直线与抛物线

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直线与抛物线的位置关系

得到一元一次方程，容易解出交点坐标为（9，6）
二、判断方法探讨
1、直线与抛物线的对称轴平行
变式练习：
y
若直线y=kx+1与抛物
线y2= x仅有一个公共
点，则 k 的值？
O
x
2、直线与抛物线的对称轴不平行
y
O
例：判断直线 y = x -1与
抛物线 y2 =4x 的位置关系及求弦长？
x 计算结果：
相交,弦长为8。
2、直线与抛物线的对称轴不平行
y
O
变式练习：
倾斜角为1350 的
直线，经过抛物线
y2 = 8x的焦点，则
x 截得的弦长是多少？
(方法总结)
判断直线与抛物线的对称轴情况
平行
不平行
联立直线和抛物线
直线与抛物线相交(一个交点)
利用弦长公式
课后作业：
习题8.6 2 题
yห้องสมุดไป่ตู้
O
x
； https:/// 炒股配资什么意思；
1、直线与圆
y
0
x
2、直线和椭圆
y
F1 0
F2
x
3、直线与双曲线
y
渐进线方程
．．
F
O
x
一、直线与抛物线位置关系种类
y 相离
O
相切
x
相交
一个交点或者两个交点
二、判断方法探讨
1、直线与抛物线的对称轴平行
y
O
例：判断直线 y = 6与抛
物线 y2 =4x的位置
关系及求交点坐标？
x
计算结果：
之后他再找那丫头说说情,或许能打动她也不一定,如今是不可能了.面对众人の喝骂,卓文鼎态度冷淡.身后の

直线与抛物线交点个数判断

直线与抛物线交点个数判断引言在代数几何学中，直线和抛物线是两种常见的曲线。

直线是一条无限延伸的轨迹，由无限多个点组成；而抛物线是一种特殊的曲线，形状呈现为开口向上或向下的弧线。

在解决几何问题时，判断直线和抛物线是否相交及相交点个数的问题经常会出现。

本文将介绍如何判断直线和抛物线的交点个数，并给出相应的计算方法。

直线方程首先我们需要了解直线的方程表示形式。

直线可以使用点斜式、截距式和一般式等形式表示，其中截距式是最常用的形式。

•点斜式：y−y1=m(x−x1)，其中(x1,y1)是直线上的已知点，m是直线的斜率。

•截距式：y=kx+b，其中k是直线的斜率，b是直线与y轴的截距。

•一般式：Ax+By+C=0，其中A,B,C是直线的系数。

在本文中，我们将使用截距式表示直线。

抛物线方程同样地，我们需要了解抛物线的方程表示形式。

抛物线可以使用顶点式、标准式和一般式等形式表示，其中标准式是最常用的形式。

•顶点式：y=a(x−ℎ)2+k，其中(ℎ,k)是抛物线的顶点坐标，a是抛物线的开口方向和形状参数。

•标准式：y=ax2+bx+c，其中a,b,c是抛物线的系数。

•一般式：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，其中A,B,C,D,E,F是抛物线的系数。

在本文中，我们将使用标准式表示抛物线。

直线与抛物线的交点个数判断根据几何直观，直线与抛物线的交点在二维平面上表示为直线与曲线的交点。

直线与抛物线的交点个数可能为0、1或2个。

为方便计算，我们将直线和抛物线的方程视为函数，其中x是自变量，y是因变量。

我们可以将直线方程和抛物线方程分别等式化，得到如下形式的方程：•直线方程：y=kx+b•抛物线方程：y=ax2+bx+c当直线与抛物线有交点时，即求解下面的方程组：$$ \\begin{cases} y = kx + b \\\\ y = ax^2 + bx + c \\end{cases} $$将直线方程的表达式代入抛物线方程中，得到如下方程：kx+b=ax2+bx+c移项并合并同类项，将方程变形为标准式：ax2+(b−k)x+(c−b)=0如果上述二次方程有实数解，则直线与抛物线有交点。

