知,0)(])3([2=+-⋅-+tb ka b t a即,0)3()3(2232=⋅+-+-+-b a k k t t b t t ka.00)3(1)3(22232=⋅+-+⋅-+⋅-∴k k t t t t k∴ 可得 433t t k -=故 ,47)2(41)34(41222-+=-+=+t t t t t k 即当2-=t 时，t t k 2+有最小值为⋅-47 [点拨] 向量与函数知识相结合的综合问题，关键是正确应用向量数量积的坐标形式，将其转化为函数问题，然后利用函数的相关知识来解决，10．已知向量,sin 2(),1,sin 3x b x a ==（],32,6[),1ππ∈x 记函数,)(b a x f ⋅Λ求函数)(x f 的值域．学业水平测试1．若),5,3(),2,(-==b a λ且a 与b 的夹角为钝角，则A 的取值范围是( )．),310.(+∞A ),310[+∞⋅B )310,.(-∞C )310,.(-∞D2．已知A 、B 、C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为、)2,1(A ),1,0()1,4(-C B 、则△ABC 的形状为( )．A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．以上均不对3．给定两个向量),1,2(),4,3(-==b a 且),()(b a xb a -⊥+则x 等于( )．23.A 223.B 323.C 423.D 4．已知),1,1(),2,3(--B A 若点)21,(-x P 在线段AB 的中垂线上，则=x 5．已知,,21),1,0(),0,1(mj i b j a j i +=-===给出下列命题：①若a 与b 的夹角为锐角，则;21<m ②当且仅当21=m 时，a 与b 互相垂直；③a 与b 不可能是方向相反的向量；④若|,|||b a =则.2-=m 其中正确的命题的序号是6．求与向量)1,2(),2,1(==b a 夹角相等的单位向量c 的坐标高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分×8 =40分）1．（2007年湖北高考题）设b a a 在),3,4(=上的投影为,225b 在x 轴上的投影为2，且,14||≤b 则b 为( )． )14,2(⋅A )72,2.(-B )72,2.(-C )8,2(⋅D 2．（2009年辽宁高考题）平面向量a 与b 的夹角为,2,60（=a=+=|2|,1||),0b a b 则( )． 3.A 32.B 4.C 12.D3．与)4,3(=a 垂直的单位向量是( ）．)53,54.(A )53,54.(--B )53,54.(-C 或)53,54(- )53,54.(D 或)53,54(-- 4．若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足+-OB O ().OC B (,0)2=-则△ABC 的形状为( )．A ．正三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形 D.A 、B 、C 均不正确5．（2011年辽宁理）若a ，b ，c 均为单位向量，且-=⋅a b a (,0,0)()≤-⋅c b c 则||c b a -+的最大值为( )．12.-A 1.B 2.C 2.D6．（2007年重庆高考题）已知向量),5,3(),6,4(==O 且,//,0⊥则向量=0( ))72,73.(-A )214,72.(-B )72,73.(-C )214,72.(-D 7．（2010年安徽高考题）设向量),21,21(),0,1(==b a 则下列结论中正确的是( )． ||||.b a A = 22.=⋅b a B b a C -.与b 垂直 b a D //. 8．（2009年陕西高考题）在△ABC 中，M 是BC 的中点，,1A =M 点P 在AM 上且满足⋅=PA PM AP 则,2)(PC PB +等于( )．94.-A 34.-B 34.C 94.D 二、填空题f5分x4 =20分）9．（2008年江西高考题）直角坐标平面上三点,3()2,1(B A 、),7,9()2C 、-若E 、F 为线段BC 的三等分点，则=⋅F E A A10．（2008年宁夏高考题）已知平面向量,4(),3,1(=-=b a b a +-λ),2与a 垂直，则=λ11．（2010年广东高考题）若向量===c b x a ),1,2,1(),,1,1(),1,1,1(满足条件,2)2()(-=⋅-b a c 则=x12．（2011年安徽理）已知向量a ，b 满足=-⋅+)()2(b a b a ,6-且,2||,1||==b a三、解答题（10分×4 =40分）13．(1)已知,120,,1||,1||ob a b a >=<==计算向量b a -2在向里b a +方向上的投影．(2)已知,4||,6||==b a a 与b 的夹角为,60 求).2(b a +)3(b a -的值．14．已知向量.),1,3(),1,2(),2,3(R t c b a ∈-==-=(1)求||tb a +的最小值及相应的t 值；(2)若tb a -与c 共线，求实数t 的值．15.如图2-3 -2 -7，四边形ABCD 是正方形，P 是对角线BD 上的一点，PECF 是矩形，用向量法证明： ;)1(EF PA =.)2(EF PA ⊥16．平面内有向量)1,2(),1,5(B ),7,1(===OP O OA 点X 为直线OP 上的一个动点．(1)当≡⋅X 取最小值时，求O 的坐标；(2)当点X 满足(I)的条件和结论时，求AXB ∠cos 的值，。

最新-2021版高中数学人教B版必修四课件：第二单元 233 向量数量积的坐标运算与度量公式精品

π A.6
√B.π4
π
π
C.3
D.2
解析 ∵|a|＝ 10，|b|＝ 5，a·b＝5，
∴cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝
5 10×
5＝ 22.
又∵a，b的夹角范围为[0，π]，∴a 与 b 的夹角为π4.
12345
解析答案
2.已知向量B→A＝12， 23，B→C＝ 23，12，则∠ABC 等于
12345
解答
规律与方法
1.平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径.准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程.同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形” 转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具. 2.应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力.
3.注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，a⊥b⇔x1x2＋ y1y2＝0. 4.事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹角问题却隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”和忽视“两向量夹角的范围”，稍不注意就会带来失误与错误.
答案
梳理
设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a·b＝ a1b1＋a2b2 .即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和.
知识点二向量模的坐标表示及两点间距离公式
思考
若a＝(a1，a2)，试将向量的模|a|用坐标表示. 答案 ∵a＝(a1，a2)， ∴|a|2＝a·a＝(a1，a2)·(a1，a2) ＝a21＋a22， ∴|a|＝ a21＋a22.

