第三章 3.2.2 第1课时 奇偶性的概念

3．2.2奇偶性第1课时奇偶性的概念学习目标 1.了解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题．知识点函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称思考具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？答案定义域关于原点对称．特别提醒理解函数的奇偶性应关注三点(1)函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对其定义域内的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)[或f(－x)＝f(x)]，才能说f(x)是奇(偶)函数．(2)若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0.(3)若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的实数集．1．f(x)是定义在R上的函数，若f(－1)＝f(1)，则f(x)一定是偶函数．(×)2．函数f(x)＝x2，x∈[0，＋∞)是偶函数．(×)3．对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数．(×) 4．不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．(×)5．若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数．(×)6．函数f(x)＝x2＋|x|的图象关于原点对称．(×)一、函数奇偶性的判断 例1 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝2－|x |；(2)f (x )＝x 2－1＋1－x 2； (3)f (x )＝x x －1； (4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >0，－x ＋1，x <0.解 (1)函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称， 又f (－x )＝2－|－x |＝2－|x |＝f (x )， 所以f (x )为偶函数．(2)函数f (x )的定义域为{－1,1}，关于原点对称， 则f (x )＝0，又f (－x )＝f (x )，且f (－x )＝－f (x )， 所以f (x )既是偶函数又是奇函数．(3)函数f (x )的定义域为{x |x ≠1}，不关于原点对称， 所以f (x )既不是奇函数也不是偶函数．(4)f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 当x >0时，－x <0，f (－x )＝1－(－x )＝1＋x ＝f (x )； 当x <0时，－x >0，f (－x )＝1＋(－x )＝1－x ＝f (x )．综上可知，对于x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数． 反思感悟 判断函数的奇偶性，一般有以下两种方法(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f (－x )是否等于±f (x )，或判断f (－x )±f (x )是否等于0，从而确定奇偶性． (2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y 轴对称，则函数为偶函数．跟踪训练1 判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝1x ；(2)f (x )＝x 2(x 2＋2)．解 (1)f (x )＝1x 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，∵f (－x )＝－1x ＝－f (x )，∴f (x )＝1x是奇函数．(2)f (x )＝x 2(x 2＋2)的定义域为R .∵f (－x )＝f (x )，∴f (x )＝x 2(x 2＋2)是偶函数． 二、奇、偶函数的图象及应用例2 已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x .现已画出函数f (x )在y 轴左侧的图象，如图所示．(1)请补全函数y ＝f (x )的图象；(2)根据图象写出函数y ＝f (x )的单调递增区间； (3)根据图象写出使f (x )<0的x 的取值集合． 解 (1)由题意作出函数图象如图．(2)据图可知，单调递增区间为(－1,0)，(1，＋∞)．(3)据图可知，使f (x )<0的x 的取值集合为{x |－2<x <2，且x ≠0}． (学生)反思感悟 巧用奇、偶函数的图象求解问题(1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y 轴对称．(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题． (教师) 延伸探究1．本例条件下，f (x )取何值时，有四个不同的x 值与之对应？ 解 结合图象可知，f (x )的取值范围是(－1,0)．2．若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答本题？ 解 (1)由题意作出函数图象如图所示．(2)据图可知，单调增区间为(－1,1)．(3)据图可知，使f (x )<0的x 的取值集合为{x |－2<x <0或x >2}．跟踪训练2 定义在[－3，－1]∪[1,3]上的函数f (x )是奇函数，其部分图象如图所示．(1)请在坐标系中补全函数f (x )的图象； (2)比较f (1)与f (3)的大小．解 (1)由于f (x )是奇函数，则其图象关于原点对称，其图象如图所示．