普通高等学校招生全国统一考试高考数学试题文(扫描版,无答案)新人教A版

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(2024年高考真题)2024年普通高等学校招生全国统一考试数学(文) 试卷全国甲卷(含部分解析)

2024年普通高等学校招生全国统一考试全国甲卷数学（文）试卷养成良好的答题习惯，是决定成败的决定性因素之一。

做题前，要认真阅读题目要求、题干和选项，并对答案内容作出合理预测;答题时，切忌跟着感觉走，最好按照题目序号来做，不会的或存在疑问的，要做好标记，要善于发现，找到题目的题眼所在，规范答题，书写工整;答题完毕时，要认真检查，查漏补缺，纠正错误。

1.集合{1,2,3,4,5,9}A =，{1}B x x A =+∈∣，则A B =( ) A.{1，2，3，4}B.{1，2，3，4}C.{1，2，3，4}D.{1，2，3，4}2.设z =，则z z ⋅=( ) A.2B.2C.2D.23.若实数x ，y 满足约束条件（略），则5z x y =-的最小值为( ) A.5B.12C.2-D.72-4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=( ) A.2-B.73C.1D.295.甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是( ) A.14 B.13 C.12D.236.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12(0,4)(0,4)F F -、，且经过点(6,4)P -，则双曲线C 的离心率是( )A.135B.137C.2D.37.曲线6()3f x x x =+在 (0,1)-处的切线与坐标轴围成的面积为( )A.16B.2 C.12D.28.函数()2()e e sin x x f x x x -=-+-的大致图像为( ) 9.已知cos cos sin ααα=-an 4πt α⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A.3B.1-C.3-D.1310.直线过圆心，直径11.已知m n 、是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面：①若m α⊥，n α⊥，则//m n ；②若m αβ=，//m n ，则//n β；③若//m α，//n α，m 与n 可能异面，也可能相交，也可能平行；④若m αβ=，n 与α和β所成的角相等，则m n ⊥，以上命题是真命题的是( )A.①③B.②③C.①②③D.①③④12.在ABC △中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=( )A.13B.13C.2D.1313.略14.函数()sin f x x x =，在[0,π]上的最大值是_______. 15.已知1a >，8115log log 42a a -=-，则a =_______. 16.曲线33y x x =-与2(1)y x a =--+在(0,)+∞上有两个不同的交点，则a 的取值范围为_______.17.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{} n S 的通项公式. 18.题干略.19.如图，己知//AB CD ，//CD EF ，2AB DE EF CF ====，4CD =，10AD BC ==，23AE =，M 为CD 的中点.（1）证明：//EM 平面BCF ；（2）求点M 到AD E 的距离. 20.已知函数()(1)ln 1f x a x x =--+. （1）求()f x 的单调区间；（2）若2a ≤时，证明：当1x >时，1()e x f x -<恒成立.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，点3(1,)2M 在椭圆C 上，且MF x ⊥轴.（1）求椭圆C 的方程；（2）(4,0)P ，过P 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，N 为FP 的中点，直线NB 与MF 交于Q ，证明：AQ y ⊥轴.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+. （1）写出C 的直角坐标方程；（2）直线x ty t a =⎧⎨=+⎩（t 为参数）与曲线C 交于A 、B 两点，若||2AB =，求a 的值.23.[选修4-5：不等式选讲] 实数a ，b 满足3a b +≥. （1）证明：2222a b a b +>+；（2）证明：22226a b b a -+-≥.2024年普通高等学校招生全国统一考试全国甲卷数学（文）答案1.答案：A解析：因为{}1,2,3,4,5,9A =，{1}{0,1,2,3,4,8}B x x A =+∈=∣，所以{1,2,}3,4A B =，故选A. 2.答案：D解析：因为z =，所以2z z ⋅=，故选D. 3.答案：D解析：将约束条件两两联立可得3个交点：(0,1)-、3,12⎛⎫ ⎪⎝⎭和1 3,2⎛⎫⎪⎝⎭，经检验都符合约束条件.代入目标函数可得：min 72z =-，故选D.4.答案：D解析：令0d =，则9371291,,99n n S a a a a ===+=，故选D.5.答案：B解析：甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种可能.丙不在排头，且甲或乙在排尾的共有8种可能，81243P ==，故选B. 6.答案：C解析：12212F F ce a PF PF ===-，故选C.7. 答案：A解析：因为563y x '=+，所以3k =，31y x =-，1111236S =⨯⨯=，故选A.8.答案：B解析：选B.9. 答案：B解析：因为cos cos sin ααα=-tan 1α=，tan 1tan 141tan πααα+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭，故选B.10.答案：直径解析：直线过圆心，直径. 11. 答案：A解析：选A. 12.答案：C 解析：因为π3B =，294b ac =，所以241sin sin sin 93A C B ==.由余弦定理可得：22294b ac ac ac =+-=，即：22134a c ac +=，221313sin sin sin sin 412A C A C +==，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=，sin sin 2A C +=，故选C.13. 答案：略解析： 14.答案：2解析：π()sin 2sin 23f x x x x ⎛⎫==-≤ ⎪⎝⎭，当且仅当5π6x =时取等号.15. 答案：64解析：因为28211315log log log 4log 22a a a a -=-=-，所以()()22log 1log 60a a +-=，而1a >，故2log 6a =，64a =.16. 答案：(2,1)-解析：令323(1)x x x a -=--+，则323(1)a x x x =-+-，设32()3(1)x x x x ϕ=-+-，()(35)(1)x x x ϕ+'=-，()x ϕ在(1,)+∞上递增，在（0，1）上递减.因为曲线33y x x =-与2(1)y x a =--+在(0,)+∞上有两个不同的交点，(0)1ϕ=，(1)2ϕ=-，所以a 的取值范围为(2,1)-. 17.答案：见解析解析：（1）因为1233n n S a +=-，所以12233n n S a ++=-，两式相减可得：121233n n n a a a +++=-，即：2135n n a a ++=，所以等比数列{}n a 的公比53q =，又因为12123353S a a =-=-，所以11a =，153n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭.（2）因为1233n n S a +=-，所以()133511223nn n S a +⎡⎤⎛⎫=-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.18.答案：见解析解析：（1）22150(70242630) 6.635965450100χ⨯-⨯=<⨯⨯⨯，没有99%的把握；（2）p p >+. 19.答案：见解析解析：（1）由题意：//EF CM ，EF CM =，而CF 平面ADO ，EM 平面ADO ，所以//EM 平面BCF ；（2）取DM 的中点O ，连结OA ，OE ，则OA DM ⊥，OE DM ⊥，3OA =，OE =而AE =，故OA OE ⊥，AOE S =△因为2DE =，AD =AD DE ⊥，AOE S △DM 设点M 到平面ADE 的距离为h ，所以1133M ADE ADE AOE V S h S DM -=⋅=⋅△△，h ==，故点M到ADE 的距离为5. 20.答案：见解析解析：（1）()(1)ln 1f x a x x =--+，1()ax f x x-=，0x >. 若0a ≤，()0f x <，()f x 的减区间为(0,)+∞，无增区间；若0a >时，当10x a <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，所以()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）因为2a ≤，所以当1x >时，111e ()e (1)ln 1e 2ln 1x x x f x a x x x x ----=--+-≥-++.令1()e 2ln 1x g x x x -=-++，则11()e 2x g x x -'=-+.令()()h x g x '=.则121()e x h x x-'=-在(1,)+∞上递增，()(1)0h x h ''>=，所以()()h x g x '=在(1,)+∞上递增，()(1)0g x g ''>=，故()g x 在(1,)+∞上递增，()(1)0g x g >=，即：当1x >时，1()e x f x -<恒成立.21.答案：见解析解析：（1）设椭圆C 的左焦点为1F ，则12F F =，3||2MF =.因为MF x ⊥轴，所以152MF =，12||4a MF MF =+=，解得：24a =，2213b a =-=，故椭圆C 的方程为：22143x y +=；（2）解法1：设()11,A x y ，()22,B x y ，AP PB λ=，则12124101x x y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，即212144x x y y λλλ=+-⎧⎨=-⎩.又由()()22112222234123412x y x y λλλ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩可得：1212121234121111x x x x y y y y λλλλλλλλ+-+-⋅⋅+⋅=+-+-，结合上式可得：25230x λλ-+=.(4,0)P ，(1,0)F ，5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，则222122335252Q y y y y y x x λλλλ===-=--，故AQ y ⊥轴.解法2：设()11,A x y ，()22,B x y ，则121244y y x x =--，即：()1221214x y x y y y -=-，所以()()()2222222211*********21213444433y x y x y x y x y x y x y y y ⎛⎫-+=-=+-+ ⎪⎝⎭()()()()212121122144y y y y y y x y x y =-+=-+，即：122121x y x y y y +=+，2112253x y y y =-.(4,0)P ，(1,0)F ，5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，则21212112335252Q y y y y y x y y x ===--，故AQ y ⊥轴.22.答案：（1）221y x =+ （2）34解析：（1）因为cos 1ρρθ=+，所以22(cos 1)ρρθ=+，故C 的直角坐标方程为：222(1)x y x +=+，即221y x =+；（2）将x ty t a =⎧⎨=+⎩代入221y x =+可得：222(1)10t a t a +-+-=，12||2AB t =-==，解得：34a =. 23.答案：见解析解析：（1）因为3a b +≥，所以22222()a b a b a b +≥+>+. （3）222222222222()a b b a a b b a a b a b -+-≥-+-=+-+=22222()()()()(1)6a b a b a b a b a b a b +-+≥+-+=++-≥.高考质量提升是一项系统工程，涉及到多个方面、各个维度，关键是要抓住重点、以点带面、全面突破，收到事半功倍的效果。

2024年高考数学试卷(文)(全国甲卷)(含答案)

绝密★启用前2024年普通高等学校招生全国统一考试全国甲卷文科数学使用范围：陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．5．考试结束后，只将答题卡交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+Î，则A B =I （）A. {}1,2,3,4B. {}1,2,3 C. {}3,4 D. {}1,2,9【答案】A 【解析】【分析】根据集合B 的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算.【详解】依题意得，对于集合B 中的元素x ，满足11,2,3,4,5,9x +=，则x 可能的取值为0,1,2,3,4,8，即{0,1,2,3,4,8}B =，于是{1,2,3,4}A B Ç=.故选：A2. 设z =，则z z ×=（）A. -iB. 1C. -1D. 2【答案】D 【解析】【分析】先根据共轭复数的定义写出z ，然后根据复数的乘法计算.【详解】依题意得，z =，故22i 2zz =-=.故选：D3. 若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --³ìï--£íï+-£î，则5z x y =-最小值为（）A. 5B.12C. 2-D. 72-【答案】D 【解析】【分析】画出可行域后，利用z 的几何意义计算即可得.【详解】实数,x y 满足43302202690x y x y x y --³ìï--£íï+-£î，作出可行域如图：由5z x y =-可得1155y x z =-，即z 的几何意义为1155y x z =-的截距的15-，则该直线截距取最大值时，z 有最小值，此时直线1155y x z =-过点A ，联立43302690x y x y --=ìí+-=î，解得321x y ì=ïíï=î，即3,12A æöç÷èø，则min 375122z =-´=-.故选：D.4. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=（）A. 2- B.73C. 1D.29【答案】D 【解析】的【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成1a 和d 来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理.【详解】方法一：利用等差数列的基本量由91S =，根据等差数列的求和公式，911989193612S a d a d ´=+=Û+=，又371111222628(936)99a a a d a d a d a d +=+++=+=+=.故选：D方法二：利用等差数列的性质根据等差数列的性质，1937a a a a +=+，由91S =，根据等差数列的求和公式，193799()9()122a a a a S ++===，故3729a a +=.故选：D方法三：特殊值法不妨取等差数列公差0d =，则9111199S a a ==Þ=，则371229a a a +==.故选：D5. 甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（）A.14B.13C.12D.23【答案】B 【解析】【分析】分类讨论甲乙的位置，得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解.【详解】当甲排在排尾，乙排第一位，丙有2种排法，丁就1种，共2种；当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1种排法，丁就1种，共2种；于是甲排在排尾共4种方法，同理乙排在排尾共4种方法，于是共8种排法符合题意；基本事件总数显然是44A 24=，根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为81243=.故选：B6. 已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的上、下焦点分别为()()120,4,0,4F F -，点()6,4P -在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A. 4B. 3C. 2D.【答案】C 【解析】【分析】由焦点坐标可得焦距2c ，结合双曲线定义计算可得2a ，即可得离心率.【详解】由题意，()10,4F -、()20,4F 、()6,4P -，则1228F F c ==，110PF ==，26PF ==，则1221064a PF PF =-=-=，则28224c e a ===.故选：C.7. 曲线()631f x x x =+-在()0,1-处的切线与坐标轴围成的面积为（）A.16B.C.12D. 【答案】A 【解析】【分析】先求出切线方程，再求出切线的截距，从而可求面积.【详解】()563f x x =¢+，所以()03f ¢=，故切线方程为3(0)131y x x =--=-，故切线的横截距为13，纵截距为1-，故切线与坐标轴围成的面积为1111236´´=故选：A.8. 函数()()2e esin xxf x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-的大致图像为（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用函数的奇偶性可排除A 、C ，代入1x =可得()10f >，可排除D.【详解】()()()()()22ee sin e e sin xx x x f x x x x x f x ---=-+--=-+-=，又函数定义域为[]2.8,2.8-，故该函数为偶函数，可排除A 、C ，又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42ef æöæö=-+->-+-=-->->ç÷ç÷èøèø，故可排除D.故选：B.9. 已知cos cos sin a a a =-πtan 4a æö+=ç÷èø（）A. 1+B. 1- C.D. 1【答案】B 【解析】【分析】先将cos cos sin aa -a弦化切求得tan a ，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos cos sin aa a=-，所以11tan =-a ，tan 1Þa =，所以tan 1tan 11tan 4a +p æö==a +ç÷-aèø，故选：B .原10题略10. 设a b 、是两个平面，m n 、是两条直线，且m a b =I .下列四个命题：①若//m n ，则//n a 或//n b ②若m n ^，则,n n a b^^③若//n a ，且//n b ，则//m n ④若n 与a 和b 所成的角相等，则m n^其中所有真命题的编号是（）A. ①③ B. ②④C. ①②③D. ①③④【答案】A【解析】【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③.【详解】对①，当n Ìa ，因为//m n ，m b Ì，则//n b ，当n b Ì，因为//m n ，m a Ì，则//n a ，当n 既不在a 也不在b 内，因为//m n ，,m m a b ÌÌ，则//n a 且//n b ，故①正确；对②，若m n ^，则n 与,a b 不一定垂直，故②错误；对③，过直线n 分别作两平面与,a b 分别相交于直线s 和直线t ，因为//n a ，过直线n 的平面与平面a 的交线为直线s ，则根据线面平行的性质定理知//n s ，同理可得//n t ，则//s t ，因为s Ë平面b ，t Ì平面b ，则//s 平面b ，因为s Ì平面a ，m a b =I ，则//s m ，又因为//n s ，则//m n ，故③正确；对④，若,m n a b Ç=与a 和b 所成的角相等，如果//,//a b n n ，则//m n ，故④错误；综上只有①③正确，故选：A.11. 在ABC V 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（）A.32B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】利用正弦定理得1sin sin 3A C =，再利用余弦定理有22134a c ac +=，再利用正弦定理得到22sin sin A C +的值，最后代入计算即可.【详解】因为29,34B b ac p==，则由正弦定理得241sin sin sin 93A CB ==.由余弦定理可得:22294b ac ac ac =+-=，即:22134a c ac +=，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=，因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C +>，则sin sin A C +=.故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．原13题略12. 函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是______．【答案】2【解析】【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【详解】()πsin 2sin 3f x x x x æö==-ç÷èø，当[]0,πx Î时，ππ2π,333x éù-Î-êúëû，当ππ32x -=时，即5π6x =时，()max 2f x =.故答案为：213. 已知1a >，8115log log 42a a -=-，则=a ______．【答案】64【解析】【分析】将8log ,log 4a a 利用换底公式转化成2log a 来表示即可求解.【详解】由题28211315log log log 4log 22a a a a -=-=-，整理得()2225log 60log a a --=，2log 1a Þ=-或2log 6a =，又1a >，所以622log 6log 2a ==，故6264a ==故答案：64.为14. 曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,¥+上有两个不同的交点，则a 的取值范围为______．【答案】()2,1-【解析】【分析】将函数转化为方程，令()2331x x x a -=--+，分离参数a ，构造新函数()3251,g x x x x =+-+结合导数求得()g x 单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.【详解】令()2331x x x a -=--+，即3251a x x x =+-+，令()()32510,g x x x x x =+-+>则()()()2325351g x x x x x =+-=+-¢，令()()00g x x ¢=>得1x =，当()0,1x Î时，()0g x ¢<，()g x 单调递减，当()1,x ¥Î+时，()0g x ¢>，()g x 单调递增，()()01,12g g ==-，因为曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,¥+上有两个不同的交点，所以等价于y a =与()g x 有两个交点，所以()2,1a Î-.故答案为：()2,1-三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．15. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n S 通项公式.【答案】（1）153n n a -æö=ç÷èø的（2）353232næö-ç÷èø【解析】【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项；（2）利用等比数列的求和公式可求n S .【小问1详解】因为1233n n S a +=-,故1233n n S a -=-，所以()12332n n n a a a n +=-³即153n n a a +=故等比数列的公比为53q =，故1211523333533a a a a =-=´-=-，故11a =，故153n n a -æö=ç÷èø.【小问2详解】由等比数列求和公式得5113353523213n nn S éùæö´-êúç÷èøêúæöëû==-ç÷èø-.16. 如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB ==M 为AD 的中点.（1）证明：//BM 平面CDE ；（2）求点M 到ABF 的距离.【答案】（1）证明见详解；（2【解析】【分析】（1）结合已知易证四边形BCDM 为平行四边形，可证//BM CD，进而得证；（2）作FO AD ^，连接OB ，易证,,OB OD OF 三垂直，结合等体积法M ABF F ABM V V --=即可求解.【小问1详解】因为//,2,4,BC AD BC AD M ==为AD 的中点，所以//,BC MD BC MD =，四边形BCDM 为平行四边形，所以//BM CD ，又因BM Ë平面CDE ，CD Ì平面CDE ，所以//BM 平面CDE ；【小问2详解】如图所示，作BO AD ^交AD 于O ，连接OF ，因为四边形ABCD 为等腰梯形，//,4,BC AD AD =2AB BC ==，所以2CD =，结合（1）BCDM 为平行四边形，可得2BM CD ==，又2AM =，所以ABM V 为等边三角形，O 为AM中点，所以OB =，又因为四边形ADEF 为等腰梯形，M 为AD 中点，所以,//EF MD EF MD =，四边形EFMD 为平行四边形，FM ED AF ==，所以AFM △为等腰三角形，ABM V 与AFM △底边上中点O 重合，OF AM ^，3OF ==，因为222OB OF BF +=，所以OB OF ^，所以,,OB OD OF 互相垂直，由等体积法可得M ABF F ABM V V --=，2112333F ABM ABM V S FO -=×=×=△，222cos 2FA AB FBFAB FAB FA AB+-Ð===Ð=×11sin 222FAB S FA AB FAB =××Ð==△，设点M 到FAB的距离为d ，则1133M FAB F ABM FAB V V S d d --==××==△解得d =M 到ABF .为17. 已知函数()()1ln 1f x a x x =--+．（1）求()f x 的单调区间；（2）若2a £时，证明：当1x >时，()1ex f x -<恒成立．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性；（2）先根据题设条件将问题可转化成证明当1x >时，1e 21ln 0x x x --++>即可.【小问1详解】()f x 定义域为(0,)+¥，11()ax f x a x x¢-=-=当0a £时，1()0ax f x x -¢=<，故()f x 在(0,)+¥上单调递减；当0a >时，1,x a ¥æöÎ+ç÷èø时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，当10,x a æöÎç÷èø时，()0f x ¢<，()f x 单调递减.综上所述，当0a £时，()f x 在(0,)+¥上单调递减；0a >时，()f x 在1,a ¥æö+ç÷èø上单调递增，在10,a æöç÷èø上单调递减.【小问2详解】2a £，且1x >时，111e ()e (1)ln 1e 21ln x x x f x a x x x x ----=--+-³-++，令1()e 21ln (1)x g x x x x -=-++>，下证()0g x >即可.11()e 2x g x x -¢=-+，再令()()h x g x ¢=，则121()e x h x x-¢=-，显然()h x ¢在(1,)+¥上递增，则0()(1)e 10h x h ¢¢>=-=，即()()g x h x =¢在(1,)+¥上递增，故0()(1)e 210g x g ¢¢>=-+=，即()g x 在(1,)+¥上单调递增，故0()(1)e 21ln10g x g >=-++=，问题得证18. 设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M æöç÷èø在C 上，且MF x ^轴．（1）求C 的方程；（2）过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ^轴．【答案】（1）22143x y += （2）证明见解析【解析】【分析】（1）设(),0F c ，根据M 的坐标及MF ^x 轴可求基本量，故可求椭圆方程.（2）设:(4)AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线方程和椭圆方程，用,A B 的坐标表示1Q y y -，结合韦达定理化简前者可得10Q y y -=，故可证AQ y ^轴.【小问1详解】设(),0F c ，由题设有1c =且232b a =，故2132a a -=，故2a =，故b =，故椭圆方程为22143x y +=.【小问2详解】直线AB 的斜率必定存在，设:(4)AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，由223412(4)x y y k x ì+=í=-î可得()2222343264120k x k x k +-+-=，故()()422Δ102443464120k k k =-+->，故1122k -<<，又22121222326412,3434k k x x x x k k-+==++，而5,02N æöç÷èø，故直线225:522y BN y x x æö=-ç÷èø-，故22223325252Q y y y x x --==--，所以()1222112225332525Q y x y y y y y x x ´-+-=+=--()()()12224253425k x x k x x -´-+-=-()222212122264123225825834342525k k x x x x k k k k x x -´-´+-++++==--2222212824160243234025k k k k k x --+++==-，故1Q y y =，即AQ y ^轴.（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意D 的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．19. 在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1r r q =+.（1）写出C 的直角坐标方程；（2）设直线l ：x t y t a=ìí=+î（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a 的值.【答案】（1）221y x =+（2）34a =【解析】【分析】（1）根据cos xr r q ìï=í=ïî可得C 的直角方程.（2）将直线的新的参数方程代入C 的直角方程，法1：结合参数s 的几何意义可得关于a 的方程，从而可求参数a 的值；法2：将直线的直角方程与曲线的直角方程联立，结合弦长公式可求a 的值.【小问1详解】由cos 1r r q =+，将cos xr r q ìï=í=ïîcos 1r r q =+，1x =+，两边平方后可得曲线直角坐标方程为221y x =+.【小问2详解】对于直线l 的参数方程消去参数t ，得直线的普通方程为y x a =+.法1：直线l 的斜率为1故直线的参数方程可设为x y ì=ïïíïïî，s ÎR .将其代入221y x =+中得()221)210s a s a +-+-=设,A B 两点对应的参数分别为12,s s ，则)()212121,21s s a s s a +=--=-，且()()22Δ818116160a a a =---=->，故1a <，12AB s s\=-=2==，解得34a =.法2：联立221y x a y x =+ìí=+î，得22(22)10x a x a +-+-=，()22Δ(22)41880a a a =---=-+>，解得1a <，的设()()1122,,,A x y B x y ,2121222,1x x a x x a \+=-=-，则AB ==2=，解得34a =20. 实数,ab 满足3a b +³．（1）证明：2222a b a b +>+；（2）证明：22226a b b a -+-³．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）直接利用22222()a b a b +³+即可证明.（2）根据绝对值不等式并结合（1）中结论即可证明.【小问1详解】因为()()2222222022a b a ab b a b b a -+=--++=³，当a b =时等号成立，则22222()a b a b +³+，因为3a b +³，所以22222()a b a b a b +³+>+;【小问2详解】222222222222()a b b a a b b a a b a b -+-³-+-=+-+22222()()()()(1)326a b a b a b a b a b a b =+-+³+-+=++-³´=。

