河北省保定市2016-2017学年高二下学期期末数学试卷(理科)( word版含答案)

2016-2017学年河北省保定市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．己知集合Q={x|2x2﹣5x≤0，x∈N}，且P⊆Q，则满足条件的集合P的个数是（）A．3 B．4 C．7 D．82．已知复数1+2i，a+bi（a、b∈R，i是虚数单位）满足（1+2i）（a+bi）=5+5i，则|a+bi|=（）A．3 B． C． D．3．“2a＞2b＞1“是“＞“的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件4．设a=log3，b=（）0.2，c=2，则a、b、c的大小顺序为（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜b＜c5．用数学归纳法证明：1+++…+＜n（n∈N*，n≥2）时，第二步证明由“k到k+1”时，左端增加的项数是（）A．2k﹣1 B．2k C．2k﹣1 D．2k+16．函数f（x）=1+log2x与g（x）=2﹣x+1在同一直角坐标系下的图象大致是（）A．B．C． D．7．函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上是单调递减的，则实数a 的取值范围是（）A．a≤﹣3 B．a≥﹣3 C．a≤5 D．a≥58．函数y=ln（﹣x2﹣2x+8）的单调递减区间是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，2）C．（﹣4，﹣1）D．（﹣1，+∞）9．已知函数f（x）=x+，g（x）=2x+a，若∀x1∈[，3]，∃x2∈[2，3]，使得f（x1）≥g（x2），则实数a的取值范围是（）A．a≤1 B．a≥1 C．a≤0 D．a≥010．已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，＞0，若a=f（1），b=﹣2f（﹣2），c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜a＜b11．定义在R上的函数f（x）满足f（x﹣1）的对称轴为x=1，f（x+1）=（f （x）≠0），且在区间（1，2）上单调递减，已知α、β是钝角三角形中两锐角，则f（sinα）和f（cosβ）的大小关系是（）A．f（sinα）＞f（cosβ）B．f（sinα）＜f（cosβ）C．f（sinα）=f（cosβ） D．以上情况均有可能12．已知函数f（x）=若函数g（x）=f[f（x）]﹣2的零点个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（+xcosx）dx=．14．已知奇函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=﹣2x，则f（log210）等于．15．函数f（x）=e x（x﹣ae x）恰有两个极值点x1，x2（x1＜x2），则a的取值范围是．16．定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足f（x0）=，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．例如y=|x|是[﹣2，2]上的平均值函数，0就是它的均值点．若函数f（x）=x2﹣mx﹣1是[﹣1，1]上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是．三、解答题（共3小题，满分0分）17．在直角坐标系xoy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α＜π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，曲线C3：ρ=2cosθ．（Ⅰ）求C2与C3交点的直角坐标；（Ⅱ）若C2与C1相交于点A，C3与C1相交于点B，求|AB|的最大值．18．已知函数f（x）=|tx﹣2|﹣|tx+1|，a∈R．（1）当t=1时，解不等式f（x）≤1；（2）若对任意实数t，f（x）的最大值恒为m，求证：对任意正数a，b，c，当a+b+c=m时，≤m．19．如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形．AB=BC=2，CD=SD=1．（1）证明：SD⊥平面SAB（2）求AB与平面SBC所成角的正弦值．2016-2017学年河北省保定市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．己知集合Q={x|2x2﹣5x≤0，x∈N}，且P⊆Q，则满足条件的集合P的个数是（）A．3 B．4 C．7 D．8【考点】18：集合的包含关系判断及应用．【分析】解出集合Q，再根据P⊆Q，根据子集的性质，求出子集的个数即为集合P的个数；【解答】解：集合Q={x|2x2﹣5x≤0，x∈N}，∴Q={0，1，2}，共有三个元素，∵P⊆Q，又Q的子集的个数为23=8，∴P的个数为8，故选D；2．