(2)观察图象，知f (3)<f (1)． 三、利用函数的奇偶性求值例3 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≤0，ax 2＋bx ，x >0为奇函数，则a ＝________；b ＝________.答案 －1 1解析 当x <0时，－x >0，∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．即ax 2－bx ＝－x 2－x ，∴a ＝－1，b ＝1.(2)已知函数f (x )＝x 7－ax 5＋bx 3＋cx ＋2，若f (－3)＝－3，则f (3)＝________. 答案 7解析 令g (x )＝x 7－ax 5＋bx 3＋cx ，则g (x )是奇函数， ∴f (－3)＝g (－3)＋2＝－g (3)＋2， 又f (－3)＝－3，∴g (3)＝5. 又f (3)＝g (3)＋2，∴f (3)＝5＋2＝7. (学生)反思感悟 利用奇偶性求值的常见类型(1)求参数值：若解析式含参数，则根据f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数． (2)求函数值：利用f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值．跟踪训练3 (1)设函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x为奇函数，则a ＝________. 答案 －1解析 因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 即(－x ＋1)(－x ＋a )－x＝－(x ＋1)(x ＋a )x ，显然x ≠0，整理得x 2－(a ＋1)x ＋a ＝x 2＋(a ＋1)x ＋a ，故a ＋1＝0，得a ＝－1.(2)已知定义在R 上的偶函数f (x )满足：当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≥2，x 2＋1，0≤x <2，则f (f (－2))＝________. 答案 1解析 因为f (x )为R 上的偶函数，所以f (－2)＝f (2)＝0， 所以f (f (－2))＝f (0)＝1.1．函数y ＝f (x )，x ∈[－1，a ](a >－1)是奇函数，则a 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．无法确定答案 C解析 ∵奇函数的定义域关于原点对称， ∴a －1＝0，即a ＝1.2．下列图象表示的函数中具有奇偶性的是( )答案 B解析 选项A 中的图象关于原点或y 轴均不对称，故排除；选项C ，D 中的图象表示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B 中的图象关于y 轴对称，其表示的函数是偶函数．3．(多选)下列函数是奇函数的是( ) A ．y ＝x (x ∈[0,1]) B ．y ＝3x 2 C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |答案 CD解析 利用奇函数的定义，首先定义域关于原点对称，排除选项A ； 又奇函数需满足f (－x )＝－f (x )，排除选项B.4．若f (x )为R 上的偶函数，且f (2)＝3，则f (－2)＝________. 答案 3解析 ∵f (x )为R 上的偶函数，∴f (－2)＝f (2)＝3.5．已知函数y ＝f (x )为偶函数，其图象与x 轴有四个交点，则方程f (x )＝0的所有实根之和是________． 答案 0解析 由于偶函数的图象关于y 轴对称，所以偶函数的图象与x 轴的交点也关于y 轴对称，因此，四个交点中，有两个在x 轴的负半轴上，另两个在x 轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.1．知识清单： (1)函数奇偶性的概念． (2)奇函数、偶函数的图象特征． 2．方法归纳：特值法、数形结合法．3．常见误区：忽略奇、偶函数的定义域关于原点对称．1．(多选)下列函数中为奇函数的是( ) A ．f (x )＝x 3 B ．f (x )＝x 5 C ．f (x )＝x ＋1xD ．f (x )＝1x2答案 ABC解析 选项ABC 中的函数满足f (－x )＝－f (x )，由奇函数的定义可知选ABC. 2．已知y ＝f (x )，x ∈(－a ，a )，F (x )＝f (x )＋f (－x )，则F (x )是( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数 答案 B解析 ∵F (－x )＝f (－x )＋f (x )＝F (x )．又x ∈(－a ，a )关于原点对称，∴F (x )是偶函数．3．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2－12x ，则f (1)等于( )A ．－32B ．－12C.32D.12 答案 A解析 因为f (x )是定义在R 上的奇函数， 所以f (1)＝－f (－1)＝－32.4．函数f (x )＝1x －x 的图象( )A ．关于y 轴对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于坐标原点对称D ．关于直线y ＝－x 对称答案 C解析 ∵f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f (－x )＝－1x －(－x )＝x －1x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，图象关于原点对称．5．如图，给出奇函数y ＝f (x )的局部图象，则f (－2)＋f (－1)的值为( )A ．－2B ．2C ．1D ．0 答案 A解析 f (－2)＋f (－1)＝－f (2)－f (1) ＝－32－12＝－2.6．已知函数f (x )＝ax 2＋2x 是奇函数，则实数a ＝________. 