高三数学寒假课程第2讲-函数的单调性、奇偶性、周期性

第二讲 函数的单调性、奇偶性、周期性一、知识回顾第一部分函数的单调性1.定义：一般地，设函数)(x f y =定义域为A ，区间A M ⊆.如果取区间M 中的任意两个值21,x x 该变量012>-=∆x x x 则当0)()(12>-=∆x f x f y 时，就称函数)(x f y =在区间M 上是增函数，当0)()(12<-=∆x f x f y 时，就称函数)(x f y =在区间M 上是减函数，如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是偶函数，就说函数在这个区间M 上具有单调性.区间M 称为单调区间.2.单调性的判断:1.定义法：①21,x x 必须在定义域内，且给定关系21x x <；②作差)()(12x f x f -，作商)()(12x f x f （)(x f 恒大于零，或恒小于零）； ③整理变形.（转变成因式相乘，或相除的形式）；④定号判断)()(12x f x f -是否大于零，或)()(12x f x f 是否大于1； ⑤做结论.2.图象法：从左到右看图象的走势，上升即为增函数，下降即为减函数.3.定义变形：若0)]()()[(2121>--x f x f x x ，则说)(x f 在这个区间上是增函数；若0)]()()[(2121<--x f x f x x ，则说)(x f 在这个区间上是减函数. 若0)()(2121>--x x x f x f ，则说)(x f 在这个区间上是增函数； 若0)()(2121<--x x x f x f ，则说)(x f 在这个区间上是减函数. （4）复合函数单调性判断：))((x g f y =，令)(x g m =，在区间),(b a 上，若)(x g m =为单调函数，且)(m f y =在区间))(),((b g a g 或))(),((a g b g 上也为单调函数，则)(m f y =，)(x g m =同增同减时，))((x g f y =为单调递增函数；)(m f y =，)(x g m =一增一减时，))((x g f y =为单调递减函数；3.性质：（1）若)(),(x g x f 均为增函数（减函数）则)()(x g x f +为增函数（减函数）.（2）若)(x f 为增函数（减函数）则)(x f -为减函数（增函数）.（3）互为反函数的两个函数单调性相同.（4）奇函数在其对称区间上的单调性相同，偶函数在其对称区间上的单调性相反.（5）当),(b a x ∈时，)(),(x g x f 为增函数（减函数）且0)(,0)(>>x g x f 则)()(x g x f ⋅在),(b a 内递增（减）.（6）当),(b a x ∈时，)(x f 恒正（负），且)(x f 为增函数（减函数）则)(1x f 为减函数（增函数）. 第二部分函数的奇偶性1.奇函数：（1）设函数)(x f y =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x 都有D x ∈-，且)()(x f x f -=-则这个函数叫做奇函数.（2）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.（3）奇函数的变式定义：对于函数)(x f y =，在它的定义域内，任意一个x 如果都有0)()(=+-x f x f 或)0)((,1)()(≠-=-x f x f x f ，则函数)(x f 叫奇函数. （4）奇函数)(x f 定义域为R ，则一定有0)0(=f .2.偶函数：（1）设函数)(x g y =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x 都有D x ∈-，且)()(x g x g =-则这个函数叫做偶函数.（2）如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形，反之，如果一个函数的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形，那么这个函数是偶函数.（3）对于函数)(x f y =，在它的定义域内，任意一个x 如果都有0)()(=--x f x f 或1)()(=-x f x f ，)0)((≠x f 则函数)(x f 叫偶函数. （4）)(x f 为偶函数)()()(x f x f x f ==-⇔.3判断函数的奇偶性：（1）定义域必须对称.（2）整理)(x f -的形式，尤其是指数和对数.（3）确定⎩⎨⎧-=-奇函数偶函数)()()(x f x f x f4.若奇函数)(),(x g x f 的定义域的交集关于原点对称，则有)()(x g x f ±为奇函数；)0)((,)()(≠x g x g x f 为偶函数；)()(x g x f 为偶函数. 若偶函数)(),(x g x f 的定义域的交集关于原点对称，则有)()(x g x f ±为偶函数；)0)((,)()(≠x g x g x f 为偶函数；)()(x g x f 为偶函数. 若偶函数)(x f 与奇函数)(x g 的定义域的交集关于原点对称，则有)()(x g x f 为奇函数；)0)((,)()(≠x g x g x f 为奇函数；)()(x g x f ±奇偶性不确定. 5.常见结论：（1）1()(01)1x x a f x a a a -=>≠+且为奇函数. （2）为奇函数且)10)(1(log )(2≠>++=a a x x x f a . （3）为奇函数且)10(log )(≠>-+=a a xb x b x f a . （4）若)(b ax f +为偶函数，有)()(b ax f b ax f +-=+;若)(b ax f +为奇函数，有)()(b ax f b ax f +-=+-.第三部分函数的周期性1.定义：对于函数)(x f 如果存在非零的常数T ，使得当x 取定义域内的任何数时，都有)()(x f T x f =+那么就称)(x f 为周期函数.T 为)(x f 的一个周期.2.相关结论:设实数0≠m ，若对于函数)(x f 的定义域内的任意x ，恒有以下关系：（1）)()(x f m x f -=+；（2）)(1)(x f m x f =+；（3）)(1)(x f m x f -=+； （4）1)(1)()(-+=+x f x f m x f ；（5）1)()(1)(+-=+x f x f m x f ； （6）)()(m x f m x f -=+；则)(x f 是周期m T 2=的周期函数.（7）)0)(()(11)(≠+-=x f a x f x f ，则)(x f 的周期T=3a ； （8）)()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期T=6a ；（9）若)()(x a f x a f -=+且)(x f 是偶函数，则)(x f y =是周期为2a 的周期函数；若)()(x a f x a f -=+且)(x f 是奇函数，则)(x f y =是周期为4a 的周期函数（10）若)()(x a f x a f --=+且)(x f 是偶函数，则)(x f y =是周期为4a 的周期函数.若)()(x a f x a f --=+且)(x f 是奇函数，则)(x f y =是周期为2a 的周期函数. 