2018年湖南省邵阳市高考数学二模试卷(理科)Word版含解析

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2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题二数学(理科)含答案

2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题二数学（理科）本试卷共5页，23 小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污.损2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答.5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A 2,1,0,1,2, B {x|R x 1x 20}，则A BA.1,0,1B.1,0C.2,1,0D.0,1,22.已知,是相异两平面，m,n是相异两直线，则下列命题中错误的是A.若m//n,m ，则n B．若m ,m ，则//C.若m ,m//，则D．若m//,n，则m//n3.变量X服从正态分布X定点N 10,2,P X 12a，P 8X10b，则直线ax by 1过A．(1,1)B．(1,2)C．(2,1)D．(2,2)4.“欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前300年前，上面的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”，执行该程序框图（图中“aMODb”表示a除以b的余数），若输入的a,b分别为675,125，．．则输出的 a（）A. 0B . 25C. 50D. 755.记不等式组x y 2 2 x y 2 y 2 0表示的平面区域为，点 M 的坐标为 x,y．已知命题 p：M ， xy的最小值为 6；A.命题p q q： M ， p qB ． 45x 2 y 220 qC.；则下列命题中的真命题是 pq 、p q 、q D ．都是假命题6.设F , F 为椭圆 C : x 122my 21的两个焦点，若点 F 在圆 F : x122( y1 2m )2 n上，则椭圆 C 的方程为A ． x2y 2 x 2 1 B ．x 2 2 y 2 1C.22y21D ．2 x2y217.若a20 c o s x d x ，则 ( xa x2 6) 的展开式中含 x 5 项的系数为8. 12 A ．A ．24已知定义在 R 上的奇函数 fx 满足 fC ．12x 2f x，当 D ． 24x0,1时，f x 2x1，则A.f6f7f11 2B.f112f 7f 6C.f7f1111f 79.庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征.正五角星是一个非常优美的几何图f 6D . f 6f22顶点的多边形为正五边形，且PT51AT2.下列关系中正确的是A．BP TS 5151RS B．C Q TP22TSC．ES AP 5151 BQ D．AT BQ22CR10.已知函数f(x)2sin(2x6)在[a4,a](a R)上的最大值为y1，最小值为y，则2y y12的取值范围是A．[22,2]B．[2,22]C．[ 2,2]D．[22,22]11.对于任一实数序列A a,a,a, ，定义A为序列a a,a a,a a, ，它的123213243第n项是an 1an，假定序列(A)的所有项都是1，且a a1820170，则a2018A．0B．1000 C. 1009D．201812.已知M {|f ()0}，N {|g()0}，若存在M ，N，使得||1，则称函数f(x)与g(x)互为“和谐函数”.若f(x)2x 2x 3与g(x)x2ax a 3互为“和谐函数”则实数a的取值范围为A.(2,)B.[2,)C.(2,3)D.(3,)二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分.把答案填在题中的横线上.13.设复数z22 i（其中i为虚数单位），则复数z的实部为_____，虚部为_____．14.点F为双曲线E:x2y21(a 0,b 0)a2b2的右焦点，点P为双曲线上位于第二象限的点，点P关于原点的对称点为Q，且PF 2FQ，OP 5a，则双曲线E的离心率为_____．15.在数列an 中，如果存在非零常数T，使得an Ta对于任意的正整数n均成立，那么就n称数列an 为周期数列，其中T叫数列a的周期．已知数列b满n n足:b b b (n N*)，若b 1，b a(a R,a 0)当数列b的周期最小时，该数列的前2018项的和是，_____． 1 2 n16.一个正八面体的外接球的体积与其内切球的体积之比的比值为_________.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.(本小题满分12分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，M为A C的中点，且4a 4b cos C 3c s in B.(Ⅰ)求cos B的大小；B(Ⅱ)若ABM 450,a 52,求ABC的面积．A M C18.(本小题满分12分）为了治理大气污染，某市2017年初采用了一系列措施，比如“煤改电”，“煤改气”，“整治散落污染企业”等．下表是该市2016年11月份和2017年11月份的空气质量指数（AQI）（AQI指数越小，空气质量越好）统计表．根据表中数据回答下列问题：（1）将2017年11月的空气质量指数AQI数据用该天的对应日期作为样本编号，再用系统抽样方法从中抽取6个AQI数据，若在2017年11月16日到11月20日这五天中用简单随机抽样抽取到的样本的编号是19号，写出抽出的样本数据；（2）根据《环境空气质量指数（A QI ）技术规定（试行）》规定：当空气质量指数为0~50（含50）时，空气质量级别为一级，用从（1）中抽出的样本数据中随机抽取三天的数据，空气质量级别为一级的天数为，求的分布列及数学期望；（3）求出这两年11月空气质量指数为一级的概率，你认为该市2017年初开始采取的这些大气污染治理措施是否有效？19.(本小题满分12分）C如图，底面为直角三角形的三棱柱ABC A B C中，AB AC AA1111，A BA AB A AC 60 110，点D在棱BC上，且AC //1平面ADB.1（Ⅰ）求二面角A-B C-D11的余弦值；C（Ⅱ）求AB1与平面ABC所成角的正弦值.A DB20.(本小题满分12分）已知点A（0，1）,B为y轴上的动点，以AB为边作菱形ABCD，使其对角线的交点恰好落在x轴上.（Ⅰ）求动点D的轨迹E的方程；（Ⅱ）过点A的直线l交轨迹E于M、N两点，分别过点M、N作轨迹E的切线l、l12，且l1与l2交于点P.（ⅰ）证明：点P在定直线上，并写出定直线的方程；（ⅱ）求OMN的面积的最小值.21.(本小题满分12分）111已知函数f x l n xa Rx 1（Ⅰ）讨论函数f x的单调性；.（Ⅱ）若fx 有两个极值点x,x12，证明:fx x122fx f x122.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C:x y 41，曲线C:2x 1cosy sin(为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（I）求曲线C,C12的极坐标方程；（II）若射线(0)与曲线C,C12的公共点分别为A,B，求OBOA的最大值．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知a 0，b 0，c 0，函数f x c a x x b．（I）当a b c1时，求不等式fx3的解集；（II）当 fx 的最小值为3时，求a b c的值，并求111a b c的最小值．2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（二）参考答案一、选择题：题号123456789101112ax二、填空题：13.31,2214.515. 134616.33三、解答题17. (Ⅰ) 由题设知：4sin( B C ) 4sin A 4sin B c os C 3sin C sin BB4cos B 3sin B 0 93c os 2 B , 即 cos B 25 5.………………4 分N AMC（II ）取 AB 的中点 N ，连 MN ，则 MN / / B C 且 MN5 22s in BNM sin B4 5，……………7 分由 BM MN MNsin BNM sin NBM sin ABM知： 4 5 2 1BM 4 5 2 sin 450……………9 分2 4 3S 2S BM BC sin( B 450 ) 4 5 2 ( ) 4 ABC MBC ………………12 分18.解：（1）系统抽样，分段间隔k 30 65，抽出的样本的编号依次是 4 号、9 号、14 号、 19 号、24 号、29 号，对应的样本数据依次是分28 、56、94、48、40、221． (3)C k C 3k（2）随机变量所有可能的取值为 0，1，2,3，且 P ( k ) 3 3 (k 0,1,2,3)C 3 61 9 9 1P ( 0) ， P (1) ， P( 2) ， P ( 3) ，20 20 20 20随机变量的分布列为：0 1 2 3P1209 20 9 20 1 20所以E () 01 9 9 11 2 31.5 20 20 20 20．……………9 分（3）2016 年 11 月AQI指数为一级的概率P 17 30，2017 年 11 月 AQI 指数为一级的概率P 217 30，PP ，说明这些措施是有效的．……………12 分2119. (Ⅰ)解：连 A B ，得 A B ABO , 连 OD ；111ZC'则 O D 平面 ADB1∵ AC / / 平面ADB11平面 A C B ,且 O 为 A B 的中点11A'B'2 5 5CDA BxY∴ A C / /O D ，且 D 为 BC 的中点……………2 分1AB AC AA 1， A ABA AC 60 11∴ A BAC A A , A D B C , AD B C1111设 BC2a ，又底面为直角三角形得 A D AD a , AB AC AA112a∴ A DA 90 10 ，即 A DA D 1，得 A D 1平面 ABC ……………4 分以 D 为原点， DA , DB , DA 分别为 x , y , z 1轴建立空间直角坐标系，则由 A (a ,0,0) , B (0, a ,0) , C (0,a ,0) , A (0,0, a ) ，1AA / / B B / /C C 知： AABB CC (a ,0, a ) 111111，得B (a, a , a ) 1，C (a, a, a ) 1；∴BC(0, 2a ,0) , AB (2a , a , a ) , DB (a, a , a ) , DA (0,0, a ) 1 1111，………6 分设n( x , y , z ) 且 n平面 AB C 1 11 1，则n B C2ay 01 1n AB 2ax ay az 01 取 x1 得 n(1,0,2) ；设 n平面 DB C ，同理：且 n(1,0,1) 121 12 (8)分∴cos n , n123 3 105 2 10，故二面角A -BC -D 1 1的余弦值为3 10 10；…10 分又 DA 为平面 1ABC的法向量，且cos DA , AB111 666，∴ AB 与平面 ABC 所成角的正弦值 1 6 6.……………12 分20. 解：(Ⅰ)设 D ( x , y ) ，则由题设知：B (0, y ) ，由 AB A D 知 x 2 ( y 1)2( y 1)2 ，得 x24 y ( y 0) 为动点 D 的轨迹 E 的方程；……………4 分x x 2 x 2(Ⅱ) （ⅰ）由(Ⅰ)知： y ' ，设 M ( x ,y )、N ( x ,y ) ，则 y 1 , y 2 2 4 4;AM ( x , 1 x 2 x 2 x 2 x 2 1 1)、AN ( x , 2 1) 由题设知： x ( 2 1) x ( 1 4 4 4 41)，得x x4 12；1 21 12 2 2 12切线xl : y y 1 ( x x ) 2的方程为x x 2 y 1 x 1 ; 2 4切线 l 2的方程为x x 2 y2 x 2 ; 2 4两者联立得： xx +x x x1 2 ,y 1 21；即点 P 在定直线 2 4y1上； (9)分（ⅱ）由(Ⅰ)及（ⅰ）知：S OMN 1 1 1OA x x ( x x ) 2 4 x x ( x x ) 2 2 22 16 2; 即点 P (0, 1) 时， (S) OMN min2 .……………12 分21. 解：（ Ⅰ ）1 a ( x 1) ax x f '(x ) x ( x 1)22 (2 a ) x 1 x ( x 1)2 ( x 0)，(a 2) 2 4 a (a 4) ；当 a 4 时， f '(x ) 0 ， f ( x ) 在 (0, )上单调递增；当a 4时，f ( x )在(0,a 2 a (a 4) 2)上单调递增，在( a 2 a (a 4) a 2 a (a 4) a 2 a (a 4) , ) 上单调递减，在 (2 2 2, )上单调递增；……………6 分（Ⅱ）由（Ⅰ）知： a 4 且 x xa 2 , x x1 121 2ax ( x 1) ax ( x 1)f ( x ) f ( x ) ln x x 1 2 2 1 a ，(x 1)(x 1) 1 2a 2 a x x a 2 a 2 a 2而 f ( 1 2 ) f ( ) ln ln (a 2) 2 2 2 a 2 22 1x x f ( x ) f ( x ) a 2 a f ( 1 2 ) 1 2 ln 2 h (a )2 2 2 2，2 1 4 ah '(a ) ( 1) 0 a 2 2 2(a 2)，得 h (a ) 在 (4,) 上为减函数，又 h (4) 0 ，即 h (a ) 0 ；则 f ( x x f (x ) f ( x ) 1 2 ) 1 2 2 2……………12 分22．解：（I ）曲线 C 的极坐标方程为 (cos sin ) 4 ，1曲线 C 的普通方程为 ( x 1) 2 y 2 1 ，所以曲线 C 的极坐标方程为 2 22cos . …………4 分（II ）设设A ( , ) ，B ( , ) ，因为 A , B 是射线与曲线 124，则，2 cos ，42 cossinC , C 12的公共点，所以不妨1 1 1 12 1 2 1 2 1 2 ，，1 2 1 2 21 . 1 2| OB | 12 2cos | OA | 41(cossin)1 1(cos 2sin 21) 2 cos(2 ) 1 4 4 4，所以当| OB | 时， 8| OA | 2 1取得最大值 . ……………10 分4 23．解：（I ） fxx 1x 11x11x 1{ 或 { 1 2 x 3 3 3或{x 1 2x 1 3，解得{x | x 1或x 1}（II ）．……………5 分fxc a x x b a x x b c a b c a b c 31 1 1 1 1 1 1 1 b a c a c ba b c 3a b c 3 a b c 3 a b a c b c，13 2 2 2 3 3．当且仅当a b c 1时取得最小值 3．……………10 分19．如图，在三棱柱ABC A B C 体，平面 A B C平面 AAC C , BAC90 1 1 11 11 1．（I ）证明：ACCA 1；（II ）若A B C 1 1是正三角形，AB 2 A C 2，求二面角A ABC 1的大小．3BB1CC1AA1。

