无差异曲线序数效用论的分析

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序数效用理论——无差异曲线分析方法

效用论概述
基数效用论
目录
序数效用论
3
序数效用论— 无差异曲线的分析方法
对于张三来说：
＋
=
+
=
注意点
1. 张三同学的收入（10元）、两种商品的价格是既定的 2. 张三同学将所有的收入都用来购买这两种原材料（西红柿和
鸡蛋）； 3. 张三同学（同一个消费者）认为两种方式做出来的菜带给他
的效用满足感是相同的
商品 X 对商品 Y 的替代率公式
MRS XY
QY QX
MRS XY
lim QY
Q QX 0
X
d QY d QX
感
观谢
看
经济学基础
水平；（3）任意两条无差异曲线不能相交；（4）无差异曲线凸向原点。
无差异曲线（IC）的形状
QY 效用水平增加
I3 I1 I2 O
QX 结合图形分析曲线特点
边际替代率递减规律
在维持效用水平不变的前提下，随着一种商品消费数量的连续增加，消费者为得到每一单位的这种商品所需要放弃的另一种商品的消费数量是递减的。
无差异表
商品组合 A B
西红柿 2 3
鸡蛋 3 2
无差异曲线（IC）的形状
QY（鸡
蛋）
I O
QX（西
红柿）
结合图形分析曲线特点
无差异曲线的概念
• 无差异曲线是表示能给消费者带来同等效用水平或满足程度的两种商品的不同数量的组合。
• 决定无差异曲线形状的因素：消费者的偏好斜的曲线，其斜率为负值；（2）在同一平面上，可以有无数条无差异曲线，代表不同的效用

消费者行为序数效用论及无差异曲线

M RS12lX i1m 0 X X1 2d dX X1 2
边际替代率是无差异曲线的斜率的绝对值
• 边际替代率递减规律
– 在维持效用水平不变的前提下，随着一种商品消费数量的连续增加，消费者为得到每一单位的这种商品所需要放弃的另一种商品的消费数量是递减的。
– 商品的边际替代率递减表示无差异曲线的斜率的绝对值是递减的，决定了差异曲线的形状凸向原点。
– 偏好的完整性。对于任何两个商品组合A和B，消费者总是可以作出，而且也只能作出以下三种判断中的一种：对A的偏好大于对B的偏好；对B 的偏好大于对A的偏好；对A和B的偏好相同。即消费者总是可以比较和排列所给出的不同商品的组合。
• 假定二
– 偏好的可传递性。如果消费者对A的偏好大于B ，对B的偏好大于对C的偏好，那么，在A，C 这两个组合中，必有对A的偏好大于C。
（一）无差异曲线
• 无差异曲线（indifference curve）
– 是用来表示两种商品的不同数量的组合给消费者所带来的效用完全相同的一条曲线。或是说在这条曲线上，无论两种商品的数量怎样组合，所带来的总效用是相同的。
（二）无差异曲线的特点
• 特点1
–同一平面图上可以有无数条无差异曲线，离原点越远的无差异曲线代表的效用水平越高。
U( x1, x2 ) min ax1,bx2
X2
MRS12 2
2
消
1
X1
费
U( x1 , x2 ) min 2x1 , x2
边际替代率递减
• 边际替代率递减的原因：
– 随着一种商品的消费数量的逐步增加，消费者想要获得更多的这种商品的愿望就会递减，从而他为了多获得一单位的这种商品而愿意放弃的另一种商品的数量就会越来越少。

中级经济师基础精讲班：经济基础知识02-第二章-消费者行为分析

基础精讲班经济基础知识经济专业技术资格考试主讲老师：臧运红第二章消费者行为分析（2分）第二章消费者行为分析一、无差异曲线一、无差异曲线1.经济人假设(1)在研究消费者行为时，我们需要假定，消费者是追求效用最大化的和理性的。