2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式

又因为 AA (b a , a b ), 所以 OP · AA x (b a ) x (a b ) 0. 所以OP AA . 因此，直线y x是线段AA 的垂直平分线.
1.已知平面向量a = 3,1 , b x, 3，且a b，则x等于（ B ）
a // （ bb0 ）存在唯一的使得a b 若a （x1，y1）， b （x2，y2）， a / / b x1 y2 x2 y1 0
探究一：若两个向量为 a = x1, y1 ，b x2 , y2 ，能否用
a , b 的坐标来表示他们的数量积 a b
AB
x2 x1 2 y2 y1 2
平面内两点间的距离公式
（3）两向量的夹角
两非零向量a （x1，y1）， b （x2，y2） ,
a b x1 x2 y1 y2 cos a, b 2 2 2 2 x1 y1 x2 y2 a b
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
探究二：从两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即
a b x1x2 y1 y2
这个式子，我们可以得到哪些其他结论？
已知两非零向量 a （x1，y1 ）， b （x2，y2）
（1）两向量垂直的坐标表示
a b a b 0
A．3
C．－1
B．1
D．－3
2.若平面向量b与向量a 1, 2 的夹角是1800 且 b =3 5，则b 等于（ A ）
A．(－3,6)
C．(6，－3)
B．(3，－6)
D．(－6,3)
3.定义一种新运算a b a b sin ，其中为a与b 1 的夹角，已知a 3,1 , b ,0 则a b B 2

向量数量积的坐标运算与度量公式

向量数量积的坐标运算与度量公式向量的数量积，也叫点积或内积，表示了两个向量之间的数值关系。

向量的数量积被定义为两个向量的相应分量的积的和。

设向量A和B的坐标分别为(A1,A2,A3)和(B1,B2,B3)，则它们的数量积可以表示为：A·B=A1*B1+A2*B2+A3*B3向量的数量积具有以下几个重要的性质：1.A·B=B·A（数量积的交换律）数量积满足交换律，即A与B的数量积等于B与A的数量积。

2.A·(B+C)=A·B+A·C（数量积的分配律）数量积满足分配律，即A与向量B和向量C的和的数量积等于A与B的数量积加上A与C的数量积。

3.k(A·B)=(kA)·B=A·(kB)（数量积的结合律）数量积满足结合律，即向量A与k乘以B的数量积等于k乘以A与B的数量积，也等于A与k乘以B的数量积。

4.A·A≥0，当且仅当A=0时，A·A=0任意非零向量A与自身的数量积大于等于0，当且仅当A是零向量时，A与自身的数量积等于0。

数量积的几何意义是，它等于一个向量在另一个向量上的投影的长度乘以两个向量夹角的余弦值。

设向量A和向量B的夹角为θ，则有：cosθ = A·B / (，A， * ，B，)其中，A，和，B，分别表示向量A和向量B的长度。

这个公式说明了向量的数量积与夹角之间的关系。

当夹角θ等于90度时，cosθ等于0，所以此时A·B=0，即两个向量相互垂直；当夹角θ等于0度时，cosθ等于1，所以此时A·B等于两个向量的模的乘积，即数量积最大。

通过数量积的度量公式，我们可以计算出向量的模和夹角。

向量A的模可以通过数量积计算得出：A，=√(A·A)这里的√表示开方运算。

向量A和向量B的夹角可以通过数量积和模的计算得出：cosθ = A·B / (，A， * ，B，)θ = arccos(A·B / (，A， * ，B，))这里的arccos表示反余弦函数。

高二数学向量数量积的坐标运算与度量公式

。
（其中是 a与b的夹角）则a b （1 ） a b 若 a b 2 ， | a | 1 , | b | 2 , 2、 cos | a || b | 。则a与b夹角为（）
3、若 a与b垂直，则a b （0 ）
45
a b a b 0；
变式训练1
已知A(1， 0)，B(3，， 1) C(2， 0)，则 BC与CA 的夹角是多少？
想一想？
3、两向量垂直的坐标表示垂直。 ab a b 90
a b 0 cos a b a b 2 02
x1 x2 y1 y2
2 x2
设a （x1 , y1 ), 0 设a （x1 , y1 ), b ( x2 , y 2 ), 则 b ( x2 , y2 ), 则 y1 y2 0 a b x1 x2 y 1 yx 21 x 20 ab x1 x2 y1 y2 0
a a | a |2 | a | aa
（4 ）； 4、若 | a | 2，则a a
5、若i ， j分别为与x轴、y轴方向相同的两个单位向量, 则i i ( 1 ); j j ( 1 ); i j j i ( 0 );
例1、已知a ( 1,2), b (1,1), 则a b
1
用一用
2、向量的模和两点间的距离公式
(1) a a a
2
或a
a a；
(1)向量的模设a ( x, y ), 则 a x y , 或 a x y ；
2 2 2 2 2
（2）两点间的距离公式 AB （x2 x1 ) （y2 y1 )