2018年高考仿真卷理科数学试卷(二)含解析答案

2018高考仿真卷·理科数学(二)(考试时间:120分钟试卷满分:150分)第Ⅰ卷选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知i是虚数单位,则复数=()A.-2+iB.iC.2-iD.-i2.已知集合M={x|x2-4x<0},N=,则M∪N=()A.[-2,4)B.(-2,4)C.(0,2)D.(0,2]3.采用系统抽样的方法从 1 000人中抽取50人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,3,…,1 000,适当分组后,在第一组中采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.若编号落在区间[1,400]上的人做问卷A,编号落在区间[401,750]上的人做问卷B,其余的人做问卷C,则抽到的人中,做问卷C的人数为()A.12B.13C.14D.154.已知命题p:函数y=ln(x2+3)+的最小值是2;命题q:“x>2”是“x>1”的充分不必要条件.则下列命题是真命题的是()A.p∧qB.(p)∧(q)C.(p)∧qD.p∧(q)5.已知点A是抛物线C1:y2=2px(p>0)与双曲线C2:=1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点,若点A 到抛物线C1的焦点的距离为p,则双曲线C2的离心率等于()A. B. C. D.6.的展开式中含x的正整数指数幂的项的个数是()A.1B.2C.3D.47.若数列{a n}是等差数列,则下列结论正确的是()A.若a2+a5>0,则a1+a2>0B.若a1+a3<0,则a1+a2<0C.若0<a1<a2,则a3>D.若a1<0,则(a2-a1)( a4-a2)>08.如图,正四棱锥P-ABCD底面的四个顶点A,B,C,D在球O的同一个大圆上,点P在球面上,若V 正四棱锥P-ABCD=,则球O的表面积是()A.4πB.8πC.12πD.16π9.已知变量x,y满足线性约束条件若目标函数z=kx-y仅在点(0,2)处取得最小值,则k的取值范围是()A.k<-3B.k>1C.-1<k<1D.-3<k<110.某几何体的三视图如图所示,当a+b取最大值时,这个几何体的体积为()A. B. C. D.11.已知M是△ABC内一点(不含边界),且=2,∠BAC=30°.若△MBC,△MCA,△MAB的面积分别为x,y,z,记f(x,y,z)=,则f(x,y,z)的最小值为()A.26B.32C.36D.4812.已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,则称集合M是“商高线”.给出下列四个集合:①M=;②M={(x,y)|y=sin x+1};③M={(x,y)|y=log2x};④M={(x,y)|y=e x-2}.其中是“商高线”的序号是()A.①②B.②③C.①④D.②④第Ⅱ卷非选择题(共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.执行如图所示的程序框图,若输入x=0.1,则输出的m值为.14.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=3x+m(m为常数),则f(-log35)的值为.15.关于函数f(x)=2(sin x-cos x)cos x的下列四个结论:①函数f(x)的最大值为;②把函数f(x)=sin 2x-1的图象向右平移个单位后可得到函数f(x)=2(sin x-cos x)·cos x 的图象;③函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z;④函数f(x)的图象的对称中心为,k∈Z.其中正确的结论有个.16.已知数列{a n}满足a1=,a n-1-a n=(n≥2),则该数列的通项公式为.三、解答题(本大题共6小题,满分70分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=,sin B=3sin C.(1)求tan C的值;(2)若a=,求△ABC的面积.18.(本小题满分12分)某青少年研究中心为了统计某市青少年(18岁以下)2018年春节所收压岁钱的情况进而研究青少年的消费去向,随机抽查了该市60名青少年所收压岁钱的情况,得到如下数据统计表(图①).已知“压岁钱不少于2千元的青少年”与“压岁钱少于2千元的青少年”人数比恰好为2∶3.(1)试确定x,y,p,q的值,并补全频率分布直方图(图②);(2)该机构为了进一步了解这60名青少年压岁钱的消费去向,将这60名青少年按“压岁钱不少于2千元”和“压岁钱少于2千元”分为两部分,并且用分层抽样的方法从中抽取10人,若需从这10人中随机抽取3人进行问卷调查.设ξ为抽取的3人中“压岁钱不少于2千元的青少年”的人数,求ξ的分布列和均值;(3)若以频率估计概率,从该市青少年中随机抽取15人进行座谈,若15人中“压岁钱不少于2千元的青少年”的人数为η,求η的均值.图①图②19.(本小题满分12分)在如图所示的多面体中,四边形ABCD是菱形,ED∥FB,ED⊥平面ABCD,AD=BD=2,BF=2DE=2.(1)求证:AE⊥CF;(2)求二面角A-FC-E的余弦值.20.(本小题满分12分)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为4,且点在椭圆C 上.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是椭圆C长轴上的一个动点,过点P作斜率为的直线l交椭圆C于A,B两点,求证:|PA|2+|PB|2为定值.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=-x3+x2(x∈R),g(x)满足g'(x)=(a∈R,x>0),且g(e)=a,e为自然对数的底数.(1)已知h(x)=e1-x f(x),求曲线h(x)在点(1,h(1))处的切线方程;(2)若存在x∈[1,e],使得g(x)≥-x2+(a+2)x成立,求a的取值范围;(3)设函数F(x)=O为坐标原点,若对于y=F(x)在x≤-1时的图象上的任一点P,在曲线y=F(x)(x∈R)上总存在一点Q,使得<0,且PQ的中点在y轴上,求a的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题评分.22.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C:ρcos2θ=2a sin θ(a>0),过点P(-4,-2)的直线l的参数方程为(t为参数),直线l与曲线C分别交于点M,N.(1)写出C的直角坐标方程和l的普通方程;(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值.23.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|.(1)求不等式f(x)≥3的解集;(2)若关于x的不等式f(x)>a2-x2+2x在R上恒成立,求实数a的取值范围.参考答案2018高考仿真卷·理科数学(二)1.B解析 (方法一)=i.(方法二)=i.2.A解析∵M={x|0<x<4},N={x|-2≤x≤2},∴M∪N=[-2,4).3.A解析若采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人做问卷调查,则需要分为50组,每组20人.若第一组抽到的号码为8,则以后每组抽取的号码分别为28,48,68,88,108,…,所以编号落在区间[1,400]上的有20人,编号落在区间[401,750]上的有18人.所以做问卷C 的有12人.4.C解析因为命题p为假命题,命题q为真命题,所以(p)∧q为真命题.5.C解析因为点A到抛物线C1的焦点的距离为p,所以点A到该抛物线准线的距离为p.所以点A的坐标为所以双曲线C2的渐近线方程为y=±2x.所以=2.所以b2=4a2.又b2=c2-a2,所以c2=5a2.所以双曲线C2的离心率为6.B解析的展开式中第r+1项为)12-r=(-1)r当6-为正整数时,可知r=0或r=2,故的展开式中含x的正整数指数幂的项的个数是2.7.C解析设等差数列{a n}的公差为d,若a2+a5>0,则a1+a2=(a2-d)+(a5-3d)=(a2+a5)-4d.由于d的正负不确定,因而a1+a2的符号不确定,故选项A错误.若a1+a3<0,则a1+a2=(a1+a3)-d.由于d的正负不确定,因而a1+a2的符号不确定,故选项B 错误.若0<a1<a2,则d>0.所以a3>0,a4>0.所以-a2a4=(a1+2d)2-(a1+d)(a1+3d)=d2>0.所以a3>故选项C正确.由于(a2-a1)(a4-a2)=d(2d)=2d2,而d有可能等于0,故选项D错误.8.D解析连接PO,由题意知,PO⊥底面ABCD,PO=R,S正方形ABCD=2R2.因为V正四棱锥P-ABCD=,所以2R2·R=,解得R=2.所以球O的表面积是16π.9.D解析如图,作出题中不等式组所表示的平面区域.由z=kx-y得y=kx-z,要使目标函数z=kx-y仅在点A(0,2)处取得最小值,则阴影部分区域在直线y=kx+2的下方,故目标函数线的斜率k满足-3<k<1.10.D解析由该几何体的三视图可得其直观图为如图所示的三棱锥,且从点A出发的三条棱两两垂直,AB=1,PC=,PB=a,BC=b.可知PA2+AC2=a2-1+b2-1=6,即a2+b2=8.故(a+b)2=8+2ab≤8+2,即a+b≤4,当且仅当a=b=2时,a+b取得最大值,此时PA=,AC=所以该几何体的体积V=111.C解析由=2,∠BAC=30°,可得S△ABC=1,即x+y+z=1.故(x+y+z)=1+4+9+14+4+6+12=36,当且仅当x=,y=,z=时等号成立.因此,f(x,y,z)的最小值为36.12.D解析若对于函数图象上的任意一点M(x1,y1),在其图象上都存在点N(x2,y2),使OM⊥ON,则函数图象上的点的集合为“商高线”.对于①,若取M(1,1),则不存在这样的点;对于③,若取M(1,0),则不存在这样的点.②④都符合.故选D.13.0解析若输入x=0.1,则m=lg 0.1=-1.因为m<0,所以m=-1+1=0.所以输出的m值为0.14.-4解析因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=1+m=0.所以m=-1.所以f(-log35)=-f(log35)=-(-1)=-4.15.2解析因为f(x)=2sin x·cos x-2cos2x=sin 2x-cos 2x-1=sin-1,所以其最大值为-1.所以①错误.因为函数f(x)=sin 2x-1的图象向右平移个单位后得到函数f(x)=sin-1=sin-1的图象,所以②错误.由-+2kπ≤2x-+2kπ,k∈Z,得函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z,即为,k'∈Z.故③正确.由2x-=kπ,k∈Z,得x=,k∈Z,故④正确.16.a n= 解析因为a n-1-a n=(n≥2),所以所以所以,…,所以所以所以a n=(n≥2).经检验,当n=1时也适合此公式.所以a n=17.解 (1)∵A=,∴B+C=∴sin=3sin C.cos C+sin C=3sin C.cos C=sin C.∴tan C=(2)由,sin B=3sin C,得b=3c.在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A=9c2+c2-2×(3c)×c=7c2.∵a=,∴c=1,b=3.∴△ABC的面积为S=bc sin A=18.解 (1)根据题意,有解得故p=0.15,q=0.10.补全的频率分布直方图如图所示.(2)用分层抽样的方法从中抽取10人,则其中“压岁钱不少于2千元的青少年”有10=4人,“压岁钱少于2千元的青少年”有10=6人.故ξ的可能取值为0,1,2,3,且P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,所以ξ的分布列为所以E(ξ)=0+1+2+3(3)以频率估计概率,从该市青少年中随机抽取1人为“压岁钱不少于2千元的青少年”的概率是,则η~B,故随机变量η的均值为E(η)=15=6.19.(1)证明 (方法一)由题意知,在△AEF中,AE=,EF=,AF=2∴AE2+EF2=AF2,∴AE⊥EF.在△AEC中,AE=,EC=,AC=2∴AE2+EC2=AC2,∴AE⊥EC.又EF∩EC=E,∴AE⊥平面ECF.又FC⊂平面ECF,∴AE⊥FC.(方法二)∵四边形ABCD是菱形,AD=BD=2,∴AC⊥BD,AC=2故可以O为坐标原点,以OA,OB所在直线为x轴、y轴建立如图所示的空间直角坐标系.由ED⊥平面ABCD,ED∥FB,BD=2,BF=2,DE=,可知A(,0,0),E(0,-1,),C(-,0,0),F(0,1,2).=(-,-1,),=(,1,2).=(-,-1,)·(,1,2)=-3-1+4=0.∴AE⊥CF.(2)解由(1)中方法二可知A(,0,0),E(0,-1,),C(-,0,0),F(0,1,2),则=(-,1,2),=(-2,0,0),=(0,2,),=(-,1,-).设平面AFC的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),由n1=0,n1=0,得-x1+y1+2z1=0,且-2x1=0.令z1=1,得n1=(0,-2,1).设平面EFC的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),由n2=0,n2=0,得2y2+z2=0,且-x2+y2-z2=0.令y2=-1,得n2=(-,-1,).设二面角A-FC-E的大小为θ,则cos θ=20.(1)解因为2a=4,所以a=2.又因为焦点在x轴上,所以设椭圆方程为=1.将点代入椭圆方程得b2=1,所以椭圆方程为+y2=1.(2)证明设点P(m,0)(-2≤m≤2),可得直线l的方程是y=,由方程组消去y得2x2-2mx+m2-4=0.(*)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程(*)的两个根.所以x1+x2=m,x1x2=所以|PA|2+|PB|2=(x1-m)2++(x2-m)2+=(x1-m)2+(x1-m)2+(x2-m)2+(x2-m)2=[(x1-m)2+(x2-m)2]=-2m(x1+x2)+2m2]=[(x1+x2)2-2m(x1+x2)-2x1x2+2m2]=[m2-2m2-(m2-4)+2m2]=5.所以|PA|2+|PB|2为定值.21.解 (1)∵h(x)=(-x3+x2)e1-x,∴h'(x)=(x3-4x2+2x)e1-x.∴h(1)=0,h'(1)=-1.∴曲线h(x)在点(1,h(1))处的切线方程为y=-(x-1),即y=-x+1.(2)∵g'(x)=(a∈R,x>0),∴g(x)=a ln x+c(c为常数).∴g(e)=a ln e+c=a+c=a.∴c=0.∴g(x)=a ln x.由g(x)≥-x2+(a+2)x,得(x-ln x)a≤x2-2x.∵当x∈[1,e]时,ln x≤1≤x,且等号不能同时成立,∴ln x<x,即x-ln x>0.∴aa设t(x)=,x∈[1,e],则t'(x)=∵x∈[1,e],∴x-1≥0,ln x≤1,x+2-2ln x>0.∴t'(x)≥0.∴t(x)在[1,e]上为增函数.∴t(x)max=t(e)=a(3)设P(t,F(t))为y=F(x)在x≤-1时的图象上的任意一点,则t≤-1.∵PQ的中点在y轴上,∴点Q的坐标为(-t,F(-t)).∵t≤-1,∴-t≥1.∴P(t,-t3+t2),Q(-t,a ln(-t)).=-t2-at2(t-1)ln(-t)<0,∴a(1-t)ln(-t)<1.当t=-1时,a(1-t)ln(-t)<1恒成立,此时a∈R.当t<-1时,a<,令φ(t)=(t<-1),则φ'(t)=∵t<-1,∴t-1<0,t ln(-t)<0.∴φ'(t)>0.∴φ(t)=在(-∞,-1)内为增函数.∵当t→-∞时,φ(t)=0,∴φ(t)>0.∴a≤0.综上,可知a的取值范围是(-∞,0].22.解 (1)曲线C的直角坐标方程为x2=2ay(a>0),直线l的普通方程为x-y+2=0.(2)将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立,得t2-2(4+a)t+8(4+a)=0.(*)由Δ=8a(4+a)>0,可设点M,N对应的参数分别为t1,t2,且t1,t2是方程(*)的根,则|PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1-t2|.由题设得(t1-t2)2=|t1t2|,即(t1+t2)2-4t1t2=|t1t2|.由(*)得t1+t2=2(4+a),t1t2=8(4+a)>0,则有(4+a)2-5(4+a)=0,解得a=1或a=-4.因为a>0,所以a=1.23.解 (1)原不等式等价于解得x≤-或x故原不等式的解集为(2)令g(x)=|x-1|+|x+1|+x2-2x,则g(x)=当x∈(-∞,1]时,g(x)单调递减;当x∈[1,+∞)时,g(x)单调递增.故当x=1时,g(x)取得最小值1.因为不等式f(x)>a2-x2+2x在R上恒成立,所以a2<1,解得-1<a<1.所以实数a的取值范围是(-1,1).。