已知复数1+2i，a+bi（a、b∈R，i是虚数单位）满足（1+2i）（a+bi）=5+5i，则|a+bi|=（）A．3 B． C． D．【考点】A8：复数求模．【分析】根据（1+2i）（a+bi）=5+5i的对应关系求出a，b的值，从而求出|a+bi|的值即可．【解答】解：∵（1+2i）（a+bi）=a+bi+2ai﹣2b=（a﹣2b）+（2a+b）i=5+5i，故，解得：，故|a+bi|=|3﹣i|=，故选：C．3．“2a＞2b＞1“是“＞“的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由“2a＞2b＞1“⇒a＞b＞0，但是由“＞“⇒a＞b，不一定大于0．即可得出结论．【解答】解：由“2a＞2b＞1“⇒a＞b＞0，但是由“＞“⇒a＞b，不一定大于0．∴“2a＞2b＞1“是“＞“的充分不必要条件．故选：C．4．设a=log3，b=（）0.2，c=2，则a、b、c的大小顺序为（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜b＜c【考点】4M：对数值大小的比较．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=log3＜0，0＜b=（）0.2＜1，c=2＞1，∴a＜b＜c．故选：D．5．用数学归纳法证明：1+++…+＜n（n∈N*，n≥2）时，第二步证明由“k到k+1”时，左端增加的项数是（）A．2k﹣1 B．2k C．2k﹣1 D．2k+1【考点】RG：数学归纳法．【分析】分别计算n=k和n=k+1时不等式的左边项数，从而得出答案．【解答】解：当n=k时，不等式左边为1++…+，共有2k﹣1项，当n=k+1时，不等式左边1++…+，共有2k+1﹣1项，∴增加的项数为2k+1﹣2k=2k，故选B．6．函数f（x）=1+log2x与g（x）=2﹣x+1在同一直角坐标系下的图象大致是（）A．B．C． D．【考点】3O：函数的图象．【分析】化简g（x）的解析式，利用函数的单调性和图象的截距进行判断．【解答】解：g（x）=2•（）x，∴g（x）为减函数，且经过点（0，2），排除B，C；f（x）=1+log2x为增函数，且经过点（，0），排除A；故选D．7．函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上是单调递减的，则实数a 的取值范围是（）A．a≤﹣3 B．a≥﹣3 C．a≤5 D．a≥5【考点】3W：二次函数的性质．【分析】若y=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上单调递减，则1﹣a≥4，解得答案．【解答】解：函数y=x2+2（a﹣1）x+2的图象是开口朝上，且以直线x=1﹣a为对称轴的抛物线，若y=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上单调递减，则1﹣a≥4，解得：a≤﹣3，故选：A．8．函数y=ln（﹣x2﹣2x+8）的单调递减区间是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，2）C．（﹣4，﹣1）D．（﹣1，+∞）【考点】4N：对数函数的图象与性质．【分析】根据对数函数的性质求出x的范围，令t（x）=﹣x2﹣2x+8，根据二次函数的性质求出t（x）的递减区间，从而结合复合函数的单调性求出函数y=ln （﹣x2﹣2x+8）的单调递减区间即可．【解答】解：由题意得：﹣x2﹣2x+8＞0，解得：﹣4＜x＜2，∴函数的定义域是（﹣4，2），令t（x）=﹣x2﹣2x+8，对称轴x=﹣1，∴t（x）在（﹣1，2）递减，∴函数y=ln（﹣x2﹣2x+8）的单调递减区间是（﹣1，2），故选：B．9．已知函数f（x）=x+，g（x）=2x+a，若∀x1∈[，3]，∃x2∈[2，3]，使得f（x1）≥g（x2），则实数a的取值范围是（）A．a≤1 B．a≥1 C．a≤0 D．a≥0【考点】2H：全称命题．【分析】由∀x1∈[，3]，都∃x2∈[2，3]，使得f（x1）≥g（x2），可得f（x）在x1∈[，3]的最小值不小于g（x）在x2∈[2，3]的最小值，构造关于a的不等式，可得结论．【解答】解：当x1∈[，3]时，由f（x）=x+得，f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：x＞2，令f′（x）＜0，解得：x＜2，∴f（x）在[，2]单调递减，在（2，3]递增，∴f（2）=4是函数的最小值，当x2∈[2，3]时，g（x）=2x+a为增函数，∴g（2）=a+4是函数的最小值，又∵∀x1∈[，3]，都∃x2∈[2，3]，使得f（x1）≥g（x2），可得f（x）在x1∈[，3]的最小值不小于g（x）在x2∈[2，3]的最小值，即4≥a+4，解得：a≤0，故选：C．10．已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，＞0，若a=f（1），b=﹣2f（﹣2），c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜a＜b【考点】6A：函数的单调性与导数的关系；62：导数的几何意义．