2021年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国新课标.文)含详解

绝密★启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修I)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷注意事：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．. 3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.一、选择题(1)设集合U={}1,2,3,4,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则U =（M N ）（A ）{}12，（B ）{}23，（C ）{}2，4 （D ）{}1，4【答案】D【命题意图】本题主要考查集合交并补运算.【解析】{2,3},(){1,4}U M N M N =∴=(2)函数(0)y x x =≥的反函数为（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2(0)4x y x =≥ （C ）24y x =()x R ∈ （D ）24(0)y x x =≥【答案】B【命题意图】本题主要考查反函数的求法. 【解析】由原函数反解得24y x =,又原函数的值域为0y ≥,所以函数(0)y x x =≥的反函数为2(0)4x y x =≥. (3)设向量,a b 满足||||1a b ==,12a b ⋅=-,则2a b += （A 2 （B 3（C 5（D 7【答案】B【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积与长度的计算方法. 【解析】2221|2|||44||14()432a b a a b b +=+⋅+=+⨯-+=,所以23a b += (4)若变量x ，y 满足约束条件63-21x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则=23z x y +的最小值为（A ）17 （B ）14 （C ）5 （D ）3【答案】C【命题意图】本题主要考查简单的线性规划.【解析】作出不等式组表示的可行域，从图中不难观察当直线=23z x y +过直线x=1与x-3y=-2的交点（1，1）时取得最小值,所以最小值为5.(5)下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是（A ）1a b +＞（B ）1a b -＞（C ）22a b ＞（D ）33a b ＞【答案】A【命题意图】本题主要考查充要条件及不等式的性质.【解析】即寻找命题P ,使P a b ⇒>,且a b >推不出P ,逐项验证知可选A.(6)设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k =（A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5【答案】D【命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应用.【解析】解法一2(2)(1)(1)[(2)12][12]442422k k k k k k S S k k k +++--=+⨯+⨯-⨯+⨯=+=，解得5k =. 解法二:221[1(1)2](12)4424k k k k S S a a k k k +++-=+=++⨯++⨯=+=，解得5k =. (7)设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9 【答案】C【命题意图】本题主要考查三角函数的周期性与三角函数图像变换的关系.【解析】由题意将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了3π是此函数周期的整数倍,得2()3k k Z ππω⨯=∈,解得6k ω=,又0ω>,令1k =,得min 6ω=.(8)已知直二面角l αβ--,点A α∈，AC l ⊥,C 为垂足,B β∈，BD l ⊥,D 为垂足,若2,1AB AC BD ===，则CD =（A ） 2 （B（C （D ）1【答案】C【命题意图】本题主要考查二面角的平面角及解三角形. 【解析】因为l αβ--是直二面角, AC l ⊥,∴AC ⊥平面β,BC ∴=,又BD l ⊥,CD ∴=(9) 4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有(A) 12种 (B) 24种 (C) 30种 (D)36种【答案】B【命题意图】本题主要考查两个原理与排列组合知识，考察考生分析问题的能力.【解析】第一步选出2人选修课程甲有246C =种方法，第二步安排剩余两人从乙、丙中各选1门课程有22⨯种选法，根据分步计数原理，有6424⨯=种选法.(10) 设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()f x =2(1)x x -,则5()2f -= (A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)12【答案】A【命题意图】本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值的方法. 关键是把通过周期性和奇偶性把自变量52-转化到区间[0,1]上进行求值. 【解析】由()f x 是周期为2的奇函数,利用周期性和奇偶性得:5511111()(2)()()2(1)2222222f f f f -=-+=-=-=-⨯⨯-=-(11)设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离12CC =(A)4 (B) (C)8 (D)【答案】C【命题意图】本题主要考查圆的方程与两点间的距离公式.【解析】由题意知圆心在直线y=x 上并且在第一象限,设圆心坐标为(,)(0)a a a >,则22(4)(1)a a a =-+-,即210170a a -+=,所以由两点间的距离公式可求出21212122[()4]2(100417)8C C a a a a =+-=⨯-⨯=.(12)已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N .若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为(A)7π (B)9π (C)11π (D)13π【答案】D【命题意图】本题主要考查二面角的概念与球的性质.【解析】如图所示,由圆M 的面积为4π知球心O 到圆M 的距离23OM =,在Rt OMN ∆中,30OMN ︒∠=, ∴132ON OM ==,故圆N 的半径2213r R ON =-=,∴圆N 的面积为213S r ππ==.第Ⅱ卷注意事项：1答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。

