上海2013届高三理科数学最新试题精选(13份含16区二模)分类汇编7：立体几何

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上海2013届高三理科数学最新试题精选(13份含16区二模)分类汇编15：行列式

上海2013届高三理科数学最新试题精选（13份含16区二模）分类汇编15：行列式姓名____________班级___________学号____________分数______________一、填空题错误！未指定书签。

．（上海徐汇、松江、金山区2013年高考二模理科数学试题）已知函数[]13(),8,64f x x x =∈的值域为A ,集合43|01x x B x x⎧-⎫=<⎨⎬⎩⎭,则A B =_______. 错误！未指定书签。

．（四区（静安杨浦青浦宝山）联考2012学年度第二学期高三（理））函数xx x x x x x f sin cos sin 2)cos(cos sin )(--+=π的最小正周期=T _____________.错误！未指定书签。

．（上海市十二校2013届高三第二学期联考数学（理）试题）已知行列式i zi2422+=,则复数z =_________ 错误！未指定书签。

．（上海市普陀区2013届高三第二学期（二模）质量调研数学（理）试题）若三条直线03=++y ax ,02=++y x 和012=+-y x 相交于一点,则行列式11221131-a 的值为_________.错误！未指定书签。

．（上海市黄浦区2013年高考二模理科数学试题）若复数z 满足109z z-=,则z 的值为___________.错误！未指定书签。

．（上海市虹口区2013年高考二模数学（理）试题）已知31cos sin sin cos =ββαα,则=+)(2cos βα__________.错误！未指定书签。

．（上海市长宁、嘉定区2013年高考二模数学（理）试题）设1,0≠>a a ,行列式34210231D -=xa 中第3行第2列的代数余子式记作y ,函数()x f y =的反函数图像经过点()1,2,则a =_____.错误！未指定书签。

．（上海市八校2013届高三下学期联合调研考试数学（理）试题）方程23cos cos sin cos 3=xxx x ,()4,3∈x 实数解x 为____________.错误！未指定书签。

2013年上海高考数学理科试卷(带详解)

【难易程度】容易
【试题解析】因为ABCD A1B1C1D1为长方体，AB C1D1
, AB C1D1，
故ABC1D1为平行四边形，故BC1
AD1（步骤1），显然B
不在平面D1AC上，于是直线BC1
平行于平面D1AC（步骤2）；直线BC1到平面D1AC的距离即为点
B到平面
D1AC的距离设
为h考虑三棱锥ABCD
.
【难易程度】容易
【参考答案】1
5
2
【试题解析】联立方程组得
(
1)
1
1
5（步骤1），
2
又⋯0，故所求为1 5．（步骤
2）
2
8．盒子中装有编号为
1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个
球的编号之积为偶数的概率是
___________（结果用最简分数表示）.
【测量目标】古典概型，随机事件的的概率
不便宜，故选B．
17．在数列
{ an}中，an
2n
1，若一个
7
行
12
列的矩阵的第
i行第j
列的元素
ai, j
aiaj
aiaj
，（i
1,2,
,7; j
1,2,
,12
）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数
为
（
）
A 18
B 28
C 48
D 63
【测量目标】指数函数模型.
【考查方式】给出了数列矩阵以及行列元素的关系，求出矩阵元素不同数值的个数
y)
2sin( x
y) cos( x y)
，sin 2x sin 2 y
，故
2
3

13年高考真题——理科数学(上海卷)-推荐下载

列 a1, a2 , a3,满足 an1 f (an ), n N * 。⑴若 a1 c 2 ，求 a2 及 a3 ；⑵求证：对任意 n N ， an1 an c ；⑶是否存在 a1 ，使得 a1, a2 ,an , 成等差数列？若存在，求出
所有这样的 a1 ，若不存在，说明理由。
厂应该选取何种生产速度?并求最大利润。
21．（6 分+8 分）已知 f x 2sin x，常数 0 ；⑴若 y f x在
1
4, 2 3上单调递增，求的取值范围；⑵令 2 ，将函数 y f x的图像左移
个单位，再向上平移 1 个单位，得到 y g x的图像，区间a,b( a,b R 且 a b )

别为 a1, a2 , a3, a4 , a5 ；以 D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 d1, d2 , d3, d4 , d5 。若

m, M 分别为 ai a j ak dr ds dt 的最小值、最大值，其中i, j, k 1, 2,3, 4,5，
f 1 2, 4 0,1，若方程 f x x 0 有解 x0 ，则 x0 _____ 。
二．选择题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
15．设常数 a R ，集合 A x | x 1x a 0， B x | x a 1，若
的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示）。
9．设 AB 是椭圆的长轴，点 C 在上，且 CBA ，若 AB 4 ， BC 2 ， 4
则的两个焦点之间的距离为________。
10．设非零常数 d 是等差数列 x1, x2 , x3,, x19 的公差，随机变量等可能地取值m来自 ________ 。x2

2013年高考理科数学上海卷-答案

【解析】复数【解析】22 11x y= -【提示】利用行列式的定义，可得等式，配方即可得到结论【考点】二阶行列式的定义【解析】232a ab+1arccos3-，故答案为2.7x的系数是【提示】利用二项展开式的通项公式求得二项展开式中的第方程求解即可.x-=，即2380，CBA∠=43b-=-3322x y【解析】cos cosx，sin2sinx+276a x x -=面积相等，故它们的体积相等，即Ω的体积为22π12π28π2π16π+=+，故答案为2π16π+.【考点】进行简单的合情推理 14.【答案】2【解析】因为(){|(),}g I y y g x x I ==∈，1([0,1))[1,2)f -=，1((2,4])[0,1)f -=，所以对于函数()f x ，当[0,1)x ∈时，()(2,4]f x ∈，所以方程()0f x x -=即()f x x =无解；当[1,2)x ∈时，()[0,1)f x ∈，所以方程()0f x x -=即()f x x =无解；所以当[0,2)x ∈时方程()0f x x -=即()f x x =无解，又因为方程()0f x x -=有解x 0，且定义域为[0,3]，故当[2,3]x ∈时，()f x 的取值应属于集合(,0)[1,2](4,)-∞+∞，故若00()f x x =，只有02x =，故答案为2.【提示】根据互为反函数的两函数定义域、值域互换可判断：当[0,1)x ∈时，[1,2)x ∈时()f x 的值域，进而可判断此时()f x x =无解；由()f x 在定义域[0,3]上存在反函数可知：[2,3]x ∈时，()f x 的取值集合，再根据方程()f x x =有解即可得到x 0的值. 【考点】反函数，函数的零点二、选择题 15.【答案】B【解析】当1a >时，(,1][,)A a =-∞+∞，[1,)B a =-+∞，若A B =R ，则11a -≤，12a ∴<≤；当1a =时，易得A =R ，此时AB =R ；当1a <时，(,][1,)A a =-∞+∞，[1,)B a =-+∞，若A B =R ，则1a a -≤，显然成立，1a ∴<；综上，a 的取值范围是(,2]-∞，故选B .【提示】当1a >时，代入解集中的不等式中，确定出A ，求出满足两集合的并集为R 时的a 的范围；当1a =时，易得A =R ，符合题意；当1a <时，同样求出集合A ，列出关于a 的不等式，求出不等式的解集得到a 的范围.综上，得到满足题意的a 范围.【考点】集合关系中的参数取值问题，并集及其运算，一元二次不等式的解法 16.【答案】B【解析】“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题.所以“好货”⇒“不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件，故选B .【提示】因为“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题.再据命题的真假与条件的关系判定出“不便宜”是“好货”的必要条件. 【考点】必要条件，充分条件与充要条件的判断 17.【答案】A【解析】该矩阵的第i 行第j 列的元素(1,2,,7;1,2,,12)i j ==……，当且仅当i j m n +=+时，ij mna a =(,1,2,,7;,1,2,,12)i m j n ==……，因此该矩阵元素能取到的不同数值为i j +的所有不同和，其和为2，3，…，i j i a a a a ++为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a 、2a 、3a 、4a 、5a ；以D 顶点为终点的向量分别为1d 、2d 、3d 、4d 、5d ，∴利用向量的数量积公式，可知只有0AF DE AB DC =>，，m ()()i j k r s t a a a d d d ++++的最小值、最大值，m ∴【提示】利用向量的数量积公式，可知只有0AF DE AB DC =>，其余数量积均小于等于【考点】平面向量数量积的运算，进行简单的合情推理 13222223=，所以的一个法向量为(,,)n u v w =，则由n D A '⊥，n D C '⊥，可得0n D A '⊥=，0n D C '⊥=.(1,0,1)D A '=，(0,2,1)D C '=令1v =，可得，可得(2,1,2)n =-由于(1,0,BC '=-0n BC '∴=-，故有n BC '⊥内，可得直线BC '平行于平面D AC '. 由于(1,0,0)CB =，可得点B 到平面D 的距离|||2||n CB d n ⨯==的距离，设为h ，再利用等体积法求得h 的一个法向量为(2,1,2)n =-，再根据0n BC '=-，可得n BC '⊥，可得直线||||n BC n '的值，即为直线【考点】点、线、面间的距离计算，直线与平面平行的判定110x ≤≤（2）设利润为110≤≤x故甲厂应以【提示】（）函数11 / 11③若1a c ≥-，则由1n a a ≥得到1()8n n n a f a a c +==++，从而{}n a 为无穷等差数列，符合要求. 综上可知：a 1的取值范围为{8}[,)c c ---+∞.【提示】（1）对于分别取1n =，2，1()n n a f a +=，*n ∈N .去掉绝对值符合即可得出；（2）由已知可得8,()338,48,4x c x c f x x c c x c x c x c ++≥-⎧⎪=++--≤<-⎨⎪---<--⎩，分三种情况讨论即可证明；（3）由（2）及0c >，得1n n a a +≥，即{}n a 为无穷递增数列.分以下三种情况讨论：当14a c <--时，当14c a c --≤<-时，当1a c ≥-时.即可得出a 1的取值范围.【考点】数列的函数特性，等差关系的确定，数列与函数的综合。

2013年上海高考数学试题(理科)含详细解析解答

2013年上海市秋季高考理科数学一、填空题 1．计算：20lim______313n n n →∞+=+【解答】根据极限运算法则，201lim3133n n n →∞+=+．2．设m R ∈，222(1)i m m m +-+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则________m =【解答】2220210m m m m ⎧+-=⇒=-⎨-≠⎩． 3．若2211x xx y y y=--，则______x y +=【解答】2220x y xy x y +=-⇒+=．4．已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c ，若22232330a ab b c ++-=，则角C 的大小是_______________（结果用反三角函数值表示）【解答】2222222323303a ab b c c a b ab ++-=⇒=++，故11cos ,arccos 33C C π=-=-． 5．设常数a R ∈，若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为10-，则______a =【解答】2515()(),2(5)71rrr r a T C x r r r x-+=--=⇒=，故15102C a a =-⇒=-． 6．方程1313313x x-+=-的实数解为________ 【解答】原方程整理后变为233238034log 4x x x x -⋅-=⇒=⇒=．7．在极坐标系中，曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为__________【解答】联立方程组得1(1)12ρρρ-=⇒=，又0ρ≥，故所求为12． 8．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示）【解答】9个数5个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为252913118C C -=．9．设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且4CBA π∠=，若AB=4，BC =Γ的两个焦点之间的距离为________【解答】不妨设椭圆Γ的标准方程为22214x y b +=，于是可算得(1,1)C ，得24,23b c ==． 10．设非零常数d 是等差数列12319,,,,x x x x 的公差，随机变量ξ等可能地取值12319,,,,x x x x ，则方差_______D ξ=【解答】10E x ξ=，|D d ξ==．11．若12cos cos sin sin ,sin 2sin 223x y x y x y +=+=，则sin()________x y += 【解答】1cos()2x y -=，2sin 2sin 22sin()cos()3x y x y x y +=+-=，故2sin()3x y +=．12．设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()97a f x x x =++，若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，则a 的取值范围为________【解答】(0)0f =，故011a a ≥+⇒≤-；当0x >时，2()971a f x x a x=+-≥+ 即6||8a a ≥+，又1a ≤-，故87a ≤-． 13．在xOy 平面上，将两个半圆弧22(1)1(1)x y x -+=≥和22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y =和1y =-围成的封闭图形记为D ，如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面，所得截面面积为48ππ，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为__________【解答】根据提示，一个半径为1，高为2π的圆柱平放，一个高为2，底面面积8π的长方体，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即Ω的体积值为221228216πππππ⋅⋅+⋅=+．14．对区间I 上有定义的函数()g x ，记(){|(),}g I y y g x x I ==∈，已知定义域为[0,3]的函数()y f x =有反函数1()y f x -=，且11([0,1))[1,2),((2,4])[0,1)f f --==，若方程()0f x x -=有解0x ，则0_____x =【解答】根据反函数定义，当[0,1)x ∈时，()(2,4]f x ∈；[1,2)x ∈时，()[0,1)f x ∈，而()y f x =的定义域为[0,3]，故当[2,3]x ∈时，()f x 的取值应在集合(,0)[1,2](4,)-∞⋃⋃+∞，故若00()f x x =，只有02x =．二、选择题15．设常数a R ∈，集合{|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-，若A B R ⋃=，则a 的取值范围为（）(A) (,2)-∞(B) (,2]-∞(C) (2,)+∞(D) [2,)+∞【解答】集合A 讨论后利用数轴可知，111a a ≥⎧⎨-≤⎩或11a a a≤⎧⎨-≤⎩，解答选项为B ．16．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件【解答】根据等价命题，便宜⇒没好货，等价于，好货⇒不便宜，故选B ．17．在数列{}n a 中，21n n a =-，若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素,i j i j i j a a a a a =⋅++，（1,2,,7;1,2,,12i j == ）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（）(A)18(B)28(C)48(D)63【解答】,21i ji j i j i j a a a a a +=⋅++=-，而2,3,,19i j += ，故不同数值个数为18个，选A ．18．在边长为1的正六边形ABCDEF 中，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,a a a a a ；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,d d d d d.若,m M 分别为()()i j k r s t a a a d d d ++⋅++的最小值、最大值，其中{,,}{1,2,3,4,5}i j k ⊆,{,,}{1,2,3,4,5}r s t ⊆,则,m M 满足（）. (A) 0,0m M =>(B) 0,0m M <>(C) 0,0m M <=(D) 0,0m M <<【解答】作图知，只有0AF DE AB DC ⋅=⋅> ，其余均有0i r a d ⋅≤，故选D ．三、解答题19.（本题满分12分）如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=2,AD=1,A 1A=1，证明直线BC 1平行于平面DA 1C ，并求直线BC 1到平面D 1AC 的距离.【解答】因为ABCD-A 1B 1C 1D 1为长方体，故1111//,AB C D AB C D =，故ABC 1D 1为平行四边形，故11//BC AD ，显然B 不在平面D 1AC 上，于是直线BC 1平行于平面DA 1C ；直线BC 1到平面D 1AC 的距离即为点B 到平面D 1AC 的距离设为h考虑三棱锥ABCD 1的体积，以ABC 为底面，可得111(12)1323V =⨯⨯⨯⨯=C 11A而1ADC ∆中，11AC DC AD ==132AD C S ∆= 所以，13123233V h h =⨯⨯=⇒=，即直线BC 1到平面D 1AC 的距离为23．20．（6分+8分）甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每小时可获得利润是3100(51)x x+-元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润. 【解答】(1)根据题意，33200(51)30005140x x x x+-≥⇒--≥ 又110x ≤≤，可解得310x ≤≤ (2)设利润为y 元，则4290031161100(51)910[3()]612y x x x x =⋅+-=⨯--+ 故6x =时，max 457500y =元．21．（6分+8分）已知函数()2sin()f x x ω=，其中常数0ω>；（1）若()y f x =在2[,]43ππ-上单调递增，求ω的取值范围；（2）令2ω=，将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，区间[,]a b （,a b R ∈且a b <）满足：()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[,]a b 中，求b a -的最小值．【解答】(1)因为0ω>，根据题意有34202432ππωωππω⎧-≥-⎪⎪⇒<≤⎨⎪≤⎪⎩ (2) ()2sin(2)f x x =，()2sin(2())12sin(2)163g x x x ππ=++=++1()0sin(2)323g x x x k πππ=⇒+=-⇒=-或7,12x k k Z ππ=-∈，即()g x 的零点相离间隔依次为3π和23π，故若()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点，则b a -的最小值为2431415333πππ⨯+⨯=．22．（3分+5分+8分）如图，已知曲线221:12x C y -=，曲线2:||||1C y x =+，P 是平面上一点，若存在过点P 的直线与12,C C 都有公共点，则称P 为“C 1—C 2型点”．(1)在正确证明1C 的左焦点是“C 1—C 2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；(2)设直线y kx =与2C 有公共点，求证||1k >，进而证明原点不是“C 1—C 2型点”； (3)求证：圆2212x y +=内的点都不是“C 1—C 2型点”．【解答】：（1）C 1的左焦点为(F ，过F的直线x =C 1交于(±，与C 2交于(1))±，故C 1的左焦点为“C 1-C 2型点”，且直线可以为x = （2）直线y kx =与C 2有交点，则(||1)||1||||1y kxk x y x =⎧⇒-=⎨=+⎩，若方程组有解，则必须||1k >；直线y kx =与C 2有交点，则2222(12)222y kx k x x y =⎧⇒-=⎨-=⎩，若方程组有解，则必须212k < 故直线y kx =至多与曲线C 1和C 2中的一条有交点，即原点不是“C 1-C 2型点”。