若)(x f y =关于点（a ，0），（b ，0）对称，则)(x f 是周期为2b a -的周期函数.（11）)(x f y =的图象关于直线a x =，b x =（b a ≠）对称，则函数)(x f y =是周期为2b a -的周期函数.（12）如果函数)(x f y =的图象有一个对称中心)0.(a A 和一条对称轴)(,b a b x ≠=，则函数)(x f y =必是周期函数，且周期为b a T -=4.二、精选例题第一部分：函数的单调性例1.下列函数中，既是偶函数又是区间),0(+∞上的增函数的是（）A 3x y =B 1+=x yC 12+-=x yD x y -=2 【解析】因为函数x y x y -==和都是偶函数，所以内层有它们的就是偶函数，但是它们在),0(+∞的单调性相反，再加上外层函数的单调性就可以确定. 由偶函数可排除A ，再由增函数排除C ，D ，故选B例2.函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________ 【答案】1(,)2-+∞【解析】因为210x +>，所以定义域为1(,)2-+∞，由复合函数的单调性知:函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是1(,)2-+∞.例3.若函数32)(2+-=mx x x f 在[)∞+-,2上是增函数，在(]2,-∞-上为减函数，则)1(f 等于（）A : 11 B: 10 C: 12 D: 13 【解析】由题意可知对称轴24-==m x ，8-=∴m ，382)(2++=x x x f ，13)1(=∴f . 例4.求证：)0()(2>+=a xa x x f 在区间(]a ,0是单调递减函数. 【解析】任取a x x ≤<<210， 则212211212122212))(()()(x x a x x x x x a x x a x x f x f --=--+=-， a x ≤<20 ，a x <<10 ，2210a x x <<∴，又012>-x x ，0)()(12<-∴x f x f ，)()(12x f x f <∴，故)(x f 在区间(]a ,0是单调递减函数.例5.下列区间中，函数()lg(2)f x x =-，在其上为增函数的是（A ）(,1]-∞ （B ） 41,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C ） 3[0,)2 （D ） [1,2)【解析】用图象法解决，将lg y x =的图象关于y 轴对称得到()lg y x =-，再向右平移两个单位，得到()()lg 2y x =--，将得到的图象在x 轴下方的部分翻折上来，即得到()lg(2)f x x =-的图象.由图象，选项中()f x 是增函数的显然只有D例6.动点(),A x y 在圆221x y +=上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知时间0t =时，点A 的坐标是1(,)22，则当012t ≤≤时，动点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数的单调递增区间是A 、[]0,1B 、[]1,7C 、[]7,12D 、[]0,1和[]7,12【解析】画出图形，设动点A 与x 轴正方向夹角为α，则0t =时3πα=，每秒钟旋转6π， 在[]0,1t ∈上[,]32ππα∈，在[]7,12上37[,]23ππα∈， 动点A 的纵坐标y 关于t 都是单调递增的.例7.求函数6)(2-+=x x x f 的单调区间.【解析】由062≥-+x x ，得3-≤x ，或2≥x .)(x f ∴的定义域为{}2,3≥-≤x x x 或，令62-+=x x u ，则原函数化为u y =，而425)21(622-+=-+=x x x u ， （1）当(]3,-∞-∈x 时，函数u 关于x 为减函数，y 关于u 为增函数，为减函数，区间关于x y ∴(]3,-∞-为函数)(x f 的单调递减区间；（2）当(]∞+∈,2x 时，函数u 关于x 为增函数，y 关于u 为增函数，为增函数，区间关于x y ∴(]∞+,2为函数)(x f 的单调递增区间；故函数)(x f 的单调递增区间为(]∞+,2，单调递减区间为(]3,-∞-.例8.求函数421342)(22+-+-=x x x x x f 在区间),2(∞+上的单调性. 【解析】3)1(524252425842421342)(222222+-+=+-+=+-++-=+-+-=x x x x x x x x x x x x f ， 当2>x 时，3)1(2+-x 是递增的，∴3)1(52+-x 是递减的， 即3)1(52)(2+-+=x x f 是递减的， ∴421342)(22+-+-=x x x x x f 在区间),2(∞+上是递减的，区间),2(∞+为减区间. 例9.已知函数()23x x f x a b =⋅+⋅，其中常数,a b 满足0ab ≠.（1）若0ab >，判断函数()f x 的单调性；（2）若0ab <，求(1)()f x f x +>时x 折取值范围.【解析】（1）当0,0a b >>时，任意1212,,x x R x x ∈<，则121212()()(22)(33)x x x xf x f x a b -=-+-∵121222,0(22)0x x x x a a <>⇒-<，121233,0(33)0x x x x b b <>⇒-<， ∴12()()0f x f x -<，函数()f x 在R 上是增函数.当0,0a b <<时，同理，函数()f x 在R 上是减函数.（2）(1)()2230x x f x f x a b +-=⋅+⋅>当0,0a b <>时，3()22x ab >-，则 1.5log ()2ax b >-；当0,0a b ><时，3()22x ab <-，则 1.5log ()2ax b <-.第二部分：函数的奇偶性例1.设函数()f x 和g （x ）分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（） A . ()()f x g x +是偶函数 B. ()()f x g x +是奇函数C. ()()f x g x +是偶函数D. ()()f x g x -是奇函数【解析】设()()()h x f x g x =+，|)(|)(|)(|)(|)(|)()(|)(|)()(x g x f x g x f x g x f x h x g x f x h +=-+=-+-=-∴+=)(x h =，所以)(x h 是偶函数，所以选A .例2.若函数2()f x x x a =-+为偶函数，则实数a =.【答案】 0 【解析】22()(),)f x f x x x a x x a -=--+=-+即(-， 则,,0x a x a x R a -=+∈∴=例3.函数22log 2xy x -=+的图象（A ）关于原点对称 （B ）关于主线y x =-对称（C ）关于y 轴对称 （D ）关于直线y x =对称【解析】由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又f （-x ）= 22log 2x x+-=-f （x ），故函数为奇函数，图象关于原点对称，选A . 