2019_2020学年高中数学2019年数学高考真题新人教A版必修5

2019年数学高考真题剖析解读高考全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷都是教育部按照普通高考考试大纲统一命题，适用于不同省份的考生．在难度上会有一些差异，但在试卷结构、命题方向上基本都是相同的．试题稳中求新，稳中求变．与往年相比，三角、数列、立体几何、圆锥曲线、函数与导数等依然是考查的重点，注重基础知识，凸显主干知识．试卷结构、题型保持一致，各题型所占分值与分值分布没有变化，试题顺序有较大变化，考查方式有所改变，难度明显增加，客观题与去年的难度相当，主观题难易梯度明显增加，解决了没有区分度的诟病．今年试题立足学科素养，落实关键能力，加强数学应用，渗透数学文化．以真实情境为载体，贴近生活，联系社会实际，注重能力考查，增强综合性、应用性，在各部分内容的布局和考查难度上都进行了调整和改变，这在一定程度上有助于考查学生灵活应变的能力和主动调整适应的能力，有助于学生全面学习掌握重点知识和重点内容，同时有助于打破考试题的僵硬化，更好地提升学生的综合分析能力，打破了传统的应试教育．2019年全国卷对必修5解三角形的考查，通常会有一道大题，相对来说难度不大，有时也会应用到圆锥曲线或立体几何的计算中．线性规划根据新课标的要求，考查越来越少，今年只有全国Ⅱ、Ⅲ卷文科进行了考查．基本不等式往年很少单独考查，经常综合到其他知识当中，但今年的全国Ⅰ卷文、理的第23题考查了基本不等式，取代了绝对值不等式．全国卷对数列的考查难度不大，通常都是数列基本量的计算，今年全国Ⅰ卷中概率大题不但成了压轴，同时还综合了数列的考查．自主命题的省市对数列的考查难度相对大一些，尤其在江苏卷、北京理科中，数列的考查难度较大，经常结合数列知识进行创新．下面列出了2019年全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷及各地区必修5所考查的全部试题，请同学们根据所学知识，测试自己的能力，寻找自己的差距，把握高考的方向，认清命题的趋势！(说明：有些试题带有综合性，是与以后要学的内容的小综合试题，同学们可根据目前所学习的内容，有选择性地试做！)穿越自测一、选择题1．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14，则bc ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3 答案 A解析 ∵a sin A －b sin B ＝4c sin C ，∴由正弦定理得a 2－b 2＝4c 2，即a 2＝4c 2＋b 2.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－c 2＋b 22bc ＝－3c 22bc ＝－14，∴bc＝6.故选A.2. (2019·全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3＝( )A ．16B ．8C ．4D ．2 答案 C解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0，q >0，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝15，a 1q 4＝3a 1q 2＋4a 1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，∴a 3＝a 1q 2＝4.故选C.3. (2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A ．a n ＝2n －5 B ．a n ＝3n －10 C ．S n ＝2n 2－8n D ．S n ＝12n 2－2n答案 A解析设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .由S 4＝0，a 5＝5可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，4a 1＋6d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2.所以a n ＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝n ×(－3)＋n n －2×2＝n 2－4n .故选A.4．(2019·浙江高考)设a ，b ∈R ，数列{a n }满足a 1＝a ，a n ＋1＝a 2n ＋b ，n ∈N *，则( ) A ．当b ＝12时，a 10>10 B ．当b ＝14时，a 10>10C ．当b ＝－2时，a 10>10D ．当b ＝－4时，a 10>10 答案 A解析解法一：考察选项A ，a 1＝a ，a n ＋1＝a 2n ＋b ＝a 2n ＋12，∵⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －122＝a 2n －a n ＋14≥0，∴a 2n ≥a n－14. ∵a n ＋1＝a 2n ＋12>0，∴a n ＋1≥a n －14＋12＝a n ＋14>a n ，∴{a n }为递增数列．因此，当a 1＝0时，a 10取到最小值，现对此情况进行估算．显然，a 1＝0，a 2＝a 21＋12＝12，a 3＝a 22＋12＝34，a 4＝a 23＋12＝1716，当n >1时，a n ＋1>a 2n ，∴lg a n ＋1>2lg a n ，∴lg a 10>2lg a 9>22·lg a 8>…>26lg a 4＝lg a 644，∴a 10>a 644＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11664＝C 064＋C 164⎝ ⎛⎭⎪⎫1161＋C 264⎝ ⎛⎭⎪⎫1162＋…＋C 6464⎝ ⎛⎭⎪⎫11664＝1＋64×116＋64×632×1162＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11664＝1＋4＋7.875＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11664＝12.875＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11664>10，因此符合题意，故选A. 解法二：由已知可得a n ＋1－a n ＝a 2n ＋b －a n ＝a n －122＋b －14.对于选项B ，当a ＝12，b ＝14时，a n＝12恒成立，所以排除B ；对于选项C ，当a ＝2或－1，b ＝－2时，a n ＝2或－1恒成立，所以排除C.对于选项D ，当a ＝1±172，b ＝－4时，a n ＝1±172恒成立，所以排除D.故选A. 5．(2019·浙江高考)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4≥0，3x －y －4≤0，x ＋y ≥0，则z ＝3x ＋2y 的最大值是( )A ．－1B ．1C ．10D ．12 答案 C 解析如图，不等式组表示的平面区域是以A (－1,1)，B (1，－1)，C (2,2)为顶点的△ABC 区域(包含边界)．作出直线y ＝－32x 并平移，知当直线y ＝－32x ＋z2经过C (2,2)时，z 取得最大值，且z max ＝3×2＋2×2＝10.故选C.6．(2019·北京高考)若若x ，y 满足|x |≤1－y ，且y ≥－1，则3x ＋y 的最大值为( )A ．－7B ．1C ．5D ．7 答案 C解析由|x |≤1－y ，且y ≥－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≤0，y ≥－1.作出可行域如图阴影部分所示．设z ＝3x ＋y ，则y ＝－3x ＋z . 作直线l 0：y ＝－3x ，并进行平移．显然当直线z ＝3x ＋y 过点A (2，－1)时，z 取最大值，z max ＝3×2－1＝5.故选C. 7．(2019·天津高考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －y ＋2≥0，x ≥－1，y ≥－1，则目标函数z ＝－4x ＋y 的最大值为( )A ．2B ．3C ．5D ．6 答案 C解析由约束条件作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示．∵z ＝－4x ＋y 可化为y ＝4x ＋z ，∴作直线l 0：y ＝4x ，并进行平移，显然当直线z ＝－4x ＋y 过点A (－1，1)时，z 取得最大值，z max ＝－4×(－1)＋1＝5.故选C.8．(2019·全国卷Ⅲ)记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，2x －y ≥0表示的平面区域为D .命题p ：∃(x ，y )∈D,2x＋y ≥9；命题q ：∀(x ，y )∈D,2x ＋y ≤12.下面给出了四个命题： ①p ∨q ②p ∨q ③p ∧q ④p ∧q这四个命题中，所有真命题的编号是( ) A ．①③ B ．①② C ．②③ D ．③④ 答案 A 解析解法一：画出可行域如图中阴影部分所示．目标函数z ＝2x ＋y 是一条平行移动的直线，且z 的几何意义是直线z ＝2x ＋y 的纵截距．显然，直线过点A (2,4)时，z min ＝2×2＋4＝8，即z ＝2x ＋y ≥8.∴2x ＋y ∈[8，＋∞)．由此得命题p ：∃(x ，y )∈D,2x ＋y ≥9正确；命题q ：∀(x ，y )∈D,2x ＋y ≤12不正确． ∴①③真，②④假．故选A.解法二：取x ＝4，y ＝5，满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，2x －y ≥0，且满足2x ＋y ≥9，不满足2x ＋y ≤12，故p 真，q 假．∴①③真，②④假．故选A. 二、填空题9．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＋a cos B ＝0，则B ＝________. 答案3π4解析 ∵b sin A ＋a cos B ＝0，∴a sin A ＝b－cos B .由正弦定理，得－cos B ＝sin B ，∴tan B ＝－1.又B ∈(0，π)， ∴B ＝3π4.10．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为________．答案 6 3解析由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 又∵b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，∴36＝4c 2＋c 2－2×2c 2×12，∴c ＝23，a ＝43，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×43×23×32＝6 3.11．(2019·北京高考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝－3，S 5＝－10，则a 5＝________，S n 的最小值为________．答案 0 －10解析 ∵a 2＝a 1＋d ＝－3，S 5＝5a 1＋10d ＝－10， ∴a 1＝－4，d ＝1， ∴a 5＝a 1＋4d ＝0， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n －5.令a n <0，则n <5，即数列{a n }中前4项为负，a 5＝0，第6项及以后为正． ∴S n 的最小值为S 4＝S 5＝－10.12．(2019·全国卷Ⅲ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 3＝5，a 7＝13，则S 10＝________.答案 100解析 ∵{a n }为等差数列，a 3＝5，a 7＝13，∴公差d ＝a 7－a 37－3＝13－54＝2，首项a 1＝a 3－2d＝5－2×2＝1，∴S 10＝10a 1＋10×92d ＝100.13．(2019·全国卷Ⅲ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1≠0，a 2＝3a 1，则S 10S 5＝________. 答案 4解析由a 1≠0，a 2＝3a 1，可得d ＝2a 1，所以S 10＝10a 1＋10×92d ＝100a 1，S 5＝5a 1＋5×42d ＝25a 1，所以S 10S 5＝4. 14．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，S 3＝34，则S 4＝________.答案 58解析设等比数列的公比为q ，又a 1＝1，则a n ＝a 1q n －1＝qn －1.∵S 3＝34，∴a 1＋a 2＋a 3＝1＋q ＋q 2＝34，即4q 2＋4q ＋1＝0，∴q ＝－12，∴S 4＝1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－－1241－－12＝58.15．(2019·全国卷Ⅰ)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝13，a 24＝a 6，则S 5＝________.答案1213解析由a 24＝a 6，得(a 1q 3)2＝a 1q 5，整理得q ＝1a 1＝3.∴S 5＝13－351－3＝1213. 16．(2019·北京高考)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，y ≥－1，4x －3y ＋1≥0，则y －x 的最小值为________，最大值为________．答案－3 1解析 x ，y 满足的平面区域如图所示．设z ＝y －x ，则y ＝x ＋z .把z 看作常数，则目标函数是可平行移动的直线，z 的几何意义是直线y ＝x ＋z 的纵截距，通过图象可知，当直线y ＝x ＋z 经过点A (2,3)时，z 取得最大值，此时z max ＝3－2＝1.当经过点B (2，－1)时，z 取得最小值，此时z min ＝－1－2＝－3. 17．(2019·全国卷Ⅱ)若变量x ，y 满足约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≥0，x ＋y －3≤0，y －2≤0，则z ＝3x －y 的最大值是________．答案 9解析作出已知约束条件对应的可行域(图中阴影部分)，由图易知，当直线y ＝3x －z 过点C 时，－z 最小，即z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，2x ＋3y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0，即C 点坐标为(3,0)，故z max ＝3×3－0＝9. 18．(2019·天津高考)设x >0，y >0，x ＋2y ＝5，则x ＋y ＋xy的最小值为________．答案 4 3解析 ∵x >0，y >0，∴xy >0.∵x ＋2y ＝5，∴x ＋y ＋xy＝2xy ＋x ＋2y ＋1xy ＝2xy ＋6xy ＝2xy ＋6xy≥212＝4 3.当且仅当2xy ＝6xy时取等号． ∴x ＋y ＋xy的最小值为4 3.三、解答题19．(2019·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a,3c sin B ＝4a sin C . (1)求cos B 的值；(2)求sin （2B ＋π6）的值．解 (1)在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝csin C ，得b sin C ＝c sin B .由3c sin B ＝4a sin C ，得3b sin C ＝4a sin C ，即3b ＝4a .因为b ＋c ＝2a ，所以b ＝43a ，c ＝23a .由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋49a 2－169a 22·a ·23a＝－14.(2)由(1)可得sin B ＝1－cos 2B ＝154，从而sin2B ＝2sin B cos B ＝－158， cos2B ＝cos 2B －sin 2B ＝－78，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝sin2B cos π6＋cos2B sin π6＝－158×32－78×12＝－35＋716. 20．(2019·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A ＋C2＝b sin A .(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围．解 (1)由题设及正弦定理得sin A sin A ＋C2＝sin B sin A .因为sin A ≠0，所以sinA ＋C2＝sin B .由A ＋B ＋C ＝180°，可得sin A ＋C2＝cos B2，故cos B 2＝2sin B 2cos B2.因为cos B 2≠0，所以sin B 2＝12，所以B2＝30°，所以B ＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝34a . 由(1)知A ＋C ＝120°，由正弦定理得a ＝c sin A sin C＝sin－C sin C ＝32tan C ＋12. 由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°. 结合A ＋C ＝120°，得30°<C <90°，所以12<a <2，从而38<S △ABC <32.因此，△ABC 面积的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫38，32. 21．(2019·江苏高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . (1)若a ＝3c ，b ＝2，cos B ＝23，求c 的值；(2)若sin A a ＝cos B 2b ，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π2的值．解 (1)因为a ＝3c ，b ＝2，cos B ＝23，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，即23＝c2＋c 2－222×3c ×c，解得c 2＝13.所以c ＝33.(2)因为sin A a ＝cos B2b，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得cos B 2b ＝sin Bb，所以cos B ＝2sin B .从而cos 2B ＝(2sin B )2，即cos 2B ＝4(1－cos 2B )，故cos 2B ＝45.因为sin B >0，所以cos B ＝2sin B >0，从而cos B ＝255.因此sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π2＝cos B ＝255.22．(2019·北京高考)在△ABC 中，a ＝3，b －c ＝2，cos B ＝－12.(1)求b ，c 的值； (2)求sin(B －C )的值．解 (1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝32＋c 2－2×3×c ×－12.因为b ＝c ＋2，所以(c ＋2)2＝32＋c 2－2×3×c ×－12，解得c ＝5，所以b ＝7. (2)由cos B ＝－12得sin B ＝32.由正弦定理得sin C ＝c b sin B ＝5314. 在△ABC 中，∠B 是钝角，所以∠C 为锐角，所以cos C ＝1－sin 2C ＝1114.所以sin(B －C )＝sin B cos C －cos B sin C ＝437.23．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sinB sinC . (1)求A ；(2)若2a ＋b ＝2c ，求sin C .解 (1)由已知得sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sinB sinC ，故由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为0°<A <180°，所以A ＝60°. (2)由(1)知B ＝120°－C ，由题设及正弦定理得2sin A ＋sin(120°－C )＝2sin C ，即62＋32cos C ＋12sin C ＝2sin C ，可得cos(C ＋60°)＝－22.因为0°<C<120°，所以sin(C＋60°)＝22，故sin C＝sin(C＋60°－60°)＝sin(C＋60°)cos60°－cos(C＋60°)sin60°＝6＋24.24．(2019·北京高考)设{a n}是等差数列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列．(1)求{a n}的通项公式；(2)记{a n}的前n项和为S n，求S n的最小值．解(1)设{a n}的公差为d.因为a1＝－10，所以a2＝－10＋d，a3＝－10＋2d，a4＝－10＋3d.因为a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列，所以(a3＋8)2＝(a2＋10)(a4＋6)．所以(－2＋2d)2＝d(－4＋3d)．解得d＝2.所以a n＝a1＋(n－1)d＝2n－12.(2)由(1)知，a n＝2n－12.则当n≥7时，a n>0；当n≤6时，a n≤0.所以S n的最小值为S5＝S6＝－30.25．(2019·全国卷Ⅱ)已知{a n}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2＋16.(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n＝log2a n，求数列{b n}的前n项和．解(1)设{a n}的公比为q，由题设得2q2＝4q＋16，即q2－2q－8＝0.解得q＝－2(舍去)或q＝4.因此{a n}的通项公式为a n＝2×4n－1＝22n－1.(2)由(1)得b n＝(2n－1)log22＝2n－1，因此数列{b n}的前n项和为1＋3＋…＋(2n－1)＝n2. 26．(2019·全国卷Ⅰ)记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S9＝－a5.(1)若a3＝4，求{a n}的通项公式；(2)若a1>0，求使得S n≥a n的n的取值范围．解(1)设{a n}的公差为d.由S9＝－a5得a1＋4d＝0.由a3＝4得a1＋2d＝4.于是a1＝8，d＝－2.因此{a n}的通项公式为a n＝10－2n.(2)由(1)得a 1＝－4d ，故a n ＝(n －5)d ，S n ＝n n －d2.由a 1>0知d <0，故S n ≥a n 等价于n 2－11n ＋10≤0，解得1≤n ≤10，所以n 的取值范围是{n |1≤n ≤10，n ∈N }．27．(2019·全国卷Ⅱ)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，b 1＝0,4a n ＋1＝3a n －b n ＋4，4b n ＋1＝3b n －a n －4.(1)证明：{a n ＋b n }是等比数列，{a n －b n }是等差数列； (2)求{a n }和{b n }的通项公式．解 (1)证明：由题设得4(a n ＋1＋b n ＋1)＝2(a n ＋b n )，即a n ＋1＋b n ＋1＝12(a n ＋b n )．又因为a 1＋b 1＝1，所以{a n ＋b n }是首项为1，公比为12的等比数列．由题设得4(a n ＋1－b n ＋1)＝4(a n －b n )＋8，即a n ＋1－b n ＋1＝a n －b n ＋2. 又因为a 1－b 1＝1，所以{a n －b n }是首项为1，公差为2的等差数列． (2)由(1)知，a n ＋b n ＝12n －1，a n －b n ＝2n －1，所以a n ＝12[(a n ＋b n )＋(a n －b n )]＝12n ＋n －12，b n ＝12[(a n ＋b n )－(a n －b n )]＝12n －n ＋12.28．(2019·天津高考)设{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，公比大于0.已知a 1＝b 1＝3，b 2＝a 3，b 3＝4a 2＋3.(1)求{a n }和{b n }的通项公式； (2)设数列{c n }满足c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n 为奇数，b n2，n 为偶数.求a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n (n ∈N *)．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3q ＝3＋2d ，3q 2＝15＋4d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝3，故a n ＝3＋3(n －1)＝3n ，b n ＝3×3n －1＝3n.所以，{a n }的通项公式为a n ＝3n ，{b n }的通项公式为b n ＝3n.(2)a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n ＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)＋(a 2b 1＋a 4b 2＋a 6b 3＋…＋a 2n b n )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ×3＋n n －2×6＋(6×31＋12×32＋18×33＋…＋6n ×3n)＝3n 2＋6(1×31＋2×32＋…＋n ×3n)．记T n ＝1×31＋2×32＋…＋n ×3n，① 则3T n ＝1×32＋2×33＋…＋n ×3n ＋1，②②－①得，2T n ＝－3－32－33－ (3)＋n ×3n ＋1＝－－3n1－3＋n ×3n ＋1＝n －n ＋1＋32.所以，a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n ＝3n 2＋6T n ＝3n 2＋3×n －n ＋1＋32＝n －n ＋2＋6n 2＋92(n ∈N *)．29．(2019·天津高考)设{a n }是等差数列，{b n }是等比数列．已知a 1＝4，b 1＝6，b 2＝2a 2－2，b 3＝2a 3＋4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }满足c 1＝1，c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，2k<n <2k ＋1，b k ，n ＝2k，其中k ∈N *.①求数列{a 2n (c 2n －1)}的通项公式；②求∑i ＝12na i c i (n ∈N *)．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .依题意得⎩⎪⎨⎪⎧6q ＝6＋2d ，6q 2＝12＋4d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝2，故a n ＝4＋(n －1)×3＝3n ＋1，b n ＝6×2n －1＝3×2n.所以，{a n }的通项公式为a n ＝3n ＋1，{b n }的通项公式为b n ＝3×2n. (2)①a 2n (c 2n －1)＝a 2n (b n －1)＝(3×2n ＋1)(3×2n －1)＝9×4n－1. 所以，数列{a 2n (c 2n －1)}的通项公式为a 2n (c 2n －1)＝9×4n－1.②∑i ＝12na i c i ＝∑i ＝12n[a i ＋a i (c i －1)]＝∑i ＝12n a i ＋∑i ＝1na 2i (c 2i －1)＝⎝⎛⎭⎪⎫2n×4＋2nn－2×3＋∑i ＝1n(9×4i －1)＝(3×22n －1＋5×2n －1)＋9×－4n1－4－n＝27×22n －1＋5×2n －1－n －12(n ∈N *)．30．(2019·浙江高考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝4，a 4＝S 3.数列{b n }满足：对每个n ∈N *，S n ＋b n ，S n ＋1＋b n ，S n ＋2＋b n 成等比数列． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)记c n ＝a n 2b n，n ∈N *，证明：c 1＋c 2＋…＋c n <2n ，n ∈N *. 解 (1)设数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝4，a 1＋3d ＝3a 1＋3d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝2.从而a n ＝2n －2，n ∈N *. 所以S n ＝n 2－n ，n ∈N *.由S n ＋b n ，S n ＋1＋b n ，S n ＋2＋b n 成等比数列，得 (S n ＋1＋b n )2＝(S n ＋b n )(S n ＋2＋b n )．解得b n ＝1d(S 2n ＋1－S n S n ＋2)．所以b n ＝n 2＋n ，n ∈N *. (2)证明：c n ＝a n2b n ＝ 2n －22n n ＋＝n －1n n ＋，n ∈N *.我们用数学归纳法证明．①当n ＝1时，c 1＝0<2，不等式成立； ②假设当n ＝k (k ∈N *)时不等式成立，即c 1＋c 2＋…＋c k <2k .那么，当n ＝k ＋1时，c 1＋c 2＋…＋c k ＋c k ＋1<2k ＋k k ＋k ＋<2k ＋1k ＋1<2k ＋2k ＋1＋k＝2k ＋2(k ＋1－k )＝2k ＋1，即当n ＝k ＋1时不等式也成立．根据①和②，不等式c 1＋c 2＋…＋c n <2n 对任意n ∈N *成立．31．(2019·北京高考)已知数列{a n }，从中选取第i 1项、第i 2项、…、第i m 项(i 1<i 2<…<i m )，若a i 1<a i 2<…<a im ，则称新数列a i 1，a i 2，…，a im 为{a n }的长度为m 的递增子列．规定：数列{a n }的任意一项都是{a n }的长度为1的递增子列．(1)写出数列1,8,3,7,5,6,9的一个长度为4的递增子列；(2)已知数列{a n }的长度为p 的递增子列的末项的最小值为a m 0，长度为q 的递增子列的末项的最小值为a n 0.若p <q ，求证：a m 0<a n 0；(3)设无穷数列{a n }的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{a n }的长度为s 的递增子列末项的最小值为2s －1，且长度为s 末项为2s －1的递增子列恰有2s －1个(s ＝1,2，…)，求数列{a n }的通项公式．解 (1)1,3,5,6.(答案不唯一)(2)证明：设长度为q ，末项为a n 0的一个递增子列为a r 1，a r 2，…，a rq －1，a n 0. 由p <q ，得a rp ≤a rq －1<a n 0.因为{a n }的长度为p 的递增子列末项的最小值为a m 0，又a r 1，a r 2，…，a rp 是{a n }的长度为p 的递增子列，所以a m 0≤a rp .所以a m 0<a n 0.(3)由题设知，所有正奇数都是{a n }中的项．先证明：若2m 是{a n }中的项，则2m 必排在2m －1之前(m 为正整数)．假设2m 排在2m －1之后．设a p 1，a p 2，…，a pm －1，2m －1是数列{a n }的长度为m ，末项为2m －1的递增子列，则a p 1，a p 2，…，a pm －1，2m －1,2m 是数列{a n }的长度为m ＋1，末项为2m 的递增子列．与已知矛盾．再证明：所有正偶数都是{a n }中的项．假设存在正偶数不是{a n }中的项，设不在{a n }中的最小的正偶数为2m .因为2k 排在2k －1之前(k ＝1,2，…，m －1)，所以2k 和2k －1不可能在{a n }的同一个递增子列中．又{a n }中不超过2m ＋1的数为1,2，…，2m －2,2m －1，2m ＋1，所以{a n }的长度为m ＋1且末项为2m ＋1的递增子列个数至多为2×2×2×…×2m －个×1×1＝2m －1<2m.与已知矛盾．最后证明：2m 排在2m －3之后(m ≥2且m 为整数)．假设存在2m (m ≥2)，使得2m 排在2m －3之前，则{a n }的长度为m ＋1且末项为2m ＋1的递增子列的个数小于2m.与已知矛盾．综上，数列{a n }只可能为2,1,4,3，…，2m －3,2m,2m －1，…. 经验证，数列2,1,4,3，…，2m －3,2m,2m －1，…符合条件．所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＋1，n 为奇数，n －1，n 为偶数.32．(2019·江苏高考)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M数列”．(1)已知等比数列{a n }(n ∈N *)满足：a 2a 4＝a 5，a 3－4a 2＋4a 1＝0，求证：数列{a n }为“M数列”；(2)已知数列{b n }(n ∈N *)满足：b 1＝1，1S n ＝2b n －2b n ＋1，其中S n 为数列{b n }的前n 项和．①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数．若存在“M数列”{c n }(n ∈N *)，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有c k ≤b k ≤c k＋1成立，求m 的最大值．解 (1)证明：设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧a 2a 4＝a 5，a 3－4a 2＋4a 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a 21q 4＝a 1q 4，a 1q 2－4a 1q ＋4a 1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2.因此数列{a n }为“M数列”． (2)①因为1S n ＝2b n －2b n ＋1，所以b n ≠0.由b 1＝1，S 1＝b 1，得11＝21－2b 2，则b 2＝2.由1S n ＝2b n －2b n ＋1，得S n ＝b n b n ＋1b n ＋1－b n.当n ≥2时，由b n ＝S n －S n －1，得b n ＝b n b n ＋1b n ＋1－b n －b n －1b nb n －b n －1，整理得b n ＋1＋b n －1＝2b n .所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列．因此，数列{b n }的通项公式为b n ＝n (n ∈N *)． ②由①知，b k ＝k ，k ∈N *.因为数列{c n }为“M数列”，设公比为q ，所以c 1＝1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k ＋1，所以q k －1≤k ≤q k ，其中k ＝1,2,3，…，m (m ∈N *)．当k ＝1时，有q ≥1；当k ＝2,3，…，m 时，有ln k k ≤ln q ≤ln kk －1.设f (x )＝ln x x (x >1)，则f ′(x )＝1－ln xx2. 令f ′(x )＝0，得x ＝e.列表如下：因为ln 22＝ln 86<ln 96＝ln 33，所以f (k )max ＝f (3)＝ln 33.取q ＝33，当k ＝1,2,3,4,5时，ln k k≤ln q ，即k ≤q k ，经检验知q k －1≤k 也成立．因此所求m 的最大值不小于5.若m ≥6，分别取k ＝3,6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216，所以q 不存在．因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5.33．(2019·全国卷Ⅰ)已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1. 证明：(1)1a ＋1b ＋1c≤a 2＋b 2＋c 2；(2)(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.证明 (1)因为a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，又abc ＝1，故有a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ＝ab ＋bc ＋ca abc ＝1a ＋1b ＋1c.当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立．所以1a ＋1b ＋1c≤a 2＋b 2＋c 2.(2)因为a ，b ，c 为正数且abc ＝1，故有(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥33a ＋b3b ＋c3c ＋a3＝3(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )≥3×(2ab )×(2bc )×(2ca )＝24. 当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立．所以(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.。

高中数学-模块1-高考真题(含解析)新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学试题全

可编辑修改精选全文完整版模块1高考真题对应学生用书P81剖析解读高考全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷都是由教育部按照普通高考考试大纲统一命题，适用于不同省份的考生．但在难度上会有一些差异，但在试卷结构、命题方向上基本上都是相同的．“稳定”是高考的主旋律．在今年的高考试卷中，试题分布和考核内容没有太大的变动，三角、数列、立体几何、圆锥曲线、函数与导数等都是历年考查的重点．每套试卷都注重了对数学通性通法的考查，淡化特殊技巧，都是运用基本概念分析问题，基本公式运算求解、基本定理推理论证、基本数学思想方法分析和解决问题，这有利于引导中学数学教学回归基础．试卷难度结构合理，由易到难，循序渐进，具有一定的梯度．今年数学试题与去年相比整体难度有所降低．“创新”是高考的生命线．与历年试卷对比，Ⅰ、Ⅱ卷解答题顺序有变，这也体现了对于套路性解题的变革，单纯地通过模仿老师的解题步骤而不用心去理解归纳，是难以拿到高分的．在数据处理能力以及应用意识和创新意识上的考查有所提升，也符合当前社会的大数据处理热潮和青少年创新性的趋势．全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷对必修1集合与函数知识的考查，相对来说比较常规，难度不大，变化小，综合性低，属于基础类必得分试题，主要考查集合的概念及运算，函数的图象及定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期、最值等基本性质．做题时若能熟练应用概念及性质，掌握转化的技巧和方法，基本不会丢分。

