2020届南通市启东市高二下期末数学试卷(有答案)

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2019-2020学年南通市数学高二下期末复习检测试题含解析

2019-2020学年南通市数学高二下期末复习检测试题含解析

2019-2020学年南通市数学高二(下)期末复习检测试题一、单选题(本题包括12个小题,每小题35,共60分.每小题只有一个选项符合题意) 1.设集合{|13}A x x =-<,集合2{|log (2)}B x y x ==-,则A B =I ( ) A .{|24}x x -<≤ B .{|24}x x -<< C .{|24}x x << D .{|34}x x -≤≤2.如果21()2nx x-的展开式中只有第4项的二项式系数最大,那么展开式中的所有项的系数和是( ) A .0B .256C .64D .1643.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分成6组:[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100]加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的学生人数为( )A .588B .480C .450D .1204.将5个不同的小球放入3个不同的盒子,每个盒子至少1个球,至多2个球,则不同的放法种数有( ) A .30种B .90种C .180种D .270种5.下图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为( )A .283π-B .483π-C .8π-D .1689π-6.在52x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中,2x 项的系数为( )A .40-B .40C .80-D .807.某次文艺汇演为,要将A ,B ,C ,D ,E ,F 这六个不同节目编排成节目单,如下表:如果A ,B 两个节目要相邻,且都不排在第3号位置,那么节目单上不同的排序方式有( )A .192种B .144种C .96种D .72种8.设2012(1)n nn x a a x a x a x L -=++++,若12127n a a a +++=L ,则展开式中二项式系数最大的项为( ) A .第4项B .第5项C .第4项和第5项D .第7项9.设实数x ,y 满足不等式组2,23,0,0.x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎨⎪≥≥⎩则3x y +的最小值是( )A .2B .3C .4D .510.若复数z 满足(1)2i z +=,则在复平面内,z 对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限C .第三象限D .第四象限11.(2)(3)1i i i++=+( )A .5B .5iC .6D .6i12.给出以下命题,其中真命题的个数是( )①若“p ⌝或q ”是假命题,则“p 且q ⌝”是真命题 ②命题“若a b 5+≠,则a 2≠或b 3≠”为真命题③已知空间任意一点O 和不共线的三点,,A B C ,若111OP OA OB OC 632=++u u u r u u u r u u u r u u u r,则,,,P A B C 四点共面; ④直线()y k x 3=-与双曲线22x y 145-=交于,A B 两点,若AB 5=,则这样的直线有3条;A .1B .2C .3D .4二、填空题(本题包括4个小题,每小题5分,共20分)13.若在1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中,若奇数项的二项式系数之和为32,则含4x 的系数是_____________.14.设集合A =1|2164x x N ⎧⎫∈≤≤⎨⎬⎩⎭,B ={x|y =ln(x 2-3x)},则A∩B 中元素的个数是________. 15.已知1a b ==vv ,向量c v 满足()c a b a b -+=-v v v v v ,则c v 的最大值为________. 16.某校有高一学生105人,高二学生126人,高三学生42人,现用分层抽样的方法从中抽取13人进行关于作息时间的问卷调查,设问题的选择分为“同意”和“不同意”两种,且每人都做了一种选择,下面表格中提供了被调查人答题情况的部分信息,估计所有学生中“同意”的人数为________人高二 4 高三1三、解答题(本题包括6个小题,共70分)17.在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是矩形,PA ⊥平面ABCD ,4PA AD ==,2AB =,以AC 的中点O 为球心、AC 为直径的球面交PD 于点M ,交PC 于点N .(1)求证:AM ⊥平面PCD ;(2)求直线CD 与平面ACM 所成的角的大小; (3)求点N 到平面ACM 的距离. 18.已知函数()213f x x x =++-.(1)画出函数()f x 的大致图象,并写出()f x 的值域;(2)若关于x 的不等式()21x m f x +-≥有解,求实数m 的取值范围.19.(6分)按照国家质量标准:某种工业产品的质量指标值落在[)100120,内,则为合格品,否则为不合格品.某企业有甲乙两套设备生产这种产品,为了检测这两套设备的生产质量情况,随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本对规定的质量指标值进行检测.表1是甲套设备的样本频数分布表,图1是乙套设备的样本频率分布直方图.表1:甲套设备的样本频数分布表(1)将频率视为概率,若乙套设备生产了5000件产品,则其中合格品约有多少件?(2)填写下面2×2列联表,并根据列联表判断是否有95%的把握认为这种产品的质量指标值与甲乙两套设备的选择有关:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++20.(6分)中国高铁的快速发展给群众出行带来巨大便利,极大促进了区域经济社会发展.已知某条高铁线路通车后,发车时间间隔t (单位:分钟)满足*525,t t N ≤≤∈,经测算,高铁的载客量与发车时间间隔t 相关:当2025t ≤≤时高铁为满载状态,载客量为1000人;当520t?时,载客量会在满载基础上减少,减少的人数与()220t -成正比,且发车时间间隔为5分钟时的载客量为100人.记发车间隔为t 分钟时,高铁载客量为()P t .()1求()P t 的表达式;()2若该线路发车时间间隔为t 分钟时的净收益()()24065020004tQ t P t t t =-+-(元),当发车时间间隔为多少时,单位时间的净收益()Q t t最大? 21.(6分)已知复数z 满足z =261ii-+-﹣1. (1)求复数z 的共轭复数z ;(2)若w =z +ai ,且|w |≤|z |,求实数a 的取值范围.22.(8分)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问50名职工,根据这50名职工对该部门的评分,绘制频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为[40,50),[50,60),...,[80,90),[90,100](1)求频率分布直方图中a 的值;(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率;(3)从评分在[40,60)的受访职工中,随机抽取2人,求此2人评分都在[40,50)的概率.参考答案一、单选题(本题包括12个小题,每小题35,共60分.每小题只有一个选项符合题意) 1.C 【解析】分析:解不等式,得到{}24A x x =-<<和{}2B x x =>,由集合的交集运算可得到解。

2020年江苏省南通市数学高二下期末达标测试试题含解析

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2020年江苏省南通市数学高二下期末达标测试试题一、选择题:本题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.现有4种不同品牌的小车各2辆(同一品牌的小车完全相同),计划将其放在4个车库中(每个车库放2辆则恰有2个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有( ) A .144种 B .108种 C .72种 D .36种【答案】C 【解析】 【分析】根据题意,分3步进行分析:①、在4种不同品牌的小车任取2个品牌的小车,②、将取出的2个品牌的小车任意的放进2个车库中,③、剩余的4辆车放进剩下的2个车库,相同品牌的不能放进同一个车库,分别分析每一步的情况数目,由分步计数原理计算可得答案. 【详解】解:根据题意,分3步进行分析:①、在4种不同品牌的小车任取2个品牌的小车,有C 42种取法, ②、将取出的2个品牌的小车任意的放进2个车库中,有A 42种情况,③、剩余的4辆车放进剩下的2个车库,相同品牌的不能放进同一个车库,有1种情况, 则恰有2个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有C 42A 42×1=72种, 故选:C .点睛:能用分步乘法计数原理解决的问题具有以下特点: (1)完成一件事需要经过n 个步骤,缺一不可. (2)完成每一步有若干种方法.(3)把各个步骤的方法数相乘,就可以得到完成这件事的所有方法数.2.把座位编号为1,2,3,4,5,6的六张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人,每人最多得两张,甲、乙各分得一张电影票,且甲所得电影票的编号总大于乙所得电影票的编号,则不同的分法共有( ) A .90种 B .120种 C .180种 D .240种【答案】A 【解析】 【分析】从6张电影票中任选2张给甲、乙两人,共26C 种方法;再将剩余4张票平均分给丙丁2人,共有2242C C 种方法;根据分步乘法计数原理即可求得结果. 【详解】分两步:先从6张电影票中任选2张给甲,乙两人,有26C 种分法;再分配剩余的4张,而每人最多两张,所以每人各得两张,有2242C C 种分法, 由分步原理得,共有222642C C C 90=种分法. 故选:A 【点睛】本题主要考查分步乘法计数原理与组合的综合问题.3.若6234560123456(2)(1)(1)(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x a x a x a x +=++++++++++++,则2a = A .10 B .15 C .30 D .60【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】分析:由于()()()()()66260126666621111...1x x C C x C x C x +=++=+++++++ ,与已知对比可得2a 的值1.详解:由于()()()()()66260126666621111...1x x C C x C x C x +=++=+++++++ ,与已知()()()()()()()62345601234562111111x a a x a x a x a x a x a x +=++++++++++++对比可得22615.a C ==故选B.点睛:本题考查二项式定理的应用,观察分析得到6rr a C =是关键,考查分析与转化的能力,属于中档题.4.已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与双曲线22222:1(0,0)x y C m n m n -=>>有相同的焦点12F F ,,点P 是两曲线的一个公共点,且1260F PF ︒∠=,若椭圆离心率1e =则双曲线2C 的离心率2e =( )A .2B .2C .3D .4【答案】B 【解析】 【分析】设1||PF s =,2||PF t =,由椭圆和双曲线的定义,解方程可得s ,t ,再由余弦定理,可得a ,m 与c 的关系,结合离心率公式,可得1e ,2e 的关系,计算可得所求值. 【详解】设1||PF s =,2||PF t =,P 为第一象限的交点, 由椭圆和双曲线的定义可得2s t a +=,2s t m -=, 解得s a m =+,t a m =-, 在三角形12F PF 中,1260F PF ∠=︒,可得22222222242cos6022()c s t st a m am a m am a m =+-︒=++++---, 即有22234a m c +=,可得222234a m c c+=,即为2212134e e +=,由1e =2e =,故选B . 【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义和性质,主要是离心率,考查解三角形的余弦定理,考查化简整理的运算能力,属于中档题.5.已知函数()f x 的定义域为D ,若对于,,a b c D ∀∈,(),(),()f a f b f c 分别为某三角形的三边长,则称()f x 为“三角形函数”.给出下列四个函数:①()(0)xf x e x =>②2()3(01)f x x x =+≤≤③12()(14)f x x x =≤≤④22()21x xf x +=+.其中为“三角形函数”的个数是() A .1 B .2 C .3 D .4【答案】B 【解析】 【分析】根据构成三角形条件,可知函数需满足max min min ()()()f x f x f x -<,由四个函数解析式,分别求得其值域,即可判断是否满足不等式成立. 【详解】根据题意,对于,,a b c D ∀∈,(),(),()f a f b f c 分别为某三角形的三边长,由三角形性质可知需满足max min min ()()()f x f x f x -<:对于①,()(0)xf x e x =>,如当1,1,10a b c ===时不能构成三角形,所以①不是“三角形函数”;对于②,2()3(01)f x x x =+≤≤,则[]()3,4f x ∈,满足max min min ()()()f x f x f x -<,所以②是“三角形函数”;对于③,12()(14)f x x x =≤≤,则[]()1,2f x ∈,当1,1,2a b c ===时不能构成三角形,所以③不是“三角形函数”;对于④,221()12121x x xf x +==+++,由指数函数性质可得()()1,2f x ∈,满足max min min ()()()f x f x f x -<,所以④是“三角形函数”;综上可知,为“三角形函数”的有②④, 故选:B. 【点睛】本题考查了函数新定义的综合应用,函数值域的求法,三角形构成的条件应用,属于中档题. 6.已知3,2a b ==,且()a ab ⊥-,则向量a 在b 方向上的投影为( )A .1 BC .32D .2【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】分析:由()a ab ⊥-推导出()20a a b a a b ⋅-=-⋅=,从而3cos ,2a b =,由此能求出向量a 在向量b 方向上的投影.详解:3,2a b ==,且()a ab ⊥-,()2332cos ,0a a b a a b a b ∴⋅-=-⋅=-⨯⨯=,3cos ,2a b ∴=,∴向量a 在向量b 方向上的投影为3cos ,32a ab =⨯=,故选C.点睛:本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式,属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式,一是cos a b a b θ⋅=,二是1212a b x x y y ⋅=+,主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角, cos a b a bθ=(此时a b 往往用坐标形式求解);(2)求投影,a 在b 上的投影是a b b⋅;(3),a b 向量垂直则0a b ⋅=;(4)求向量ma nb + 的模(平方后需求a b ⋅).7.已知21nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+的二项展开式的各项系数和为32,则二项展开式中x 的系数为( )A .5B .10C .20D .40【答案】B 【解析】 【分析】首先根据二项展开式的各项系数和012232n n n n n n C C C C +++==,求得5n =,再根据二项展开式的通项为211()()r rn rr n T C x x-+=,求得2r,再求二项展开式中x 的系数.【详解】因为二项展开式的各项系数和012232n n n n n n C C C C +++==,所以5n =,又二项展开式的通项为211()()r rn rr n T C x x-+==3r r n n C x -,351r -=,2r所以二项展开式中x 的系数为2510C =.答案选择B .【点睛】本题考查二项式展开系数、通项等公式,属于基础题. 8.已知1yx i i=+-,其中x 、y 是实数,i 是虚数单位,则复数x yi +的共轭复数对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限C .第三象限D .第四象限【答案】D 【解析】 【分析】 由1yx i i=+-得()11y x x i =++-,根据复数相等求出x y ,的值,从而可得复数x yi +的共轭复数,得到答案. 【详解】 由1yx i i=+-有()()()111y i x i x x i =-+=++-,其中x 、y 是实数. 所以110x y x +=⎧⎨-=⎩,解得12x y =⎧⎨=⎩,所以1+2x yi i +=则复数x yi +的共轭复数为12i -,则12i -在复平面内对应的点为()12-,. 所以复数x yi +的共轭复数对应的点位于第四象限.故选:D 【点睛】本题考查复数的运算和根据复数相等求参数,考查复数的概念,属于基础题.9.已知各棱长均相等的正三棱锥、正四棱锥、正五棱锥的侧面与底面所成角的大小分别为αβγ,,,则( ) A .αβγ== B .αβγ<< C .αβγ>> D .前三个答案都不对【答案】C 【解析】 【分析】通过作出图形,分别找出正三棱锥、正四棱锥、正五棱锥的侧面与底面所成角,通过计算余弦值比较大小即可知道角度大小关系. 【详解】如图,正三棱锥P ABC -,正四棱锥P ABCD -,正五棱锥P ABCDE -,设各棱长都为2,在正三棱锥中,取AC 中点D ,连接PD,BD ,可知PDB ∠即为侧面与底面所成角,可知,==3PD BD ,由余弦定理得1cos 3α=;同理3cos β=,11cos 12γ=,于是cos cos cos αβγ<<,而由于αβγ,,为锐角,所以αβγ>>,故选C.【点睛】本题主要考查面面角的相关计算,意在考查学生的转化能力,空间想象能力,计算能力,难度中等. 10.设()f x '是偶函数()()0f x x ≠的导函数,当()0,x ∈+∞时,()()20xf x f x -'>,则不等式()()()242019201920f x x f +-+-<的解集为( )A .(),2021-∞-B .()()2021,20192019,2017----C .()2021,2017--D .()(),20192019,2017-∞---【答案】B 【解析】 【分析】 设()()2f x F x x=,计算()0F x '>,变换得到()()20192F x F +<-,根据函数()F x 的单调性和奇偶性得到20192x +<,解得答案. 【详解】由题意()()()200xf x f x x '->>,得()()220x f x xf x '->,进而得到()()2420x f x xf x x'->,令()()2f x F x x =, 则()()()2420x f x xf x F x x'-'=>,()()224f F --=,()()()2201920192019f x F x x ++=+. 由()()()242019201920f x x f +-+-<,得()()()22019242019f x f x +-<+, 即()()20192F x F +<-.当()0,x ∈+∞时,()0F x '>,()F x ∴在()0,∞+上是增函数. 函数()f x 是偶函数,()()2f x F x x∴=也是偶函数,且()F x 在(),0-∞上是减函数, 20192x ∴+<,解得20212017x -<<-,又20190x +≠,即2019x ≠-,()()2021,20192019,2017x ∴∈----.故选:B . 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性和单调性解不等式,构造函数()()2f x F x x =,确定其单调性和奇偶性是解题的关键.11.在数学兴趣课堂上,老师出了一道数学思考题,某小组的三人先独立思考完成,然后一起讨论.甲说:“我做错了!”乙对甲说:“你做对了!”丙说:“我也做错了!”老师看了他们三人的答案后说:“你们三人中有且只有一人做对了,有且只有一人说对了.”请问下列说法正确的是( ) A .乙做对了 B .甲说对了C .乙说对了D .甲做对了【答案】B分三种情况讨论:甲说法对、乙说法对、丙说法对,通过题意进行推理,可得出正确选项. 【详解】分以下三种情况讨论:①甲的说法正确,则甲做错了,乙的说法错误,则甲做错了,丙的说法错误,则丙做对了,那么乙做错了,合乎题意;②乙的说法正确,则甲的说法错误,则甲做对了,丙的说法错误,则丙做对了,矛盾;③丙的说法正确,则丙做错了,甲的说法错误,则甲做对了,乙的说法错误,则甲做错了,自相矛盾. 故选:B. 【点睛】本题考查简单的合情推理,解题时可以采用分类讨论法进行假设,考查推理能力,属于中等题.12.在一个袋子中装有12个除颜色外其他均相同的小球,其中有红球6个、白球4个、黄球2个,从袋中随机摸出一个球,记下颜色后放回,连续摸3次,则记下的颜色中有红有黄但没有白的概率为( ) A .13B .14C .16D .18【答案】C 【解析】分析:由已知得取出的3球中有2红1黄或2黄1红,2红1黄的情况有3种,2黄1红的情况也有3种,由此能求出记下的颜色中有红有黄但没有白的概率.详解:从袋中随机摸出一个球,摸到红球、白球、黄球的概率分别为111,,236, 由已知得取出的3球中有2红1黄或2黄1红, 2红1黄的情况有3种,2黄1红的情况也有3种,∴下的颜色中有红有黄但没有白的概率为1111111332266626P =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=.故选:C.点睛:本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意相互独立事件概率计算公式的合理运用. 二、填空题:本题共4小题 13.多项式()5122x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中,含2x 项的系数是________. 【答案】200 【解析】 【分析】根据题意,由二项式定理可得,()52x +的通项公式为5152r r rr T C x -+=,令2,3r r ==,求出对应1r T +的根据题意,由二项式定理可得,()52x +的通项公式为5152r r rr T C x -+=,当2r时,可得232235280T C x x ==,当3r =时,可得323345240T C x x ==,所以多项式()5122x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中,含2x 的项为232128040200x x x x⨯+⋅=, 故多项式()5122x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中,含2x 项的系数为200. 故答案为:200 【点睛】本题考查利用二项式定理求二项展开式中某项的系数;考查运算求解能力;熟练掌握二项展开式的通项公式是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.14.已知,αβ表示两个不同的平面,m 为平面α内的一条直线,则“,αβ构成直二面角”是“m β⊥”的______条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”“或”“既不充分也不必要”). 【答案】必要不充分 【解析】 【分析】根据直二面角的定义、面面垂直的判定理、充分性、必要性的定义可以直接判断. 【详解】,αβ构成直二面角,说明平面,αβ互相垂直,但是m β⊥不一定成立,比如这两个相交平面的交线显然是平面α内的一条直线,它就不垂直于平面β;当m β⊥时, m 为平面α内的一条直线,由面面垂直的判定定理可知:,αβ互相垂直,因此,αβ构成直二面角,故由m β⊥可以推出,αβ构成直二面角,故“,αβ构成直二面角”是“m β⊥”的必要不充分条件. 故答案为:必要不充分 【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断,考查了面面垂直的判定定理. 15.正方体中异面直线与所成角的大小为______.【答案】【解析】 【分析】由正方体的性质可以知道:,根据异面直线所成角的定义,可以知道就是异面直线与所成角,根据正方体的性质可以求出的大小.【详解】如图所示:连接,因为,所以就是异面直线与所成角,而是正方体面的对角线,它们相等,故三角形是等边三角形,所以,因此异面直线与所成角的大小为.故答案为【点睛】本题考查了异面直线所成的角,掌握正方体的性质是解题的关键.16.计算233398log3(2)27-⎛⎫+-⎪⎝⎭______.【答案】1 2【解析】【分析】利用指数运算、对数运算的性质即可得出.【详解】原式2332lg3 ()23⎛⎫⨯-⎪⎝⎭=-9112442 =+-=.故答案为:12.【点睛】本题考查了指数运算性质,对数的运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2020年南通市名校数学高二下期末综合测试试题含解析