2.3.2 、2.3.3 向量积的运算公式及度量公式

张喜林制2.3.2 向量数量积的运算律2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式考点知识清单1．向量数量积的运算律： (1)交换律： (2)分配律：(3)数乘向量结合律： 2．常用结论：=+2))(1(b a =-2))(2(b a=-⋅+)())(3(b a b a3．两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若=a ),,(21a a ),,(21b b b =则=⋅b a 4．设).,(),,(2121b b b a a a == 如果,b a ⊥则如果,02211=+b a b a 则对于任意实数k ，向量),(12b b k -与向量),(21b b 垂直．5．向量),,(),,(2121b b b a a a ==则=||a ,cos a <>=b6．若),,(),,(2211y x B y x A 则),,(1212y y x x --=所以=||要点核心解读1．向量数量积的运算律a b b a ⋅=⋅)1(（交换律）；)()())(2(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅（结合律）； c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+))(3(（分配律）．2．向量数量积的运算律的证明a b b a ⋅=⋅)1(（交换律）证明：,,cos ||||,cos ||||a b a b a b b a b a b a ⋅>=<>=<=⋅.a b b a ⋅=⋅∴)()()()2(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅（结合律）证明：.,cos ||||)(><=⋅b a b a b a λλ①.,cos ||||)(><=⋅b a b a b a λλλ②当0>λ时，a λ与a 同向，),,(,b a b a >=<λ.,cos ||||)(><=⋅∴b a b a b a λλ当0=λ时，,00)0()(=⋅=⋅=⋅b b a b a λ,0,cos ||||>=<b a b a λ.,cos ||||)(><=⋅∴b a b a b a λλ,0时当<λb a 与λ反向，),,,(b a b a <->=πλ],cos[||||)()(><--=⋅∴b a b a b a πλλ],cos [||||><--=b a b a λ .,cos ||||><=b a b a综合以上可得.,cos ||||)(><=⋅b a b a b a λλ ③由②同理可证得：.,cos ||||)(><=b a b a b a λλ综合以上可得：.||||)()()(b a b a b a b a λλλλ=⋅=⋅=⋅.,cos ><b ac b c a c b a ⋅+⋅=⋅+))(3(（分配律）证明：作轴L 与向量c 的单位向量0c 平行．如图2-3 -2 -1，作==a ,,b 则.b a +=设点0、A 、B 在轴L 上的射影为、O ,//B A 、跟据向量的数量积的定义有,00/c a c OA ⋅=⋅= ,00//c b c B A ⋅=⋅== ,)(00/c b a c OB ⋅+=⋅=但对轴上任意三点,//B A O 、、都有,0////B A A OB += 即,)(000c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+ 上式两边同乘以|,|c 由c c c =0||得：.)(c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+∴ 得证．3．关于向量数量积的运算律需要注意的几点(1)数量积是由向量的长度和夹角来确定的，它对于这两个向量是对称的，即与次序无关，因而有交换律．.a b b a ⋅=⋅(2)从力做功情况来看，若力增大几倍，则功也增大几倍，而当力反转方向时，功要变号，于是有).()(b a b a ⋅=⋅λλ(3)两个力在同一物体上所做的功等于合力所做的功，于是有分配律.)(2121b a b a b a a ⋅+⋅=⋅+(4)值得注意的是，平面向量的数量积不满足结合律，.a C b a c b ⋅⋅=⋅)()(是错误的，这是因为c b b a ⋅⋅与都是数量，所以c b a c b a ⋅⋅⋅⋅)()(与分别表示a 的共线向量和c 的共线向量，当然就不能相等．(5)由,)()(d b c b d a c a d c b a ⋅+⋅+⋅+⋅=+⋅+可得向量的三个运算公式：,||||)()(22b a b a b a -=-⋅+ ,||2||)(222b b a a b a +⋅+=+ .||2||)(222b b a a b a +⋅-=-4．向量内积的坐标运算建立正交基底}.,{21e e 已知),(),,(2121b b b a a a ==，则.)()(121111122112211e b a e e b a e b e b e a e a b a +⋅=+⋅+=⋅.2122e b a e +⋅⋅+22221e e b a e因为,0,112212211=⋅=⋅=⋅=⋅e e e e e e e e 所以我们得到数量积的坐标表达式：5．用向量的坐标表示两个向量垂直的条件设),,(),,(2121b b b a a a == 则.02211=+⇔⊥b a b a b a 6．向量的长度、距离和夹角公式(1)如图2-3 -2 -2，已知,1a a （=),2a 则=⋅=⋅=),(),(||21212a a a a a a a .2221a a +因此 ①这就是根据向量的坐标求向量长度的计算公式，这个公式用语言可以表述为：向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根．(2)如果),,(),,(2211y x B y x A 则),,(1212y y x x AB --=从而②的长就是A 、B 两点之间的距离，因此②式也是求两点的距离公式．这与我们在解析几何初步中得到的两点距离公式完全一样．(3)设),,(),,(2121b b b a a a ==则两个向量夹角余弦的坐标表达式7．如何运用坐标来解决垂直问题(1)设两非零向量),,(),,(2211y x b y x a ==则⇔⊥b a .02121=+y y x x利用向量垂直的坐标的条件，可使向量垂直问题代数他，从而有利于问题的解决．例如：已知： <<<<==βαββαα0)sin ,(cos ),sin ,(cos b a ),π则b a +与b a -是否互相垂直？并说明理由．解：由已知),sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==b a 有=+b a ),sin sin ,cos (cos βαβα++),sin sin ,cos (cos βαβα--=-b a又++-+=-<+αβαβα(sin )cos )(cos cos (cos )).(b a b a ).sin β)sin (sin βα-.0sin sin cos cos 2222=-+-=βαβα所以).()(b a b a -⊥+(2)平面向量数量积的坐标形式，一定要注意a 与b 的数量积等于两个向量对应坐标乘积之和．在用坐标形式判断两个向量垂直时，要与判断两个向量平行的坐标条件相区别：.0//;012212121=-⇔=+⇔⊥y x y x b a y y x x b a8．利用数量积求两个向量的夹角一定要注意两个向量的数量积为正不能得到它们的夹角一定为锐角，同样，两个向量的数量积为负也不能得到它们的夹角一定为钝角．设a ，b 为非零向量，如果,0>⋅b a 那么a ，b 的夹角为锐角或a ，b 同向，反之也成立；如果,0<⋅b a 那么a ，b 的夹角为钝角或a ，b 反向，反之也成立，典例分类剖析考点1 判断向量运算的正误[例1] 给出下列命题：①设a 、b 、c 是非零向量，则c b a ⋅⋅)(与c 共线；②若=a λ,R b ∈<λλ 且),0=/λ则0;=⋅=b a b a ③与a ⊥b 是等价命题；④若,.c b c a =⋅则;b a =⑤若a 与b 共线，则.||a b a =⋅ |;|b ⑥若.0<⋅b a 则),(b a 是钝角．其中真命题为（填序号）．[解析] 向量的加、减、数乘、数量积运算及运算律要理解透彻；注意有些命题在特殊情况下是否成立．①因为a ×b 是一个实数，不妨记作λ，故.)(λ=⋅⋅c b a ,//c c C λ=所以①正确．,0)(0=-⇔=-⇔=b a b a b a λλλλλ②因为,0=/λ所以,0=-b a 所以,b a =故②正确．