若综合其他省市自主命题卷研究，必修1的知识又能与命题、不等式、导数、分段函数等知识综合，强化了数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归的数学思想的运用，提高了试题的难度，所以作为高一学生来说，从必修1就应该打好牢固的基础，培养最基本的能力．下面列出了2018年全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷及其他自主命题省市试卷必修1所考查的全部试题，请同学们根据所学必修1的知识，测试自己的能力，寻找自己的差距，把握高考的方向，认清命题的趋势！(说明：有些试题带有综合性，是与以后要学习内容的小综合试题，同学们可根据目前所学内容，有选择性地试做！)穿越自测一、选择题1．(2018·全国卷Ⅰ，文1)已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝( ) A．{0,2} B．{1,2}C．{0} D．{－2，－1,0,1,2}答案A解析根据集合交集中元素的特征，可以求得A∩B＝{0,2}，故选A.2．(2018·全国卷Ⅱ，文2)已知集合A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,4,5}，则A∩B＝( ) A．{3} B．{5}C．{3,5} D．{1,2,3,4,5,7}答案C解析∵A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,4,5}，∴A∩B＝{3,5}，故选C.3．(2018·某某卷，1)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，则∁U A＝( )A．∅B．{1,3}C．{2,4,5} D．{1,2,3,4,5}答案C解析因为全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，所以根据补集的定义得，∁U A＝{2,4,5}，故选C.4．(2018·全国卷Ⅲ，文1)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝( ) A．{0} B．{1} C．{1,2} D．{0,1,2}答案C解析由集合A＝{x∈R|x≥1}，所以A∩B＝{1,2}，故选C.5．(2018·某某卷，文1)设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1，0,2,3}，C＝{x∈R|－1≤x<2}，则(A∪B)∩C＝( )A．{－1,1} B．{0,1}C．{－1,0,1} D．{2,3,4}答案 C解析由并集的定义可得，A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}，结合交集的定义可知，(A∪B)∩C ＝{－1,0,1}．故选C.6．(2018·某某卷，理1)设全集为R，集合A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(∁R B)＝( )A．{x|0<x≤1} B．{x|0<x<1}C．{x|1≤x<2} D．{x|0<x<2}答案 B解析由题意可得，∁R B ＝{x |x <1}，结合交集的定义可得，A ∩(∁R B )＝{x |0<x <1}．故选B.7．(2018·卷，文1)已知集合A ＝{x ||x |<2}，B ＝{－2,0,1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0,1} B ．{－1,0,1} C ．{－2,0,1,2} D ．{－1,0,1,2} 答案 A解析 A ＝{x ||x |<2}＝{x |－2<x <2}，B ＝{－2,0,1,2}，∴A ∩B ＝{0,1}．故选A. 8．(2018·全国卷Ⅰ，理2)已知集合A ＝{x |x 2－x －2>0}，则∁R A ＝( ) A ．{x |－1<x <2} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |x <－1}∪{x |x >2} D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2} 答案 B解析解不等式x 2－x －2>0，得x <－1或x >2，所以A ＝{x |x <－1或x >2}，于是∁R A ＝{x |－1≤x ≤2}，故选B.9．(2018·全国卷Ⅲ，文7)下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( )A ．y ＝ln (1－x )B ．y ＝ln (2－x )C ．y ＝ln (1＋x )D ．y ＝ln (2＋x ) 答案 B解析函数y ＝ln x 过定点(1,0)，(1,0)关于x ＝1对称的点还是(1,0)，只有y ＝ln (2－x )过此点．故B 正确．10．(2018·某某卷，理5)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b 答案 D解析由题意结合对数函数的性质可知，a ＝log 2e>1，b ＝ln 2＝1log 2e ∈(0,1)，c ＝log1213＝log 23>log 2e ，据此可得，c >a >b .故选D. 11．(2018·全国卷Ⅱ，文3)函数f (x )＝e x－e－xx2的图象大致为( )答案 B解析 ∵x ≠0，f (－x )＝e －x－e xx2＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数，排除A ，∵f (1)＝e －e －1>0，∴排除D ；∵f (2)＝e 2－e －24＝4e 2－4e 216；f (4)＝e 4－e－416＝e 2·e 2－1e 416，∴f (2)<f (4)，排除C.因此选B.12．(2018·全国卷Ⅰ，理9)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值X 围是( )A ．[－1,0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞) D．[1，＋∞) 答案 C解析画出函数f (x )的图象，再画出直线y ＝－x ，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图象有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图象有两个交点，即方程f (x )＝－x －a 有两个解，也就是函数g (x )有两个零点，此时满足－a ≤1，即a ≥－1，故选C.13．(2018·全国卷Ⅰ，文12)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值X 围是( ) A ．(－∞，－1] B ．(0，＋∞) C ．(－1,0) D ．(－∞，0) 答案 D解析将函数f (x )的图象画出来，观察图象可知⎩⎪⎨⎪⎧2x <0，2x <x ＋1，解得x <0，所以满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值X 围是(－∞，0)，故选D.14．(2018·全国卷Ⅲ，理12)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A ．a ＋b <ab <0 B ．ab <a ＋b <0 C ．a ＋b <0<ab D ．ab <0<a ＋b 答案 B解析 ∵a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，∴1a ＝log 0.30.2，1b ＝log 0.32，∴1a ＋1b＝log 0.30.4，∴0<1a ＋1b <1，即0<a ＋b ab<1.又∵a >0，b <0，∴ab <0，即ab <a ＋b <0，故选B.二、填空题15．(2018·某某卷，1)已知集合A ＝{0,1,2,8}，B ＝{－1，1,6,8}，那么A ∩B ＝________. 答案 {1,8}解析由题设和交集的定义可知，A ∩B ＝{1,8}．16．(2018·某某卷，5)函数f (x )＝log 2x －1的定义域为________．答案 [2，＋∞)解析要使函数f (x )有意义，则log 2x －1≥0，解得x ≥2，即函数f (x )的定义域为[2，＋∞)．17．(2018·全国卷Ⅰ，文13)已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a )，若f (3)＝1，则a ＝________.答案－7解析根据题意有f (3)＝log 2(9＋a )＝1，可得9＋a ＝2，所以a ＝－7.18．(2018·全国卷Ⅲ，文16)已知函数f (x )＝ln (1＋x 2－x )＋1，f (a )＝4，则f (－a )＝________.答案－2解析 f (x )＋f (－x )＝ln (1＋x 2－x )＋1＋ln (1＋x 2＋x )＋1＝ln (1＋x 2－x 2)＋2＝2，∴f (a )＋f (－a )＝2，则f (－a )＝－2.19．(2018·卷，理13)能说明“若f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，则f (x )在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________．答案 y ＝sin x (答案不唯一)解析令f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ＝0，4－x ，x ∈0，2]，则f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，但f (x )在[0,2]上不是增函数．又如，令f (x )＝sin x ，则f (0)＝0，f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，但f (x )在[0,2]上不是增函数．20．(2018·某某卷，9)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2,2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx2，0<x ≤2，x ＋12，－2<x ≤0，则f [f (15)]的值为________．答案22解析由f (x ＋4)＝f (x )得函数f (x )的周期为4，所以f (15)＝f (16－1)＝f (－1)＝－1＋12＝12，因此f [f (15)]＝f 12＝cos π4＝22. 21．(2018·某某卷，15)已知λ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x <λ，当λ＝2时，不等式f (x )<0的解集是________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值X 围是________．答案 (1,4) (1,3]∪(4，＋∞)解析由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －4<0或⎩⎪⎨⎪⎧x <2，x 2－4x ＋3<0，所以2≤x <4或1<x <2，即1<x <4，不等式f (x )<0的解集是(1,4)，当λ>4时，f (x )＝x －4>0，此时f (x )＝x 2－4x ＋3＝0，x ＝1,3，即在(－∞，λ)上有两个零点；当λ≤4时，f (x )＝x －4＝0，x ＝4，由f (x )＝x 2－4x ＋3在(－∞，λ)上只能有一个零点，得1<λ≤3.综上，λ的取值X 围为(1,3]∪(4，＋∞)．22．(2018·某某卷，理14)已知a >0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ＋a ，x ≤0，－x 2＋2ax －2a ，x >0.若关于x的方程f (x )＝ax 恰有2个互异的实数解，则a 的取值X 围是________．答案 (4,8)解析当x ≤0时，方程f (x )＝ax ，即x 2＋2ax ＋a ＝ax ，整理可得，x 2＝－a (x ＋1)，很明显x ＝－1不是方程的实数解，则a ＝－x 2x ＋1，当x >0时，方程f (x )＝ax ，即－x 2＋2ax －2a ＝ax ，整理可得，x 2＝a (x －2)，很明显x ＝2不是方程的实数解，则a ＝x 2x －2，令g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2x ＋1，x ≤0，x 2x －2，x >0，其中－x 2x ＋1＝－x ＋1＋1x ＋1－2，x 2x －2＝x －2＋4x －2＋4，原问题等价于函数g (x )与函数y ＝a 有两个不同的交点，求a 的取值X 围．结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数g (x )的图象，同时绘制函数y ＝a 的图象如图所示，考查临界条件，结合a >0观察可得，实数a 的取值X 围是(4,8)．。

2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(后附答案解析)

2021年普通高等学校招生全国统一考试数学本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型(A )填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B = （）A.{}2 B.{}2,3 C.{}3,4 D.{}2,3,42.已知2i z =-，则()i z z +=（）A.62i- B.42i- C.62i + D.42i+3.，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A.2B.C.4D.4.下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭单调递增的区间是（）A.0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B.,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C.3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭5.已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（）A.13B.12C.9D.66.若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（）A.65-B.25-C.25D.657.若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则（）A.e b a <B.e a b <C.0e ba << D.0e ab <<8.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.有一组样本数据1x ，2x ，…，n x ，由这组数据得到新样本数据1y ，2y ，…，n y ，其中i i y x c =+(1,2,,),i n c =⋅⋅⋅为非零常数，则（）A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样数据的样本极差相同10.已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，()1,0A ，则（）A.12OP OP =B.12AP AP =C.312OA OP OP OP ⋅=⋅D.123OA OP OP OP ⋅=⋅11.已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（）A.点P 到直线AB 的距离小于10B.点P 到直线AB 的距离大于2C.当PBA ∠最小时，PB =D.当PBA ∠最大时，PB =12.在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则（）A.当1λ=时，1AB P △的周长为定值B.当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值C.当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥D.当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()()322xx xa f x -=⋅-是偶函数，则a =______.14.已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______.15.函数()212ln f x x x =--的最小值为______.16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm 12dm ⨯的长方形纸，对折1次共可以得到10dm 12dm ⨯，20dm 6dm ⨯两种规格的图形，它们的面积之和21240dm S =，对折2次共可以得到5dm 12dm ⨯，10dm 6dm ⨯，20dm 3dm ⨯三种规格的图形，它们的面积之和22180dm S =，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折n 次，那么1nkk S==∑______2dm .四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 满足11a =，11,,2,.n n n a n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数（1）记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式；（2）求{}n a 的前20项和.18.某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8，能正确回答B 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答A 类问题，记X 为小明的累计得分，求X 的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.19.记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=.（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC∠.20.如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点.（1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D --的大小为45︒，求三棱锥A BCD -的体积.21.在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1F 、)2122F MF MF -=，点M 的轨迹为C .（1）求C 的方程；（2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.22.已知函数()()1ln f x x x =-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b<+<.2021年普通高等学校招生全国统一考试数学本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型(A )填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B = （）A.{}2 B.{}2,3 C.{}3,4 D.{}2,3,4【答案】B 【解析】【分析】利用交集的定义可求A B .【详解】由题设有{}2,3A B ⋂=，故选：B .2.已知2i z =-，则()i z z +=（）A.62i -B.42i- C.62i+ D.42i+【答案】C 【解析】【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.【详解】因为2z i =-，故2z i =+，故()()()2222=4+42262z z i i i i i i i+=-+--=+故选：C.3.，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A.2B.C.4D.【答案】B 【解析】【分析】设圆锥的母线长为l ，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得l 的值，即为所求.【详解】设圆锥的母线长为l ，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则2l ππ=l =.故选：B.4.下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭单调递增的区间是（）A.0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B.,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C.3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】解不等式()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，利用赋值法可得出结论.【详解】因为函数sin y x =的单调递增区间为()22,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，对于函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，解得()22233k x k k Z ππππ-<<+∈，取0k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为2,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，则20,,233πππ⎛⎫⎛⎫⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 选项满足条件，B 不满足条件；取1k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为58,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭，32,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎝⎭⎝⎭且358,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，358,2,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，CD 选项均不满足条件.故选：A.【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sin y A ωx φ=+形式，再求()sin y A ωx φ=+的单调区间，只需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．5.已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（）A.13B.12C.9D.6【答案】C 【解析】【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答案．【详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）．故选：C ．【点睛】椭圆上的点与椭圆的两焦点的距离问题，常常从椭圆的定义入手，注意基本不等式得灵活运用，或者记住定理：两正数，和一定相等时及最大，积一定，相等时和最小，也可快速求解.6.若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（）A.65-B.25-C.25D.65【答案】C 【解析】【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母(221sin cos θθ=+)，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入tan 2θ=-即可得到结果．【详解】将式子进行齐次化处理得：()()()22sin sin cos 2sin cos sin 1sin 2sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθ+++==+++()2222sin sin cos tan tan 422sin cos 1tan 145θθθθθθθθ++-====+++．故选：C ．【点睛】易错点睛：本题如果利用tan 2θ=-，求出sin ,cos θθ的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．7.若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则（）A.e b a < B.e a b <C.0e b a << D.0e ab <<【答案】D 【解析】【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；解法二：画出曲线x y e =的图象，根据直观即可判定点(),a b 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线.【详解】在曲线x y e =上任取一点(),tP t e，对函数xy e=求导得e x y '=，所以，曲线x y e =在点P 处的切线方程为()tty e e x t -=-，即()1tty e x t e =+-，由题意可知，点(),a b 在直线()1tty e x t e =+-上，可得()()11tttb ae t e a t e =+-=+-，令()()1tf t a t e =+-，则()()tf t a t e '=-.当t a <时，()0f t '>，此时函数()f t 单调递增，当t a >时，()0f t '<，此时函数()f t 单调递减，所以，()()max af t f a e ==，由题意可知，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点，则()max ab f t e <=，当1t a <+时，()0f t >，当1t a >+时，()0f t <，作出函数()f t 的图象如下图所示：由图可知，当0a b e <<时，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点.故选：D.解法二：画出函数曲线x y e =的图象如图所示，根据直观即可判定点(),a b 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0a b e <<.故选：D.【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.8.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立【答案】B 【解析】【分析】根据独立事件概率关系逐一判断【详解】11561()()()()6636366P P P P =====甲，乙，丙，丁，，1()0()()()()()36P P P P P P =≠==甲丙甲丙，甲丁甲丁，1()()()()0()()36P P P P P P =≠=≠乙丙乙丙，丙丁丁丙，故选：B【点睛】判断事件,A B 是否独立，先计算对应概率，再判断()()()P A P B P AB =是否成立二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.有一组样本数据1x ，2x ，…，n x ，由这组数据得到新样本数据1y ，2y ，…，n y ，其中i i y x c =+(1,2,,),i n c =⋅⋅⋅为非零常数，则（）A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样数据的样本极差相同【答案】CD 【解析】【分析】A 、C 利用两组数据的线性关系有()()E y E x c =+、()()D y D x =，即可判断正误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B 、D 的正误.【详解】A ：()()()E y E x c E x c =+=+且0c ≠，故平均数不相同，错误；B ：若第一组中位数为i x ，则第二组的中位数为i i y x c =+，显然不相同，错误；C ：()()()()D y D x D c D x =+=，故方差相同，正确；D ：由极差的定义知：若第一组的极差为max min x x -，则第二组的极差为max min max min max min ()()y y x c x c x x -=+-+=-，故极差相同，正确；故选：CD10.已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，()1,0A ，则（）A.12OP OP =B.12AP AP =C.312OA OP OP OP ⋅=⋅D.123OA OP OP OP ⋅=⋅【答案】AC 【解析】【分析】A 、B 写出1OP ，2OP 、1AP uuur ，2AP uuu r 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C 、D 根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【详解】A ：1(cos ,sin )OP αα= ，2(cos ,sin )OP ββ=- ，所以1||1OP == ，2||1OP == ，故12||||OP OP = ，正确；B ：1(cos 1,sin )AP αα=- ，2(cos 1,sin )AP ββ=-- ，所以1||2|sin |2AP α===== ，同理2||2|sin |2AP β= ，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+ ，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯=，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+()()()cos βαβcos α2β=++=+，故一般来说123OA OP OP OP ⋅≠⋅故错误；故选：AC11.已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（）A.点P 到直线AB 的距离小于10B.点P 到直线AB 的距离大于2C.当PBA ∠最小时，PB =D.当PBA ∠最大时，PB =【答案】ACD 【解析】【分析】计算出圆心到直线AB 的距离，可得出点P 到直线AB 的距离的取值范围，可判断AB 选项的正误；分析可知，当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，利用勾股定理可判断CD 选项的正误.【详解】圆()()225516x y -+-=的圆心为()5,5M ，半径为4，直线AB 的方程为142x y+=，即240x y +-=，圆心M 到直线AB45==>，所以，点P 到直线AB 的距离的最小值为115425-<，最大值为1154105+<，A 选项正确，B 选项错误；如下图所示：当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，连接MP 、BM ，可知PM PB ⊥，BM =，4MP =，由勾股定理可得BP ==CD 选项故选：ACD.【点睛】结论点睛：若直线l 与半径为r 的圆C 相离，圆心C 到直线l 的距离为d ，则圆C 上一点P 到直线l 的距离的取值范围是[],d r d r -+.12.在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则（）A.当1λ=时，1AB P △的周长为定值B.当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值C.当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥D.当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P 【答案】BD 【解析】【分析】对于A ，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；对于B ，将P 点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；对于C ，考虑借助向量的平移将P 点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P 点的个数；对于D ，考虑借助向量的平移将P 点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P 点的个数．【详解】易知，点P 在矩形11BCC B 内部（含边界）．对于A ，当1λ=时，11=BP BC BB BC CC μμ=++，即此时P ∈线段1CC ，1AB P △周长不是定值，故A对于B ，当1μ=时，1111=BP BC BB BB B C λλ=++，故此时P 点轨迹为线段11B C ，而11//B C BC ，11//B C 平面1A BC ，则有P 到平面1A BC 的距离为定值，所以其体积为定值，故B 正确．对于C ，当12λ=时，112BP BC BB μ=+ ，取BC ，11B C 中点分别为Q ，H ，则BP BQ QH μ=+ ，所以P 点轨迹为线段QH ，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，1,0,12A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0P μ,，10,,02B ⎛⎫⎪⎝⎭，则1,0,12A P μ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，10,,2BP μ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，()110A P BP μμ⋅=-=，所以0μ=或1μ=．故,H Q 均满足，故C 错误；对于D ，当12μ=时，112BP BC BB λ=+ ，取1BB ，1CC 中点为,M N ．BP BM MN λ=+ ，所以P 点轨迹为线段MN ．设010,,2P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为0,02A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以01,,22AP y ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，11,122A B ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以00311104222y y +-=⇒=-，此时P 与N 重合，故D 正确．故选：BD ．【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内．三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()()322xx x a f x -=⋅-是偶函数，则a =______.【答案】1【解析】【分析】利用偶函数的定义可求参数a 的值.【详解】因为()()322xx xa f x -=⋅-，故()()322x x f x x a --=-⋅-，因为()f x 为偶函数，故()()f x f x -=，时()()332222xx x x xa x a --⋅-=-⋅-，整理得到()()12+2=0x x a --，故1a =，故答案为：114.已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______.【答案】32x =-【解析】【分析】先用坐标表示P Q ，，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得p ，即得结果.【详解】抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，所以P 的横坐标为2p，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ±,不妨设(,)2p P p ,因为Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，所以Q 在F 的右侧，又||6FQ = ，(6,0),(6,)2pQ PQ p ∴+∴=-uu u r 因为PQ OP ⊥，所以PQ OP ⋅= 2602p p ⨯-=,0,3p p >∴=Q ，所以C 的准线方程为32x =-故答案为：32x =-.【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.15.函数()212ln f x x x =--的最小值为______.【答案】1【解析】【分析】由解析式知()f x 定义域为(0,)+∞，讨论102x <≤、112x <≤、1x >，并结合导数研究的单调性，即可求()f x 最小值.【详解】由题设知：()|21|2ln f x x x =--定义域为(0,)+∞，∴当102x <≤时，()122ln f x x x =--，此时()f x 单调递减；当112x <≤时，()212ln f x x x =--，有2()20f x x'=-≤，此时()f x 单调递减；当1x >时，()212ln f x x x =--，有2()20f x x'=->，此时()f x 单调递增；又()f x 在各分段的界点处连续，∴综上有：01x <≤时，()f x 单调递减，1x >时，()f x 单调递增；∴()(1)1f x f ≥=故答案为：1.16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm 12dm ⨯的长方形纸，对折1次共可以得到10dm 12dm ⨯，20dm 6dm ⨯两种规格的图形，它们的面积之和21240dm S =，对折2次共可以得到5dm 12dm ⨯，10dm 6dm ⨯，20dm 3dm ⨯三种规格的图形，它们的面积之和22180dm S =，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折n 次，那么1nkk S==∑______2dm .【答案】(1).5(2).()41537202n n -+-【解析】【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得n S ，再根据错位相减法得结果.【详解】（1）由对折2次共可以得到5dm 12dm ⨯，10dm 6dm ⨯，20dm 3dm ⨯三种规格的图形，所以对着三次的结果有：5312561032022⨯⨯⨯⨯，，；，共4种不同规格（单位2dm )；故对折4次可得到如下规格：5124⨯，562⨯，53⨯，3102⨯，3204⨯，共5种不同规格；（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为12的等比数列，首项为120()2 dm ,第n 次对折后的图形面积为111202n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，对于第n 此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为1n +种（证明从略），故得猜想1120(1)2n n n S -+=，设()0121112011202120312042222nk n k n S S -=+⨯⨯⨯==++++∑L ，则121112021203120120(1)22222n n n n S -⨯⨯+=++++ ，两式作差得：()211201111124012022222n n n S -+⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ ()11601120122401212n n n -⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+--()()112011203120360360222n n nn n -++=--=-，因此，()()4240315372072022nn n n S -++=-=-.故答案为：5；()41537202n n -+-.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +结构，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}na 是等差数列，公差为()0d d ≠，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 满足11a =，11,,2,.n n n a n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数（1）记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式；（2）求{}n a 的前20项和.【答案】（1）122,5b b ==；（2）300.【解析】【分析】（1）根据题设中的递推关系可得13n n b b +=+，从而可求{}n b 的通项.（2）根据题设中的递推关系可得{}n a 的前20项和为20S 可化为()2012910210S b b b b =++++- ，利用（1）的结果可求20S .【详解】（1）由题设可得121243212,1215b a a b a a a ==+===+=++=又22211k k a a ++=+，2122k k a a +=+，*()k N ∈故2223k k a a +=+，即13n n b b +=+，即13n n b b +-=所以{}n b 为等差数列，故()21331n b n n =+-⨯=-.（2）设{}n a 的前20项和为20S ，则2012320S a a a a =++++ ，因为123419201,1,,1a a a a a a =-=-=- ，所以()20241820210S a a a a =++++- ()1291091021021023103002b b b b ⨯⎛⎫=++++-=⨯⨯+⨯-= ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：对于数列的交叉递推关系，我们一般利用已知的关系得到奇数项的递推关系或偶数项的递推关系，再结合已知数列的通项公式、求和公式等来求解问题.18.某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8，能正确回答B 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答A 类问题，记X 为小明的累计得分，求X 的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.【答案】（1）见解析；（2）B 类．【解析】【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分X 的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）与（1）类似，找出先回答B 类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可．【详解】（1）由题可知，X 的所有可能取值为0，20，100．()010.80.2P X ==-=；()()200.810.60.32P X ==-=；()1000.80.60.48P X ==⨯=．所以X 的分布列为X020100P0.20.320.48（2）由（1）知，()00.2200.321000.4854.4E X =⨯+⨯+⨯=．若小明先回答B 问题，记Y 为小明的累计得分，则Y 的所有可能取值为0，80，100．()010.60.4P Y ==-=；()()800.610.80.12P Y ==-=；()1000.80.60.48P X ==⨯=．所以()00.4800.121000.4857.6E Y =⨯+⨯+⨯=．因为54.457.6<，所以小明应选择先回答B 类问题．19.记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=.（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.【答案】（1）证明见解析；（2）7cos 12ABC ∠=.【解析】【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有acBD b=，结合已知即可证结论.（2）由题设2,,33b bBD b AD DC ===，应用余弦定理求cos ADB ∠、cos CDB ∠，又ADB CDB π∠=-∠，可得42221123b b a a +=，结合已知及余弦定理即可求cos ABC ∠.【详解】（1）由题设，sin sin a C BD ABC =∠，由正弦定理知：sin sin c b C ABC =∠，即sin sin C c ABC b=∠，∴ac BD b =，又2b ac =，∴BD b =，得证.（2）由题意知：2,,33b b BD b AD DC ===，∴22222241399cos 24233b b b c c ADB b b b +--∠==⋅，同理2222221099cos 2233b b b a a CDB b b b +--∠==⋅，∵ADB CDB π∠=-∠，∴2222221310994233b bc a b b --=，整理得2221123b a c +=，又2b ac =，∴42221123b b a a +=，整理得422461130a a b b -+=，解得2213a b =或2232a b =，由余弦定理知：222224cos 232a c b a ABC ac b+-∠==-，当2213a b =时，7cos 16ABC ∠=>不合题意；当2232a b =时，7cos 12ABC ∠=；综上，7cos 12ABC ∠=.【点睛】关键点点睛：第二问，根据余弦定理及ADB CDB π∠=-∠得到,,a b c 的数量关系，结合已知条件及余弦定理求cos ABC ∠.20.如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点.（1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D --的大小为45︒，求三棱锥A BCD -的体积.【答案】(1)详见解析(2)36【解析】【分析】（1）根据面面垂直性质定理得AO ⊥平面BCD ，即可证得结果；（2）先作出二面角平面角，再求得高，最后根据体积公式得结果.【详解】（1）因为AB=AD,O 为BD 中点，所以AO ⊥BD因为平面ABD 平面BCD =BD ,平面ABD ⊥平面BCD ，AO ⊂平面ABD ，因此AO ⊥平面BCD ，因为CD ⊂平面BCD ，所以AO ⊥CD(2)作EF ⊥BD 于F,作FM ⊥BC 于M,连FM因为AO ⊥平面BCD ，所以AO ⊥BD,AO ⊥CD所以EF ⊥BD,EF ⊥CD,BD CD D ⋂=,因此EF ⊥平面BCD ，即EF ⊥BC因为FM ⊥BC ，FM EF F =I ,所以BC ⊥平面EFM ，即BC ⊥MF则EMF ∠为二面角E-BC-D 的平面角,4EMF π∠=因为BO OD =,OCD 为正三角形,所以OCD 为直角三角形因为2BE ED =,1112(1)2233FM BF ∴==+=从而EF=FM=213AO ∴=AO ⊥Q 平面BCD,所以11131133326BCD V AO S ∆=⋅=⨯⨯⨯⨯=【点睛】二面角的求法：一是定义法，二是三垂线定理法，三是垂面法，四是投影法.21.在平面直角坐标系xOy中，已知点()1F、)2122F MF MF -=，点M 的轨迹为C .（1）求C 的方程；（2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.【答案】（1）()221116y x x -=≥；（2）0.【解析】【分析】（1）利用双曲线的定义可知轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点双曲线的右支，求出a 、b 的值，即可得出轨迹C 的方程；（2）设点1,2T t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线AB 的方程为112y t k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立直线AB 与曲线C 的方程，列出韦达定理，求出TA TB ⋅的表达式，设直线PQ 的斜率为2k ，同理可得出TP TQ ⋅的表达式，由TA TB TP TQ ⋅=⋅化简可得12k k +的值.【详解】因为12122MF MF F F -=<=所以，轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹C 的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则22a =，可得1a =，4b ==，所以，轨迹C 的方程为()221116y x x -=≥；（2）设点1,2T t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若过点T 的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C 无公共点，不妨直线AB 的方程为112y t k x ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，即1112y k x t k =+-，联立1122121616y k x t k x y ⎧=+-⎪⎨⎪-=⎩，消去y 并整理可得()()222111111621602k x k t k x t k ⎛⎫-+-+-+= ⎪⎝⎭，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则112x >且212x >.由韦达定理可得2111221216k k t x x k -+=-，211221116216t k x x k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-，所以，()()()()22122121121122112111111222416t k x x TA TB k x x k x x k +++⎛⎫⋅=+⋅-⋅-=+⋅-+= ⎪-⎝⎭，设直线PQ 的斜率为2k ，同理可得()()2222212116t k TP TQ k ++⋅=-，因为TA TB TP TQ ⋅=⋅，即()()()()22221222121211211616t k t k k k ++++=--，整理可得2212k k =，即()()12120k k k k -+=，显然120k k -≠，故120k k +=.因此，直线AB 与直线PQ 的斜率之和为0.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22.已知函数()()1ln f x x x =-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b<+<.【答案】（1）()f x 的递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，判断其符号可得函数的单调区间；（2）设1211,x x a b==，原不等式等价于122x x e <+<，前者可构建新函数，利用极值点偏移可证，后者可设21x tx =，从而把12x x e +<转化为()()1ln 1ln 0t t t t -+-<在()1,+∞上的恒成立问题，利用导数可证明该结论成立.【详解】（1）函数的定义域为()0,∞+，又()1ln 1ln f x x x '=--=-，当()0,1x ∈时，()0f x '>，当()1,+x ∈∞时，()0f x '<，故()f x 的递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞.（2）因为ln ln b a a b a b -=-，故()()ln 1ln +1b a a b +=，即ln 1ln +1a b a b+=，故11f f a b ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设1211,x x a b==，由（1）可知不妨设1201,1x x <<>.因为()0,1x ∈时，()()1ln 0f x x x =->，(),x e ∈+∞时，()()1ln 0f x x x =-<，故21x e <<.先证：122x x +>，若22x ≥，122x x +>必成立.若22x <，要证：122x x +>，即证122x x >-，而2021x <-<，故即证()()122f x f x >-，即证：()()222f x f x >-，其中212x <<.设()()()2,12g x f x f x x =--<<，则()()()()2ln ln 2g x f x f x x x '''=+-=---()ln 2x x =--⎡⎤⎣⎦，因为12x <<，故()021x x <-<，故()ln 20x x -->，所以()0g x '>，故()g x 在()1,2为增函数，所以()()10g x g >=，故()()2f x f x >-，即()()222f x f x >-成立，所以122x x +>成立，综上，122x x +>成立.设21x tx =，则1t >，结合ln 1ln +1a b a b+=，1211,x x a b ==可得：()()11221ln 1ln x x x x -=-，即：()111ln 1ln ln x t t x -=--，故11ln ln 1t t t x t --=-，要证：12x x e +<，即证()11t x e +<，即证()1ln 1ln 1t x ++<，即证：()1ln ln 111t t t t t --++<-，即证：()()1ln 1ln 0t t t t -+-<，令()()()1ln 1ln ,1S t t t t t t =-+->，则()()112ln 11ln ln 111t S t t t t t t -⎛⎫'=++--=+- ⎪++⎝⎭，先证明一个不等式：()ln 1x x ≤+.设()()ln 1u x x x =+-，则()1111x u x x x -'=-=++，当10x -<<时，()0u x '>；当0x >时，()0u x '<，故()u x 在()1,0-上为增函数，在()0,+∞上为减函数，故()()max 00u x u ==，故()ln 1x x ≤+成立由上述不等式可得当1t >时，112ln 11t t t ⎛⎫+≤< ⎪+⎝⎭，故()0S t '<恒成立，故()S t 在()1,+∞上为减函数，故()()10S t S <=，故()()1ln 1ln 0t t t t -+-<成立，即12x x e +<成立.综上所述，112e a b<+<.【点睛】方法点睛：极值点偏移问题，一般利用通过原函数的单调性，把与自变量有关的不等式问题转化与原函数的函数值有关的不等式问题，也可以引入第三个变量，把不等式的问题转化为与新引入变量有关的不等式问题.。