2020年南通市名校数学高二下期末综合测试试题含解析

2020年南通市名校数学高二(下)期末综合测试试题一、单选题(本题包括12个小题,每小题35,共60分.每小题只有一个选项符合题意)1.某地举办科技博览会,有3个场馆,现将24个志愿者名额分配给这3个场馆,要求每个场馆至少有一个名额且各场馆名额互不相同的分配方法共有( )种 A .222B .253C .276D .2842.某快递公司共有3人,从周一到周日的七天中,每天安排一人送货,每人至少送货2天,其不同的排法共有( )种. A .1060B .5040C .630D .2103.如图是由正方体与三棱锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为()A .B .C .D .4.函数()f x 在定义域内可导,()y f x =的图象如图所示,则导函数'()y f x =可能为( )A .B .C .D .5.函数()12ln 1xf x x x =-+的定义域( )A .()0,∞+B .()1,-+∞C .()0,1D .()()0,11,+∞U6.已知{}2|230A x x x =--<,{}|B x x a =<,若A 包含于B ,则实数a 的取值范围是( )A .()1,-+∞B .[)3,+∞C .()3,+∞D .(],3-∞7.在掷一枚图钉的随机试验中,令1,0,X ⎧=⎨⎩针尖向上针尖向下,若随机变量X 的分布列如下:X0 1P0.3p则EX =() A .0.21B .0.3C .0.5D .0.78.某单位为了了解用电量y (度)与气温x (C ︒)之间的关系,随机统计了某4天的用电量与当天气温,并制作了对照表: 气温(C ︒) 10 13 18 -1 用电量(度)38342464由表中数据得回归直线方程ˆˆˆybx a =+中的ˆ2b =-,预测当气温为4C -︒时,用电量度数约为( ) A .64 B .65C .68D .709.圆的圆心到直线的距离为A .B .C .2D .10.已知函数3()32sin f x x x x =--+,设0.3222,0.3,log 0.3a b c ===,则 A .()()()f b f a f c << B .()()()f b f c f a << C .()()()f c f b f a <<D .()()()f a f b f c <<11.在20张百元纸币中混有4张假币,从中任意抽取2张,将其中一张在验钞机上检验发现是假币,则这两张都是假币的概率是( ) A .335B .338C .217D .以上都不正确12.已知函数1()()(,)2x xx f x e e a e e aex b a b R =⋅+--+∈在1x =时取得极大值,则a 的取值范围是( ) A .[0,)+∞B .(,0)e -C .(,0)-∞D .(,)e -∞-二、填空题(本题包括4个小题,每小题5分,共20分)13.如图,在梯形ABCD 中,AB CD ∥,4AB =,3AD =,2CD =,2AM MD =u u u u v u u u u v ,如果3AC BM ⋅=-u u u v u u u u v,则AB AD ⋅=u u u v u u u v________.14.已知函数()211f x x x =+--. (1)解不等式()2f x <;(2)若不等式()1123a f x x x -≥+-+-的解集非空,求实数a 的取值范围.15.函数()f x 是定义在R 上的奇函数,对任意的x ∈R ,满足()()10f x f x ++=,且当01x <<时,()13x f x +=,则()()3log 184f f +=__________.16.在极坐标系中,点(2,)到直线ρsinθ=2的距离等于 三、解答题(本题包括6个小题,共70分)17.已知直线的参数方程:1cos sin x t y t ,,θθ=+⎧⎨=⎩(为参数),曲线的参数方程:2cos sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩,,(为参数),且直线交曲线于A ,B 两点.(1)将曲线的参数方程化为普通方程,并求时,的长度; (2)已知点,求当直线倾斜角变化时,的范围.18.已知曲线1C 的参数方程为cos 1sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(ϕ为参数),以原点O 为极点,以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为sin()14πρθ-=.(1)求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程; (2)射线OM θα=:(0)2πα<<与曲线1C 交点为O 、M 两点,射线4:ON =+πθα与曲线2C 交于点N ,求1OM ON+的最大值. 19.(6分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,已知点()2,0P ,直线122:3x t l y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数),以坐标原点为极点,以x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程是2sin cos ρθθ=.(1)求曲线C 的直角坐标方程;(2)若直线l 与曲线C 的交点为,A B ,求11PA PB+的值. 20.(6分)某医药开发公司实验室有()*n n N ∈瓶溶液,其中()m m N ∈瓶中有细菌R ,现需要把含有细菌R 的溶液检验出来,有如下两种方案: 方案一:逐瓶检验,则需检验n 次;方案二:混合检验,将n 瓶溶液分别取样,混合在一起检验,若检验结果不含有细菌R ,则n 瓶溶液全部不含有细菌R ;若检验结果含有细菌R ,就要对这n 瓶溶液再逐瓶检验,此时检验次数总共为1n +. (1)假设52n m ==,,采用方案一,求恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌R 的概率; (2)现对n 瓶溶液进行检验,已知每瓶溶液含有细菌R 的概率均为(01)P p ≤≤. 若采用方案一.需检验的总次数为ξ,若采用方案二.需检验的总次数为η. (i)若ξ与η的期望相等.试求P 关于n 的函数解析式()P f n =;(ii)若14P 1e -=-,且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望.求n 的最大值.参考数据:ln 20.69,ln3 1.10,ln5 1.61,ln 7 1.95≈≈≈=21.(6分)现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏.(Ⅰ)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率;(Ⅱ)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率; (Ⅲ)用X ,Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记,求随机变量的分布列与数学期望.22.(8分)交强险是车主必须为机动车购买的险种,若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用(基准保费)统一为a 元,在下一年续保时,实行的是费率浮动机制,保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系,发生交通事故的次数越多,费率也就越高,具体浮动情况如下表: 交强险浮动因素和浮动费率比率表浮动因素浮动比率 1A上一年度未发生有责任道路交通事故下浮10%2A上两年度未发生有责任道路交通事故下浮20%某机构为了解某一品牌普通6座以下私家车的投保情况,随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况,统计得到了下面的表格:以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率,完成下列问题:(1)按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定,950a=,记x为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用,求x的分布列与数学期望;(数学期望值保留到个位数字)(2)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车,且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车,假设购进一辆事故车亏损5000元,一辆非事故车盈利10000元:①若该销售商购进三辆(车龄已满三年)该品牌二手车,求这三辆车中至多有一辆事故车的概率;②若该销售商一次购进100辆(车龄已满三年)该品牌二手车,求他获得利润的期望值.参考答案一、单选题(本题包括12个小题,每小题35,共60分.每小题只有一个选项符合题意)1.A【解析】【分析】“每个场馆至少有一个名额的分法”相当于在24个名额之间的23个空隙中选出两个空隙插入分隔符号,则有223253C=种方法,再列举出“至少有两个场馆的名额数相同”的分配方法,进而得到满足题中条件的分配方法.【详解】每个场馆至少有一个名额的分法为223253C =种,至少有两个场馆的名额相同的分配方法有(1,1,22),(2,2,20),(3,3,18),(4,4,16),(5,5,14),(6,6,12),(7,7,10),(8,8,8),(9,9,6),(10,10,4),(11,11,2),再对场馆分配,共有1103131C +=种,所以每个场馆至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有25331222-=种, 故选A. 【点睛】该题考查的是有关形同元素的分配问题,涉及到的知识点有隔板法,在解题的过程中,注意对至少两个场馆分配名额相同的要去除. 2.C 【解析】分析:把7天分成2,2,3天3组,然后3人各选一组值班即可. 详解:7天分成2天,2天,3天3组,3人各选一组值班,共有22375322630C C A A =种,故选C. 点睛:本题主要考查分组与分配问题问题,着重考查分步乘法计数原理,意在考查综合运用所学知识解决实际问题的能力,属于中档题. 3.C 【解析】 【分析】由三视图可知,正方体的棱长为2,直三棱锥的底面是两直角边长都为2的直角三角形,高为3,由此可求得几何体的表面积. 【详解】由三视图可知,正方体的棱长为2,直三棱锥的底面是两直角边长都为2的直角三角形,高为3,故该几何体的表面积为【点睛】本题主要考查三视图的还原,几何体的表面积的计算,难度一般,意在考查学生的转化能力,空间想象能力,计算能力. 4.D 【解析】 【分析】根据函数()f x 的单调性判断出导函数()'f x 函数值的符号,然后结合所给的四个选项进行分析、判断后可得正确的结论. 【详解】由图象可知,函数()y f x =在0x <时是增函数,因此其导函数在0x <时,有()'0f x >(即函数()'f x 的图象在x 轴上方),因此排除A 、C . 从原函数图象上可以看出在区间()10,x 上原函数是增函数,所以()'0f x >,在区间()12,x x 上原函数是减函数,所以()'0f x <;在区间()2,x +∞上原函数是增函数,所以()'0f x >. 所以可排除C . 故选D . 【点睛】解题时注意导函数的符号与函数单调性之间的关系,即函数递增(减)时导函数的符号大(小)于零,由此可判断出导函数图象与x 轴的相对位置,从而得到导函数图象的大体形状. 5.A 【解析】 【分析】解不等式010xx x ⎧>⎪+⎨⎪≥⎩即得函数的定义域.【详解】由题得010,0100xx x x x x x ⎧><->⎧⎪∴∴>+⎨⎨≥⎩⎪≥⎩或 所以函数的定义域为()0,∞+. 故选A【点睛】本题主要考查函数的定义域的求法,考查对数函数和幂函数的定义域,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 6.B 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得集合A ,根据A 是B 的子集列不等式,由此求得a 的取值范围. 【详解】由()()223310x x x x --=-+<解得13x -<<,所以()13A ,=-,由于{}|B x x a =<且A 包含于B ,所以3a ≥,故a 的取值范围是[)3,+∞. 故选:B 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法,考查根据包含关系求参数的取值范围,属于基础题. 7.D 【解析】 【分析】先由概率和为1,求出p ,然后即可算出EX 【详解】因为0.31p +=,所以0.7p = 所以00.310.70.7EX =⨯+⨯= 故选:D 【点睛】本题考查的是离散型随机变量的分布列的性质及求由分布列求期望,较简单. 8.C 【解析】 【分析】先求解出气温和用电量的平均数,x y ,然后将样本点中心(),x y 代入回归直线方程,求解出$a的值,即可预测气温为4C -︒时的用电量. 【详解】 因为()10131813834246410,4044x y +++-+++====,所以样本点中心()10,40,所以$40210a =-⨯+,所以60a =$,所以回归直线方程为:ˆ260yx =-+,当4x =-时,68y =. 故选:C. 【点睛】本题考查回归直线方程的求解以及利用回归直线方程估计数值,难度较易.注意回归直线方程过样本点的中心(),x y . 9.C 【解析】 【分析】先把圆和直线的极坐标方程化成直角坐标方程,再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】 由得,所以圆的圆心坐标为(0,4),直线的直角坐标方程为, 所以圆心到直线的距离为.故选:C 【点睛】本题主要考查极坐标方程和直角坐标方程的互化,考查点到直线的距离的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题. 10.D 【解析】 【分析】对函数()y f x =求导,得出函数()y f x =在R 上单调递减,利用中间值法比较a 、b 、c 的大小关系,利用函数()y f x =的单调性得出()f a 、()f b 、()f c 三个数的大小关系.【详解】()332sin f x x x x =--+Q ,()222332cos 332310f x x x x x '∴=--+≤--+=--<,所以,函数()y f x =在R 上单调递减,0.30221a =>=Q ,2000.30.3<<,即01b <<,22log 0.3log 10c =<=,则a b c >>, Q 函数()y f x =在R 上单调递减,因此,()()()f a f b f c <<,故选D.【点睛】本题考查函数值的大小比较,这类问题需要结合函数的单调性以及自变量的大小,其中单调性可以利用导数来考查,本题中自变量的结构不相同,可以利用中间值法来比较,考查推理能力,属于中等题. 11.A 【解析】设事件A 表示“抽到的两张都是假钞”,事件B 表示“抽到的两张至少有一张假钞”, 则所求的概率即P(A|B).又()()()211244164222020,C C C C P AB P A P B C C +===, 由公式()()()24211441663|641635P AB C P A B P B C C C ====++⨯. 本题选择A 选项.点睛:条件概率的求解方法:(1)利用定义,求P(A)和P(AB),则()()(|)n AB P B A n A =.(2)借助古典概型概率公式,先求事件A 包含的基本事件数n(A),再求事件A 与事件B 的交事件中包含的基本事件数n(AB),得()()(|)n AB P B A n A =.12.D 【解析】 【分析】求出原函数的导函数,可得当a≥0时,f (x )在x =1取得极小值,不符合;当a <0时,令f′(x )=0,得x =1或ln (﹣a ),为使f (x )在x =1取得极大值,则有ln (﹣a )>1,由此求得a 的范围得答案. 【详解】 由()()212xx f x e a e e aex b =+--+,得 f′(x )=e 2x +(a ﹣e )e x ﹣ae =(e x +a )(e x ﹣e ).当a≥0时,e x +a >0,由f′(x )>0,得x >1,由f′(x )<0,得x <1. ∴f (x )在(﹣∞,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数, 则f (x )在x =1取得极小值,不符合;当a <0时,令f′(x )=0,得x =1或ln (﹣a ),为使f (x )在x =1取得极大值,则有ln (﹣a )>1,∴a <﹣e . ∴a 的取值范围是a <﹣e . 故选:D . 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值,关键是明确函数单调性与导函数符号间的关系,是中档题.二、填空题(本题包括4个小题,每小题5分,共20分) 13.32【解析】试题分析:因为122()()23233AC BM AD AB AB AD AB AD ⋅=+⋅-+=--⋅=-u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ,所以3.2AB AD ⋅=u u u r u u u r考点:向量数量积 14.(1)24,3⎛⎫- ⎪⎝⎭;(2)(,3][5,)-∞-⋃+∞. 【解析】 【分析】(1)讨论x 范围去掉绝对值符号,再解不等式.(2)将函数代入不等式化简,再利用绝对值三角不等式得到不等式右边的最小值,转化为存在问题求得答案. 【详解】解:(1)()12,212113,122,1x x f x x x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪=+--=-≤≤⎨⎪+>⎪⎪⎩,∴1222x x ⎧<-⎪⎨⎪--<⎩或11232x x ⎧-⎪⎨⎪<⎩剟或1{22x x >+<, 解得:142x -<<-或1223x -<„或无解,综上,不等式的解集是(4-,23).(2)()()123212321234f x x x x x x x +-+-=++-+--=…(当1322x -剟时等号成立), 因为不等式()1123a f x x x -+-+-…解集非空, ∴()1123mina f x x x ⎡⎤-+-+-⎣⎦…,∴14a -…, ∴14a --„或14a -…,即3a -„或5a …, ∴实数a 的取值范围是(,3][5,)-∞-⋃+∞ . 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法,绝对值三角不等式,存在问题,题型比较综合,意在考查学生的计算能力. 15.6 【解析】∵f(x)是定义在R 上的奇函数,对任意的x ∈R,满足f(x+1)+f(x)=0, ∴f(x+1)=−f(x), 则f(x+2)=−f(x+1)=f(x),则函数f(x)是周期为2的周期函数,据此可得:()()()()()()()()3log 2133333log 18log 18log 9log 236,44400,log 184 6.f f f f f f f f +=-====-==∴+=16.1 【解析】试题分析:在极坐标系中,点(2,)对应直角坐标系中坐标(,1),直线ρsinθ=2对应直角坐标系中的方程为y =2,所以点到直线的距离为1. 考点:极坐标化直角坐标三、解答题(本题包括6个小题,共70分)17. (1)2212x y +=423,(2)1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】分析:(1)联立直线和椭圆方程得到2340x x -=,∴1240,3x x ==,由点点距离公式得到AB 的长度;(2)联立直线和椭圆得到t 的二次方程,根据韦达定理得到1222211cos 2sin 1sin PA PB t t θθθ⋅=-⋅==++,进而得到范围. 详解:(1)曲线C 的参数方程:2x cos y sin αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数),曲线C 的普通方程为2212xy +=.当4πθ=时,直线AB 的方程为1y x =-,代入2212x y +=,可得2340x x -=,∴1240,3x x ==.∴44110233AB =+-= (2)直线参数方程代入2212x y +=,得()222cos 2sin 2cos 10t t θθθ++⋅-=. 设,A B 对应的参数为12,t t , ∴12222111,1cos 2sin 1sin 2PA PB t t θθθ⎡⎤⋅=-⋅==∈⎢⎥++⎣⎦. 点睛:这个题目考查了参数方程化为普通方程的方法,极坐标化为直角坐标的方法,以及极坐标中极径的几何意义,极径代表的是曲线上的点到极点的距离,在参数方程和极坐标方程中,能表示距离的量一个是极径,一个是t 的几何意义,其中极径多数用于过极点的曲线,而t 的应用更广泛一些. 18.(1)2cos ρθ=,0x y -+=;(2【解析】 【分析】(1)先将曲线1C 的参数方程化为普通方程,再由x cos y sin ρθρθ=⎧⎨=⎩转化为极坐标方程,将曲线2C 的极坐标利用两角差的正弦公式展开,由cos xsin yρθρθ=⎧⎨=⎩转化为直角坐标方程;(2)点M 和点N 的极坐标分别为()1,ρα,21,4ρα⎛⎫+⎪⎝⎭,将点M 、N 的极坐标分别代入曲线1C 、2C 的极坐标方程,得出1ρ、2ρ的表达式,再利用辅助角公式计算出1=OM ON+121ρρ+的最大值。