(2)经济人假设是指每一个从事经济活动的人都是利己的，总是力图以最小的经济代价去获得自己最大的经济利益。

(3)经济人假设是分析消费者行为的前提，也是整个经济学的一个基础。

（非理性不在考查范围）2.效用的定义是指商品或者服务满足人们某种欲望的能力；或者是消费者在消费商品或服务时所感受到的满足程度。

是人们的一种心理感觉，是主观心里评价，没有客观标准。

一、无差异曲线【单选题·2014年】用效用理论分析消费者行为时，会假定消费者追求效用最大化且是理性的，这一前提通常称为()。

A.经济人假设B.边际效用最大化理论C.消费行为最有理论D.消费者偏好一、无差异曲线3.基数效用论和序数效用论效用理论基数效用论认为效用是可以直接度量的，存在绝对的效用量的大小，可以用基数，就是用l，2、3、4……这些绝对数值来衡量效用的大小序数效用论认为消费者无法知道效用的绝对数值，而只能说出自己的偏好次序，用第一、第二、第三、第四……这些表示次序的相对数值来衡量效用---基数效用论序数效用论是运用边际效用论分析的是用无差异曲线和预算约束线来分析的是分析消费者行为的不同方法，二者得出的分析结论基本是相同的两者的区别在于：效用是否可以直接度量一、无差异曲线4.边际效用按照基数效用理论，效用是可以计量的，区分为总效用和边际效用总效用边际效用指消费者在一定时期内，从商品或服务的消费中得到的满足程度的总和指消费者增加一个单位的商品消费时所带来的满足程度的增加或者效用的增量一、无差异曲线总效用边际效用总效用函数：TU=TU为总效用，Q为消费数量MU为边际效用，从数学意义上看，边际效用是总效用函数的斜率一般来说，总效用（TU）取决于消费数量的大小，在一定范围内，消费量越大，则总效用就越大边际效用递减的规律：（1）在一定时间内，随着消费某种商品数量的不断增加，消费者从中得到的总效用是在增加的，但是以递减的速度增加的，即边际效用是递减的；（即TU上升，MU＞0，但递减）（2）当商品消费量达到一定程度后，总效用达到最大值时，边际效用为0；（即TU最大，MU=0）（3）如果继续增加消费，总效用不但不会增加，反而会逐渐减少，此时边际效用变为负数。

无差异曲线分析

把无差异曲线与消费可能线合在
（1）把钱花光，买到商品的最大数量（2）追求最大的满足 X2
一个图上；
收入既定，预算线必与无数
条无差异曲线中的一条相切；在切点上，实现了消费者均的条件
在切点E，无差异曲线和预算线两者的斜率相等。
效用最大化的均衡条件：一定预算约束下，实现最大效用，消费者应选择最优商品组合。
1.无差异曲线 indifference curves

无差异曲线：用来表示X1、X2两种商品不同组合，却给消费者带来效用完全相同的一条曲线。

X2商品 U
无差异：线上任何一点X1与X2的不同组合，给消费者所带来的效用相同。
无差异曲线向右下方倾斜
X1商品
2、预算线
消费可能线 budget line
预算线：在收入与商品价格既
定的条件下，消费者所能购买到的两种商品数量最大组合的线。
预算线上的每一点， X1X2两种商品组合不同，但支出相等。
A点，全部买X1，无法买X2； B点，全部买X2，无法买X1。
X2（衣服） B
A 0 X1（食品）
3、序数效用论消费者均衡的条件
1.最优购买行为条件：第一，商品组合必须能带来最大效用。第二，最优支出位于给定预算线上。
使MRS等于两种商品的价格比。这时：消费者愿意交换的两种商品的数量比，应等于该
消费者能够在市场上用一单位的这种商品去交换得到的另一种商品的数量。

序数效用论和无差异曲线分析法ppt课件

29
分析：
Y
A
如C点，无差异曲线的 C 斜率的绝对值大于预算Y* 线的斜率的绝对值，
即MRS xy

Px Py
0
E
U2 U3 D U1
X*
BX
假定MRS xy
dY dX

1 0.5
1 1
Px Py
30
注意：
虽然序数效用论和基数效用论各自运用不同的方法分析消费者行为，但二者所得出的消费者均衡条件在本质上是相同的。
ΔX
0
X1
X2
X
说明无差异曲线上任一点的商品的边际替代率等于无差异曲线在该点的斜率的绝对值。
16
边际替代率递减规律
在维持效用水平不变的前提下，随着一种商品消费量的连续增加，消费者为得到每一单位的这种商品所需放弃的另一种商品的消费量是递减的。
由于商品的边际替代率等于无差异曲线的斜率的绝对值，商品的边际替代率递减规律决定了无差异曲线凸向原点。
36
经济含义：
式（1）：每种商品的边际效用与自身价格之比都相等，或者说，消费者花费在各种商品上的最后一元钱所带来的边际效用都相等，且等于货币的边际效用。
式（2）：两种商品边际效用之比等于相应的价格之比，而前者又等于两种商品的边际替代率MRS12。
37
例：
11
设效用函数 U