湖南省十三校联考2018年高考数学二模试卷理科含解析

2018年湖南省十三校联考高考数学二模试卷（理科）一、选择题（每小题5分）1．已知集合A={x|x2+2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[﹣2，﹣1]B．[﹣1，2）C．[﹣2，1] D．[1，2）2．若复数x满足（3+4i）x=|4+3i|，则x的虚部为（）A．B．﹣4 C．﹣D．43．为了了解长沙市居民月用电情况，抽查了该市100户居民用电量（单位：度），得到频率分布直方图如下：根据如图可得到这100户居民月用电量在[150，300]的用户数是（）A．70 B．64 C．48 D．304．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x5．已知命题“a≥b⇒c＞d”、“c＞d a≥b”和“a＜b⇔e≤f”都是真命题，那么“c≤d”是“e≤f”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．执行如图所示的程序框图，输出的k值是（）A．4 B．5 C．6 D．77．已知sinα+cosα=，则tanα=（）A．B．C．﹣D．﹣8．已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π9．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是（）A．2枝玫瑰的价格高B．3枝康乃馨的价格高C．价格相同 D．不确定10．已知a是实数，则函数f（x）=1+asinax的图象不可能是（）A．B．C．D．11．如图，O为△ABC的外心，AB=4，AC=2，∠BAC为钝角，M是边BC的中点，则•的值为（）A．4 B．5 C．7 D．612．已知函数f（x）=x2﹣5x+3﹣，g（x）=﹣x+xlnx（k∈R），若对于∀x1∈（1，+∞），∃x2∈（0，+∞）都有f（x1）≥g（x2）成立，则k的取值范围（）A．B．（﹣∞，﹣e3]C．（﹣∞，﹣e]D．二、填空题（每小题5分）13．若的二项展开式中，所有二项式系数和为64，则该展开式中的常数项为______．14．已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x+2，那么不等式2f （x）﹣1＜0的解集是______．15．设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，其准线与x轴交于点C，过点F作它的弦AB，若∠CBF=90°，则|AF|﹣|BF|=______．16．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边依次为a，b，c，外接圆半径为1，且满足，则△ABC面积的最大值为______．三、解答题（每小题12分）17．各项均为正数的数列{a n}的前n项和S n满足2S n=a+a n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}满足bn=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，PC⊥底面ABCD，AB=2AD=2CD=4，PC=2a，E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．19．某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为P0（0＜P0＜1），中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（Ⅰ）张三选择方案甲抽奖，李四选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，若X≤3的概率为，求P0；（Ⅱ）若张三、李四两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？20．如图，已知椭圆C： +=1，F为该椭圆的右焦点，若AB为垂直于x轴的动弦，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M（x0，y0）．（1）求证： +=1；（2）求△AMN面积的最大值．21．已知m∈R，函数f（x）=e mx﹣1﹣（e为自然对数的底数）（1）若m=1，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）的最小值为m，求m的最小值．[选修4-4：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BE•BD﹣AE•AC．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（1）求函数y=f（x）的最小值；（2）若不等式|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x），（a≠0，a、b∈R）恒成立，求实数x的取值范围．2018年湖南省十三校联考高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分）1．已知集合A={x|x2+2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[﹣2，﹣1]B．[﹣1，2）C．[﹣2，1] D．[1，2）【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣1）（x+3）≥0，解得：x≤﹣3或x≥1，即A=（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞），∵B=[﹣2，2），∴A∩B=[1，2），故选：D．2．若复数x满足（3+4i）x=|4+3i|，则x的虚部为（）A．B．﹣4 C．﹣D．4【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数的代数形式混合运算，以及复数的模的求法化简求解即可．【解答】解：复数x满足（3+4i）x=|4+3i|，可得（3+4i）（3﹣4i）x=（3﹣4i）=5（3﹣4i），可得25x=5（3﹣4i）．∴x=i．则x的虚部为：．故选：C．3．为了了解长沙市居民月用电情况，抽查了该市100户居民用电量（单位：度），得到频率分布直方图如下：根据如图可得到这100户居民月用电量在[150，300]的用户数是（）A．70 B．64 C．48 D．30【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系进行解答即可．【解答】解：根据频率分布直方图，得；这100户居民月用电量在[150，300]的频率为（0.0180+0.0184+0.0184）×50=0.64，∴这100户居民月用电量在[150，300]的用户数是100×0.64=64．故选：B．4．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用双曲线的离心率公式可得c2=a2，由a，b，c的关系和双曲线的渐近线方程，计算即可得到所求方程．【解答】解：由题意可得e==，即为c2=a2，由c2=a2+b2，可得b2=a2，即a=2b，双曲线的渐近线方程为y=±x，即为y=±2x．故选：D．5．已知命题“a≥b⇒c＞d”、“c＞d a≥b”和“a＜b⇔e≤f”都是真命题，那么“c≤d”是“e≤f”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据逆否命题的等价性，结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：命题“a≥b⇒c＞d”、“c＞d a≥b”的逆否命题是c≤d，⇒a＜b、“a＜b c≤d，即c≤d是a＜b成立的充分不必要条件，而“a＜b⇔e≤f”得a＜b是e≤f的充要条件，则“c≤d”是“e≤f”的充分不必要条件，故选：A6．执行如图所示的程序框图，输出的k值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】循环结构．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出k的值．【解答】解：第一次循环：n=3×5+1=16，k=0+1=1，继续循环；第二次循环：n==8，k=1+1=2，继续循环；第三次循环：n==4，k=2+1=3，继续循环；第四次循环：n==2，k=3+1=4，继续循环；第五次循环：n==1，k=4+1=5，结束循环．输出k=5．故选B．7．已知sinα+cosα=，则tanα=（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】已知等式两边平方，利用完全平方公式变形，分母看做“1”，利用同角三角函数间的基本关系化简，即可求出tanα的值．【解答】解：已知等式两边平方得：（sinα+cosα）2=sin2α+2sinαcosα+2cos2α=3，∴==3，整理得：（tanα﹣1）2=0，解得：tanα=．故选：A．8．已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π【考点】球的体积和表面积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中三棱锥的三视图，我们可以求出三棱棱的高，即顶点到底面的距离，及底面外接圆的半径，进而求出三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式，即可求出外接球的表面积．【解答】解：由已知中三棱锥的高为1底面为一个直角三角形，由于底面斜边上的中线长为1，则底面的外接圆半径为1，顶点在底面上的投影落在底面外接圆的圆心上，由于顶点到底面的距离，与底面外接圆的半径相等，所以底面直角三角形斜边中点就是外接球的球心；则三棱锥的外接球半径R为1，则三棱锥的外接球表面积S=4πR2=4π故选：A9．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是（）A．2枝玫瑰的价格高B．3枝康乃馨的价格高C．价格相同 D．不确定【考点】不等式比较大小．【分析】设1枝玫瑰和1枝康乃馨的价格分别x，y元，由题意可得：，化为，设2x﹣3y=m（2x+y）+n（﹣x﹣y）=（2m﹣n）x+（m﹣n）y，令，解得m，n，即可得出．【解答】解：设1枝玫瑰和1枝康乃馨的价格分别x，y元，由题意可得：，化为，设2x﹣3y=m（2x+y）+n（﹣x﹣y）=（2m﹣n）x+（m﹣n）y，令，解得m=5，n=8，∴2x﹣3y=5（2x+y）+8（﹣x﹣y）＞5×8﹣5×8=0，因此2x＞3y，∴2枝玫瑰的价格高．故选：A．10．已知a是实数，则函数f（x）=1+asinax的图象不可能是（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据当a=0时，y=1，可判断图象哪个符合，当a≠0时，f（x）周期为，振幅a，分类讨论a＞1时，T＜2π；0＜a≤1，T≥2π利用所给图象判断即可得出正确答案．【解答】解：∵函数f（x）=1+asinax（1）当a=0时，y=1，函数图象为：C故C正确（2）当a≠0时，f（x）=1+asinax 周期为T=，振幅为a若a＞1时，振幅为a＞1，T＜2π，当0＜a≤1，T≥2π．∵D选项的图象，振幅与周期的范围矛盾故D错误，故选：D11．如图，O为△ABC的外心，AB=4，AC=2，∠BAC为钝角，M是边BC的中点，则•的值为（）A．4 B．5 C．7 D．6【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可延长AO交外接圆于点N，并连接BN，CN，从而可得到，而由M为BC中点即可得出，从而有，显然，从而便可得出的值．【解答】解：如图，延长AO交△ABC的外接圆于点N，连接BN，CN；∵M为边BC中点；∴，且；∴====5．故选B．12．已知函数f（x）=x2﹣5x+3﹣，g（x）=﹣x+xlnx（k∈R），若对于∀x1∈（1，+∞），∃x2∈（0，+∞）都有f（x1）≥g（x2）成立，则k的取值范围（）A．B．（﹣∞，﹣e3]C．（﹣∞，﹣e]D．【考点】二次函数的性质．【分析】若对于∀x1∈（1，+∞），∃x2∈（0，+∞）都有f（x1）≥g（x2）成立，即为：f （x1）≥g（x2）min在x＞1上恒成立，可先求出g（x）的最小值，再由在x＞1上恒成立．即为k≤（x﹣4）e x在x＞1上恒成立，令h（x）=（x﹣4）e x运用导数求极小值，也是最小值，只要k不大于最小值，即可求得k 的取值范围．【解答】解：对于∀x1∈（1，+∞），∃x2∈（0，+∞）都有f（x1）≥g（x2）成立，即为：f（x1）≥g（x2）min在x＞1上恒成立，对于g（x）=﹣x+xlnx则：g′（x）=﹣1+lnx﹣1=lnx令g′（x）＞0，则x＞1，g′（x）＜0，则0＜x＜1即在x=1为极小值且g（﹣1）=﹣1则有在x＞1上恒成立，即，即有k≤（x﹣4）e x令h（x）=（x﹣4）e x则：h′（x）=（x﹣3）e x当x＞3时，h′（x）＞0，当1＜x＜3时，h′（x）＜0在x=3时，h（x）取极小值，即为最小值．h（3）=﹣e3则有：k≤﹣e3故选：B二、填空题（每小题5分）13．若的二项展开式中，所有二项式系数和为64，则该展开式中的常数项为15．【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项展开式中，所有二项式系数和为2n，求出n=6，再利用二项展开式的通项公式，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项【解答】解：∵的二项展开式中，所有二项式系数和为64，∴2n=64⇒n=6，∵的二项展开式的通项T r+1=×x2（6﹣r）×x﹣r=，令12﹣3r=0⇒r=4，∴展开式中的常数项为==15．故答案是15．14．已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x+2，那么不等式2f（x）﹣1＜0的解集是．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】求出f（x）的解析式，带入不等式解出．【解答】解：当x＞0时，﹣x＜0，∴f（﹣x）=﹣x+2，∵y=f（x）是奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=x﹣2．∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0．∴f（x）=，（1）当x＞0时，2（x﹣2）﹣1＜0，解得0＜x＜．（2）当x=0时，﹣1＜0，恒成立．（3）当x＜0时，2（x+2）﹣1＜0，解得x＜﹣．综上所述：2f（x）﹣1＜0的解集是．故答案为．15．设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，其准线与x轴交于点C，过点F作它的弦AB，若∠CBF=90°，则|AF|﹣|BF|=2P．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先假设方程与抛物线方程联立，借助于求出点的坐标，从而求出线段长，进而求出|AF|﹣|BF|．【解答】解：设AB方程为：y=k（x﹣）（假设k存在），与抛物线y2=2px（p＞0）联立得k2（x2﹣px+）=2px，即k2x2﹣（k2+2）px+=0设两交点为A（x2，y2），B（x1，y1），∠CBF=90°即（x1﹣）（x1+）+y12=0，∴x12+y12=，∴x12+2px1﹣=0，即（x1+p）2=p2，解得x1=，∴B（，），|BC|=，|BF|=，∵x1x2=，x1=，∴x2=∴A（，﹣），|AF|=，∴|AF|﹣|BF|=2P，故答案为2P．16．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边依次为a，b，c，外接圆半径为1，且满足，则△ABC面积的最大值为．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】利用同角三角函数间的基本关系化简已知等式的左边，利用正弦定理化简已知的等式右边，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0，可得出cosA的值，然后利用余弦定理表示出cosA，根据cosA的值，得出bc=b2+c2﹣a2，再利用正弦定理表示出a，利用特殊角的三角函数值化简后，再利用基本不等式可得出bc的最大值，进而由sinA的值及bc的最大值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值．【解答】解：由r=1，利用正弦定理可得：c=2rsinC=2sinC ，b=2rsinB=2sinB ， ∵tanA=，tanB=，∴===，∴sinAcosB=cosA （2sinC ﹣sinB ）=2sinCcosA ﹣sinBcosA ，即sinAcosB +cosAsinB=sin （A +B ）=sinC=2sinCcosA ，∵sinC ≠0，∴cosA=，即A=，∴cosA==，∴bc=b 2+c 2﹣a 2=b 2+c 2﹣（2rsinA ）2=b 2+c 2﹣3≥2bc ﹣3， ∴bc ≤3（当且仅当b=c 时，取等号），∴△ABC 面积为S=bcsinA ≤×3×=，则△ABC 面积的最大值为：．故答案为：．三、解答题（每小题12分）17．各项均为正数的数列{a n }的前n 项和S n 满足2S n =a +a n （n ∈N *）．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）数列{b n }满足bn=（n ∈N *），求数列{b n }的前n 项和T n ．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）通过2S n =a+a n 与当n ≥2时2S n ﹣1=+a n ﹣1作差，进而整理可知a n ﹣a n﹣1=1，求出首项、利用等差数列的通项公式计算即得结论；（2）通过（1）裂项可知b n =﹣，进而并项相加即得结论．【解答】解：（1）∵2S n =a +a n ， ∴当n ≥2时，2S n ﹣1=+a n ﹣1，两式相减得：2a n =+a n ﹣﹣a n ﹣1，整理得：（a n ﹣a n ﹣1）（a n +a n ﹣1）=a n +a n ﹣1，∵数列{a n }的各项均为正数， ∴a n ﹣a n ﹣1=1，又∵2S 1=+a 1，即a 1=1，∴数列{a n}的通项公式a n=n；（2）由（1）可知b n==﹣（n∈N*），∴T n=1﹣+﹣+…+﹣=．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，PC⊥底面ABCD，AB=2AD=2CD=4，PC=2a，E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）证明AC⊥PC．AC⊥BC．通过直线与平面垂直的判定定理以及平面与平面垂直的判定定理证明平面EAC⊥平面PBC．（Ⅱ）如图，以点C为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标以及面PAC的法向量．面EAC的法向量，通过二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求出直线PA的向量，利用向量的数量积求解直线PA与平面EAC所成角的正弦值即可．【解答】解：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC．∵AB=4，AD=CD=2，∴AC=BC=2．∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC．又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC．∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．…（Ⅱ）如图，以点C为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（2，2，0），B（2，﹣2，0）．设P（0，0，2a）（a＞0），则E（1，﹣1，a），=（2，2，0），=（0，0，2a），=（1，﹣1，a）．取=（1，﹣1，0），则•=•=0，为面PAC的法向量．设=（x，y，z）为面EAC的法向量，则•=•=0，即，取x=a，y=﹣a，z=﹣2，则=（a，﹣a，﹣2），依题意，|cos＜，＞|===，则a=2．…于是n=（2，﹣2，﹣2），=（2，2，﹣4）．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．…19．某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为P0（0＜P0＜1），中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（Ⅰ）张三选择方案甲抽奖，李四选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，若X≤3的概率为，求P0；（Ⅱ）若张三、李四两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A，则事件A的对立事件是“X=5”，由题意知，先根据相互独立事件的乘法公式求出对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式，结合X≤3的概率为，即可求P0；（Ⅱ）设张三、李四两人都选择甲方案抽奖中奖次数为X1，张三、李四两人都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人都选择甲方案抽奖累计得分的数学期望为E（2X1），都选择乙方案抽奖累计得分的数学期望为E（3X2）．根据题意知X1～B（2，），X2～B（2，P0），利用贝努利概率的期望公式计算，再分类讨论，从而得出答案．【解答】解：（Ⅰ）由已知得，张三中奖的概率为，李四中奖的概率为P0，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A，则事件A的对立事件为“X=5”，因为P（X=5）=×P0，所以P（A）=1﹣P（X=5）=1﹣×P0=，所以．（Ⅱ）设张三、李四都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E（2X1），选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E（3X2）．由已知可得，X1～B（2，），X2～B（2，P0），所以E（X1）=2×=，E（X2）=2×P0，从而E（2X1）=2E（X1）=，E（3X2）=3E（X2）=6P0．若E（2X1）＞E（3X2），则＞6P0，所以0＜P0＜；若E（2X1）＜E（3X2），则＜6P0，所以＜P0＜1；若E（2X1）=E（3X2），则=6P0，所以P0=．20．如图，已知椭圆C： +=1，F为该椭圆的右焦点，若AB为垂直于x轴的动弦，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M（x0，y0）．（1）求证： +=1；（2）求△AMN面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由已知得F（1，0），N（4，0），设A（m，n），则B（m，﹣n），n≠0，则，AF与BN的方程分别为：n（x﹣1）﹣（m﹣1）y=0，n（x﹣4）﹣（m﹣4）y=0，由此能证明=1．（2）设AM的方程为x=ty+1，代入，得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出△AMN的面积的最大值．【解答】证明：（1）∵椭圆C： +=1，F为该椭圆的右焦点，AB为垂直于x轴的动弦，直线l：x=4与x轴交于点N，∴F（1，0），N（4，0），设A（m，n），则B（m，﹣n），n≠0，则，①AF与BN的方程分别为：n（x﹣1）﹣（m﹣1）y=0，n（x﹣4）﹣（m﹣4）y=0，∵直线AF与BN交于点M（x0，y0），∴有，由②③得，，∴=+===1．（2）由（1）知M在椭圆上，设AM的方程为x=ty+1，代入，得（3t2+4）y2+6ty ﹣9=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则有，y1y2=，|y1﹣y2|==，令3t2+4=λ（λ≥4），则|y1﹣y2|==4=4，∵λ≥4，0＜，∴，即λ=4，t=0时，|y1﹣y2|有最大值3，∵AM过点F，∴△AMN的面积S△AMN=|FN|•|y2﹣y1|=|y1﹣y2|有最大值．21．已知m∈R，函数f（x）=e mx﹣1﹣（e为自然对数的底数）（1）若m=1，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）的最小值为m，求m的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，判断导函数的符号，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为xe mx﹣1﹣mx﹣lnx≥0恒成立且“=”可取，令g（x）=xe mx﹣1﹣mx﹣lnx即g （x）min=0，根据函数的单调性求出m的最小值即可．【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），m=1时，f（x）=e x﹣1﹣，f′（x）=e x﹣1﹣，x＞1时，f′（x）＞1﹣=＞0，0＜x＜1时，f′（x）＜1﹣=＜0，∴f（x）在（0，1]递减，在（1，+∞）递增；（2）由题意得：e mx﹣1﹣≥m时对x＞0恒成立且“=”可取，即xe mx﹣1﹣mx﹣lnx≥0恒成立且“=”可取，令g（x）=xe mx﹣1﹣mx﹣lnx即g（x）min=0，g′（x）=（mx+1）（e mx﹣1﹣），由e mx﹣1﹣=0得：m=，设p（x）=，p′（x）=，x＞e2时，p′（x）＞0，0＜x＜e2时，p′（x）＜0，p（x）在（0，e2）递减，在（e2，+∞）递增，∴p（x）min=p（e2）=﹣，m≤﹣时，m≤，即e mx﹣1﹣≤0，在（0，﹣）上，mx+1＞0，g′（x）≤0，g（x）递减，在（﹣，+∞）上，mx+1＜0，g′（x）≥0，g（x）递增，∴g（x）min=g（﹣），令t=﹣∈（0，e2]，g（﹣）=h（t）=﹣lnt+1，h′（t）=﹣≤0，h（t）在（0，e2）递减，∴h（t）≥h（e2）=0，∴方程g（x）min=g（﹣）=0有唯一解e2=﹣，即m=﹣，综上，m≤﹣时，仅有m=﹣满足f（x）的最小值为m，∴m的最小值为﹣．[选修4-4：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BE•BD﹣AE•AC．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）连接AD，利用AB为圆的直径结合EF与AB的垂直关系，通过证明A，D，E，F四点共圆即可证得结论；（2）由（1）知，BD•BE=BA•BF，再利用△ABC∽△AEF得到比例式，最后利用线段间的关系即求得AB2=BE•BD﹣AE•AC．【解答】证明：（1）连接AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°，又EF⊥AB，∠AFE=90°，则A，D，E，F四点共圆∴∠DEA=∠DFA（2）由（1）知，BD•BE=BA•BF，又△ABC∽△AEF∴，即AB•AF=AE•AC∴BE•BD﹣AE•AC=BA•BF﹣AB•AF=AB•（BF﹣AF）=AB2[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7距离的最小值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）曲线C1：（t为参数），利用sin2t+cos2t=1即可化为普通方程；C2：（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1化为普通方程．（Ⅱ）当t=时，P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M，直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7化为x﹣2y=7，利用点到直线的距离公式与三角函数的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1：（t为参数），化为（x+4）2+（y﹣3）2=1，∴C1为圆心是（﹣4，3），半径是1的圆．C2：（θ为参数），化为．C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．（Ⅱ）当t=时，P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M，直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7化为x﹣2y=7，M到C3的距离d==|5sin（θ+φ）+13|，从而当cossinθ=，sinθ=﹣时，d取得最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（1）求函数y=f（x）的最小值；（2）若不等式|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x），（a≠0，a、b∈R）恒成立，求实数x的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值的意义，求函数y=f（x）的最小值；（2）由题意可得|x﹣1|+|x﹣2|小于或等于的最小值，而的最小值等于2，故x的范围即为不等式|x﹣1|+|x﹣2|≤2的解，根据数轴上的、对应点到1和2对应点的距离之和等于2，可得不等式的解集．【解答】解：（1）x≥2，f（x）≥1；1＜x＜2，f（x）=1；x≤1，f（x）=3﹣2x≥1，∴函数y=f（x）的最小值为1；（2）解：由题知，|x﹣1|+|x﹣2|≤恒成立，故|x﹣1|+|x﹣2|小于或等于的最小值．∵|a+b|+|a﹣b|≥|a+b+a﹣b|=2|a|，当且仅当（a+b）（a﹣b）≥0 时取等号，∴的最小值等于2，∴x的范围即为不等式|x﹣1|+|x﹣2|≤2的解．由于|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，又由于数轴上的、对应点到1和2对应点的距离之和等于2，故不等式的解集为[，]．2018年9月14日。