2020年南通市数学高二第二学期期末统考试题含解析

2020年南通市数学高二第二学期期末统考试题含解析
3.《九章算术》中有如下问题:“今有勾八步,股一十五步,问勾中容圆,径几何? ”其大意:“已知直角三角形两直角边长分别为 步和 步,问其内切圆的直径为多少步?”现若向此三角形内随机投一粒豆子,则豆子落在其内切圆外的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
由题意可知:直角三角向斜边长为17,由等面积,可得内切圆的半径为: 落在内切圆内的概率为 ,故落在圆外的概率为
又由 得 ,所以②不正确.
可得 在 上单调递增,在 上单调递减,在 上单调递增,
∴ 的极大值为 ,极小值为 ,
又 ,
∴ ,
∴ 的最大值与最小值之和等于零.所以③正确.
综上可得①③正确.
故选C.
【点睛】
本题考查导数的几何意义的应用以及函数的极值、最值的求法,考查运算能力和应用能力,属于综合问题,解答时需注意各类问题的解法,根据相应问题的解法求解即可.
本题选择D选项.
点睛:已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象求其解析式时,A比较容易看图得出,困难的是求待定系数ω和φ,常用如下两种方法:
(1)由 即可求出ω;确定φ时,若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0,则令ωx0+φ=0(或ωx0+φ=π),即可求出φ.
所以不同的排法种数为 ,
故选C项.
【点睛】
本题考查排列问题,利用插空法解决不相邻问题,属于简单题.
10.已知函数 ( , )的图象如图所示,则 的解析式为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
结合函数图像可得: , ,
结合周期公式有: ,
且当 时, ,
令 可得: ,
据此可得函数的解析式为: .

江苏省南通市2020年高二下数学期末联考试题含解析

江苏省南通市2020年高二下数学期末联考试题含解析

江苏省南通市2020年高二(下)数学期末联考试题一、单选题(本题包括12个小题,每小题35,共60分.每小题只有一个选项符合题意)1.若,x y 满足约束条件25023050x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩,则z x y =+的最大值为( )A .9B .5C .11D .32.已知()f x 是定义在R 上的可导函数,()f xy e '=的图象如下图所示,则()y f x =的单调减区间是( )A .(),1-∞-B .(),2-∞C .()0,1D .()1,23.已知(),0F c 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点,过原点O 的直线与双曲线交于A ,B 两点,若AF BF ⊥且ABF ∆的周长为42a c +,则该双曲线的离心率为( ) A .32B .52C .103D .1024.若90件产品中有5件次品,现从中任取3件产品,则至少有一件是次品的取法种数是( ). A .55128C CB .12589C CC .339085C C - D .329085C C -5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,1015a =,且27S S =,则8a =( ) A .6B .7C .8D .96.函数()cos f x x x =在点(0,(0))f 处的切线方程为( ) A .0y =B .20x y -=C .0x y +=D .0x y -=7.已知复数12z z ,在复平面内的对应点关于实轴对称,13z i =-(i 为虚数单位),则12z z =( ) A .4355i - B .4355i -+ C .4355i -- D .4355i + 8.已知函数2()()f x x a =-,且'(1)2f =,则a =( ) A .1-B .2C .1D .09.等比数列{}n a 的各项均为正数,且463718a a a a +=,则31323339log log log log a a a a +++⋯+=( )A .12B .10C .9D .32log 5+10.函数2()lg(6)f x x x =-的单调递减区间为( ) A .(0,6)B .(0,3]C .[3,)+∞D .[3,6)11.已知直线的参数方程为(为参数),则的倾斜角是A .B .C .D .12.()622x x +-的展开式中2x 的系数是( ) A .-1152B .48C .1200D .2352二、填空题(本题包括4个小题,每小题5分,共20分)13.设函数()ln()1f x x k =++,()x g x e =. 若12()()f x g x =, 且12x x -的最小值为-1,则实数k 的值为__________.14.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,满足()()2f x f x +=,若[]0,1x ∈时,()21x f x =-,则函数()ln ||y f x x =-的零点个数为___________.15())25332m i m R i-=∈+其中,则实数m =_______.16.一袋中有大小相同的4个红球和2个白球,给出下列结论:①从中任取3球,恰有一个白球的概率是35;②从中有放回的取球6次,每次任取一球,则取到红球次数的方差为43; ③从中有放回的取球3次,每次任取一球,则至少有一次取到红球的概率为2627. 其中所有正确结论的序号是______ . 三、解答题(本题包括6个小题,共70分) 17.已知函数()ln(24)x f x e x b =-+-,b 为实数. (1)当0b =时,求函数()f x 在点(1,)a -处的切线方程; (2)当b Z ∈,且()0f x ≥恒成立时,求b 的最大值.18.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,已知17a =-,416S =-. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式;(Ⅱ)求n S ,并求n S 的最小值.19.(6分)已知函数()()()22xf x x mx m e m m R =--+∈.(1)若函数()f x 在0x =处取得极值,求m 的值和函数()f x 的单调区间; (2)若关于x 的不等式()0f x >在()0,∞+上恒成立,求实数m 的取值范围.20.(6分)一条隧道的横断面由抛物线弧及一个矩形的三边围成,尺寸如图所示(单位:)m ,一辆卡车空车时能通过此隧道,现载一集装箱,箱宽3m ,车与箱共高4.5m ,此车是否能通过隧道?并说明理由.21.(6分)在平面直角坐标系中,直线过点,且倾斜角为,在极坐标系(与平面直角坐标系取相同的长度,以原点为极点,轴的非负半轴为极轴)中,曲线的极坐标方程为.(1)求直线的参数方程与曲线的直角坐标方程; (2)设曲线与直线交于点,求.22.(8分)已知9987123910(1)x a x a x a x a x a -=+++++L .(1)求1a 和4a 的值;(2)求式子2410a a a +++L 的值.参考答案一、单选题(本题包括12个小题,每小题35,共60分.每小题只有一个选项符合题意) 1.A 【解析】先作出不等式组所表示的可行域,然后平移直线z x y =+,观察直线z x y =+在x 轴上的截距取最大值时对应的最优解,将最优解代入函数即可得出答案。