例4.函数)0()(≠=x x f y 是奇函数，且当()∞+∈,0x 时是增函数，若0)1(=f ，求不等式0)21(<-x f 的解集.【解析】0)1(=f ，∴不等式可转化为)1()21(f x f <-， 又)(x f 在()∞+,0上递增，不难看出：1210<-<x ，得2321<<x ； 又)(x f 是奇函数，∴它在对称区间上的单调性相同，且0)1()1(=-=-f f ， 于是又得)1()21(-<-f x f ，即121-<-x ，得21-<x ， ∴原不等式的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<<212321x x x 或. 例5.已知函数)(x f 为奇函数，且当0>x 时，12)(23-+=x x x f ，求)(x f 在R 上的表达式.【解析】)0(12)(23>-+=x x x x f ，设0<x ，则0>-x 121)(2)()(2323-+-=--+-=-∴x x x x x f ，又 )(x f 为奇函数，12)(,12)(,12)(232323+-=∴-+-=-∴-+-=-∴x x x f x x x f x x x f ，⎪⎩⎪⎨⎧>-+=<+-=∴0,120,00,12)(2323x x x x x x x x f例6.数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则（ ）（A ） ()f x 是偶函数 （B ） ()f x 是奇函数（C ） ()(2)f x f x =+ （D ） (3)f x +是奇函数 【解析】(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，(1)(1),(1)(1)f x f x f x f x ∴-+=-+--=--，∴函数()f x 关于点(1,0)，及点(1,0)-对称，函数()f x 是周期2[1(1)]4T =--=的周期函数.(14)(14)f x f x ∴--+=--+，(3)(3)f x f x -+=-+，即(3)f x +是奇函数.故选D例7.函数)0()(≠=x x f y 是奇函数，且当()∞+∈,0x 时是增函数，若0)1(=f ，求不等式0)21(<⎥⎦⎤⎢⎣⎡-x x f 的解集. 【解析】0)1(=f ，∴不等式可转化为)1()21(f x x f <⎥⎦⎤⎢⎣⎡-， 又)(x f 在()∞+,0上递增，不难看出1)21(0<-<x x ， 解得417121+<<x 或04171<<-x ； 又)(x f 是奇函数，∴它在对称区间上的单调性相同，且0)1()1(=-=-f f ， 于是又得)1()21(-<⎥⎦⎤⎢⎣⎡-f x x f ，即1)21(-<-x x ，得φ∈x ， ∴原不等式的解集是⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<-<+<<0417*******x x x 或. 例8.定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-.则（ ） （A ）(3)(2)(1)f f f <-< （B ） (1)(2)(3)f f f <-<（C ） (2)(1)(3)f f f -<< （D ） (3)(1)(2)f f f <<-【解析】由2121()(()())0x x f x f x -->等价于2121()()0f x f x x x ->-则()f x 在1212,(,0]()x x x x ∈-∞≠上单调递增，又()f x 是偶函数，故()f x 在1212,(0,]()x x x x ∈+∞≠单调递减.且满足*n N ∈时， (2)(2)f f -=， 03>21>>，得(3)(2)(1)f f f <-<，故选A .第三部分：函数的周期性例1.设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()f x =2(1)x x -，则5()2f -=（A ） -12 （B ）1 4- （C ）14 （D ）12 【答案】A 【解析】5511()(2)()()2222f f f f -=-+=-=-1112()(1)222=-⨯-=-故选A 例2.设()g x 是定义在R 上，以1为周期的函数，若()()f x x g x =+在[3,4]上的值域为[2,5]-，则()f x 在区间[10,10]-上的值域为.【答案】[15,11]-例3.若定义在R 上的奇函数满足)()2(x f x f -=+，求)2010(f 的值.【解析】)()2(x f x f -=+ ，)()4(x f x f =+∴，又)(x f 在R 上为奇函数，故0)0(=f ， 0)2(=∴f ，从而0)2()2010(==f f例4.已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时，3()f x x x =-，则函数()y f x =的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点的个数为（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9【解析】因为当02x ≤<时， 3()f x x x =-，又因为()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且(0)0f =，所以(6)(4)(2)(0)0f f f f ====，又因为(1)0f =，所以(3)0f =，(5)0f =，故函数()y f x =的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点的个数为7个，选B.例5.奇函数()x f 的最小正周期为T ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-2T f 的值（ ） A .T B.0 C.2T D.不能确定 【解析】)2()2()2(T f T T f T f =+-=-，又()x f 为奇函数，∴)2()2(T f T f -=-， 从而)2()2(T f T f --=-，0)2(=-∴T f .例6.给出下列三个命题：①函数11cos ln 21cos x y x -=+与ln tan 2x y =是同一函数； ②若函数()y f x =与()y g x =的图象关于直线y x =对称，则函数()2y f x =与()12y g x =的图象也关于直线y x =对称； ③若奇函数()f x 对定义域内任意x 都有()(2)f x f x =-，则()f x 为周期函数.其中真命题是A . ①② B. ①③ C.②③ D. ②【解析】考虑定义域不同，①错误，排除A 、B ；验证③， ()[2()](2)f x f x f x -=--=+，又通过奇函数得()()f x f x -=-，所以f （x ）是周期为2的周期函数，选择C.例7.