2018年湖南省普通高中学业水平考试仿真试卷数学(二)参考答案

2018年湖南省高中学业水平仿真模拟试卷(二)数学本试卷包括选择题和非选择题两部分，共4页。

时量120分钟，满分100分。

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

1．已知等比数列{a n }的前3项分别为1、-2、4，则数列{a n }的第4项为 A ．-6B ．8C ．-8D ．6解：∵q =-2，∴a 4=a 3q =-8，选C2．下列坐标对应的点中，落在不等式x -2y +1<0表示的平面区域内的是 A ．(0，0)B ．(4，2)C ．(4，-1)D ．(-1，4)解：∵-1-2×4+1=-8<0，∴选D3．已知集合A={-1，0，13，1}，集合N 为自然数集，则A ∩N=A ．{-1，0，1}B ．{-1，1}C ．{0，1}D ．{0，13，1}解：A ∩N={0，1}，选C 4．2tan π3的值为A ．1B ． 2C ． 3D ． 6解：原式=2⋅3=6，选D5．已知向量a =(1，2)，b =(x ，-1)，若b ∥(a +b )，则实数x 的值为A ．-2B ．2C ．-12D ．12解：由b ∥(a +b )，知1)1(211-=-+-=+x x ，∴21-=x ，选C6．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是 A ．正方体 B ．圆柱C ．三棱柱D ．球解：选A7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a =4，c =5，sinC=1，则b 的值为 A ．1B ．2C ．3D ．6解：由勾股定理知b =3，选C8．下列关于函数f (x )=tan x 的结论正确的是 A ．是偶函数 B ．关于x =π2对称 C ．f (π3)= 3D ．f (π4)=22解：选C9．过点P(-1，3)且与圆(x -2)2+(y +1)2=25相切的直线方程为A ．3x -4y +15=0B ．4x +3y -5=0C ．4x -3y -15=0D ．3x +4y -5=0解：因为点P 在已知圆上，所以过点P 的切线方程为(-1-2)(x-2)+(3+1)(y+1)=25，选A10．函数⎩⎨⎧>+-≤-+=0,ln 20,32)(2x x x x x x f 的零点个数为A ．1B ．2C ．3D ．4解：画出草图，即知选B二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。

2018届高考模拟试卷二参考答案 .doc

2018届高考模拟试卷二参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 0 . 由{}0,1A B ⋂=,可得21x =，所以，0x =2. 1. 法一：由()(1i)1i (1)(1)i z a a a =+-=++-，所以z =222(1)(1)2a a ++-=，所以21a =，即1a =±，所以20162016()()1ai i ==法二：由(1i)1i 2z a =+-=，所以212a +=，所以21a =，即1a =±，所以20162016()()1ai i ==.3. 45-. 因为tan 2=α，所以，22220162sin cos 2tan 4sin(2)sin 23sin cos 1tan 5παααααααα-=-=-=-=-++. 4. 600. 设高二女生人数为x 人，所以，0.192000x=，即380x =，所以，高三人数为 2000-650-370-380=600人。