X
X1＝125，X2＝100
41
2 1
X
2 2
两种商品价格分别是P1＝4元，P2＝5元，消费者收入为1000元，试求消费者的最
优选择。
38
解法一：
先求出边际效用
MU 1

西方经济学第三章02序数效用论

西方经济学第三章02序数效用论
• 序数效用论概述 • 消费者偏好与无差异曲线 • 预算线与消费者均衡 • 序数效用论的局限性与发展
01
序数效用论概述
定义与特点
定义
序数效用论是一种经济学理论，它认为消费者在选择商品时，会根据自己的偏好程度对商品进行排序，而不是用具体的效用数值来衡量。
特点
序数效用论强调消费者对于商品的主观感受和偏好程度，而不是商品的客观属性和效用。消费者会根据自己的偏好程度对商品进行排序，选择最符合自己偏好的商品。
相对性
偏好是相对于不同商品或服务而言的，同一商品或服务在不同情境下可能有不同偏好。
可变性
偏好会随着时间、环境等因素的变化而发生改变。
无差异曲线的绘制方法
确定不同商品或服务的组合，并标注在坐标系中。
连接各点形成的曲线即为无差异曲线。
注意：同一无差异曲线上的点代表相同的效用水平，不同无差异曲线代表不同效用水平。
无差异曲线的特性
互斥性
无差异曲线上的商品或服务组合是互斥的，即不能同时增加某一商品或服务的数量而不减少其他
商品或服务的数量。
凸性
无差异曲线凸向原点，即随着某一商品或服务数量的增加，为了维持相同的效用水平，其他商品
或服务的数量需要相应减少。
可传递性
如果点A的无差异曲线优于点B的无差异曲线，且点B的无差异曲线优于点C的无差异曲线，那么点A的无差异曲线必然优于点C
的无差异曲线。
无差异曲线与消费者偏好的关系
无差异曲线反映了消费者对不同商品或服务的偏好程度，离原点越远的无差异曲线代表效用水平
越高。
消费者在消费过程中会选择效用水平最高的无差异曲线所对应的

第二节无差异曲线

第二节无差异曲线序数效用论分析工具：无差异曲线、预算线、消费者均衡关于偏好的假设：定义：偏好（consumer’s preference)是消费者的一种特别喜爱的心理，通过消费的商品组合排列显示，用无差异曲线表达。

类别：严格偏好(strong preference): ＞弱偏好(weak preference): ≥无差异(indifference): ∽完备性（completeness): 对任意两组商品的消费组合，消费者总能表达出自身的偏好。

传递性（transitivity): 若：A>B，B>C，则：A>C非饱和性: 对消费组合多的偏好高于消费组合少的。

无差异曲线的含义：在偏好既定条件下，能够使消费者得到同样满足程度的两种物品的各种不同数量组合点的轨迹。

或取得相同效用的两种商品的所有消费组合所形成的轨迹，亦称等效用曲线。

无差异曲线图：无差异曲线三大特征：①不同的无差异曲线代表不同的效用水平。

②任意两条无差异曲线不能相交。

③无差异曲线是一条从左上向右下倾斜的凸向原点的曲线。

原因：商品的边际替代率递减边际替代率：定义：在维持效用水平不变的前提条件下，消费者增加一单位某种商品的消费数量时所需要放弃的另一种商品的消费数量。

商品X 对商品Y 的替代率公式边际替代率递减规律：维持消费者效用水平不变的前提下，随着一种商品消费数量的连续增加，消费者为得到每一单位这种商品所需要放弃的另一种商品的消费数量是递减的。

无差异曲线的特殊情况：完全替代：两种商品之间的替代比率固定不变。

完全互补：两种商品按固定不变的比率同时使用。

边际替代率分别为零和无穷大。

第三节预算线预算线的含义：又称消费可能性线或价格线。

在商品价格既定条件下，消费者花费其全部货币收入后所能购买的商品的集合。

预算线预算空间的几何表达：预算方程式：PxX+PyY=Iby ax y x U +=),(yx by ax y x U ===2},min{),(预算线的变动：预算线的平行移动：在两种商品的比价不变的条件下，由于商品的价格变化或者由于消费者收入的变化，导致预算线向外或向内移动。

