(课标通用)高考数学一轮复习第三章导数及其应用第3节导数的应用_极值与最值课件理
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f ′(x)<0 ，右侧 若在点 x0 附近左侧 _________ f ′(x)>0 ，则 x0 为函数的极小值点 _______
2.函数的最值 (1) 如 果 在 区 间 [a ， b] 上 函 数 y ＝ f(x) 的 图 象 是 一 条
连续不断 ____________ 的曲线，那么它必有最大值和最小值.
x 2 ＋ 2x － a ＝ ， （x＋1）2 因为函数 f(x)在 x＝1 处取得极值，
3－a 所以 f ′(1)＝ 4 ＝0，即 a＝3. 经检验，a＝3 时，x＝1 是 f(x)的极小值点.
[答案] 3
考 点
题 型 突 破
考点一
函数的极值与导数——共研型
角度 1：已知函数求极值 1＋lnx (2016· 济宁模拟)已知函数 f(x)＝ kx (k≠0)， 求函数 f(x)的极值.
[解]
1＋lnx f(x)＝ kx ，其定义域为(0，＋∞)，
lnx 则 f ′(x)＝－kx2. 令 f ′(x)＝0，得 x＝1，
(1)当 k>0 时，若 0<x<1，则 f ′(x)>0； 若 x>1，则 f ′(x)<0， ∴f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，即 1 当 x＝1 时，函数 f(x)取得极大值 k ，无极小值.
值 极小值 f(x0)， 称 x0 为函数 f(x)的一个极小值点
极大 导数 与极 值 极小 值 值
函数 y＝f(x)在点 x0 处连续且 f ′(x0)＝0，
f ′(x)>0 若在点 x0 附近左侧___________ ，右侧 f ′(x)<0 ，则 x0 为函数的极大值点 _______
函数 y＝f(x)在点 x0 处连续且 f ′(x0)＝0，
第三章
导数及其应用
第三节
导数的应用(二)——极值与最值
1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件； 2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不 超过三次)；3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项 式函数一般不超过三次).
知 识
梳 理 诊 断
1.函数的极值与导数 极 x0 为函数 y＝f(x)定义域内一点，如果对 x0 附 极值 的概 念
C
5.若函数 f(x)＝x3－6bx＋3b 在(0，1)内有最小值，则实数 b 的取值范围是( A.(0，1) C.(0，＋∞) ) B.(－∞，1)
1 D.0，2
[ 解析 ]
f(x) 在 (0 ， 1) 内有最小值，即
f(x)在(0，1)内有极小值，f ′(x)＝3x2－6b， 由题意，函数 f ′(x)的草图如图，
f ∴ f
′（0）<0， －6b<0， 即 ′（1）>0， 3－6b>0，
1 解得 0<b< .故选 D. 2
[答案]
D
x2＋a 6. 若 函 数 f(x) ＝ 在 x＝1 处取得极值，则 a 等 x＋1 于
[解析]
.
2x（x＋1）－（x2＋a） 由题意可得 f ′(x)＝ （x＋1）2
f(x)<f(x0) ， 大 近所有的 x 都有________ 则 f(x)在 x0 处取得
值 极大值 f(x0)， 称 x0 为函数 f(x)的一个极大值点 极 x0 为函数 y＝f(x)定义域内一点，如果对 x0 附
f(x)>f(x0) ， 小 近所有的 x 都有________ 则 f(x)在 x0 处取得
)
[解析]
函数 y＝ln x－x 的定义域为(0，＋∞)，
1－x 1 又 y′＝ x －1＝ x ， 令 y′＝0 得 x＝1， 当 x∈(0，1)时，y′>0，函数单调递增， 当 x∈(1，e]时，y′<0，函数单调递减. 当 x＝1 时，函数取得极大值－1， 从而 y
最大值
＝f(1)＝－1.