5.()1,3-. 根据偶函数的性质，可得2323x x -<-<，从而可得13x -<<，从而不等式的解集为()1,3-.6. 6. 根据算法流程图， 2112(13)12(1333)6(31)201713k k k s --=++++==-≥-，所以6k =故输出结果为6. 7.34. 所有基本事件共12个：(2,1)--，(2,0)-，(2,1)-，(2,2)-，(1,1)--，(1,0)-，(1,1)-，(1,2)-， (0,1)-，(0,0)，(0,1)，(0,2). 其中，b a A B -∈的事件共有9个，分别为(2,1)--，(2,0)-，(1,1)--，(1,0)-，(1,1)-，(0,1)-，(0,0)，(0,1)，(0,2).所以，概率93()124P E ==. 8.1008. 显然数列{}n a 中通项0n a ≠，由1111n n n n n n a a a a a a --++-=-可得，1111n n n n n n n n a a a aa a a a -+-+⋅⋅=-- 两边取倒数可得：111111n n n n a a a a -+-=-,所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列,首项1112a =,公差d =11122-=，所以()1111222n nn a =+-=,即2n a n =，所以，由20172n a a =可得2222016n =⨯，所以1008n =. 9. 73π.()sin 2sin()3f x x x a x a π=-=+-，函数在区间[]0,2π上恰有三个零点x 1，x 2，x 3，则a =令sin()3x π+=，所以233x k πππ+=+或者233x k ππππ+=+-，所以2x k π=或者23x k ππ=+，所以10x =，23x π=，32x π=，即12373x x x π++=.10.22143x y +=.依题意知()21,0F ，设()11,M x y ，由椭圆的定义可得253MF =，由抛物线定义得21513MF x =+=，即123x =，将123x =代入抛物线方程得1y =，进而由2222231a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎝⎭+=及221a b -=，解得224,3a b ==，故椭圆1C 的方程为22143x y +=.11.102m -≤<.法一：由题意得：当0m ≥时，函数2()222f x x mx =+-的对称轴02m -≤，且(0)1f =-，所以，此时()f x 在[]0,1上至多有一个零点，而()2f x mx =+在()1,+∞没有零点.所以，0m ≥不符合题意．当0m <时，函数2()221f x x mx =+-的对称轴02m->，且(0)1f =-，所以，此时()f x 在[]0,1 上至多有一个零点，而()2f x mx =+在()1,+∞至多有一个零点，若()f x 在[)0,+∞有且只有2个零点，则要求012221020m m m ⎧<-≤⎪⎪+-≥⎨⎪+>⎪⎩，解之可得102m -≤<.综上：102m -≤<法二：由题意得：x ＝0不是函数f (x )的零点.当0＜x ≤1时，由f (x )＝0，得12m x x=-，此时函数12y x x =-在(]0,1上单调递减，从而1122y x x =-≥-，所以，当m ≥－12时，f (x )在(]0,1上有且只有一个零点，当x ＞1时，由f (x )＝0，得2m x =-，此时函数2y x=-在()1,+∞上单调递增，从而()22,0y x=-∈-，所以，当－2＜m ＜0时，f (x )在()1,+∞上有且只有一个零点，若()f x 在[)0,+∞有且只有2个零点，则要求1220m m ⎧≥-⎪⎨⎪-<<⎩，解之可得102m -≤<.综上，102m -≤<.12.32.令2,2(0,0)x y m x y n m n +=+=>>，则问题转化为6,m n +≤求41m n+的最小值，而41()()9m n m n ++≥，即41932m n m n +≥≥+故知最小值为32.13.5.以AB 所在直线为x 轴，过点A 作垂直于直线AB 所在的直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系.设BM CN BCCD==λ（0≤λ≤1），所以，BM λ=，2CN λ=，所以，(2)2M λ+，)23,225(λ-N ，所以，2535444AM AN λλλλ⋅=-+-+2225(1)6λλλ=--+=-++，因为[01]λ∈，，所以，[25]AM AN ⋅∈，，所以AM AN ⋅的取值范围是]52[，，即最大值为5.14.1a ≥.仅考虑函数()f x在0x >时的情况，可知3312()12x x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-⎪⎩，，≥函数()f x 在2x =时，取得极大值16．令31216x x -=，解得，4x =．作出函数的图象（如右图所示）．函数()f x 的定义域为[0,]m ，值域为2[0]am ，，分为以下情况考虑：（1）当02m <<时，函数的值域为2[0(12)]m m -，，有22(12)m m am -=，所以12a m m =-，因为02m <<，所以4a >；（2）当24m ≤≤时，函数的值域为[016]，，有216am =，所以216a m=，因为24m ≤≤，所以14a ≤≤；（3）当4m >时，函数的值域为2[0(12)]m m -，，有22(12)m m am -=，所以12a m m =-，因为4m >，所以1a >；综上所述，实数a 的取值范围是1a ≥．二、解答题15．（11sin()62C π-=，因为()0,C π∠∈，所以5,666C πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以66C ππ-=或56π,即3C π=或π（舍去）.（2）因为2sin cR C=，所以24R =, 要使三角形周长最大，即要求a b +最大.所以，2(sin sin )4(sin sin())3a b R A B A A π+=+=++14(sin sin ))26A A A A π=+=+因为20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以，当3A π=时，a b +有最大值.此时，ABC∆为等边三角形，c =所以12ABCS=⨯=.16．（1）连AC交BD于O，连CO；因为AB∥CD，2AB DC=，所以2AO CO=，又因为2EM CM=，所以，AE∥MO，又因为AE⊄面BDM，MO⊂面BDM，所以AE∥面BDM.（2）设1DC=，因为DC⊥BC，1BC=，所以BD，在梯形ABCD中，//AB CD，所以45ABD BDC︒∠=∠=，因为2AB DC=，所以在ABD∆中，由余弦定理知AD因为AB=2，所以AD2+BD2=AB2，所以∠ADB=90°，所以，AD⊥BD，因为平面ADEF⊥平面ABCD，BD⊥AD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，BD⊂面ABCD 所以BD⊥平面ADEF，因为BD⊂平面BDM，所以平面BDM⊥平面ADEF.17.（1）过O作直线OE AB⊥于E，则10,OE=设,EOAα∠=则3,(),442EOBπππαα∠=-<<故310tan,10tan(),4AE BEπαα==-3sin()3sin410tan tan()10()34cos cos()4ABπαπαααπαα-=+-=+-310sin4,3cos cos()4ππαα=⋅-又31cos cos()cos()sin(2)424ππαααααα⋅-=⋅+=-，由42ππα<<，得32(,),444πππα-∈故max32cos cos()44παα⋅-=，当且仅当32,428πππαα-==时取等号．此时，AB有最小值为1)．即两出入口之间距离的最小值为1) .（2）由题意可知直线AB是以O为圆心，10为半径的圆O的切线，根据题意，直线AB与圆C要相离，其临界位置为直线AB与圆C相切，设切点为F此时直线AB 为圆C 与圆O 的公切线．因为，出入口A 在古建筑群和市中心O 之间，如图，以O 为坐标原点，以CO 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系xoy 由CF=5，OE=10，因为圆O 的方程为22100x y +=，圆C 的方程为22(30)25x y ++=，设直线AB 的方程为(0)y kx t k =+>，则10,(1)5,(2)==，所以，（1）/（2）得230t k t =-+，所以20t k =或60t k =，所以此时(20,0)A -或(60,0)A -（舍去），此时20OA =，又由（1）知当//AB ON时，OA =综上，(60,).OA ∈+∞即设计出入口A 离市中心O的距离在到20km 之间时，才能使高架道路及其延伸段不经过保护区. 18．（1）设点P (x ，y )，x 2 + y 2 = 4，P A = (x - a)2 + (y - 2)2，PB = (x - m)2 + (y - 1)2，因为PAPB= k ，所以(x –a )2 + (y –2)2 = k 2[(x –m )2 + (y –1)2]，又x 2 + y 2 = 4，化简得2ax + 4y – a 2 – 8 = k 2(2mx + 2y – m 2 – 5)，因为P 为圆O 上任意一点，所以⎩⎨⎧2a = 2mk24 = 2k2a2 + 8 = k2(m2 + 5)，又m > 0，k > 0，解得⎩⎨⎧k = 2a = 2m = 1，所以常数k = 2．（2）法一：设M (x 0，y 0)，M 是线段NE 的中点，N (2x 0 – 2，2y 0 – t )，又MN 在圆C 上，即关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧x02 + y02 = 1(2x0 -2)2 + (2y0 - t)2 = 1有解，化简得⎩⎨⎧x02 + y02 = 18x0 + 4t y0 - t2 - 7 = 0有解，即直线n ：8x + 4t y –t 2– 7 = 0与圆C ：x 2 + y 2 = 1有交点，则d o -n =|t2 + 7|64 + 16t2≤1，化简得：t 4 – 2t 2 – 15 ≤0，解得t ∈[5，5]．法二：设过E 的切线与圆C 交于切点F ，EF 2 = EM ·EN ，又M 是线段NE 的中点，所以EN = 2MN ，EM = MN ，所以EF 2 = 2MN 2，又EF 2 = EO 2 – OF 2 = 22 + t 2 – 1 = t 2 + 3，所以MN ≤ 2，t 2 + 3 ≤ 8，所以t ∈[-5，5]．19．(1)由已知，得f '(x )1221x a x=---+，据题意，f '(1) = 0，得到1a =-.所以2()ln f x x x x =-++， f '(x )(21)(1)121x x x xx+-+=-++=.由0x >，令f '(x )0>，得01x <<，令f '(x )0<，得1x >，所以函数()f x 在1x =处取得极值，所以1a =-， ()f x 的单调增区间为(0)，1，()f x 的单调减区间为(1+)，∞.(2)257()()ln 22x x g x f x b x x b =-+=-++-，(0,2016)x ∈.则g '(x ) 7122x x =-++，令g '(x )0=，得2x =，负舍.当02x <<时，g '(x )0>，g (x )在(02)，上递增，当22016x <<时，g '(x )0<，g (x )在(22016)，上递减，所以函数5()()2g x f x b x =-+在区间(0,2016)上只有一个零点，等价于(2)0g =，解得ln23b =+. (3) 由条件可得2ln ()x kh x x x x=-- 因为12()()0h x h x ==，所以2211222ln 2ln x x x x -=-令2()2ln x x x ϕ=-，所以222(1)()2x x x x x-'ϕ=-=当01x <<时，()0x 'ϕ>，当1x >时，()0x 'ϕ<，所以()x ϕ在()0,1上递增，在()1,+∞上递减，所以()x ϕ在1x =处有极大值，所以1201x x <<< 令()()()2s x x x =--ϕϕ，()0,1x ∈， ()()242440222s x x x x x '=->-=-+-⎛⎫⎪⎝⎭()s x 在()0,1上单调递增，()()10s x s <=有()()21x x =ϕϕ()12x <-ϕ，因为，()x ϕ在()1,+∞上递减，且211,21x x >->所以211222x x x x >-⇒+>． 20．（1）①因为211112a a a a =+∆=-，322114a a a a =+∆=-，且{}n a 为等比数列. 所以2213a a a =⋅，即211111()()24a a a -=-，解得113a =.当113a =时，当2n ≥时，1n n a a -=∆+……111111()1()11122()13321()2n n a a --⎡⎤---⎢⎥⎣⎦+∆+=+=⋅---. 1n =适合上式，所以{}n a 为等比数列，即113a =.②因为n m a a -=1n a -∆+……m a +∆11()1()21122[()()]13221()2m n m n m -⎡⎤---⎢⎥⎣⎦==⋅-----所以||n m a a -=211|()()|322n m ⋅---211[()()]322n m ≤⋅+41()32m ≤⋅，令41()32m t ⋅≤，则24log 3m t ≥，故可取k 不小于24log 3t的正整数，则对任意,,n m k n N m N **>≥∈∈，||n m a a -41()32m t ≤⋅≤.（2）因为n a ∆=21n a -∆+ (12)1113(13)2(1)13n a a n a --+∆+∆=--+∆-131222n n a =-++∆231222n n a =-+-. 由23-20n n a ∆=>知 {}n a ∆递增，所以4n a a ≥对n N *∈恒成立当且仅当满足23234300a a a a a a ∆=-≤⎧⎨∆=-≥⎩，即22070a a ≤⎧⎨+≥⎩，解得2-70a ≤≤. 所以2a 的取值范围是[7,0].-2018届高考模拟试卷一参考答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷规定的横线上）1.22.四3.284.35.8π 6.a ＞2 7.6π 8.54 9.6π10.3π11.448 12.2 13.24 14.()5333，二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）如图，在几何体中，四边形ABCD 为菱形，对角线AC 与BD 的交点为O ，四边形DCEF为梯形，EF ∥CD ，FB FD =．（1）若2CD EF =，求证：OE ∥平面ADF ；（2）求证：平面ACF ⊥平面ABCD ．【解析】（Ⅰ）证明：取AD 的中点G ，连接OG 、FG ，因为O 为对角线AC 与BD 的交点，则O 为AC 中点，所以OG ∥CD ，且12OGCD =．又因为EF ∥CD ，且2CD EF =，所以OG ∥EF ，OG EF =，则四边形OGFE 为平行四边形，----------3分所以OE ∥FG ．又因为FG ⊂平面ADF ，OE ⊄平面ADF ，OE ∥FG ，所以OE ∥平面ADF ；-------------------------------------------------------------------6分（Ⅱ）证明：因为四边形ABCD 为菱形，所以OC BD ⊥，--------------------------7分又因为FB FD =，O 是BD 的中点，所以OF BD ⊥，------------------8分又有OFOC O OF =⊂，平面ACF ，OC ⊂平面ACF ,所以BD ⊥平面ACF ，----------------------------------------------12分又因为BD ⊂平面ABCD ，所以平面ACF⊥平面ABCD ．----------------------------------------14分16．（本小题满分14分）已知函数()2sin()cos 6f x x x π=-.（1）求函数()f x 的最大值和最小正周期；（2）设ABC ∆的角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且c =，1()2f C =，若sin 2sin B A =，求边a ，b 的值.【解析】（Ⅰ）因为)2()2sin()cos 612cos cos 2cos cos 1cos 2221sin(2)62f x x xx x x x x x x x x ππ=-=-=-+=-=---------------------------------------------------------------------4分当且仅当,3x k k Z ππ=+∈时，max 1()2f x =--------------------------------------6分最小正周期分别为和22T ππ==.------------------------------------------------7分（Ⅱ）因为11()sin(2)622f C C π=--=，即sin(2)16C π-=，因为0C π<<，所以 112666C πππ-<-<，于是262C ππ-=，即3C π=.------------------------------10分因为sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =，-------------------------------------12分由余弦定理得2222cos3c a b ab π=+-，即2212a b ab +-=，联立22212b aa b ab =⎧⎨+-=⎩，解得24a b =⎧⎨=⎩.-------------------------------------------14分17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，且点在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；-（2）设P 为椭圆上第一象限内的点，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P 关于x 轴的对称点为Q ，设PD PQ λ=，直线AD 与椭圆C 的另一个交点为B ，若PA ⊥PB ，求实数λ的值.【解析】17.解:(1)因为点222，在椭圆C 上，则222112a b+=，------------------------------1分又椭圆C 的离心率为32，可得32ca，即32ca ，所以2222223124bacaa a ，代入上式，可得22221a a +=，解得24a ，故22114ba .所以椭圆C 的方程为2214x y += ...............................................................................................5分(2)设P (x 0，y 0)，则A (-x 0，-y 0)，Q (x 0，-y 0). 因为=λ,则(0，y D -y 0)=λ(0，-2y 0)，故y D =(1-2λ)y 0.所以点D 的坐标为(x 0，(1-2λ)y 0). ..................................................................................................7分设B (x 1，y 1)，221222*********210101010114414PB BAx x y y y y y y k k x x x x x x x x...............................9分又0000121BA ADy y y k k x x x故001441PBBAx k k y .----------------------------------------------------------------------11分又PA ⊥PB ，且0PAx k y ， D QBPxAOy第17题所以1PB PA k k ，即0000141x y x y ，解得34. 所以34....................................................................................................................................14分 18．（本小题满分16分）一块圆柱形木料的底面半径为12cm ，高为32cm ，要将这块木料加工成一只毛笔筒，在木料一端正中间掏去一个小圆柱，使小圆柱与原木料同轴，并且掏取的圆柱体积是原木料体积的三分之一，设小圆柱底面半径为r cm ，高为h cm ，要求笔筒底面的厚度超过2cm ．（1）求r 与h 的关系，并指出r 的取值范围；（2）笔筒成形后进行后续加工，要求笔筒上底圆环面、桶内侧面、外表侧面都喷上油漆，其中上底圆环面、外表侧面喷漆费用均为a （元/ cm 2），桶内侧面喷漆费用为2a （元/cm 2），而桶内底面铺贴金属薄片，其费用是7a （元/ cm 2）（其中a 为正常数）． ①将笔筒的后续加工费用y （元）表示为r 的函数；②求出当r 取何值时，能使笔筒的后续加工费用y 最小，并求出y 的最小值．【解析】（Ⅰ）据题意，221(1232)3r h ππ=⋅⋅，所以23248h r ⨯=，----------------------3分因为322h ->，所以30h <即2324830r ⨯<，解得r >----------------------------------------------------------5分又012r <<，所以125r <<；----------------------------------------------------------6分（Ⅱ）①据题意，笔筒的后续加工费用22272(2)(1221232)y a r a rh a r πππππ=++⋅-⋅+⋅⋅，整理得2226412763248641276y a r a rh a a r a r a rππππππ=++⨯⨯=+⋅+⨯ 232326(152)a r rπ⨯=++，定义域为；----------------------11分 ②由①知，33/22323286(2)12r y a r a r rππ⨯-=-=⋅，令/0y =得8(,12)5r =∈，由表知，当8r =时，y 取极小值即最小值2064a π.------------------------15分答：当8r cm =时，能使笔筒的后续加工费用y 最小，最小值为2064a π元．----16分19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 中，首项11a =，2a a =，12()n n n a k a a ++=+对任意正整数n 都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S ．（1）若12k =，且18171S =，求实数a 的值；（2）是否存在实数k ，使数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项n a ，1n a +，2n a +按某顺序排列后成等差数列．若存在，求出所有的k 的值；若不存在，请说明理由；（3）若12k =-，求n S （用a ，n 表示）．【解析】（Ⅰ）当12k =时，由12()n n n a k a a ++=+得121()2n n n a a a ++=+，即211n n n n a a a a +++-=-，所以数列{}n a 为等差数列，--------------------1分公差为211d a a a =-=-，数列{}n a 的前n 项和为(1)(1)2n n n S n a -=+⋅-，由18171S =得18(181)17118(1)2a -=+⋅-，解得2a =；---------------------------------------------------------3分（Ⅱ）设数列{}n a 为等比数列，则其公比为21a q a a ==，1n n a a -=，1n n a a +=，12n n a a ++=． 1︒若1n a +为等差中项，则122n n n a a a ++=+即112n n n a a a -+=+，解得1a =，与已知不符，舍去； 2︒若n a 为等差中项，则122n n n a a a ++=+即112n n n a a a -+=+，即220a a +-=，解得2a =-或1a =（舍），此时由12()n n n a k a a ++=+得11()n n n a k aa -+=+即2(1)a k a =+，故2215a k a ==-+；3︒ 若2n a +为等差中项，则212n n n a a a ++=+即112n n n a a a +-=+，即2210a a --=，解得12a =-或1a =（舍），仿2︒得2215a k a ==-+．---------------------------------------------------8分综上，满足要求的实数k 有且仅有一个，25k =-；---------------------------------9分（Ⅲ）当12k =-时，121()2n n n a a a ++=-+，所以211()n n n n a a a a ++++=-+，于是32n n a a +++=211()n n n n a a a a +++-+=+．----------------------------------------11分1︒ 当n 为偶数时，123456112(1)()()()()()22n n n n n a S a a a a a a a a a a -+=++++++++=+=； ---------------------------------------------------------------------------------13分2︒ 当n 为奇数时，1234511231()()()()2n n n n S a a a a a a a a a a --=+++++++=++ 11211[()]1(1)22n n a a a a --=+⋅-+=-+（2n ≥），当1n =时，也适合该式，所以11(1),2(1),2n n a n S n a n -⎧-+⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为奇数为偶数．-----------------------------------------------16分20．（本小题满分16分）已知函数1()ln f x a x x=+（0a ≠）. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若存在两条直线1y ax b =+，2y ax b =+（12b b ≠）都是曲线()y f x =的切线，求实数a 的取值范围；（3）若{}|()0(0,1)x f x ⊆≤，求实数a 的取值范围.【解析】（Ⅰ）/2211()a ax f x x x x-=-=（0x >）. 当0a <时，/()0f x <，()f x 的递减区间为(0,)+∞；----------------------------1分当0a >时，由/()0f x =得1x a=，列表得：所以，函数()f x 的递减区间为1(0,)a ，递增区间为1(,)a+∞；-----------------------4分（Ⅱ）因为存在两条直线1y ax b =+、2y ax b =+（12b b ≠）都是曲线()y f x =的切线，所以/()f x a =至少有两个不等的正根，-----------------------------------------------5分令/21()ax f x a x-==，得210ax ax -+=，记其两个根为1x 、2x （12x x <），则2124010a a x x a ⎧∆=->⎪⎨=>⎪⎩，解得4a >，------------------------------------------------------------------------------------7分而当4a >时，曲线()y f x =在点11(,())x f x 、22(,())x f x 处的切线分别为11()y ax f x ax =+-、22()y ax f x ax =+-，设()()F x f x ax =-（0x >），由2//1222()()1()()a x x x x ax ax F x f x a x x----+-=-==知，当12x x x <<时，/()0F x >即()F x 在区间12[,]x x 上是单调函数，因此12()()F x F x ≠，所以11()y ax f x ax =+-、22()y ax f x ax =+-不重合，即1y ax b =+、2y ax b =+（12b b ≠）是曲线()y f x =的两条不同的切线，故4a >；----------------10分（Ⅲ）当0a <时，函数()f x 是(0,)+∞内的减函数，因为11111()ln()10aaaaf ea e e e---=+=-<，而1(0,1)ae-∉，不符合题意；----------------------------------------------------------12分当0a >时，由（Ⅰ）知()f x 的最小值为1()ln (1ln )f a a a a a a=-+=-.1︒若1()0f a>即0a e <<时，{}|()0(0,1)x f x φ≤=⊆，所以0a e <<符合题意；2︒若1()0f a =即a e =时，{}1|()0(0,1)x f x e ⎧⎫≤=⊆⎨⎬⎩⎭，所以a e =符合题意；3︒若1()0f a <即a e >时，101a <<，而(1)10f =>，函数()f x 在1(,)a+∞内递增，所以当1x ≥时，()0f x >，又因为()f x 的定义域为(0,)+∞，所以{}|()0(0,1)x f x ≤⊆，符合题意.综上，实数a 的取值范围为(0,)+∞.----------------------------------------------16分。