2013年高考理科数学上海卷(含答案解析)

数学试卷第1页（共16页）数学试卷第2页（共16页）绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷(理工农医类)考生注意：1.答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码贴在指定位置上,在答题纸反面清楚地填写姓名.2.本试卷共有23道试题,满分150分.考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有14题,满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.1.计算：20lim313n n n →∞+=+ .2.设m ∈R ,222(1)i m m m +-+-是纯虚数,其中i 是虚数单位,则m = .3.若2211x xx y y y =--,则x y += . 4.已知ABC △的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若22232330a ab b c ++-=,则角C 的大小是（结果用反三角函数值表示）.5.设常数a ∈R .若25()ax x+的二项展开式中7x 项的系数为10-,则a = .6.方程1313313x x -+=-的实数解为 .7.在极坐标系中,曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为 .8.盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）. 9.设AB 是椭圆Γ的长轴,点C 在Γ上,且π4CBA ∠=.若4AB =,BC =,则Γ的两个焦点之间的距离为 .10.设非零常数d 是等差数列1x ,2x ,…,19x 的公差,随机变量ξ等可能地取值1x ,2x ,…,19x ,则方差D ξ= .11.若1cos cos sin sin 2x y x y +=,2sin 2sin 23x y +=,则sin()x y += .12.设a 为实常数,()y f x =是定义在R 上的奇函数,当0x <时,2()97a f x x x=++.若()1f x a +≥对一切0x ≥成立,则a 的取值范围为 .13.在xOy 平面上,将两个半圆弧22(1)1(1)x y x -+=≥和22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y =和1y =-围成的封闭图形记为D ,如图中阴影部分.记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω.过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面,所得截面面积为48π,试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得出Ω的体积值为 .14.对区间I 上有定义的函数()g x ,记(){|()g I y y g x ==,}x I ∈.已知定义域为[0,3] 的函数()y f x =有反函数1()y f x -=,且1([0,1))[1,2)f -=,1((2,4])[0,1)f -=.若方程()0f x x -=有解0x ,则0x = .二、选择题（本大题共有4题,满分20分）每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分. 15.设常数a ∈R ,集合{|(1)()0}A x x x a =--≥,{|1}B x x a =-≥.若A B =R ,则a 的取值范围为( )A .(,2)-∞B .(,2]-∞C .(2,)+∞D .[2,)+∞16.钱大姐常说“便宜没好货”,她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的 ( )A .充分条件B .必要条件C .充分必要条件D .既非充分又非必要条件17.在数列{}n a 中,21n n a =-.若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素 ,i j i j i j c a a a a =++（1i =,2,…,7；1j =,2,…,12）,则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为( ) A .18B .28C .48D .6318.在边长为1的正六边形ABCDEF 中,记以A 为起点,其余顶点为终点的向量分别为1a 、2a 、3a 、4a 、5a ；以D 为起点,其余顶点为终点的向量分别为1d 、2d 、3d 、4d 、5d .若m 、M 分别为()()i j k r s ta a a d d d ++++的最小值、最大值,其中{,,}{1,2,3,4i j k ⊆,{,,}{1,2,3,4,5}r s t ⊆，则m ,M 满足--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷第3页（共16页）数学试卷第4页（共16页）( )A .0m =,0M >B .0m <,0M >C .0m <,0M =D .0m <,0M <三、解答题（本大题共有5题,满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19.（本题满分12分）如图,在长方体ABCD A B C D ''''-中,=2AB ,1AD =,1AA '=.证明直线BC '平行于平面C D A ',并求直线BC '到平面C D A '的距离.20.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分. 甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤）,每一小时可获得利润是3100(51)x x+-元.（Ⅰ）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元,求x 的取值范围；（Ⅱ）要使生产900千克该产品获得的利润最大,问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润.21.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.已知函数()2sin()f x x ω=,其中常数0ω>.（Ⅰ）若()y f x =在,π2π[]43﹣上单调递增,求ω的取值范围；（Ⅱ）令2ω=,将函数()y f x =的图象向左平移π6个单位,再向上平移1个单位,得到函数()y g x =的图象.区间[,]a b （,a b ∈R ，且a b <）满足：()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点.在所有满足上述条件的[,]a b 中,求b a -的最小值.22.（本题满分16分）本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分5分,第3小题满分8分.如图,已知双曲线221:12x C y -=,曲线2:||||1C y x =+.P 是平面内一点,若存在过点P 的直线与1C 、2C 都有公共点,则称P 为“12C C -型点”.（Ⅰ）在正确证明1C 的左焦点是“12C C -型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（Ⅱ）设直线y kx =与2C 有公共点,求证：||1k >,进而证明原点不是“12C C -型点”；（Ⅲ）求证：圆2212x y +=内的点都不是“12C C -型点”.23.（本题满分18分）本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分.给定常数0c >,定义函数()2|4|||f x x c x c =++-+.数列1a ,2a ,3a ,…满足 1()n n a f a +=,n ∈*N .（Ⅰ）若12a c =--,求2a 及3a ；（Ⅱ）求证：对任意n ∈*N ,1n n a a c +-≥；（Ⅲ）是否存在1a ,使得1a ,2a ,3a ,…,n a ,…成等差数列？若存在,求出所有这样的 1a ；若不存在,说明理由.数学试卷第5页（共16页）数学试卷第6页（共16页）2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（理工农医类）答案解析一、填空题1.【答案】13【解析】201201lim lim 1331333n n n n n n→∞→∞++==++，故答案为13. 【提示】由数列极限的意义即可求解. 【考点】数列的极限 2.【答案】2-【解析】复数2(2)(1)i z m m m =-+-+为纯虚数，220m m ∴+-=，210m -≠，解得2m =-，故答案为2-.【提示】根据纯虚数的定义可得210m -=，210m -≠，由此解得实数m 的值. 【考点】复数的基本概念 3.【答案】0 【解析】2211x x x y y y =--，222x y xy ∴+=-，2()0x y ∴+=，0x y ∴+=，故答案为0.【提示】利用行列式的定义，可得等式，配方即可得到结论. 【考点】二阶行列式的定义 4.【答案】1πarccos 3- 【解析】22232330a ab b c ++-=，22223a b c ab∴+-=-，222213cos 223aba b c C ab ab -+-∴===-.1πarccos 3C ∴=-，故答案为1πarccos 3-.【提示】把式子22232330a ab b c ++-=变形为22223a b c ab +-=-，再利用余弦定理222cos 2a b c C ab+-=即可得出. 【考点】余弦定理 5.【答案】2-【解析】52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为102103155rr r r r r r a T C x C x a x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令1037r -=得1r =，7x ∴的系数是15aC .7x 的系数是10-，1510aC ∴=-，解得2a =-，故答案为2-. 【提示】利用二项展开式的通项公式求得二项展开式中的第1r +项，令x 的指数为7求得7x 的系数，列出方程求解即可. 【考点】二项式系数的性质 6.【答案】3log 4【解析】方程1313313x x -+=-，即3193133(31)x x-+-=-，即11833(33)x x x --+=-，化简可得232380x x --=，即(34)(32)0x x-+=.解得34x =，或32x =-（舍去），3log 4x ∴=，故答案为3log 4.【提示】化简方程1313313x x -+=-为3193133(31)x x-+-=-，即(34)(32)0x x -+=，解得34x =，可得x 的值. 【考点】函数的零点 7.【答案】12【解析】由cos 1ρθ=+得，cos 1θρ=-，代入cos 1ρθ=得(1)1ρρ-=，解得ρ=或ρ=，所以曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=，.【提示】联立cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=消掉θ即可求得ρ，即为答案. 【考点】点的极坐标和直角坐标的互化，两点间的距离公式 8.【答案】1318【解析】从1，2，3，4，5，6，7，8，9九个球中，任意取出两个球的取法种数为2936C =种；取出的两个球的编号之积为奇数的方法种数为2510C=种；则取出的两个球的编号之积为奇数的概率为105368=；所以取出两个球的编号之积为偶数的概率是51311818-=；故答案为13 18.【提示】利用组合知识求出从1，2，3，4，5，6，7，8，9九个球中，任意取出两个球的取法种数，再求出从5个奇数中任意取出2个奇数的取法种数，求出取出的两个球的编号之积为奇数的概率，利用对立事件的概率求出取出两个球的编号之积为偶数的概率.【考点】古典概型及其概率计算公式9.【解析】如图，设椭圆的标准方程为2221x ya b+=，由题意知，24a=，2a=，π4CBA∠=，BC=∴点C的坐标为(1,1)C-，因点C在椭圆上，222(1)114b-∴+=，243b∴=，22248433c a b∴=-=-=，3c=，则Γ的两个焦点之间的距离为3，故答案为.【提示】由题意画出图形，设椭圆的标准方程为2221x ya b+=，由条件结合等腰直角三角形的边角关系解出C的坐标，再根据点C在椭圆上求得b值，最后利用椭圆的几何性质计算可得答案.【考点】椭圆的标准方程，椭圆的简单性质10.【答案】230d【解析】由题意可得112191191819291919x dx x xE x dξ⨯++++===+….11(1)(9)(10)nx E x n d x d n dξ∴-=+--+=-，222222222212[(9)(8)()0(2)(9)](129)1919dD d d d d d dξ∴=-+-++-+++++=+++………2229101930196dd⨯⨯=⨯=，故答案为230d.【提示】利用等差数列的前n项和公式可得121911918192x x x x d⨯+++=+…和数学期望的计算公式即可得出Eξ，再利用方差的计算公式即可得出22212191[()()()]19D xE x E x Eξξξξ=-+-++-…即可得出.【考点】极差，方差与标准差11.【答案】23【解析】1cos cos sin sin2x y x y+=，1cos()2x y∴-=，2sin2sin23x y+=，2sin[()()]sin[()()]3x y x y x y x y∴++-++--=，22sin()cos()3x y x y∴+-=，122sin()23x y∴+⨯=，2sin()3x y∴+=，故答案为23.【提示】利用两角差的余弦公式及1cos cos sin sin2x y x y+=，可得1cos()2x y-=，再利用和差化积公式2sin2sin23x y+=，得到22sin()cos()3x y x y+-=，即可得出sin()x y+.【考点】三角函数的和差化积公式，两角和与差的余弦函数12.【答案】87a≤-【解析】因为()y f x=是定义在R上的奇函数，所以当0x=时，()0f x=；当0x>时，则0x-<，所以2()97af x xx-=--+，因为()y f x=是定义在R上的奇函数，所以2()97af x xx=+-；因为()1f x a≥+对一切0x≥成立，所以当0x=时，01a≥+成立，所以1a≤-；当0x>时，2971ax ax+-≥+成立，只需要297axx+-的最小值1a≥+，数学试卷第7页（共16页）数学试卷第8页（共16页）数学试卷第9页（共16页）数学试卷第10页（共16页）因为29776||7a x x a x x+-≥-=-，所以6||71a a -≥+，解得85a ≥或87a ≤-，所以87a ≤-，故答案为87a ≤-.【提示】先利用()y f x =是定义在R 上的奇函数求出0x ≥时函数的解析式，将()1f x a ≥+对一切0x ≥成立转化为函数的最小值1a ≥+，利用基本不等式求出()f x的最小值，解不等式求出a 的范围. 【考点】函数奇偶性的性质，基本不等式 13.【答案】22π16π+【解析】因为几何体为Ω的水平截面的截面积为48π，该截面的截面积由两部分组成，一部分为定值8π，看作是截一个底面积为8π，高为2的长方体得到的，对于4，看作是把一个半径为1，高为2π的圆柱平放得到的，如图所示，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面积相等，故它们的体积相等，即Ω的体积为22π12π28π2π16π+=+，故答案为22π16π+.【提示】由题目给出的Ω的水平截面的面积，可猜想水平放置的圆柱和长方体的量，然后直接求出圆柱的体积与长方体的体积作和即可. 【考点】进行简单的合情推理 14.