[答案]
[解析]
使导函数 y＝f ′(x)>0 的 x 的取值范围为函数 f(x)
的增区间；使导函数 y＝f ′(x)<0 的 x 的取值范围为函数 f(x) 的减区间.
[答案] C
x 3.对于函数 f(x)＝ x，下列结论正确的是( e 1 A.有最小值 e 1 C.有最大值 e 1 B.有最小值－ e 1 D.有最大值－ e
(3)对可导函数 f(x)，f ′(x0)＝0 是 x0 点为极值点的充要条 件.( )
(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一 定是极小值.( ) )
(5)√
(5)连续函数在闭区间上必有最值.(
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
2.已知函数 y＝f(x)，其导函数 y＝f ′(x) 的图象如图所示，则 y＝f(x)( A.在(－∞，0)上为减函数 B.在 x＝0 处取极小值 C.在(4，＋∞)上为减函数 D.在 x＝2 处取极大值 )
(2)求函数 y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤
极值 ①求函数 y＝f(x)在(a，b)内的______.
端点处的函数值 f(a)、f(b) ②将函数 y ＝ f(x) 的各极值与 _______________________
比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
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1. 判断下列结论的正误 .( 正确的打“√”，错误的打 “×”) (1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.( (2)函数的极大值不一定比极小值大.( ) )
(2)当 k<0 时，若 0<x<1，则 f ′(x)<0； 若 x>1，则 f ′(x)>0， ∴f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，即 1 当 x＝1 时，函数 f(x)取得极小值 k ，无极大值. 1 综上所述，当 k>0 时，f(x)的极大值为 k ，无极小值； 1 当 k<0 时，f(x)的极小值为 k ，无极大值.
)
[解析]
1－x f ′ ( x) ＝ ex ， 当 x<1 时， f ′(x)>0； 当 x＝1 时， f ′ ( x)
＝0；当 x>1 时 f ′(x)<0，故 x＝1 是函数 f(x)的极大值点，也 1 是最大值点，故函数 f(x)的最大值为 f(1)＝e .
[答案]
C
4.函数 y＝lnx－x 在 x∈(0，e]上的最大值为( A.e C.－1 B.1 D.－e
2.函数的最值 (1) 如 果 在 区 间 [a ， b] 上 函 数 y ＝ f(x) 的 图 象 是 一 条
连续不断 ____________ 的曲线，那么它必有最大值和最小值.
x 2 ＋ 2x － a ＝ ， （x＋1）2 因为函数 f(x)在 x＝1 处取得极值，
3－a 所以 f ′(1)＝ 4 ＝0，即 a＝3. 经检验，a＝3 时，x＝1 是 f(x)的极小值点.
[答案] 3
考 点
题 型 突 破
考点一
函数的极值与导数——共研型
角度 1：已知函数求极值 1＋lnx (2016· 济宁模拟)已知函数 f(x)＝ kx (k≠0)， 求函数 f(x)的极值.
[解]
1＋lnx f(x)＝ kx ，其定义域为(0，＋∞)，
lnx 则 f ′(x)＝－kx2. 令 f ′(x)＝0，得 x＝1，
(1)当 k>0 时，若 0<x<1，则 f ′(x)>0； 若 x>1，则 f ′(x)<0， ∴f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，即 1 当 x＝1 时，函数 f(x)取得极大值 k ，无极小值.
值 极小值 f(x0)， 称 x0 为函数 f(x)的一个极小值点
极大 导数 与极 值 极小 值 值
函数 y＝f(x)在点 x0 处连续且 f ′(x0)＝0，
f ′(x)>0 若在点 x0 附近左侧___________ ，右侧 f ′(x)<0 ，则 x0 为函数的极大值点 _______
函数 y＝f(x)在点 x0 处连续且 f ′(x0)＝0，
第三章
导数及其应用
第三节
导数的应用(二)——极值与最值
1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件； 2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不 超过三次)；3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项 式函数一般不超过三次).