抛物线过焦点的直线的结论

抛物线过焦点的直线的结论
抛物线过其焦点的直线有一些特殊的性质。

首先，我们知道焦点是抛物线的一个重要特征点，它位于抛物线的对称轴上，并且具有一定的几何意义。

当一条直线通过抛物线的焦点时，我们可以推导出以下结论:
1. 直线与抛物线相交于两个点，这两个点在直线上对称于焦点。

这是因为抛物线的对称性质保证了直线与抛物线的交点在直线上对称。

2. 这两个交点到焦点的距离相等。

这是由于直线与抛物线的交点在直线上对称于焦点，根据对称性质可以得出。

3. 直线与抛物线的切线重合于焦点。

这是因为切线是经过抛物线上一点且与抛物线相切的直线，而通过焦点的直线也必然通过抛物线上的点，并且与抛物线相交于该点。

这些结论可以用来解决一些几何问题。

例如，可以利用这些性质确定抛物线与直线的交点位置，或者利用切线重合于焦点的性质来证明某些几何问题。

总之，抛物线过焦点的直线具有一些特殊的性质，通过利用这些性质，我们可以得出一些有关抛物线与直线交点及切线的重要结论。

直线与抛物线

(1)y1y2＝－p2，x1x2＝p42； (2)|AB|＝x1＋x2＋p＝si2np2θ(θ为直线AB与x轴的夹角)； (3)S△AOB＝2spin2 θ； (4)|A1F|＋|B1F|为定值； (5)以AB为直径的圆与抛物线准线相切．
【思路】求(1)要写出焦点F的坐标 p2，0 ，由点斜式写出过焦点F的直线方程，注意讨论斜率是否存在，然后与 y2＝2px联立，再由根与系数的关系即得；(2)中|AB|＝|AF|＋ |BF|，再将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离即可；(3)中S△AOB＝S△AOF＋S△BOF，再由面积公式求得；(4) 中将点到焦点的距离转化为点到准线的距离；求(5)要先求出AB的中点M，再证明M点到准线的距离等于12|AB|即可．
因为抛物线C过点A(1,2)，所以22＝2p×1，所以p＝
2.
所以抛物线的方程是y2＝4x，其准线方程是x＝－1.
(2)联立直线与抛物线方程，得
y＝x＋m， y2＝4x，
消去y，得
到(x＋m)2＝4x，化简得x2＋(2m－4)x＋m2＝0.①
因为直线l：y＝x＋m与抛物线C相切，所以方程①的判
(3)
∵∠MFN＝90°，F在以MN为直径的圆上， ∵|AF|＝|AM|，|MR|＝|FR|， ∴∠MFA＝∠AMF，∠MFR＝∠FMR. ∴∠AFR＝∠AFM＋∠MFR＝ ∠AMF＋∠FMR＝90°. 即RF⊥AB，F为垂足．因此，以MN为直径的圆必与直线AB相切于点F.
)，设A(x1，
y1)，B(x2，y2)，联立方程 y＝－x－p2， y2＝2px，
消参得4x2－12px
＋p2＝0，∴x1＋x2＝3p.∴p＝2，即抛物线方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.

“直线与抛物线的关系”精讲精练

直线与抛物线的关系【直线与抛物线的位置关系】直线与抛物线的位置关系：直线与抛物线有两个公共点；直线与抛物线有一个公共点；直线与抛物线没有公共点. 直线与抛物线位置关系的判断：将直线与抛物线方程联立方程组，消去x 或y ，化得形如20ax bx c ++=的式子.1、当0a =时，方程20ax bx c ++=为一次方程，只有一解，即直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛物线不是相切，而是相交（直线与抛物线对称轴平行或者重合）.2、当0a ≠时，方程20ax bx c ++=为二次方程，①若0∆>，则方程有两个不相等的实数根，此时直线与抛物线相交于两点； ②若0∆=，则方程有两个相等的实数根，此时直线与抛物线相切； ③若0∆<，则方程没有实数根，此时直线与抛物线相离（即没有公共点）. 【直线与抛物线相交的弦长】1、弦长公式：设直线交抛物线于点11(,)A x y 、22(,)B x y ，则A B AB x x =-2、若弦是“焦点弦”，则其长为12AB x x p =++ 【例题】1、经过x y 82=的焦点F 作与对称轴成3π的直线与抛物线相交于A 、B 两点，则AB =2、已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线21y x =+3、直线2y x =-与抛物线22y x =相交于A 、B 两点，则O A O B ⋅=4、已知直线l ：4y kx =-与抛物线C ：28y x =有且只有一个公共点，则实数k = 5、抛物线2y x =上距直线24x y -=最近的点的坐标是6、过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（）A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无数条D ．不存在7、已知抛物线x y 42=截直线b x y +=2所得的弦AB 的长为53，P 是其对称轴上一点，若39PAB S ∆=，则P 点的坐标.8、已知抛物线2y x =-与直线(1)y k x =+相交于,A B 两点，当OAB ∆时，求k 的值9、已知直线l ：1y kx =+和抛物线28y x =.（1）若直线l 与抛物线有两个公共点，求k 的取值范围；（2）若直线l 与抛物线只有一个公共点，求k 的取值范围；（3）若直线l 与抛物线没有公共点，求k 的取值范围10、直线y x b =+与抛物线2(1)y x =-交于A 、B 两点，（！）求弦长AB 关于b 的函数关系式；（2）若弦AB 的中点M 落在圆224x y +=内部，求实数b 的取值范围.11、已知抛物线26y x =，过点(4,1)P 引一弦，使它恰好在点P 被平分，求这条弦所在的直线方程. 【练习】1、已知直线2y x =-与抛物线2y ax =（0a ≠）相交于A 、B 两点，且O A O B ⊥，则实数a =2、求过定点(0,1)M ，且与抛物线22y x =只有一个公共点的直线方程.3、已知(0,1),(3,2)A B -，P 是抛物线132+=x y 上任一点，求△PAB 面积最小值及此时P 点的坐标.4、已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，且与圆224x y +=相交的公共弦长等于，求此抛物线的方程.5、A 为抛物线272y x =-上一点，F 为抛物线的焦点，1198AF =,求过点F 且与OA 垂直的直线l 的方程.6、已知抛物线的顶点在原点，它的准线过椭圆)0(12222>>=+b a by ax 的一个焦点F ，且垂直于椭圆两焦点所在直线，已知抛物线与椭圆的一个交点为)362,32(M ，求椭圆和抛物线的方程.7、已知抛物线)0(22>=p px y 有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，斜边长为角边的方程是2y x =,求抛物线的方程.8、已知点1122(2,8),(,),(,)A B x y C x y 在抛物线22y px =（0p >）上，ABC ∆的重心与此抛物线的焦点F 重合.（1）求出该抛物线的方程；（2）求出线段BC 中点M 的坐标；（3）求BC 所在直线的方程.。