【答案】2【解析】因为(){|(),}g I y y g x x I ==∈，1([0,1))[1,2)f -=，1((2,4])[0,1)f -=，所以对于函数()f x ，当[0,1)x ∈时，()(2,4]f x ∈，所以方程()0f x x -=即()f x x =无解；当[1,2)x ∈时，()[0,1)f x ∈，所以方程()0f x x -=即()f x x =无解；所以当[0,2)x ∈时方程()0f x x -=即()f x x =无解，又因为方程()0f x x -=有解x 0，且定义域为[0,3]，故当[2,3]x ∈时，()f x 的取值应属于集合(,0)[1,2](4,)-∞+∞，故若00()f x x =，只有02x =，故答案为2.【提示】根据互为反函数的两函数定义域、值域互换可判断：当[0,1)x ∈时，[1,2)x ∈时()f x 的值域，进而可判断此时()f x x =无解；由()f x 在定义域[0,3]上存在反函数可知：[2,3]x ∈时，()f x 的取值集合，再根据方程()f x x =有解即可得到x 0的值.【考点】反函数，函数的零点二、选择题 15.【答案】B【解析】当1a >时，(,1][,)A a =-∞+∞，[1,)B a =-+∞，若AB =R ，则11a -≤，12a ∴<≤；当1a =时，易得A =R ，此时A B =R ；当1a <时，(,][1,)A a =-∞+∞，[1,)B a =-+∞，若A B =R ，则1a a -≤，显然成立，1a ∴<；综上，a 的取值范围是(,2]-∞，故选B .【提示】当1a >时，代入解集中的不等式中，确定出A ，求出满足两集合的并集为R 时的a 的范围；当1a =时，易得A =R ，符合题意；当1a <时，同样求出集合A ，列出关于a 的不等式，求出不等式的解集得到a 的范围.综上，得到满足题意的a 范围. 【考点】集合关系中的参数取值问题，并集及其运算，一元二次不等式的解法16.【答案】B【解析】“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题.所以“好货”⇒“不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件，故选B .【提示】因为“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题.再据命题的真假与条件的关系判定出“不便宜”是“好货”的必要条件.【考点】必要条件，充分条件与充要条件的判断 17.【答案】A【解析】该矩阵的第i 行第j 列的元素(1,2,,7;1,2,,12)i j ==……，当且仅当i j m n +=+时，ij mn a a =(,1,2,,7;,1,2,,12)i m j n ==……，因此该矩阵元素能取到的不同数值为i j +的所有不同和，其和为2，3，…，19，共18个不同数值.故选A . 【提示】由于该矩阵的第i行第j列的元素数学试卷第11页（共16页）数学试卷第12页（共16页）,(21)(21)212121i j i j i j i j i j i j a a a a a +=++=--+-+-=-(1,2,,7;1,2,,12)i j ==……，要使(,1,2,,7;,1,2,,12)ij mn i m j a n a ===…….则满足2121i j m n ++-=-，得到i j m n +=+，由指数函数的单调性可得：当i j m n +≠+时，ij mn a a ≠，因此该矩阵元素能取到的不同数值为i j +的所有不同和，即可得出. 【考点】数列的函数特性 18.【答案】D【解析】由题意，以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a 、2a 、3a 、4a 、5a ；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1d 、2d 、3d 、4d 、5d ，∴利用向量的数量积公式，可知只有0AF DE AB DC =>，其余数量积均小于等于0，m 、M 分别为()()i j k r s t a a a d d d ++++的最小值、最大值，0m ∴<，0M <，故选D .【提示】利用向量的数量积公式，可知只有0AF DE AB DC =>，其余数量积均小于等于0，从而可结论.【考点】平面向量数量积的运算，进行简单的合情推理三、解答题 19.【答案】23【解析】解法一：因为-ABCD A B C D ''''为长方体，故AB C D ''∥，AB C D ''=，故A B CD''为平行四边形，故BC AD ''∥，显然BC '不在平面D AC '内，于是直线BC '平行于平面D AC '.直线BC '到平面D AC '的距离即为点B 到平面D AC '的距离，设为h ，考虑三棱锥-D ABC '的体积，以ABC 为底面，可得三棱锥-D A B C '的体积为111111323V ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，而A DC '△中，AC D C '==AD '=C A D '△的底边AD '上的高为，故C A D '△的面积1322223CAD S '==△，所以13123233V h h =⨯⨯=⇒=，即直线BC '到平面D AC '的距离为23.解法二：以D A ''所在的直线为x 轴，以D C ''所在的直线为y 轴，以D D '所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系.则由题意可得，点(1,0,1)A 、(1,2,1)B 、(0,2,1)C 、(0,2,0)C '、(0,0,0)D '.设平面D AC '的一个法向量为(,,)n u v w =，则由n D A '⊥，n D C '⊥，可得0n D A '⊥=，0n D C '⊥=.(1,0,1)D A '=，(0,2,1)D C '=，020u w v w +=⎧∴⎨+=⎩，解得22u vw v =⎧⎨=-⎩. 令1v =，可得2u =，2w =-，可得(2,1,2)n =-. 由于(1,0,1)BC '=--，0n BC '∴=-，故有n BC '⊥再由BC '不在平面D AC '内，可得直线BC '平行于平面D AC '. 由于(1,0,0)CB =，可得点B 到平面D AC '的距离||23||n CB d n ===，故直线BC '到平面D AC '的距离为23. 【提示】解法一：证明ABC D ''为平行四边形，可得BC AD ''∥，再利用直线和平面平行的判定定理证得直线BC '平行于平面D AC '.所求的距离即点B 到平面D AC '的距离，设为h ，再利用等体积法求得h 的值；解法二：建立空间直角坐标系，求出平面D AC '的一个法向量为(2,1,2)n =-，再根据0n BC '=-，可得n BC '⊥，可得直线BC '平行于平面D AC '.求出点B 到平面D AC '的距离||||n BC d n '=的值，即为直线BC '到平面D AC '的距离.【考点】点、线、面间的距离计算，直线与平面平行的判定 20.【答案】（1）135x ≤≤-（2）甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457500元【解析】（1）生产该产品2小时获得的利润为3310051220051x x x x ⎛⎫⎛⎫+-⨯=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭根据题意，3200513000x x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，即251430x x --≥3x ∴≥或15x ≤- 110x ≤≤，135x ∴≤≤-；（2）设利润为y 元，则生产900千克该产品获得的利润为390010051y x x x ⎛⎫=+-⨯⎪⎝⎭数学试卷第13页（共16页）数学试卷第14页（共16页）2423111619000059103612x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=⨯--+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦110x ≤≤，6x ∴=时，取得最大利润为46191045750012⨯⨯=元故甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457500元.【提示】（1）求出生产该产品2小时获得的利润，建立不等式，即可求x 的取值范围；（2）确定生产900千克该产品获得的利润函数，利用配方法，可求最大利润. 【考点】函数模型的选择与应用 21.【答案】（1）304ω<≤ （2）43π3【解析】（1）函数()y f x =在π2π,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且0ω>，π2π23ω∴≥，且ππ24ω-≤-，解得304ω<≤；（2）()2sin 2f x x =，∴把()y f x =的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到π2s i n 216y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，∴函数π()2s i n 216y g x x ⎛⎫==++ ⎪⎝⎭，令()0g x =，得5ππ12x k =+，或3ππ4x k =+()k ∈Z .∴相邻两个零点之间的距离为π3或2π3.若b a -最小，则a 和b 都是零点，此时在区间[,π]a a +，[,2π]a a +，…，*[,π]()a m a m +∈N 分别恰有3，5，…，21m +个零点，所以在区间[,14π]a a +是恰有29个零点，从而在区间(14π,]a b +至少有一个零点，π14π3b a ∴--≥.另一方面，在区间5ππ5π,14π12312⎡⎤++⎢⎥⎣⎦恰有30个零点，因此b a -的最小值为π43π14π33+=. 【提示】（1）已知函数()y f x =在π2π,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且0ω>，利用正弦函数的单调性可得π2π23ω≥，且ππ24ω-≤-，解出即可；（2）利用变换法则“左加右减，上加下减”即可得到π()2sin 216g x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.令()0g x =，即可解出零点的坐标，可得相邻两个零点之间的距离.若b a -最小，则a 和b 都是零点，此时在区间[,π]a m a +*()m ∈N 恰有21m +个零点，所以在区间[,14π]a a +是恰有29个零点，从而在区间(14π,]a b +至少有一个零点，即可得到a ，b 满足的条件.进一步即可得出b a -的最小值.【考点】正弦函数的单调性，根的存在性及根的个数判断，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换22.【答案】（1）C 1的左焦点为(，写出的直线方程可以是以下形式：x =(y k x =，其中||k ≥；（2）证明：因为直线y kx =与C 2有公共点，所以方程组||||1y kxy x =⎧⎨=+⎩有实数解，因此||||1kx x =+，得||1||1||x k x +=>.若原点是“12-C C 型点”，则存在过原点的直线与C 1、C 2都有公共点.考虑过原点与C 2有公共点的直线0x =或(||1)y kx k =>，显然直线0x =与C 1无公共点.如果直线为(||1)y kx k =>，则由方程组221y kx x y x =⎧⎪⎨-=⎪⎩，得222012x k =<-，矛盾.所以直线(||1)y kx k =>与C 1也无公共点.因此原点不是“12-C C 型点”. （3）证明：记圆O ：2212x y +=，取圆O 内的一点Q ，设有经过Q 的直线l 与C 1，C 2都有公共点，显然l 不与x 轴垂直，故可设l ：y kx b =+.若||1k ≤，由于圆O 夹在两组平行线1y x =±与1y x =-±之间，因此圆O 也夹在直线1y kx =±与1y kx =-±之间，从而过Q 且以k 为斜率的直线l 与C 2无公共点，矛盾，所以||1k >.因为l 与C 1由公共点，所以方程组221y kx b x y x=+⎧⎪⎨-=⎪⎩有实数解，得222(12)4220k x kbx b ----=.因为||1k >，所以2120k -≠，因此22222(4)4(12)(22)8(12)0kb k b b k ∆=----=+-≥，即2221b k ≥-.因为圆O 的圆心(0,0)到直线l的距离d =，所以222112k b d =<+，从而2221212kb k +>≥-，得21k <，与||1k >矛盾.因此，圆2212x y +=内的点不是“12-C C 型点”.【提示】（1）由双曲线方程可知，双曲线的左焦点为(，当过左焦点的直线的斜率不存在时满足左焦点是“12-C C 型点”，当斜率存在时，要保证斜率的绝对值大于等于数学试卷第15页（共16页）数学试卷第16页（共16页）该焦点与(0,1)连线的斜率；（2）由直线y kx =与C 2有公共点联立方程组有实数解得到||1k ≤，分过原点的直线斜率不存在和斜率存在两种情况说明过远点的直线不可能同时与C 1和C 2有公共点；（3）由给出的圆的方程得到圆的图形夹在直线1y x =±与1y x =-±之间，进而说明当||1k ≤时过圆2212x y +=内的点且斜率为k 的直线与C 2无公共点，当||1k >时，过圆2212x y +=内的点且斜率为k 的直线与C 2有公共点，再由圆心到直线的距离小于半径列式得出k 的范围，结果与||1k >矛盾.从而证明了结论.【考点】直线与圆锥曲线的关系，点到直线的距离公式，双曲线的简单性质 23.【答案】（1）21()(2)2|24||2|422a f a f c c c c c ==--=--++---+=-=，31()(2)2|24||2|2(6)(2)10a f a f c c c c c ===++-+=+-+=+；（2）由已知可得8,()338,48,4x c x c f x x c c x c x c x c ++≥-⎧⎪=++--≤<-⎨⎪---<--⎩当n a c ≥-时，18n n a a c c +=-+>；当4n c a c --≤<-时，12382(4)38n n n a a a c c c c +=++≥--++=-；当4n a c <--时，1282(4)8n n n a a a c c c c +=-->------=-. ∴对任意*n ∈N ，1n n a a c +-≥；（3）假设存在a 1，使得a 1，a 2，…，a n ，…成等差数列. 由（2）及0c >，得1n n a a +≥，即{}n a 为无穷递增数列. 又{}n a 为等差数列，所以存在正数M ，当n M >时，n a c ≥-，从而1()8n n n a f a a c +==++，由于{}n a 为等差数列，因此公差8d c =+. ①当14a c <--时，则211()8a f a a c ==---，又2118a a d a c =+=++，故1188a c a c ---=++，即18a c =--，从而20a =，当2n ≥时，由于{}n a 为递增数列，故20n a a c ≥=>-，1()8n n n a f a a c +=∴=++，而218a a c =++，故当18a c =--时，{}n a 为无穷等差数列，符合要求；②若14c a c --≤<-，则211()338a f a a c ==++，又2118a a d a c =+=++，113388a c a c ∴++=++，得1a c =-，应舍去；③若1a c ≥-，则由1n a a ≥得到1()8n n n a f a a c +==++，从而{}n a 为无穷等差数列，符合要求.综上可知：a 1的取值范围为{8}[,)c c ---+∞.【提示】（1）对于分别取1n =，2，1()n n a f a +=，*n ∈N .去掉绝对值符合即可得出；（2）由已知可得8,()338,48,4x c x c f x x c c x c x c x c ++≥-⎧⎪=++--≤<-⎨⎪---<--⎩，分三种情况讨论即可证明；（3）由（2）及0c >，得1n n a a +≥，即{}n a 为无穷递增数列.分以下三种情况讨论：当14a c <--时，当14c a c --≤<-时，当1a c ≥-时.即可得出a 1的取值范围.【考点】数列的函数特性，等差关系的确定，数列与函数的综合。