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(新课标1卷,含答案)

绝密★启封并使用完毕前2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。

2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题。

每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

（1）已知集合{1,2,3,4}A =，2{|,}B x x n n A ==∈,则A B =（）（A ）｛0｝（B ）｛-1，,0｝（C ）{0，1}（D ）｛-1，,0，1}（2）212(1)ii +=-（）（A ）112i --（B ）112i -+（C ）112i +（D ）112i - （3）从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）（A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）16（4）已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的离心率为52，则C 的渐近线方程为（）（A ）14y x =±（B ）13y x =± （C ）12y x =±（D ）y x =±（5）已知命题:p x R ∀∈，23xx<；命题:q x R ∃∈，321x x =-，则下列命题中为真命题的是：（）（A ）p q ∧（B ）p q ⌝∧（C ）p q ∧⌝ （D ）p q ⌝∧⌝（6）设首项为1，公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（）（A ）21n n S a =- （B ）32n n S a =- （C ）43n n S a =- （D ）32n n S a =-（7）执行右面的程序框图，如果输入的[1,3]t ∈-，则输出的S 属于（A ）[3,4]- （B ）[5,2]- （C ）[4,3]- （D ）[2,5]-（8）O 为坐标原点，F 为抛物线2:42C y x =的焦点，P 为C上一点，若||42PF =，则POF ∆的面积为（）（A ）2（B ）22（C ）23（D ）4（9）函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为（）（10）已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos cos 20A A +=，7a =，6c =，则b =（）（A ）10 （B ）9（C ）8（D ）5（11）某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为（）（A ）168π+ （B ）88π+ （C ）1616π+ （D ）816π+（12）已知函数22,0,()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（）（A ）(,0]-∞ （B ）(,1]-∞ (C) [2,1]- (D) [2,0]-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。

2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试(新高考)数学试题+答案解析(附后)