③因为,c o s ||||,0θb a b a b a =⋅=⋅所以0||0||==b a 或或,0cos =θ所以0=a 或0=b 或.90 =θ又因为规定O 与任意向量垂直，所以.b a ⊥反之，.0cos 90,a b a b a ⇔=⇔>=⇔<⊥θ ,090cos ||||== b a b 故③正确．c b c a ⋅=⋅④不一定有.b a =例如,,C b c a ⊥⊥且,2b a =此时,0=⋅=⋅c b C a 但.b a =/故④错．⑤a 与b 共线b a 与⇒方向相同或方向相反0,>=⇒<b a 或.||||),(b a b a b a ±=⋅⇒=π故⑤错， ⑥因为,cos ||||,0θb a ab b a ⋅=<⋅所以,0cos <θ所以),,2(ππθ∈所以θ为钝角或平角，故⑥错．[答案] ①②③[点拨] 此例题为概念综合题，其中③是重要结论，注意深刻理解，灵活应用；⑤⑥的完整形式应用也较广泛，注意特殊情况1．已知a 、b 、c 是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数为( )．;//||||||b a b a b a ⇔⋅=⋅①②a 、b 反向.||a b a -=⋅⇔|;|b |;|||b a b a b a -=+⇔⊥③④=a;c b c a b ⋅=⋅⇔⑤.000==⇔=⋅b a b a 或 1.A 2.B 3.C 4.D考点2 向量的混合运算[例2] (1)已知,2||,4||,120==>=⋅<b a b a则+a |=+⋅-+)()2(|b a b a b(2)若向量a 、b 、c 满足,0=++c b a 且,1||,3||==b a .4||=c 则=⋅+⋅+⋅a c c b b a [解析] （1）)()2(b a b a b a +⋅-++2222)(b a b b a a b a -⋅-⋅+++= 2222b b a a b b a a -⋅-++⋅+=222120cos 24164120cos 24216⨯-⨯⨯-++⨯⨯+= .1232+=(2)根据已知条件，可知a 与b 同向，c 与a+b 反向．解法一：由已知得.|,|||||b a c b a c --=+=可知向量a 与b 同向，而向量c 与它们反向，-=++=⋅+⋅+⋅∴3180cos 12180cos 40cos 3 o a c c b b a .13124-=-解法二： ),(2)(2222a c c b b a c b a c b a ⋅+⋅+⋅+++=++a c cb b a ⋅+⋅+⋅∴2)()(2222c b a c b a ++-++=2)413(0222++-=.13-=[答案] 2132)1( + 13)2(- [点拨] ①利用公式2||a a a =⋅和向量数量积的运算性质计算．②(2)问解法二是利用2222)(b b a a b a +⋅+=+推广到=++2)(C b a +++222C b a)(2a c c b b a ⋅+⋅+⋅予以解答的．2．已知,21||,5||,4||=+==b a b a 求：;)1(b a ⋅)2()2)(2(b a b a -⋅+的值，考点3 利用数量积及运算律求横[例3] 已知向量a 、b 满足,1||||==b a 且,3|23|=-b a 求|3|b a +的值．[解析] 通过数量积a ×b 来探求已知条件3|23|=-b a 与目标式|3|b a +之间的关系..1||||,1||||22==∴==b a b a又,9)23(,3|23|2=-∴=-b a b a,9||412||922=+⋅-∴b b a a 将,1||||22==b a 代入有,31=⋅b a而 ,1213169||6||9)3(222=+⨯+=+⋅+=+b b a a b a.32|3|=+∴b a[点拨] 解题过程中要注意模与数量积之间的转换．3．已知向量a 、b 、c 满足：.0a c b a ，（=++:)(:)c b b ⋅=⋅)(a c ),23(:3:1-当1||=a 时；求||b 及||c 的值．考点4 向量夹角问题[例4] 已知a ，b 是两个非零向量，且|,|||||b a b a +==求向量b 与b a -的夹角．[解析] 我们可以利用向量减法的平行四边形法则，画出以a 、b 为邻边的平行四边形．如图2-3 -2 - 3所示，若,,b BC a AB ==则=CA ,B ,b a D b a -=+由+==a b a ||||||,b 可知,60o ABC =∠b 与B D 所成角是.150我们还可以利用数量积的运算，得出b 与a-b 的央角，为了巩固数量积的有关知识，我们采用第二种方法解题，由||||)(,cos b a b b a b b a b --⋅>=-<作为切入点，.)(|,||||,|||22b a b a b b a b +=∴=+=.||21||)(2||||2222b b a b b a a b -=⋅+⋅+=∴ 而.||23||||21)(2222b b b b a b b a b -=--=-⋅=-⋅ ①由+-⨯-=+⋅-=-22222||)21(2||)(2)(b b b b a a b a ,|31||22b b =而.||3||,||3)(||222b b a b b a b a =-∴=-=- ②,||||)(,cos b a b b a b b a b --⋅>=-<代入①②得⋅-=⋅->=-<23||3||||23,cos 2b b b b a b 又 ⋅=-∴>∈-<65),(],,0[,ππb a b b a b 4．已知.3||,4||==b a(1)若a 与b 的夹角为,600求+-⋅+a b a b a |),3()2(|;3||,2b a b -(2)若,61)2()32(=+⋅-b a b a 求a 与b 的夹角．考点5 垂直问题[例5] 已知,4||,5||==b a 且a 与b 的夹角为,60问：当且仅当k 为何值时，向量b ka -与b a 2+垂直？[解析] 利用,0=⋅⇔⊥b a b a 得到关于k 的方程，通过解此方程得到k 的值．于是,4||,5||==b a 且a 与b 的夹角为,60o.10214560cos ||||=⨯⨯==⋅∴ b a b a 又向量b ka -与b a 2+垂直，.0)2()(=+⋅-∴b a b ka 则有k ,0||2)12(||22=-⋅-+b b a k a 即,042)12(10252=⨯--+k k 解得⋅=1514k [点拨] 非零向量a ，b 若满足,0=⋅b a 则,b a ⊥反之也成立．根据这一结论我们可以解决两类问题：(1)由垂直条件求参数的值；(2)利用题谩条件证明向量垂直或直线垂直．5．已知a 、b 都是非零向量，且b a 3+与b a 57-垂直，b a 4-与b a 27-垂直，求a 与b 的夹角．考点6 向量线性运算与数量积的综合问题[例6] △ABC 三边的长分别为a 、b 、c ，以A 为圆心，r 为半径作圆，如图2 -3 -2 -4，PQ 为直径，试判断P 、Q 在什么位置时，Q BP C ⋅有最大值？[解析] 由三角形法则构造B 及C 的数量积转化为实数范围内求最大值，,,B C A AP =+-=即,--=--=A A C---=⋅∴C B ().(.⋅+⋅-=A .)()22.r AP -⋅=⋅+- =-+)(AC AB AP =⋅+-⋅r AC ..2..cos ||.||2AP r A AC AB +-.cos 2+-=r A bc ⋅当与CB 同向时，CB AP ⋅最大为.||.||ra =即当QP 与共线且同方向时，C BP ⋅有最大值+A bc cos .2r ar -[点拨] 利用||||b a b a ⋅≤⋅求最值，但必须先构造出..Q P C B ⋅6．如图2 -3 -2 -5，在Rt△ABC 中，已知,a BC =若长为2a 的线段PQ 以点A 为中心，问：C Q B P 与的夹角θ为何值时，.⋅的值最大？并求出这个最大值，考点7 向量内积的坐标运算[例7] 已知),3,1(),1,2(-==b a 若存在向量c ，使得：.9,4-=⋅=⋅C b c a 试求向量c 的坐标． [解析] 设),,(y x c =则由4=⋅c a 可得;42=+y x 又由9-=⋅c b 可得.93-=+-y x于是有⎩⎨⎧-=+-=+,93,42y x y x 解得⎩⎨⎧-==⋅.2,3y x⋅-=∴)2,3(c[点拨] 已知两向量a 、b ，可以求出它们的数量积a ×b ，但是反过来，若已知向量a 及数量积a ×b ，却不能确定b ．需要像本例一样，已知两向量，及这两个向量与第三个向量的擞量积，则我们可利用数量积的坐标表示，通过解方程组的方法，确定第三个向量．7．巳知,1),4,2(),3,2(-=-==（c b a ),2-求.)()(),)((,2b a C b a b a b a b a +⋅+⋅-+⋅ 考点8 运用坐标运算处理垂直问题[例8] 在△ABC 中，),,1(),3,2(k AC AB ==且△ABC 的一个内角为直角，求k 的值． [解析] 题目没有明确哪一个角是直角，要对三个角分别进行讨论，当90=A 时，;32,0312,0.