效用和无差异曲线

X2（衣服）
B· ·C
·D
0
·A
X1（食品）
预算线方程
以I表示消费者的既定收入，两种商品的数量分别为X1和
P1 X1 P2 X 2 I
X2，价格分别为P1和P2
预算线方程
X2 IA
P2
P1X1+P2X2=I
X2
P1 P2
X1
I P2
B
O
I
X1
P1
预算线的移动
序数效用论消费者均衡的条件
1.最优购买行为条件：第一，商品组合必须能带来最大效用。第二，最优组合的支出位于给定预算线上。
X2 U
无差异：线上任何一点都是商品X1与 X2的不同组合，给消费者所带来的效用相同。
无差异曲线向右下方倾斜
０
X1
举例说明
X2包子 A
增加X1，减少X2 增加X2，减少X1
D U0 X1豆浆
处于同一条无差异曲线上的两个点：
两种商品的组合不同，但效用水平相同
组合方式 X1
X2
A
1
4
B
2
3
C
3
2
D
4
1
U f (X1, X2) U0
X1，X2分别为商品 1和商品2的数量；
U0是常数，表示某个效用水平。
无差异曲线的特征
（１）同一平面上有无数条无差异曲线，离原点越近代表的效用水平越低
同一条曲线代表相同的效用，不同的曲线代表不同的效用。
X2 U1 U2 U3 U4
（2）同一平面任意两条无差异曲线不能相交
识都不懂！世界上最好吃的东西是什么？是桃子！桃子不但美味可口，而且长得漂亮。我每天做梦都梦见吃桃子。” 兔子和猫听了，全都直摇头。那么，世界上到底什么东西最好吃？

消费者行为理论(效用理论

消费者剩余
l 消费者剩余(consumer surplus)：消费者愿意支付的价格总额减去实际支付的价格总额的差额，是消费者的一种主观心理感受。
l 消费者剩余代表了消费者的福利。 l 消费者剩余理论的应用。
消费者行为理论(效用理论
消费者愿意支付的价格
5 4 3 2 1
某物品数量
1 2 3 4 5
消费者行为理论(效用理论
总效用与边际效用(表)
消费数量(Q)
1 2 3 4 5 6
总效用
10 16 19 20 20 18
边际效用
10 6 3 1 0 -2
消费者行为理论(效用理论
总效用与边际效用(图示)
U TU
O
Q
MU
消费者行为理论(效用理论
总效用和边际效用的关系：
➢当边际效用为正数时，总效用是增加的；
消费者行为理论(效用理论
2020/11/25
消费者行为理论(效用理论
【教学重点】
边际效用递减规律。无差异曲线的含义及特征。预算约束线的含义。消费者均衡的条件。
消费者行为理论(效用理论
【教学难点】
如何用经济分析工具分析心理现象。消费者均衡条件的证明。消费者剩余。
消费者行为理论(效用理论
一、总论：基数效用和序数效用
消费者行为理论(效用理论
特别强调
l 由于效用是一种心理感受，所以经济学家认为，边际效用递减规律得自于“内省”。例如，把一个人的眼睛蒙住，请他伸臂膀，然后向他手上加重物，开始他会感到重物的增加，但当重物增加到一定程度时，尽管所加重物相同，他的感觉是增加的（即边际的）重物越来越小。韦伯－费克纳边际影响递减规律也证明了声音、光线和其他感觉都存在这种现象递减。边际效用递减与这些现象类似。