答案 0解析 由奇函数定义有f (－x )＋f (x )＝0， 得a (－x )2＋2(－x )＋ax 2＋2x ＝2ax 2＝0，故a ＝0.7．已知y ＝f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝x 2＋ax ，且f (3)＝6，则a 的值为________． 答案 5解析 因为f (x )是奇函数， 所以f (－3)＝－f (3)＝－6，所以(－3)2＋a (－3)＝－6，解得a ＝5.8．若f (x )为R 上的奇函数，给出下列四个说法： ①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )－f (－x )＝2f (x )； ③f (x )·f (－x )<0；④f (x )f (－x )＝－1.其中一定正确的为________．(填序号) 答案 ①②解析 ∵f (x )在R 上为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )． ∴f (x )＋f (－x )＝f (x )－f (x )＝0，故①正确． f (x )－f (－x )＝f (x )＋f (x )＝2f (x )，故②正确． 当x ＝0时，f (x )·f (－x )＝0，故③不正确．当x ＝0时，f (x )f (－x )分母为0，无意义，故④不正确．9．已知函数f (x )＝x ＋ax (a >0)．(1)若f (1)＝3，求a 的值； (2)判断函数f (x )的奇偶性并证明． 解 (1)由题意知，f (1)＝1＋a ＝3， 所以a ＝2>0满足题意．(2)函数f (x )为奇函数，证明如下：函数f (x )＝x ＋ax (a >0)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且关于原点对称．又因为f (－x )＝－x ＋a－x＝－⎝⎛⎭⎫x ＋a x ＝－f (x )， 所以函数f (x )为奇函数．10．(1)如图①，给出奇函数y ＝f (x )的局部图象，试作出y 轴右侧的图象并求出f (3)的值；(2)如图②，给出偶函数y ＝f (x )的局部图象，试作出y 轴右侧的图象并比较f (1)与f (3)的大小． 解 (1)奇函数y ＝f (x )在y 轴左侧图象上任一点P (－x ，f (－x ))关于原点的对称点为P ′(x ，f (x ))，图③为图①补充后的图象，易知f (3)＝－2.(2)偶函数y ＝f (x )在y 轴左侧图象上任一点P (－x ，f (－x ))关于y 轴的对称点为P ′(x ，f (－x ))，图④为图②补充后的图象，易知f (1)>f (3)．11．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 是有理数，0，x 是无理数是( ) A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数答案 B 解析 若x 是有理数，则－x 也是有理数，∴f (－x )＝f (x )＝1；若x 是无理数，则－x 也是无理数，∴f (－x )＝f (x )＝0.∴函数f (x )是偶函数．12．(多选)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中不正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数答案 ABD解析 ∵f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，∴|f (x )|为偶函数，|g (x )|为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f (x )|g (x )|为奇函数．13．已知定义域为[a －4,2a －2]的奇函数f (x )＝2 020x 3－5x ＋b ＋2，则f (a )＋f (b )的值为________．答案 0解析 奇函数的图象关于原点对称，所以a －4＋2a －2＝0，所以a ＝2，因为函数f (x )是奇函数，所以f (a )＋f (b )＝f (2)＋f (－2)＝f (2)－f (2)＝0.14．设奇函数f (x )的定义域为[－6,6]，当x ∈[0,6]时f (x )的图象如图所示，则不等式f (x )<0的解集用区间表示为________．答案 [－6，－3)∪(0,3)解析 由f (x )在[0,6]上的图象知，满足f (x )<0的不等式的解集为(0,3)．又f (x )为奇函数，图象关于原点对称，所以在[－6,0)上，不等式f (x )<0的解集为[－6，－3)．综上可知，不等式f (x )<0的解集为[－6，－3)∪(0,3)．15．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1，若f (a )＝23，则f (－a )＝________. 答案 43解析 根据题意，f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋x x 2＋1， 而h (x )＝x x 2＋1是奇函数， 故f (－a )＝1＋h (－a )＝1－h (a )＝2－[1＋h (a )]＝2－f (a )＝2－23＝43. 16．已知函数f (x )对一切实数x ，y 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，(1)求证：f (x )是奇函数；(2)若f (－3)＝a ，试用a 表示f (12)．(1)证明 由已知f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，令y ＝－x 得f (0)＝f (x )＋f (－x )，令x ＝y ＝0得f (0)＝2f (0)，所以f (0)＝0.故f(x)是奇函数．(2)解由(1)知f(x)为奇函数．所以f(－3)＝－f(3)＝a，所以f(3)＝－a. 又f(12)＝f(6)＋f(6)＝2f(3)＋2f(3)＝4f(3)，所以f(12)＝－4a.。