-=∴=⨯+⨯∴=⋅k k A A当90=B =--=-==)3,21(B C ,0k A AC B ),3,1(--k,0)3(3)1(2=-⨯+-⨯∴k;311=∴k 当oC 90=时，,0)3(1,0C C =-+-∴=⋅k k B A⋅±=∴2133k 32-=∴k 或⋅±2133311或8．(1)已知点A(1，2)和B(4，一1)，问在y 轴上是否存在一点C ，使得.90=∠ACB 若不存在，请说明理由；若存在，求出点C 的坐标．(2)已知),2,4(=a 求与a 垂直的单位向量的坐标，考点9 运用坐标运算求向量的夹角[例9] 已知a 、b 是两个非零向量，同时满足==b a |||,|b a -求a 与b a +的夹角． [解析] 解法一：根据,|||||,|||22b a b a ==有又由|,|||b a b -=得,||.2||||222b b a a b +-=.||212a b a =⋅∴ 而,||3||2||||2222a b b a a b a =+⋅+=+.||3||a b a =+∴设a 与b a +的夹角为θ，则,23||3||||21||||.||)(cos 22=⋅+=++=a a a ab a a b a a θ .30,1800o o =∴≤≤θθ解法二：设向量),,(),,(2211y x b y x a ==.|,|||22222121y x y x b a +=+∴=由|,|||b a b -=得),(2121212121y x y y x x +=+即⋅+=⋅)(212121y x b a 由),(3)(212)(2||2121212121212y x y x y x b a +=+⨯++=+得.3||211y x b a +=+设a 与b a +的夹角为θ，则⋅=+⋅⋅++++=+⋅+=233)(21)(||||)(cos 212121212121212y x y x y x y x b a a b a a t θ .30,1800 =∴≤≤θθ解法三：根据向量加法的几何意义，作图（如图2 -3 -2 -6)．在平面内任取一点O ．作B OA b OB a OA 0,,、以==为邻边作平行四边形OACB.|,|||b a = 即|,|||=∴ 四边形OACB 为菱形，OC 平分,AOB ∠ 这时,,0b a b a -=+= 而|,|||||b a b a -== 即 .||||||BA OB OA ==∴ △AOB 为正三角形，则,60 =∠AOB 于是,30=∠AOC 即a 与b a +的夹角为.30[点拨] 基于平面向量的表示上的差异，也就是表示方法的不同，才产生了以上三种不同的解法．9．(1)已知),1,1(),432,2(=-=b a 求a 与b 的夹角．(2)已知),1,1(),2,1(==b a 且a 与b a λ+的夹角为锐角，求实数A 的取值范围，考点10 向量坐标运算的综合应用[例10] 已知),23,21(),1,3(=-=b a 且存在实数k 和t ，使得,)3(2b t a x -+=,tb ka y +-=且 ,y x ⊥试求t t k 2+的最小值．[解析] 由题意可得,2)1()3(||22=-+=a,1)23()21(||22=+=b,0231213=⨯-⨯=⋅b a 故有.b a ⊥由,y x ⊥知,0)(])3([2=+-⋅-+tb ka b t a 即,0)3()3(2232=⋅+-+-+-b a k k t t b t t ka.00)3(1)3(22232=⋅+-+⋅-+⋅-∴k k t t t t k∴ 可得 433tt k -=故 ,47)2(41)34(41222-+=-+=+t t t tt k 即当2-=t 时，t t k 2+有最小值为⋅-47[点拨] 向量与函数知识相结合的综合问题，关键是正确应用向量数量积的坐标形式，将其转化为函数问题，然后利用函数的相关知识来解决，10．已知向量,sin 2(),1,sin 3x b x a ==（],32,6[),1ππ∈x 记函数,)(b a x f ⋅Λ求函数)(x f 的值域．学业水平测试1．若),5,3(),2,(-==b a λ且a 与b 的夹角为钝角，则A 的取值范围是( )．),310.(+∞A ),310[+∞⋅B )310,.(-∞C )310,.(-∞D2．已知A 、B 、C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为、)2,1(A ),1,0()1,4(-C B 、则△ABC 的形状为( )．A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．以上均不对 3．给定两个向量),1,2(),4,3(-==b a 且),()(b a xb a -⊥+则x 等于( )．23.A 223.B 323.C 423.D 4．已知),1,1(),2,3(--B A 若点)21,(-x P 在线段AB 的中垂线上，则=x5．已知,,21),1,0(),0,1(mj i b j a j i +=-===给出下列命题： ①若a 与b 的夹角为锐角，则;21<m ②当且仅当21=m 时，a 与b 互相垂直；③a 与b 不可能是方向相反的向量；④若|,|||b a =则.2-=m 其中正确的命题的序号是6．求与向量)1,2(),2,1(==b a 夹角相等的单位向量c 的坐标高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分×8 =40分）1．（2007年湖北高考题）设b a a 在),3,4(=上的投影为,225b 在x 轴上的投影为2，且,14||≤b 则b 为( )．)14,2(⋅A )72,2.(-B )72,2.(-C )8,2(⋅D2．（2009年辽宁高考题）平面向量a 与b 的夹角为,2,60（=a =+=|2|,1||),0b a b 则( )．3.A 32.B4.C 12.D3．与)4,3(=a 垂直的单位向量是( ）．)53,54.(A )53,54.(--B )53,54.(-C 或)53,54(- )53,54.(D 或)53,54(-- 4．若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足+-O ().(,0)2=-OA 则△ABC 的形状为( )． A ．正三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D.A 、B 、C 均不正确5．（2011年辽宁理）若a ，b ，c 均为单位向量，且-=⋅a b a (,0,0)()≤-⋅c b c 则||c b a -+的最大值为( )．12.-A 1.B 2.C 2.D6．（2007年重庆高考题）已知向量),5,3(B ),6,4(==O OA 且,OB //,C 0AC OA ⊥则向量=C 0( ))72,73.(-A )214,72.(-B )72,73.(-C )214,72.(-D7．（2010年安徽高考题）设向量),21,21(),0,1(==b a 则下列结论中正确的是( )．||||.b a A = 22.=⋅b a B b a C -.与b 垂直 b a D //.8．（2009年陕西高考题）在△ABC 中，M 是BC 的中点，,1A =M 点P 在AM 上且满足=PA PM 则2)(PC PB +等于( )．94.-A 34.-B 34.C 94.D 二、填空题f5分x4 =20分）9．（2008年江西高考题）直角坐标平面上三点,3()2,1(B A 、),7,9()2C 、-若E 、F 为线段BC 的三等分点，则=⋅A A10．（2008年宁夏高考题）已知平面向量,4(),3,1(=-=b a b a +-λ),2与a 垂直，则=λ 11．（2010年广东高考题）若向量===c b x a ),1,2,1(),,1,1(),1,1,1(满足条件,2)2()(-=⋅-b a c 则=x 12．（2011年安徽理）已知向量a ，b 满足=-⋅+)()2(b a b a ,6-且,2||,1||==b a 三、解答题（10分×4 =40分）13．(1)已知,120,,1||,1||o b a b a >=<==计算向量b a -2在向里b a +方向上的投影．(2)已知,4||,6||==b a a 与b 的夹角为,60 求).2(b a +)3(b a -的值．14．已知向量.),1,3(),1,2(),2,3(R t c b a ∈-==-= (1)求||tb a +的最小值及相应的t 值； (2)若tb a -与c 共线，求实数t 的值．15.如图2-3 -2 -7，四边形ABCD 是正方形，P 是对角线BD 上的一点，PECF 是矩形，用向量法证明：;)1(EF PA = .)2(EF PA ⊥16．平面内有向量)1,2(),1,5(),7,1(===O 点X 为直线OP 上的一个动点．(1)当≡⋅X 取最小值时，求O 的坐标；(2)当点X 满足(I)的条件和结论时，求AXB ∠cos 的值，。