2013理科二模-上海市徐汇松江金山区高三数学

2013年上海市徐汇、松江、金山区高三年级二模试卷——数学（理科）2013年4月（考试时间120分钟，满分150分）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．若函数()(0,1)xf x a a a =>≠的反函数图像过点(2,1)-，则a = .2．已知函数[]13(),8,64f x x x =∈的值域为A ，集合43|01x x B x x ⎧-⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B = .3．已知(,0)2πα∈-，且4cos 5α=，则tan 2α=___________.4．已知圆锥的母线长为5，侧面积为π15，则此圆锥的体积为__________（结果保留π）.5．已知32i x =--（i 为虚数单位）是一元二次方程20x ax b ++= (,a b 均为实数)的一个根，则a b +=__________.6．如图给出的是计算1111352013++++的值的一个程序框图，图中空白执行框内应填入i = .7. 在极坐标系中,过圆6cos ρθ=的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程是__________.8. 将参数方程212cos x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数，R θ∈）化为普通方程，所得方程是_____ _____. 9. 在二项式63()()ax a R x+∈的展开式中，常数项的值是20-，则23lim()n n a a a a →∞++++= .10．一质地均匀的正方体三个面标有数字0，另外三个面标有数字1.将此正方体连续抛掷两次，若用随机变量ξ表示两次抛掷后向上面所标有的数字之积，则数学期望ξE =___________.11．已知椭圆2212516x y +=内有两点()()1,3,3,0,A B P 为椭圆上一点，则PA PB +的最大值为 .第6题图12.如图，O为直线02A A外一点，若0123452013,,,,,,,A A A A A A A 中任意相邻两点的距离相等，设02013,OA a OA b==，用,a b 表示0122013OA OA OA OA ++++uuu r uuu r uuu r uuuuu rL L ，其结果为 .13.设函数()f x x x =，将()f x 向左平移a (0)a >个单位得到函数()g x ，将()f x 向上平移a (0)a >个单位得到函数()h x ,若()g x 的图像恒在()h x 的图像的上方，则正数a 的取值范围为 .14.如图，现将一张正方形纸片进行如下操作：第一步，将纸片以D 为顶点，任意向上翻折，折痕与BC 交于点1E ，然后复原，记11CDE α∠=；第二步，将纸片以D 为顶点向下翻折，使AD 与1E D 重合，得到折痕2E D ,然后复原，记22ADE α∠=；第三步，将纸片以D 为顶点向上翻折，使CD 与2E D 重合，得到折痕3E D ，然后复原，记33CDE α∠=；按此折法从第二步起重复以上步骤……，得到12,,,,n ααα，则lim n n α→∞=.二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．已知,a b 为实数，命题甲：2ab b >，命题乙：110b a<<，则甲是乙的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件16．已知函数()1,00,01,0x f x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，设2()()F x x f x =⋅，则()F x 是（）A.奇函数，在(,)-∞+∞上单调递减B.奇函数，在(,)-∞+∞上单调递增C.偶函数，在(),0-∞上递减，在()0,+∞上递增D.偶函数，在(),0-∞上递增，在()0,+∞上递减第12题图A 0201317．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22 (0C)”.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）： ①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22； ②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8；则肯定进入夏季的地区有 ( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个18. 如图所示，向量BC 的模是向量AB 的模的t 倍，AB BC 与的夹角为θ,那么我们称向量AB 经过一次(),t θ变换得到向量BC .在直角坐标平面内，设起始向量()14,0OA =，向量1OA 经过1n -次12,23π⎛⎫⎪⎝⎭变换得到的向量为()1*,1n n A A n N n -∈>，其中*12,,()i i i A A A i N ++∈为逆时针排列，记i A 坐标为()(),*i i a b i N ∈，则下列命题中不正确．．．的是（）A. 2b =3130k k b b +-=()*k N ∈ C. 31310k k a a +--=()*k N ∈D. ()()43180k k k k a a a a +++-+-=()*k N ∈三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．(本题满分12分)在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C的对边，且sin cos cos sin 2A C A C +=,若b =ABC ∆的面积ABC S ∆=，求a c +的值.20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为k .轮船的最大速度为15海里/小时.当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用（不论速度如何）总计是每小时150元.假定运行过程中轮船以速度v 匀速航行．（1）求k 的值；（2）求该轮船航行100海里的总费用W （燃料费+航行运作费用）的最小值.21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，已知111ABC A B C 是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是2，D 为侧棱1CC 的中点．（1）求异面直线1A D 与BC 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求直线11A B 到平面DAB 的距离.DBCAB 1C 1A 1第21题图22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知数列{}*()n a n N ∈的前n 项和为n S ,数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为0，公差为12的等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()*42()15n an b n N =⋅-∈，对任意的正整数k ，将集合{}21221,,k k k b b b -+中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为k d ，求证：数列{}k d 为等比数列；（3）对（2）题中的k d ，求集合{}1,k k x d x d x Z +<<∈的元素个数.23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题有三个问题情形，每位考生只能选择一个作答，若多答，只对所答情形中最前面的一个记分，情形一、二、三满分依次为5分、6分、8分.已知双曲线C 的中心在原点，()1,0D 是它的一个顶点，d =是它的一条渐近线的一个方向向量. (1) 求双曲线C 的方程；(2) 若过点(3,0-)任意作一条直线与双曲线C 交于,A B 两点 (,A B 都不同于点D )，求证：DA DB ⋅为定值；(3) 对于双曲线Γ:22221(0,0,)x y a b a b a b-=>>≠，E 为它的右顶点，,M N 为双曲线Γ上的两点(都不同于点E )，且EM EN ⊥，那么直线MN 是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，说明理由.然后在以下三个情形中选择一个，写出类似结论（不要求书写求解或证明过程）.情形一：双曲线22221(0,0,)x y a b a b a b-=>>≠及它的左顶点；情形二：抛物线22(0)y px p =>及它的顶点；情形三：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>及它的顶点.参考答案一．填空题:(本题共有14题，每小题4分)1．122. [)2,33. 247-4. 12π5. 19 6．2i + 7. cos 3ρθ=8. 23y x =-+(x ≤≤) 9. 14- 10. 1411.15 12.1007()a b +13.2a > 14.6π二．选择题：（本题共有4小题，每小题5分） 15. B 16. B 17. C 18.D 三．解答题 19．（本题12分）解：由条件可得sin()A C +=2分即sin B =，……………4分1sin 2ABC S ac B ∆=3.ac ∴=………………………………8分由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=,得22()22cos ,b a c ac ac B =+--………………10分于是，217()23(1).2a c =+-⋅+4a c ∴+=. ………………………………………12分 20.（本题14分）本题共有2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分. 解：（1）由题意得燃料费21W kv =，………………………………2分把v =10，196W =代入得0.96k =.………………………………………………6分（2）21001001500.96W v v v ⨯=⋅+，……………………………………9分=150********v v+≥=，………………………11分其中等号当且仅当1500096v v=时成立，解得12.515v ==<，……………13分所以，该轮船航行100海里的总费用W 的最小值为2400（元）. ……………………………14分21．（本题14分）本题共有2题，第(1)小题6分,第(2)小题8分. 解：（1）方法一：以11A B 中点O 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系.………1分由题意得()()()(11,0,0,0,1,3,1,2,0,A D B C -则()(11,1,3,A D BC =-=. .............3分cos θ==设θ为向量1A D BC与的夹角，则，.....5分异面直线1A D与BC所成角的大小为arccos . ...... 6分方法二：取1B B中点E，连结1,A E DE.//DE CB………………………………….2分1A DE∴∠（或其补角）为异面直线1A D BC与所成的角. ……3分由题意得:在11Rt A B E∆中，1A E=在11Rt A C D∆中，1A D;……………………4分在等腰三角形1A DE中，………5分所以异面直线1A D与BC所成角的大小为 . .... 6分（2）方法一：由题意可得11//A B ABD平面,所以，11A B到平面DAB的距离即为1A到平面DAB的距离，设为h. …………….8分设平面ABD的法向量为n，(),,1n x y=r,由()()()1(1,0,0),1,2,0,0,1,3,1,2,0A A D B-得()()(1200113AB AD A D=-=--=-，，，，，，,…………………11分,即()0,3,1n=. ……………………………………………………12分所以故直线11A B到平面DAB…………………………………14分方法二：由题意可得11//A B ABD平面,所以，11A B到平面DAB的距离即为1A到平面DAB的距离，设为h.…………….8分由题意得12A D AD BD AB====，等腰ADB∆底边AB2=，EDBCAB1C1A1200x xAB nx y yAD n⎧-==⎧⎧⋅=⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨--==⎪⎪⋅=⎪⎩⎩⎩1n A Dhn+⋅===arccos55112cos5DEA DEA D∠==1222,2ABD S ∆=⋅⋅=则12AA B S ∆=，且D 到平面11ABB A12分由11A ABD D A AB V V --=得……………………………………………………………13分，则h =所以，直线11A B 到平面DAB.……………14分22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分, 第（3）小题满分6分. 解：(1)由条件得10(1)2n S n n =+-，即(1)2n nS n =-,…………………………..2分所以，*1()n a n n N =-∈. ……………………………………………………..4分(2) 由（1）可知1*4(2)()15n n b n N -=⋅-∈ 所以，22222144(2)21515k k k b ---=-=⋅，2121244(2)21515k k k b --=-=-⋅,222144(2)21515k k k b +=-=⋅，…………………………..7分由212212k k k b b b -+=+及22121k k k b b b -+<<得22121,,k k k b b b -+依次成递增的等差数列, …………………………..8分所以22221214442215155kk k k k k d b b -+-=-=⋅-⋅=，…………………………..9分满足14k kd d +=为常数，所以数列{}k d 为等比数列. …………………………..10分（3）①当k 为奇数时，112211223101555(1)4(51)55515555(1)5k k k kk k kk k k k k k k k k k C C d C C C --------+-+--====-+-+--，…………………………..12分同样，可得111122011114(51)15555(1)555k k k k k k k k k k k d C C C ++--++++-===-+-+-+,所以，集合{}1,k k x d x d x Z +<<∈的元素个数为111()()155k k d d +--++11133ABD A AB S h S ∆∆⋅⋅=133(41)55k k k d d ++=-+=；……..13分②当k 为偶数时，同理可得集合{}1,k k x d x d x Z +<<∈的元素个数为3(41)5k ⋅-. .…..16分23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题有三个问题情形，每位考生只能选择一个作答，若多答，只对所答情形中最前面的一个记分，情形一、二、三满分依次为5分、7分、8分。

上海2013届高三理科数学最新试题精选(13份含16区二模)分类汇编8：直线与圆

上海2013届高三理科数学最新试题精选（13份含16区二模）分类汇编8：直线与圆一、选择题1 ．（四区（静安杨浦青浦宝山）联考2012学年度第二学期高三（理））若直线2=+by ax 经过点)sin ,(cos ααM ,则（）A ．422≤+b a .B ．422≥+b a .C ．41122≤+b a . D ．41122≥+ba . 2 ．（上海市黄浦区2013年高考二模理科数学试题）如果函数2y x =-的图像与曲线22:4C x y λ+=恰好有两个不同的公共点,则实数λ的取值范围是（）A ．[1,1)-B ．{}1,0-C ．(,1][0,1)-∞-D ．[1,0](1,)-+∞3 ．（上海市八校2013届高三下学期联合调研考试数学（理）试题）若点)1,(b a M 和)1,(cb N 都在直线l :1=+y x 上,则点)1,(a c P ,),1(b cQ 和l 的关系是（）A ．P 和Q 都在l 上B ．P 和Q 都不在l 上C ．P 在l 上,Q 不在l 上D ．P 不在l 上,Q 在l 上二、填空题4 ．（上海市黄浦区2013年高考二模理科数学试题）若直线l 过点(1,3)A -,且与直线230x y --=垂直,则直线l 的方程为___________.5 ．（2013届浦东二模卷理科题）若直线340x y m ++=与圆1)2()1(:22=++-y x C 有公共点,则实数m 的取值范围是____________.三、解答题6 ．（四区（静安杨浦青浦宝山）联考2012学年度第二学期高三（理））本题共有3小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.已知点)0,1(A ,1P 、2P 、3P 是平面直角坐标系上的三点,且1AP 、2AP 、3AP 成等差数列,公差为d ,0≠d .(1)若1P 坐标为()1,1-,2d =,点3P 在直线3180x y --=上时,求点3P 的坐标; (2)已知圆C 的方程是222)3()3(r y x =-+-)0(>r ,过点A 的直线交圆于31P P 、两点,2P 是圆C 上另外一点,求实数d 的取值范围;(3)若1P 、2P 、3P 都在抛物线24y x =上,点2P 的横坐标为3,求证:线段13P P 的垂直平分线与x轴的交点为一定点,并求该定点的坐标.上海2013届高三理科数学最新试题精选（13份含16区二模）分类汇编8：直线与圆参考答案一、选择题 1. B 2. A 3. A 二、填空题 4. 21y x =-+5. ]10,0[ 三、解答题6. 本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.解(1)11AP =,所以35AP =,设()3,Px y 则()221253180x y x y ⎧-+=⎪⎨--=⎪⎩,消去y ,得211300x x -+=, 解得15x =,26x =,所以3P 的坐标为()5,3-或()6,0(2)由题意可知点A 到圆心的距离为13)03()13(22=-+-=t(ⅰ)当130<<r 时,点()1,0A 在圆上或圆外,31132P P AP AP d =-=, 又已知0≠d ,r P P 2031≤≤,所以 0<≤-d r 或 r d ≤<0 (ⅱ)当13≥r 时,点()1,0A 在圆内,所以13213132max=--+=r r d,又已知0≠d ,13220≤<d ,即013<≤-d 或130≤<d结论:当130<<r 时,0<≤-d r 或 r d ≤<0;当13≥r 时,013<≤-d 或130≤<d(3)因为抛物线方程为x y 42=,所以()1,0A 是它的焦点坐标,点2P 的横坐标为3,即82=AP设()111,P x y ,()333,P x y ,则111+=x AP ,133+=x AP ,1322AP AP AP +=, 所以13226x x x +==直线13P P 的斜率3131314y y k x x y y -==-+,则线段13P P 的垂直平分线l 的斜率314l y y k +=-则线段13P P 的垂直平分线l 的方程为()3131324y y y yy x ++-=-- 直线l 与x 轴的交点为定点()5,0。