【分析】根据a，b，c的表示形式构造函数g（x）=xf（x），根据条件可说明x ＞0时，g′（x）＞0，这便得到g（x）在（0，+∞）上单调递增．而由f（x）为奇函数便可得到b=2f（2），c=（ln2）f（ln2），而容易判断ln2＜1＜2，从而得到g（ln2）＜g（1）＜g（2），这样便可得出a，b，c的大小关系．【解答】解：设g（x）=xf（x），；∵x≠0时，；∴x＞0时，g′（x）＞0；∴g（x）在（0，+∞）上单调递增；∵f（x）为奇函数；∴b=﹣2f（﹣2）=2f（2），；又a=f（1）=1f（1）；∵ln2＜1＜2，g（x）在（0，+∞）上单调递增；∴g（ln2）＜g（1）＜g（2）；即（ln2）f（ln2）＜1f（1）＜2f（2）；∴c＜a＜b．故选：D．11．定义在R上的函数f（x）满足f（x﹣1）的对称轴为x=1，f（x+1）=（f （x）≠0），且在区间（1，2）上单调递减，已知α、β是钝角三角形中两锐角，则f（sinα）和f（cosβ）的大小关系是（）A．f（sinα）＞f（cosβ）B．f（sinα）＜f（cosβ）C．f（sinα）=f（cosβ） D．以上情况均有可能【考点】3P：抽象函数及其应用；3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】由平移图象可得y=f（x）的对称轴为x=0，由f（x）f（x+1）=4，将x 换为x+1，可得f（x）的周期为2，由题意可得f（x）在（﹣1，0）上递减，在（0，1）上递增，由α，β是钝角三角形中两锐角，可得α+β＜，运用诱导公式和正弦函数的单调性，即可判断大小，得到结论．【解答】解：根据题意，f（x﹣1）的对称轴为x=1，可得y=f（x）的对称轴为x=0，即函数f（x）为偶函数，又f（x）f（x+1）=4，可得f（x+1）f（x+2）=4，即为f（x+2）=f（x），函数f（x）为最小正周期为2的偶函数．f（x）在区间（1，2）上单调递减，可得f（x）在（﹣1，0）上递减，在（0，1）上递增，又由α，β是钝角三角形中两锐角，可得α+β＜，即有0＜α＜﹣β＜，进而有sinα＜sin（﹣β）=cosβ，则f（sinα）＜f（cosβ）．故选：B．12．已知函数f（x）=若函数g（x）=f[f（x）]﹣2的零点个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】函数f（x）=，通过对x分类讨论可得f（x）=．进而解出即可．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（x）=．∴x∈（﹣∞，log23）时，f（f（x））=∈[0，3]，令f（f（x））=2，解得x=log2（1+log23）．同理可得：x∈[log23，2）时，=2，解得x=．x∈时，=2，解得x=．时，=2，解得x=1+．综上可得：函数g（x）=f[f（x）]﹣2的x零点个数为4．故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（+xcosx ）dx= ． 【考点】67：定积分．【分析】由定积分的性质和几何意义分别求得（xcosx ）dx=0，dx=，由定积分的运算（+xcosx ）dx=dx +（xcosx ）dx=．【解答】解：（+xcosx ）dx=dx +（xcosx ）dx ， 由y=xcosx 为奇函数，由定积分的性质可知：奇函数的对称区间上的定积分为0，即（xcosx ）dx=0，dx 的几何意义可知：表示以（0，0）为圆心，以1为半径的圆的一半，则dx=，故（+xcosx ）dx=dx +（xcosx ）dx=，故答案为：14．已知奇函数f （x ）满足f （x +1）=﹣f （x ），当x ∈（0，1）时，f （x ）=﹣2x ，则f （log 210）等于 ．【考点】3T ：函数的值．【分析】先判断log 210的范围，利用函数的周期为2转化到区间（﹣1，0）内，再根据奇函数的定义和对数的运算性质求出f （log 210）的值．【解答】解：∵3＜log 210＜4，∴﹣1＜﹣4+log 210＜0，∵f （x +1）=﹣f （x ），∴f （x +2）=﹣f （x +1）=f （x ），∴函数f （x ）是以2为周期的奇函数，∴f （log 210）=f （﹣4+log 210）=﹣f （4﹣log 210），∵当x ∈（0，1）时，f （x ）=﹣2x ，∴f（4﹣log210）=﹣=﹣，即f（log210）=，故答案为：．15．函数f（x）=e x（x﹣ae x）恰有两个极值点x1，x2（x1＜x2），则a的取值范围是（0，）．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】根据题意，对函数f（x）求导数，得出导数f′（x）=0有两不等实根，转化为两函数有两个交点的问题，结合图象即可得出a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=e x（x﹣ae x），求导，f′（x）=（x+1﹣2a•e x）e x，由于函数f（x）的两个极值点为x1，x2，即x1，x2是方程f′（x）=0的两不等实根，即方程x+1﹣2ae x=0，且a≠0，=e x；设y1=（a≠0），y2=e x，在同一坐标系内画出这两个函数的图象，如图所示：要使这两个函数有2个不同的交点，应满足，解得：0＜a＜，∴a的取值范围是（0，），故答案为：（0，）．