函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则（ ）（A ） ()f x 是偶函数 （B ） ()f x 是奇函数（C ） ()(2)f x f x =+ （D ） (3)f x +是奇函数 【解析】(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，(1)(1),(1)(1)f x f x f x f x ∴-+=-+--=--，∴函数()f x 关于点(1,0)，及点(1,0)-对称，函数()f x 是周期2[1(1)]4T =--=的周期函数.(14)(14)f x f x ∴--+=--+，(3)(3)f x f x -+=-+，即(3)f x +是奇函数.故选D例8.定义在R 上的函数()f x 满足()f x = ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则(2009)f 的值为A .-1 B. 0 C.1 D. 2【解析】由已知得2(1)log 21f -==，(0)0f =，(1)(0)(1)1f f f =--=-，(2)(1)(0)1f f f =-=-，(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=，(4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=，(5)(4)(3)1f f f =-=，(6)(5)(4)0f f f =-=，所以函数()f x 的值以6为周期重复性出现.，所以(2009)f = (5)f =1，故选C.例9.已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0，2]上是增函数，则（ ）A .(25)(11)(80)f f f -<< B. (80)(11)(25)f f f <<-C. (11)(80)(25)f f f <<-D. (25)(80)(11)f f f -<<【解析】因为)(x f 满足(4)()f x f x -=-，所以(8)()f x f x -=，所以函数是以8为周期的周期函数，则)1()25(-=-f f ，)0()80(f f =，)3()11(f f =，又因为)(x f 在R 上是奇函数，(0)0f =，得0)0()80(==f f ，)1()1()25(f f f -=-=-，而由(4)()f x f x -=-得)1()41()3()3()11(f f f f f =--=--==，又因为)(x f 在区间[0，2]上是增函数，所以0)0()1(=>f f ，所以0)1(<-f ，即(25)(80)(11)f f f -<<，故选D.三、课堂训练第一部分：函数的单调性1.对于函数(),y f x x R =∈，“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“y =()f x 是奇函数”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要【解析】由奇函数定义，容易得选项B 正确.2.下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（ ）A .1ln ||y x = B.3y x = C.||2x y = D.cos y x =【解析】由偶函数，排除B;由减函数，又排除B 、D ，故选A .3.函数1()f x x x=-的图象关于（ ） A .y 轴对称 B.直线x y -=对称 C.坐标原点对称 D.直线x y =对称 【解析】1()f x x x=-是奇函数，所以图象关于原点对称 4.已知函数2)1(2)(2+--=x a x x f 在(]4,∞-上是减函数，求实数a 的范围.【解析】[]222)1(2)1(2)1(2)(a a x x a x x f --+--=+--=[][]2222)1()1(12)1(++--=+++--=a a x a a a x ，∴函数减区间(]a -∞-1,，而已知2)1(2)(2+--=x a x x f 在(]4,∞-上是减函数， ∴(]∈∞-4,(]a -∞-1,，即,14a -≤即3-≤a .5.已知函数()|lg |f x x =.若a b ≠且，()()f a f b =，则a b +的取值范围是（ ）（A ）(1,)+∞ （B ） [1,)+∞（C ） (2,)+∞ （D ） [2,)+∞【解析】由0a b <<，且()()f a f b =得：0111a b ab <<⎧⎪<⎨⎪=⎩，利用线性规划得：0111x y xy <<⎧⎪<⎨⎪=⎩，化为求z x y =+的取值范围问题，z x y y x z =+⇒=-+，2111y y x x '=⇒=-<-⇒过点()1,1时z 最小为2 6.已知函数10)2(2)(2-++=x m x x f 在区间()3,1上是增函数，求)1(f 的取值范围.【解析】10)2(2)(2-++=x m x x f 的对称轴为)2(+-=m x ，在区间()3,1上为增函数， 而)(x f 是开口向上的抛物线，在[]∞++-,)2(m 上是增函数，()3,1∴是[]∞++-,)2(m 的一个子区间，3,)2(1-≥+-≥∴m m ，115)3(252101)2(21)1(2-=--⨯≥-=-⨯++=∴m m f ，即11)1(-≥f .7.设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f 则不等式)1()(f x f >的解集是（ ） A ),3()1,3(+∞⋃- B ),2()1,3(+∞⋃-C ),3()1,1(+∞⋃-D )3,1()3,(⋃--∞【解析】由已知，函数先增后减再增，当0≥x ，2)(≥x f 3)1(=f 令,3)(=x f 解得3,1==x x当0<x ，3,36-==+x x 故3)1()(=>f x f ，解得313><<-x x 或8.已知函数[)∞+∈++=,1,2)(2x x a x x x f ，当21=a 时，求函数)(x f 的最小值；【解析】当21=a 时，222)21(221)(2++-=++=x x x x x f ， 当且仅当xx 21=，即21=x 时，)(x f 最小， 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞+,21上递增，∴在区间上[)∞+,1为增函数， 272211)1(=++=∴f 是函数)(x f 的最小值. 9.设函数)0()(>>++=b a bx a x x f ，求)(x f 的单调区间，并证明)(x f 在单调区间上的单调性. 【解析】在定义域内任取21x x <，))(())(()()(2121221121b x b x x x a b b x a x b x a x x f x f ++--=++-++=-∴， 0,0,021<-<-∴>>x x a b b a ，只有当b x x -<<21或21x x b <<-时函数才单调.当b x x -<<21或21x x b <<-时，函数0)()(21>-x f x f ，)(x f ∴在()b -∞-,和()∞+-,b 上是单调减函数.第二部分：函数的奇偶性1.函数()412x x f x +=的图象 A . 关于原点对称 B. 关于直线y =x 对称 C.关于x 轴对称 D. 