2013年上海高考数学试题(理科)含详细解析解答

2013年上海市秋季高考理科数学一、填空题 1．计算：20lim______313n n n →∞+=+【解答】根据极限运算法则，201lim3133n n n →∞+=+．2．设m R ∈，222(1)i m m m +-+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则________m =【解答】2220210m m m m ⎧+-=⇒=-⎨-≠⎩． 3．若2211x xx y y y=--，则______x y +=【解答】2220x y xy x y +=-⇒+=．4．已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c ，若22232330a ab b c ++-=，则角C 的大小是_______________（结果用反三角函数值表示）【解答】2222222323303a ab b c c a b ab ++-=⇒=++，故11cos ,arccos 33C C π=-=-． 5．设常数a R ∈，若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为10-，则______a =【解答】2515()(),2(5)71rrr r a T C x r r r x-+=--=⇒=，故15102C a a =-⇒=-． 6．方程1313313x x-+=-的实数解为________ 【解答】原方程整理后变为233238034log 4x x x x -⋅-=⇒=⇒=．7．在极坐标系中，曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为__________【解答】联立方程组得1(1)12ρρρ-=⇒=，又0ρ≥，故所求为12． 8．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示）【解答】9个数5个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为252913118C C -=．9．设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且4CBA π∠=，若AB=4，BC =Γ的两个焦点之间的距离为________【解答】不妨设椭圆Γ的标准方程为22214x y b +=，于是可算得(1,1)C ，得24,23b c ==． 10．设非零常数d 是等差数列12319,,,,x x x x 的公差，随机变量ξ等可能地取值12319,,,,x x x x ，则方差_______D ξ=【解答】10E x ξ=，22221019)30||D d ξ=++++++=．11．若12cos cos sin sin ,sin 2sin 223x y x y x y +=+=，则sin()________x y += 【解答】1cos()2x y -=，2sin 2sin 22sin()cos()3x y x y x y +=+-=，故2sin()3x y +=．12．设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()97a f x x x =++，若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，则a 的取值范围为________【解答】(0)0f =，故011a a ≥+⇒≤-；当0x >时，2()971a f x x a x=+-≥+ 即6||8a a ≥+，又1a ≤-，故87a ≤-． 13．在xOy 平面上，将两个半圆弧22(1)1(1)x y x -+=≥和22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y =和1y =-围成的封闭图形记为D ，如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面，所得截面面积为48ππ，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为__________【解答】根据提示，一个半径为1，高为2π的圆柱平放，一个高为2，底面面积8π的长方体，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即Ω的体积值为221228216πππππ⋅⋅+⋅=+．14．对区间I 上有定义的函数()g x ，记(){|(),}g I y y g x x I ==∈，已知定义域为[0,3]的函数()y f x =有反函数1()y f x -=，且11([0,1))[1,2),((2,4])[0,1)f f --==，若方程()0f x x -=有解0x ，则0_____x =【解答】根据反函数定义，当[0,1)x ∈时，()(2,4]f x ∈；[1,2)x ∈时，()[0,1)f x ∈，而()y f x =的定义域为[0,3]，故当[2,3]x ∈时，()f x 的取值应在集合(,0)[1,2](4,)-∞⋃⋃+∞，故若00()f x x =，只有02x =．二、选择题15．设常数a R ∈，集合{|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-，若A B R ⋃=，则a 的取值范围为（）(A) (,2)-∞(B) (,2]-∞(C) (2,)+∞(D) [2,)+∞【解答】集合A 讨论后利用数轴可知，111a a ≥⎧⎨-≤⎩或11a a a≤⎧⎨-≤⎩，解答选项为B ．16．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件【解答】根据等价命题，便宜⇒没好货，等价于，好货⇒不便宜，故选B ．17．在数列{}n a 中，21n n a =-，若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素,i j i j i j a a a a a =⋅++，（1,2,,7;1,2,,12i j ==）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（）(A)18 (B)28 (C)48(D)63【解答】,21i ji j i j i j a a a a a +=⋅++=-，而2,3,,19i j +=，故不同数值个数为18个，选A ．18．在边长为1的正六边形ABCDEF 中，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,a a a a a ；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,d d d d d .若,m M 分别为()()i j k r s t a a a d d d ++⋅++的最小值、最大值，其中{,,}{1,2,3,4,5}i j k ⊆,{,,}{1,2,3,4,5}r s t ⊆,则,m M 满足（）. (A) 0,0m M =>(B) 0,0m M <>(C) 0,0m M <=(D) 0,0m M <<【解答】作图知，只有0AF DE AB DC ⋅=⋅>，其余均有0i r a d ⋅≤，故选D ．三、解答题19.（本题满分12分）如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=2,AD=1,A 1A=1，证明直线BC 1平行于平面DA 1C ，并求直线BC 1到平面D 1AC 的距离.【解答】因为ABCD-A 1B 1C 1D 1为长方体，故1111//,AB C D AB C D =，故ABC 1D 1为平行四边形，故11//BC AD ，显然B 不在平面D 1AC 上，于是直线BC 1平行于平面DA 1C ；直线BC 1到平面D 1AC 的距离即为点B 到平面D 1AC 的距离设为h考虑三棱锥ABCD 1的体积，以ABC 为底面，可得111(12)1323V =⨯⨯⨯⨯=C 11A而1ADC ∆中，11AC DC AD ==132AD C S ∆= 所以，13123233V h h =⨯⨯=⇒=，即直线BC 1到平面D 1AC 的距离为23．20．（6分+8分）甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每小时可获得利润是3100(51)x x+-元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润. 【解答】(1)根据题意，33200(51)30005140x x x x+-≥⇒--≥ 又110x ≤≤，可解得310x ≤≤ (2)设利润为y 元，则4290031161100(51)910[3()]612y x x x x =⋅+-=⨯--+ 故6x =时，max 457500y =元．21．（6分+8分）已知函数()2sin()f x x ω=，其中常数0ω>；（1）若()y f x =在2[,]43ππ-上单调递增，求ω的取值范围；（2）令2ω=，将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，区间[,]a b （,a b R ∈且a b <）满足：()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[,]a b 中，求b a -的最小值．【解答】(1)因为0ω>，根据题意有34202432ππωωππω⎧-≥-⎪⎪⇒<≤⎨⎪≤⎪⎩ (2) ()2sin(2)f x x =，()2sin(2())12sin(2)163g x x x ππ=++=++1()0sin(2)323g x x x k πππ=⇒+=-⇒=-或7,12x k k Z ππ=-∈，即()g x 的零点相离间隔依次为3π和23π，故若()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点，则b a -的最小值为2431415333πππ⨯+⨯=．22．（3分+5分+8分）如图，已知曲线221:12x C y -=，曲线2:||||1C y x =+，P 是平面上一点，若存在过点P 的直线与12,C C 都有公共点，则称P 为“C 1—C 2型点”．(1)在正确证明1C 的左焦点是“C 1—C 2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；(2)设直线y kx =与2C 有公共点，求证||1k >，进而证明原点不是“C 1—C 2型点”； (3)求证：圆2212x y +=内的点都不是“C 1—C 2型点”．【解答】：（1）C 1的左焦点为(F ，过F的直线x =C 1交于(±，与C 2交于(1))±，故C 1的左焦点为“C 1-C 2型点”，且直线可以为x = （2）直线y kx =与C 2有交点，则(||1)||1||||1y kxk x y x =⎧⇒-=⎨=+⎩，若方程组有解，则必须||1k >；直线y kx =与C 2有交点，则2222(12)222y kx k x x y =⎧⇒-=⎨-=⎩，若方程组有解，则必须212k < 故直线y kx =至多与曲线C 1和C 2中的一条有交点，即原点不是“C 1-C 2型点”。

2013年高考理科数学上海卷word解析版

率是______(结果用最简分数表示)．
13
答案： 9 个数
18
5 个奇数，4
个偶数，根据题意所求概率为 1－
C52 C92
13 . 18
9．设 AB 是椭圆 Γ 的长轴，在 C 在 Γ 上，且∠CBA＝ .若 AB＝4，BC＝ 2 ，则 Γ 的两个焦点之间的
4
距离为______．
答案：
46 3
a1、a2、a3、a4、a5；以 D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 d1、d2、d3、d4、d5.若 m、M 份别为
2
(ai＋aj＋ak)·(dr＋ds＋dt)的最小值、最大值，其中{i，j，k} {1,2,3,4,5}，{r，s，t} {1,2,3,4,5}，则
m、M 满足( )
cij＝ai·aj＋ai＋aj(i＝1,2，…，7；j＝1,2，…，12)，则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为( )
A．18
B．28
C．48
D．63
答案：A ai，j＝ai·aj＋ai＋aj＝2i＋j－1，而 i＋j＝2,3，…，19，故不同数值个数为 18，选 A. 18．在边长为 1 的正六边形 ABCDEF 中，记为 A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为
A．m＝0，M＞0
B．m＜0，M＞0
C．m＜0，M＝0
D． m＜0，M＜0

答案：D 作图验证知，只有 AF DE ＝ AB DC ＞0，其余均有 ai dr ≤0，故选 D.
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷0资配不料置仅试技可卷术以要是解求指决，机吊对组顶电在层气进配设行置备继不进电规行保范空护高载高中与中资带资料负料试荷试卷下卷问高总题中2体2资配，料置而试时且卷，可调需保控要障试在各验最类；大管对限路设度习备内题进来到行确位调保。整机在使组管其高路在中敷正资设常料过工试程况卷中下安，与全要过，加度并强工且看作尽护下可关都能于可地管以缩路正小高常故中工障资作高料；中试对资卷于料连继试接电卷管保破口护坏处进范理行围高整，中核或资对者料定对试值某卷，些弯审异扁核常度与高固校中定对资盒图料位纸试置，.卷编保工写护况复层进杂防行设腐自备跨动与接处装地理置线，高弯尤中曲其资半要料径避试标免卷高错调等误试，高方要中案求资，技料编术试5写交卷、重底保电要。护气设管装设备线置备4高敷动调、中设作试电资技，高气料术并中课3试中且资件、卷包拒料中管试含绝试调路验线动卷试敷方槽作技设案、，术技以管来术及架避系等免统多不启项必动方要方式高案，中；为资对解料整决试套高卷启中突动语然过文停程电机中气。高课因中件此资中，料管电试壁力卷薄高电、中气接资设口料备不试进严卷行等保调问护试题装工，置作合调并理试且利技进用术行管，过线要关敷求运设电行技力高术保中。护资线装料缆置试敷做卷设到技原准术则确指：灵导在活。分。对线对于盒于调处差试，动过当保程不护中同装高电置中压高资回中料路资试交料卷叉试技时卷术，调问应试题采技，用术作金是为属指调隔发试板电人进机员行一，隔变需开压要处器在理组事；在前同发掌一生握线内图槽部纸内故资，障料强时、电，设回需备路要制须进造同行厂时外家切部出断电具习源高题高中电中资源资料，料试线试卷缆卷试敷切验设除报完从告毕而与，采相要用关进高技行中术检资资查料料和试，检卷并测主且处要了理保解。护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

(完整版)2013年上海高考理科数学试题及答案

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（上海卷）一、填空题1．计算：20lim______313n n n →∞+=+2．设m R ∈，222(1)i m m m +-+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则________m =3．若2211x x x y y y =--，则______x y += 4．已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c ，若22232330a ab b c ++-=，则角C 的大小是_______________（结果用反三角函数值表示）5．设常数a R ∈，若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为10-，则______a =．6．方程1313313x x -+=-的实数解为________7．在极坐标系中，曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为__________．8．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示） 9．设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且4CBA π∠=，若AB=4，2BC =，则Γ的两个焦点之间的距离为________10．设非零常数d 是等差数列12319,,,,x x x x L 的公差，随机变量ξ等可能地取值12319,,,,x x x x L ，则方差_______D ξ=11．若12cos cos sin sin ,sin 2sin 223x y x y x y +=+=，则sin()________x y +=．12．设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()97a f x x x=++，若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，则a 的取值范围为________13．在xOy 平面上，将两个半圆弧22(1)1(1)x y x -+=≥和22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y =和1y =-围成的封闭图形记为D ，如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面，所得截面面积为2418y ππ-+，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为__________14．对区间I 上有定义的函数()g x ，记(){|(),}g I y y g x x I ==∈，已知定义域为[0,3]的函数()y f x =有反函数1()y f x -=，且11([0,1))[1,2),((2,4])[0,1)f f --==，若方程()0f x x -=有解0x ，则0_____x =二、选择题15．设常数a R ∈，集合{|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-，若A B R ⋃=，则a 的取值范围为（）(A) (,2)-∞ (B) (,2]-∞ (C) (2,)+∞(D)[2,)+∞16．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件17．在数列{}n a 中，21nn a =-，若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素,i j i j i j a a a a a =⋅++，（1,2,,7;1,2,,12i j ==L L ）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（）(A)18 (B)28 (C)48 (D)6318．在边长为1的正六边形ABCDEF 中，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,a a a a a u r u u r u u r u u r u u r ；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,d d d d d u u r u u r u u r u u r u u r.若,m M 分别为()()i j k r s t a a a d d d ++⋅++u r u u r u u r u u r u u r u u r的最小值、最大值，其中{,,}{1,2,3,4,5}i j k ⊆,{,,}{1,2,3,4,5}r s t ⊆,则,m M 满足（）. (A) 0,0m M => (B) 0,0m M <> (C) 0,0m M <= (D) 0,0m M <<三、解答题19.（本题满分12分）如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=2,AD=1,A 1A=1，证明直线BC 1平行于平面DA 1C ，并求直线BC 1到平面D 1AC 的距离.20．（6分+8分）甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每小时可获得利润是3100(51)x x+-元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润. 21．（6分+8分）已知函数()2sin()f x x ω=，其中常数0ω>；（1）若()y f x =在2[,]43ππ-上单调递增，求ω的取值范围；（2）令2ω=，将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，区间[,]a b （,a b R ∈且a b <）满足：()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[,]a b 中，求b a -的最小值．C 11A22．（3分+5分+8分）如图，已知曲线221:12x C y -=，曲线2:||||1C y x =+，P 是平面上一点，若存在过点P 的直线与12,C C 都有公共点，则称P 为“C 1—C 2型点”．(1)在正确证明1C 的左焦点是“C 1—C 2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；(2)设直线y kx =与2C 有公共点，求证||1k >，进而证明原点不是“C 1—C 2型点”； (3)求证：圆2212x y +=内的点都不是“C 1—C 2型点”． 23．（3 分+6分+9分）给定常数0c >，定义函数()2|4|||f x x c x c =++-+，数列123,,,a a a L 满足*1(),n n a f a n N +=∈.（1）若12a c =--，求2a 及3a ；（2）求证：对任意*1,n n n N a a c +∈-≥，；（3）是否存在1a ，使得12,,,n a a a L L 成等差数列？若存在，求出所有这样的1a ，若不存在，说明理由.2013年上海高考理科数学（参考答案）一．填空题1.13 2. －2 3. 0 4. 1arccos 3π- 5. －2 6. 3log 4 7. 15+ 8.13189.463 10. 30d ² 11.23 12. 87a ≤- 13. 2216ππ+ 14. 2题号15 16 17 18代号B B A D三．解答题19. 【解答】因为ABCD-A 1B 1C 1D 1为长方体，故1111//,AB C D AB C D =，故ABC 1D 1为平行四边形，故11//BC AD ，显然B 不在平面D 1AC 上，于是直线BC 1平行于平面DA 1C ；直线BC 1到平面D 1AC 的距离即为点B 到平面D 1AC 的距离设为h考虑三棱锥ABCD 1的体积，以ABC 为底面，可得111(12)1323V =⨯⨯⨯⨯=。

2013年上海市高考数学试卷(理科)答案与解析

2013年上海市高考数学试卷(理科)答案与解析2013年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1.（4分）计算：$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^2}\sum\limits_{k=1} ^{n}k\sqrt{n^2+k^2}$考点：数列的极限。

专题：计算题。

分析：根据数列极限的定义即可求解。

解答：$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^2}\sum\limits_{k=1}^{n}k\sqrt{n^2+k^2}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{k}{n}\sqrt{1+\frac{k^2}{n^2}}$int_{0}^{1}x\sqrt{1+x^2}dx=\frac{2}{3}(1+\sqrt{2})$故答案为：$\frac{2}{3}(1+\sqrt{2})$。

点评：本题考查数列极限的求法，属基础题。

2.（4分）设$m\in R$，$m^2+m^{-2}+(m^2-1)i$是纯虚数，其中$i$是虚数单位，则$m=-2$。

考点：复数的基本概念。

专题：计算题。

分析：根据纯虚数的定义可得$m^2-1=0$，$m^2-1\neq0$，由此解得实数$m$的值。

解答：$\because$复数$z=(m^2+m^{-2})+(m-1)i$为纯虚数。

therefore m^2+m^{-2}=0$，$m^2-1\neq0$，解得$m=-2$。

故答案为：$-2$。

点评：本题主要考查复数的基本概念，得到$m^2+m^{-2}=0$，$m^2-1\neq0$，是解题的关键，属于基础题。

上海2013高考数学(理)试题及答案(word版)