2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试（新高考）数学试题1. 已知集合M，N是全集U的两个非空子集，且，则( )A. B. C. D.2. 若，则实数x，y满足( )A. B. C. D.3. 若某圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，高为3，则该圆台的体积为( )A. B. C. D.4. 已知，则( )A. B. C. D. 65. 在1859年的时候，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x的素数个数可以表示为的结论.若根据欧拉得出的结论，估计以内的素数的个数为素数即质数，，计算结果取整数( )A. 2172B. 4343C. 869D. 86866. 若的展开式中常数项为，则实数( )A. B. C. D. 27. 已知、分别为椭圆的左、右焦点，P是椭圆C上的一点，直线l：，且，垂足为Q点.若四边形为平行四边形，则椭圆C的离心率的取值范围是( )A. B. C. D.8. 已知函数，直线是曲线的一条切线，则的取值范围是( )A. B.C. D.9. 为了庆祝中国共产党成立100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，将本单位全体党员党史知识竞赛的成绩均位于之内整理，得到如图所示的频率分布直方图.根据此频率分布直方图，下列结论正确的是( )A. 本次成绩不低于80分的人数的占比为B. 本次成绩低于70分的人数的占比为C. 估计本次成绩的平均分不高于85分D. 本次成绩位于的人数是其他人数的3倍10. 如图所示，四棱锥的底面为正方形，底面ABCD，，则下列选项中两异面直线所成夹角大于的是( )A. BC与SDB. AB与SCC. SB与ADD. AC与SB11. 已知函数，若函数的部分图象如图所示，函数，则下列结论不正确的是( )A. 函数的图象关于直线对称B. 函数的图象关于点对称C. 将函数的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象D. 函数在区间上的单调递减区间为12. 阿基米德公元前287年-公元前212年是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点A、B处的切线交于点P，称为“阿基米德三角形”．已知抛物线C：的焦点为F，过A、B两点的直线的方程为，关于“阿基米德三角形”，下列结论正确的是( )A. B.C. 点P的坐标为D.13. 在正项等比数列中，若，则_____.14. 写出一个同时满足下列条件①②的向量_____.①；②向量与的夹角15. 已知在正四面体中，，记以PA为直径的球为球O，则平面ABC截球O所得截面的面积为__________.16. 若对任意恒成立，则实数a的取值范围为_____.17. 如图，在梯形ABCD中，，点E在边CD上，，，求BE，CE；若，求18. 《中共中央国务院关于实现巩固拓展脱贫攻坚成果同乡村振兴有效衔接的意见》明确提出，支持脱贫地区乡村特色产业发展壮大，加快脱贫地区农产品和食品仓储保鲜，冷链物流设施建设，支持农产品流通企业、电商、批发市场与区域特色产业精准对接.当前，脱贫地区相关设施建设情况如何？怎样实现精准对接？未来如何进一步补齐发展短板？针对上述问题，假定有A、B、C三个解决方案，通过调查发现有的受调查者赞成方案A，有的受调查者赞成方案B，有的受调查者赞成方案C，现有甲、乙、丙三人独立参加投票以频率作为概率求甲、乙两人投票方案不同的概率；若某人选择方案A或方案B，则对应方案可获得2票，选择方案C，则方案C获得1票，设X是甲、乙、丙三人投票后三个方案获得票数之和，求X的分布列和数学期望.19. 已知数列满足求数列的通项公式；对任意的，令，求数列的前n项和20. 在如图所示的多面体AFDCBE中，平面BCE，，，，，在线段BC上是否存在一点G，使得平面AFC？如果存在，请指出G点位置并证明；如果不存在，请说明理由．当三棱锥的体积为8时，求二面角的余弦值．21. 已知双曲线C：的渐近线方程为，过双曲线C的右焦点的直线与双曲线C分别交于左、右两支上的A、B两点．求双曲线C的方程．过原点O作直线，使得，且与双曲线C分别交于左、右两支上的点M、是否存在定值，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．22. 已知函数讨论函数的单调性；若存在，满足，且，，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查了全集、补集和子集的定义与应用问题，是基础题．根据全集、补集和子集的定义，即可得出M、N之间的关系，从而作出正确的判断．【解答】解：M，N是全集U的非空子集，且，所以，故选2.【答案】B【解析】【分析】本题考查复数相等的充要条件，要求考生会进行复数的平方运算以及理解两个复数相等的充要条件，属于基础题.利用复数相等的概念即可求解.【解答】解：因为，所以，则，即实数x，y满足故选：3.【答案】C【解析】【分析】本题考查圆台的体积，考查直观想象与数学运算的数学素养，属于基础题.根据圆台的体积公式计算即可.【解答】解：由题意，得圆台的体积为4.【答案】B【解析】【分析】本题考查了同角三角函数的基本关系，二倍角公式，属于较易题.先化简，再分子分母同时除以，转化为正切计算即可.【解答】解：由，则，故选5.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查获取信息、运用所学知识解决实际问题的能力，体现了数学运算的学科素养，突出了基础性、应用性的考查，要求考生运用所学对数的运算公式解答相关问题，属于基础题.由对数的运算得，再结合题意可得【解答】解：由题意可知：，由对数的性质可得：，即故选6.【答案】A【解析】【分析】本题考查二项展开式的特定项与特定项的系数，关键是利用展开式的通项公式，属于基础题.的展开式的通项为，令，得，故，解得a值.【解答】解：的展开式的通项为，令，得故，即，解得7.【答案】B【解析】【分析】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，属于基础题.设，由四边形为平行四边形，得到，最后根据椭圆的范围，即可求出离心率的范围.【解答】解：设，四边形为平行四边形，，，即，，即得，解得故离心率的范围为8.【答案】B【解析】【分析】本题考查导数的几何意义和利用导数求最值，属于中档题.设切点为，利用导数的几何意义求出切线方程，得，构造，利用导数即可求解.【解答】解：设切点为，，曲线在切点处的切线的斜率为，切线方程为，整理得，所以令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故，则的取值范围9.【答案】ABC【解析】【分析】本题考查频率分布直方图，考查获取信息解决实际问题，考查数据分析，属中档题.根据频率分布直方图解得a，逐项分析即可.【解答】解：本次成绩不低于80分的人数占比为，故A正确；因为，所以，即本次成绩低于70分的人数的占比为，故B正确；因为有的党员的成绩位于之间，这部分党员的平均成绩为85分，另有的党员的成绩位于之间，这部分党员的平均成绩为95分，剩余党员的平均成绩小于75分，所以估计本次成绩的平均分不高于85分，故C正确；成绩位于的频率为，因为，故D错误.10.【答案】ACD【解析】【分析】本题主要考查了异面直线的夹角，通过平移的方法求异面直线的夹角及利用判定定理证明异面直线垂直的应用.根据已知及线面垂直的判定，异面直线所成角的计算即可求得答案.【解答】解：对于A，因为底面ABCD，平面ABCD，所以，则BC与SD所成角的大小为，故A正确，对于B，因为底面ABCD是正方形，所以，则AB与SC所成的角为，故B错误，对于C，因为，所以SB与AD所成的角为，由题知，所以，故C正确，对于D，因为底面ABCD，平面ABCD，所以，因为ABCD是正方形，所以因为，平面SBD，平面SBD，所以平面SBD，所以，则AC与SB所成角的大小为，故D正确.11.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查三角函数的图象与性质，要求考生了解函数图象的变换，了解函数中各参数对图象的影响，根据正弦函数与余弦函数的单调性与对称性逐一判断即可.【解答】解：根据函数的图象可知，当时，满足，则，即，因为，所以，对于A项，当时，，故函数的图象不关于直线对称，A项错误;对于B项，当时，，故函数的图象不关于点对称，B项错误;对于C项，因为，将其图象向左平移个单位长度可得函数的图象，故C项正确;对于D项，因为，所以，所以当，即时，单调递减，D项错误.12.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查直线与抛物线的位置关系，要求考生了解抛物线的定义，几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质.联立抛物线与直线方程利用根与系数的关系可求得的值可判断A；求得直线PA和PB的斜率可得到直线PA和PB的方程可判断B；联立两直线方程可得到点P的坐标可判断C；由点P 和点F坐标可得到直线PF的斜率，由点A和点B坐标可得到直线AB的斜率，可判断【解答】解：设，，联立，可得，解得或，不妨设，，则，，故，，，A项正确;又因为，所以，故直线PA的斜率为，直线PA的方程为，即，同理可得直线PB的方程为，，所以，B项正确；联立可得，故点P的坐标为，C项错误；易知点F的坐标为，，所以，D项正确.13.【答案】2【解析】【分析】本题考查等比数列性质的应用，注意对数运算法则的灵活运用，属于基础题.由等比数列的性质可得，由对数的运算可得要求的式子，代入计算对数的值即可．【解答】解：由题意可得故答案为14.【答案】【解析】【分析】本题考查向量的夹角，向量的坐标运算，属于基础题.设，得到，令，求解即可.【解答】解：设，得到，令，联立，解得，或，取答案不唯一15.【答案】【解析】【分析】本题考查平面与球的截面问题，要求考生了解正四面体与球的特征，会根据空间中的垂直关系求出截面圆的直径.根据题目条件得到截面为圆，并得到直径AE的大小即可求解.【解答】解：如图，取BC的中点D，连接AD，过点P作平面ABC于点E，由正四面体的特征可知，点E为AD上靠近点D的三等分点.因为PA为球O的直径，平面ABC，，所以平面ABC截球O所得截面的直径为因为，所以，故平面ABC截以PA为直径的球所得截面面积为16.【答案】【解析】【分析】本题考查根据不等式恒成立求参数范围，利用导数研究函数最值，数形结合的思想解决问题，属于较难题.将不等不等式进行转化为，利用导数法可证，再进行放缩，，可得答案.【解答】解：由可得，因为，所以令，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，，即当且仅当时取等号，故，当且仅当时取等号.在同一坐标标系中画出与的图象，如图所示，可知两函数在之间有一个交点，故存在，使得成立，故，故，即实数a的取值范围为故答案为17.【答案】解：在中，由正弦定理可得，，，由余弦定理可得，解得，，，又因为，，在中，由余弦定理可得，所以，因为，又因为，所以【解析】本题考查正弦定理和余弦定理.属于中档题.在中，由正弦定理可解得BE，再根据余弦定理解得CE；根据可得，在中，用余弦定理解得EA，再根据余弦定理可解得，根据，得出的结果.18.【答案】解：因为甲、乙两人投票方案相同的概率为所以甲、乙两人投票方案不相同的概率为的所有可能取值为3，4，5，6，因为，，所以X的分布列如下：X3456P所以【解析】本题以脱贫攻坚与乡村振兴为情境.要求考生运用所学独立事件的概率与离散型随机变量及其分布等必备知识解答相关问题.主要考查获取信息.运用所学知识解决实际问题的能力，体现了数学运算与数据分析的学科素养，突出基础性、应用性的考查要求.先计算出甲乙投票方案相同的概率，即可求出不相同的概率;得到X所有可能的取值，算出概率后列出分布列，即可求出数学期望.19.【答案】解：当时，当时，可得，所以，，当时，也符合，故；由知，当n为偶数时，当n为奇数时，所以【解析】本题考查数列的通项与分组求和，要求考生掌握求常见数列的通项的方法，能根据数列特征选取恰当的方法求和，属于常考题.分和两种情况求解即可；分类讨论n为偶数与奇数，分组求和即可.20.【答案】解：存在，且取线段AB的中点H，BC的中点为G，连接EH、HG、，，四边形AHEF是平行四边形，又平面AFC，平面AFC，平面、G分别为AB、BC的中点，是的中位线，，平面AFC，平面AFC，平面又，HG、平面EHG，平面平面平面EHG，平面AFC；设，由，可得，以E为坐标原点，EB、EC、EF所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由题可知，，，，，，设平面AFC的法向量为，则令，得，，所以平面AFC的一个法向量为，设平面AFD的法向量为，则令，得，所以平面AFD的一个法向量为，由图可知二面角为锐角，故二面角的余弦值为【解析】本题考查线面平行的证明，考查利用空间向量求二面角的方法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题．取线段AB的中点H，BC的中点为G，连接EH、HG、EG，由平面AFC，平面AFC，可得平面平面AFC，又平面EHG，则平面AFC；建立空间直角坐标系，利用法向量所成角的余弦值，即可得.21.【答案】解：由题意得，解得，所以双曲线C的方程为存在定值，使得，与同向，，，易知的斜率不为0，设：，由消去x整理得：，设，，由交双曲线C左右两支于A、B两点，有，即，则，，由于，可设：，由消去x整理得：，设，，，由此，，故存在定值，使得【解析】考查双曲线的标准方程及圆锥曲线中的探索性问题，属于较难题利用双曲线性质列出关于a和b的方程组，解该方程组，直接写出双曲线的方程；若存在定值，使得，则，设出的方程，分别与双曲线联立，用设而不求法表示出和，求出22.【答案】解：函数的定义域为，当时，，在上单调递减；当时，令，得，令，得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，综上所述：当时，在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.，又，则令，即方程在上有解.令，，则，，则，当时，，在上单调递减，又，则在上恒成立，不合题意;当时，，令，可知该方程有两个正根，因为方程两根之积为1且，所以当时，当时，则时，，而令，则，令，，则在上单调递减，，则在上单调递减，，即，故存在，使得，故满足题意.综上所述，实数a的取值范围是【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，导数中存在性问题以及参数的取值范围问题，分类讨论思想，考查逻辑推理能力，属于较难题．求导，通过分类讨论，解关于导函数的不等式即可求得单调区间；根据题意，化简变形已知，构造新函数，利用导数求解即可．。

普通高等学校招生全国统一考试数学试卷及答案 (1)

普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1、若z ⋅（：则复数z 对应的点在复平面内的（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2、已知直二面角l αβ--：直线a α⊂：直线b β⊂：且a 、b 与l 均不垂直：那么（）A ．a 与b 可以垂直：但不可以平行B ．a 与b 可以垂直：也可以平行C ．a 与b 不可以垂直：也不可以平行D ．a 与b 不可以垂直：但可以平行3、已知a 、b 均为非零向量：命题p ：a b ⋅ ＞0：命题q ：a 与b的夹角为锐角：则p 是q 成立的（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4.定义某种运算⊗，a b ⊗的运算原理如图所示.设x x f ⊗=1)(.()f x 在区间[2,2]-上的最大值为.()A 、-2B 、-1C 、0D 、25、已知ABC ∆的外接圆半径为1，圆心为O ，且3450OA OB OC ++= ，则OC AB⋅的值为()A 、15-B 、15C 、65-D 、656.已知26)1()1(-+ax x 的展开式中，3x 系数为56，则实数a 的值为（）A ．6或5B ．-1或4C ．6或-1D ．4或57.对某种产品市场产销量情况如图所示，其中：1l 表示产品各年年产量的变化规律；2l 表示产品各年的销售情况．下列叙述：（1）产品产量、销售量均以直线上升，仍可按原生产计划进行下去；（2）产品已经出现了供大于求的情况，价格将趋跌；（3）产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销售量；（4）产品的产、销情况均以一定的年增长率递增．你认为较合理的是（）A ．（1），（2），（3）B ．（1），（3），（4）C ．（2），（4）D ．（2），（3）8.函数12cos 2-=x y 的最小正周期是（）A ．π4B ．π2C ．πD ．π219.函数)4π(cos )4π(cos 22--+=x x y 是（）A ．周期为π的偶函数B ．周期为π的奇函数C ．周期为2π的偶函数D ．周期为2π的奇函数10.sin2·cos3·tg4的值()A ．小于0B ．大于0C ．等于0D ．不存在11.直线y ＝ax ＋b 通过一、三、四象限，则圆(x ＋a)2＋(y ＋b)2＝r2(r ＞0)的圆心位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12.数列{an}是等差数列的一个充要条件是()A ．Sn ＝an ＋bB ．Sn ＝an2＋bn ＋cC ．Sn ＝an2＋bn(a ≠0)D ．Sn ＝an2＋bn二、填空题（共4小题，每小题5分；共计20分）1.已知(p x x-22)6的展开式中，不含x 的项是2720,则p 的值是______.2.点P 在曲线y=x3－x+32上移动，设过点P 的切线的倾斜角为α,则α的取值范围是______.3.在如图的1×6矩形长条中涂上红、黄、蓝三种颜色，每种颜色限涂两格，且相邻两格不同色，则不同的涂色方案有______种.4.同一个与正方体各面都不平行的平面去截正方体，截得的截面是四边形的图形可能是①矩形；②直角梯形；③菱形；④正方形中的______（写出所有可能图形的序号）.三、大题：(满分70分)1、已知矩阵3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A （1）求A2；（2）求矩阵A 的特征值.2、已知集合A 是由a －2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A ，求a.3.（本题满分12分）已知四边形ABCD 是菱形，060BAD ∠=四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，G H 、分别是CE CF 、的中点.(1)求证：平面//AEF 平面BDGH(2)若平面BDGH 与平面ABCD 所成的角为060，求直线CF 与平面BDGH 所成的角的正弦值4.设),(),,(2211y x Q y x P 是抛物线px y 22=)0(>p 上相异两点，P Q 、到y 轴的距离的积为4且0=⋅OQ OP ．（1）求该抛物线的标准方程.（2）过Q 的直线与抛物线的另一交点为R ，与x 轴交点为T ，且Q 为线段RT 的中点，试求弦PR 长度的最小值．5、设1ln )()(++=x xa x x f ，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与直线012=++y x 垂直.(1)求a 的值;(2)若),1[+∞∈∀x ，)1()(-≤x m x f 恒成立，求m 的范围.（3）求证：*21ln .().41ni i n N i =<∈-∑6.在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，且4sin2B ＋C 2－cos2A ＝72.(1)求∠A 的度数；(2)若a ＝3，b ＋c ＝3，求b 、c 的值.参考答案：一、选择题：1-5题答案:CDADA 6-10题答案:CDBBA 11-12题答案:BD 二、填空题：1、13.32、［0,2π)∪［43π,π)3、304、①③④三、大题：1、解：（1）因为3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，所以231312222⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A=3312311223222122⨯+⨯⨯+⨯⎡⎤⎢⎥⨯+⨯⨯+⨯⎣⎦=115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）矩阵A 的特征多项式为231()5422f λλλλλ--==-+--.令()0f λ=，解得A 的特征值121,4λλ==.解：（1）设极点为O.在△OAB 中，A （3，4π），B，2π），由余弦定理，得=.（2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l过点)2π，倾斜角为34π．又)2B π，所以点B 到直线l的距离为3sin(242ππ⨯-=.2、解：由－3∈A ，可得－3＝a －2或－3＝2a2＋5a ，∴a ＝－1或a ＝－32.则当a ＝－1时，a －2＝－3,2a2＋5a ＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a ＝－1应舍去．当a ＝－32时，a －2＝－72，2a2＋5a ＝－3，∴a ＝－32.3.参考答案：解:（1）G H 、分别是CE CF 、的中点所以//EF GH ------①---1分连接AC 与BD 交与O ,因为四边形ABCD 是菱形，所以O 是AC 的中点，连OG ,OG 是三角形ACE 的中位线//OG AE -②-----3分由①②知，平面//AEF 平面BDGH ----4分（2）,BF BD ⊥平面BDEF ⊥平面ABCD ，所以BF ⊥平面ABCD -------5分取EF 的中点N ,//ON BF ON ∴⊥平面ABCD ，建系{,,}OB OC ON设2AB BF t ==，,则()()()100,03,0,10B C F t ，，，，，13,,222t H ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭--------6分()131,0,0,,222t OB OH ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭ 设平面BDGH 的法向量为()1,,n x y z = 110130222n OB x t n OH x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩,所以(10,3n t =- 平面ABCD 的法向量()20,0,1n = ----9分12231|cos ,|23n n t <>==+ ,所以29,3t t ==----10分所以()1,3,3CF =,设直线CF 与平面BDGH 所成的角为θ13133321336|,cos |sin 1=⨯=〉〈=n CF θ4.参考答案：解：（1）∵OP→·OQ →＝0，则x1x2＋y1y2＝0，-1分又P 、Q 在抛物线上，故y12＝2px1，y22＝2px2，故得y122p ·y222p＋y1y2＝0，y1y2＝－4p2222212144)(||pp y y x x ==∴-------3分又|x1x2|＝4，故得4p2＝4，p=1．所以抛物线的方程为:22y x =-------------4分（2）设直线PQ 过点E(a,0）且方程为x ＝my ＋a联立方程组⎩⎨⎧=+=x y amy x 22消去x 得y2－2my －2a ＝0∴⎩⎨⎧-==+ay y m y y 222121①设直线PR 与x 轴交于点M(b,0)，则可设直线PR 方程为x ＝ny ＋b,并设R(x3,y3)，同理可知，⎩⎨⎧-==+by y n y y 223131②--7分由①、②可得32y b y a=由题意，Q 为线段RT 的中点，∴y3＝2y2，∴b=2a又由（Ⅰ）知，y1y2＝－4，代入①，可得－2a ＝－4∴a ＝2．故b ＝4．∴831-=y y ∴3123123124)(1||1|PR |y y y y n y y n -+⋅+=-+=2481222≥+⋅+=n n .当n=0，即直线PQ 垂直于x 轴时|PR|取最小值245.参考答案：解：(1)2)1(ln )()1)(ln ()(++-+++='x x a x x x x ax x f 由题设21)1(='f ，2142)1(=+∴a 11=+∴a ，0=∴a .(2)1ln )(+=x xx x f ,),1(+∞∈∀x ，()(1)f x m x ≤-，即1ln ()x m x x≤-设1()ln ()g x x m x x =--，即0)(),,1(≤+∞∈∀x g x .22211()(1)mx x mg x m x x x -+-'=-+=---6分①若0,()0m g x '≤>，0)1()(=≥g x g ，这与题设0)(≤x g 矛盾.----8分②若0m >方程20mx x m -+-=的判别式214m∆=-当0≤∆，即12m ≥时，0)(≤'x g .)(x g ∴在)(0,+∞上单调递减，0)1()(=≤∴g x g ，即不等式成立.----9分当102m <<时，方程20mx x m -+-=，其根1102x m -=>，1112x m +=>，当0)(),,1(2>'∈x g x x ,)(x g 单调递增，0)1()(=>g x g ，与题设矛盾.综上所述，12m ≥.--------10分(3)由(2)知,当1>x 时,21=m 时,11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭成立.不妨令*21,21k x k N k +=∈-，则221121214ln212212141k k k k k k k k ++-⎛⎫<-= ⎪--+-⎝⎭，()()*21[ln 21ln 21]441k k k k N k +--<∈-11()()()()()22211ln 3ln1441112ln 5ln 344211ln 21ln 21,441n n n n ⎧-<⎪⨯-⎪⎪-<⎪⨯-⎨⎪⎪⎪+--<⎪⨯-⎩ --12分累加可得*211ln(21).().441ni i n n N i =+<∈-∑*21).41ni i n N i =<∈-∑6.解(1)∵B ＋C ＝π－A ，即B ＋C 2＝π2－A2，由4sin2B ＋C 2－cos2A ＝72，得4cos2A 2－cos2A ＝72，即2(1＋cosA)－(2cos2A －1)＝72，整理得4cos2A －4cosA ＋1＝0，即(2cosA －1)2＝0.∴cos A ＝12，又0°<A<180°，∴A ＝60°.(2)由A ＝60°，根据余弦定理cosA ＝b2＋c2－a22bc，即b2＋c2－a22bc ＝12，∴b2＋c2－bc ＝3，①又b ＋c ＝3，②∴b2＋c2＋2bc ＝9.③①－③整理得：bc ＝2.④＝1，＝2，＝2，＝1.。

2023-2024学年全国高中高考专题数学人教A版高考真卷(含解析)