2020-2021学年江苏省南通市高二(下)期末数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年江苏省南通市高二(下)期末数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年江苏省南通市高二(下)期末数学试卷一、单选题(本大题共8小题,共40.0分)1.已知集合A={x|−1≤x≤2},B={x|x2<4x,x∈N},则A∩B=()A. [0,2]B. (0,2]C. {0,1,2}D. {1,2}2.已知复数z=−12+√32i,则z2+z=()A. −1B. 1C. 12+√32i D. √32−12i3.已知a=π−2,b=−log25,c=log213,则()A. b>a>cB. c>b>aC. a>c>bD. a>b>c4.已知等比数列{a n}的前6项和为1894,公比为12,则a6=()A. 738B. 34C. 38D. 245.英国数学家泰勒(B.Taylor,1685−1731)发现了如下公式:sinx=x−x33!+x55!−x7 7!+⋯.根据该公式可知,与−1+13!−15!+17!−⋯的值最接近的是()A. cos57.3°B. cos147.3°C. sin57.3°D. sin(−32.7°)6.设F1,F2为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点.点P在C上,且PF1,F1F2,PF2成等比数列,则C的离心率的最大值为()A. 12B. 23C. 34D. 17.为贯彻落实《中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的文件精神,某学校推出了《植物栽培》、《手工编织》、《实用木工》、《实用电工》4门校本劳动选修课程,要求每个学生从中任选2门进行学习,则甲、乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的概率为()A. 23B. 13C. 16D. 1128.若x1,x2∈(0,π2),则“x1<x2”是“x2sinx1>x1sinx2”成立的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件二、多选题(本大题共4小题,共20.0分)9.如图是函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象,则()A. f(x)的最小正周期为πB. 图象关于(−2π3,0)对称C. f(−π12)=1D. f(x)的图象向右平移π6个单位,可以得到y =cos2x 的图象10. 已知四棱锥P −ABCD 的底面是矩形,PD ⊥平面ABCD ,则( )A. ∠PCD 是PC 与AB 所成的角B. ∠PAD 是PA 与平面ABCD 所成的角C. ∠PBA 是二面角P −BC −A 的平面角D. 作AE ⊥PB 于E ,连结EC ,则∠AEC 是二面角A −PB −C 的平面角11. 过抛物线C :y 2=2px(p >0)的焦点F 的直线与C 相交于P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)两点.若|PQ|的最小值为6,则( )A. 抛物线C 的方程为y 2=6xB. PQ 的中点到准线的距离的最小值为3C. y 1y 2=−36D. 当直线PQ 的倾斜角为60°时,F 为PQ 的一个四等分点12. 在△ABC 中,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,则下列命题正确的是( )A. 若a ⃗ ⋅b ⃗ <0,则△ABC 为钝角三角形B. a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ ⋅c ⃗ +c ⃗ ⋅a ⃗ <0C. 若a ⃗ ⋅b ⃗ >b ⃗ ⋅c ⃗ ,则|a ⃗ |<|c ⃗ |D. 若|a ⃗ −b ⃗ |=|c ⃗ −b ⃗ |,则|a ⃗ |=|c ⃗ | 三、单空题(本大题共4小题,共20.0分)13. 若(x +√a)6的展开式中x 的系数为30,则a = ______ .14. 某公司于2021年1月推出了一款产品A ,现对产品上市时间x(单位:月)和市场占有率y 进行统计分析,得到如表数据:x 1 2 3 4 5 y0.0020.0050.0100.0150.018由表中数据求得线性回归方程为ŷ=0.0042x+â,则当x=10时,市场占有率y 约为______ .15.已知f(x)是奇函数,当x<0时,f(x)=ln ax.若f(e2)=1,则a=______ .16.一个正四棱台的侧面与底面所成的角为60°,且下底面边长是上底面边长的2倍.若该棱台的体积为7√36,则其下底面边长为______ ,外接球的表面积为______ .四、解答题(本大题共6小题,共70.0分)17.设等差数列{a n}的前n项和为S n,且a1=0,S6=3(a7−1).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=2a n,求满足不等式1b1+1b2+1b3+⋯+1b n>14(b1+b2+b3+⋯+b n)的正整数n的集合.18.在①asinB=bsin B+C2;②AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =2√33S;③√3asinC+acosC=b+c这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并回答问题.问题:在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,S为△ABC的面积,D是BC的中点.若a=√7,b=2,且______,求A及AD的长.19.某中学高三年级组为了解学生主动预习与学习兴趣是否有关,随机抽取一个容量为n的样本进行调查.调查结果表明,主动预习的学生占样本容量的1315,学习兴趣高的学生占样本容量的23,主动预习且学习兴趣高的学生占样本容量的35.(1)完成下面2×2列联表.若有97.5%的把握认为主动预习与学习兴趣有关,求样本容量n 的最小值;(2)该校为了提高学生的数学学习兴趣,用分层抽样的方法从“学习兴趣一般”的学生中抽取10人,组成数学学习小组,现从该小组中随机抽取3人进行摸底测试,记3人中“不太主动预习”的人数为X ,求X 的分布列和数学期望E(X). 附:K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n =a +b +c +d .20. 如图,在四棱锥P −ABCD 中,PD ⊥平面ABCD ,AB//CD ,∠BAD =60°,AB =AD =12CD =2,E 为棱PD 上的一点,且DE =2EP =2.(1)证明:PB//平面AEC ; (2)求二面角A −EC −D 的余弦值.21. 设双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,双曲线C 的左、右准线与其一条渐近线y =2x 的交点分别为A ,B ,四边形AF 1BF 2的面积为4. (1)求双曲线C 的方程;(2)已知l 为圆O :x 2+y 2=43的切线,且与C 相交于P ,Q 两点,求OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .22. 设函数f(x)=ax −1+e x ,已知x =0是函数g(x)=f(x)−2x 的极值点.(1)求a ;(2)当x ∈[0,π2)时,若f(x)≥msin2x ,求实数m 的取值范围.答案和解析1.【答案】D【解析】解:∵集合A ={x|−1≤x ≤2},B ={x|x 2<4x,x ∈N}={x|0<x <4,x ∈N}={1,2,3}, ∴A ∩B ={1,2}. 故选:D .求出集合A ,B ,由此能求出A ∩B .本题考查交集的求法,考查交集定义、不等式性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.2.【答案】A【解析】解:∵z =−12+√32i ,∴z 2+z =z(z +1)=(−12+√32i)(12+√3i)=(√32i)2−(12)2=−1.故选:A .根据已知条件,运用复数的运算法则,即可求解.本题考查了复数代数形式的乘法运算,需要学生熟练掌握公式,属于基础题.3.【答案】C【解析】解:∵a =π−2=1π2,∴0<a <1, ∵b =−log 25=log 215,c =log 213,15<13,∴log 215<log 213,即b <c <0.∴a >c >b , 故选:C .利用对数函数和指数函数的性质求解.本题考查三个数的大小的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意对数函数和指数函数的性质的合理运用.4.【答案】B【解析】解:根据题意,等比数列{a n}的前6项和为1894,公比为12,则有S6=a1(1−q6)1−q =1894,解可得a1=24,则a6=a1q5=34;故选:B.根据题意,由等比数列的前n项和公式可得S6=a1(1−q6)1−q =1894,解可得a1的值,由等比数列的通项公式计算可得答案.本题考查等比数列的求和,涉及等比数列的通项公式,属于基础题.5.【答案】B【解析】解:由题意可知,sin(−1)=−1+13!−15!+17!−⋯,因为1弧度≈57.3°,所以sin(−1)≈sin(−57.3°),由诱导公式可得sin(−α)=−sinα,sinα=cos(π2−α),cos(π−α)=−cosα,所以sin(−57.3°)=−sin57.3°=−cos32.7°=cos(180°−32.7°)=cos147.3°,则与−1+13!−15!+17!−⋯的值最接近的是cos147.3°.故选:B.由题意得到sin(−1)=−1+13!−15!+17!−⋯,结合1弧度≈57.3°以及诱导公式进行化简,即可得到答案.本题考查了简单的合情推理的应用,主要考查了三角函数诱导公式的运用,弧度制与角度制关系的应用,考查了逻辑推理能力与化简运算能力,属于基础题.6.【答案】A【解析】解:因为P在椭圆上,由椭圆的定义得PF1+PF2=2a①;由PF1,F1F2,PF2成等比数列,所以(2c)2=PF1⋅PF2②;由均值不等式PF1+PF22≥√PF1⋅PF2及①②,得a≥2c;所以e=ca ≤12,当且仅当PF1=PF2时,等号成立.故选:A.利用定义得到PF1,PF2的等量关系,再结合题目条件及基本不等式建立a,c的不等关系,进而求最值.本题考查椭圆中焦点三角形的问题,重点考查椭圆的定义及利用不等式求最值,属于中档题.7.【答案】A【解析】解:某学校推出了《植物栽培》、《手工编织》、《实用木工》、《实用电工》4门校本劳动选修课程,要求每个学生从中任选2门进行学习,甲、乙两名同学的选课包含的基本事件个数n=C42C42=36,甲、乙两名同学的选课中恰有一门课程相同包含的基本事件个数m=C42C21C21=24,则甲、乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的概率为P=mn =2436=23.故选:A.甲、乙两名同学的选课包含的基本事件个数n=C42C42=36,甲、乙两名同学的选课中恰有一门课程相同包含的基本事件个数m=C42C21C21=24,由此能求出甲、乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的概率.本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.8.【答案】C【解析】解:∵x1,x2∈(0,π2),∴要使x2sinx1>x1sinx2即使sinx1x1>sinx2x2,令f(x)=sinxx ,x∈(0,π2),f′(x)=xcosx−sinxx2,令ℎ(x)=xcosx−sinx,ℎ′(x)=cosx−xsinx−cosx=−xsinx<0,故ℎ(x)=xcosx−sinx在(0,π2)上为减函数,且ℎ(0)=0,故f′(x)<0,故f(x)=sinxx 在(0,π2)上为减函数,故“x 1<x 2”是“sinx 1x 1>sinx 2x 2”的充要条件,即“x 1<x 2”是“x 2sinx 1>x 1sinx 2”成立的充要条件, 故选:C . 由题意转化为判断sinx 1x 1>sinx 2x 2,从而构造函数f(x)=sinx x,x ∈(0,π2),利用导数判断函数的单调性,从而求得.本题考查了充分、必要条件的判断及函数的单调性的判断,通过构造函数,利用导数判断函数的单调性,从而判断充分、必要条件,其中构造函数并利用导数判断函数的单调性为难题,属于中档题.9.【答案】AC【解析】解:由图象可知,T2=2π3−π6=π2,所以f(x)的最小正周期为π, 故选项A 正确; 因为T =2πω=π,可得ω=2,又(π6,0)为“五点法”中的第二个点, 则2×π6+φ=π2,解得φ=π6, 所以f(x)=cos(2x +π6), 因为f(−2π3)=cos[2×(−2π3)+π6]≠0, 则(−2π3,0)不是f(x)的对称中心,故选项B 错误;f(−π12)=cos[2×(−π12)+π6]=1,故选项C 正确;f(x)=cos(2x +π6)的图象向右平移π6个单位, 可得函数y =cos[2(x −π6)+π6]=cos(2x −π6), 故选项D 错误. 故选:AC .利用图象求出函数的最小正周期,即可判断选项A ,由周期公式求出ω,由特殊点求出φ,即可得到函数f(x)的解析式,求解函数值即可判断选项B,C,利用图象变换求出变换后的解析式,即可判断选项D.本题考查了三角函数图象和性质的综合应用,主要考查了三角函数解析式的求解,周期公式的应用,三角函数对称中心的理解与应用,三角函数的图象变换等,考查了逻辑推理能力与化简运算能力,属于中档题.10.【答案】AB【解析】解:作出图象如图所示,因为ABCD是矩形,则AB//CD,所以∠PCD是PC与AB所成的角,故选项A正确;因为PD⊥平面ABCD,则PA在平面ABCD内的射影为AD,所以∠PAD是PA与平面ABCD所成的角,故选项B正确;因为PD⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,则BC⊥PD,又BC⊥CD,CD∩PD=D,CD,PD⊂平面PCD,所以BC⊥平面PCD,PC⊂平面PCD,则PC⊥BC,又CD⊥BC,故∠PCD为二面角P−BC−A的平面角,故选项C错误;作AE⊥PB于E,连结EC,因为没有条件可以判断EC是否垂直PB,所以不能确定∠AEC是二面角A−PB−C的平面角,故选项D错误.故选:AB.利用异面直线所成角的定义判断选项A,利用线面角的定义判断选项B,由二面角的平面角的定义判断选项C,D.本题考查了空间角的理解,解题的关键是掌握异面直线所成角的定义、线面所成角的定义、二面角的平面角的定义,考查了逻辑推理能力,属于中档题.11.【答案】ABD【解析】解:当斜率不存在时,即PQ过抛物线的焦点,且垂直x轴,∴y2=2p⋅p2,∴|PQ|=2p,当斜率存在时,设直线PQ的方程为y=k(x−p2),设P(x1,y1),P(x2,y2),联立直线PQ与抛物线方程{y=k(x−p2)y2=2px,可得k2x2−(k2p+2p)x+k2p24=0①,由韦达定理,可得x1+x2=k2p+2pk2=p+2pk2,由抛物线的定义,可得|PQ|=x1+p2+x2+p2=2p+2pk2>2p,综合以上两种情况可得,当斜率不存在时,即PQ过抛物线的焦点,且垂直x轴,|PQ|取得最小值,∵|PQ|的最小值为6,∴2p=6,即p=3,∴抛物线的方程为y2=6x,故A选项正确,∵PQ的中点到准线的距离最小值为p2+p2=p=3,故B选项正确,∵当斜率不存在时,两交点坐标为(p2,p),(p2,−p),∴y1y2=−p2=−9,故C选项错误,当直线PQ的倾斜角为60°时,可得k=√3,∴|PQ|=2p+2p3=6,解得p=94,将k=√3,代入①中,可得12x2−20px+3p2=0,解得两根为3p2,p 6,不妨设,x1=3p2,x2=p6,∴由抛物线得的定义可得,|PF|=3p2+p2=2p,|FQ|=16p+12p=2p3,即|PQ|=|PF|+|FQ|=8p3,∴|FQ|=14|PQ|,即F为PQ的一个四等分点,故D选项正确.故选:ABD.由题意可知,当斜率不存在时,即PQ过抛物线的焦点,且垂直x轴,即|PQ|为通径时,|PQ|取得最小值,再结合抛物线的定义与性质,即可求解.本题考查了抛物线的定义与性质,需要学生掌握通径的概念,以及如何证明通径最短,需要学生较强的综合能力,属于难题.12.【答案】BD【解析】解:对于A ,a ⃗ ⋅b ⃗ <0⇔BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ <0⇔CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ >0⇔|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cosC >0⇔cosC >0, 又C ∈(0,π),所以C ∈(0,π2),故不能判断△ABC 是钝角三角形,故 A 错误; 对于B ,a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ ⋅c ⃗ +c ⃗ ⋅a ⃗ <0⇔|a ⃗ |⋅|b ⃗ |⋅cos(π−C)+|b ⃗ |⋅|c ⃗ |⋅cos(π−A)+|c ⃗ |⋅|a ⃗ |⋅cos(π−B)<0, ⇔|a ⃗ |⋅|b ⃗ |⋅cosC +|b ⃗ |⋅|c ⃗ |⋅cosA +|c ⃗ |⋅|a ⃗ |⋅cosB >0,⇔|a ⃗ |⋅|b ⃗ |⋅|a ⃗ |2+|b ⃗ |2−|c ⃗ |22|a ⃗ |⋅|b⃗ |+|b ⃗ |⋅|c ⃗ |⋅|b ⃗ |2+|c ⃗ |2−|a ⃗ |22|b ⃗ |⋅|c ⃗ |+|c ⃗ |⋅|a ⃗ |⋅|c ⃗ |2+|a ⃗ |2−|b⃗ |22|c ⃗ |⋅|a ⃗ |>0,⇔|a ⃗ |2+|b ⃗ |2+|c ⃗ |2>0, 显然成立,故B 正确; 对于C ,a ⃗ ⋅b ⃗ >b ⃗ ⋅c ⃗ ⇔|a ⃗ |⋅|b ⃗ |⋅cos(π−C)>|b ⃗ |⋅|c ⃗ |⋅cos(π−A)⇔|a ⃗ |cosC <|c ⃗ |⋅cosA , 不能得到|a ⃗ |与|c ⃗ |的大小关系,故C 错误; 对于D ,|a ⃗ −b ⃗ |=|c ⃗ −b ⃗ |⇔|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⇔|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |, 设AB 的中点为M ,BC 的中点为N ,则CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 于是|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |, 在△BCM 中,由余弦定理可得 cosB =BM 2+BC 2−MC 22BM⋅BC=14BA 2+BC 2−MC 2BA⋅BC,在△BNA 中,由余弦定理可得 cosB =BN 2+BA 2−AN 22BN⋅BA=14BC 2+BA 2−AN 2BC⋅BA,所以14BA 2+BC 2−MC 2BA⋅BC=14BC 2+BA 2−AN 2BC⋅BA,又MC =AN ,所以BA =BC ,即|a ⃗ |=|c ⃗ |.故D 正确. 故选:BD .对于A ,a ⃗ ⋅b ⃗ <0等价于cosC >0,即可判断A 错误;对于B ,a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ ⋅c ⃗ +c ⃗ ⋅a ⃗ <0等价于|a ⃗ |2+|b ⃗ |2+|c ⃗ |2>0,即可判断B 正确;对于C ,a ⃗ ⋅b ⃗ >b ⃗ ⋅c ⃗ ,等价于|a ⃗ |cosC <|c ⃗ |⋅cosA ,即可判断C 错误;对于D ,|a ⃗ −b ⃗ |=|c ⃗ −b ⃗ |等价于|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,设AB 的中点为M ,BC 的中点为N ,则|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,再结合余弦定理可判断D 正确. 本题考查平面向量数量积的线性运算和数量积运算,考查余弦定理的应用,考查数学运算和直观想象的核心素养,属于难题.13.【答案】√255【解析】解:因为(x +√a)6的展开式的通项公式为T r+1=C 6r x 6−r ⋅(√a)r ,、令6−r =1,则r =5,所以T 6=C 65⋅(√a)5x ,因为x 的系数为30,则C 65⋅(√a)5=30,解得a =√255.故答案为:√255.利用二项展开式的通项公式,求出r 的值,然后列出关于a 的等式,求解即可. 本题考查了二项式定理的应用,特定项的求解,二项展开式的通项公式的应用,考查了逻辑推理能力与运算能力,属于基础题.14.【答案】0.0394【解析】解:由题意,x −=1+2+3+4+55=3,y −=0.002+0.005+0.010+0.015+0.0185=0.01,因为线性回归方程为ŷ=0.0042x +a ̂,则a ̂=0.01−0.0042×3=−0.0026, 所以ŷ=0.0042x −0.0026,将x =10代入,可得y ̂=0.0042×10−0.0026=0.0394. 故答案为:0.0394.先求出样本中心,再代入线性回归方程,即可求出a ^,从而得到线性回归方程,将x =10代入求解即可.本题考查了线性回归方程的求解,要掌握线性回归方程必过样本中心这一知识点,考查了逻辑推理能力与运算能力,属于中档题.15.【答案】−e【解析】解:根据题意,f(x)是奇函数,若f(e 2)=1,则f(−e 2)=−1, 当x <0时,f(x)=ln ax ,则f(−e 2)=ln(a−e 2)=−1,则a =−e , 故答案为:−e .根据题意,由函数的奇偶性可得f(−e 2)=−1,结合函数的解析式计算可得答案. 本题考查函数奇偶性的性质以及应用,涉及函数值的计算,属于基础题.16.【答案】235π4【解析】解:设正四棱台下底面边长为2x , 依题意可得,正四棱台的高ℎ=√32x ,∵棱台的体积为7√36,∴13⋅(x 2+4x 2+√x 2⋅4x 2)⋅√32x =7√36, 解得x =1,则正四棱台的下底面边长为2;∴正四棱台上底面对角线长为√2,下底面对角线长为2√2,设上底面中心为O 1,下底面中心为O 2,四棱台外接球半径为R ,若外接球球心O 在线段O 1O 2上,由√R 2−(√22)2+√R 2−(√2)2=√32,此方程无解;若外接球球心O 在线段O 1O 2的延长线上,由√R 2−(√22)2−√R 2−(√2)2=√32,解得:解得:R 2=3516,外接球的表面积为4π×3516=354π.故答案为:2;354π.设正四棱台下底面边长为2x ,可得正四棱台的高ℎ=√32x ,再由棱台体积公式列式求解x ,则下底面边长可求;设上底面中心为O 1,下底面中心为O 2,四棱台外接球半径为R ,由棱台的高相等分类列式求得R ,则外接球表面积可求.本题考查多面体的外接球,考查空间想象能力与思维能力,考查运算求解能力,是中档题.17.【答案】解:(1)设等差数列{a n }的公差为d ,因为a 1=0,S 6=3(a 7−1),所以15d =3(6d −1),解得d =1, 所以数列{a n }的通项公式为a n =n −1; (2)因为b n =2a n =2n−1, 所以b 1+b 2+b 3+⋅⋅⋅+b n =1−2n 1−2=2n −1, 所以1b 1+1b 2+1b 3+⋯+1b n=1−(12)n1−12=2[1−(12)n ],因为1b 1+1b 2+1b 3+⋯+1b n>14(b 1+b 2+b 3+⋯+b n ),所以2[1−(12)n ]>14(2n −1), 即22n −9×2n +8<0, 解得1<2n <8, 所以0<n <3, 又n 为正整数, 所以n =1,2,故正整数n 的集合为{1,2}.【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d ,将已知的等式用d 表示,求出d ,由等差数列通项公式求解即可;(2)利用等比数列的求和公式表示出不等式,然后求出n 的取值范围,即可得到答案.本题考查了等差数列通项公式的运用,等比数列求和公式的应用以及指数不等式的解法,考查了逻辑推理能力与化简运算能力,属于中档题.18.【答案】解:①asinB =bsinB+C 2,由正弦定理可得:sinAsinB =sinBsinB+C 2,又因为B ∈(0,π),所以sinB ≠0,所以sinA =sinπ−A 2=cos A2,即2sin A2cos A2=cos A2,在三角形中,A ∈(0,π),则A2∈(0,π20, 所以cos A2≠0,所以可得sin A2=12, 所以A2=π6或56π, 可得A =π3或53π(舍)由正弦定理可得asinA =bsinB ,而a =√7,b =2, 所以sinB =ba sinA =√7⋅√32=√3√7, cosB =√7,cosC =−cos(B +A)=−cosBcosA +sinAsinB =√7⋅12+√32√3√7=2√7,在△ADC 中,DC =a 2=√72, 由余弦定理可得AD =√AC 2+CD 2−2AC ⋅DC ⋅cosC =74√7212√7=√192; ②AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2√33S ;所以可得cbcosA =2√33⋅12bcsinA , 所以可得tanA =√3,A ∈(0,π), 所以A =π3,后面解法同①;③√3asinC +acosC =b +c ,由正弦定理可得:√3sinAsinC +sinAcosC =sinB +sinC , 在三角形中,sinB =sin(A +C)=sinAcosC +cosAsinC , 所以√3sinAsinC =cosAsinC +sinC ,sinC ≠0, 所以√3sinA −cosA =1,即2sin(A −π6)=1, 所以sin(A −π6)=12, 所以A −π6=π6或A −π6=56π,可得A =π3或A =π(舍), 后面计算同①,综上所述:A =π3,AD =√192.【解析】由所给的①或②或③中的条件可得A 角,再由a ,b 边求出B 的正弦,进而求出余弦值,由三角形的内角和为π,求出cos C 的值,在三角形ADC 中由余弦定理可得AD 的值.本题考查三角形的余弦定理,正弦定理,面积公式的应用,属于中档题.19.【答案】解:(1)2×2列联表如下:则K 2=n(35n⋅115n−415n⋅115n)21315n⋅215n⋅23n⋅13n =n 52,因为有97.5%的把握认为主动预习与学习兴趣有关, 所以n52≥5.024,解得n ≥251.248, 结合题意,正整数n 是15的倍数, 所以n 的最小值为270;(2)由(1)可知,“学习兴趣一般”的学生中,“主动预习”与“不太主动预习”的学生人数之比为4:1,因此用分层抽样的方法,从“学习兴趣一般”的学生中抽取10人中,“不太主动预习”的人数为2, 所以X ~H(3,2,10), 所以P(X =0)=C 83C 103=715,P(X =1)=C 21C 82C 103=715P(X =2)=C 22C 81C 103=115,所以X 的分布列为:X 0 1 2P715715115则E(X)=3×210=35.【解析】(1)作出2×2列联表,求出K2的值,由题意结合临界表中的数值,列出关于n 的不等式,求出n的范围,即可得到答案;(2)先求出从“学习兴趣一般”的学生中抽取10人中,“不太主动预习”的人数,利用X~H(3,2,10),求出其对应的概率,列出分布列,由数学期望的计算公式求解即可.本题考查了独立性检验的应用,超几何分布数学期望计算公式的运用,离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用,考查了逻辑推理能力与化简运算能力,属于中档题.20.【答案】(1)证明:连结BD交AC于点O,连结OE,在底面ABCD中,因为AB//CD,AB=12CD,由△ABO∽△CDO,可得DOOB =CDAB=2,因为DE=2EP,即DEEP=2,所以在△BDP中,DOOB =DEEP,故E O//PB,因为EO⊂平面AEC,PB⊄平面AEC,所以PB//平面AEC;(2)解:取AB的中点H,连结DH,因为∠BAD=60°,AB=AD,所以△ABD为等边三角形,则DH⊥AB,因为AB//CD,则DH⊥CD,因为PD⊥平面ABCD,又DH,CD⊂平面ABCD,所以PD⊥DH,PD⊥CD,以点D为坐标原点,建立空间直角坐标如图所示,因为DH⊥CD,PD⊥DH,PD∩CD=D,PD,CD⊂平面PCD,则DH⊥平面PCD,因为AD=2,∠BAD=60°,所以DH =√3,平面PCD 的一个法向量为n ⃗ =(√3,0,0), 因为AB =12CD =2,DE =2EP =2, 故A(√3,−1,0),C(0,4,0),E(0,0,2), 所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,5,0),AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1,2), 设平面ACE 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z), 则{m ⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{−√3x +5y =0−√3x +y +2z =0,令x =5,则y =√3,z =2√3, 故m ⃗⃗⃗ =(5,√3,2√3), 所以|cos <n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ >|=|n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=√3√3×2√10=√104, 故二面角A −EC −D 的余弦值√104.【解析】(1)连结BD 交AC 于点O ,连结OE ,利用平行线的性质以及三角形的相似比,可证明EO//PB ,由线面平行的判定定理证明即可;(2)取AB 的中点H ,连结DH ,证明PD ⊥DH ,PD ⊥CD ,建立合适的空间直角坐标系,求出所需点的坐标和向量的坐标,然后利用待定系数法求出平面ACE 的法向量,由向量的夹角公式求解即可.本题考查了立体几何的综合应用,涉及了线面平行的判定定理的应用,在求解有关空间角问题的时候,一般会建立合适的空间直角坐标系,将空间角问题转化为空间向量问题进行研究,属于中档题.21.【答案】解:(1)设F 1F 2=2c ,由直线y =2x 是双曲线C 的一条渐近线,可得ba =2①, 因为双曲线C 的准线方程为x =±a 2c ,则{x =a 2c y =2x,可得y =2a 2c ,所以B(a 2c ,2a 2c),由双曲线的对称性,可得S 四边形AF 1BF 2=4S △BOF 2=4×12c ×2a 2c=4a 2,结合四边形AF 1BF 2的面积为4,可得4a 2=4,解得a =1, 结合①,可得b =2, 所以双曲线C 的方程为x 2−y 24=1;第21页,共23页 (2)①当直线l 的斜率存在时,对于圆O :x 2+y 2=43,不妨考虑l :x =2√33, 则由{x =2√33x 2−y 24=1,可得{x =2√33y =±2√33, 所以P(2√33,2√33),Q(2√33,−2√33), 所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0; ②当直线l 的斜率存在时,设l :y =kx +m ,因为这些l 与C 相交于P ,Q 两点,所以k ≠±2,因为这些PQ 与圆O 相切, 所以√1+k 2=2√33,即m 2=43(1+k 2)(∗), 设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),联立方程组{y =kx +m x 2−y 24=1,可得(4−k 2)x 2−2kmx −(m 2+4)=0(k ≠±2), 结合(∗),可得△=(2km)2+4(4−k 2)(m 2+4)=163(k 2+16)>0, 则x 1+x 2=2km4−k 2,x 1x 2=−m 2+44−k 2,所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m) =(1+k 2)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=−(1+k 2)(m 2+4)4−k 2+2k 2m 24−k2+m 2 =3m 2−4(k 2+1)k 2−4,结合(∗),可得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3×43(1+k 2)−4(k 2+1)k 2−4=0.综上所述,OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 【解析】(1)利用渐近线得到ba =2,再利用准线方程与直线y =2x ,求出点B ,从而由四边形AF 1BF 2的面积为4,列出关系,结合b a =2,即可求出a 和b 的值,从而得到答案;(2)①当直线l 的斜率存在时,求出点P ,Q 的值,求出OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即可;②当直线l 的斜率存在时,设l :y =kx +m ,利用直线与圆的位置关系得到m 2=43(1+k 2),将直线l 与双曲线联立方程组,得到韦达定理,利用平面向量数量积的坐标表示进行化简求解,即可得到答案.本题考查了双曲线标准方程的求解、直线与双曲线位置关系的应用,平面向量数量积的坐标运算,在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时,一般会联立直线与圆锥曲线的方程,利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究,属于中档题.22.【答案】解:(1)因为f(x)=ax−1+e x,所以g(x)=(a−2)x−1+e x,则g′(x)=a−2+e x,因为x=0是函数g(x)的极值点,则g′(0)=0,解得a=1,当a=1时,g′(x)=e x−1,令g′(x)=0,解得x=0,当x<0时,g′(x)<0,则g(x)单调递减,当x>0时,g′(x)>0,则g(x)单调递增,所以x=0是函数g(x)的极值点,故a=1;(2)由(1)可知,f(x)=x−1+e x,且f(0)=0,因为f′(x)=1+e x>0,所以f(x)在[0,π2)上单调递增,则当x∈[0,π2)时,f(x)≥f(0),即f(x)≥0,①当m≤0时,msin2x≤0,所以f(x)≥msin2x恒成立;②当m>0时,令ℎ(x)=f(x)−msin2x=x−1+e x−msin2x,x∈[0,π2),则ℎ′(x)=1+e x−2mcos2x,x∈[0,π2),若0<m≤1,x∈[0,π2),则ℎ′(x)=1+e x−2mcos2x≥1+e x−2m≥2−2m≥0,所以ℎ(x)在[0,π2)上单调递增,则当x∈[0,π2)时,ℎ(x)≥ℎ(0),结合ℎ(0)=0,可得ℎ(x)≥0,故当x∈[0,π2)时,f(x)≥msin2x恒成立,若m>1,则[ℎ′(x)]′=e x+4msin2x,所以当x∈[0,π2)时,[ℎ′(x)]′>0,则ℎ′(x)单调递增,因为ℎ′(0)=2−2m<0,ℎ′(π4)=1+eπ4>0,ℎ′(x)在[0,π2)上图象不间断,第22页,共23页)上存在唯一的零点,设为α,所以ℎ′(x)在[0,π2因为ℎ′(x)在(0,α)上是增函数,则当x∈(0,α)时,ℎ′(x)<ℎ′(α),即ℎ′(x)<0,所以ℎ(x)在(0,α)上减增函数,则当x∈(0,α)时,ℎ(x)<ℎ(0),即ℎ(x)<0,即x∈(0,α)时,f(x)<msin2x,与题设矛盾.综上所述,实数m的取值范围为(−∞,1].【解析】(1)利用极值点满足g′(x)=0,求出a的值,然后再进行验证即可;(2)利用(1)可得f(x)≥0,当m≤0时,f(x)≥msin2x恒成立;当m>0时,构造函数ℎ(x)=f(x)−msin2x,利用导数研究ℎ(x)的性质,即可证明f(x)≥msin2x恒成立;当m>1时,利用导数研究ℎ(x)的性质,可得f(x)<msin2x,与题设矛盾,从而得到m 的取值范围.本题考查了导数的综合应用,利用导数研究不等式恒成立问题的策略为:通常构造新函数或参变量分离,利用导数研究函数的单调性,求出最值从而求得参数的取值范围,属于中档题.第23页,共23页。