高中数学第二章平面向量 2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式新人教B版必修4

即2x＋y－3＝0.
②
由①②可得x＝1， y＝1，
∴|A→D|＝ 1－22＋1＋12＝ 5，即|A→D|＝ 5，点 D 的坐标为(1,1).
规律方法将题目中的隐含条件挖掘出来，然后坐标化，运用方程的思想进行求解是解向量题常用的方法.
跟踪演练 3 已知 a＝－12， 23，O→A＝a－b，O→B＝a＋b，若△AOB
则A→D＝(x－2，y＋1)，B→C＝(－6，－3)，
B→D＝(x－3，y－2)，
∵D
在直线
BC
→→ 上，即BD与BC共线，
∴－6(y－2)＋3(x－3)＝0，即x－2y＋1＝0.
①
又∵AD⊥BC，∴A→D·B→C＝0，
即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，
∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0.
跟踪演练2 已知向量a＝e1－e2，b＝4e1＋3e2，其中e1＝ (1,0)，e2＝(0,1). (1)试计算a·b及|a＋b|的值；解 a＝e1－e2＝(1,0)－(0,1)＝(1，－1)， b＝4e1＋3e2＝4(1,0)＋3(0,1)＝(4,3)， ∴a·b＝4×1＋3×(－1)＝1，
|a＋b|＝ 4＋12＋3－12＝ 25＋4＝ 29.
(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)·b. 解 ∵a·c＝2×2＋(－1)×4＝0， ∴(a·c)·b＝0·b＝0.
规律方法 (1)通过向量的坐标表示实现向量问题代数化，应注意与方程、函数等知识的联系. (2)向量问题的处理有两种思路：一种是纯向量式，另一种是坐标式，两者互相补充.
跟踪演练1 已知向量a＝(1,3)，b＝(2,5)，c＝(2,1).求： (1)a·b；解 a·b＝(1,3)·(2,5)＝1×2＋3×5＝17.

18-19 第2章 2.3 2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式

x2＋y2.
究
•
攻
重
课时分层作业
难
返首页
自 [跟踪训练]
当
主
堂
预 2．已知向量 a＝(2x＋3,2－x)，b＝(－3－x,2x)(x∈R)，则|a＋b|的取值范围为达
习
标
• 探
________．
• 固
新知
[解析]
∵a＋b＝(x，x＋2)，
双基
∴|a＋b|＝ x2＋x＋22＝ 2x2＋4x＋4
课时分层作业
难
返首页
自主
向量的模的问题
当堂
预习
(1)设平面向量 a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若 a∥b，则|2a－b|等于(
)
达标
•
•
探 A．4
B．5
固
新
双
知 C．3 5
D．4 5
基
合作探究 • 攻重难
(2)已知向量 a＝(1,2)，b＝(－3,2)，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________. [思路探究] (1)两向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的坐标表示：x1y2－x2y1＝ 0. (2)已知 a＝(x，y)，则|a|＝ x2＋y2.
返
首
页
自
(1)已知向量 a＝(2,1)ห้องสมุดไป่ตู้b＝(1，k)，且 a 与 b 的夹角为锐角，则实数 k 的当
主
堂
预习
取值范围是(
)
达标
•
探新
A．(－2，＋∞)
知
B.－2，12∪12，＋∞
• 固双基
C．(－∞，－2)

高中数学第二章平面向量 2.3 平面向量的数量积 2.3.

2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式课堂导学三点剖析一、向量数量积的坐标运算若a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),则a ·b =a 1b 1+a 2b 2.【例1】已知A(-1,0),B(0,2),C(-3,1),且·=5,2=10.(1)求D 点的坐标;(2)用、表示.思路分析:求D 点坐标要先设出D 点的坐标,然后用待定系数法求之.解：(1)设D(x,y),则AB =(1,2),AD =(x+1,y), 所以·=x+1+2y=5,①2=(x+1)2+y 2=10.②联立①②,解之,得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-=.1,23,2y x y x 或所以D 点的坐标为(-2,3)或(2,1).(2)当D 点的坐标为(-2,3)时,AB =(1,2),=(-1,3),=(-2,1),设=m +n ,则(-2,1)=m(1,2)+n(-1,3),所以⎩⎨⎧+=-=-.321,2n m n m 所以m=-1,n=1. 所以AC =-+.当D 点的坐标为(2,1)时,设AC =p AB +q AD ,则(-2,1)=p(1,2)+q(3,1),所以⎩⎨⎧+=+=-.21,32q p q p 所以p=1,q=-1. 所以=-.综上,当D 点的坐标为(-2,3)时,AC =-+.当D 点的坐标为(2,1)时,AC =AB -AD .各个击破类题演练 1设a =(4,-3),b =(2,1),若a +t b 与b 的夹角为45°,求实数t 的值.思路分析:运用(a +t b )·b =|a +t b ||b |cos45°列出等式,解方程.解:a +t b =(4,-3)+t(2,1)=(4+2t,-3+t),(a +t b )·b =(4+2t,-3+t)·(2,1)=5t+5,|a +t b |=20)1(5)3()24(222++=+-++t t t . 由(a +t b )·b =|a +t b ||b |cos45°,得5t+5=4)1(2252++t , 即t 2+2t-3=0.∴t=-3或t=1.经检验知t=-3不合题意，舍去，∴t=1.温馨提示本题运用向量的坐标运算、模、数量积和一元二次方程等知识，体现了方程思想在解计算题中的重要作用，这是一种常用的解题方法，请同学们务必学会.变式提升 1已知向量a 与b 同向,b=(1,2),a·b =10.(1)求向量a 的坐标;(2)若c =(2,-1),求(b ·c )a .思路分析:因为a 与b 同向,所以在设出a 的向量坐标并求坐标时,要注意同向这个条件. 解:(1)∵a 与b 同向,∴可设a =(k,2k)(k>0).又a·b =10,∴(k,2k)·(1,2)=10⇒k=2.∴a =(2,4).(2)(b ·c )a =［(1,2)·(2,-1)］(2,4)=0(2,4)=0.二、两向量垂直条件的坐标表示设a 与b 为两个非零向量,且a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),则a ⊥b ⇔a 1b 1+a 2b 2=0.【例2】在△ABC 中,=(2,3),=(1,k),且△ABC 为直角三角形,求k 的值.思路分析:题目中只给出了△ABC 为直角三角形,但没有指明哪个角为直角,应分别讨论. 解：若∠A=90°,由已知得·=0,∴2×1+3k=0,解得k=32-. 若∠B=90°,则·=0, ∵BC =AC -=(1,k)-(2,3)=(-1,k-3), ∴AB ·BC =2×(-1)+3(k-3)=0,解得k=311. 若∠C=90°,则·=0.∴1×(-1)+k(k-3)=0,即k 2-3k-1=0,解得k=2133±. 综上可得k=32-或k=311或k=2133±. 类题演练 2已知a =(1,0),b =(1,1),当λ为何值时,(a +λb )⊥a ?思路分析:先求出a +λb 的坐标,然后由垂直的条件列出方程求解.解:∵a =(1,0),b =(1,1),∴a +λb =(1+λ,λ).又∵a +λb 与a 垂直,∴1+λ+0=0.∴λ=-1.∴当λ=-1时,a +λb 与a 垂直.变式提升 2平面上三点A 、B 、C 共线,=(-2,m),=(n,1),=(5,-1)且⊥.求m 、n 的值. 思路分析:解答本题要注意A 、B 、C 三点共线这个条件的运用,即与AC 共线. 解:由题意得向量AB 与AC 共线,即(n+2,1-m)与(7,-1-m)共线.∴⎩⎨⎧=+-=----+.02,0)1(7)1)(2(m n m m n 解得⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==.23,33,6n m n m 或三、向量的模、距离和夹角公式1.设a =(a 1,a 2)，则|a |=2221a a +.2.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则=(x 2-x 1,y 2-y 1)， ∴|AB |=212212)()(y y x x -+-.3.设a=(a 1,a 2),b=(b 1,b 2),则cos 〈a ,b 〉=222122212211b b a a b a b a +•++.【例3】已知a =(-2,-1),b=(λ,1),若a 与b 的夹角α为钝角,求λ的取值范围.思路分析：由于两个非零向量a 、b 的夹角θ满足0°≤θ≤180°,所以用cosθ=||||b a b a •去判断θ分五种情况:cosθ=1,θ=0°;cosθ=0,θ=90°;cosθ=-1,θ=180°;cosθ<0且cosθ≠-1,θ为钝角;cosθ>0且cosθ≠1,θ为锐角.解:由题意cosα=1512||||2+•--=•λλb a b a ,∵90°<α<180°,∴-1<cosα<0.∴-1<15122+•--λλ<0.∴⎪⎩⎪⎨⎧+->--<--.5512,0122λλλ 即⎪⎩⎪⎨⎧+<+->.55)12(,2122λλλ即⎪⎩⎪⎨⎧≠->.2,21λλ∴λ的取值范围是(-21,2)∪(2,+∞). 类题演练 3已知a 、b 是两个非零向量,同时满足|a |=|b |=|a -b |,求a 与a +b 的夹角.思路分析:设出a 与b 的坐标,运用公式.解:设向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2).∵|a |=|b |,∴x 12+y 12=x 22+y 22.由|b |=|a -b |,得x 1x 2+y 1y 2=21(x 12+y 12). 由|a +b |2=2(x 12+y 12)+2·21(x 12+y 12)=3(x 12+y 12), 得|a +b |=)(32121y x +.设a 与a +b 的夹角为θ,则cosθ=233)(21)(||||)(2121212121212121=+••++++=++•y x y x y x y x b a a b a a . ∴θ=30°.变式提升 3如右图所示，四边形ADCB 是正方形，P 是对角线DB 上一点，PFCE 是矩形，试用向量法证明PA ⊥EF .证明:以点D 为坐标原点，DC 所在直线为x 轴，建立如图所示的坐标系.设正方形的边长为1，|DP |=λ，则A （0，1），P （22λ，22λ），E （1，22λ），F （22λ，0）.于是PA =（22-λ，1-22λ），EF =(22λ-1,22-λ).∵PA ·EF =(22-λ)·(22λ-1)+(1-22λ)(22-λ)=0,∴⊥.。

