直线与抛物线的位置关系

x2 x2
6 1
OF
x
B’ B
AB 2 (x1 x2 )2 4x1x2 8
所以，线段AB的长是8。
例2.斜率为1的直线L经过抛物线 y2 = 4x 的焦点F, 且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.
解法二:由题意可知,
y
p

2,
p 2

1,
准线l
:
x

1.
A’
§2.4.2 直线与抛物线的位置关系
一、直线与抛物线位置关系种类
1、相离；2、相切；3、相交（一个交点，
两个交点）
与双曲线的
y
情况一样
O
x
例 1、已知抛物线的方程为 y2 4x ,直线 l 过 定点 P(2,1) ,斜率为 k , k 为何值时,直线 l 与抛 物线 y2 4x :⑴只有一个公共点;⑵有两个公共 点;⑶没有公共点?
解析： 抛物线的焦点为 F(1,0)，准线方程为 x＝－1.
由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋p2＋x2＋p2 ＝x1＋x2＋p， 即 x1＋x2＋2＝7，得 x1＋x2＝5，于是弦 AB 的中点 M 的横坐标为 52，因此点 M 到抛物线准线的距离为52＋1＝72.
课堂练习: 1.过抛物线 y2 = 8x的焦点,作倾斜角为 450
16 的直线,则被抛物线截得的弦长为_________
2.过点 M(0,1) 且和抛物线 C: y2 4x 仅有一个公共点的 直线的方程是__________________________.
y 1或 x 0或
联立

ykx y2 4x
1
y x1
k
消去 x 得 ky2 4 y 4 0
>0 =0 <0 相交 相切 相离
变式一:已知抛物线方程y2=4x,当b为何值时,直线 l:y=x+b与抛物线(1)只有一个公共点(2)两个公共 点(3)没有公共点.当直线与抛物线有公共点时,b的 最大值是多少?
分析:本题与例1类型相似,方法一样,通 过联立方程组求得.
(1)b=1 (2)b<1
(3)b>1,当直线与抛物线有公共点时,b的 最大值当直线与抛物线相切时取得.其值 为1
点评：本题用了分类讨论的方法.若先用数 形结合，找出符合条件的直线的条数，就不会 造成漏解。
小结：
1.直线与抛物线的位置关系：相离、相切、相交。
2.研究方法：方程组解的个数就是交点个数。注意二次 项系数可能为0.
3.弦长公式： AB
1

K
2

x1 x2
x x 2
-4
1
2
•
几何画板演示
注意： 直线与抛物线有一个公共点的情况有两种情形： 一种是直线平行于抛物线的对称轴； 另一种是直线与抛物线相切． 结论：相切一交点，一个交点不一定相切。
结论：判断直线与抛物线位置关系的方法 把直线方程代入抛物线方程
得到一元一次方程
直线与抛物线的 对称轴平行（重合）
相交（一个交点）
得到一元二次方程 计算判别式
x x 焦点弦长：AB p
zmin 1 无最大值
例 2 斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2 4x 的焦点 F, 且与抛物线相交于 A、B 两点,求线段 AB 的长.
解这题,你有什么方法呢?
法一:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(一般方法);
法二:设而不求,数形结合,活用定义,体现转化思想，运 用韦达定理,计算弦长.
例2.斜率为1的直线L经过抛物线 y2 = 4x 的焦点F, 且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.
解法一:由已知得抛物线的焦点
y
为F(1,0),所以直线AB的方程为 A’
A
y=x-1
代入方程y2 4x, 得( x 1)2 4x,
化简得x2 6x 1 0.


x1 x1
二:已知实数x、y满足方程y2=4x,求函数
z y 1 的最值 本题转化为x 过 2定点(-2,1)的直线与抛物线有公共点时
斜率的最值问题.
kmax

1 2
kmin 1
三:点(x,y)在抛物线y2=4x上运动,求函数z=x-y的最 值.
本题转化为直线y=x-z与抛物线有公共点时z的最值 问题.
A
设A(x1, y1), B(x2, y2), A, B到
准线l的距离分别为d
由抛物线的定义可知
A
,
dB
.
OF
x
AF

dA

x1

p 2

x1
1,
B’
B
BF

dB

x2

p 2

x2
1,
所以 AB AF BF x1 x2 2 8
题后感悟：
一.求抛物线弦长的一般方法
①用直线方程和抛物线方程列方程组；
②消元化为一元二次方程后，应用韦达定理，
求根与系数的关系式，而不要求出根，代入
AB
1 K2

x1 x2
x x 2
-4
1
2
二.若弦过焦点，即为焦点弦则据定义转化为
|AB| ＝ x1＋x2 +p或|AB| ＝y1＋y2+p.结合②中的结 可求解。体现了转化思想。
过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，求AB的 中点M到抛物线准线的距离．