2013年上海市秋季高考理科数学一、填空题1．计算：20lim ______313n n n →∞+=+ 【解答】根据极限运算法则，201lim 3133n n n →∞+=+．2．设m R ∈，222(1)i m m m +-+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则________m =【解答】2220210m m m m ⎧+-=⇒=-⎨-≠⎩．3．若2211x xx y y y =--，则______x y +=【解答】2220x y xy x y +=-⇒+=．4．已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c ，若22232330a ab b c ++-=，则角C 的大小是_______________（结果用反三角函数值表示）【解答】2222222323303a ab b c c a b ab ++-=⇒=++，故11cos ,arccos 33C C π=-=-．5．设常数a R ∈，若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为10-，则______a = 【解答】2515()(),2(5)71r r r r a T C x r r r x -+=--=⇒=，故15102C a a =-⇒=-．6．方程1313313x x -+=-的实数解为________【解答】原方程整理后变为233238034log 4x x x x -⋅-=⇒=⇒=．7．在极坐标系中，曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为__________ 【解答】联立方程组得15(1)12ρρρ±-=⇒=，又0ρ≥，故所求为152+．8．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示）【解答】9个数5个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为252913118C C -=．9．设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且4CBA π∠=，若AB=4，2BC =，则Γ的两个焦点之间的距离为________【解答】不妨设椭圆Γ的标准方程为22214x y b +=，于是可算得(1,1)C ，得2446,233b c ==．10．设非零常数d 是等差数列12319,,,,x x x x 的公差，随机变量ξ等可能地取值12319,,,,x x x x ，则方差_______D ξ=【解答】10E x ξ=，2222222(981019)30||19d D d ξ=+++++++=．11．若12cos cos sin sin ,sin 2sin 223x y x y x y +=+=，则sin()________x y +=【解答】1cos()2x y -=，2sin 2sin 22sin()cos()3x y x y x y +=+-=，故2sin()3x y +=．12．设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()97a f x x x =++，若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，则a 的取值范围为________【解答】(0)0f =，故011a a ≥+⇒≤-；当0x >时，2()971a f x x a x =+-≥+即6||8a a ≥+，又1a ≤-，故87a ≤-．13．在x O y 平面上，将两个半圆弧22(1)1(1)x y x -+=≥和22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y =和1y =-围成的封闭图形记为D ，如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面，所得截面面积为2418y ππ-+，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为__________【解答】根据提示，一个半径为1，高为2π的圆柱平放，一个高为2，底面面积8π的长方体，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即Ω的体积值为221228216πππππ⋅⋅+⋅=+．14．对区间I 上有定义的函数()g x ，记(){|(),}g I y y g x x I ==∈，已知定义域为[0,3]的函数()y f x =有反函数1()y f x -=，且11([0,1))[1,2),((2,4])[0,1)f f --==，若方程()0f x x -=有解0x ，则0_____x =【解答】根据反函数定义，当[0,1)x ∈时，()(2,4]f x ∈；[1,2)x ∈时，()[0,1)f x ∈，而()y f x =的定义域为[0,3]，故当[2,3]x ∈时，()f x 的取值应在集合(,0)[1,2](4,-∞⋃⋃+∞，故若00()f x x =，只有02x =．二、选择题15．设常数a R ∈，集合{|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-，若A B R ⋃=，则a 的取值范围为（）(A) (,2)-∞ (B) (,2]-∞ (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞【解答】集合A 讨论后利用数轴可知，111a a ≥⎧⎨-≤⎩或11a a a≤⎧⎨-≤⎩，解答选项为B ．16．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件【解答】根据等价命题，便宜⇒没好货，等价于，好货⇒不便宜，故选B ．17．在数列{}n a 中，21n n a =-，若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素,i j i j i j a a a a a =⋅++，（1,2,,7;1,2,,12i j ==）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（）(A)18 (B)28 (C)48 (D)63【解答】,21i ji j i j i j a a a a a +=⋅++=-，而2,3,,19i j +=，故不同数值个数为18个，选A ．18．在边长为1的正六边形ABCDEF 中，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,a a a a a ；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,d d d d d .若,m M 分别为()()i j k r s t a a a d d d ++⋅++的最小值、最大值，其中{,,}{1,2,3,4,5}i j k ⊆,{,,}{1,2,3,4,5}r s t ⊆,则,m M 满足（）.(A) 0,0m M => (B) 0,0m M <> (C) 0,0m M <= (D) 0,0m M <<【解答】作图知，只有0AF DE AB DC ⋅=⋅>，其余均有0i r a d ⋅≤，故选D ．三、解答题19.（本题满分12分）如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=2,AD=1,A 1A=1，证明直线BC 1平行于平面DA 1C ，并求直线BC 1到平面D 1AC 的距离.【解答】因为ABCD-A 1B 1C 1D 1为长方体，故1111//,AB C D AB C D =，故ABC 1D 1为平行四边形，故11//BC AD ，显然B 不在平面D 1AC 上，于是直线BC 1平行于平面DA 1C ；直线BC 1到平面D 1AC 的距离即为点B 到平面D 1AC 的距离设为h 考虑三棱锥ABCD 1的体积，以ABC 为底面，可得111(12)1323V =⨯⨯⨯⨯=而1ADC ∆中，115,2AC DC AD ===，故132AD C S ∆= 所以，13123233V h h =⨯⨯=⇒=，即直线BC 1到平面D 1AC 的距离为23．20．（6分+8分）甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每小时可获得利润是3100(51)x x +-元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.【解答】(1)根据题意，33200(51)30005140x x x x +-≥⇒--≥又110x ≤≤，可解得310x ≤≤(2)设利润为y 元，则4290031161100(51)910[3()]612y x x x x =⋅+-=⨯--+故6x =时，max 457500y =元．21．（6分+8分）已知函数()2sin()f x x ω=，其中常数0ω>；（1）若()y f x =在2[,]43ππ-上单调递增，求ω的取值范围；（2）令2ω=，将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，区间[,]a b （,a b R ∈且a b <）满足：()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[,]a b 中，求b a -的最小值．【解答】(1)因为0ω>，根据题意有34202432ππωωππω⎧-≥-⎪⎪⇒<≤⎨⎪≤⎪⎩ D1C 1B1A 1D C B A(2) ()2sin(2)f x x =，()2sin(2())12sin(2)163g x x x ππ=++=++ 1()0sin(2)323g x x x k πππ=⇒+=-⇒=-或7,12x k k Z ππ=-∈，即()g x 的零点相离间隔依次为3π和23π，故若()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点，则b a -的最小值为2431415333πππ⨯+⨯=．22．（3分+5分+8分）如图，已知曲线221:12x C y -=，曲线2:||||1C y x =+，P 是平面上一点，若存在过点P 的直线与12,C C 都有公共点，则称P 为“C 1—C 2型点”．(1)在正确证明1C 的左焦点是“C 1—C 2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；(2)设直线y kx =与2C 有公共点，求证||1k >，进而证明原点不是“C 1—C 2型点”；(3)求证：圆2212x y +=内的点都不是“C 1—C 2型点”．【解答】：（1）C 1的左焦点为(3,0)F -，过F 的直线3x =-与C 1交于2(3,)2-±，与C 2交于(3,(31))-±+，故C 1的左焦点为“C 1-C 2型点”，且直线可以为3x =-；（2）直线y kx =与C 2有交点，则(||1)||1||||1y kxk x y x =⎧⇒-=⎨=+⎩，若方程组有解，则必须||1k >；直线y kx =与C 2有交点，则2222(12)222y kx k x x y =⎧⇒-=⎨-=⎩，若方程组有解，则必须212k <故直线y kx =至多与曲线C 1和C 2中的一条有交点，即原点不是“C 1-C 2型点”。

上海市黄浦区2013届高三下学期二模数学(理)试题

黄浦区2013年高考模拟考数学试卷(理科) 2013年4月11日考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题纸两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚； 3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟. 一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题卷相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分． 1．若复数z 满足109z z-=，则z 的值为___________.2．函数()lg(42)f x x =-的定义域为___________.3．若直线l 过点(1,3)A -，且与直线230x y --=垂直，则直线l 的方程为___________.4．等差数列{}n a 的前10项和为30，则14710a a a a +++=___________. 5．执行右边的程序框图，则输出的a 值是___________.6．设a 为常数，函数2()43f x x x =-+，若()f x a +在[0,)+∞上是增函数，则a 的取值范围是___________.7．在极坐标系中，直线:cos 1l ρθ=被圆:4cos C ρθ=所截得的线段长为___________.8．已知点(2,3)P -是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点，双曲线两个焦点间的距离等于4，则该双曲线方程是___________.9．在平行四边形ABCD 中，若2,1,60AB AD BAD ==∠=ou u u r u u u r ，则AB BD ⋅=u u u r u u u r ___________.10．已知,,A B C 是球面上三点，且4,90AB AC cm BAC ==∠=o，若球心O 到平面ABC的距离为__________3cm .11．在ABC ∆中，120,5,7A AB BC ∠===o，则sin sin BC的值为___________.12．已知23230123(3)(3)(3)n x x x x a a x a x a x ++++=+-+-+-L (3)nn a x ++-L()n N *∈且012n n A a a a a =++++L ，则lim4nnn A →∞=___________.13．一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有1件次品. 用户先对产品进行随机抽检以决定是否接受. 抽检规则如下：至多抽检3次，每次抽检一件产品(抽检后不放回)，只要检验到次品就停止继续抽检，并拒收这箱产品；若3次都没有检验到次品，则接受这箱产品，按上述规则，该用户抽检次数的数学期望是___________. 14．已知1()4f x x =-，若存在区间1[,](,)3a b ⊆+∞，使得 {}(),[,][,]y y f x x a b ma mb =⊆=，则实数m 的取值范围是___________.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．已知4cos25θ=，且sin 0θ<，则tan θ的值为 A ．2425- B. 247± C. 247- D. 24716．函数21()1(2)2f x x x =+<-的反函数是A ．3)y x =≤< B. 3)y x =>C ．3)y x =≤< D. 3)y x =>17．下列命题：①“102a <≤”是“存在n N *∈，使得1()2n a =成立”的充分条件；②“0a >” 是“存在n N *∈，使得1()2n a <成立”的必要条件；③“12a >”是“不等式1()2n a <对一切n N *∈恒成立”的充要条件. 其中所以真命题的序号是A ．③ B. ②③ C. ①② D. ①③18．如果函数2y x =-的图像与曲线22:4C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实数λ 的取值范围是A ．[1,1)- B. {}1,0- C. (,1][0,1)-∞-U D. [1,0](1,)-+∞U 三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题卷相应编号的规定区域内写出必要的步骤19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.A BCDA 1B 1ED 1C 1已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，1A D =. （1）求该四棱柱的侧面积与体积；（2）若E 为线段1A D 的中点，求BE 与平面ABCD 所成角的大小.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知复数12sin ,(sin )z x i z x x i λ=+=-(,,x R i λ∈为虚数单位) （1）若122z z i =，且(0,)x π∈，求x 与λ的值；（2）设复数12,z z 在复平面上对应的向量分别为12,OZ OZ u u u u r u u u u r ，若12OZ OZ ⊥u u u u r u u u u r，且()f x λ=，求()f x 的最小正周期和单调递减区间.21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 某医药研究所开发一种新药，在实验药效时发现：如果成人按规定剂量服用，那么服药后每毫升血液中的含药量y （微克）与时间x （小时）之间满足211(01)2(1)41x x axx x ay a x --⎧<<⎪⎪+=⎨⋅⎪>⎪⎩+，其对应曲线（如图所示）过点16(2,)5. （1）试求药量峰值（y 的最大值）与达峰时间（y 取最大值时对应的x 值）；（2）如果每毫升血液中含药量不少于1微克时治疗疾病有效，那么成人按规定剂量服用该药一次后能维持多长的有效时间？（精确到0.01小时）22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分. 设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，经过点F 的动直线l 交抛物线C 于点11(,)A x y ，22(,)B x y 且124y y =-.（1）求抛物线C 的方程；（2）若2()OE OA OB =+u u u r u u u r u u u r(O 为坐标原点)，且点E 在抛物线C 上，求直线l 倾斜角；（3）若点M 是抛物线C 的准线上的一点，直线,,MF MA MB 的斜率分别为012,,k k k .求证：当0k 为定值时，12k k +也为定值.23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 已知数列{}n a 具有性质：①1a 为整数；②对于任意的正整数n ，当n a 为偶数时，12n n a a +=；当n a 为奇数时，112n n a a +-=. （1）若1a 为偶数，且123,,a a a 成等差数列，求1a 的值；（2）设123m a =+(3m >且m ∈N )，数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：123m n S +≤+；（3）若1a 为正整数，求证：当211log n a >+(n ∈N )时，都有0n a =.一、填空题1. 3i ±2. [)1,2-3. 21y x =-+4. 125. 1216. [)2,+∞7. 8. 2213y x -= 9. 3- 10. 64π 11.35 12. 4313. 271014. []3,4二、选择题15. C 16. D 17. B 18. A三、解答题【题目19】【解析】⑴根据题意可得：在1Rt AA D ∆中，高13AA ==∴(222323)232S =⨯+⨯+⨯⨯=22312V =⨯⨯=⑵过E 作EF AD ⊥，垂足为F ，连结BF ，则EF ⊥平面ABCD ， ∵BE ⊂平面ABCD ，∴EF BF ⊥∴在Rt BEF ∆中，EBF ∠就是BE 与平面ABCD 所成的角 ∵1,EF AD AA AD ⊥⊥，∴1EF AA ∥，又E 是1A D 的中点，∴EF 是1AA D ∆的中位线，∴11322EF AA ==在Rt AFB ∆中BF ===∴3tan 210EBF ∠=÷=∴EBF ∠=【题目20】【解析】⑴∵122z z i =，∴2sin 21(sin )x i x x i λ+=++∴2sin 12sin x x xλ=⎧⎪⎨=+⎪⎩， ∵(0,)x π∈，∴6x π=或56π∴1λ=或12λ=-⑵根据题意可知：12(sin ,),(sin ,1),OZ x OZ x x λ==-u u u u r u u u u r∵12OZ OZ ⊥u u u u r u u u u r ，∴120OZ OZ ⋅=u u u u r u u u u r∴2sin cos 0x x x λ+-=∴2sin cos x x x λ=，∴11(1cos22)sin(2)262x x x πλ=-=-+ ∴最小正周期：22T ππ==∵sin x 在3[2,2],22k k k Z ππππ++∈上单调减∴根据复合函数的单调性：32[2,2],622x k k k Z πππππ-∈++∈ ∴5[,],36x k k k Z ππππ∈++∈∴()f x 在5[,],36k k k Z ππππ++∈上单调减【题目21】【解析】将16(2,)5代入函数可得：8a =，∴2218,011()2,141x x xx x f x x +-⎧<<⎪⎪+=⎨⎪≥⎪⎩+⑴当(0,1)x ∈时，288()11x f x x x x==++ ∵12x x+>，∴0()4f x <<当[1,)x ∈+∞时，221242424()1142412114244x x x x x x x x f x +-⋅⋅====+⨯+++ ∵22x ≥ ∴112142x x ⨯+≥，∴0()4f x <≤ ∴当1x =时，有最大值为max (1)4y f ==⑵∵()f x 在(0,1)上单调增，在[1,)+∞上单调减，最大值为4 ∴()1f x =在(0,1)和[1,)+∞各有一解当(0,1)x ∈时，28()11xf x x ==+，解得：4x = 当[1,)x ∈+∞时，212()141x x f x +-==+，解得：2log (8x =+∴当2[4(8x ∈+时，为有效时间区间∴有效的持续时间为：2log (8(4 3.85+-≈小时【题目22】设抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，经过点F 的动直线交抛物线与11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，且124y y =-；⑴求抛物线的方程；⑵若2()OE OA OB =+u u u r u u u r u u u r（O 为坐标原点），且点E 在抛物线C 上，求直线l 的倾斜角；⑶若点M 是抛物线C 的准线上的一点，直线,,MF MA MB 的斜率分别为012,,k k k ，求证：当0k 为定值时，12k k +也为定值。