高中数学2-3-3向量数量积的坐标运算与度量公式课件新人教B版必修

[答案] B
[解析] 3x＋1×(－3)＝0，∴x＝1.
3．已知A、B、C是坐标平面上的三点，其坐标分别为
A(1,2)，B(4,1)，C(0，－1)，则△ABC的形状为( A．直角三角形 C．等腰直角三角形 [答案] C
→ ＝(3，－1)，AC → ＝(－1，－3) [解析] AB →· → ＝3×(－1)＋(－1)×(－3)＝0 AB AC → |＝|AC → |＝ 10∴△ABC 为等腰直角三角形．且|AB
[点评] 处理有关垂直总是要注意利用a⊥b⇔a·b＝
0(a，b是非零向量)，或者利用a⊥b⇔a1b1＋a2b2＝0(a＝(a1， a2)，b＝(b1，b2))．
[例2] 设a＝(4，－3)，b＝(2,1)，若a＋tb与b的夹角为 45°，求实数t的值． [分析] 利用公式a·b＝|a||b|cosθ建立方程，解t的值．
a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)．又∵(a＋b)·(a－b) ＝ (cosα ＋ cosβ)(cosα － cosβ) ＋ (sinα ＋ sinβ)(sinα － sinβ) ＝cos2α－cos2β＋sin2α－sin2β＝0，
∴(a＋b)⊥(a－b)．
解法二：∵a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)， ∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2 ＝(cos2α＋sin2α)－(cos2β＋sin2β)＝1－1＝0， ∴(a＋b)⊥(a－b)．
二、填空题
5 ．已知 a ＝ (x － 2 ， x ＋ 3) ， b ＝ (2x － 3 ，－ 2) ，若 a⊥b，则x＝________.
[答案]
[解析]
2
9 0 或2
∵a⊥b，∴a· b＝(x－2)(2x－3)－2(x＋3)＝0

高中数学第二章平面向量2.3平面向量的数量积2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式课件新人教B版必修4

2 ��2 1 +��1 2 ��2 2 +��2
即可.
解: a· b=(-6,2)· (-2,4)=12+8=20. |a|= 36 + 4=2 10, |b|= (-2)2 + 42 =2 5.
��· �� ∵cos<a,b>=|��||��| π ∴<a,b>=4.
即 2λ-15=0,∴λ= 2 .
答案: 2
15
15
1
2
3
3.向量的长度、距离和夹角公式
2 2 (1)向量的长度:已知 a=(a1,a2),则|a|= ��1 + ��2 ,即向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根. (2)两点之间的距离公式:若 A(x1,y1),B(x2,y2),则
1
2
3
【做一做 1-1】若 a=(2,-3),b=(x,2x),且 a· b=3,则 x 等于( A.3
1
4
)
B.

1 3
C.4 3
1 3
D.-3
解析: 由题意,得 2x-6x= , 解得 x=-3.
答案:C
【做一做 1-2】若 A(1,1),B(2,3),C(-1,4),则�� · ��= .
∴x1x2x3+y1y2x3=x1x3x2+x1y2y3,
x1x2y3+y1y2y3=x2x3y1+y1y2y3. ∴y1y2x3=x1y2y3,x1x2y3=x2x3y1. ∴y2(y1x3-x1y3)=0,x2(x1y3-x3y1)=0. ∵b是任意向量, ∴x2和y2是任意实数. ∴y1x3-x1y3=0.∴a∥c. 这与a,c是任意向量,即a,c不一定共线,相矛盾. ∴假设不成立. ∴(a· b)c=a(b· c)不恒成立.