2019-2020学年江苏省南通市数学高二第二学期期末监测试题含解析

2019-2020学年江苏省南通市数学高二第二学期期末监测试题含解析

2019-2020学年江苏省南通市数学高二第二学期期末监测试题一、选择题:本题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知扇形的圆心角为150︒,弧长为()5rad π,则扇形的半径为( )A .7B .6C .5D .4 【答案】B【解析】【分析】 求得圆心角的弧度数,用l r α=求得扇形半径. 【详解】 依题意150为5π6,所以5656l r ππα===.故选B. 【点睛】本小题主要考查角度制和弧度制转化,考查扇形的弧长公式的运用,属于基础题.2.生活中有这样一个实际问题:如果一杯糖水不够甜,可以选择加糖的方式,使得糖水变得更甜.若*0b a n R ∈>>,,则下列数学模型中最能刻画“糖水变得更甜”的是( )A .a b b n +>+B .a n a b n b +>+C .a n b n +<+D .a n a b n b +<+ 【答案】B【解析】【分析】由题意可得糖水甜可用浓度体现,设糖的量为a ,糖水的量设为b ,添加糖的量为n ,对照选项,即可得到结论.【详解】由题意,若*0b a n R ∈>>,,设糖的量为a ,糖水的量设为b ,添加糖的量为n ,选项A ,C 不能说明糖水变得更甜, 糖水甜可用浓度体现,而a n a b n b+>+,能体现糖水变甜; 选项D 等价于b a <,不成立,故选:B .【点睛】本题主要考查了不等式在实际生活中的运用,考查不等式的等价变形,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.3.以下四个命题中,真命题有( ).A .:sin p y x =是周期函数,q :空集是集合A 的子集,则p q ∨为假命题B .“x ∀∈R ,210x x ++>”的否定是“0x ∃∈R ,20010x x ++<”C .“a b >”是“33log log a b >”的必要不充分条件D .已知命题p :“如果0xy =,那么0x =或0y =”,在命题p 的逆命题,否命题,逆否命题三个命题中,真命题的个数有2个.【答案】C【解析】选项A 中,由题意得p 为真,q 为真,则p q ∨为真,故A 不正确.选项B 中,命题的否定应是“0x ∃∈R ,20010x x ++≤”,故B 不正确.选项C 中,由“a b >”不能得到“33log log a b >”成立;由“33log log a b >”一定能得到“a b >”成立。

南通市启东市高二下期末数学试卷(有答案)

南通市启东市高二下期末数学试卷(有答案)