第三章效用论

Y商品衣服 A 减少Y，增加X 减少X，增加Y D I X商品食品
组合方式 X 商品 a 1 b 2 c 3 d 4
Y 商品 4 3 2 1
U f (X1, X 2 ) U0
处于同一条无差异曲线上的两个点：两种商品的组合不同，但效用水平相同
X1，X2分别为商品1 和商品2的数量； U0是常数，表示某个效用水平。
基数效用论——边际效用分析法
1、总效用TU与边际效用MU
总效用TU （Total Utility）：指人们从商品的消费中得到的总的满足程度。
边际效用MU （Marginal
TU f (Q)
Utility）：每增加一个单位的商品消费量所增加的满足程度。
效用的增量
TU (Q) MU Q
TU (Q) dTU (Q) MU lim Q 0 Q dQ
商品数量（1）
总效用（2）
边际效用（3）
价格（4）
0 1 2 3 4
0 10 18 24 28 10 8 6 4 5 4 3 2
5
6
30
30
2
0
1
0
7
28
-2
2、总效用TU与边际效用MU的关系
当MU > 0, TU↑ ;
效用函数：U = XY
组合
A B
（X）
25 20
（Y）
4 5
C
D E
10
5 4
10
20 25
F
10
20
A=B=C=D=E﹤F
2、无差异曲线的特征
（1）无差异曲线是一条向右下方倾斜的线，斜率是负的。（2）无差异曲线凸向原点（3）在同一个平面上可以有无数条无差异曲线。（4）无差异曲线不能相交

无差异曲线

无差异曲线（Indifference curve）无差异曲线是一条表示线上所有各点两种物品不同数量组合给消费者带来的满足程度相同的线。

IC={（y1,y2）~(x1,x2)}。

是用来表示消费者偏好相同的两种商品的所有组合。

或者说它是表示能够给消费者带来相同的效用水平或满足程度的两种商品的所有组合的。

所谓无差异曲线就是表示能给消费者带来同等程度满足的两种商品的不同数量组合的点的轨迹。

因为同一条无差异曲线上的每一个点所代表的商品组合所提供的总效用是相等的，所以无差异曲线也叫做等效用线。

不同消费者的无差异曲线图，反映着他们不同的偏好。

如果消费者A的无差异曲线相对于消费者B的无差异曲线来说比较陡峭，这意味着若同样减少一单位商品x，要保持原来的满足程度不变，消费者A需要增加的商品y的数量要大于消费者B。

从这一点来看，相对于商品x而言商品y对于消费者A不如对于消费者B重要，或者说，在x与y两种商品之间，消费者A比消费者B更偏爱商品x，消费者B比消费者A更偏爱商品y.无差异曲线的特征第一，无差异曲线是一条向右下方倾斜的线，斜率是负的。

表明为实现同样的满足程度，增加一种商品的消费，必须减少另一种商品的消费。

假定每个商品都被限定为多了比少了好，那么无差异曲线一定向右下方倾斜，就是说，其斜率一定为负。

只是在特殊情况下，即当某种商品为中性物品或令人讨厌的物品时，无差异曲线才表现为水平的或者垂直的，甚至是向右上方倾斜，即斜率为正。

第二，在每种商品都不被限定为多了比少了好的前提下，无差异曲线图中位置越高或距离原点越远的无差异曲线所代表的消费者的满足程度越高。

由于通常假定效用函数是连续的，所以在同一个坐标平面上的任何两条无差异曲线之间，可以有无数条无差异曲线。

同一条曲线代表相同的效用，不同的曲线代表不同的效用。

换句话说，较高无差异曲线上所有商品组合的效用高于较低的无差异曲线上所有商品组合的效用。

第三，任何两条无差异曲线不能相交。

微观经济学名词解释(平迪克版)

微观经济学（平迪克版）1、无差异曲线vs等产量线vs生产可能性边界（1）无差异曲线：是序数效用论的一种分析方法。

是用来表示能带给消费者相同满足程度的所有市场篮子的组合或是能够给消费者带来相同效用水平的两种商品的所有组合。

如图横轴和纵轴分别表示商品1和2的数量,图中的曲线表示商品1和商品2的不同组合给消费者带来的效用水平是相同的。

与无差异曲线对应的是效用函数为U=无差异曲线有三个基本特征：第一，由于通常假定效用函数是连续的，所以在同一坐标平面的任意两条无差异曲线之间可以有无数条无差异曲线，离原点越远效用越大；第二，在同一坐标平面上，任意两条无差异曲线不会相交；第三，无差异曲线是凸向原点的，即无差异曲线的斜率的绝对值是递减的。