2018年高考数学二模试卷(理科)带答案精讲

2018年高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）若集合，则m的取范围值为（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．﹣1或2 D．2或2．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=9，a6=11，则S9等于（）A．180 B．90 C．72 D．103．（5分）在样本的频率分布直方图中，共有5个长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它4个小长方形的面积和的，且样本容量为100，则正中间的一组的频数为（）A．80 B．0.8 C．20 D．0.24．（5分）若满足条件的△ABC有两个，那么a的取值范围是（）A．（1，）B．（） C．D．（1，2）5．（5分）复数2+i与复数在复平面上的对应点分别是A、B，则∠AOB等于（）A．B．C．D．6．（5分）已知x，y满足约束条件的最小值是（）A．B．C．D．17．（5分）2011年某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，后四位数从“0000”到“9999”共10000个号码．公司规定：凡卡号的后四位带数字“6”或“8”的一律作为“金兔卡”，享受一定优惠政策，则这组号码中“金兔卡”的个数为（）A．2000 B．4096 C．5904 D．83208．（5分）有三个命题①函数f（x）=lnx+x﹣2的图象与x轴有2个交点；②函数的反函数是y=（x﹣1）2（x≥﹣1）；③函数的图象关于y轴对称．其中真命题是（）A．①③B．②C．③D．②③9．（5分）若长度为定值的线段AB的两端点分别在x轴正半轴和y轴正半轴上移动，O为坐标原点，则△OAB的重心、内心、外心、垂心的轨迹不可能是（）A．点B．线段C．圆弧D．抛物线的一部分10．（5分）已知点G是△ABC的重心，点P是△GBC内一点，若的取值范围是（）A． B． C． D．（1，2）二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）二项式（﹣2x2）9展开式中，除常数项外，各项系数的和为．12．（5分）边长是的正三角形ABC内接于体积是的球O，则球面上的点到平面ABC的最大距离为．13．（5分）函数，在区间（﹣π，π）上单调递增，则实数φ的取值范围为．14．（5分）已知过椭圆的右焦点F斜率是1的直线交椭圆于A、B两点，若，则椭圆的离心率是．15．（5分）在数学中“所有”一词，叫做全称量词，用符号“∀”表示；“存在”一词，叫做存在量词，用符号“∃”表示．设．①若∃x0∈（2，+∞），使f（x0）=m成立，则实数m的取值范围为；②若∀x1∈（2，+∞），∃x2∈（2，+∞）使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围为．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）已知=（cosx+sinx，sinx），=（cosx﹣sinx，2cosx）．（I）求证：向量与向量不可能平行；（II）若•=1，且x∈[﹣π，0]，求x的值．17．（12分）已知某高中某班共有学生50人，其中男生30人，女生20人，班主任决定用分层抽样的方法在自己班上的学生中抽取5人进行高考前心理调查．（I）若要从这5人中选取2人作为重点调查对象，求至少选取1个男生的概率；（II）若男生学生考前心理状态好的概率为0.6，女学生考前心理状态好的概率为0.5，ξ表示抽取的5名学生中考前心理状态好的人数，求P（ξ=1）及Eξ．18．（12分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=a，E为棱A1D1中点．（I）求二面角E﹣AC﹣B的正切值；（II）求直线A1C1到平面EAC的距离．19．（12分）已知{a n}是正数组成的数列，其前n项和2S n=a n2+a n（n∈N*），数列{b n}满足，．（I）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（II）若c n=a n b n（n∈N*），数列{c n}的前n项和．20．（13分）若圆C过点M（0，1）且与直线l：y=﹣1相切，设圆心C的轨迹为曲线E，A、B为曲线E上的两点，点．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）若t=6，直线AB的斜率为，过A、B两点的圆N与抛物线在点A处共同的切线，求圆N的方程；（Ⅲ）分别过A、B作曲线E的切线，两条切线交于点Q，若点Q恰好在直线l 上，求证：t与均为定值．21．（14分）已知函数f（x）=ax+lnx，a∈R．（I）当a=﹣1时，求f（x）的最大值；（II）对f（x）图象上的任意不同两点P1（x1，x2），P（x2，y2）（0＜x1＜x2），证明f（x）图象上存在点P0（x0，y0），满足x1＜x0＜x2，且f（x）图象上以P0为切点的切线与直线P1P2平等；（III）当时，设正项数列{a n}满足：a n=f'（a n）（n∈N*），若数列{a2n}是递+1减数列，求a1的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）若集合，则m的取范围值为（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．﹣1或2 D．2或【分析】根据集合，解得A={2}，在根据B=（1，m），A⊆B，即2必须要在（1，m）中，得到m≥2即可求解【解答】解：∵解得：x=2，x=﹣1（舍）∴A={2}∵B=（1，m），A⊆B∴m＞2故选A【点评】本题以集合为依托，考查了解物理方程以及集合关系中的参数取值问题，属于基础题．2．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=9，a6=11，则S9等于（）A．180 B．90 C．72 D．10【分析】由a4=9，a6=11利用等差数列的性质可得a1+a9=a4+a6=20，代入等差数列的前n项和公式可求．【解答】解：∵a4=9，a6=11由等差数列的性质可得a1+a9=a4+a6=20故选B【点评】本题主要考查了等差数列的性质若m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q和数列的求和．解题的关键是利用了等差数列的性质：利用性质可以简化运算，减少计算量．3．（5分）在样本的频率分布直方图中，共有5个长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它4个小长方形的面积和的，且样本容量为100，则正中间的一组的频数为（）A．80 B．0.8 C．20 D．0.2【分析】由已知中在样本的频率分布直方图中，共有5个长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它4个小长方形的面积和的，我们出该组的频率，进而根据样本容量为100，求出这一组的频数．【解答】解：∵样本的频率分布直方图中，共有5个长方形，又∵中间一个小长方形的面积等于其它4个小长方形的面积和的，则该长方形对应的频率为0.2又∵样本容量为100，∴该组的频数为100×0.2=20故选C【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，其中根据各组中频率之比等于面积之比，求出该组数据的频率是解答本题的关键．4．（5分）若满足条件的△ABC有两个，那么a的取值范围是（）A．（1，）B．（） C．D．（1，2）【分析】由已知条件C的度数，AB及BC的值，根据正弦定理用a表示出sinA，由C的度数及正弦函数的图象可知满足题意△ABC有两个A的范围，然后根据A 的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出sinA的范围，进而求出a的取值范围．【解答】解：由正弦定理得：=，即=，变形得：sinA=，由题意得：当A∈（60°，120°）时，满足条件的△ABC有两个，所以＜＜1，解得：＜a＜2，则a的取值范围是（，2）．故选C【点评】此题考查了正弦定理及特殊角的三角函数值．要求学生掌握正弦函数的图象与性质，牢记特殊角的三角函数值以及灵活运用三角形的内角和定理这个隐含条件．5．（5分）复数2+i与复数在复平面上的对应点分别是A、B，则∠AOB等于（）A．B．C．D．【分析】利用复数的几何意义：复数与复平面内的点一一对应，写出A，B的坐标；利用正切坐标公式求出角∠XOA，∠XOB，写最后利用和角公式求出∠AOB．【解答】解：∵点A、B对应的复数分别是2+i与复数，则=∴A（2，1），B（，﹣），∴tan∠XOA=，tan∠XOB=，∴tan∠AOB=tan（∠XOA+∠XOB）==1，则∠AOB等于故选B．【点评】本题考查复数的几何意义，复数与复平面内的点一一对应．解答的关键是利用正切的和角公式．6．（5分）已知x，y满足约束条件的最小值是（）A．B．C．D．1【分析】本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与原点（0，0）构成的线段的长度问题，注意最后要平方．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，z=x2+y2，表示可行域内点到原点距离OP的平方，点P到直线3x+4y﹣4=0的距离是点P到区域内的最小值，d=，∴z=x2+y2的最小值为故选B．【点评】本题利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与原点的斜率．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化．7．（5分）2011年某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，后四位数从“0000”到“9999”共10000个号码．公司规定：凡卡号的后四位带数字“6”或“8”的一律作为“金兔卡”，享受一定优惠政策，则这组号码中“金兔卡”的个数为（）A．2000 B．4096 C．5904 D．8320【分析】由题意知凡卡号的后四位不带数字“6”或“8”的一律不能作为“金兔卡”，后四位没有6和8，后四位中的每一个组成数字只能从另外8个中选，每一位有8种选法，根据分步计数原理得到结果，用总数减去不合题意的即可．【解答】解：∵凡卡号的后四位带数字“6”或“8”的一律作为“金兔卡”，∴凡卡号的后四位不带数字“6”或“8”的一律不能作为“金兔卡”，后四位没有6和8，∴后四位中的每一个组成数字只能从另外8个中选，根据分步计数原理知共有8×8×8×8=4096，∴符合条件的有10000﹣4096=5904，故选C．【点评】本题考查分步计数原理的应用，考查带有约束条件的数字问题，这种题目若是从正面来做包括的情况比较多，可以选择从反面来解决．8．（5分）有三个命题①函数f（x）=lnx+x﹣2的图象与x轴有2个交点；②函数的反函数是y=（x﹣1）2（x≥﹣1）；③函数的图象关于y轴对称．其中真命题是（）A．①③B．②C．③D．②③【分析】对于①，考查f（x）的单调性即可；对于②，欲求原函数y=﹣1（x ≥0）的反函数，即从原函数式中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式．对于③，考查函数f（x）的奇偶性即可．【解答】解：对于①，考察f（x）的单调性，lnx和x﹣2在（0，+∞）上是增函数，故f（x）=lnx+x﹣2在（0，+∞）上是增函数，图象与x轴最多有1个交点，故错．对于②，∵y=﹣1（x≥0），∴x=（y+1）2（y≥﹣1），∴x，y互换，得y=（x+1）2（x≥﹣1）．故错．对于③，考察函数f（x）的奇偶性，化简得y=是偶函数，图象关于y轴对称，故对．故选C．【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、反函数等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．9．（5分）若长度为定值的线段AB的两端点分别在x轴正半轴和y轴正半轴上移动，O为坐标原点，则△OAB的重心、内心、外心、垂心的轨迹不可能是（）A．点B．线段C．圆弧D．抛物线的一部分【分析】本题是个选择题，利用排除法解决．首先由△OAB的重心，排除C；再利用△OAB的内心，排除B；最后利用△OAB的垂心，排除A；即可得出正确选项．【解答】解：设重心为G，AB中点为C，连接OC．则OG=OC （这是一个重心的基本结论）．而OC=AB=定值，所以G轨迹圆弧．排除C；内心一定是平分90度的那条角平分线上，轨迹是线段．排除B；外心是三角形外接圆圆心，对于这个直角三角形，AB中点C就是三角形外接圆圆心，OC是定值，所以轨迹圆弧，排除C；垂心是原点O，定点，排除A故选D．【点评】本题考查三角形的重心、内心、外心、垂心、以及轨迹的求法．解选择题时可利用排除法．10．（5分）已知点G是△ABC的重心，点P是△GBC内一点，若的取值范围是（）A． B． C． D．（1，2）【分析】由点P是△GBC内一点，则λ+μ≤1，当且仅当点P在线段BC上时，λ+μ最大等于1；当P和G重合时，λ+μ最小，此时，=，λ=μ=，λ+μ=．【解答】解：∵点P是△GBC内一点，则λ+μ＜1，当且仅当点P在线段BC上时，λ+μ最大等于1，当P和G重合时，λ+μ最小，此时，==×（）=，∴λ=μ=，λ+μ=．故＜λ+μ＜1，故选：B．【点评】本题考查三角形的重心的性质，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）二项式（﹣2x2）9展开式中，除常数项外，各项系数的和为671．【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项令x的指数为0得到常数项；令二项式中x为1求出各项系数和，从而解决问题．【解答】解：二项式展开式的通项令3r﹣9=0得r=3故展开式的常数项为﹣C93×23=﹣672．令二项式中的x=1得到系数之和为：（1﹣2）9=﹣1除常数项外，各项系数的和为：671．故答案为671．【点评】本题涉及的考点：（1）二项式定理及通项公式；（2）二项式系数与系数，解答时注意二项式系数与系数的区别．12．（5分）边长是的正三角形ABC内接于体积是的球O，则球面上的点到平面ABC的最大距离为．【分析】由已知中，边长是的正三角形ABC内接于体积是的球O，我们易求出△ABC的外接圆半径及球的半径，进而求出球心距，由于球面上的点到平面ABC的最大距离为球半径加球心距，代入即可得到答案．【解答】解：边长是的正三角形ABC的外接圆半径r=．球O的半径R=．∴球心O到平面ABC的距离d==．∴球面上的点到平面ABC的最大距离为R+d=．故答案为：．【点评】本题考查的知识点是点、面之间的距离，其中根据球的几何特征分析出球面上的点到平面ABC的最大距离为球半径加球心距，是解答本题的关键．13．（5分）函数，在区间（﹣π，π）上单调递增，则实数φ的取值范围为．【分析】求出函数的单调增区间，通过子集关系，确定实数φ的取值范围．【解答】解：函数，由2kπ﹣πφ≤2kπ，可得6kπ﹣3π﹣3φ≤x≤6kπ﹣3φ，由题意在区间（﹣π，π）上单调递增，所以6kπ﹣3π﹣3φ≤﹣π 且π≤6kπ﹣3φ，因为0＜φ＜2π，所以k=1，实数φ的取值范围为；故答案为：【点评】本题是基础题，考查三角函数的单调性的应用，子集关系的理解，考查计算能力．14．（5分）已知过椭圆的右焦点F斜率是1的直线交椭圆于A、B两点，若，则椭圆的离心率是．【分析】设出A、B两点的坐标，A（m，m﹣c），B（n，n﹣c），由得m+2n=3c ①，再根据椭圆的第二定义，=2=，可得2n﹣m=②，由①②解得m 和n的值，再代入椭圆的第二定义，e===，解方程求得e的值．【解答】解：右焦点F（c，0），直线的方程为y﹣0=x﹣c．设A（m，m﹣c），B（n，n﹣c），由得（c﹣m，c﹣m）=2 （n﹣c，n﹣c），∴c﹣m=2（n﹣c），m+2n=3c ①．再根据椭圆的第二定义，=2=，∴2n﹣m=②，由①②解得m=，n=．据椭圆的第二定义，e=====，∴3e3﹣3e﹣e2+=0，（e2﹣1）•（3e﹣）=0．∵0＜e＜1，∴e=，故椭圆的离心率是，故答案为．【点评】本题考查椭圆的定义、椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用．15．（5分）在数学中“所有”一词，叫做全称量词，用符号“∀”表示；“存在”一词，叫做存在量词，用符号“∃”表示．设．①若∃x0∈（2，+∞），使f（x0）=m成立，则实数m的取值范围为（，+∞）；②若∀x1∈（2，+∞），∃x2∈（2，+∞）使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围为不存在．【分析】①先对函数配方，求出其对称轴，判断出其在给定区间上的单调性进而求出函数值的范围，即可求出实数m的取值范围；②先利用单调性分别求出两个函数的值域，再比较即可求出实数a的取值范围．【解答】解：因为f（x）==，（2，+∞），f（x）＞f（2）=；g（x）=a x，（a＞1，x＞2）．g（x）＞g（2）=a2．①∵∃x0∈（2，+∞），使f（x0）=m成立，∴m；②∵∀x1∈（2，+∞），∃x2∈（2，+∞）使得f（x1）=g（x2），∴⇒a不存在．故答案为：（，+∞）：不存在．【点评】本题主要考查函数恒成立问题以及借助于单调性研究函数的值域，是对基础知识的综合考查，属于中档题目．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）已知=（cosx+sinx，sinx），=（cosx﹣sinx，2cosx）．（I）求证：向量与向量不可能平行；（II）若•=1，且x∈[﹣π，0]，求x的值．【分析】（I）先假设两个向量平行，利用平行向量的坐标表示，列出方程并用倍角和两角和正弦公式进行化简，求出一个角的正弦值，根据正弦值的范围推出矛盾，即证出假设不成立；（II）利用向量数量积的坐标表示列出式子，并用倍角和两角和正弦公式进行化简，由条件和已知角的范围进行求值．【解答】解：（I）假设∥，则2cosx（cosx+sinx）﹣sinx（cosx﹣sinx）=0，1+cosxsinx+cos2x=0，即1+sin2x+=0，∴sin（2x+）=﹣3，解得sin（2x+）=﹣＜﹣1，故不存在这种角满足条件，故假设不成立，即与不可能平行．（II）由题意得，•=（cosx+sinx）（cosx﹣sinx）+2cosxsinx=cos2x+sin2x=sin （2x+）=1，∵x∈[﹣π，0]，∴﹣2π≤2x≤0，即≤，∴=﹣或，解得x=或0，故x的值为：或0．【点评】本题考查了向量共线和数量积的坐标运算，主要利用了三角恒等变换的公式进行化简，对于存在性的题目一般是先假设成立，根据题意列出式子，再通过运算后推出矛盾，是向量和三角函数相结合的题目．17．（12分）已知某高中某班共有学生50人，其中男生30人，女生20人，班主任决定用分层抽样的方法在自己班上的学生中抽取5人进行高考前心理调查．（I）若要从这5人中选取2人作为重点调查对象，求至少选取1个男生的概率；（II）若男生学生考前心理状态好的概率为0.6，女学生考前心理状态好的概率为0.5，ξ表示抽取的5名学生中考前心理状态好的人数，求P（ξ=1）及Eξ．【分析】（I）根据分层抽样的定义知：在自己班上的学生中抽取5人中有3男2女，“至少选取1个男生”的对立面是“全为女生”则所求的概率为：1﹣“全为女生”的概率（II）P（ξ=1）表示抽取的5名学生中考前心理状态好的人数为男生1人和女生1人ξ表示抽取的5名学生中考前心理状态好的人数可表示为：用ξ1表示3个男生中考前心理状态好的人数，ξ2表示2个女生考前心理状态好的人数，则ξ1～B（3，0.6），ξ2～B（2，0.5）根据Eξ=Eξ1+Eξ2即可运算【解答】解：（I）男生被抽取人数为3人，女生被抽取人数为2人选取的两名学生都是女生的概率P=∴所求的概率为：1﹣P=（II）P（ξ=1）=C31×0.6×0.42×0.52+C21×0.43×0.52=0.104用ξ1表示3个男生中考前心理状态好的人数，ξ2表示2个女生考前心理状态好的人数，则ξ1～B（3，0.6），ξ2～B（2，0.5），∴Eξ1=3×0.6=1.8，Eξ2=2×0.5=1，∴Eξ=Eξ1+Eξ2=2.8【点评】本题考查了等可能事件的概率，离散型随机变量的期望，特别是二项分布的期望与方差也是高考中常考的内容之一．18．（12分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=a，E为棱A1D1中点．（I）求二面角E﹣AC﹣B的正切值；（II）求直线A1C1到平面EAC的距离．【分析】（I）取AD的中点H，连接EH，则EH⊥平面ABCD，过H作HF⊥AC与F，连接EF，我们可得∠EFH即为二面角E﹣AC﹣B的补角，解三角形EFH后，即可求出二面角E﹣AC﹣B的正切值；（II）直线A1C1到平面EAC的距离，即A1点到平面EAC的距离，利用等体积法，我们根据=，即可求出直线A 1C1到平面EAC的距离．【解答】解：（I）取AD的中点H，连接EH，则EH⊥平面ABCD，过H作HF⊥AC 与F，连接EF，则EF在平面ABCD内的射影为HF，由三垂线定理得EF⊥AC，，∴∠EFH即为二面角E﹣AC﹣B的补角∵EH=a，HF=BD=∴∠tan∠EFH===2∴二面角E﹣AC﹣B的正切值为﹣2…6分（II）直线A1C1到平面EAC的距离，即A1点到平面EAC的距离d，…8分∵=•d=∴S△EAC∵EF====•AC•EF=•a•=∴S△EAC而=••a=∴•d=•a∴d=∴直线A1C1到平面EAC的距离【点评】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，点到平面的距离，其中（I）的关键是得到∠EFH即为二面角E﹣AC﹣B的补角，（II）中求点到面的距离时，等体积法是最常用的方法．19．（12分）已知{a n}是正数组成的数列，其前n项和2S n=a n2+a n（n∈N*），数列{b n}满足，．（I）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（II）若c n=a n b n（n∈N*），数列{c n}的前n项和．【分析】（I）由题设知a1=1，a n=S n﹣S n﹣1=，a n2﹣a n﹣12﹣a n﹣a n﹣1=0，故（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）=0，由此能导出a n=n．于是b n+1=b n+3n，b n+1﹣b n=3n，由此能求出b n．（II），，由错位相减法能求出，由此能得到==．【解答】解：（I），∴a1=1，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=，∴a n2﹣a n﹣12﹣an﹣a n﹣1=0，（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）=0，∴a n﹣a n﹣1=1．∴数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数列，∴a n=n．于是b n+1=b n+3n，∴b n+1﹣b n=3n，b n=b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（b n﹣b n﹣1）=．（II），∴，，∴==，，∴==．【点评】第（I）题考查数列通项公式的求法，解题时要注意迭代法的合理运用；第（II）题考查前n项和的计算和极限在数列中的运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意数列性质的合理运用．20．（13分）若圆C过点M（0，1）且与直线l：y=﹣1相切，设圆心C的轨迹为曲线E，A、B为曲线E上的两点，点．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）若t=6，直线AB的斜率为，过A、B两点的圆N与抛物线在点A处共同的切线，求圆N的方程；（Ⅲ）分别过A、B作曲线E的切线，两条切线交于点Q，若点Q恰好在直线l 上，求证：t与均为定值．【分析】（I）由点C到定点M的距离等于到定直线l的距离与抛物线的定义可得点C的轨迹为抛物线所以曲线E的方程为x2=4y．（II）由题得直线AB的方程是x﹣2y+12=0联立抛物线的方程解得A（6，9）和B（﹣4，4），进而直线NA的方程为，由A，B两点的坐标得到线段AB中垂线方程为，可求N点的坐标，进而求出圆N的方程．（III）设A，B两点的坐标，由题意得过点A的切线方程为又Q（a，﹣1），可得x12﹣2ax1﹣4=0同理得x22﹣2ax2﹣4=0所以x1+x2=2a，x1x2=﹣4．所以直线AB的方程为所以t=﹣1．根据向量的运算得=0．【解答】【解】（Ⅰ）依题意，点C到定点M的距离等于到定直线l的距离，所以点C的轨迹为抛物线，曲线E的方程为x2=4y．（Ⅱ）直线AB的方程是，即x﹣2y+12=0．由及知，得A（6，9）和B（﹣4，4）由x2=4y得，．所以抛物线x2=4y在点A处切线的斜率为y'|x=6=3．直线NA的方程为，即．①线段AB的中点坐标为，线段AB中垂线方程为，即．②由①、②解得．于是，圆C的方程为，即．（Ⅲ）设，，Q（a，1）．过点A的切线方程为，即x12﹣2ax1﹣4=0．同理可得x22﹣2ax2﹣4=0，所以x1+x2=2a，x1x2=﹣4．又=，所以直线AB的方程为，即，亦即，所以t=1．而，，所以==．【点评】本题主要考查抛物线的定义和直线与曲线的相切问题，解决此类问题的必须熟悉曲线的定义和曲线的图形特征，这也是高考常考的知识点．21．（14分）已知函数f（x）=ax+lnx，a∈R．（I）当a=﹣1时，求f（x）的最大值；（II）对f（x）图象上的任意不同两点P1（x1，x2），P（x2，y2）（0＜x1＜x2），证明f（x）图象上存在点P0（x0，y0），满足x1＜x0＜x2，且f（x）图象上以P0为切点的切线与直线P1P2平等；（III）当时，设正项数列{a n}满足：a n=f'（a n）（n∈N*），若数列{a2n}是递+1减数列，求a1的取值范围．【分析】（I）求出函数的导函数判断出其大于零得到函数在区间[1，e]上为增函数，所以f（1）为最小值，f（e）为最大值，求出即可；（II）直线P1P2的斜率k由P1，P2两点坐标可表示为；由（1）知﹣x+lnx≤﹣1，当且仅当x=1时取等号；可得+＜﹣1，整理可得＜，同理，由，得；所以P1P2的斜率，在x∈（x1，x2）上，有，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f（x）=﹣x+lnx，．对于x∈（0，1），有f'（x）＞0，∴f（x）在区间（0，1]上为增函数，对于x∈（1，+∞），有f'（x）＜0，∴f（x）在区间（1，+∞）上为减函数，．∴f max（x）=f（1）=﹣1；（II）直线P1P2的斜率为；由（1）知﹣x+lnx≤﹣1，当且仅当x=1时取等号，∴，同理，由，可得；故P1P2的斜率，又在x∈（x1，x2）上，，所以f（x）图象上存在点P0（x0，y0），满足x1＜x0＜x2，且f（x）图象上以P0为切点的切线与直线P1P2平行；（III）f（x）=，f′（x）=，∴a n+1=+，a3=，a4==＜a2⇒2a22﹣3a2﹣2＞0，⇒（2a2+1）（a2﹣1）＞0⇒a2＞2⇒⇒0＜a1＜2，下面我们证明：当0＜a1＜2时，a2n+2＜a2n，且a2n＞2（n∈N+）事实上，当n=1时，0＜a1＜2⇒a2=，a4﹣a2=⇒a4＜a2，结论成立．若当n=k时结论成立，即a2k+2＜a2k，且a2k＞2，则a2k+2=⇒a2k+4=，a2k+4﹣a2k+2=⇒a2k+4＜a2k+2，由上述证明可知，a1的取值范围是（0，2）．【点评】本题综合考查了利用导数研究曲线上过某点的切线方程，利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值问题，也考查了利用函数证明不等式的问题，以及利用数学归纳法证明数列不等式，考查运算能力和分析解决问题能力，属难题．。