江苏省南通市启东市高二(下)期末数学试卷I卷一、填空题(共14小题,每小题5分,满分70分)1.已知集合P={1,2,3,4},Q={0,3,4,5},则P∩Q=________.2.函数f(x)=+的定义域为________.3.用系统抽样的方法从480名学生中抽取容量为20的样本,将480名学生随机地编号为1~480.按编号顺序平均分为20个组(1~24号,25~48号,…,457~480号),若第1组用抽签的方法确定抽出的号码为3,则第4组抽取的号码为________.4.如图所示的流程图,输入的a=2017,b=2016,则输出的b=________.5.在一个盒子中有分别标有数字1,2,3,3,4的5张卡片,现从中一次取出2张卡片,在取到的卡片上的数字之和为偶数的概率是________.6.某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析,随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩,并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图),则成绩在[300,350)内的学生人数共有________.7.如图所示,该伪代码运行的结果为________.8.已知函数f(x)=|lgx|,若存在互不相等的实数a,b,使f(a)=f(b),则ab=________.9.若函数f(x)=x3﹣ax2+1在x=﹣4处取得极大值,则实数a的值为________.10.已知函数f(x)=,则f(log23+2016)=________.11.若不等式x2﹣2ax﹣b2+12≤0恰有一解,则ab的最大值为________.12.在平面直角坐标系xOy中,已知点P是函数f(x)=lnx(x≥1)的图象上的动点,该图象在P处的切线l交x轴于点M,过点P作l的垂线交x轴于点N,设线段MN的中点的横坐标为t,则t的最大值是________.13.已知函数f(x)=,若函数y=f(f(x))﹣k有3个不同的零点,则实数k的取值范围是________.14.设函数f(x)=lnx+,m∈R,若对任意x2>x1>0,f(x2)﹣f(x1)<x2﹣x1恒成立,则实数m的取值范围是________.二、解答题(共6小题,满分90分)15.设关于x 的不等式(x +2)(a ﹣x )≥0(a ∈R )的解集为M ,不等式x 2﹣2x ﹣3≤0的解集为N ,且M ∩N=[﹣1,2](1)求实数a 的值;(2)若在集合M ∪N 中任取一个实数x ,求“x ∈M ∩N ”的概率.16.函数f (x )=(a 、b 、c ∈Z )是奇函数,且f (1)=2,f (2)<3(1)求a 、b 、c 的值;(2)当x <0时,求函数f (x )的单调区间.17.启东市某中学传媒班有30名男同学,20名女同学,在该班中按性别用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本组成课外兴趣小组.(1)求该传媒班某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数;(2)经过一个月的学习、讨论,决定在这个兴趣小组中选出两名同学做某项实验,方法是先从小组里选出1名同学做实验,该同学做完后,再从小组每剩下的同学中选一名同学做实验,求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率;(3)实验结束后,第一次做实验的同学得到的实验数据为68,70,71,72,74,第二次做实验的同学得到的实验数据为69,70,70,72,74,请问哪次做实验的同学的实验更稳定?并说明理由.18.已知a 为实数,函数f (x )=(x 2+1)(x +a )(1)若函数f (x )在R 上存在极值,求实数a 的取值范围;(2)若f ′(1)=0,求函数f (x )在区间[﹣1,]上的最大值和最小值;(3)若函数f (x )在区间[﹣1,]上不具有单调性,求实数a 的取值范围.19.已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c .(1)若f (﹣1)=0,试判断函数f (x )的零点个数;(2)是否存在实数a ,b ,c ,使得f (x )同时满足以下条件:①对∀x ∈R ,f (x ﹣2)=f (﹣x );②对∀x ∈R ,0≤f (x )﹣x ≤(x ﹣1)2?如果存在,求出a ,b ,c 的值,如果不存在,请说明理由.20.已知函数f (x )=(x ﹣1)e x ﹣ax 3﹣x 2+1(a ∈R ).(1)当a=0时,求f (x )的单调区间;(2)若在区间[0,+∞)上关于x 的不等式f (x )≥0恒成立,求实数a 的取值范围.II 卷21.已知矩阵A 将点(1,0)变换为(2,3),且属于特征值3的一个特征向量是,求矩阵A .22.已知曲线C 的极坐标方程是ρ=2sin θ,直线l 的参数方程是(t 为参数).设直线l 与x 轴的交点是M ,N 是曲线C 上一动点,求MN 的最大值.23.某汽车驾驶学校在学员结业前对其驾驶技术进行4次考核,规定:按顺序考核,一旦考核合格就不必参加以后的考核,否则还需要参加下次考核,若小李参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为的等差数列,他参加第一次考核合格的概率超过,且他直到参加第二次考核才合格的概率为.(1)求小李第一次参加考核就合格的概率p 1;(2)求小李参加考核的次数X 的分布列和数学期望E (X ).24.已知函数f (x )=ln (2x +a )﹣4x 2﹣2x 在x=0处取得极值.(1)求实数a 的值,并讨论f (x )的单调性;(2)证明:对任意的正整数n ,不等式2+++…+>ln (n +1)都成立.2015-2016学年江苏省南通市启东市高二(下)期末数学试卷参考答案与试题解析I卷一、填空题(共14小题,每小题5分,满分70分)1.已知集合P={1,2,3,4},Q={0,3,4,5},则P∩Q={3,4}.【考点】交集及其运算.【分析】根据交集的定义,进行计算即可.【解答】解:集合P={1,2,3,4},Q={0,3,4,5},所以P∩Q={3,4}.故答案为:{3,4}.2.函数f(x)=+的定义域为[﹣3,1].【考点】函数的定义域及其求法.【分析】根据二次根式的性质得到关于x的不等式组,求出函数的定义域即可.【解答】解:由题意得:,解得:﹣3≤x≤1,故答案为:[﹣3,1].3.用系统抽样的方法从480名学生中抽取容量为20的样本,将480名学生随机地编号为1~480.按编号顺序平均分为20个组(1~24号,25~48号,…,457~480号),若第1组用抽签的方法确定抽出的号码为3,则第4组抽取的号码为75.【考点】系统抽样方法.【分析】根据系统抽样的定义求出样本间隔进行求解即可.【解答】解:用系统抽样的方法从480名学生中抽取容量为20的样本.则样本间隔为480÷20=24,若第1组用抽签的方法确定抽出的号码为3,则第4组抽取的号码为3+24×3=75,故答案为:754.如图所示的流程图,输入的a=2017,b=2016,则输出的b=2017.【考点】程序框图.【分析】模拟执行程序,根据赋值语句的功能依次计算a,b的值即可得解.【解答】解:模拟程序的运行,可得a=2017,b=2016,a=2017+2016=4033b=4033﹣2016=2017输出a的值为4033,b的值为2017.故答案为:2017.5.在一个盒子中有分别标有数字1,2,3,3,4的5张卡片,现从中一次取出2张卡片,在取到的卡片上的数字之和为偶数的概率是.【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率.【分析】先求出基本事件总数,再求出在取到的卡片上的数字之和为偶数包含的基本事件个数,由此能求出在取到的卡片上的数字之和为偶数的概率.【解答】解:在一个盒子中有分别标有数字1,2,3,3,4的5张卡片,现从中一次取出2张卡片,基本事件总数n==10,在取到的卡片上的数字之和为偶数包含的基本事件个数m==4,∴在取到的卡片上的数字之和为偶数的概率p=.故答案为:.6.某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析,随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩,并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图),则成绩在[300,350)内的学生人数共有300.【考点】频率分布直方图.【分析】结合图形,求出成绩在[300,350)内的学生人数的频率,即可求出成绩在[300,350)内的学生人数.【解答】解:根据题意,成绩在[300,350)内的学生人数的频率为1﹣(0.001+0.001+0.004+0.005+0.003)×50=1﹣0.7=0.3,∴成绩在[300,350)内的学生人数为:1000×0.3=300;故答案为:300.7.如图所示,该伪代码运行的结果为9.【考点】伪代码.【分析】模拟执行程序,依次写出每次循环得到的S,i的值,当S=25时不满足条件S≤20,退出循环,输出i的值为9.【解答】解:模拟执行程序,可得i=1,S=1满足条件S≤20,执行循环体,i=3,S=4满足条件S≤20,执行循环体,i=5,S=9满足条件S≤20,执行循环体,i=7,S=16满足条件S≤20,执行循环体,i=9,S=25此时,不满足条件S≤20,退出循环,输出i的值为9.故答案为:9.8.已知函数f(x)=|lgx|,若存在互不相等的实数a,b,使f(a)=f(b),则ab=1.【考点】对数函数的图象与性质.【分析】若互不相等的实数a,b,使f(a)=f(b),则1ga=﹣lgb,结合对数的运算性质,可得答案.【解答】解:∵函数f(x)=|lgx|,若互不相等的实数a,b,使f(a)=f(b),则1ga=﹣lgb,即lga+lgb=lg(ab)=0,∴ab=1,故答案为:19.若函数f(x)=x3﹣ax2+1在x=﹣4处取得极大值,则实数a的值为﹣2.【考点】利用导数研究函数的极值.【分析】求出函数的导数,解关于导函数的方程,求出a的值即可.【解答】解:f′(x)=x2﹣2ax=x(x﹣2a),令f′(x)=0,解得;x=0或x=2a,若函数f(x)=x3﹣ax2+1在x=﹣4处取得极大值,则2a=﹣4,解得:a=﹣2,故答案为:﹣2.10.已知函数f(x)=,则f(log23+2016)=.【考点】函数的值.【分析】利用分段函数及对数、指数性质及运算法则求解.【解答】解:∵函数f(x)=,∴f(log23+2016)=f(log23﹣1)===.故答案为:.11.若不等式x2﹣2ax﹣b2+12≤0恰有一解,则ab的最大值为6.【考点】一元二次不等式的解法.【分析】根据题意△=0,得出a2+b2=4,利用基本不等式ab≤即可求出ab的最大值.【解答】解:不等式x2﹣2ax﹣b2+12≤0恰有一解,所以△=4a2﹣4(﹣b2+12)=4a2+4b2﹣48=0,即a2+b2=12;所以ab≤=6,当且仅当a=b=±时,“=”成立;即ab的最大值为6.故答案为:6.12.在平面直角坐标系xOy中,已知点P是函数f(x)=lnx(x≥1)的图象上的动点,该图象在P处的切线l交x轴于点M,过点P作l的垂线交x轴于点N,设线段MN的中点的横坐标为t,则t的最大值是.【考点】利用导数研究函数的极值;对数函数的图象与性质.【分析】由题意设点P的坐标为(m,lnm);从而写出直线方程,从而得到M(m﹣mlnm,0),N(m+,0);从而求得t=(2m+﹣mlnm)(m>1);再由导数求最值即可【解答】解:设点P的坐标为(m,lnm);f′(m)=;则切线l的方程为y﹣lnm=(x﹣m);l的垂线的方程为y﹣lnm=﹣m(x﹣m);令y=0解得,M(m﹣mlnm,0),N(m+,0);故t=(2m+﹣mlnm)(m>1);t′=;故t=(2m+﹣mlnm)先增后减,故最大值为(2e+﹣e)=;故答案为:13.已知函数f(x)=,若函数y=f(f(x))﹣k有3个不同的零点,则实数k的取值范围是﹣2≤k<﹣1.【考点】函数零点的判定定理.【分析】作出函数y=f(f(x))的图象,即可确定实数k的取值范围.【解答】解:由题意,x≤﹣1,f(x)=1﹣x2≤0,f(f(x))=1﹣(1﹣x2)2;﹣1<x≤0,f(x)=1﹣x2>0,f(f(x))=﹣2+x2;x>0,f(x)=﹣x﹣1<0,f(f(x))=1﹣(﹣x﹣1)2.函数y=f(f(x))的图象如图所示,∵函数y=f(f(x))﹣k有3个不同的零点,∴﹣2≤k<﹣1.故答案为:﹣2≤k<﹣1.14.设函数f(x)=lnx+,m∈R,若对任意x2>x1>0,f(x2)﹣f(x1)<x2﹣x1恒成立,则实数m的取值范围是[,+∞).【考点】利用导数求闭区间上函数的最值.【分析】问题转化为函数g(x)=f(x)﹣x=lnx+﹣x在(0,+∞)递减,即m≥x﹣x2在(0,+∞)恒成立,求出m的范围即可.【解答】解:若对任意x2>x1>0,f(x2)﹣f(x1)<x2﹣x1恒成立,即若对任意x2>x1>0,f(x2)﹣x2<f(x1)﹣x1恒成立,即函数g(x)=f(x)﹣x=lnx+﹣x在(0,+∞)递减,g′(x)=≤0在(0,+∞)恒成立,即m≥x﹣x2在(0,+∞)恒成立,而x﹣x2=﹣+≤,∴m≥,故答案为:[,+∞).二、解答题(共6小题,满分90分)15.设关于x的不等式(x+2)(a﹣x)≥0(a∈R)的解集为M,不等式x2﹣2x﹣3≤0的解集为N,且M∩N=[﹣1,2](1)求实数a的值;(2)若在集合M∪N中任取一个实数x,求“x∈M∩N”的概率.【考点】几何概型;一元二次不等式的解法.【分析】(1)根据不等式的解法先求出N,根据M∩N=[﹣1,2],得到2是方程(x+2)(a﹣x)=0的根,进行求解即可.(2)求出集合M,以及M∪N,根据几何概型的概率公式进行计算即可.【解答】解:(1)由x2﹣2x﹣3≤0得(x+1)(x﹣3)≤0,得﹣1≤x≤3,即N=[﹣1,3],∵M∩N=[﹣1,2]∴2是方程(x+2)(a﹣x)=0的根,则4(a﹣2)=0,得a=2,(2)当a=2时,x+2)(a﹣x)≥0等价为x+2)(2﹣x)≥0得﹣2≤x≤2,即M=[﹣2,2],则M∪N=[﹣2,3],∵M∩N=[﹣1,2]∴在集合M∪N中任取一个实数x,求“x∈M∩N”的概率P==.16.函数f(x)=(a、b、c∈Z)是奇函数,且f(1)=2,f(2)<3(1)求a、b、c的值;(2)当x<0时,求函数f(x)的单调区间.【考点】函数奇偶性的性质;函数单调性的判断与证明.【分析】(1)由条件利用函数的奇偶性求得a、b、c的值.(2)当x<0时,根据函数f(x)=x+的图象,利用导数求得它的单调区间.【解答】解:(1)∵函数f(x)=(a、b、c∈Z)是奇函数,∴f(﹣x)==﹣f(x)=﹣,∴c=0.又∵f(1)=2,∴==2,∴a+1=2b.根据f(2)=<3,∴a=b=1.综上可得,a=b=1,c=0.(2)当x<0时,函数f(x)==x+,∴f′(x)=1﹣,令f′(x)=0,求得x=﹣1,在(﹣∞,﹣1)上,f′(x)>0,函数f(x)单掉递增,在(﹣1,0)上,f′(x)<0,函数f(x)单掉递减,故单调增区间为(﹣∞,﹣1),单调减区间为(﹣1,0).17.启东市某中学传媒班有30名男同学,20名女同学,在该班中按性别用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本组成课外兴趣小组.(1)求该传媒班某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数;(2)经过一个月的学习、讨论,决定在这个兴趣小组中选出两名同学做某项实验,方法是先从小组里选出1名同学做实验,该同学做完后,再从小组每剩下的同学中选一名同学做实验,求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率;(3)实验结束后,第一次做实验的同学得到的实验数据为68,70,71,72,74,第二次做实验的同学得到的实验数据为69,70,70,72,74,请问哪次做实验的同学的实验更稳定?并说明理由.【考点】极差、方差与标准差;众数、中位数、平均数.【分析】(1)由等可能事件概率计算公式先求出该传媒班某同学被抽到的概率,由此利用分层抽样能求出课外兴趣小组中男同学的人数和课外兴趣小组中女同学的人数.(2)先求出基本事件总数,由此能求出选出的两名同学中恰有一名女同学的概率.(3)分别求出两次做实验的同学得到的实验数据的平均数和方差,由此能求出结果.【解答】解:(1)∵启东市某中学传媒班有30名男同学,20名女同学,在该班中按性别用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本组成课外兴趣小组,∴该传媒班某同学被抽到的概率p==.课外兴趣小组中男同学的人数为:30×=3人,课外兴趣小组中女同学的人数为:20×=2人.(2)在这个兴趣小组中选出两名同学做某项实验,方法是先从小组里选出1名同学做实验,该同学做完后,再从小组每剩下的同学中选一名同学做实验,基本事件总数n=5×4=20,∴选出的两名同学中恰有一名女同学的概率:p==.(3)第一次做实验的同学得到的实验数据的平均数为:=(68+70+71+72+74)=71,第一次做实验的同学得到的实验数据的方差为:S2= [(68﹣71)2+(70﹣71)2+(71﹣71)2+(72﹣71)2+(74﹣71)2]=4.第二次做实验的同学得到的实验数据的平均数为:=(69+70+70+72+74)=71,第二次做实验的同学得到的实验数据的方差为:S'2= [(69﹣71)2+(70﹣71)2+(70﹣71)2+(72﹣71)2+(74﹣71)2]=.∵=,S2<S'2,∴第二次做实验的同学的实验更稳定.18.已知a为实数,函数f(x)=(x2+1)(x+a)(1)若函数f(x)在R上存在极值,求实数a的取值范围;(2)若f′(1)=0,求函数f(x)在区间[﹣1,]上的最大值和最小值;(3)若函数f(x)在区间[﹣1,]上不具有单调性,求实数a的取值范围.【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值;利用导数求闭区间上函数的最值.【分析】(1)求出函数的导数,得到f′(x)=0有两个不相等的实数根,根据△>0,求出a的范围即可;(2)根据f′(1)=0,求出a,得到函数的单调区间,从而求出函数的最大值和最小值即可;(3)若函数f(x)在区间[﹣1,]上不具有单调性,得到f′(x)在[﹣1,]有解,根据二次函数的性质得到关于a的不等式组,解出即可.【解答】解:(1)∵f(x)=(x2+1)(x+a)=x3+ax2+x+a,∴f′(x)=3x2+2ax+1,若函数f(x)在R上存在极值,则f′(x)=0有两个不相等的实数根,∴△=4a2﹣12>0,解得:a>或a<﹣;(2)f′(x)=3x2+2ax+1,若f′(1)=0,即3+2a+1=0,解得:a=﹣2,∴f′(x)=(3x﹣1)(x﹣1),x∈[﹣1,]时,x﹣1<0,令f′(x)>0,解得:x<,令f′(x)<0,解得:x>,∴f(x)在[﹣1,)递增,在(,]递减,∴f(x)max=f()=,f(x)min=f(﹣1)=﹣2;(3)由(1)得:f′(x)=3x2+2ax+1,对称轴x=﹣,若函数f(x)在区间[﹣1,]上不具有单调性,则f′(x)在[﹣1,]有解,而f(0)=1>0,∴只需或,解得:<a<3或a≥3,故a>.19.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.(1)若f(﹣1)=0,试判断函数f(x)的零点个数;(2)是否存在实数a,b,c,使得f(x)同时满足以下条件:①对∀x∈R,f(x﹣2)=f(﹣x);②对∀x∈R,0≤f(x)﹣x≤(x﹣1)2?如果存在,求出a,b,c的值,如果不存在,请说明理由.【考点】二次函数的性质;函数零点的判定定理.【分析】(1)将x=﹣1代入得到关于a、b、c的关系式,再由△确定零点个数;(2)假设存在a,b,c∈R使得条件成立,由①可知函数f(x)的对称轴是x=﹣1,令最值为0,由此可知a=c;由②知将x=1代入可求的a、c与b的值,最后验证成立即可.【解答】解:(1)二次函数f(x)=ax2+bx+c中,f(﹣1)=0,所以a﹣b+c=0,即b=a+c;又△=b2﹣4ac=(a+c)2﹣4ac=(a﹣c)2,当a=c时△=0,函数f(x)有一个零点;当a≠c时,△>0,函数f(x)有两个零点;(2)假设a,b,c存在,由①知抛物线的对称轴为x=﹣1,所以﹣=﹣1,即b=2a;不妨令f(x)的最值为0,则=0,即b2=4ac,所以4a2=4ac,得出a=c;由②知对∀x∈R,都有0≤f(x)﹣x≤(x﹣1)2,不妨令x=1,可得0≤f(1)﹣1≤0,即f(1)﹣1=0,所以f(1)=1,即a+b+c=1;由解得a=c=,b=;当a=c=,b=时,f(x)=x2+x+=(x+1)2,其顶点为(﹣1,0)满足条件①,又f(x)﹣x=(x+1)2,所以对∀x∈R,都有0≤f(x)﹣x≤(x+1)2,满足条件②.所以存在a=,b=,c=时,f(x)同时满足条件①、②.20.已知函数f(x)=(x﹣1)e x﹣ax3﹣x2+1(a∈R).(1)当a=0时,求f(x)的单调区间;(2)若在区间[0,+∞)上关于x的不等式f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.【分析】(1)求出函数的导数,判断导函数的符号,求出函数的单调区间即可;(2)求出函数的导数,构造函数g(x)=e x﹣ax﹣1,(x≥0),通过讨论a的范围,判断函数的单调性,从而求出满足条件的a的具体范围即可.【解答】解:(1)a=0时,f(x)=(x﹣1)e x﹣x2+1,f′(x)=xe x﹣x=x(e x﹣1)≥0,x≥0时,e x﹣1≥0,x<0时,e x﹣1<0,∴f(x)在R递增;(2)f(x)=(x﹣1)e x﹣ax3﹣x2+1,(x≥0),f′(x)=x(e x﹣ax﹣1),令g(x)=e x﹣ax﹣1,(x≥0),g′(x)=e x﹣a,①a≤1时,g′(x)≥0,g(x)在[0,+∞)递增,∴g(x)≥g(0)=0,即f′(x)≥0,∴f(x)≥f(0)=0,成立,②当a>1时,存在x0∈[0,+∞),使g(x0)=0,即f′(x0)=0,当x∈[0,x0)时,f′(x)<0,∴f(x)在[0,x0)上单调递减,∴f(x)<f(0)=0,这与f(x)≥0在[0,+∞)上恒成立矛盾,综上:a≤1.II卷21.已知矩阵A将点(1,0)变换为(2,3),且属于特征值3的一个特征向量是,求矩阵A.【考点】特征值与特征向量的计算.【分析】先设矩阵,这里a,b,c,d∈R,由二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个特征向量及矩阵M对应的变换将点(1,0)变换为(2,3),得到关于a,b,c,d的方程组,即可求得矩阵M.【解答】解:设,由得,,…由得,,所以所以.…22.已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ,直线l的参数方程是(t为参数).设直线l与x轴的交点是M,N是曲线C上一动点,求MN的最大值.【考点】简单曲线的极坐标方程.【分析】利用x2+y2=ρ2,x=ρcosθ,y=ρsinθ,可把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程.将直线l的参数方程消去t化为直角坐标方程:,令y=0,可得M点的坐标为(2,0).利用|MN|≤|MC|+r即可得出.【解答】解:曲线C的极坐标方程可化为ρ2=2ρsinθ.又x2+y2=ρ2,x=ρcosθ,y=ρsinθ,∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2y=0.将直线l的参数方程消去t化为直角坐标方程:,令y=0,得x=2,即M点的坐标为(2,0).又曲线C的圆心坐标为(0,1),半径r=1,则,∴.23.某汽车驾驶学校在学员结业前对其驾驶技术进行4次考核,规定:按顺序考核,一旦考核合格就不必参加以后的考核,否则还需要参加下次考核,若小李参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为的等差数列,他参加第一次考核合格的概率超过,且他直到参加第二次考核才合格的概率为.(1)求小李第一次参加考核就合格的概率p1;(2)求小李参加考核的次数X的分布列和数学期望E(X).【考点】离散型随机变量的期望与方差;互斥事件的概率加法公式;离散型随机变量及其分布列.【分析】(1)由题意利用相互独立事件概率乘法公式能求出小李第一次参加考核就合格的概率.(2)小李4次考核每次合格的概率依次为:,由题意小李参加考核的次数X的可能取值为1,2,3,4,分别求出相应的概率,由此能求出X的分布列和E(X).【解答】解:(1)由题意得,解得或,∵他参加第一次考核合格的概率超过,即,∴小李第一次参加考核就合格的概率p1=.(2)∵小李参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为的等差数列,且小李第一次参加考核就合格的概率p1=,∴小李4次考核每次合格的概率依次为:,由题意小李参加考核的次数X的可能取值为1,2,3,4,P(X=1)=,P(X=2)=(1﹣)×=,P(X=3)=(1﹣)(1﹣)×=,P(X=4)=(1﹣)(1﹣)(1﹣)×1=,1 2 3 4E(X)==.24.已知函数f(x)=ln(2x+a)﹣4x2﹣2x在x=0处取得极值.(1)求实数a的值,并讨论f(x)的单调性;(2)证明:对任意的正整数n,不等式2+++…+>ln(n+1)都成立.【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.【分析】(1)函数f(x)=ln(2x+a)﹣4x2﹣2x,对其进行求导,在x=0处取得极值,可得f′(0)=0,求得a值,求出f(x)的表达式,从而求出函数的单调区间即可;(2)f(x)=ln(2x+1)﹣4x2﹣2x的定义域为{x|x>﹣1},利用导数研究其单调性,可以推出ln(x+1)﹣x2﹣x≤0,令x=,可以得到ln(+1)<+,利用此不等式进行放缩证明.【解答】解:(1)函数f(x)=ln(2x+a)﹣4x2﹣2xf′(x)=2(﹣2x﹣1),当x=0时,f(x)取得极值,∴f′(0)=0故﹣2×0﹣1=0,解得a=1,经检验a=1符合题意,则实数a的值为1,∴f(x)=ln(2x+1)﹣4x2﹣2x,(x>﹣),f′(x)=2(﹣2x﹣1)=,令f′(x)>0,解得:﹣<x<0,令f′(x)<0,解得:x>0,∴f(x)在(﹣,0)递增,在(0,+∞)递减;(2)f(x)的定义域为{x|x>﹣},由(1)得:f(x)在(﹣,0)递增,在(0,+∞)递减,∴f(x)≤f(0),故ln(2x+1)﹣4x2﹣2x≤0(当且仅当x=0时,等号成立)对任意正整数n,取2x=>0得,ln(+1)<+,∴ln()<,故2+++…+>ln2+ln+ln+…+ln=ln(n+1).2016年9月7日。

江苏省南通市2020年数学高二下学期理数期末考试试卷C卷

江苏省南通市2020年数学高二下学期理数期末考试试卷C卷

江苏省南通市 2020 年数学高二下学期理数期末考试试卷 C 卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题;共 24 分)1. (2 分) 如图:在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 为 A1C1 与 B1D1 的交点。

若,则下列向量中与 相等的向量是( )A. B. C. D. 2. (2 分) 用反证法证明:若整系数一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有有理数根,那么 a、b、c 中至少有 一个偶数时,下列假设正确的是( ) A . 假设 a、b、c 都是偶数 B . 假设 a、b、c 都不是偶数 C . 假设 a、b、c 至多有一个偶数 D . 假设 a、b、c 至多有两个偶数 3. (2 分) (2019 高二下·南海期末) 一工厂生产某种产品的生产量 (单位:吨)与利润 (单位:万 元)的部分数据如表所示:第 1 页 共 13 页从所得的散点图分析可知, 与 线性相关,且回归方程为 A. B. C. D.,则 ( )4.(2 分)(2019 高二下·南海期末) 已知,,若( 、 均为正实数),根据以上等式,可推测 、 的值,则A.B.C.D.,, 等于( )5. (2 分) (2019 高二下·南海期末) 甲射击时命中目标的概率为 则甲乙两人各自射击同一目标一次,则该目标被击中的概率为( ),乙射击时命中目标的概率为 ,A. B.C. D.6. (2 分) (2019 高二下·南海期末) 定积分 A. B.()第 2 页 共 13 页C.D. 7. (2 分) (2019 高二下·南海期末) 甲、乙、丙 3 位志愿者安排在周一至周五的 5 天中参加某项志愿者活 动,要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面,不同的安排方法共有( ) A . 20 种 B . 30 种 C . 40 种 D . 60 种8. (2 分) (2019 高二下·南海期末)的展开式中,的系数为( )A.B.C . 30D.9. (2 分) (2019 高二下·南海期末) 一台机器在一天内发生故障的概率为 ,若这台机器一周 个工作日不发生故障,可获利 万元;发生 次故障获利为 万元;发生 次或 次以上故障要亏损 万元,这台机器一周 个工作日内可能获利的数学期望是( )万元.(已知,)A.B.C.D.10. (2 分) (2019 高二下·南海期末) 已知函数 ,则 的取值范围是( ),若存在唯一的零点 ,且A.第 3 页 共 13 页B.C.D. 11. (2 分) (2020 高二下·六安月考) 甲、乙、丙,丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。

南通市2020年高二第二学期数学期末达标测试试题含解析

南通市2020年高二第二学期数学期末达标测试试题含解析

南通市2020年高二第二学期数学期末达标测试试题一、单选题(本题包括12个小题,每小题35,共60分.每小题只有一个选项符合题意) 1.已知复数z 满足()113i z i -=+,则复数z 在复平面内对应的点为 ( ) A .()1,2-B .()2,1-C .()2,1D .()1,2--2.现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张.不同取法的种数为 A .232B .252C .472D .4843.从装有3个白球,4个红球的箱子中,随机取出了3个球,恰好是2个白球,1个红球的概率是( ) A .435B .635C .1235D .363434.已知复数z 满足:32z z =-,且z 的实部为2,则1z -=A .3BC .D .5.将两枚骰子各掷一次,设事件A ={两个点数都不相同},B ={至少出现一个3点},则(|)P B A =( ) A .13B .518C .1011D .126.设函数()2,21,2x a x f x ax x ⎧+>=⎨+≤⎩,若()f x 的值域为R ,则实数a 的取值范围是( )A .(,1][2,)-∞-+∞B .[3,)+∞C .()3,+∞D .(0,3]7.黄金螺旋线又名鹦鹉螺曲线,是自然界最美的鬼斧神工。