2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式

平面直角坐标系内两点间的距离公式。
Bqr6401@
x
三、概念形成
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概念3：向量的长度、距离和夹角公式的坐标表示
如果： a = (a1, a2 ), b = (b1, b2 ) ，易得
a1b1 a2b2 ab cos a, b 2 2 2 2 | a || b | a1 a2 b2 b2
数量积的坐标公式：
概念1：向量内积的坐标运算建立正交基底 e1 , e2 ，已知 a = ( x1, y1 ), b = ( x2 , y2 )
{
}
a b (a1, a2 ) (b1 b2 ) a1b1 a2b2
Bqr6401@
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普通高中课程标准数学4(必修)
第二章平面向量
2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式
良乡中学数学组制作：任宝泉 Bqr6401@ 2016年7月14日
一、复习引入
普 1.向量的数量积（内积）通高定义：| a | 贩 | b | cos < a, b > 叫做向量 a 和 b 的数量中积（或内积）。记作 a b 课程标 a b | a | | b | cos a, b 准
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下课
Bqr6401@
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课件3：2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式

解：设 a 与 b 的夹角为 θ，则 a·b＝(1，2)·(1，λ)＝1＋2λ.
(1)因为 a 与 b 的夹角为直角，所以 cos θ＝0，所以 a·b＝0，所以 1＋2λ＝0，所以 λ＝－21.
(2)因为 a 与 b 的夹角为钝角，所以 cos θ<0 且 cos θ≠－1，所以 a·b<0 且 a 与 b 不反向．由 a·b<0 得 1＋2λ<0，故 λ<－21，由 a 与 b 共线得 λ＝2，故 a 与 b 不可能反向．所以 λ 的取值范围为－∞，－21.
5 10×
5＝
2 2.
又∵0 〈a，b〉 π，
∴向量 a 与 b 的夹角为π4.
2.已知向量 a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若 2a－b 与 b 垂直，
则|a|等于( C )
A．1
B. 2
C．2
D．4
解析 ∵(2a－b)·b＝2a·b－|b|2 ＝2(－1＋n2)－(1＋n2) ＝n2－3＝0， ∴n＝± 3， ∴|a|＝ 12＋n2＝2.
3.在△ABC 中，∠C＝90°，A→B＝(k，1)，A→C＝(2，3)，则 k 的值为__5__．
解析 ∵B→C＝A→C－A→B＝(2，3)－(k，1)＝(2－k，2)， A→C＝(2，3)， ∴B→C·A→C＝2(2－k)＋6＝0，∴k＝5.
4.已知平面向量 a＝(2，4)，b＝(－1，2)，若 c＝a－(a·b)b，则|c|＝_8__2_.
x1x2＋y1y2
则 cos θ＝|a||b|＝ x21＋y21 x22＋y22.
典型例题例 1 已知 a 与 b 同向，b＝(1，2)，a·b＝10. (1)求 a 的坐标； (2)若 c＝(2，－1)，求 a(b·c)及(a·b)c.

2018版高中数学人教B版必修四课件：2-3-3 向量数量积

→ → → ∴CA＝OA－OC＝(1－2t,7－t)，
→ → → CB＝OB－OC＝(5－2t,1－t)， → → ∴CA· CB＝(1－2t)(5－2t)＋(7－t)(1－t)
＝5t2－20t＋12＝5(t－2)2－8. → → → ∴当 t＝2 时， CA· CB取得最小值，此时OC＝(4,2).
第二章——
2.3
平面向量的数量积
2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式
[学习目标] 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算. 间的距离公式. 3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直.
2.能根据向量的坐标计算向量的长度，并推导平面内两点
x1x2＋y1y2
a· b cos θ＝＝ |a||b|
2 2 2 x2 ＋ y x ＋ y 1 1 2 2
.
要点一向量数量积的坐标运算
例1 已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a· b＝10，求：
(1)向量a的坐标；
解
∵a与b同向，且b＝(1,2)，
∴a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0).
又∵a· b＝10，∴λ＋4λ＝10，
∴λ＝2，∴a＝(2,4).
(2)若c＝(2，－1)，求(a· c)· b. 解 ∵a · c＝2×2＋(－1)×4＝0，
(1)通过向量的坐标表示实现向量问题代数化，
∴(a· c)· b＝0· b＝0.
规律方法应注意与方程、函数等知识的联系.
(2)向量问题的处理有两种思路：一种是纯向量式，另一种
∴(a＋b)· (2a－b)＝(3,8)· (0(b· c).
解 (a· b)· c＝17c＝17(2,1)＝(34,17)，

高中数学 2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式课件

已知 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则两个向量的夹角为 cos<a， a1b1＋a2b2
b>＝___a_12＋__a_22_·__b_21_＋__b_22 _.
1．(2014·山东曲阜师范大学附属中学高一模块测试)已知向量a＝(1,2)、b＝(2，y)，且a⊥b，则y的值为( )
A．4
B．1
C．－1 D．－4
[答案] C
[解析] ∵a⊥b，∴a·b＝2＋2y＝0，∴y＝－1.
2．(2014·河南滑县二中高一月考)若向量a＝(1,2)、b＝(1，－3)，则向量a与b的夹角等于( )
A．120° B．135° C．60° D．45° [答案] B
[解析] cos〈a，b〉＝|aa|··|bb|＝ 51×－610＝－ 22， ∴〈a，b〉＝135°.
[分析] 只要证(a＋b)·(a－b)＝0即可．
[解析] 解法一：由已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，得a＋b＝(cosα＋cosβ，sinα＋sinβ)，
a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)．
又∵(a＋b)·(a－b)
＝(cosα＋cosβ)(cosα－cosβ)＋(sinα＋sinβ)(sinα－sinβ)＝ cos2α－cos2β＋sin2α－sin2β＝0，
2
2 .
4．已知a＝(x－2，x＋3)、b＝(2x－3，－2)，若a⊥b，则x
＝________.
[答案] 0 或92
[解析] ∵a⊥b，∴a·b＝(x－2)(2x－3)－2(x＋3)＝0
∴2x2－9x＝0，∴x＝0 或 x＝92.
5．已知向量O→A＝(－1,2)、O→B＝(3，m)，若O→A⊥A→B，则 m ＝________. [答案] 4

高中数学第二章平面向量2.3.3向量数量积的坐标运算与量公式bb高一数学

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即λ＞－12，（2λ＋1）2＜5λ2＋5，
即λ＞－12， λ≠2.
所以 λ 的取值范围是－12，2∪(2，＋∞)．
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法二：因为 a 与 b 的夹角为钝角，所以 a·b＜0 且 a 不平行于 b，由 a·b＝－2λ－1＜0 得 λ＞－12，由 a∥b 得，－2＋λ＝0，λ＝2，所以 λ＞－12且 λ≠2，所以 λ 的取值范围是－12，2∪(2，＋∞)．
第二十三页，共三十六页。
法二：设向量 b＝(x，y)，依题意，O→A·O→B＝0， |O→A|＝|O→B|，则(a－b)·(a＋b)＝0，|a－b|＝|a＋b|，所以|a|＝|b|＝1，a·b＝0. 所以向量 b 是与向量 a 相互垂直的单位向量，
即有－12x＋ 23y＝0， x2＋y2＝1
解得 b＝( 23，12)或 b＝(－ 23，－12)．
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1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.( × ) (2)|A→B|的计算公式与 A，B 两点间的距离公式是一致的．( √ )
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2．若向量 a＝(3，m)，b＝(2，－1)，a·b＝0，则实数 m 的值
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(2)因为 a＝(1，1)，b＝(2，5)，所以 8a－b＝(8，8)－(2，5)＝(6，3)．又因为(8a－b)·c＝30，所以(6，3)·(3，x)＝18＋3x＝30，所以 x＝4.