直线与抛物线的位置关系

第3课时直线与抛物线的位置关系一、直线与抛物线的位置关系1．直线与抛物线公共点的个数可以有0个、1个或2个．将直线方程与抛物线方程联立，消元后得到一元二次方程，若Δ＝0，则直线与抛物线相切，若Δ>0，则直线与抛物线相交，若Δ<0，则直线与抛物线没有公共点．特别地，当直线与抛物线的轴平行时，直线与抛物线有一个公共点．2．在求解直线与抛物线的位置关系的问题时，要注意运用函数与方程思想，将位置关系问题转化为方程根的问题．题型一、直线与抛物线的位置关系例1、已知抛物线C ：y 2＝－2x ，过点P (1,1)的直线l 斜率为k ，当k 取何值时，l 与C 有且只有一个公共点，有两个公共点，无公共点？[解析] 直线l ：y －1＝k (x －1)，将x ＝－y 22代入整理得，ky 2＋2y ＋2k －2＝0.(1)k ＝0时，把y ＝1代入y 2＝－2x 得，x ＝－12，直线l 与抛物线C 只有一个公共点(－12，1)．(2)k ≠0时，Δ＝4－4k (2k －2)＝－8k 2＋8k ＋4.由Δ＝0得，k ＝1±32， ∴当k <1－32或k >1＋32时，Δ<0，l 与C 无公共点．当k ＝1±32时，Δ＝0，l 与C 有且只有一个公共点．当1－32<k <1＋32且k ≠0时，Δ>0，l 与C 有两个公共点．综上知，k <1－32或k >1＋32时，l 与C 无公共点；k ＝1±32或k ＝0时，l 与C 只有一个公共点；1－32<k <0或0<k <1＋32时，l 与C 有两个公共点．例2、已知点A(0,2)和抛物线C ：2y ＝6x ，求过点A 且与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线l 的方程．[解析] 当直线l 的斜率不存在时，由直线l 过点A (0,2)可知，直线l 就是y 轴，其方程为x ＝0. 由⎩⎨⎧x ＝0y 2＝6x，得y 2＝0.因此，此时直线l 与抛物线C 只有一个公共点O (0,0)．如果直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y ＝kx ＋2.这个方程与抛物线C 的方程联立得方程组 ⎩⎨⎧y ＝kx ＋2y 2＝6x，由方程组消去x 得方程，ky 2－6y ＋12＝0① 当k ＝0时，得－6y ＋12＝0，可知此时直线l 与抛物线相交于点()23，2. 当k ≠0时，关于y 的二次方程①的判别式Δ＝36－48k .由Δ＝0得k ＝34，可知此时直线l 与抛物线C 有且仅有一个公共点，直线l 的方程为y ＝34x ＋2，即3x －4y＋8＝0.因此，直线l 的方程为x ＝0，或3x －4y ＋8＝0，或y ＝2. 题型二、弦长问题例3、顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线，截直线2x －y ＋1＝0所得弦长为15，则抛物线方程为______． [答案] y 2＝12x 或y 2＝－4x例4、已知抛物线y 2＝4x 的一条过焦点的弦AB ，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，AB 所在直线与y 轴交点坐标(0,2)，则1y 1＋1y 2＝__________________.[答案] 12 题型三、对称问题例5、已知抛物线y 2＝x 上存在两点关于直线l ：y ＝k (x －1)＋1对称，求实数k 的取值范围．[解析] 设抛物线上的点A (y 21，y 1)、B (y 22，y 2)关于直线l 对称．则⎩⎨⎧k ·y 1－y 2y 21－y 22＝－1y 1＋y 22＝k (y 21＋y222－1)＋1，得⎩⎨⎧y 1＋y 2＝－k y 1y 2＝k 22＋1k －12，∴y 1、y 2是方程t 2＋kt ＋k 22＋1k －12＝0的两个不同根．∴Δ＝k 2－4(k 22＋1k －12)>0得－2<k <0.故实数k 的取值范围是－2<k <0.例6、求过点P (0,1)且与抛物线y 2＝2x 只有一个公共点的直线方程．[正解] (1)若直线斜率不存在，则过点P (0,1)的直线方程为x ＝0，由⎩⎨⎧ x ＝0y 2＝2x ，得⎩⎨⎧x ＝0y ＝0.即直线x ＝0与抛物线只有一个公共点．(2)若直线的斜率存在，设为k ，则过点P (0,1)的直线方程为y ＝kx ＋1，由方程组⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，y 2＝2x .消去y ，得k 2x 2＋2(k －1)x ＋1＝0.当k ＝0时，得⎩⎨⎧x ＝12.y ＝1.即直线y ＝1与抛物线只有一个公共点；当k ≠0时，直线与抛物线只有一个公共点，则Δ＝4(k －1)2－4k 2＝0，所以k ＝12，直线方程为y ＝12x ＋1.综上所述，所求直线方程为x ＝0或y ＝1或y ＝12x ＋1.课后作业一、选择题1．直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A 、B 两点，若AB 中点的横坐标为2，则k ＝( ) A ．2或－2 B ．－1 C ．2D ．3[答案] C[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8xy ＝kx －2得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，则4(k ＋2)k 2＝4，即k ＝2. 2．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，O 为坐标原点，则OA →·OB →的值是( )A ．12B ．－12C ．3D ．－3[答案] D[解析] 设A (y 214，y 1)、B (y 224，y 2)，则OA →＝(y 214，y 1)，OB →＝(y 224，y 2)，则OA →·OB →＝(y 214，y 1)·(y 224，y 2)＝y 21y 2216＋y 1y 2，又∵AB 过焦点，则有y 1y 2＝－p 2＝－4，∴OA →·OB →＝(y 1y 2)216＋y 1y 2＝(－4)216－4＝－3，故选D.3．已知AB 是过抛物线2x 2＝y 的焦点的弦，若|AB |＝4，则AB 的中点的纵坐标是( )A ．1B ．2 C.58 D.158[答案] D[解析] 如图所示，设AB 的中点为P (x 0，y 0)，分别过A ，P ，B 三点作准线l 的垂线，垂足分别为A ′，Q ，B ′，由题意得|AA ′|＋|BB ′|＝|AB |＝4，|PQ |＝|AA ′|＋|BB ′|2＝2，又|PQ |＝y 0＋18，∴y 0＋18＝2，∴y 0＝158.4．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|等于( )A ．9B ．6C ．4D ．3[答案] B[解析] 设A 、B 、C 三点坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)、(x 3，y 3)．由题意知F (1,0)，因为F A →＋FB →＋FC →＝0，所以x 1＋x 2＋x 3＝3.根据抛物线定义，有|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝x 1＋1＋x 2＋1＋x 3＋1＝3＋3＝6.