就是在一个黄金矩形(宽除以长约等于0.6的矩形)先以宽为边长做一个正方形,然后再在剩下的矩形里面再以其中的宽为边长做一个正方形,以此循环做下去,最后在所形成的每个正方形里面画出1/4圆,把圆弧线顺序连接,得到的这条弧线就是“黄金螺旋曲线了。

著名的“蒙娜丽莎”便是符合这个比例,现把每一段黄金螺旋线与其每段所在的正方形所围成的扇形面积设为n c ,每扇形{}n c 的半径设为{},n n a a 满足()*12121,1,,,3n n n a a a a a n N n --===+∈≥,若将{}n c 的每一项按照上图方法放进格子里,每一小格子的边长为1,记前n 项所占的对应正方形格子的面积之和为n S ,则下列结论错误的是( )A .2111n n n n S a a a +++=+⋅ B .1221n n a a a a +++⋯+=- C .()2134n n n n a c c a π+++-=⋅D .1352121n n a a a a a -+++⋯+=-8.利用数学归纳法证明“1+a+a 2+…+a n+1=,(a ≠1,n N )”时,在验证n=1成立时,左边应该是( ) A .1B .1+aC .1+a+a 2D .1+a+a 2+a 39.已知实数,a b 满足cos cos a b a b ->-,则下列说法错误..的是( ) A . cos cos a b a b +>+ B .cos cos a b b a ->- C .sin sin a b a b ->-D .sin sin a b b a ->-10.《易·系辞上》有“河出图,洛出书”之说,河图、洛书是中华文化,阴阳术数之源,其中河图的排列结构是一、六在后,二、七在前,三、八在左,四、九在右,五、十背中,如图,白圈为阳数,黑点为阴数,若从阴数和阳数中各取一数,则其差的绝对值为5的概率为A .15B .625C .825D .2511.函数()ln 2x xf x x-=的图象在点()1,2-处的切线方程为( ) A .240x y --=B .20x y +=C .30x y --=D .10x y ++=12.如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4,动点E ,F 在棱11A B 上,动点P ,Q 分别在棱AD ,CD 上.若 2E F =,1 A E m =, D Q n =, D P p =(,,m n p 大于零),则四面体PEFQ 的体积A .与,,m n p 都有关B .与m 有关,与,n p 无关C .与p 有关,与,m n 无关D .与π有关,与,m p 无关二、填空题(本题包括4个小题,每小题5分,共20分)13.若函数()y f x =的反函数为1()f x -,且11()3x f x -+=,则(1)f 的值为________14.半径为R 的圆形铁片剪去一个扇形,用剩下的部分卷一个圆锥.圆锥的体积最大值为______ 15.对于无理数x ,用x 表示与x 最接近的整数,如3π=,32=.设n *∈N ,对于区间11,22n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的无理数x ,定义x xm m C C =,我们知道,若m *∈N ,()n m n *∈N ≤和()r r n *∈N≤,则有以下两个恒等式成立:①m n mn n C C -=;②11r r r m m m C C C -+=+,那么对于正整数n 和两个无理数()0,m n ∈,()1,r n ∈,以下两个等式依然成立的序号是______;①m n m n n C C -=;②11r r r n n n C C C -+=+.16.设函数()f x 的导数为()f x ',且()sin cos 2f x f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭',则4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭' . 三、解答题(本题包括6个小题,共70分)17.近期,某公交公司与银行开展云闪付乘车支付活动,吸引了众多乘客使用这种支付方式.某线路公交车准备用20天时间开展推广活动,他们组织有关工作人员,对活动的前七天使用云闪付支付的人次数据做了初步处理,设第x 天使用云闪付支付的人次为y ,得到如图所示的散点图.由统计图表可知,可用函数y =a •b x 拟合y 与x 的关系 (1)求y 关于x 的回归方程;(2)预测推广期内第几天起使用云闪付支付的人次将超过10000人次. 附:①参考数据表中v i =lgy i ,7117==∑i v lgy i②参考公式:对于一组数据(u 1,v 1),(u 2,v 2)…,(u n ,v n ),其回归直线v =α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β1221==-=-∑∑ni i i n i i u v nuv u nu,αβ=-v u .18.已知函数()2(0)f x a lnx ax a =+->. (1)求()f x 的最大值()a ϕ; (2)若()0f x ≤恒成立,求a 的值;(3)在(2)的条件下,设[]()()x f x ax g x x a+=-在(,)a +∞上的最小值为,m 求证:11()10f m -<<-.19.(6分)设函数2()2ln f x x x =-,2()2g x x x a =-+++.(1)求函数()f x 的单调递增区间;(2)若函数()f x 与()g x 在区间(1,3)内恰有两个交点,求实数a 的取值范围. 20.(6分)等差数列{}n a 的前n 项和为46,62,75n S S S =-=-,求数列{||}n a 前n 项和.21.(6分)设函数()212f x x x =--+. (1)解不等式()0f x >;(2)若0x R ∃∈,使得()2024f x m m +<,求实数m 的取值范围.22.(8分)设实部为正数的复数z ,满足1+3i )z 在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上. (I)求复数z(II)若复数z + m 2(1 +i)-2i 十2m -5为纯虚数,求实数m 的值.参考答案一、单选题(本题包括12个小题,每小题35,共60分.每小题只有一个选项符合题意) 1.A 【解析】 【分析】利用复数除法运算,化简z 为i a b +的形式,由此求得z 对应的点的坐标. 【详解】 依题意()()()()13i 1i 13i 24i12i 1i 1i 1i 2z +++-+====-+--+,对应的点为()1,2-,故选A. 【点睛】本小题主要考查复数的除法运算,考查复数对应点的坐标,属于基础题. 2.C 【解析】试题分析:3张卡片不能是同一种颜色,有两种情形:三种颜色或者两种颜色,如果是三种颜色,取法数为,如果是两种颜色,取法数为,所以取法总数为,故选C .考点:分类加法原理与分步乘法原理.【名师点晴】(1)对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题,我们可以恰当地画出示意图或列出表格,使问题更加直观、清晰.(2)当两个原理混合使用时,一般是先分类,在每类方法里再分步. 3.C 【解析】分析:根据古典概型计算恰好是2个白球1个红球的概率.详解:由题得恰好是2个白球1个红球的概率为2134371235C C C =. 故答案为:C.点睛:(1)本题主要考查古典概型,意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 古典概型的解题步骤:①求出试验的总的基本事件数n ;②求出事件A 所包含的基本事件数m ;③代公式()P A =A mn=包含的基本事件数总的基本事件个数.4.B【解析】分析:根据题意设2,z bi =+根据题意得到224+1412b b b z i =+⇒=±∴=±,从而根据复数的模的概念得到结果.详解:设2,z bi =+根据题意得到224+1412b b b z i =+⇒=±∴=±则1z -. 故答案为B.点睛:本题考查了复数的运算法则、复数相等,考查了推理能力与计算能力,属于基础题,复数问题高考必考,常见考点有:点坐标和复数的对应关系,点的象限和复数的对应关系,复数的加减乘除运算,复数的模长的计算. 5.A 【解析】分析:利用条件概率求(|)P B A .详解:由题得2265()30,()3010,n A A n AB A ===-=所以(|)P B A =()101.()303n AB n A ==故答案为:A. 点睛:(1)本题主要考查条件概率,意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 条件概率的公式:()(|)()P AB P B A P A = , (|)P B A =()()n AB n A .6.B 【解析】很明显0a >,且应满足当2x =时,类指数函数的函数值不大于一次函数的函数值,即2221a a +≤⨯+,解得:3a ≥,即实数a 的取值范围是[)3,+∞. 本题选择B 选项.点睛:(1)问题中参数值影响变形时,往往要分类讨论,需有明确的标准、全面的考虑; (2)求解过程中,求出的参数的值或范围并不一定符合题意,因此要检验结果是否符合要求. 7.D 【解析】 【分析】根据定义求数列和,利用12n n n a a a --=+化简求解,利用特殊值否定结论. 【详解】由题意得1n S +为以1+2n n a a +,为长和宽矩形的面积,即21111112=(+)n n n n n n n n n S a a a a a a a a +++++++==+⋅;()2221212121344((44))n n n n n n n n n n c c a a a a a a a a ππππ+++++++++⎛⎫-=-=+⋅-=⋅ ⎪⎝⎭; 又32435412121))(((())()n n n n n a a a a a a a a a a a a a +++++---⋯+=++++⋯+--+2221n n a a a ++=-=-,故,,A B C 正确;因为121a a ≠-,所以D 错误,选D. 【点睛】本题考查数列求和以及利用递推关系化简,考查综合分析求解能力,属较难题. 8.C 【解析】考点:数学归纳法.分析:首先分析题目已知用数学归纳法证明:“1+a+a 1+…+a n+1=(a≠1)”在验证n=1时,左端计算所得的项.把n=1代入等式左边即可得到答案. 解:用数学归纳法证明:“1+a+a 1+…+a n+1=(a≠1)”在验证n=1时,把当n=1代入,左端=1+a+a 1. 故选C . 9.A 【解析】 【分析】设()cos f x x x =-,证明()f x 单调递增,得到a b >,构造函数根据单调性到BCD 正确,取1a =,1b =-,则cos cos a b a b +>+不成立,A 错误,得到答案. 【详解】设()cos f x x x =-,则()'1sin 0f x x =+≥恒成立,故()f x 单调递增,cos cos a b a b ->-,即cos cos a a b b ->-,即()()f a f b >,a b >. 取1a =,1b =-,则 cos cos a b a b +>+不成立,A 错误;设()cos g x x x =+,则()'1sin 0g x x =-≥恒成立,()g x 单调递增, 故()()g a g b >,就cos cos a b b a ->-,B 正确;同理可得:CD 正确. 故选:A . 【点睛】本题考查了根据函数的单调性比较式子大小,意在考查学生对于函数性质的综合应用. 10.A 【解析】 【分析】阳数:1,3,5,7,9,阴数:2,4,6,8,10,然后分析阴数和阳数差的绝对值为5的情况数,最后计算相应概率. 【详解】因为阳数:1,3,5,7,9,阴数:2,4,6,8,10,所以从阴数和阳数中各取一数差的绝对值有:5525⨯=个,满足差的绝对值为5的有:()()()()()1,6,3,8,5,10,7,2,9,4共5个,则51255P ==. 故选:A. 【点睛】本题考查实际背景下古典概型的计算,难度一般.古典概型的概率计算公式:P =目标事件的个数基本本事件的总个数.11.C 【解析】 f′(x)=21lnxx-,则f′(1)=1, 故函数f(x)在点(1,-2)处的切线方程为y -(-2)=x -1,即x -y -3=0. 故选C 12.C 【解析】 【分析】连接1AD 、1A D 交于点O ,作1//PM AD ,证明1AD ⊥平面11A B CD ,可得出PM ⊥平面EFQ ,于此得出三棱锥P EFQ -的高为2PM p =,再由四边形11A B CD 为矩形知,点Q 到EF 的距离为1A D =EFQ ∆的面积为PEFQ 的体积的表达式,于此可得出结论. 【详解】如下图所示,连接1AD 、1A D 交于点O ,作1//PM AD ,在正方体1111ABCD A B C D -中,CD ⊥平面11AA D D ,且1A D ⊂平面11AA D D ,1AD CD ∴⊥,又四边形11AA D D 为正方形,则11AD A D ⊥,且1CD A D D =,1AD ∴⊥平面11A B CD ,即1AD ⊥平面EFQ ,1//PM AD ,PM ∴⊥平面EFQ ,且12sin 2PM PD ADA p =⋅∠=, 易知四边形11A B CD 是矩形,且142AD =∴点Q 到直线EF 的距离为1AD ,EFQ ∴∆的面积为1112424222EFQ S EF AD ∆=⋅=⨯⨯= 所以,四面体PEFQ 的体积为112442333P EFQ EFQ pV S PM p -∆=⋅=⨯=, 因此,四面体PEFQ 的体积与p 有关,与m 、n 无关,故选C. 【点睛】本题考查三棱锥体积的计算,解题的关键在于寻找底面和高,要充分结合题中已知的线面垂直的条件,找三棱锥的高时,只需过点作垂线的平行线可得出高,考查逻辑推理能力,属于难题. 二、填空题(本题包括4个小题,每小题5分,共20分) 13.1- 【解析】 【分析】根据反函数的解析式,求得函数()y f x =的解析式,代入即可求得()1f 的值. 【详解】因为函数()y f x =的反函数为1()f x -,且11()3x f x -+= 令13x y +=则13y x +=所以31log y x =-+即函数()31log f x x =-+(0x >)所以()311log 11f =-+=-故答案为: 1- 【点睛】本题考查了反函数的求法,求函数值,属于基础题.14.327R 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为r ,高为h ,可得222r R h =-,构造关于圆锥体积V 的函数,可得3233V h R h ππ=-+,利用导数可求得最大值.【详解】设圆锥的底面半径为r ,高为h 则222r h R +=,即222r R h =-∴圆锥的体积:()2223213333V r h R h h h R h ππππ=⋅=-=-+则223V h R ππ'=-+,令0V '=,解得:3h R =则0,3h R ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时,0V '>;,3h R R ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时,0V '<即V 在⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增,在,R R ⎫⎪⎪⎝⎭上单调递减 323max 333327V R R R R ππ⎛⎫∴=-+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭3R 【点睛】本题考查圆锥体积最值的求解,关键是能够利用圆锥体积公式将所求体积构造为关于圆锥的高的函数,从而可利用导数求解得到函数的最值. 15.①,②.. 【解析】 【分析】根据新定义,结合组合数公式,进行分类讨论即可.【详解】 当1()2m n +>时,由定义可知:m n 〈〉=,01,1m m n n m n m n n n n nn C C C C C C 〈〉-〈-〉======, 当1()2m n +<时,由定义可知:1m n 〈〉=-,11,m m n n m n m n n n n n n C C C n C C C n 〈〉--〈-〉======, 故①m n m n n C C -=成立;当1()2r n +>时,由定义可知:r n 〈〉=,1111111,1r r n r r r r n n n n n n n n n n n C C C n C C C C C C n 〈〉-〈〉〈-〉-+++===++=+=+=+, 当1()2r n +<时,由定义可知: 1r n 〈〉=-,11112111(1)(1)(1),222r r n r r r r n n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C n 〈〉--〈〉〈-〉--++++-+===+=+=+=+=故②11r r r n n n C C C -+=+成立.故答案为:①,②.【点睛】本题考查了新定义题,考查了数学阅读能力,考查了组合数的计算公式,考查了分类讨论思想.16.2-【解析】试题分析:,而,所以,,故填:.考点:导数三、解答题(本题包括6个小题,共70分) 17.(1)y =100.2x+1.1;(2)预测推广期内第11天起使用云闪付支付的人次将超过10000人次【解析】【分析】(1)先对y =a •b x 两边同取以10为底的对数,得到v =xlgb+lga ,再根据斜率和截距的的最小二乘法估计得到lgb 和lga ,从而得到,a b ,再写出y 关于x 的线性回归方程;(2)根据(1)所得的线性回归方程,得到100.2x+1.1>10000,解出x 的范围,得到答案.【详解】(1)由y =a •b x ,两边同时取以10为底的对数,得lgy =lga+xlgb ,即v =xlgb+lga ,由最小二乘法得:lgb 7172221771.4074 2.300.25140747i ii i i x v xv x x ==--⨯⨯===-⨯-∑∑. ∵v =xlgb+lga 过点(4,2.10),∴lga =2.10﹣0.2×4=1.1.∴a =101.1,b =100.2.∴y 关于x 的线性回归方程为y =101.1•100.2x =100.2x+1.1;(2)由100.2x+1.1>10000,得0.2x+1.1>4,解得x >10.3.又∵x ∈N*,∴预测推广期内第11天起使用云闪付支付的人次将超过10000人次.【点睛】本题考查最小二乘法求线性回归方程,以及根据线性回归方程进行估算,属于简单题.18.(1)()22ln 2ln2(0)a a a a ϕ=--+>;(2)2;(3)证明见解析.【解析】【分析】(1)()2'(0)ax f x a x-=>,判断函数的单调性即可求解最大值;(2)要使()0f x ≤成立必须()22ln 2ln20a a a ϕ=--+≤,()2'a a aϕ-=,判断单调性求解()()min 20a ϕϕ==即可得解2a =;(3)()22ln 2x x x g x x +=-,得()()()222ln 4'2x x g x x --=-,令()2ln 4u x x x =--判断其单调性进而求得()()20000000min 0022ln 2=22x x x x x g x g x x x x +-===--,得0m x =,再求()0f x 的范围进而得证 【详解】(1)()2'(0)ax f x a x-=>, 由()'0f x >得20x a <<;()'0f x <得2x a >;所以()f x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.故()max 222ln 2ln2f x f a a a ⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭, 即()22ln 2ln2(0)a a a a ϕ=--+>;(2)要使()0f x ≤成立必须()22ln 2ln20a a a ϕ=--+≤.因为()2'a a aϕ-=,所以当02a <<时,()'0a ϕ<;当2a >时,()'0a ϕ>.所以()a ϕ在()0,2上单调递减,在()2,+∞上单调递增.又()()min 20a ϕϕ==,所以满足条件的a 只有2,即2a =.(3)由(2)知()22ln 2x x x g x x +=-,所以()()()222ln 4'2x x g x x --=-. 令()2ln 4u x x x =--,则()2'0x u x x-=>,()u x 是()2,+∞上的增函数;又()()80,90u u ,所以存在()08,9x ∈满足()00u x =,即002ln 4x x =-,且当()02,x x ∈时,()()0,'0u x g x <<;当()0,x x ∈+∞,()()0,'0u x g x >>所以()g x 在()02,x 上单调递减;在()0,x +∞上单调递增.所以()()20000000min 0022ln 2=22x x x x x g x g x x x x +-===--,即0m x =. 所以()()000022ln 2=21110f m f x x x x ==+---∈--(,),即()1110f m -<<-.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性及最值,考查了零点存在定理和数学转化思想,在(3)的证明过程中,利用零点存在定理转化是难点属中档题.19. (1)(0,1];(2)(2ln35,2ln 24)--.【解析】分析:(1)求函数()f x 的导数,解()'0f x >便得增区间.(2)要使函数()f x 与()g x 在区间()1,3内恰有两个交点,也就是让函数()f x g x -()在[1,3]() 1,3内有两个零点,令()()()2ln 2h x f x g x x x a =-=---,下面要做的就是考查()h x 在区间()1,3内最值情况,若有最大值,则限制最大值大于0,然后两个端点值都小于0,若有最小值,情况恰好相反. 详解:(1)()()221'x f x x -=,∵0x >,()0,1x ∈时,()'0f x >,所以函数()f x 的单调递增区间是(]0,1.(2)令()()()2ln 2h x f x g x x x a =-=---,则()2'x h x x -=, ∴()1,2x ∈时,()'0h x >,()2,3x ∈时,()'0h x <,∴()2h 是()h x 的极大值,也是()h x 在()1,3上的最大值.∵函数()f x 与()g x 在区间()1,3内恰有两个交点,∴函数()h x 在区间()1,3内有两个零点,则有()20h >,()10h <,()30h <.所以有2240302350ln a a ln a -->⎧⎪--<⎨⎪--<⎩. 解得2ln352ln24a -<<-,所以a 的取值范围是()2ln35,2ln24--.点睛:利用导数求函数的单调区间,这个不难掌握,注意做第二题()20h >,()10h <,()30h <.,这几个限制条件的得出,并掌握做这类题的方法..20.2243,172343154,822n n n n T n n n ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩ 【解析】【分析】由已知条件利用等差数列前n 项和公式求出公差和首项,由此能求出323n a n =-,且780,0a a <>,当17n ≤≤时,24332n n n n T S -=-=,当8n ≥时,234315422n T n n =-+。