（2）等产量曲线：在技术水平不变的条件下生产同一产量的两种生产要素投入量的所有不同组合的轨迹。

等产量曲线对应的生产函数为：与无差异曲线类似，三个特征：但与无差异曲线不同的是每条等产量线对应着特定的产出水平，而无差异曲线只是排序意义上的。

（3）生产可能性边界：是指在技术、要素供给等不变的条件下，一个社会用其全部资源所能生产的各种产品的最大数量的组合。

假设一个社会把全部资源用于X、Y两种商品的生产，那么生产可能性边界如图所示沿着生产可能性边界，边界内的点表示经济尚未达到有效生产，边界外的点是不可能实现的。

-是向下倾斜的，是因为当全部的资源都被利用时，要获得多一些的一种产品，必须以牺牲其他产品为代价。

2、边际替代率vs边际技术替代率vs边际转换率（1）边际替代率MRS：即为无差异曲线的斜率的绝对值，它表示的是在维持效用水平不变的前提下，消费者增加一单位某种商品的消费数量时所需要的放弃另一种商品的消费数量。

商品1对商品2的边际替代率的定义公式为其中，、分别为商品1和商品2的变化量。

边际替代率递减是消费者偏好所普遍具有的一个特征。

边际替代率递减规律即在维持效用水平不变的情况下，随着一种商品的消费数量的连续增加，消费者为得到每一单位的这种商品所需要放弃的另一种商品的消费数量是递减的。

经济学无差异曲线分析

如果两种物品完全不能替代，而是完全互补的，无差异曲线与原点成900凸出。必须按固定不变的比例同时被使用。
左脚鞋
MRS为0或∞
I2
7 5
I1
2019/1/18
0
5
7
右脚鞋 14
•
•均衡条件：边际替代率等于两商品价格比。 •视E点为无差异曲线上一点， E点斜率为： dY MU X MRS XY dX MU Y 消费者均衡及其均衡条件
PX下降时
低档商品
总效应正常商品普通低档商品＞0 + 吉芬商品＞0 +
•人们总是愿意增加购买
替代效应
＞0 +
• • 低档物品中的吉芬商品，替代所以替代效应总是与商普通低档商品与正常商与之反向变动。品一样，价格效应表现品价格变动方向相反。效应大于零，收入效应小于零， • 所以收入效应变动方向的符合需求规律。但收入效应< 替代效应。需求根据商品不同而不同。 • 吉芬商品的价格效应不曲线呈现出向右上方倾斜的特符合需求规律，因为收殊形状。
250
C
A
预算线
0
50
100
披萨X
2
一、预算线
• 预算线与预算方程
– 预算线斜率为负值代表横纵坐标轴的两种物品存在相互替代的关系。 PX – 斜率衡量消费者用一种物品换到另一 PY 种物品的比率。
– 亦可将其看做用一种物品来表示另一种物品的机会成本：
• 上例中1单位披萨的机会成本是5单位可乐。即多购买1单位披萨需要放弃5单位可乐。 2019/1/18 3
• 别称：消费可能线、预算约束线或者等支出线。
– 预算线方程
PX X P YY I

第五章无差异曲线分析

(a) 对于有下图偏好的劳动者… 消费
. . . 劳动供给曲线斜向右上方. 工资
1. 当增加工资时 . . .
BC1
BC2 I2
I1 0
2. . . . 闲暇时间减少 . . .
闲暇
0
3. . . . 劳动时间增加.
劳动供给工作小时数
增加工资An Increase in the Wage
(b)对于有下图偏好的劳动者… 消费
无差异曲线与消费可能线相切时，商品的组合（M，N），是消费者在既定支出水平上（AB）所能实现的最大化满足程度（I2）
如果I与AB两条曲线相交（C，D），
则是以较多的钱实现较低的满足程度,
I1<I2，浪费了。 I3>I2，但无法实现。
X2
BC
N
E
I3
I2
D I1
O
M
A X1
X22 U33 A33
收入- 消费曲线
A22 U22
U33 收入- 消费曲线Ａ22
U22
E33
A11 U11
E33
E11 E22
A11 U11 E22 E11
0
B11 B22
B33 X11
B11
B22
B33 X11
恩格尔曲线
I
恩格尔曲线
I
恩格尔曲线
X11=f（I）
X11=f（I）
劣劣等等品品
正正常常品品
根据这种对应关系，把每一个P1数值和相应的均衡点上的X1数值绘制在商品的价格-数量坐标图上，便可以得到单个消费者的需求曲线。
X2 A
价格－消费曲线
E3 E1 E2
P O 1 2 B3 E3 P1 P2 P3