故选B.5．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过焦点F 的直线与抛物线交于点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则y 21＋y 22的最小值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10[答案] C[解析] 当直线的斜率不存在时，其方程为x ＝1，∴y 21＝4，y 22＝4， ∴y 21＋y 22＝8.当直线的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)y 2＝4x ，得ky 2－4y －4k ＝0， ∴y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4，∴y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16k2＋8， ∵k 2>0，∴y 21＋y 22>8，综上可知，y 21＋y 22≥8，故y 21＋y 22的最小值为8.6．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点．若|F A |＝2|FB |，则k ＝( )A.13B.23C.23D.223[答案] D[解析] 设A 、B 两点坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)y 2＝8x 消去y 得，k 2x 2＋4x (k 2－2)＋4k 2＝0， ∴x 1＋x 2＝4(2－k 2)k 2，x 1x 2＝4.由抛物线定义得|AF |＝x 1＋2，|BF |＝x 2＋2，又∵|AF |＝2|BF |，∴x 1＋2＝2x 2＋4，∴x 1＝2x 2＋2代入x 1x 2＝4，得x 22＋x 2－2＝0， ∴x 2＝1或－2(舍去)，∴x 1＝4，∴4(2－k 2)k 2＝5，∴k 2＝89，∵k >0，∴k ＝223. 二、填空题6．已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，M 是这条抛物线上的一个动点，P (3,1)是一个定点，则|MP |＋|MF |的最小值是______________________．[答案] 4[解析] 过P 作垂直于准线的直线，垂足为N ，交抛物线于M ，则|MP |＋|MF |＝|MP |＋|MN |＝|PN |＝4为所求最小值．7．在已知抛物线y ＝x 2上存在两个不同的点M 、N 关于直线y ＝kx ＋92对称，则k 的取值范围为__________________．[答案] k >14或k <－14[解析] 设M (x 1，x 21)，N (x 2，x 22)关于直线y ＝kx ＋92对称， ∴x 21－x 22x 1－x 2＝－1k ，即x 1＋x 2＝－1k .设MN 的中点为P (x 0，y 0)，则x 0＝－12k ，y 0＝k ×(－12k )＋92＝4.因中点P 在y ＝x 2内，有4>(－12k )2⇒k 2>116，∴k >14或k <－14.三、解答题8．已知抛物线y 2＝6x 的弦AB 经过点P (4,2)，且OA ⊥ OB (O 为坐标原点)，求弦AB 的长．[解析] 由A 、B 两点在抛物线y 2＝6x 上，可设A (y 216，y 1)、B (y 226，y 2)．因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0.由OA →＝(y 216，y 1)，OB →＝(y 226，y 2)，得y 21y 2236＋y 1y 2＝0.∵y 1y 2≠0，∴y 1y 2＝－36，① ∵点A 、B 与点P (4,2)在一条直线上， ∴y 1－2y 216－4＝y 1－y 2y 216－y 226，化简得y 1－2y 21－24＝1y 1＋y 2，即y 1y 2－2(y 1＋y 2)＝－24. 将①式代入，得y 1＋y 2＝－6.②由①和②，得y 1＝－3－35，y 2＝－3＋35，从而点A 的坐标为(9＋35，－3－35)，点B 的坐标为(9－35，－3＋35)，所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝610. 9．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点A (1，－2)．(1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． [解析] (1)将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1， ∴p ＝2.故所求的抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1. (2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋t ，y 2＝4x .消去x 得y 2＋2y －2t ＝0. 因为直线l 与抛物线C 有公共点，所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12.另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝55，可得|t |5＝15，解得t ＝±1. 综上知：t ＝1.所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0. 10．已知抛物线y 2＝－x 与直线y ＝k (x ＋1)相交于A ，B 两点．(1)求证：OA ⊥OB ；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．[解析] (1)如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－xy ＝k (x ＋1)，消去x 得，ky 2＋y －k ＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得y 1·y 2＝－1，y 1＋y 2＝－1k .∵A ，B 在抛物线y 2＝－x 上，∴y 21＝－x 1，y 22＝－x 2，∴y 21·y 22＝x 1x 2. ∵k OA ·k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 2x 1x 2＝1y 1y 2＝－1，∴OA ⊥OB .(2)设直线与x 轴交于点N ，显然k ≠0. 令y ＝0，得x ＝－1，即N (－1,0)． ∵S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|＝12|ON |·|y 1－y 2|， ∴S △OAB ＝12·1·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12(－1k)2＋4. ∵S △OAB ＝10， ∴10＝121k 2＋4，解得k ＝±16.。