关于y 轴对称 【解析】)(241214)(x f x f x xx x =+=+=---)(x f ∴是偶函数，图象关于y 轴对称 2.判断下列函数的奇偶性：（1）x x x f 2)(3+=；（2）xx x x f -+⋅-=11)1()( 【解析】（1）因为定义域为R ，关于原点对称，且)(2)(2)()(33x f x x x x x f -=--=-+-=-，故)(x f 为奇函数.（2）函数的定义域满足011≥-+xx ，所以函数的定义域为{}11<≤-x x ， 因为定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数.3.判断下列函数的奇偶性：（1）2432)(x x x f +=；（2）2211)(x x x f -+-=【解析】（1）定义域关于原点对称，又有24)(3)(2)(x x x f -+-=-=)(3224x f x x =+，故)(x f 为偶函数.（2）由题意知，定义域为{}1,1-，关于原点对称，且有0)(=x f ，所以)(x f 为既奇又偶函数.4.下面四个结论：① 偶函数的图象一定与y 轴相交；② 奇函数的图象一定通过原点；③ 偶函数的图象关于y 轴对称；④ 既是奇函数，又是偶函数的函数一定是)(0)(R x x f ∈=.其中正确结论的是： .【解析】偶函数图象关于y 轴对称，但不一定与y 轴相交，反例：1)(-=x x f ，故①错；奇函数的图象关于原点对称，但不一定过原点，反例：1)(-=x x f ，故②错；若)(x f 是既奇又偶，有0)(=x f ，但未必R x ∈，反例：0)(=x f ，2±=x ，故④错；所以，只有③正确.5.已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2()f x f x +=），且当[0,2)x ∈时，2()log (1f x x =+），则(2008)(2009)f f -+的值为（ ） A .2- B.1- C.1 D.2【解析】1222(2008)(2009)(0)(1)log log 1f f f f -+=+=+=，故选C.6.判断函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-=0,10,00,1)(x x x x x x f 的奇偶性. 【解析】当0>x 时，1)(+=x x f ，0<-x ，)()1(1)(x f x x x f -=+-=--=-∴；当0<x 时，1)(-=x x f 0>-x ，)()1(1)(x f x x x f -=--=+-=-∴；当0=x 时，0)()(==-x f x f ，综上)()(x f x f -=-；故函数为奇函数.7.已知函数)(x f 为奇函数，且当0>x 时，12)(23-+=x x x f ，求)(x f 在R 上的表达式.【解析】)0(12)(23>-+=x x x x f ，设0<x ，则0>-x ， 121)(2)()(2323-+-=--+-=-∴x x x x x f ，又 )(x f 为奇函数，12)(,12)(,12)(232323+-=∴-+-=-∴-+-=-∴x x x f x x x f x x x f ，⎪⎩⎪⎨⎧>-+=<+-=∴0,120,00,12)(2323x x x x x x x x f .8.函数)0()(≠=x x f y 是奇函数，且当()∞+∈,0x 时是增函数，若0)1(=f ，求不等式0)21(<-x f 的解集.【解析】0)1(=f ，∴不等式可转化为)1()21(f x f <-， 又)(x f 在()∞+,0上递增，不难看出：1210<-<x ，得2321<<x ； 又)(x f 是奇函数，∴它在对称区间上的单调性相同，且0)1()1(=-=-f f ， 于是又得)1()21(-<-f x f ，即121-<-x ，得21-<x ， ∴原不等式的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<<212321x x x 或. 第三部分：函数的周期性1.若)(x f 的最小正周期是T 2，且)()(x T f T x f -=+对一切实数x 恒成立，则)(x f 是（ ）A . 奇函数 B. 偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数也不是偶函数【解析】)(x f 的周期是T 2，)()2()(T x f T x T f x T f --=--=-∴，[])()(T x f T x f +-=+∴，设u T x =+，)()(u f u f -=∴为偶函数.2.奇函数()x f 的最小正周期为T ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-2T f 的值（） A . T B. 0 C.2T D. 不能确定 【解析】)2()2()2(T f T T f T f =+-=-，又()x f 为奇函数，∴)2()2(T f T f -=-， 从而)2()2(T f T f --=-，0)2(=-∴T f . 3.设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，若)(x f 的最小正周期为3，且132)2(,1)1(+-=>m m f f ，求m 的取值范围. 【解析】 )(x f 是定义在R 上的奇函数，1)1()1(>--=∴f f ，1)1(-<-∴f ， 而)(x f 的最小正周期为3，1)2()31()1(-<=+-=-∴f f f ， 从而1132-<+-m m ，解得321<<-m . 4.已知函数()f x 的定义域为N ，且对任意正整数x ，都有f （x ）＝f （x －1）＋f （x ＋1）若f （0）＝2004，求f （2004）【解析】因为f （x ）＝f （x －1）＋f （x ＋1），所以f （x ＋1）＝f （x ）＋f （x ＋2）两式相加得0＝f （x －1）＋f （x ＋2） 即：f （x ＋3）＝－f （x ）∴f （x ＋6）＝f （x ），故f （x ）是以6为周期的周期函数，又2004＝6×334，∴f （2004）＝f （0）＝20045.定义在R 上的函数()x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期.若将方程()0=x f 在闭区间[]T T ,-上的根的个数记为n ，则n 可能为_____.【解析】()x f 为奇函数且周期为T ，().00=∴f()().0=-=∴T f T f 又,2222⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-T f T f T T f T f.02,02=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∴T f T f ()x f ∴在[]T T ,-上至少有5个根. 6.对于定义在R 上的函数f （x ），有下述四个命题，其中正确命题的序号为________. ①若f （x ）是奇函数，则f （x －1）的图象关于点A （1，0）对称；②若对x ∈R ，有f （x ＋1）＝f （x －1），则y ＝f （x ）的图象关于直线x ＝1对称； ③若函数f （x －1）的图象关于直线x ＝1对称，则f （x ）为偶函数；④函数y ＝f （1＋x ）与函数y ＝f （1－x ）的图象关于直线x ＝1对称.