2018届高三教学质量检测试卷(二模)理科数学试题含答案

岳阳市2018届高三教学质量检测试卷（二）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2|15,|560A x N x B x x x =∈-<<=-++>，则AB =（）A ．{}1,0,1,3-B ．{}1,0,1,2-C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,2,3,4 2.已知i 为虚数单位，复数z 满足()212i z i =-，则z 的值为（）A ．2B ．3C ．．53. 设数列{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和，若5532,4S a a ==，则9a =（） A ． 4 B ．-22 C ． 22 D ． 804. 函数()[]()cos ,xf x xex ππ=∈-的图象大致是（） A ． B ．C. D ．5.已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面,,1,ABC AB BC SA AB BC ⊥===则球O 的表面积等于（）A ．4πB ．3π C. 2π D ．π 6. 若直线22p y x =+与抛物线()220x py p =>相交于,A B 两点，则AB 等于（） A ．5p B ．11p C. 10p D ．12p7.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，已知某“堑堵”与某“阳马”组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积（）A．4+．3+4+ D．3+8. 执行如下图所示的程序框图，输出s 的值为（）A ． 1B ．20162017 C. 20182017 D ．201820199. 已知点()4,3P -在角ϕ的终边上，函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>图象上与y 轴最近的两个对称中心间的距离为2π，则8f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为（） AB．．10. 设0a >，若关于,x y 的不等式组202020ax y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，表示的可行域与圆()2229x y -+=存在公共点，则2z x y =+的最大值的取值范围为（）A ．[]8,10B ．()6,+∞ C. (]6,8 D ．[)8,+∞11. 已知函数()2f x x m =+与函数()11ln3,22g x x x x ⎛⎫⎡⎤=--∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象上恰有两对关于x 轴对称的点，则实数m 的取值范围是（） A ．5ln 2,24⎡⎫+⎪⎢⎣⎭ B ．52ln 2,ln 24⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭ C. 5ln 2,2ln 24⎛⎤+- ⎥⎝⎦D ．(]2ln2,2-12. 已知直线1l 与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>交于,A B 两点，且AB 中点M 的横坐标为b ，过M 且与直线1l 垂直的直线2l 过双曲线C 的右焦点，则双曲线的离心率为（）A B 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题，第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.13.如图是半径分别为1，2，3的三个同心圆，现随机向最大圆内抛一粒豆子，则豆子落入图中阴影部分的概率为．14.若点(),θθ是函数()sin 3cos f x x x =+的一个对称中心，则cos 2sin cos θθθ+= ．15.已知函数()()2,0ln 1,0x x f x x x ≤⎧=⎨+>⎩，若()f x ax ≥恒成立，则a 的取值范围是．16.已知函数()2sin2xf x x π=，数列{}n a 中，()()()*1n a f n f n n N =-+∈，则数列{}n a 的前100项之和100S = ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足2cos 3b C a c π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭. （1）求角B 的大小；（2）若b =ac 的取值范围.18. 某市为了鼓励市民节约用水，实行“阶梯式”水价，将该市每户居民的月用水量划分为三档：月用水量不超过4吨的部分按2元/吨收费，超过4吨但不超过8吨的部分按4元/吨收费，超过8吨的部分按8元/吨收费.（1）求居民月用水量费用y（单位：元）关于月用电量x（单位：吨）的函数解析式；（2）为了了解居民的用水情况，通过抽样，获得今年3月份100户居民每户的用水量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年3月份用水费用不超过16元的占66%，求,a b的值；（3）在满足条件（2）的条件下，若以这100户居民用水量的频率代替该月全市居民用户用水量的概率.且同组中的数据用该组区间的中点值代替.记为该市居民用户3月份的用水费用，求y的分布列和数学期望.19.如图所示，正三角形ABC所在平面与梯形BCDE所在平面垂直，//,24BE CD BE CD==，BE BC⊥，F为棱AE的中点.（1）求证://DF平面ABC；（2）求证：DF⊥平面ABE；（3）若直线AD与平面BCDE所成角的正切值为5，求二面角B CF D--的余弦值.20.已知椭圆C 的两个焦点坐标分别是()()2,0,2,0-，并且经过)P .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 作直线l ，直线l 与椭圆C 相交于A B 、两点，与圆22:6O x y +=相交于D E 、两点，当OAB ∆的面积最大时，求弦DE 的长.21.已知函数()()2112x f x x e x ax =+--(,a R e ∈是自然对数的底数)在()()0,0f 处的切线与x 轴平行.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）设()()21222xg x e m x x n =+---，若x R ∀∈，不等式()()f x g x ≥恒成立，求2nm -的最大值. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 过定点()1,1P ，且倾斜角为34π，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的坐标系中，曲线C 的极坐标方程为32cos ρθρ-=.（1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的参数方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于不同的两点A B 、，求PA PB 的值. 23.选修4-5：不等式选讲设函数()2224f x x x =++-. （1）求不等式()8f x >的解集；（2）若存在x R ∈，使不等式()23f x m ≤-成立，求实数m 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: DDCBA 6-10: CABCD 11、12：AB二、填空题13.13 14. 1110- 15. []2,0- 16.-10200 三、解答题17.（1）∵2cos 3b C a c π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭， ∴由正弦定理得：2sin cos sin sin 3B C A C π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，∴()12sin cos sin sin 2B C C B C C ⎛⎫=++⎪ ⎪⎝⎭，cos 1B B -=， ∴1sin 62B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∵ABC ∆为锐角三角形，∴,663B πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴66B ππ-=即3B π=；（2）∵3b B π==，∴由正弦定理有：2sin sin sin a c b A C B===， ∴由正弦定理有：2sin sin sin a c bA C B===， ∴2sin ,2sin ,4sin sin a A c C a c A C ===， ∵3B π=，∴23C A π=-，∴214sin sin 4sin sin 32a c A A A A A π⎫⎛⎫=-=+⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭2cos2sin21cos22sin216A A AA AAπ=+=+-⎛⎫=-=⎪⎝⎭∵ABC∆为锐角三角形，∴20,,0,232A C Aπππ⎛⎫⎛⎫∈=-∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴,62Aππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴52,666Aπππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，∴(]2,3a c ∈.18.（1）当04x≤≤时，2y x=；当48x<≤时，()244448y x x=⨯+⨯-=-，当8x>时，()244488840y x x=⨯+⨯+⨯-=-.所以y与x之间的函数解析式为：2,0448,48840,8x xy x xx x≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩；（2）由（1）可知，当16y=时，6x=，则()60.60P x≤=，结合频率分布直方图可知：0.120.30.6220.050.4bb a++=⎧⎨++=⎩，∴0.075,0.1a b==；（3）由题意可知：Y的可能取值为1，3，，5，7，9，11.则()()()()()()10.1,30.2,50.3,70.2,90.15,110.05 P Y P Y P Y P Y P Y P Y ============，所以P的分布列：10.130.250.370.290.15110.05 4.5EY=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．19.（1）如图，取AB中点G，连接CG FG、，因为F为AE中点，所以//FG BE且12FG CD =，2BE CD =，所以//FG CD 且FG CD =，所以四边形CDFG 为平行四边形，所以//DF CG .CG ⊂平面ABC ，DF ⊄平面ABC ，∴//DF 平面ABC .（2）又因为ABC ∆为正三角形，所以CG AB ⊥，又因为面ABC ⊥面BCDE ，面ABC面BCDE BC =.,BE BC BE ⊥⊂面BCDE ，所以BE ⊥面ABC ，BE CG ⊥.又因为BE AB B =，所以CG ⊥面ABE ，所以DF ⊥面ABE . （3）取BC 中点O ，再连接,AO OD .易证AO ⊥面BCDE ，所以ADO ∠为直线AD 与平面BCDE所成的角，即tan ADO ∠=OC t =，可求得1t =. 以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则()()0,0,0,0,1,0O B -，()()0,1,0,2,1,0C D ，()(14,1,0,,2,2E A F ⎛-- ⎝⎭，所以()()1332,,,0,2,0,2,0,0,0,22BF BC DC DF ⎛⎫⎛===-=- ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面BCF 的法向量为()123,,n n n n =，则2123201202n n n =⎧⎪⎨++=⎪⎩，令1n 230,4nn ==-，所以()3,0,4n =-，设面DCF 的法向量为()123,,m m m m =，则123203022m m m -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令21m =，得3m =10m =，所以(m =，所以()43cos ,19m n n m m n-===，因为二面角B CF D --为钝角，其余弦值为251-. 20.（1）设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，依椭圆的定义可得：2a====∴a =2c =，∴22b =，∴椭圆的标准方程为：22162x y +=. （2）设直线l 的方程为2x ky =+，代入椭圆方程c 化简得：()223420k y ky ++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则12122242,33k y y y y k k+=-=-++， OAB的面积121212SOF y y y y =-=-==，令)1t t =≥，则22S t =≤=+，当且仅当t =即1k =±时取等号. 此时，直线l 的方程为2x y =±+，圆心O到l 的距离为d =弦长为4DE ==.21.（1）()()2xf x x e x a '=+--，由已知得()020f a '=-=，得2a =，则()()()21x f x x e '=+-.令()0f x '>，解得0x >或2x <-，故函数()f x 的单调递增区间为(),2-∞-和()0,+∞.（2）不等式()()f x g x ≥，可化为2xe mx n ≥-，记()2xh x e mx n =-+，()2x h x e m '=-，当0m ≤时，()0h x '>恒成立，则()h x 在R 上递增，没有最小值，故不成立；当0m >时，令()0h x '=，解得ln 2x m =，当(),ln 2x m ∈-∞时，()0h x '<；当()ln 2,x m ∈+∞时，()0h x '>，当ln 2x m =时，函数()h x 取得最小值()ln2ln22ln20m h m e m m n =-+≥，即22ln 2m m m n -≥-，则2ln 22n m m m m -≥-，令()()2ln20F m m m m m =->，()1ln 2F m m '=-，令()0F m '=，则2em =，当0,2e m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0F m >；当,2e m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0F m <，故当2e m =时，()F m 取得最大值22e eF ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以22e n m ≥-，即2n m -的最大值为2e . 22.（1）∵32cos ρθρ-=，∴232cos ρρθ-=，∴2232x y x +-=，∴曲线C 的直角坐标方程为：()2214x y -+=，∵直线l 过点()1,1P ，且倾斜角为34π， ∴直线l 的参数方程为：31cos 431sin4x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），即11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.（2）设A B 、两点对应的参数分别为12t t 、，将直线l 与曲线C的方程得：230t -=， ∴123t t =，∴12123PA PB t t t t ===. 23.（1）①1428x x <-⎧⎨-+>⎩，解得：32x <-；②1268x -≤<⎧⎨>⎩无解；③2428x x ≥⎧⎨->⎩解得：52x >； ∴原不等式的解集为35|22x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或；（2）∵()2224f x x x =++-， ∴()()22246f x x x ≥+--=， ∴x R ∃∈，使()23f x m ≤-成立，∴()min 623f x m =≤-，解得：32m ≤-或92m ≥， ∴实数m 的取值范围为：32m ≤-或92m ≥.。