2023-2024学年全国高考专题数学高考真卷考试总分：120 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、选择题（本题共计 4 小题，每题 4 分，共计16分）1. 已知集合＝，那么下列表示正确的是（）A.B.C.D.2. 在一项调查中有两个变量（单位：千元）和（单位：），如图是由这两个变量近年来的取值数据得到的散点图，那么适宜作为关于的回归方程类型的是( )A.B.C.D.3. 已知函数，则的最大值为( )A.B.C.D.A {0,1,2}0⊆A0∈A{1}∈A{0,1,2}Ax y t 8y x y=a +bxy=c +d x−√y=m +nx 2y=p +q (q >0)e xf (x)=x sin 2sin x +2f (x)−2−11(+−2)=022−−−−−√4. 方程表示的曲线是( )A.一个圆和一条直线B.一个圆和一条射线C.一个圆D.一条直线卷II （非选择题）二、填空题（本题共计 11 小题，每题 4 分，共计44分）5. 设，则不等式的解集为________．6. 已知向量与向量的夹角为，若且，则的值为________.7. 已知是等比数列，＝，＝，则数列前项的和为________．8. 已知点在直线＝，则＝________．9. 若，，则的值域是________．（请用区间表示）10. 已知复数＝，＝（为虚数单位），且是实数，则实数的值为________．11. 若圆的半径为，则________．12. 在中，角，，的对边分别为，，．若，则________．13. 数据，，，，，，，的第百分位数是________．14. 的展开式中的系数为________．（用数字作答）15. 已知三棱锥的三条侧棱都相等，顶点在底面上的射影为，则是的________心．(+−2)=0x 2y 2x −3−−−−−√x ∈R |x −3|<1a →b →120∘=+c →a →b →⊥c →a →||a →||b →{}a n a 22a 5{}a n 5P(3cos θ,sin θ)l :x +3y 1sin 2θf(x)=2x −5x +3x ∈[1,4)f (x)z 16+2i z 21+ai i +z 1a +−4x −2y +F =0x 2y 23F =△ABC A B C a b c b sin B +c sin C =a sin A A =10，1097654，32280(x −2)6x 3P −ABC P ABC O O △ABC三、解答题（本题共计 4 小题，每题 15 分，共计60分）16. 如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，＝，是的中点．Ⅰ证明：平面；Ⅱ求二面角的余弦值；Ⅲ若点在线段（不包含端点）上，且直线平面，求线段的长．17. 已知是定义域为的奇函数，当时，＝．（1）求；（2）求的解析式．18. （阅读题）在考察野生动物时，常常需要了解野生动物种群的大小，一种常用的方法是，先捕捉一定数量的动物，做上记号（假定记号不会消失），放回到原群体中，过适当时间后，再捕捉第二个样本，统计其中有标记的动物数，最后根据以上资料就可以估计该种群的大小．它的原理是：在捕捉第二个样本时，捉到有标记的动物数是一个服从超几何分布的随机变量，依据超几何分布的期望，就可以估计该种群的大小．现有某野生动物研究小组在山区随机捕捉了只山猫，做上记号后放回山里，一个月后他们又在该山区捕捉了只山猫，发现其中有只有记号．试估计该山区山猫种群的数量． 19. 已知函数在点处的切线与轴平行．（1）求实数，的值；（2）证明：．P −ABCD ABCD PD ⊥ABCD PD DC E PC ()PA //BDE ()B −DE −C ()F PB PB ⊥DEF DF f(x)R x >0f(x)−24x f(2)+f(−1)f(x)X 40202f(x)=ax −ln(x +b)(1,1)x a b >(n ∈N,n ≥2)∑k=2n1k −f(k)3−n −2n 2n(n +1)参考答案与试题解析2023-2024学年全国高考专题数学高考真卷一、选择题（本题共计 4 小题，每题 4 分，共计16分）1.【答案】B【考点】元素与集合关系的判断【解析】直接由查元素与集合，集合与集合间的关系逐一核对四个选项得答案．【解答】∵集合＝，∴．2.【答案】B【考点】散点图【解析】散点图呈曲线，排除选项，且增长速度变慢，排除．选项，故选【解答】解：散点图呈曲线，故排除选项；又因变量的增长速度变慢，故排除，选项.故选.3.【答案】D【考点】三角函数的最值A {0,1,2}0∈A 4C D BA C D B由三角函数的有界性得：设，则，由“对勾函数”的单调性得：，在为减函数，在为增函数，可得结果．【解答】解：设，则，则，设.由“对勾函数”的性质可得：在上单调递减，在上单调递增.又，，所以，所以的最大值为.故选.4.【答案】D【考点】曲线与方程【解析】将方程等价变形，即可得出结论．【解答】解：由，可化为或，∵不成立，∴，∴方程表示的曲线是一条直线．故选．二、填空题（本题共计 11 小题，每题 4 分，共计44分）5.【答案】【考点】绝对值不等式t =sin x +2t ∈[1,3]g(t)==t +−4(1≤t ≤3)(t −2)2t4t [1,2)(2,3]t =sin x +2t ∈[1,3]x =sin 2(t −2)2g(t)==t +−4(1≤t ≤3)(t −2)2t 4t g(t)[1,2)(2,3]g(1)=1g(3)=13g =g(1)=1(t)max f (x)1D (+−2)=0x 2y 2x −3−−−−−√=0x −3−−−−−√+−2=0(x −3≥0)x 2y 2+−2=0(x −3≥0)x 2y 2x −3=0(+−2)=0x 2y 2x −3−−−−−√D (2,4)由含绝对值的性质得，由此能求出不等式的解集．【解答】解：∵，不等式，∴，解得．∴不等式的解集为．故答案为：．6.【答案】【考点】平面向量数量积的运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】【考点】等比数列的前n 项和【解析】根据题意，设等比数列的公比为，由等比数列的通项公式求出和的值，结合等比数列的前项和公式计算可得答案．【解答】根据题意，设等比数列的公比为，若＝，＝，则＝＝＝＝＝，所以前项的和＝＝，−1<x −3<1|x −3|<1x ∈R |x −3|<1−1<x −3<12<x <4|x −3|<1(2,4)(2,4)12{}a n q q a 1n {}a n q a 22a 4q 14{}a n 5S 28.【答案】【考点】二倍角的三角函数【解析】由题意可得＝，两边平方，可得＝的值．【解答】∵点在直线＝，∴＝，两边平方，可得＝，9.【答案】【考点】函数的值域及其求法【解析】利用分离参数法即可求解．【解答】解：若，，可得，∵，∴，∴.故答案为：.10.【答案】−893cos θ+3sin θ1sin 2θ2sin θcos θP(3cos θ,sin θ)l :x +3y 13cos θ+3sin θ1sin 2θ2sin θcos θ=−89[−,)3437f(x)=2x −5x +3x ∈[1,4)f (x)==2−2(x +3)−11x +311x +3x ∈[1,4)<≤11711x +3114f(x)∈[−,)3437[−,)34372【考点】复数的运算【解析】由已知求得，再由虚部为求解值．【解答】∵＝，＝，∴＝＝，由题意，＝，即＝．11.【答案】【考点】圆的一般方程【解析】此题暂无解析【解答】解：∵圆的半径为，∴，解得．故答案为：．12.【答案】【考点】余弦定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答13.【答案】+z 10a z 16+2i z 21+ai +z 1(6+2i)+(1−ai)7+(2−a)i 2−a 0a 2−4+−4x −2y +F =0x 2y 23=312(−4+(−2−4F )2)2−−−−−−−−−−−−−−−−√F =−4−4【考点】众数、中位数、平均数、百分位数【解析】无【解答】解：将数据从小到大排列：，则，故第百分位数为．故答案为：．14.【答案】【考点】二项式定理的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：的通项公式为，令，则，∴的系数为.故答案为：.15.【答案】外【考点】棱锥的结构特征【解析】利用线面垂直的性质定理、勾股定理、三角形外心的性质即可得出．【解答】9.52，2，3，4，5，6，7，9，10，10i =10×80%=880=9.59+1029.5−160(x −2)6=(−2T r+1C r 6x6−r )r 6−r =3r =3x 3(−2=−160C 36)3−160ABC O如图所示，∵顶点在底面上的射影为，∴底面．∴＝＝＝．，，，∵＝＝．∴＝＝．∴是的外心．三、解答题（本题共计 4 小题，每题 15 分，共计60分）16.【答案】（1）证明：连接＝，连接，∵底面为正方形，∴为对角线，的中点，又是中点，∴，∵在平面内，不在平面内，∴平面；（2）以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设＝＝，则，，，，则，设平面的一个法向量为，则，可取，又平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，则，故二面角的余弦值为；Ⅲ假设上存在点，使得平面，设，则＝，∴，∴，由得＝，解得，∴，．P ABC O OP ⊥ABC ∠POA ∠POB ∠POC 90∘OA =P −O A 2P 2−−−−−−−−−−√OB =P −O B 2P 2−−−−−−−−−−√OC =P −O C 2P 2−−−−−−−−−−√PA PB PC OA OB OC O △ABC AC ∩BD O OE ABCD O AC BD E PC OE //PA OE BDE PA BDE OE //BDE D DA DC DP x y z PD DC 2A(2,0,0)P(0,0,2)E(0,1,1)B(2,2,0)=(0,1,1),=(2,2,0)DE →DB →BDE =(x,y,z)m ⋅=y +z =0m DE →⋅=2x +2y =0m DB →=(1,−1,1)m DEC =(2,0,0)DA →B −DE −C θcos θ=cos <,>==m DA →⋅m DA →||||m DA →3–√3B −DE −C 3–√3()PB F PB ⊥DEF =λ(0<λ<1),F(x,y,z)PF →PB →(x,y,z −2)λ(2,2,−2)F(2λ,2λ,2−2λ)=(2λ,2λ,2−2λ),=(2,2,−2)DF →PB →⋅=0PB →DF →4λ+4λ−2(2−2λ)0λ=13F(,,)232343||==DF →(+(+(23)223)243)2−−−−−−−−−−−−−−−−√26–√3【考点】直线与平面平行二面角的平面角及求法【解析】Ⅰ利用中位线定理可得，进而得证；Ⅱ建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用向量的夹角公式得解；Ⅲ假设存在，并设出的坐标，根据题设建立方程，解出即可得出结论．【解答】（1）证明：连接＝，连接，∵底面为正方形，∴为对角线，的中点，又是中点，∴，∵在平面内，不在平面内，∴平面；（2）以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设＝＝，则，，，，则，设平面的一个法向量为，则，可取，又平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，则，故二面角的余弦值为；Ⅲ假设上存在点，使得平面，设，则＝，∴，∴，()OE //PA ()()F AC ∩BD O OE ABCD O AC BD E PC OE //PA OE BDE PA BDE OE //BDE D DA DC DP x y z PD DC 2A(2,0,0)P(0,0,2)E(0,1,1)B(2,2,0)=(0,1,1),=(2,2,0)DE →DB →BDE =(x,y,z)m ⋅=y +z =0m DE →⋅=2x +2y =0m DB →=(1,−1,1)m DEC =(2,0,0)DA →B −DE −C θcos θ=cos <,>==m DA →⋅m DA →||||m DA →3–√3B −DE −C 3–√3()PB F PB ⊥DEF =λ(0<λ<1),F(x,y,z)PF →PB →(x,y,z −2)λ(2,2,−2)F(2λ,2λ,2−2λ)=(2λ,2λ,2−2λ),=(2,2,−2)DF →PB →=0→→=1由得＝，解得，∴，．17.【答案】∵是定义域为的奇函数，当时，＝，∴＝＝＝，设，则，∵时，＝，且＝，＝＝，＝，又＝，故．【考点】函数解析式的求解及常用方法函数奇偶性的性质与判断【解析】（1）根据已知可知＝，代入即可求解．（2）设，则，根据时，＝，及＝，＝即可求解函数解析式．【解答】∵是定义域为的奇函数，当时，＝，∴＝＝＝，设，则，∵时，＝，且＝，＝＝，＝，又＝，⋅=0PB →DF →4λ+4λ−2(2−2λ)0λ=13F(,,)232343||==DF →(+(+(23)223)243)2−−−−−−−−−−−−−−−−√26–√3f(x)R x >0f(x)−24x f(2)+f(−1)f(2)−f(1)14−212x <0−x >0x >0f(x)−24x f(x)−f(x)f(−x)−f(x)−24−x f(x)2−4−x f(0)0f(x)= −2,x >04x 0,x =02−,x <04−x f(2)+f(−1)f(2)−f(1)x <0−x >0x >0f(x)−24x f(x)−f(x)f(0)0f(x)R x >0f(x)−24x f(2)+f(−1)f(2)−f(1)14−212x <0−x >0x >0f(x)−24x f(x)−f(x)f(−x)−f(x)−24−x f(x)2−4−x f(0)0(x)=−2,x >0x故．18.【答案】，其中，为指定样品数，为样品容量，为指定样本总数，为总体中的个体数．，∴，解得＝．估计该山区山猫种群的数量为只．【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】根据，可得，即可得出．【解答】，其中，为指定样品数，为样品容量，为指定样本总数，为总体中的个体数．，∴，解得＝．估计该山区山猫种群的数量为只．19.【答案】解：（1）∵，又由已知得①②由①，②解得：，（2），设当时有，设，则恒成立即在上是增函数，∴等价于，∴，∴．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程f(x)= −2,x >04x 0,x =02−,x <04−x X ∼H(n,M,N)X n M N E(X)=nM N 40=2n 20n 400400X ∼H(n,M,N)E(X)=nM NX ∼H(n,M,N)X n M N E(X)=nM N 40=2n 20n 400400f'(x)=a −1x +b f'(1)=0f(1)=a −ln b =1a =1b =0k −f(k)=ln k =ln n ，=，=−=b n T n 3−n −2n 2n(n +1)a n T n T n−14−1n 2n ≥2=>0，=ln n >01a n −1n 24b n h(x)=−ln x(x ≥2)−1x 24h'(x)=−=>0x 21x −2x 22h(x)[2,+∞)>b n a n −≥−=h(2)=−ln 2>01a n 1b n 1a 21b 234++...+>++...+=1ln 21ln 31ln n 43484−1n 23−n −2n 2n(n +1)>(n ∈N,n ≥2)∑k=2n 1k −f(k)3−n −2n 2n(n +1)数列与函数的综合【解析】（1）求导数，利用，，即可求实数，的值；（2），设，则恒成立，即在上是增函数，等价于，即可证明结论．【解答】解：（1）∵，又由已知得①②由①，②解得：，（2），设当时有，设，则恒成立即在上是增函数，∴等价于，∴，∴．f'(1)=0f(1)=a −ln b =1a b k −f(k)=ln k h(x)=−ln x(x ≥2)−1x 24h'(x)=−=>0x 21x −2x 22h(x)[2,+∞)>b n a n −≥−=h(2)=−ln 2>01a n 1b n 1a 21b 234f'(x)=a −1x +b f'(1)=0f(1)=a −ln b =1a =1b =0k −f(k)=ln k =ln n ，=，=−=b n T n 3−n −2n 2n(n +1)a n T n T n−14−1n 2n ≥2=>0，=ln n >01a n −1n 24b n h(x)=−ln x(x ≥2)−1x 24h'(x)=−=>0x 21x −2x 22h(x)[2,+∞)>b n a n −≥−=h(2)=−ln 2>01a n 1b n 1a 21b 234++...+>++...+=1ln 21ln 31ln n 43484−1n 23−n −2n 2n(n +1)>(n ∈N,n ≥2)∑k=2n 1k −f(k)3−n −2n 2n(n +1)。

2023年新课标I卷数学高考真题(文字版无答案)

2023 年普通高等学校招生全国统一考试数学本试卷共 4 页，22 小题，满分 150 分。

考试用时120 分钟注意事项:1.答卷前，考生务必用黑色字迹笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答卡上用2 笔试(A)在答卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

作答选择题时，选出每小题等案后，用 2B 笔把答卡上对应题目选项的答案信息点涂黑:如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，符案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准便用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题爷的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题: 本大题共8 小题, 每小题 5 分, 共40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的1. 已知集合M={−2,−1,0,1,2},N={x∣x2−x−6≥0}, 则M∩N=A. {−2,−1,0,1}B. {0,1,2}C. {−2}D. {2}, 则z−z‾=2. 已知z=1−i2+2iA. −iB. iC. 0D. 13. 已知向量a=(1,1),b=(1,−1). 若(a+λb)⊥(a+μb), 则A. λ+μ=1B. λ+μ=−1C. λμ=1D. λμ=−14. 设函数f(x)=2x(x−a)在区间(0,1)单调递减, 则a的取值范围是A. (−∞,−2]B. [−2,0)C. (0,2]D. [2,+∞)5. 设椭圆C1:x2a2+y2=1(a>1),C2:x24+y2=1的离心率分别为e1,e2. 若e2=√3e1, 则a=A. 2√33B. √2C. √3D. √66. 过点(0,−2)与圆x2+y2−4x−1=0相切的两条直线的夹角为α, 则sinα=A. 1B. √154C. √104D. √647. 记S n为数列{a n}的前n项和, 设甲: {a n}为等差数列; 乙: {S nn}为等差数列, 则A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8. 已知sin(α−β)=13,cosαsinβ=16, 则cos(2α+2β)=A. 79B. 19C. −19D. −79二、选择题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共20 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 5 分, 部分选对的得 2 分, 有选错的得0 分9. 有一组样本数据x1,x2,⋯,x6, 其中x1是最小值, x6是最大值, 则A. x2,x3,x4,x5的平均数等于x1,x2,⋯,x6的平均数B. x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,⋯,x6的中位数C. x2,x3,x4,x5的标准差不小于x1,x2,⋯,x6的标准差D. x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,⋯,x6的极差10. 噪声污染问题越来越受到重视, 用声压级来度量声音的强弱, 定义声压级L p= 20×lg p, 其中常数p0(p0>0)是听觉下限阑值, p是实际声压. 下表为不同声p0源的声压级:已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1,p2,p3, 则A. p1≥p2B. p2>10p3C. p3=100p0D. p1≤100p211. 已知函数f(x)的定义域为R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y), 则A. f(0)=0B. f(1)=0C. f(x)是偶函数D. x=0为f(x)的极小值点12. 下列物体中, 能够被整体放入核长为1 (単位: m) 的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有A. 直径为0.99m的球体B. 所有棱长均为1.4m的四面体C. 底面直径为0.01m, 高为1.8m的圆柱体D. 底面直径为1.2m, 高为0.01m的圆柱体三、填空题: 本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分.13. 某学校开设了 4 门体育类选修课和 4 门艺术类选修课, 学生需从这 8 门课中选修 2 门或 3 门课, 并且每类选修课至少选修 1 门, 则不同的选课方案共有种 (用数字作答).14. 在正四棱台 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中, AB =2,A 1B 1=1,AA 1=√2, 则该棱台的体积为15. 已知函数 f (x )=cosωx −1(ω>0) 在区间 [0,2π] 有且仅有 3 个零点, 则 ω 的取值范围是 16. 已知双曲线 C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的左、右焦点分别为 F 1,F 2. 点 A 在C 上. 点 B 在 y 轴上, F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−23F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 则C 的离心率为四、解答题: 本大题共 6 小题, 共 70 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知在 △ABC 中, A +B =3C,2sin (A −C )=sinB .(1) 求 sinA ;（2）设 AB =5, 求 AB 边上的高.18. 如图, 在正四棱杜 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中, AB =2,AA 1=4. 点 A 2,B 2,C 2,D 2 分别在棱 AA 1,BB 1,CC 1,DD 1 上, AA 2=1, BB 2=DD 2=2,CC 2=3.(1) 证明: B 2C 2//A 2D 2;（2）点 P 在棱 BB 1 上, 当二面角 P −A 2C 2−D 2 为 150∘ 时, 求B 2P .19. 已知函数 f (x )=a (e x +a )−x .(1) 讨论 f (x ) 的単调性;（2）证明: 当 a >0 时, f (x )>2lna +32.20. 设等差数列 {a n } 的公差为 d , 且 d >1, 令 b n =n 2+n a n , 记 S n ,T n 分别为数列{a n }, {b n } 的前 n 项和.(1) 若 3a 2=3a 1+a 3,S 3+T 3=21, 求 {a n } 的通项公式;( 2 ) 若 {b n } 为等差数列, 且 S 99−T 99=99, 求 d .21. 甲乙两人投篮, 每次由其中一人投篮, 规则如下: 若命中则此人继续投篮, 若末命中则换为对方投篮. 无论之前投篮情况如何, 甲每次投篮的命中率均为 0.6 , 乙每次投篮的命中率均为 0.8 , 由抽签决定第一次投篮的人选, 第一次投篮的人是甲, 乙的概率各为 0.5 .( 1 ) 求第 2 次投篮的人是乙的概率;( 2 ) 求第 i 次投篮的人是甲的概率;( 3 ) 已知: 若随机变量 X i 服从两点分布, 且 P (X i =1)=1−P (X i =0)=q i ,i =1,2,⋯,n , 则 E (∑X i n i=1)=∑q i n i=1, 记前 n 次 (即从第 1 次到第 n 次投篮) 中甲投篮的次数为 Y , 求 E (Y ).22. 在直角坐标系 xOy 中, 点 P 到 x 轴的距离等于点 P 到点 (0,12) 的距离,记动点P的轨迹为W.(1) 求W的方程;( 2 ) 已知矩形ABCD有三个顶点在W上, 证明: 矩形ABCD的周长大于3√3.。

普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(新课标卷,解析版)

2011年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（新课标卷，解析版）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上．．．．．作答无效。

．．．．． 3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{}{}0,1,2,3,4,1,3,5,,M N P M N ===则P 的子集共有（A ）2个（B ）4个（C ）6个（D ）8个解析：本题考查交集和子集概念，属于容易题。

显然P={}3,1，子集数为22=4故选B（2）复数512ii=- （A ）2i - （B ）12i - （C ）2i -+ （D ）12i -+ 解析：本题考查复数的运算，属容易题。

解法一：直接法512i i =-()()()i i i i i +-=+-+22121215，故选C 解法二：验证法验证每个选项与1-2i 的积，正好等于5i 的便是答案。