【解析】f （x －1）的图象是由f （x ）的图象向右平移一个单位而得到，又f （x ）是奇函数，其图象关于原点对称，所以f （x －1）的图象关于点A （1，0）对称，故①正确；由f （x ＋1）＝f （x －1）可知f （x ）的周期为2，无法判断其对称轴，故②错误； f （x －1）的图象关于直线x ＝1对称，则f （x ）关于y 轴对称，故f （x ）为偶函数，③正确；y ＝f （1＋x ）的图象是由y ＝f （x ）的图象向左平移一个单位后得到，y ＝f （1－x ）是由y =f （x ）的图象关于y 轴对称后再向右平移一个单位而得到， 两者图象关于y 轴对称，故④错误.7.定义在R 上的奇函数)(x f 以5为周期，若0)3(=f ，则在()10,0内，0)(=x f 的解得最少个数是（ ）A .3 B.4 C .5 D .7【解析】0)8()53()3(==+=f f f ，又)0()0(f f -=-，)0()0(f f =∴，0)0()50()5(==+=∴f f f ，又0)3()3(=-=-f f ，0)2()53()3(==+-=-∴f f f ，0)2()52()7(==+=∴f f f ，从而有0)5()8()3()7()2(=====f f f f f ，而)25()525()25(f f f =+-=-∴，且)25()25(f f -=-，0)25(=∴f ， 0)5.7()525(==+∴f f ， ∴在()10,0内使0)(=x f 的解为8,7,5,3,2=x ，以及5.7,5.2=x .8.已知)(x f 是R 上的偶函数，)(x g 是R 上的奇函数，且)1()(-=x f x g ，若2)2(=f ，求)2004(f 的值为.【解析】 )1()(-=x f x g ，① ∴)1()1()(+=--=-x f x f x g ， ②两式相加得：0)1()1(=-++x f x f ，③，由③可知0)1()3(=+++x f x f ，④ ，④-③得)1()3(-=+x f x f ，即)()4(x f x f =+，)(x f ∴以4为周期，从而)0()05014()2004(f f f =+⨯=，2)2()0(-=-=f f ，2)2004(-=∴f .9.设)(x f 是()∞+∞-,上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时，x x f =)(，求)5.7(f 的值.【解析】 对任意的R x ∈，都有)()2(x f x f -=+，[][])()()2(2)2()4(x f x f x f x f x f =--=+-=++=+，∴)(x f 是周期4=T 的周期函数，)5.0()45.3()5.3()45.7()5.7(-=-==-=∴f f f f f ，)(x f 为奇函数，)5.0()5.0(f f -=-∴，5.0)5.0()5.7(-=-=∴f f .四、课后作业【训练题A 类】1.函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是A . )2,(-∞B （0，3） C.（1，4） D. ),2(+∞2.若函数2()()a f x x a x=+∈R ，则下列结论正确的是（） A .a ∀∈R ，()f x 在(0,)+∞上是增函数B.a ∀∈R ，()f x 在(0,)+∞上是减函数C.a ∃∈R ，()f x 是偶函数D.a ∃∈R ，()f x 是奇函数3.函数y =22log 2x y x-=+的图象 （A ）关于原点对称（B ）关于主线y x =-对称（C ）关于y 轴对称（D ）关于直线y x =对称4.下列函数()f x 中，满足“对任意1x ，2x ∈（0，+∞），当1x <2x 时，都有1()f x >2()f x 的是A .()f x =1xB. ()f x =2(1)x - C .()f x =x e D ()ln(1)f x x =+5.已知12a =，函数()x f x a =，若实数m 、n 满足()()f m f n >，则m 、n 的大小关系为 .6.已知)(x f 是周期为T 的周期函数，那么)12(+x f 是（）A . 周期为T 的周期函数 B. 周期为T 2的周期函数C.周期为2T 的周期函数 D.不是周期函数 7.若)(x f 的最小正周期是T 2，且)()(x T f T x f -=+对一切实数x 恒成立，则)(x f 是（）A .奇函数 B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数也不是偶函数8.定义在R 上的函数()x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期.若将方程()0=x f 在闭区间[]T T ,-上的根的个数记为n ，则n 可能为_____.9.奇函数()x f 的最小正周期为T ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-2T f 的值（） A . T B. 0 C.2T D. 不能确定 10.函数()21x b ax x f ++=是定义在()1,1-上的奇函数，且.5221=⎪⎭⎫ ⎝⎛f 试确定函数()x f 的解析式.【参考答案】1.【答案】D【解析】()()(3)(3)(2)x x x f x x e x e x e '''=-+-=-，令()0f x '>，解得2x >2.【答案】C【解析】对于0a =时有()2f x x =是一个偶函数 3.【答案】A【解析】由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又()()f x f x -=-，故函数为奇函数，图象关于原点对称，选A .4.【答案】A【解析】依题意可得函数应在(0,)x ∈+∞上单调递减，故由选项可得A 正确. 5.【答案】m <n 【解析】1(0,1)2a =∈，函数()x f x a =在R 上递减.由()()f m f n >得：m <n 6.【答案】C【解析】)()(T x f x f += ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=++=+∴1)2(2)12()12(T x f T x f x f ，所以周期为2T . 7.【答案】B【解析】)(x f 的周期是T 2，)()2()(T x f T x T f x T f --=--=-∴，[])()(T x f T x f +-=+∴，设u T x =+，)()(u f u f -=∴为偶函数.8.【答案】5【解析】()x f 为奇函数且周期为T ，().00=∴f ()().0=-=∴T f T f又,2222⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-T f T f T T f T f .02,02=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∴T f T f()x f ∴在[]T T ,-上至少有5个根.9.