2013年全国高考理科数学试题分类汇编7：立体几何Word版含答案

------WORD格式-----可编辑-------2013 年全国高考理科数学试题分类汇编7：立体几何一、选择题1 ．（ 2013 年高考新课标1（理））, 容器高 8cm,如图 , 有一个水平放置的透明无盖的正方体容器将一个球放在容器口, 再向容器内注水, 当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度 , 则球的体积为（）A．500cm3B． 866cm3C． 1372cm3D． 2048cm33333【答案】 A2 ．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））设m,n是两条不同的直线 ,,是两个不同的平面 , 下列命题中正确的是（）A．若, m, n, 则m nB．若C．若m n,m,n, 则D．若【答案】 D//, m,n,则 m // n m, m // n , n //, 则3．（ 2013 年上海市春季高考数学试卷( 含答案 ) ）若两个球的表面积之比为1: 4,则这两个球的体积之比为（）A．1: 2B．1: 4C．1: 8D．1:16【答案】 C4．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））已知正四棱柱 ABCD A1 BC1 1D1中 AA1 2 AB ,则CD与平面 BDC1所成角的正弦值等于（）A．2B．3C．2D．1 3333【答案】 A5 ．（ 2013 年高考新课标1（理））某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为------WORD格式-----可编辑-------（）A．168B．88C．1616D．816【答案】 A6 ．（ 2013 年高考湖北卷（理））一个几何体的三视图如图所示, 该几何体从上到下由四个简单几何体组成, 其体积分别记为V1, V2, V3, V4,上面两个简单几何体均为旋转体, 下面两个简单几何体均为多面体, 则有（）A．V1V2V4V3B．V1V3V2V4C．V2V1V3【答案】 C7 ．（ 2013 年高考湖南卷（理））已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形 ,则该正方体的正视图的面积不可能等于（）．．．A．1B．22-1D．2+1 C．22【答案】 C8 ．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））某四棱台的三视图如图所示 , 则该四棱台的体积是122正视图侧视图 11俯视图第 5 题图（）1416A ．4B ．3C ．3D ．6【答案】 B9 ．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯 WORD 版含答案））已知 m, n为异面直线 , m平面, n 平面 . 直线 l 满足 l m, ln, l,l , 则（）A ． //, 且 l //B ． , 且 lC ．与相交 , 且交线垂直于 lD ．与相交 , 且交线平行于 l【答案】 D10 ．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知三棱柱9ABCA 1B 1C 1的侧棱与底面垂直 , 体积为 4 , 底面是边长为3的正三角形 . 若 P 为底面A 1B 1C 1的中心 , 则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为（）5A ．12B ．3C ．4D ．6【答案】 B11．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））某几何体的三视图如题5 图所示 , 则该几何体的体积为（）A ． 560B ． 580C ． 200D ． 24033【答案】 C12 ．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））已知三棱柱ABC A1 B1C1的6个顶点都在球 O的球面上, 若AB3， AC 4 ,A B AC ,AA112 ,则球O的半径为（）A． 3 17B．2 10C．13D．3 1022【答案】 C13．（ 2013年高考江西卷（理））如图 , 正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上 , 且AB CD ,正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF 相交的平面个数分别记为m, n ,那么 m n（）A． 8B． 9C． 10D． 11【答案】A14．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0)画该四面体三视图中的正视图时, 以zOx平面为投影面 , 则得到正视图可以为（）A．B．C．D．【答案】A15．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））在下列命题中, 不是公理的是（）．．A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点, 有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点,那么他们有且只有一条过该点的公共直线A, 过点A16．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））在空间中作平面的垂线, 垂足为 B ,记 B f ( A) .设,是两个不同的平面, 对空间任意一点P ,Q1 f [ f( P)], Q2 f [ f(P)] ,恒有PQ1PQ2,则（）A．平面与平面垂直B．平面与平面所成的( 锐 ) 二面角为450C．平面与平面平行D．平面与平面所成的( 锐 ) 二面角为600【答案】 A17．（ 2013 年高考四川卷（理））一个几何体的三视图如图所示, 则该几何体的直观图可以是【答案】 D二、填空题y21(x1) 和18 ．（ 2013年高考上海卷（理））在xOy 平面上, 将两个半圆弧( x1)2(x3)2y21(x3) 、两条直线y1和 y1围成的封闭图形记D, 如图中阴影为部分 . 记 D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为, 过(0, y)(| y |1) 作的水平截面, 所得的体积值为 __________【答案】 2216 .19．（ 2013 年高考陕西卷（理））某几何体的三视图如图所示, 则其体积为 ___ _____.321 1 1【答案】320．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知圆 O和圆 K 是球 O 的大圆和小圆 , 其公共弦长等于球O 的半径 , OK3 , 且圆 O 与圆 K 所2在的平面所成的一个二面角为60 , 则球 O 的表面积等于 ______.【答案】 1621．（ 2013 年高考北京卷（理））如图 , 在棱长为 2 的正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 中 , E 为 BC 的中点 , 点 P 在线段 D 1E 上 , 点 P 到直线 CC 1的距离的最小值为 __________.D1C 1A 1B 1PDCEAB【答案】2 5 5第 6 页共 40 页22．（ 2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯 WORD版含附加题））如图 , 在三棱柱A1 B1C1 ABC 中,D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点,设三棱锥 F ADE的体积为 V1,三棱柱 A1B1C1ABC的体积为 V2, 则V1 : V2____________.CBAF CE BA D【答案】 1: 2423．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））若某几何体的三视图 ( 单位 :cm) 如图所示 , 则此几何体的体积等于 ________ cm2.4332正视图侧视图3俯视图（第 12 题图）【答案】 2424．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））如图,正方体ABCD A1BC D1,P 为 BC的中点 ,Q 为线段CC1 1 1 的棱长为1上的动点 , 过点 A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S. 则下列命题正确的是 __①②③⑤ ___( 写出所有正确命题的编号 ).1时,S为四边形 ; ②当CQ 13①当 0 CQ时 ,S 为等腰梯形 ; ③当CQ时 ,S 与224第 7页共40页C1D1的交点R满足C1R1131时,S的面积; ④当CQ 1 时,S为六边形;⑤当CQ34为 6 .2【答案】①②③⑤25．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））某几何体的三视图如图所示 , 则该几何体的体积是 ____________.【答案】 161626．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））已知某一多面体内接于一个简单组合体, 如果该组合体的正视图. 测试图 . 俯视图均如图所示, 且图中的四边形是边长为 2 的正方形 , 则该球的表面积是_______________【答案】 1227．（ 2013 年上海市春季高考数学试卷( 含答案 ) ）在如图所示的正方体ABCD A BC D 中,1 1 1 1异面直线 A B 与 BC 所成角的大小为_______11D1C1A1B1D CA B【答案】3第 8页共40页三、解答题28．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））如图,AB是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点 .(I) 求证 : 平面PAC平面PBC；(II)若 AB 2，AC 1， PA 1，求证：二面角 C PB A的余弦值 .【答案】29．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学如图 , 四棱锥P ABCD （理）试题（含答案））中 , PA底面 ABCD , BC CD 2, AC 4, ACBACD, F为PC的中3点,AF PB .(1) 求PA的长 ; (2)求二面角 B AF D 的正弦值.【答案】1．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））如图,圆锥顶点为p .底面圆心为 o , 其母线与底面所成的角为 22.5 ° . AB 和 CD 是底面圆 O 上的两条平行的弦 , 轴 OP 与平面 PCD 所成的角为 60° .( Ⅰ) 证明 : 平面 PAB 与平面 PCD 的交线平行于底面 ;( Ⅱ) 求 cos COD .【答案】解:( Ⅰ)设面 PAB 面 PCD 直线 m, AB / /CD 且 CD 面PCDAB / / 面PCDAB / /直线 mAB 面 ABCD 直线 m // 面ABCD .所以 , 面 PAB 与面 PCD 的公共交线平行底面 ABCD .( Ⅱ)设底面半径为 r , 线段 CD 的中点为 F ，则OPF60 .由题知 tan 22.5PO.r, tan 60OF tan 60 tan 22.5OF cosCOD, tan 4512tan 22.5 .POr2tan 2 22.5cos COD2 cos2COD 1tan 22.52 -1,cosCOD 1[ 3(2 -1,)]23(3 2 2 )22cos COD17 - 12 2.所以 cos COD 17 - 12 2 .法二 :1．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））如图,在四面体A BCD 中,AD平面 BCD , BC CD , AD2, BD 2 2. M是AD的中点 , P 是 BM 的中点,点Q在线段AC上,且AQ3QC .(1)证明 : PQ //平面BCD ;(2) 若二面角C BM D 的大小为60 0,求 BDC 的大小 .AMPQB DC（第 20题图）【答案】解 :证明 ( Ⅰ) 方法一: 如图 6, 取MD的中点 F ,且 M 是 AD 中点,所以AF 3 FD .因为 P 是 BM中点 , 所以PF / / BD; 又因为 ( Ⅰ)AQ 3QC且AF 3FD , 所以 QF / / BD , 所以面 PQF / / 面 BDC , 且 PQ 面 BDC , 所以PQ / / 面 BDC ;方法二 : 如图 7所示 , 取 BD 中点 O , 且 P 是 BM 中点 , 所以 PO / / 1MD ; 取 CD 的三等2分点 H , 使 DH3CH , 且 AQ3QC , 所以 QH / / 11, 所以AD / / MD4 2P O/ / Q H且 O HBCD, 所以PQ / / 面 BDC ;P Q/ / ,O H( Ⅱ) 如图 8 所示 , 由已知得到面ADB 面 BDC , 过 C 作 CG BD 于 G , 所以CGBMD , 过 G 作 GH BM 于 H , 连接 CH , 所以 CHG 就是 CBMD 的二面角 ; 由已知得到 BM 8 1 3 , 设BDC, 所以CD cos ,sinCG CB CD2 2 cos , CG 22 cos sin, BC 2 2 sin ,BDCD BD,在 RT BCG 中 ,BCGsinBG BG 2 2 sin2, 所以在 RTBHGBC中 ,HG1 2 2sin2, 所以在 RTCHG 中2 sin2HG32 3tan CHG tan603CG2 2 cos sin HG2 2 sin23tan3(0,90 )60BDC60 ;2．（ 2013 年上海市春季高考数学试卷( 含答案 ) ）如图,在正三棱锥ABC A1B1C1中, AA1 6 ,异面直线 BC1与 AA1所成角的大小为, 求该三棱柱的体积 .6A1C1B1A CB【答案】 [ 解 ] 因为CC1AA1.所以BC1C 为异面直线 BC1与 AA1.所成的角,即BC1C =.6在 Rt BC1C 中,BC CC1tan BC1C32 3 , 63从而 S ABC 3 BC2 3 3 ,4因此该三棱柱的体积为V SABC AA13 3 618 3 .3．（ 2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））本小题满分 14分 .如图 ,在三棱锥S ABC 中,平面 SAB平面 SBC , AB BC , AS AB ,过 A 作AF SB ,垂足为 F ,点 E， G 分别是棱 SA， SC 的中点.求证 :(1) 平面EFG //平面ABC ; (2)BC SA.SE GFCAB【答案】证明 :(1) ∵AS AB , AF SB ∴F分别是SB的中点∵E.F 分别是 SA.SB 的中点∴EF∥AB又∵ EF 平面 ABC, AB 平面 ABC ∴EF ∥平面 ABC 同理 :FG ∥平面 ABC 又∵ EF FG=F, EF.FG 平面 ABC ∴平面 EFG // 平面 ABC(2) ∵平面 SAB 平面 SBC平面 SAB 平面 SBC =BCAF 平面 SABAF ⊥SB∴ A F ⊥平面 SBC 又∵ BC 平面 SBC ∴AF ⊥BC又∵ AB BC , AB AF=A, AB.AF 平面 SAB ∴BC ⊥平面 SAB 又∵ SA 平面 SAB ∴BC ⊥SA4．（ 2013 年高考上海卷（理））如图 , 在长方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 中 ,AB=2,AD=1,A 1A=1, 证明直线BC 1 平行于平面 DA 1C, 并求直线 BC 1 到平面 D 1AC 的距离 .DCABC 1A 1 D 1B 1【答案】因为 ABCD-AB C D 为长方体 , 故 AB // C 1 D 1 , ABC 1D 1 ,1 1 11故 ABC 1D 1 为平行四边形 , 故BC 1 // AD 1 , 显然 B 不在平面 1 于是直线 1DAC 上, BC 平行于平面 DA 1C;直线 BC 1 到平面 D 1AC 的距离即为点B 到平面 D 1AC 的距离设为 h考虑三棱锥 ABCD 1的体积 , 以 ABC 为底面 , 可得 V1 ( 11 2) 1 132 3 而ADC 中 , ACDC5, AD2 , 故 S AD C 311112所以1 3 12 , 即直线 BC 到平面 D AC 的距离为 2, Vhh.32331 135．（ 2013 年高考湖北卷（理））如图 , AB 是圆 O 的直径 , 点 C 是圆 O 上异于 A, B 的点 , 直线PC平面 ABC ,E ,F 分别是 PA , PC 的中点 .