（3）下列函数中，即是偶数又在()0,+∞单调递增的函数是 A. 3y x = B. 1y x =+ C. 21y x =-+ D. 2xy -=解析：本题考查函数的奇偶性和单调性，属于简单题可以直接判断：A 是奇函数，B 是偶函数，又是()0,+∞的增函数，故选B 。

(4).椭圆221168x y +=的离心率为A.13 B. 12C. 3D. 2解析;本题考查椭圆离心率的概念，属于容易题，直接求e=22422==a c ,故选D 。

普通高等学校招生全国统一考试数学文解析版

普通高等学校招生全国统一考试数学（文）解析版一、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合A={x ∈R|3x+2＞0} B={x ∈R|（x+1）(x3)＞0} 则A∩B=（） A ．（∞，1）B ．（1，23）C ．（23,3）D ． (3,+∞) 【考点】集合的运算【难度】1 【答案】D 【解析】因为32}023|{->⇒>+∈=x x R x A ，利用二次不等式可得1|{-<=x x B 或}3>x 画出数轴易得：}3|{>=x x B A ．故选D ． 2．在复平面内，复数103ii+对应的点的坐标为（） A ． (1 ,3) B ．(3,1) C ．(1,3) D ．(3 ,1) 【考点】复数综合运算【难度】1 【答案】A 【解析】i ii i i i i i i i i 3110301091030)3)(3()3(1031022+=+=--=-+-=+，实部为1，虚部为3，对应复平面上的点为(1,3)，故选A ． 3．设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤20,20y x ，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（）（A ）4π（B ）22π-（C ）6π（D ）44π-【考点】几何概型【难度】1 【答案】D 【解析】题目中⎩⎨⎧≤≤≤≤2020y x 表示的区域如图正方形所示，而动点D 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此4422241222ππ-=⨯⋅-⨯=P ，故选D 。

4．执行如图所示的程序框图，输出S 值为（）（A ）2（B ）4（C ）8（D ）16 【考点】算法和程序框图【难度】1 【答案】C 【解析】0=k ，11=⇒=k s ，21=⇒=k s ，22=⇒=k s ，8=s ，循环结束，输出的s 为8，故选C 。

普通高等学校招生全国统一考试数学试题文(辽宁卷,含解析)新人教A版[1]

普通高等学校招生全国统一考试数学试题文（辽宁卷，含解析）新人教A版[1]第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．函数1sin32y x⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期是（）Ａ．π2Ｂ．πＣ．2πＤ．4π2．设集合{}12A=，，则满足{}123A B=，，的集合B的个数是（）Ａ．1 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．83．设() f x是R上的任意函数，下列叙述正确的是（）Ａ．()()f x f x-是奇函数Ｂ．()()f x f x-是奇函数Ｃ．()()f x f x+-是偶函数Ｄ．()()f x f x--是偶函数()F x-的关系不能确定，即函数()()()F x f x f x=-的奇偶性不确定，4．1234566666C C C C C ++++的值为（）Ａ．61 Ｂ． 62Ｃ．63Ｄ．645．方程22520x x -+=的两个根可分别作为（）Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率Ｂ．两抛物线的离心率Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率Ｄ．两椭圆的离心率6．给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行 ②垂直于同一平面的两个平面互相平行 ③若直线12l l ，与同一平面所成的角相等，则12l l ，互相平行④若直线12l l ，是异面直线，则与12l l ，都相交的两条直线是异面直线其中假命题的个数是（）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3Ｄ． 47．双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（）Ａ．0003x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩，，≥≥≤≤ Ｂ．0003x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩，，≥≤≤≤ Ｃ．0003x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩，，≤≤≤≤ Ｄ．0003x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩，，≤≥≤≤8．设⊕是R 上的一个运算，A 是V 的非空子集，若对任意a b A ∈，，有a b A ⊕∈，则称A 对运算⊕封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算都封闭的是（）Ａ．自然数集Ｂ．整数集Ｃ．有理数集Ｄ．无理数集9．ABC△的三内角AB C ，，所对边的长分别为a b c ，，．设向量p ()=+，a c b ，q ()=--，b a c a ．若p q ∥，则角C 的大小为（）Ａ．π6 Ｂ．π3 Ｃ． π2 Ｄ．2π310．已知等腰ABC △的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是（）Ａ．32Ｂ．3Ｃ．158 Ｄ．15711．与方程221(0)x x y e e x =-+≥的曲线关于直线y x =对称的曲线的方程为（）Ａ．ln(1)y x =+ Ｂ．ln(1)y x =- Ｃ．ln(1)y x =-+Ｄ．ln(1)y x =--12．曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y n n n +=<<--的（）Ａ．离心率相等Ｂ．焦距相等Ｃ．焦点相同Ｄ．准线相同第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上） 13．方程22log (1)2log (1)x x -=-+的解为________．【答案】5【解析】试题分析：22log (1)2log (1)x x -=-+⇔224log (1)log 1x x -=+即411x x -=+解得5x =±（负值舍去）14．设0()ln 0x e x g x x x ⎧=⎨>⎩ ，，，≤则12g g ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_____．15．如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P ABCDEF-，则此正六棱锥的侧面积是______．16．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1，2，3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1，2号中至少有1名新队员的排法有____种．（以数作答）三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分12分）已知函数22()sin2sin cos3cosf x x x x x x=++∈，R，求（1）函数()f x的最大值及取得最大值的自变量x的集合；（2）函数()f x的单调增区间．18．（本小题满分12分）甲、乙两班各派2名同学参加年级数学竞赛，参赛同学成绩及格的概率都为0.6，且参赛同学的成绩相互之间没有影响，求：（1）甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩及格的概率；（2）甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率．【答案】（1）0.2304；（2）0.9744．【解析】19．（本小题满分12分）已知正方形ABCD ，E F ，分别是边AB CD ，的中点，将ADE △沿DE 折起，如图所示，记二面角A DE C --的大小为θ（0πθ<<）．（1）证明BF ∥平面ADE（2）若ACD △为正三角形，试判断点A 在平面BCDE 内的射影G 是否在直线EF 上，证明你的结论，并求角θ的余弦值．5AH ∴=20．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为22()=-+∈R ，n S pn n q p q ，n ∈+N ．（1）求q 的值；（2）若1a 与5a 的等差中项为18，nb 满足22log n a b=，求数列{}n b 的前n 项和．21．（本小题满分12分）已知函数321()()(2)3f x ax a d x a d x d =+++++，2()2(2)4=++++g x ax a d x a d ，其中00a d >>，，设0x 为()f x 的极小值点，1x 为()g x 的极值点，23()()0g x g x ==，并且23x x <，将点001123(())(())(0)(0)，，，，，，，x f x x g x x x 依次记为AB C D ，，，．（1）求x 的值；（2）若四边形APCD 为梯形且面积为1，求a d ，的值．22．（本小题满分14分）已知点112212()()(0)A x yB x y x x ≠，，，是抛物线22(0)y px p =>上的两个动点，O 是坐标原点，向量OA OB ，满足||||OA OB OA OB =+-，设圆C 的方程为221212()()0x y x x x y y y +-+-+=．（1）证明线段AB 是圆C 的直径；（2）当圆C 的圆心到直线20x y -=的距离的最小值为25时，求p 的值．【答案】（1）详见解析；（2） 2.p = 【解析】221(2)y p p =+221212121(2)42y y y y y y p p =++-。

普通高等学校招生全国统一考试安数学卷.doc

普通高等学校招生全国统一考试安数学卷数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射B A f →:把集合A 中的元素n 映射到集合B中的元素n n +2，则在映射f 下，象20的原象是（A ） 2（B ） 3（C ） 4（D ） 5（2）在复平面内，把复数i 33-对应的向量按顺时针方向旋转3π，所得向量对应的复数是（A ） 23（B ） i 32-（C ）i 33- （D ） 3i 3+（3）一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体对角线的长是（A ） 23（B ） 32（C ） 6（D ）6（4）已知βαsin sin >，那么下列命题成立的是（A ）若α、β是第一象限角，则βαcos cos > （B ）若α、β是第二象限角，则βαtg tg > （C ）若α、β是第三象限角，则βαcos cos > （D ）若α、β是第四象限角，则βαtg tg > （5）函数x x y cos -=的部分图象是（6）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：某人一月份应交纳此项税款26．78元，则他的当月工资、薪金所得介于（A ） 800~900元（B ） 900~1200元（C ） 1200~1500元（D ） 1500~2800元（7）若1>>b a ，P =b a lg lg ⋅，Q =()b a lg lg 21+，R =⎪⎭⎫ ⎝⎛+2lg b a ，则（A ） R <P <Q （B ） P <Q <R （C ） Q <P <R（D ） P <R <Q（8）以极坐标系中的点()1 , 1为圆心，1为半径的圆的方程是（A ） ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4cos 2πθρ（B ） ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4sin 2πθρ（C ） ()1cos 2-=θρ（D ） ()1sin 2-=θρ（9）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（A ）ππ221+ （B ）ππ441+ （C ）ππ21+ （D ）ππ241+ （10）过原点的直线与圆03422=+++x y x 相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（A ）x y 3= （B ） x y 3-= （C ） x y 33=（D ） x y 33-= （11）过抛物线()02>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ的长分别是p 、q ，则qp 11+等于（A ） a 2（B ）a21 （C ） a 4 （D ）a4 （12）如图，OA 是圆锥底面中心O 到母线的垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为（A ）321arccos（B ）21arccos（C ）21arccos （D ）421arccos第II 卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线．（13）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛．3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_____种（用数字作答）．（14）椭圆14922=+y x 的焦点为1F 、2F ，点P 为其上的动点，当21PF F ∠为钝角时，点P横坐标的取值范围是________．（15）设{}n a 是首项为1的正项数列，且()011221=+-+++n n n n a a na a n （n =1，2，3，…），则它的通项公式是n a =________．（16）如图，E 、F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B B C C的中心，则四边形E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是_______．（要求：把可能的图的序号都．填上）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）已知函数1cos sin 23cos 212++=x x x y ，R ∈x ．（I ）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（II ）该函数的图象可由()R ∈=x x y sin 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？如图，已知平行六面体ABCD -1111D C B A 的底面ABCD 是菱形，且CB C 1∠=CD C 1∠=BCD ∠= 60．（I ）证明：C C 1⊥BD ；（II ）假定CD =2，1CC =23，记面BD C 1为α，面CBD 为β，求二面角 βα--BD 的平面角的余弦值；（III ）当1CC CD的值为多少时，能使⊥C A 1平面BD C 1？请给出证明．设函数()ax x x f -+=12，其中0>a ．（I ）解不等式()1≤x f ；（II ）求a 的取值范围，使函数()x f 在区间[)+∞,0上是单调函数．（I ）已知数列{}n c ，其中n n n c 32+=，且数列{}n n pc c -+1为等比数列，求常数p ；（II ）设{}n a 、{}n b 是公比不相等的两个等比数列，n n n b a c +=，证明数列{}n c 不是等比数列．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．（Ⅰ）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P =()t f ；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q =()t g ；（Ⅱ）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/210kg ，时间单位：天）如图，已知梯形ABCD 中CD AB 2=，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点．当4332≤≤λ时，求双曲线离心率e 的取值范围．普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分．（1）C （2）B （3）D （4）D （5）D （6）C （7）B （8）C （9）A （10）C （11）C （12）D 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分．（13）252 （14）－5353<<x （15）n1（16）②③ 三、解答题（17）本小题主要考查三角函数的图象和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力．满分12分．解：（Ⅰ） y =21cos 2x ＋23sin x cos x ＋1=41（2cos 2x －1）＋41＋43（2sin x cos x ）＋1=41cos2x ＋43sin2x ＋45=21（cos2x ·sin 6π＋sin2x ·cos 6π）＋45=21sin （2x ＋6π）＋45 ——6分y 取得最大值必须且只需2x ＋6π=2π＋2k π，k ∈Z ，即 x =6π＋k π，k ∈Z ．所以当函数y 取得最大值时，自变量x 的集合为 {x |x =6π＋k π，k ∈Z } ——8分（Ⅱ）将函数y =sin x 依次进行如下变换：（i ）把函数y =sin x 的图象向左平移6π，得到函数y =sin （x ＋6π）的图象；（ii ）把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到函数y =sin （2x＋6π）的图象；（iii ）把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到函数y =21sin （2x ＋6π）的图象；（iv ）把得到的图象向上平移45个单位长度，得到函数y =21sin （2x ＋6π）＋45的图象；综上得到函数y =21cos 2x ＋23sin x cos x ＋1的图象． ——12分（18）本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力，满分12分．（Ⅰ）证明：连结A 1C 1、AC 、AC 和BD 交于O ，连结C 1O ． ∵ 四边形ABCD 是菱形， ∴ AC ⊥BD ，BD =CD ．又∵∠BCC 1=∠DCC 1，C 1C= C 1C ， ∴ △C 1BC ≌△C 1DC ∴ C 1B =C 1D ， ∵ DO =OB∴ C 1O ⊥BD ， ——2分但AC ⊥BD ，AC ∩C 1O =O ， ∴ BD ⊥平面AC 1，又C 1C ⊂平面AC 1∴ C 1C ⊥BD ． ——4分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知AC ⊥BD ，C 1O ⊥BD ， ∴ ∠C 1OC 是二面角α—BD —β的平面角．在△C 1BC 中，BC =2，C 1C=23，∠BCC 1=60º， ∴ C 1B 2=22＋（23）2－2×2×23×cos60º=413——6分∵ ∠OCB=30º， ∴ OB=21BC=1． ∴C 1O 2= C 1B 2－OB 2=491413=-， ∴ C 1O =23即C 1O = C 1C ．作 C 1H ⊥OC ，垂足为H ． ∴ 点H 是OC 的中点，且OH =23，所以cos ∠C 1OC=O C OH 1=33． ——8分（Ⅲ）当1CC CD=1时，能使A 1C ⊥平面C 1BD 证明一： ∵1CC CD=1， ∴ BC =CD = C 1C ，又∠BCD=∠C 1CB=∠C 1CD ，由此可推得BD = C 1B = C 1D ．∴ 三棱锥C －C 1BD 是正三棱锥． ——10分设A 1C 与C 1O 相交于G ．∵ A 1 C 1∥AC ，且A 1 C 1∶OC =2∶1， ∴ C 1G ∶GO =2∶1．又C 1O 是正三角形C 1BD 的BD 边上的高和中线， ∴ 点G 是正三角形C 1BD 的中心， ∴ CG ⊥平面C 1BD ．即A 1C ⊥平面C 1BD ． ——12分证明二：由（Ⅰ）知，BD ⊥平面AC 1，∵ A 1 C ⊂平面AC 1，∴BD ⊥A 1 C ． ——10分当1CC CD=1时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同BD ⊥A 1 C 的证法可得BC 1⊥A 1C ，又BD ⊥BC 1=B ，∴ A 1C ⊥平面C 1BD ． ——12分（19）本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力．满分12分．解：（Ⅰ）不等式f （x ） ≤1即12+x ≤1＋ax ，由此得1≤1＋ax ，即ax ≥0，其中常数a ＞0．所以，原不等式等价于⎩⎨⎧≥+≤+.0,)1(122x ax x 即⎩⎨⎧≥+-≥.02)1(,02a x a x ——3分所以，当0＜a ＜1时，所给不等式的解集为{x |0212aax -≤≤}；当a ≥1时，所给不等式的解集为{x |x ≥0}． ——6分（Ⅱ）在区间[0，+∞]上任取x 1、x 2，使得x 1＜x 2． f （x 1）－f （x 2）=121+x －122+x －a （x 1－x 2） =1122212221+++-x x x x －a （x 1－x 2）=（x 1－x 2）（11222121++++x x x x －a ）． ——8分（ⅰ）当a ≥1时 ∵11222121++++x x x x <1∴11222121++++x x x x －a <0，又x 1－x 2<0，∴ f （x 1）－f （x 2）>0，即f （x 1）>f （x 2）．所以，当a ≥1时，函数f （x ）在区间),0[+∞上是单调递减函数． ——10分（ii ）当0<a <1时，在区间),0[+∞上存在两点x 1=0,x 2=212aa-，满足f （x 1）=1，f （x 2）=1，即f （x 1）=f （x 2），所以函数f （x ）在区间),0[+∞上不是单调函数．综上，当且仅当a ≤1时，函数f （x ）在区间),0[+∞上是单调函数． ——12分（20）本小题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力，满分12分．解：（Ⅰ）因为{c n +1－pc n }是等比数列，故有（c n +1－pc n ）2=（ c n +2－pc n+1）（c n －pc n －1），将c n =2n ＋3n 代入上式，得 [2n ＋1+3n ＋1－p （2n ＋3n ）]2=[2n ＋2+3n ＋2－p （2n +1＋3n +1）]·[2n +3n －p （2n －1＋3n －1）]， ——3分即[（2－p ）2n +（3－p ）3n ]2=[（2－p ）2n+1+（3－p ）3n+1][ （2－p ）2n －1+（3－p ）3n －1]，整理得61（2－p ）（3－p ）·2n ·3n =0，解得p =2或p =3． ——6分（Ⅱ）设{a n }、{b n }的公比分别为p 、q ，p ≠q ，c n =a n +b n ．为证{c n }不是等比数列只需证22c ≠c 1·c 3．事实上，22c =（a 1p ＋b 1q ）2=21a p 2＋21b q 2＋2a 1b 1pq ，c 1·c 3=（a 1＋b 1）（a 1 p 2＋b 1q 2）= 21a p 2＋21b q 2＋a 1b 1（p 2＋q 2）．由于p ≠q ，p 2＋q 2>2pq ，又a 1、b 1不为零，因此≠22c c 1·c 3，故{c n }不是等比数列． ——12分（21）本小题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力，满分12分．解：（Ⅰ）由图一可得市场售价与时间的函数关系为 f （t ）=⎩⎨⎧≤<-≤≤-;300200,3002,2000300t t t t ，——2分由图二可得种植成本与时间的函数关系为 g （t ）=2001（t －150）2＋100，0≤t ≤300． ——4分（Ⅱ）设t 时刻的纯收益为h （t ），则由题意得 h （t ）=f （t ）－g （t ）即h （t ）=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+-≤≤++-3002002102527200120002175********t t t t t t ，， ——6分当0≤t ≤200时，配方整理得 h （t ）=－2001（t －50）2＋100，所以，当t =50时，h （t ）取得区间[0，200]上的最大值100；当200<t ≤300时，配方整理得 h （t ）=－2001（t －350）2＋100 所以，当t =300时，h （t ）取得区间[200，300]上的最大值87．5． ——10分综上，由100>87．5可知，h （t ）在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时t =50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大． ——12分（22）本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力，满分14分．解：如图，以AB 的垂直平分线为y 轴，直线AB 为x 轴，建立直角坐标系xoy ，则CD⊥y 轴．因为双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D 关于x 轴对称． ——2分依题意，记A （－c ，0），C （h c ，h ），E （x 0, y 0），其中c=21|AB |为双曲线的半焦距，h 是梯形的高．由定比分点坐标公式得x 0=λλ++-12cc = )1(2)2(+-λλc ， λλ+=10h y ．设双曲线的方程为12222=-by a x ，则离心率a ce =.由点C 、E 在双曲线上，将点C 、E 的坐标和ace =代入双曲线方程得 14222=-b h e ， ① 1112422222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-bh e λλλλ． ② ——7分由①式得 14222-=e bh ， ③ 将③式代入②式，整理得()λλ214442+=-e ，故2312+-=e λ． ——10分由题设4332≤≤λ得，43231322≤+-≤e ．解得107≤≤e ．所以双曲线的离心率的取值范围为]107[，． ——14分。