【答案】【解析】)2()2()2(T f T T f T f =+-=-，又()x f 为奇函数，∴)2()2(Tf T f -=-，从而)2()2(T f T f --=-，0)2(=-∴Tf10.【解析】依题意得⎪⎩⎪⎨⎧==52)21(0)0(f f ， 即⎩⎨⎧==⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+015241120012b a b a b，21)(x x x f +=∴ 【训练题B 类】1.已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0，2]上是增函数，若方程()f x =m （m >0）在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，则1234_________.x x x x +++=2.已知函数()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有(1)(1)()xf x x f x +=+，则f （f （52））的值是（ ）A .0B.12C.1D.523.奇函数)(x f 在区间[]7,3上是增函数，且最小值是5，则)(x f 在区间[]3,7--上是A .增函数，且最大值是5- B.增函数，且最小值是5- C. 减函数，且最大值是5- D.减函数，且最小值是5-4.已知)(x f 是偶函数，)(x g 是奇函数，且2)()(2-+=+x x x g x f ，求)(x f 、)(x g 的解析式.5.已知定义域为R 的函数)(x f 在()∞+,8上为减函数，且函数)8(+=x f y 为偶函数，则（ ）A .)7()6(f f > B.)9()6(f f > C.)9()7(f f > D.)10()7(f f >6.设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，2)(x x f =，若对于任意的[]2,+∈t t x ，不等式)(2)(x f t x f ≥+恒成立，求实数t 的取值范围.7.已知函数)(x f y =，R x ∈满足)()(x f x f =-，则下列各点中必在函数)(x f y =图象上的是（ ）A .())(,a f a - B.())(,a f a -- C.())(,a f a --- D.())(,a f a -8.下列说法正确的是.______① 函数3)(=x f ，因为该函数解析式中不含x ，无法判断其奇偶性； ② 偶函数一定与y 轴相交；③ 若)(x f y =是奇函数，由)()(x f x f -=-知0)0(=f ；④ 若一个图形关于y 轴成轴对称，则该图形一定是偶函数的图象.9.设()()()2++=x bg x af x F 在()+∞,0上有最大值8，且()()x g x f ,都是奇函数，则在()0,∞-上()x F 有（ ）A .最大值8 B.最小值8- C.最小值4- D.最大值10-【参考答案】1.【答案】-8【解析】因为定义在R 上的奇函数，满足(4)()f x f x -=-，所以(4)()f x f x -=-，所以由)(x f 为奇函数，所以函数图象关于直线2x =对称且(0)0f =， 由(4)()f x f x -=-知(8)()f x f x -=，所以函数是以8为周期的周期函数， 又因为)(x f 在区间[0，2]上是增函数，所以)(x f 在区间[-2，0]上也是增函数. 如图所示，那么方程f （x ）=m （m >0）在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ， 不妨设1234x x x x <<<由对称性知1212x x +=-344x x +=所以12341248x x x x +++=-+=-2.【答案】A【解析】由已知令x ＝0，则(0)0f =，由已知令x ＝－12，得－12f （12）＝12f （－12）＝12f （12），∴f （12）＝0.又令x ＝12，得12f （32）＝32f （12），又∵f （12）＝0，∴f （32）＝0.再令x ＝32，得32f （52）＝52f （32），∵f （32）＝0，∴f （52）＝0.∴f （f （52））＝f （0）＝0.3.【答案】C【解析】 奇函数)(x f 在区间[]7,3上是增函数，∴)(x f 在区间[]3,7--上也是增函数，由图象可知结果.4.【解析】 )(x f 是偶函数，)(x g 是奇函数，)()(,)()(x g x g x f x f -=-=-∴，由2)()(2-+=+x x x g x f ，得2)()(2--=-+-x x x g x f ， 即2)()(2--=-x x x g x f ，所以x x g x x f =-=)(,2)(2.5.【答案】D【解析】 )8(+=x f y 为偶函数，)8()8(+=+-∴x f x f ，)(x f ∴的对称轴为8=x ， )(x f 在()∞+,8上为减函数，)(x f 由对称性知∴在()8,∞-上为增函数，故由单调性及对称轴结合图象知)10()7(f f >.6.【解析】若0>t ，则222)()(2)(x t x x f t x f ≥+⇔≥+，即[]2,,0222+∈≤--t t x t tx x 恒成立；⎪⎩⎪⎨⎧≤-+-+≤--∴0)2(2)2(0222222t t t t t t t 恒成立，即2≥t . 7.【答案】A【解析】 )()(x f x f =-，∴当a x -=时，)()(a f a f y =-=，∴点())(,a f a -在图象上.8.【答案】④【解析】根据奇偶性的定义可知，错误的是①②③. 9.【答案】C【解析】由()()()+∞∈≤++,0,82x x bg x af 得()()()()x f x g x bg x af ,.6 ≤+都是奇函数，()()()()42,6-≥+-+-∴-≥-+-∴x bg x af x bg x af ）【训练题C 类】1.有时可用函数0.115ln ,(6)() 4.4,(6)4a x a x f x x x x ⎧+≤⎪⎪-=⎨-⎪>⎪-⎩描述学习某学科知识的掌握程度，其中x 表示某学科知识的学习次数（*x N ∈），()f x 表示对该学科知识的掌握程度，正实数a 与学科知识有关.（1）证明：当7x ≥时，掌握程度的增加量(1)()f x f x +-总是下降；（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为(115,121]，(121,127]，(121,133].当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科.2.设函数ax x x f -+=1)(2，其中0a >.（Ⅰ）解不等式)(x f ≤1；（Ⅱ）证明：当a ≥1时，函数)(x f 在区间[0，+∞]上是单调函数.3.已知函数],1[,2)(2+∞∈++=x xax x x f . （1）当21=a 时，求函数)(x f 的最小值： （2）若对任意0)(],,1[>+∞∈x f x 恒成立，试求实数a 的取值范围.4.已知函数()),0(2R a x xax x f ∈≠+= （1）判断函数()x f 的奇偶性；（2）若()x f 在区间[)+∞,2是增函数，求实数a 的取值范围.5.