(I) 记平面 BEF 与平面 ABC 的交线为 l , 试判断直线 l 与平面 PAC 的位置关系 , 并加以证明 ; (II) 设 (I) 中的直线 l 与圆 O 的另一个交点为D , 且点 Q 满足 DQ1CP . 记直线 PQ2与平面 ABC 所成的角为 , 异面直线 PQ 与 EF 所成的角为 , 二面角 E l C 的大小为, 求证 : sinsin sin .第19 题图【答案】解 :(I)EF AC , AC平面ABC,EF平面ABC EF 平面 ABC又EF 平面 BEFEF ll平面 PAC(II)连接 DF, 用几何方法很快就可以得到求证.( 这一题用几何方法较快 , 向量的方法很麻烦 , 特别是用向量不能方便的表示角的正弦 . 个人认为此题与新课程中对立体几何的处理方向有很大的偏差 .)6．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））如图1,在等腰直角三角形 ABC 中, A 90 , BC6, D , E 分别是 AC , AB 上的点,CD BE 2 ,O为BC 的中点.将ADE 沿 DE 折起,得到如图 2 所示的四棱锥A BCDE ,其中A O 3 .( Ⅰ)证明 : A O平面 BCDE ;(Ⅱ) 求二面角 A CD B 的平面角的余弦值 .C O.B AD ECO BA D E图 1图 2【答案】 ( Ⅰ) 在图 1 中 , 易得OC3, AC 3 2, AD 2 2ACO BD EH连结 OD ,OE ,在OCD 中,由余弦定理可得OD OC 2CD 22OC CD cos455由翻折不变性可知 A D2 2 ,所以A O2OD 2 A D 2,所以 A O OD ,理可证 A O OE ,又 OD OE O ,所以 A O 平面 BCDE .( Ⅱ) 传统法 : 过O作OH CD 交 CD 的延长线于 H ,连结 A H ,因为 A O平面 BCDE ,所以 A H CD ,所以 A HO 为二面角 A CD B 的平面角.结合图 1 可知 ,H 为 AC 中点,故 OH32, 从而A H OH2OA 23022所以 cos A HO OH15, 所以二面角A CD B 的平面角的余弦值为15 .A H5z5A向量法 : 以O点为原点 , 建立空间直角坐标系O xyz 如图所示,则 A0,0,3, C0,3,0, D 1,2,0COD 所以 CA0,3,3,DA1,2,3E x向量法图设 n x, y, z为平面 A CD 的法向量,则n CA03y3z0, 解得y x1 ,得 n1, 1, 3, 即, 令x n DA0x 2 y3z0z3x由( Ⅰ) 知 , OA0,0, 3为平面 CDB 的一个法向量,所以 cos n,OA n OA315, 即二面角A CD B 的平面角的余弦n OA355By值为15 .57（． 2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））四棱柱 1 1 1 1如图 ,ABCD-A B CD 中,侧棱 A1A⊥底面 ABCD,AB// DC,AB⊥AD,AD= CD= 1, AA1=AB= 2, E 为棱 AA1的中点 .( Ⅰ) 证明B C⊥CE;11( Ⅱ ) 求二面角B1- CE- C1的正弦值 .( Ⅲ )设点在线段 1 上,且直线与平面 1 1 所成角的正弦值为2, 求线段AM M CE AM ADDA6的长 .【答案】8．（ 2013 年高考新课标1（理））如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60°.( Ⅰ) 证明 AB⊥ A1C;( Ⅱ) 若平面ABC⊥平面 AA1B1B,AB=CB=2,求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值.【答案】 ( Ⅰ) 取 AB中点 E, 连结 CE, A1B , A1E ,∵A B= AA1 , BAA1 = 600 , ∴BAA1是正三角形 ,∴ A1E ⊥AB,∵ CA=CB,∴ CE⊥ AB,∵CE A1E =E,∴AB⊥面 CEA1,∴AB⊥AC ;1( Ⅱ) 由( Ⅰ) 知 EC⊥AB, EA1⊥ AB,又∵面 ABC⊥面ABB1A1 , 面 ABC∩面ABB1A1 =AB, ∴ EC⊥面ABB1A1 , ∴ EC⊥EA1 ,∴E A,EC, EA1两两相互垂直 , 以 E 为坐标原点 , EA的方向为x轴正方向 ,| EA | 为单位长度 , 建立如图所示空间直角坐标系O xyz,有题设知A(1,0,0),A1(0,3,0),C(0,0, 3 ),B(-1,0,0),则BC=(1,0,3),BB1=AA1=(-1,0,3),AC=(0,-3,3),1设n =(x, y, z)是平面CBB1C1的法向量,n BC0x3z0则, 即, 可取n =( 3 ,1,-1), n BB10x3y0∴ cos n, A1C=n A1C|10 ,| n || AC15∴直线 A 1C 与平面 BB 1C 1C 所成角的正弦值为1059．（ 2013 年高考陕西卷（理））如图 ,四棱柱1 1 1 1O 为底面ABCD -A B CD 的底面 ABCD 是正方形 , 中心 , A 1O ⊥平面 ABCD , AB AA 1 2 .( Ⅰ) 证明 : A C ⊥平面 BBDD ;11 1( Ⅱ ) 求平面 OCB 1与平面 BB 1D 1D 的夹角的大小 .D 1C1A 1B 1DCAOB【答案】解:( Ⅰ)A 1O 面ABCD, 且BD 面ABCD, A 1OBD ; 又因为 , 在正方形ABCD 中,ACBD ；且 A 1 O ACA, 所以 BD 面A 1 AC 且A 1C 面A 1 AC ，故 A 1C BD.在正方形 AB CD 中 ,AO = 1 . 在 RT A 1OA 中， A 1O 1.设B 1D 1的中点为 E 1，则四边形 A 1OCE 1为正方形，所以 A 1 C E 1O .又BD面 BB D D , E 1 O 面 BB D D ，且BD E 1 OO ，所以由以上三点得1 1 1 1. A 1C 面 BB 1 D 1D .( 证毕 )( Ⅱ )建立直角坐标系统, 使用向量解题 .以 O 为原点 , 以 OC 为 X 轴正方向 , 以 OB 为 Y 轴正方向 . 则B （0,1,0）,C (1，0，0), A 1 (0，0，1), B 1 (1,1,1)A 1C (1,0, 1) .由( Ⅰ) 知 , 平面 BB 1D 1D 的一个法向量 n 1 A 1C (1,0, 1),OB 1(1,1,1), OC （1,0,0）.设平面 OCB 的法向量为1D 1C 1A 1Bn 2 ,则n 2OB 10, n 2 OC 0，1解得其中一个法向量为n 2 (0,1,-1).DC| n 1 n 2 |1 1AOcos| cos n 1, n 1|B.所以 , 平面 OCB 1与平面 BB 1D 1D 的夹角为310 ．（ 2013 年高考江西卷（理））如图 , 四棱锥 PA B C中,PA平面 ABCD, E 为BD 的中点,G 为 PD 的中点，DABDCB , EA EBAB1， PA3, 连接 CE 并延长交 AD 于 F .2(1) 求证 : AD 平面 CFG ;(2) 求平面 BCP 与平面 DCP 的夹角的余弦值 .【答案】解 :(1) 在ABD 中 , 因为 E 是 BD 的中点 , 所以 EA EB ED AB 1,故BAD, ABEAEB,23因为 DAB DCB , 所以 EABECB ,从而有 FED FEA ,故 EFAD , AF FD , 又因为 PG GD, 所以 FG ∥ PA .又 PA 平面 ABCD ,所以 GFAD , 故 AD 平面 CFG .(3) 以点 A 为坐标原点建立如图所示的坐标系 , 则A(0,0,0), B(1,0,0), C (3,3,0), D (0, 3,0) ,22(4)P(0,0, 3) , 故 BC( 1 ， 3 ，0), CP ( 3 ， 3 , 3),CD( 3 , 3,0)22 22 2 2 2 213设平面 BCP 的法向量 n 1(1, y 1, z 1 ) , 则22 y 1 0,33y 1 3z 1 02 2 2y 133 23 , 即 n 1 (1,解得, ) .z 123 333 32y 2y 23设平面 DCP 的法向量 n 2(1, y 2 , z 2 ) , 则2, 解得3 3 3z 2 2 ,z 2 02y 222即 n(1, 3,2). 从而平面 B C P 与平面 D C P 的夹角的余弦值为2n 1n 2 4 2 cos3 .n 1n 21648911 ．（ 2013 年高考四川卷（理））如图 , 在三棱柱 ABCA B C 中 , 侧棱 AA底面111ABC , ABAC 2AA 1 , BAC120 , D , D 1 分别是线段 BC, B 1C 1 的中点 , P 是线段 AD 的中点 .( Ⅰ) 在平面 ABC 内 , 试作出过点 P 与平面 A 1BC 平行的直线 l , 说明理由 , 并证明直线l平面 ADD 1A 1 ;( Ⅱ) 设( Ⅰ) 中的直线l 交 AB 于点 M , 交 AC 于点 N , 求二面角 A A M N 的余弦1值.CDA PC1BD1A1B1【答案】解 :如图,在平面ABC内,过点P做直线l//BC ,因为 l 在平面ABC外,1BC 在平面ABC内,由直线与平面平行的判定定理可知,l //平面ABC.11由已知 , AB AC , D 是 BC 的中点,所以, BC AD ,则直线 l AD .因为 AA1平面ABC,所以AA1直线l.又因为AD, AA1在平面 ADD1A1内,且AD 与 AA1相交,所以直线平面ADD1 A1解法一 :连接 AP ,过A作 AE A P 于E,过E作 EF AM 于F,连接AF.111由知 , MN平面AEA1,所以平面A EA1平面A1MN.所以 AE平面AMN,则AM AE .11所以 A1M平面AEF,则A1M AF .故AFE 为二面角A AM N 的平面角(设为).1设AA11,则由 A B2A 1 C,A BAC A 120,有BAD 60 , AB 2, AD 1 .又 P 为 AD 的中点,所以 M 为 AB 的中点,且 AP 1 , AM 1 ,2在Rt AAP1中 ,A1P5A1 AM 中,AM12.; 在Rt2从而 , AE AA1AP1AFAA1AM1, A1P,A1M52所以 sin AE2AF5.2215 .所以cos1sin 2155故二面角 A AM N 的余弦值为1515解法二 :设1A A E B C A AE , AD AA AA如图 ,过作平行于为坐标原点, 分别以,的1.11 1 1, 以111 11方向为 x轴 , y轴 , z轴的正方向 , 建立空间直角坐标系Oxyz (点 O 与点A1重合).则A1 0,0,0 , A 0,0,1 .因为 P 为 AD 的中点,所以 M , N 分别为 AB, AC 的中点,故 M 31,131,1, ,2, N,222所以 A1M 3,1,1 ,A1A0,0,1 ,NM3,0,0 . 22设平面 AAM1的一个法向量为n1x1 , y1, z1, 则n1A1M ,n1 A1M 0,n1A1A,即n1 A1A 0,故有x1, y1, z13,1,10, 22x1, y1, z10,0,10,3 x 1 y z0,从而 2 1211z10.取 x11,则 y 3 ,所以n11,3,0 .1设平面 AMN1的一个法向量为 n2x2 , y2 , z2,则x2 , y2, z2310,n2A1M ,n2A1M 0,, ,1故有22即n2NM ,n2NM0,x2, y2 , z23,0,00,从而3x21y2z20, 223x20.取 y22 ,则 z1,所以 n0,2, 1 .22设二面角 A AM1N 的平面角为, 又为锐角 ,则 cos n11,3,00,2,115 . n225n1n25故二面角A AM N15的余弦值为1512．（ 2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯 WORD版含附加题））本小题满分10 分 .如图 , 在直三棱柱A1 B1 C1 ABC中,AB AC,AB AC 2 ,AA14,点 D 是BC 的中点(1)求异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值(2)求平面 ADC1与 ABA1所成二面角的正弦值.【答案】本题主要考察异面直线. 二面角 . 空间向量等基础知识以及基本运算, 考察运用空间向量解决问题的能力.解 :(1)以 AB, AC, AA为为单位正交基底建立空间直角坐标系A xyz ,1则A(0,0,0) B(2,0,0) , C ( 0,2,0) ,A1(0,0,4), D (1,1,0) ,C1(0,2,4)∴ A1 B(2,0,4),A1B (1, 1,4)∴ cos A1B, C1 D A1B C1 D18 3 10 A1 B C1D20 1810∴异面直线 A1 B 与 C1 D 所成角的余弦值为310 10(2) AC(0,2,0)是平面 ABA1的的一个法向量设平面ADC1的法向量为 m(x, y, z) ,∵ AD(1,1,0) , AC1 (0,2,4)由 m AD, m AC1x y 0取 z 1, 得y2, x 2, ∴平面ADC1的法向量为m (2, 2,1)∴4z02y设平面ADC1与 ABA1所成二面角为AC m425∴ coscos AC, m, 得sinAC m 2 333∴平面 ADC1与 ABA15所成二面角的正弦值为313．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））如图,四棱锥 P ABCD 中,ABC BAD 90 ，BC 2 AD, PAB 与PAD 都是等边三角形 .(I) 证明 : PB CD ;(II)求二面角 A PD C 的大小.【答案】14．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））如图所示 , 在三棱锥P ABQ 中, PB平面ABQ ,BA BP BQ , D ,C , E, F分别是A Q,B ,Q A, P B P AQ2BD, PD与EQ交于点G,PC与FQ交于点 H ,的中点,连接 GH .( Ⅰ) 求证 : AB GH ; (Ⅱ) 求二面角D GH E 的余弦值.【答案】解:( Ⅰ) 证明 : 因为D , C , E, F分别是AQ, BQ, AP, BP的中点 , 所以 EF ∥ AB , DC ∥ AB ,所以 EF ∥ DC ,又 EF平面 PCD , DC平面PCD,所以 EF ∥平面 PCD ,又 EF平面 EFQ ,平面 EFQ平面 PCD GH ,所以 EF ∥ GH ,又EF ∥ AB ,所以 AB ∥ GH .( Ⅱ) 解法一 : 在△ABQ中 ,AQ 2BD , AD DQ ,所以ABQ=90 ,即AB BQ, 因为PB平面ABQ, 所以AB PB ,又 BP BQ B, 所以AB平面PBQ, 由( Ⅰ) 知AB∥GH ,所以GH平面PBQ,又 FH平面 PBQ ,所以 GH FH ,同理可得 GH HC ,所以FHC 为二面角 D GH E 的平面角,设BABQ BP2,连接 PC ,在Rt△FBC中 , 由勾股定理得 ,FC2 ,在Rt△PBC中 , 由勾股定理得 ,PC 5 ,HC1PC5又 H 为△PBQ的重心,所以33FH 5同理 3 ,5524cos FHC9955在△FHC中 , 由余弦定理得2,94即二面角DGHE的余弦值为 5 .解法二 : 在△ABQ中,AQ2BD ,AD DQ ,所以ABQ 90, 又PB平面 ABQ ,所以 BA, BQ, BP 两两垂直,以B为坐标原点 ,分别以BA, BQ, BP所在直线为x 轴,y轴, z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设BA BQ BP 2,则E(1,0,1), F (0,0,1),Q (0,2,0), D (1,1,0), C (0,1,0)P(0,0, 2),,所以EQ( 1 , 2 ,, FQ(0,2, 1) ,DP(1, 1,2) ,CP (0,1,2) ,设平面EFQ的一个法向量为m( x1 , y1 , z1) ,由m EQ 0 , m FQ 0 , x12y1z10得2 y1z1取y11,得m(0,1,2) .设平面 PDC 的一个法向量为n( x2, y2, z2)由n DP 0 , n CP 0 ,x2y2 2z20得y22z20cos m, nm n 4取z 21,得 nm n5(0,2,1) . 所以4因为二面角DGH E为钝角 , 所以二面角DGHE的余弦值为5 .15．（ 2013 年高考湖南卷（理））如图 5, 在直棱柱ABCD A 1BC 1 1D 中， AD / / BC , BAD90 , AC BD, BC 1, ADAA 1 3.1(I) 证明 : AC B 1 D ; (II)求直线 B C 与平面 ACD所成角的正弦值 .1 11【答案】解 : ( Ⅰ)ABCDA 1B 1C 1D 1是直棱柱 BB 1 面ABCD,且 BD面ABCD BB 1 AC 又ACBD,且BDBB 1B, AC 面BDB 1。