知 识
梳 理 诊 断
1.函数的极值与导数 极 x0 为函数 y＝f(x)定义域内一点，如果对 x0 附 极值 的概 念
C
5.若函数 f(x)＝x3－6bx＋3b 在(0，1)内有最小值，则实数 b 的取值范围是( A.(0，1) C.(0，＋∞) ) B.(－∞，1)
1 D.0，2
[ 解析 ]
f(x) 在 (0 ， 1) 内有最小值，即
f(x)在(0，1)内有极小值，f ′(x)＝3x2－6b， 由题意，函数 f ′(x)的草图如图，
f ∴ f
′（0）<0， －6b<0， 即 ′（1）>0， 3－6b>0，
1 解得 0<b< .故选 D. 2
[答案]
D
x2＋a 6. 若 函 数 f(x) ＝ 在 x＝1 处取得极值，则 a 等 x＋1 于
[解析]
.
2x（x＋1）－（x2＋a） 由题意可得 f ′(x)＝ （x＋1）2
f(x)<f(x0) ， 大 近所有的 x 都有________ 则 f(x)在 x0 处取得
值 极大值 f(x0)， 称 x0 为函数 f(x)的一个极大值点 极 x0 为函数 y＝f(x)定义域内一点，如果对 x0 附
f(x)>f(x0) ， 小 近所有的 x 都有________ 则 f(x)在 x0 处取得
)
[解析]
函数 y＝ln x－x 的定义域为(0，＋∞)，
1－x 1 又 y′＝ x －1＝ x ， 令 y′＝0 得 x＝1， 当 x∈(0，1)时，y′>0，函数单调递增， 当 x∈(1，e]时，y′<0，函数单调递减. 当 x＝1 时，函数取得极大值－1， 从而 y
最大值
＝f(1)＝－1.
[答案]
[解析]
使导函数 y＝f ′(x)>0 的 x 的取值范围为函数 f(x)
的增区间；使导函数 y＝f ′(x)<0 的 x 的取值范围为函数 f(x) 的减区间.
[答案] C
x 3.对于函数 f(x)＝ x，下列结论正确的是( e 1 A.有最小值 e 1 C.有最大值 e 1 B.有最小值－ e 1 D.有最大值－ e
(3)对可导函数 f(x)，f ′(x0)＝0 是 x0 点为极值点的充要条 件.( )
(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一 定是极小值.( ) )
(5)√
(5)连续函数在闭区间上必有最值.(
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
2.已知函数 y＝f(x)，其导函数 y＝f ′(x) 的图象如图所示，则 y＝f(x)( A.在(－∞，0)上为减函数 B.在 x＝0 处取极小值 C.在(4，＋∞)上为减函数 D.在 x＝2 处取极大值 )
(2)求函数 y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤
极值 ①求函数 y＝f(x)在(a，b)内的______.
端点处的函数值 f(a)、f(b) ②将函数 y ＝ f(x) 的各极值与 _______________________
比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
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1. 判断下列结论的正误 .( 正确的打“√”，错误的打 “×”) (1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.( (2)函数的极大值不一定比极小值大.( ) )
(2)当 k<0 时，若 0<x<1，则 f ′(x)<0； 若 x>1，则 f ′(x)>0， ∴f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，即 1 当 x＝1 时，函数 f(x)取得极小值 k ，无极大值. 1 综上所述，当 k>0 时，f(x)的极大值为 k ，无极小值； 1 当 k<0 时，f(x)的极小值为 k ，无极大值.
)
[解析]
1－x f ′ ( x) ＝ ex ， 当 x<1 时， f ′(x)>0； 当 x＝1 时， f ′ ( x)
＝0；当 x>1 时 f ′(x)<0，故 x＝1 是函数 f(x)的极大值点，也 1 是最大值点，故函数 f(x)的最大值为 f(1)＝e .
[答案]
C
4.函数 y＝lnx－x 在 x∈(0，e]上的最大值为( A.e C.－1 B.1 D.－e