16．定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足f（x0）=，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．例如y=|x|是[﹣2，2]上的平均值函数，0就是它的均值点．若函数f（x）=x2﹣mx﹣1是[﹣1，1]上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是（0，2）．【考点】31：函数的概念及其构成要素．【分析】函数f（x）=x2﹣mx﹣1是区间[﹣1，1]上的平均值函数，故有x2﹣mx﹣1=在（﹣1，1）内有实数根，求出方程的根，让其在（﹣1，1）内，即可求出实数m的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣mx﹣1是区间[﹣1，1]上的平均值函数，∴关于x的方程x2﹣mx﹣1=在（﹣1，1）内有实数根．即x2﹣mx﹣1=﹣m在（﹣1，1）内有实数根．即x2﹣mx+m﹣1=0，解得x=m﹣1，x=1．又1∉（﹣1，1）∴x=m﹣1必为均值点，即﹣1＜m﹣1＜1⇒0＜m＜2．∴所求实数m的取值范围是（0，2）．故答案为：（0，2）三、解答题（共3小题，满分0分）17．在直角坐标系xoy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α＜π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，曲线C3：ρ=2cosθ．（Ⅰ）求C2与C3交点的直角坐标；（Ⅱ）若C2与C1相交于点A，C3与C1相交于点B，求|AB|的最大值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）将C2与C3转化为直角坐标方程，解方程组即可求出交点坐标；（Ⅱ）求出A，B的极坐标，利用距离公式进行求解．【解答】解：（Ⅰ）曲线C2：ρ=2sinθ得ρ2=2ρsinθ，即x2+y2=2y，①C3：ρ=2cosθ，则ρ2=2ρcosθ，即x2+y2=2x，②由①②得或，即C2与C3交点的直角坐标为（0，0），（，）；（Ⅱ）曲线C1的直角坐标方程为y=tanαx，则极坐标方程为θ=α（ρ∈R，ρ≠0），其中0≤a＜π．因此A得到极坐标为（2sinα，α），B的极坐标为（2cosα，α）．所以|AB|=|2sinα﹣2cosα|=4|sin（α）|，当α=时，|AB|取得最大值，最大值为4．18．已知函数f（x）=|tx﹣2|﹣|tx+1|，a∈R．（1）当t=1时，解不等式f（x）≤1；（2）若对任意实数t，f（x）的最大值恒为m，求证：对任意正数a，b，c，当a+b+c=m时，≤m．【考点】R5：绝对值不等式的解法；R4：绝对值三角不等式．【分析】（1）求出f（x）的分段函数的形式，求出f（x）的最大值，求出不等式的解集即可；（2）根据绝对值不等式的性质求出m的值，结合不等式的性质证明即可．【解答】解：（1）t=1时，f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|，，所以f（x）≤1，故不等式的解集为[0，+∞）（2）由绝对值不等式得||tx﹣2|﹣|tx+1|≤|（tx﹣2）﹣（tx+1）||=3，所以f（x）最大值为3，故m=3，故++≤++≤++==3，当且仅当a=b=c=1时等号成立，故原结论成立．19．如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形．AB=BC=2，CD=SD=1．（1）证明：SD⊥平面SAB（2）求AB与平面SBC所成角的正弦值．【考点】MI：直线与平面所成的角；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）取AB中点E，连结DE，证明SD⊥平面SAB，只需证明SD⊥SE，AB⊥SD；（2）求出F到平面SBC的距离，由于ED∥BC，所以ED∥平面SBC，可得E到平面SBC的距离，从而可求AB与平面SBC所成角的正弦值．【解答】（1）证明：取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2．连结SE，则又SD=1，故ED2=SE2+SD2所以∠DSE为直角，所以SD⊥SE，由AB⊥DE，AB⊥SE，DE∩SE=E，得AB⊥平面SDE，所以AB⊥SD．因为AB∩SE=E，所以SD⊥平面SAB…6分（2）解：由AB⊥平面SDE知，平面ABCD⊥平面SDE．作SF⊥DE，垂足为F，则SF⊥平面ABCD，作FG⊥BC，垂足为G，则FG=DC=1．连结SG，则SG⊥BC又FG⊥BC，SG∩FG=G，故BC⊥平面SFG，平面SBC⊥平面SFG，作FH⊥SG，H为垂足，则FH⊥平面SBC，即F到平面SBC的距离为．由于ED∥BC，所以ED∥平面SBC，E到平面SBC的距离d也为．设AB与平面SBC所成的角为α，则…12分．2017年8月10日。