直线与抛物线

所以直线过定点（2p,0).
O
C(2p,0)
B
x
l
高考链接：过定点Q（2p,0)的直线与y2 = 2px（p＞0）交于相异两点A、B，以线段AB为直径作圆H(H为圆心），试证明抛物线顶点在圆H上。
练习：
1、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在 16 直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径是 .
y k x1 联立 2 y 4x
k
消去 x 得 ky 2 4 y 4 0
例 2.已知正方形 ABCD 的一边 CD 在直线 y x 4 上, B 在抛物线 y 2 x 上,求正方形的边长. 顶点 A 、
解：设 AB 的方程为 y=x+b, y xb 由 2 消去 x 得 y2-y+b=0， y x
得到一元一次方程
直线与抛物线的对称轴平行（重合）
得到一元二次方程计算判别式 >0 =0 <0
相交（一个交点）
相交
相切
相离
三、判断直线与抛物线位置关系的操作程序（二）判断直线是否与抛物线的对称轴平行平行不平行计算判别式直线与抛物线相交(一个交点)
>0
相交
=0
相切
<0
相离
例1 已知抛物线的方程为 y 2 4 x , 直线 l 过定点 P (2,1) , 斜率为 k , k 为何值时 ,直线 l 与抛物线 y 2 4 x : ⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点; ⑶没有公共点?
O
A
C(2p,0) B
x
y
2
L:x=2p
=2px(p>0) 交于 A 、 B
y
A

抛物线与直线相交的结论

抛物线与直线相交的结论1. 生活中的抛物线与直线嘿，朋友们，今天咱们聊聊抛物线和直线的故事。

听起来有点儿高深，其实这就像生活中的各种关系：有的亲密无间，有的却是相互交错。

想象一下，你在一个秋高气爽的日子里，往空中抛个小球，哇，那球的轨迹就像一条优美的抛物线，真是美得让人心醉啊！而这条抛物线，和一条笔直的线条相遇，结果可就不一样了。

2. 抛物线与直线的交点2.1 交点的意义这交点就像是我们生活中那些重要的时刻，碰撞得刚刚好，擦出火花！简单来说，抛物线和直线可能相交，也可能平行，甚至可能根本就不相遇。

你能想象吗？那样的交点就像一场缘分，让人期待又紧张。

就拿爱情来说，有时候你以为一见钟情，却发现对方其实是走错了路。

这就像数学里的情况，既有可能一拍即合，也有可能各自成风。

2.2 如何判断交点那么，怎么判断抛物线和直线是否相交呢？这就得借助方程了。

我们可以用标准的二次方程来表示抛物线，比如说 (y = ax^2 + bx + c)。

而直线就简单多了，形如 (y = mx + b)。

要找它们的交点，我们需要把这两个方程结合起来，求解 (ax^2 + (b m)x + (c b) = 0)。

这时候就得用到判别式了，听起来是不是有点吓人？但其实只要记住：如果判别式大于零，恭喜你，有两个交点；等于零，只有一个交点；小于零，就算了，没缘分。

3. 交点的实际应用3.1 数学与生活的结合这听起来好像很枯燥，但实际上在生活中可是处处可见！比方说，运动员投掷标枪，标枪飞出的轨迹就是一条抛物线，而风速、投掷角度就像那条直线。