湖南省邵阳市达标名校2018年高考二月调研化学试卷含解析

湖南省邵阳市达标名校2018年高考二月调研化学试卷一、单选题（本题包括15个小题，每小题4分，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．氮化铝（AlN）熔融时不导电、难溶于水，常用作砂轮及耐高温材料，由此推知，它应该属于（）A．离子晶体B．原子晶体C．分子晶体D．金属晶体2．已知某酸HA的电离常数K a=2.0×10-8，用2mol/LNaOH溶液滴定100ml2mol/LHA溶液，溶液的pH随滴.下列说法正确的是入NaOH溶液的体积变化曲线如图A．a点溶液的pH=4B．b点溶液中存在：c（A-）>c（Na+）>c（H+）=c（OH-）C．b点c（HA）/c（A-）=5D．c点c（A-）+c（H+）=c（Na+）+c（OH-）3．下列关于有机物(a)的说法错误的是A．a、b、c的分子式均为C8H8B．b的所有原子可能处于同一平面C．c的二氯代物有4种D．a、b、c均能使溴水和酸性KMnO4溶液褪色4．下列示意图与化学用语表述内容不相符的是（水合离子用相应离子符号表示）（）A．NaCl→Na++Cl-B．C uCl→Cu2++2Cl-C．CH3COOH⇌CH3COO-+H+D．H2 （g）+Cl2（g）→2HCl（g）+183kJ5．在标准状况下，ALNH3溶于B mL水中，得到密度为ρg/cm3的RL氨水，则此氨水的物质的量浓度是（）A．A22.4Rmol/L B．1000ρAA+22.4Bmol/LC．A22.4mol/L D．1000ρ17A+22.4Bmol/L6．X、Y、Z、W 为原子序数依次增大的四种短周期元素,其中Z为金属元素,X、W为同一主族元素。

X、Z、W形成的最高价氧化物分别为甲、乙、丙。

x、y2、z、w分别为X、Y、Z、W的单质，丁是化合物。

其转化关系如图所示，下列判断错误的是A．反应①、②、③都属于氧化还原反应B．X、Y、Z、W四种元素中，Y的原子半径最小C．Na 着火时，可用甲扑灭D．一定条件下，x与甲反应生成丁7．N A代表阿伏加德罗常数的值。

湖南省邵阳市高考数学二模试卷(理科)

湖南省邵阳市高考数学二模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）在复平面内,复数(为虚数单位)的共轭复数对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限2. （2分） (2017高一上·天津期中) 设全集U=R，A={x∈N|1≤x≤5}，B=x∈R|x2﹣x﹣2=0}，则图中阴影表示的集合为（）A . {﹣1}B . {2}C . {3，4，5}D . {3，4}3. （2分）点A（1，0），B（0，1），点C在第二象限内，已知∠AOC=， ||=2，且=λ+μ，则λ，μ的值分别是（）A . ﹣1，B . ﹣， 1C . 1，﹣D . ，﹣14. （2分） (2015高二上·安徽期末) 已知命题p：对于∀x∈R，恒有2x+2﹣x≥2成立，命题q：奇函数f （x）的图象必过原点．则下列结论正确的是（）A . p∧q为真B . （¬p）∨q为真C . p∧（¬q）为真D . ¬p为真5. （2分）设锐角α终边上一点P的坐标是（3cosθ，sinθ），则函数y=θ﹣α（0＜θ＜）的最大值是（）A .B .C .D .6. （2分）(2017·襄阳模拟) 运行如下程序框图，如果输入的t∈[0，5]，则输出S属于（）A . [﹣4，10）B . [﹣5，2]C . [﹣4，3]D . [﹣2，5]7. （2分）直线(t为参数）和圆交于A,B两点，则AB的中点坐标为（）A . (3,-3)B .C .D .8. （2分） (2017高二下·湖北期中) 高二（7）班参加冬令营的6位同学排成一排照相，甲乙必须相邻且甲、乙、丙必须从左到右的排法种数为（）A . 120B . 60C . 36D . 729. （2分）在各项都为正数的等比数列中，首项为3，前3项和为21，则等于（）A . 15B . 12C . 9D . 610. （2分）已知a，b∈（0，1），则函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数的概率为（）A .B .C .D .11. （2分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在X轴上，C与抛物线的准线交于A,B两点，,则C的实轴长为（）A . 2B .C . 4D .12. （2分）定义在（-1,1）上的函数f(x)满足：；当时，有f(x)>0；若,,；则P,Q,R的大小关系为（）A . R>Q>PB . R>P>QC . P>R>QD . 不能确定二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2017高三上·韶关期末) 已知向量 =（m，1）， =（1﹣n，2），若，则2m+n=________．14. （1分） (2017高三下·深圳模拟) 已知数列满足，其中，若对恒成立，则实数的取值范围为________．15. （2分） (2017高三上·西湖开学考) 已知，某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积为________（cm3）；表面积为________（cm2）．16. （1分） (2017高二上·浦东期中) 在等差数列{an}中，若a10=0，则有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19﹣n成立（n＜19，n∈N*）．类比上述性质，相应地，在等比数列{bn}中，若b9=1，则有等式________成立．三、解答题 (共7题；共50分)17. （5分） (2018高一下·珠海月考) 已知函数，直线是函数的图象的任意两条对称轴，且的最小值为 .（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的单调增区间；（III）若f（α）=，求 sin（）的值.18. （10分）(2017·凉山模拟) 某班在高三凉山二诊考试后，对考生的数学成绩进行统计（考生成绩均不低于90分，满分150分），将成绩按如下方式分成六组，第一组[90，100）、第二组[100，110）…第六组[140，150]．得到频率分布直方图如图所示．若第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组有2人．（1）请补充完整频率分布直方图；（2）现从该班成绩在[130，150]的学生中任选三人参加省数学竞赛，记随机变量x表示成绩在[130，140）的人数，求x的分布列和E（x）．19. （5分）(2017·黄陵模拟) 如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1 ，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．20. （10分） (2016高二上·蕲春期中) 已知椭圆的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上．若右焦点到直线x﹣y+2 =0的距离为3．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆与直线y=kx+m（k≠0）相交于不同的两点M、N．当|AM|=|AN|时，求m的取值范围．21. （5分） (2016高二下·黑龙江开学考) 已知函数f（x）= ax2﹣（2a+1）x+2lnx（a∈R）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x，若对任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．22. （10分）(2017·临汾模拟) 在直角坐标系xOy中，过点P（2，1）的直线l的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ，已知直线l与曲线C交于A、B两点．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）求|PA|•|PB|的值．23. （5分） (2016高二下·五指山期末) 求函数y=|x﹣4|+|x﹣6|的最小值，并求函数值为最小值时x的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共50分) 17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、22-1、22-2、23-1、。

湖南省邵阳市县蔡桥乡中学2018年高三数学理模拟试卷含解析

湖南省邵阳市县蔡桥乡中学2018年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设为等比数列的前项和，若，则A． B． C．D．参考答案：B略2. 等比数列中，为方程的两根，则的值为（）参考答案：B3. 函数的图象在点处的切线的倾斜角为(A) (B) (C) (D)参考答案：B函数的导数为，所以在点处的切线斜率，又，所以，选B.4. 一枚硬币连掷2次，只有一次出现正面的概率为（）A．B． C．D．参考答案：D 本题主要考察的是古典概型，一枚硬币连掷2次可能出现正正，反反，正反，反正四种情况，而只有一次出现正面的有两种， P＝＝故选D．5. 已知向量，，若，则实数m的值为（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】由向量的几何意义，因为，所以，再运用向量积的运算得到参数的值.【详解】因为，所以，所以，将和代入，得出，所以，故选D.【点睛】本题考查了向量的数量积运算，属于基础题。

6. 某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一人、高二人、高三人中，抽取人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为人，则等于A. B. C. D.参考答案：B7. 设等于（）A．{1,4} B．{1,6} C．{4,6} D．{1,4,6}参考答案：答案：D8. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为( )A．2π B. C．4 D.参考答案：D9. 如右图，直四棱柱的底面是矩形, 且,,，以为圆心，为半径在侧面上画弧，当半径的端点完整地划过时，半径扫过的轨迹形成的曲面的面积为( ).....参考答案：D10. 如图几何体的主（正）视图和左（侧）视图都正确的是（）参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°,E为AB的中点，将△ADE与△BEC 分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则P—DCE三棱锥的外接球的体积为。

湖南省邵阳市城关中学2018年高三数学理测试题含解析

湖南省邵阳市城关中学2018年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. （5分）（2015?陕西一模）已知直线l：x﹣y﹣m=0经过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，l与C交于 A、B两点．若|AB|=6，则p的值为（）A． B． C． 1 D． 2参考答案：【考点】：直线与圆锥曲线的关系．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：联立方程组，可得x2﹣（2m+2p）x+m2=0，依题意，﹣0﹣m=0，解得：m=；又|AB|=（x1+）+（x2+）=x1+x2+p=2m+3p=6，从而可得p的值．解：由得：x2﹣（2m+2p）x+m2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2m+2p；又直线l：x﹣y﹣m=0经过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点（，0），∴﹣0﹣m=0，解得：m=．又|AB|=（x1+）+（x2+）=x1+x2+p=2m+3p=4p=6，∴p=．故选：B．【点评】：本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查抛物线的定义及其应用，求得m=及|AB|=x1+x2+p=6是关键，属于中档题．2. 下列命题为真命题的是A、命题“若x＞y，则x＞”的逆命题B、命题“若x＞1，则”的否命题C、命题“若x=1，则”的否命题D、命题“若x(x﹣1) ＞0，则x＞1”的逆否命题参考答案：A略3. 如右图，已知正四棱锥所有棱长都为1，点E是侧棱SC上一动点，过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分，记，截面下面部分的体积为，则函数的图像大致为（）参考答案：A4. 已知函数，则关于a的不等式的解集是（）A．B．(－3,2) C．(1,2) D．参考答案：A因为函数的定义域为，且，所以函数为奇函数，又在上为增函数，则可化为，则，解得．5. 一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A．200+9πB．200+18πC．140+9πD．140+18π参考答案：A6. 已知直线上存在点满足约束条件，则实数的取值范围是（）.（A）（B）（C）（D）参考答案：D7. 设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f（x﹣2）=f（x+2），且当x∈[﹣2，0]时，．若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（1，2）B．（2，+∞）C．D．参考答案：D【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】利用f（x）的周期性做出f（x）在（﹣2，6]上的函数图象，根据交点个数列出不等式组，求出a的范围．【解答】解：∵f（x﹣2）=f（x+2），∴f（x）=f（x+4），∴f（x）周期为4，做出y=f（x）在（﹣2，6]上的函数图象如图所示：∵关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实数根，∴y=f（x）与y=log a（x+2）（a＞1）的函数图象在（﹣2，6]上有3个交点，∴，解得：＜a＜2．故选：D．8. 等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1,2a2，a3成等差数列，若a1＝1，则S4等于（）A．16 B．15 C．8 D．7参考答案：B9. 已知点为抛物线的焦点，为原点，点是抛物线准线上一动点，点在抛物线上，且，则的最小值为（）A.6B.C.D.参考答案：C10. 已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC 内部，则z=－x+y的取值范围是（）参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数在的零点个数为_________.参考答案：3【分析】将函数化简为，判断或的解的个数得到答案.【详解】函数函数零点为：或故答案为3【点睛】本题考查了函数的零点，三角函数的化简，意在考查学生的计算能力.12.函数在区间上为减函数，则的取值范围为参考答案：13.设函数的定义域为D，如果对于任意，存在唯一的，使（c为常数）成立，则称函数在D上均值为c，给出下列五个函数：①②；③；④；⑤满足在其定义域上均值为2的所有函数的序号是。