若函数)(x f 在区间（a ，b ）上为增函数，在区间（b ，c ）上也是增函数，则函数)(x f 在区间（a ，c ）上（ ）A . 必是增函数B. 必是减函数C. 是增函数或是减函数D.无法确定增减性6.当(]5,0∈x 时，函数c x x x f +-=43)(2的值域为（ ）A .[])5(,)0(f f B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡)23(,)0(f f C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡)5(,)32(f f D. [])5(,f c7.函数x x y )3(--=的递增区间是__________. 8.已知函数)1(13)(≠--=a a axx f （1）若0>a ，则)(x f 的定义域是________；（2）若)(x f 在区间(]1,0上是减函数，则实数a 的取值范围是________. 9.函数)(x f 的定义域为{}0>=x x D ，且满足：对于任意D n m ∈,，都有)()()(n f m f n m f +=⋅.（1）求)1(f 的值；（2）如果,2)62()13(,1)2(≤-++=x f x f f (2)1f =，且)(x f 在()∞+,0上是单调增函数，求x 的取值范围.10.若函数5)(2++=x mx x f 在[]∞+-,2上是增函数，求m 的取值范围.【参考答案】1.【解析】（1）当0.47(1)()(3)(4)x f x f x x x ≥+-=--时，而当7x ≥时，函数(3)(4)y x x =--单调递增，且(3)(4)x x -->0 故(1)()f x f x +-单调递减∴当7x ≥时，掌握程度的增长量(1)()f x f x +-总是下降（2）由题意可知0.1+15l n6a a -=0.85，整理得0.056a e a =- 解得0.050.05620.506123.0,123.0(121,127]1e a e =⋅=⨯=∈- 由此可知，该学科是乙学科2.【解析】（Ⅰ）不等式1)(≤x f 即ax x +≤+112，由此得ax +≤11，即0≥ax ，其中常数0 a .所以，原不等式等价于⎩⎨⎧≥+≤+.0,)1(122x ax x 即⎩⎨⎧≥+-≥02)1(,02a x a x所以，当10≤≤a 时，所给不等式的解集为}120|{2a ax x -≤≤； 当1≥a 时，所给不等式的解集为}0|{≥x x . （Ⅱ）在区间),0[+∞上任取21,x x 使得12x x <1212221212()()()()().f x f x a x x a x x x x a -=-=--⎛⎫⎪=--⎪⎭∵1,a 1<≥且0a -<，又120x x -<，∴12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >. 所以，当1≥a 时，函数)(x f 在区间),0[+∞上是单调递减函数.3.【解析】（1）当221)(,21++==xx x f a 时， )(x f 在区间),1(+∞上为增函数，∴)(x f 在区间),1(+∞上最小值为27)1(=f ， （2）解法一：在区间),1(+∞上，0202)(22<++⇔>++=a x x xa x x x f 恒成立恒成立，设),1(,22+∞∈++=x a x x y ，1)1(222-++=++=a x a x x y 递增，∴当1=x 时，a y +=3min ，于是当且仅当03min >+=a y 时，函数0)(>x f 恒成立， 故3->a .解法二：],1[,2)(+∞∈++=x xax x f ，当0≥a 时，函数)(x f 的值恒为正， 当0<a 时，函数)(x f 递增，故当a x f x +==3)(,1min 时， 于是当且仅当03)(min >+=a x f 时，函数0)(>x f 恒成立， 故3->a .4.【解析】（1）当0=a 时，()2x x f =为偶函数；当0≠a 时，()x f 既不是奇函数也不是偶函数. （2）设212≥>x x ，()()22212121x a x x a x x f x f --+=-()[]a x x x x x x x x -+-=21212121，由212≥>x x 得()162121>+x x x x ，0,02121><-x x x x 要使()x f 在区间[)+∞,2是增函数只需()()021<-x f x f ， 即()02121>-+a x x x x 恒成立，则16≤a . 另解（导数法）：()22'xax x f -=， 要使()x f 在区间[)+∞,2是增函数，只需当2≥x 时，()0'≥x f 恒成立， 即022≥-xa x ，则[)+∞∈≤,1623x a 恒成立， 故当16≤a 时，()x f 在区间[)+∞,2是增函数.5.【答案】D6.【答案】C【解析】结合函数图象可知，当32≥x 时，)(x f 为增函数，当32<x 时为减函数， 故)(x f 最大值为)5(f ，最小值为)32(f ，所以值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡)5(,)32(f f .7.【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,0 【解析】⎪⎩⎪⎨⎧≤->+-=--=0303)3(22x xx x xx x x y ，作出该函数的图象，观察图象知递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,0. 8.【答案】3,a ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；(](]3,10, ∞-∈a【解析】（1） 0>a 且1≠a ，要使)(x f 有意义，只需03≥-ax ，即a x 3≤，⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-∈∴a x 3,.（2）若0=a ，3)(-=x f ，不合题意；)(x f ∴是(]1,0上的减函数；若0>a ，ax y -=3 是(]1,0上的减函数，故需01>-a ，1>∴a ，另一方面，)(x f 的定义域为⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-a 3,， (]3,1,3,13∈∴≤∴≥∴a a a， 综上知(](]3,10, ∞-∈a .9.【解析】（1）令,1==n m 有)1()1()11(f f f +=⨯，解得0)1(=f ；（2）2)2()2()22()4(=+=⨯=f f f f ，所以)4()62()13(2)62()13(f x f x f x f x f ≤-++⇔≤-++， 因为)(x f 在()∞+,0上是单调增函数， 所以)4()62()13(f x f x f ≤-++⎪⎩⎪⎨⎧≤-+>->+⇔4)62)(13(062013x x x x 33143+≤<⇔x故x 的取值范围为⎥⎦⎤⎝⎛+3314,3.10.【解析】当0=m ，5+=x y 在[]∞+-,2上是增函数，当0>m 时，且221-≤-m ，解得：410≤<m ， 综上所述，m 的取值范围是410≤≤m .。