科学家们也在不断研究这类关系，试图找到更好的方法提高运动员的成绩。

没错，数学就在我们身边，真是“用心良苦”啊！3.2 结论与启示所以，亲爱的朋友们，抛物线和直线的相交，其实就是在告诉我们：生活中有太多的可能性。

无论是爱情、事业还是友情，交点的出现总能带来意想不到的惊喜。

咱们不能怕犯错，正如那方程式一样，勇敢去解，结果也许会让你惊喜连连。

知识讲解_直线与抛物线的位置关系_基础

直线与抛物线的位置关系【学习目标】1.能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求抛物线的方程；2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率、准线）解决相关问题；3.能够把直线与抛物线的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、抛物线的定义定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．要点诠释：上述定义可归结为“一动三定”：一个动点，一定点F（即焦点），一定直线（即准线），一定值1（即动点M到定点F的距离与定直线l的距离之比）.要点二、抛物线的标准方程抛物线标准方程的四种形式：22y px=，22y px=-，22x py=，22x py=-(0)p>抛物线抛物线的定义与标准方程抛物线的几何性质直线与抛物线的位置关系抛物线的综合问题抛物线的弦问题抛物线的准线图像方程y 2=2px （p ＞0）y 2=－2px （p ＞0）x 2=2py （p ＞0）x 2=－2py （p ＞0）焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭准线2px =-2p x =2p y =-2p y =要点诠释：求抛物线的标准方程应从“定形”、“定式”和“定值”三个方面去思考.“定形”是指以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设抛物线方程的具体形式；“定值”是指用定义法或待定系数法确定p 的值.要点三、抛物线的几何性质范围：{0}x x ≥，{}y y R ∈，抛物线y 2=2px （p ＞0）在y 轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M 的坐标（x ，y ）的横坐标满足不等式x≥0；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。

抛物线是无界曲线。

对称性：关于x 轴对称抛物线y 2=2px （p ＞0）关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。

直线与抛物线PPT 数学

O
.
F
x
∴当y0 = −24时, d min = 2 此时P(9,−24)
设直线4 x + 3 y + m = 0与抛物线相切另解： y 2 = 64 x y2 ⇒ + 3 y + m = 0 由∆ = 0得 : m = 36 4 x + 3 y + m = 0 16
3: 已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2，求AB中点纵坐标的最小值。已知抛物线y=x 动弦AB的长为2 AB中点纵坐标的最小值。 AB的长为中点纵坐标的最小值解：设 A( x1 , y1 ), B ( x2 y 2 ), AB 中点 M ( x0 , y0 )
y12 = 2 x1 y1 − y2 2 由 2 相减得： = ( x1 ≠ x2 ) y 2 = 2 x2 x1 − x2 y1 + y2
•
A
O
.
M• Q
x
B
•
F
∴ k AB
又k AB =
1 = y0
y0 − 1 x0 − 2
y0 − 1 1 2 ⇒ = 即y0 − y0 − x0 + 2 = 0 y0 x0 − 2
2 MN = AD + BC , MN = p + y 0 = 1 + y 0 , 2 4 1 AD + BC = 2 ( + y 0 ) 4
y
M A D F B
o
N C
x
AD
= AF , BC
= BF
1 AF + BF = 2 ( + y 0 ) 4
∆ABF中, AF + BF ≥ AB = 2

直线与抛物线位置关系

【学习目标】直线与抛物线的位置关系及判断方法（1）直线和抛物线有三种位置关系：相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点）。

（2）直线和抛物线的位置关系的判断：设直线方程：,m kx y +=抛物线方程：,22px y =两方程联立消去y 可得方程：222(22)0k x km p x m +-+=222(22)0k x km p x m +-+=，一般形式为20,Ax Bx C ++=若A=0，则直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交且只有一个交点；若A 0≠其判别式为∆=24B AC -当∆>0时，直线与抛物线相交且直线和抛物线有两个交点；当∆=0时，直线与抛物线相切且只有一个交点；当∆<0时，直线与抛物线相离，没有交点。

（注意：把直线和圆锥曲线的方程联立后得到方程20,ax bx c ++=它不一定是一元二次方程，要分析2x 的系数a ，才能确定。

如果不能确定，要分类讨论）。

（3）中点弦问题：在抛物线y 2＝2px (p ＞0)中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝p y 0.考向一：直线与抛物线的位置关系例1 已知抛物线24y x =过定点A(-2, 1)的直线l 的斜率为k,下列情况下分别求k 的取值范围：（1）l 与抛物线有且仅有一个公共点；（2）l 与抛物线恰有两个公共点；（3） l 与抛物线没有公共点.考向二：弦长及中点弦问题例2、已知抛物线x y 22=，过点)1,2(Q 作一直线交抛物线于A 、B 两点，试求弦AB 的中点轨迹方程。

2.4.3直线与抛物线的位置关系（第1课时，共1课时）考向三、对称问题例3：已知抛物线y ＝ax 2－1(a ≠0)上总有关于直线x ＋y ＝0对称的相异两点，求a 的取值范围．考向四定点与定值问题①定值问题在几何问题中，有些问题和参数无关，这就是定值问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的。

直线与抛物线的位置关系教案

直线与抛物线的位置关系教案第一章：直线与抛物线的定义及性质一、教学目标：1. 了解直线的定义及其性质。

2. 了解抛物线的定义及其性质。

3. 掌握直线和抛物线的图形特点。

二、教学内容：1. 直线的定义及性质。

2. 抛物线的定义及性质。

3. 直线和抛物线的图形特点。

三、教学步骤：1. 引入直线的定义及性质，引导学生理解直线的特点。

2. 引入抛物线的定义及性质，引导学生理解抛物线的特点。

四、教学评价：1. 学生能准确描述直线的定义及其性质。

2. 学生能准确描述抛物线的定义及其性质。

3. 学生能识别直线和抛物线的图形特点。

第二章：直线与抛物线的交点一、教学目标：1. 了解直线与抛物线的位置关系。

2. 学会求直线与抛物线的交点。

3. 掌握交点的性质和应用。

二、教学内容：1. 直线与抛物线的位置关系。

2. 求直线与抛物线的交点的方法。

3. 交点的性质和应用。

三、教学步骤：1. 引入直线与抛物线的位置关系，引导学生理解它们之间的关系。

2. 讲解求直线与抛物线交点的方法，并通过例题进行演示。

3. 让学生分组讨论并练习求直线与抛物线的交点。

四、教学评价：1. 学生能理解直线与抛物线的位置关系。

2. 学生能运用求交点的方法解决实际问题。

3. 学生能分析交点的性质和应用。

第三章：直线与抛物线的切点一、教学目标：1. 了解直线与抛物线的切点概念。

2. 学会求直线与抛物线的切点。

3. 掌握切点的性质和应用。

二、教学内容：1. 直线与抛物线的切点概念。

2. 求直线与抛物线的切点的方法。

3. 切点的性质和应用。

三、教学步骤：1. 引入直线与抛物线的切点概念，引导学生理解切点的含义。

2. 讲解求直线与抛物线切点的方法，并通过例题进行演示。

3. 让学生分组讨论并练习求直线与抛物线的切点。

四、教学评价：1. 学生能理解直线与抛物线的切点概念。

2. 学生能运用求切点的方法解决实际问题。

3. 学生能分析切点的性质和应用。

第四章：直线与抛物线的交点个数一、教学目标：1. 了解直线与抛物线交点个数与参数的关系。

抛物线与直线

辅导讲义
一、知识梳理
1、抛物线的定义
定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l （定点F 不在定直线l 上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。

思考：如果定点F 在定直线l 上，动点的轨迹是什么？ 2、抛物线的标准方程和性质
标准方程
图形
顶点对称轴
焦点准线
px y 22
=
(0,0)
x 轴
(
2
p
,0) 2
p x -
= px y 22-=
(0,0)
x 轴
(-
2
p
,0) 2
p x =
py x 22
=
(0,0)
y 轴
(0,
2p
) 2
p y -= py x 22-=
(0,0)
y 轴
(0,-
2
p ) 2
p y =
我们把上述四种位置的抛物线方程都称为抛物线的标准方程。

3、直线与抛物线
它们的位置关系无外乎三种情况，即相切、相交、相离。

具体来说：
1、相离的问题常转化为二次曲线上的点到已知直线的距离的最大值或最小值来解决；
2、只有一个公共点，对抛物线表示直线与其相切或表示与其对称轴平行；
3、有两相异的公共点，表示相割，此时直线被截线段称为圆锥曲线的弦。

常见的问题有：
（1）直线与圆锥曲线位置关系的研究。

抛物线与直线的交点问题

抛物线与直线的交点问题
引言
抛物线和直线都是数学中常见的图形。

稍微复杂一些的问题是，当给定一个抛物线和一条直线时，我们如何确定它们的交点，也就
是它们在何处相交。

本文将探讨抛物线和直线的交点问题，并介绍
求解交点的方法。

抛物线
抛物线是一个非常重要的曲线，它具有以下标准方程：
其中a、b和c是常数，确定了抛物线的形状和位置。

通过调
整这些常数的值，我们可以得到各种不同形状的抛物线。

直线
直线是最基本的几何形式之一，具有以下标准方程：
其中m和n是直线的斜率和截距。

直线的斜率决定了直线的倾斜程度，截距决定了直线和y轴的交点位置。

交点的求解
要确定抛物线和直线的交点，我们需要求解它们的方程组。

将抛物线和直线的方程代入方程组，并求解未知数x和y的值，即可得到交点的坐标。

具体而言，我们将抛物线的方程和直线的方程相等，得到以下方程组：
为了求解这个方程组，我们可以使用数值方法，例如牛顿迭代法或二分法。

这些方法可以通过逐步逼近的方式找到方程组的解。

解的存在和唯一性
需要注意的是，抛物线和直线不一定总是有交点。

它们可能相离或平行，这种情况下方程组没有解。

因此，在求解交点时，我们需要先判断抛物线和直线是否相交。

结论
抛物线和直线的交点问题是数学中常见的问题之一。

通过求解方程组，我们可以确定它们的交点坐标。

在求解过程中，需要注意解的存在性和唯一性。

抛物线与直线

探究新知例1：判断直线 y = 6与抛物线 y2 =4x的位置关系及求交点坐标？
相交(9,6)
问题:直线与抛物线的对称轴平行时都有一个交点吗？注意,当直线与抛物线的对称轴平行时有一个交点
y
O
x
探究新知
例2 已知抛物线的方程为y 2 = 4x, 直线l过定点P -2,1 , 斜率为k,k为何值时, 直线l与抛物线y 2 = 4x : 只有一个公共点;有两个公共点;没有公共点?
(2)若消元得到一次方程，则方程组只有一组解，直线和抛物线的对称轴平行或重合,为相交关系.
典型例题：
例6、已知抛物线C：y2＝4x，设直线与抛物线两交点为A、 B，且线段AB中点为M（2，1），求直线l的方程.
解：由题意可知，直线斜率一定存在，故可设的方程为y -1 k(x - 2) k 0） l l （ , 设直线与抛物线的交点坐标A(x1 , y1 ), B(x2 , y 2 ),则x1 x 2 4, y1 y 2 2
2 y1 4 x1 y y2 4 由 2 1 2 x1 x2 y1 y2 y 2 4 x2
即k AB 2
此时直线l的方程为y -1 2(x - 2),即2x - y - 3 0
y 2 4x 由消x得y 2 - 2y - 6 0 0 2x - y - 3 0
2.4.1抛物线的几何性质
喷泉
直线与圆、椭圆、双曲线的位置关系的判断方法
1、根据几何图形判断的直接判断
形
2、直线与圆锥曲线的公共点的个数
Ax+By+c=0
解的个数 f(x,y)=0(二次方程)
数
直线与椭圆位置关系把直线方程代入椭圆方程得到一元二次方程

直线与抛物线的位置关系

1、直线与圆
y
0
x
2、直线和椭圆
y
F1 0
F2
x
3、直线与双曲线
y
渐进线方程
．．
F
O
x
一、直线与抛物线位置关系种类
y 相离
O
相切
x
相交
一个交点或者两个交点
二、判断方法探讨
1、直线与抛物线的对称轴平行
y
O
例：判断直线 y = 6与抛
物线 y2 =4x的位置
关系及求交点坐标？
x
计点坐标为（9，6）
二、判断方法探讨
1、直线与抛物线的对称轴平行
变式练习：
y
若直线y=kx+1与抛物
线y2= x仅有一个公共
点，则 k 的值？
O
x
2、直线与抛物线的对称轴不平行
y
O
例：判断直线 y = x -1与
抛物线 y2 =4x 的位置关系及求弦长？
x 计算结果：
晚众叛亲离.悦悦,动作快些,这地方我一刻都不想呆.”一看见她就想起自己以前の白痴样,简直无地自容.“哎.”陈悦然开心地应下.所以,等陆羽收拾好东西出来客厅,发现早已人去楼空,留下一室の凌乱与垃圾.她没说什么,挽起袖子开始打扫卫生.傍晚时分,房东带着人来了,三下五除二就把门锁换成新の,给了陆羽一把,其余の交还给房东.陆羽顺便告诉房东退租の事,并叮嘱说：“我那舍友已经搬出去,以后她找您拿钥匙不必给.”“好,”房东太太应下,语气关切地问,“那你找到房子了？剩下の三个月你一个人交租？”“嗯.”陆羽笑笑说,“我有事要出去一趟,可能需要三两个月の时间,房租我会定期转帐の.”在人们眼里,一个十八岁就已经本科毕业の女孩跟天才儿童没区别,因此格外看重偏心.“哦,那这样吧,房租我给你减两百,”

直线与抛物线题型总结

直线与抛物线题型总结
本文将对直线与抛物线题型进行总结和归纳，帮助读者理解和掌握这一类题型。

直线题型
1. 直线的斜率问题：当已知直线上两点的坐标时，可以通过斜率公式求出直线的斜率。

斜率公式为：$m = \frac{{y_2 -
y_1}}{{x_2 - x_1}}$。

2. 直线的方程问题：已知直线上一点的坐标和直线的斜率，可以通过点斜式或一般式方程求出直线的方程。

点斜式方程为：$y - y_1 = m(x - x_1)$，一般式方程为：$Ax + By + C = 0$。

3. 直线的平行与垂直问题：两直线平行的条件是斜率相等，两直线垂直的条件是斜率的乘积为-1。

抛物线题型
1. 抛物线的顶点问题：已知抛物线的一般式方程为：$y = ax^2 + bx + c$，顶点的横坐标为 $x = -\frac{b}{2a}$，纵坐标为 $y = -
\frac{\Delta}{4a}$，其中 $\Delta = b^2 - 4ac$。

2. 抛物线的对称轴问题：对称轴是垂直于抛物线的轴线，通过顶点和焦点的中点。

3. 抛物线的焦点问题：焦点坐标为 $F = \left(\frac{b}{2a}, -
\frac{\Delta}{4a}\right)$。

总结
上述是直线与抛物线题型的基本知识和解题方法，通过掌握这些知识，可以更好地解决这一类题型。

在解题过程中，建议画出图形、列出已知条件和待求量，利用已知条件推导出方程，然后求解方程得到答案。

希望本文对读者有所帮助，可以更好地理解和应用直线与抛物线题型。