2020年江苏省南通市数学高二第二学期期末达标测试试题含解析

2020年江苏省南通市数学高二第二学期期末达标测试试题含解析

2020年江苏省南通市数学高二第二学期期末达标测试试题一、单选题(本题包括12个小题,每小题35,共60分.每小题只有一个选项符合题意)1.同时具有性质“①最小正周期是π”②图象关于,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称;③在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是增函数的一个函数可以是( ) A .4sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ B .sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C .2cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D .sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭2.某校学生一次考试成绩X (单位:分)服从正态分布N (110,102),从中抽取一个同学的成绩ξ,记“该同学的成绩满足90<ξ≤110”为事件A ,记“该同学的成绩满足80<ξ≤100”为事件B ,则在A 事件发生的条件下B 事件发生的概率P (B|A )=( )附:X 满足P (μ﹣σ<X ≤μ+σ)=0.68,P (μ﹣2σ<X ≤μ+2σ)=0.95,P (μ﹣3σ<ξ≤μ+3σ)=0.1. A .2795B .3195C .2799D .31993. “4ab =”是“直线210x ay +-=与直线220bx y +-=平行”的( ) A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要4.已知复数z 满足1iz i =-,则其共轭复数z 在复平面内对应的点位于( ) A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限5.已知函数()2321f x x x =--+, ()g x =(),t ∀∈-∞+∞,[]1,7s ∃∈,使()()(0)f t a g s a +≤>成立,则实数的a 取值范围是( ) A .(]0,2B .(]2,3 C .[]3,6D .[)4,+∞ 6.若{}{}1,21,2,3,4,5A ⊆⊆则满足条件的集合A 的个数是( ) A .6B .7C .8D .97.从5位男教师和4位女教师中选出3位教师,派到3个班担任班主任(每班1位班主任),要求这3位班主任中男、女教师都要有,则不同的选派方案共有 ( ) A .210种B .420种C .630种D .840种8.如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图,正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称,在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是A .14B .8π C .12D .4π 9.已知集合{}|1,M x a x a a =<+∈Z …,{}23|log 2P x x =…,若图中的阴影部分为空集,则a 构成的集合为( )A .{}2,1,1,2--B .{}3,2,1,0,1,2---C .{}2,1,0,1,2--D .{}3,2,1,1,2---10.某三棱柱的底面是边长为2的正三角形,高为6,则该三棱柱的体积为 A .23B .43C .63D .8311.某地区高考改革,实行“321++”模式,即“3”指语文、数学、外语三门必考科目,“2”指在化学、生物、政治、地理四门科目中必选两门,“1”指在物理、历史两门科目中必选一门,则一名学生的不同选科组合有多少种?( ) A .8种B .12种C .16种D .20种12.在一段线路中并联着两个独立自动控制的开关,只要其中一个开关能够闭合,线路就可以正常工作.设这两个开关能够闭合的概率分别为0.5和0.7,则线路能够正常工作的概率是( ) A .0.35B .0.65C .0.85D .二、填空题(本题包括4个小题,每小题5分,共20分)13.设每门高射炮命中飞机的概率为0.06,且每一门高射炮是否命中飞机是独立的,若有一敌机来犯,则需要______门高射炮射击,才能以至少99%的概率命中它.14.已知函数32()6(0)f x ax ax b a =-+>,使()f x 在[1,2]-上取得最大值3,最小值-29,则b 的值为__________.15.若复数z 满足()12i Z i +=(i 为虚数单位),则Z 的共轭复数Z =__________.16.已知球的半径为24cm ,一个圆锥的高等于这个球的直径,而且球的表面积等于圆锥的表面积,则这个圆锥的体积是__________ cm 1.(结果保留圆周率π)17.选修4-5:不等式选讲 已知函数() 1.f x ax =-(1)若()2f x ≤的解集为[]3,1-,求实数a 的值;(2)若1a =,若存在x ∈R ,使得不等式()()21132f x f x m +--≤-成立,求实数m 的取值范围. 18.某中学一名数学老师对全班50名学生某次考试成绩分男女生进行统计,其中120分(含120分)以上为优秀,绘制了如图所示的两个频率分布直方图:(1)根据以上两个直方图完成下面的22⨯列联表: 性别 成绩 优秀 不优秀 总计 男生 女生 总计(2)根据(1)中表格的数据计算,你有多大把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系?0k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828()20P K k ≥0.15 0.100.05 0.025 0.010 0.005 0.001附:()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++.19.(6分)某企业开发一种新产品,现准备投入适当的广告费对产品进行促销,在一年内,预计年销量Q (万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为()320x Q x x-=>,已知生产此产品的年固定投入为3万元,每生产1万件此产品仍需要投入32万元,若年销售额为“年生产成本的150%”与“年广告费的50%”之和,而当年产销量相等:(1)试将年利润y (万元)表示为年广告费x (万元)的函数;20.(6分)已知函数()()222ln 02a a f x a x x ax a +=-+≠.(1)当3a =时,求()f x 的单调区间;(2)若()f x 在1x =处取得极大值,求a 的取值范围.21.(6分)甲乙两个学校高三年级分别有1100人,1000人,为了了解两个学校全体高三年级学生在该地区一模考试的数学成绩情况,采用分层抽样方法从两个学校一共抽取了105名学生的数学成绩,并作出了频数分布统计表如下:(1)计算x ,y 的值;(2)若规定考试成绩在[]120150,为优秀,请根据样本估计乙校数学成绩的优秀率; (3)若规定考试成绩在[]120150,内为优秀,由以上统计数据填写下面22⨯列联表,若按是否优秀来判断,是否有95%的把握认为两个学校的数学成绩有差异.附:()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++,n a b c d =+++.22.(8分)某地随着经济的发展,居民收入逐年增长,下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额),如下表1: 年份x20112012 2013 2014 2015 储蓄存款y (千亿元) 567810为了研究计算的方便,工作人员将上表的数据进行了处理,2010,5t x z y =-=-得到下表2: 时间代号t 1 2 3 4 5 z1235(Ⅰ)求z 关于t 的线性回归方程;(Ⅱ)通过(Ⅰ)中的方程,求出y 关于x 的回归方程;(Ⅲ)用所求回归方程预测到2020年年底,该地储蓄存款额可达多少?(附:对于线性回归方程ˆˆˆybx a =+,其中1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nx yb ay bx xnx ==-⋅==--∑∑) 参考答案一、单选题(本题包括12个小题,每小题35,共60分.每小题只有一个选项符合题意) 1.B 【解析】 【分析】利用所给条件逐条验证,最小正周期是π得出2ω=,把②③分别代入选项验证可得. 【详解】 把6x π=代入A 选项可得sin()0y π=-=,符合;把6x π=代入B 选项可得sin 00y ==,符合;把6x π=代入C 选项可得cos 1y π==-,不符合,排除C ;把6x π=代入D 选项可得sin12y π==,不符合,排除D ; 当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,4452[,]336x πππ-∈--,此时为减函数;当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,πππ2[,]336x -∈-,此时为增函数;故选B. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质,侧重考查直观想象的核心素养. 2.A 【解析】 【分析】利用条件概率公式,即可得出结论. 【详解】由题意()0.475P A =,()()10.990.680.155P B =-=,()()10.950.680.1352P AB =-=, 所以()()()0.135270.47595P AB P B A P A ===, 故选A 项. 【点睛】本题考查条件概率的计算,正态分布的简单应用,属于简单题. 3.B 【解析】 【分析】 【详解】0a =时,直线210x ay +-=与直线220bx y +-=不平行,所以直线210x ay +-=与直线220bx y +-=平行的充要条件是2221b a -=≠-, 即4ab =且1(4)a b ≠≠,所以“4ab =”是直线210x ay +-=与直线220bx y +-=平行的必要不充分条件. 故选B . 4.B 【解析】分析:先求出z ,然后根据共轭复数定义结合复数坐标写法即可. 详解:由题可知:11,1iz i z i i-==--=-+,所以所对应的坐标为(-1,1),故在第二象限,选B. 点睛:考查复数的除法运算,复数的坐标表示,属于基础题. 5.A 【解析】由题意得“对(),t ∀∈-∞+∞,[]1,7s ∃∈,使()()(0)f t a g s a +≤>成立”等价于“max max ()()f x a g x +≤”.∵()2321(23)(21)4f x x x x x =--+=≤--+=,当且仅当(23)(21)0x x -⋅+≥时等号成立. ∴max ()4f x =.在()g x =1070x x -≥⎧⎨-≤⎩,解得17x ≤≤.令43cos ,[0,]x θθπ=+∈,则()g x ==(sin)sin()6222θθθϕ==+≤,(其中tan ϕ=. ∴max ()6g x =.由46a +≤,解得2a ≤, 又0a >,故02a <≤,∴实数的a 取值范围是(0,2].选A . 点睛:(1)对于求y x a x b =-+-或y x a x b =+--型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便.形如y x a x b =-+-的函数只有最小值,形如y x a x b =+--的函数既有最大值又有最小值.(2)求函数的最值时要根据函数解析式的特点选择相应的方法,对于含有绝对值符号的函数求最值时,一般采用换元的方法进行,将问题转化为二次函数或三角函数的问题求解. 6.C 【解析】 【分析】根据题意A 中必须有1,2这两个元素,因此A 的个数应为集合{3,4,5}的子集的个数. 【详解】解:{}{}1,21,2,3,4,5A ⊆⊆Q ,∴集合A 中必须含有1,2两个元素,因此满足条件的集合A 为{}1,2,{}1,2,3,{}1,2,4,{}1,2,5,{}1,2,3,4,{}1,2,3,5,{}1,2,4,5,{}1,2,3,4,5共8个.故选C . 【点睛】本题考查了子集的概念,熟练掌握由集合间的关系得到元素关系是解题的关键.有n 个元素的集合其子集共有2n 个. 7.B 【解析】依题意可得,3位实习教师中可能是一男两女或两男一女.若是一男两女,则有123543C C A ⋅⋅种选派方案,若是两男一女,则有213543C C A ⋅⋅种选派方案.所以总共有123213543543420C C A C C A ⋅⋅+⋅⋅=种不同选派方案,8.B 【解析】设正方形边长为a ,则圆的半径为2a ,正方形的面积为2a ,圆的面积为2π4a .由图形的对称性可知,太极图中黑白部分面积相等,即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得,此点取自黑色部分的概率是221ππ248a a ⋅=,选B. 点睛:对于几何概型的计算,首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域(长度、面积、体积或时间),其次计算基本事件区域的几何度量和事件A 区域的几何度量,最后计算()P A . 9.D 【解析】 【分析】先化简集合P ,注意0x ≠,由题意可知,M P ⊆,确定a 即可 【详解】Q {}{23|log 2|30P x x x x ≤==-≤<或}03x <≤,图中的阴影部分为空集,M P ∴⊆310a a ≥-⎧∴⎨+<⎩或013a a >⎧⎨+≤⎩,即30a -≤<或02a <≤又a Z ∈Q ,{}3,2,1,1,2a ∴∈---,故选D 【点睛】考查维恩图的识别、对数计算、列举法及集合的关系 10.C 【解析】 【分析】V S h =⋅计算结果.【详解】因为底面是边长为2的正三角形,所以底面的面积为12222⨯⨯⨯=6=.【点睛】本题考查了棱柱的体积公式,属于简单题型.根据题意,分3步进行分析该学生在“语文、数学、外语三门”、“化学、生物、政治、地理四门”、“物理、历史两门”中的选法数目,由分步计数原理计算可得答案. 【详解】根据题意,分3步进行分析:①语文、数学、外语三门必考科目,有1种选法;②在化学、生物、政治、地理四门科目中必选两门,有246C =种选法; ③在物理、历史两门科目中必选一门,有121C =种选法;则这名学生的不同选科组合有16212⨯⨯=种. 故选:B . 【点睛】本题考查排列、组合的应用,涉及分步计数原理的应用,属于基础题. 12.C 【解析】试题分析:线路能够了正常工作的概率=1(10.5)(10.7)10.150.85---=-=,故选C. 考点:独立事件,事件的关系与概率.二、填空题(本题包括4个小题,每小题5分,共20分) 13.75 【解析】 【分析】设需要n 门高射炮,由题意得出()110.060.99n--≥,解出n 的取值范围,可得出正整数n 的最小值. 【详解】设需要n 门高射炮,则命不中的概率为()10.06n -,由题意得出10.940.99n-≥,得0.940.01n≤,解得0.942log 0.01lg 0.94n ≥=-,而274.43lg 0.94-≈,因此,至少需要75门高射炮.故答案为:75. 【点睛】本题考查独立事件概率乘法公式的应用,在涉及“至少”问题时,可以利用对立事件的概率公式来进行计分析:求函数的导数,可判断()f x 在[]1,2-上的单调性,求出函数在闭区间上[]1,2-的极大值,可得最大值,从而可得结果.详解:函数的()f x 的导数()()2'31234f x ax ax ax x =-=-,0a >Q ,∴由()'0f x <解得04x <<,此时函数单调递减.由()'0f x >,解得4x >或0x <,此时函数单调递增. 即函数在[]1,0-上单调递增,在[]0,2上单调递减,即函数在0x =处取得极大值同时也是最大值,则()03f b ==,故答案为3.点睛:本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值与最值,属于难题.求函数()f x 极值的步骤:(1) 确定函数的定义域;(2) 求导数()f x ';(3) 解方程()0,f x '=求出函数定义域内的所有根;(4) 列表检查()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号,如果左正右负(左增右减),那么()f x 在0x 处取极大值,如果左负右正(左减右增),那么()f x 在0x 处取极小值. (5)如果只有一个极值点,则在该处即是极值也是最值;(6)如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小. 15.2155i - 【解析】 【分析】先由复数的除法运算,求出复数Z ,进而可得出其共轭复数. 【详解】因为()12i Z i +=,所以(12)22112(12)(12)555i i i i Z i i i i -+====+++-, 因此其共轭复数为2155Z i =- 故答案为2155i - 【点睛】本题主要考查复数的运算,以及共轭复数,熟记运算法则与共轭复数的概念即可,属于基础题型. 16.312288πcm结合球的表面积等于圆锥的表面积,建立等式,计算半径r ,利用体积计算公式2V r h π=⋅,即可。

高二文科数学-启东中学期末试卷及答案

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启东市第二学期期末高二(文科)数学试题一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分。

不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上。

1.从“⇒”、“⇐”、“⇔”中选择适当的符号填空: ①22+=x x ▲ 2||+=x x ;②∈x A ∪B ▲ ∈x A ∩B .①⇔;②⇐2.若命题p 的逆命题是q ,命题p 的逆否命题是r ,则q 与r 的命题关系是 ▲ . 由四种命题关系图可得:互为否命题 3.i 是虚数单位.已知4)1(331i iiz ++-+=,则复数z 对应的点落在第 ▲ 象限. 二(或2)4.已知命题P :∈∃x R ,0322>-+x ax .如果命题⌝P 是真命题,那么a 的范围是 ▲ .由⌝P :∈∀x R ,322-+x ax ≤0是真命题,即322-+x ax ≤0恒成立,得a ≤31- 5.已知双曲线的两条渐近线方程为043=±y x ,则双曲线方程为 ▲ .只知渐近线不知焦点,故分两种情况(共轭双曲线).得191622±=-y x 6.已知在复平面内,定点M 与复数m =1+2i 对应,动点Z 与复数yi x z +=(∈y x ,R )对应,那么不等式|23|m z -≤2的点Z 的集合表示的图形面积为 ▲ .不等式|23|m z -≤2可化为|32|m z -≤32,以)34,32(为圆心,32为半径的圆面,面积为94π7.已知圆x 2+y 2-6x -7=0与抛物线y 2=-2px (p >0)的准线相切,则p = ▲ .分析: 圆方程化为16)3(22=+-y x ,垂直于x 轴的圆的切线为x =-1,x =7,由于抛物线方程是标准方程,故准线方程为x =7,解得p =148.设中心在原点的椭圆离心率为e ,左、右两焦点分别为F 1、F 2,抛物线x y 42=以F 2为焦点,点P为抛物线和椭圆的一个交点,若PF 2与x 轴成45°,则e 的值为 ▲ .抛物线x y 42=以F 2为焦点得c =1,PF 2与x 轴成45°得PF 2方程y =x +1,从而得点P (1,2),得直角三角形12F PF ,得215+=a ,215-=e 9.已知函数x x x f cos 21)(2+=,则)(x f 取得极值时的x 值为 ▲ . 0sin )(=-='x x x f 只有一解0,故x =010.已知函数23)(23+-=x x x f ,若]3,2[-∈x ,则函数的值域为 ▲ .)2(3)(-='x x x f ,]0,2[-,]3,2[上增,)2,0(上减,18)2(-=-f ,2)0(=f ,2)2(-=f ,2)3(=f ,故值域为]2,18[-11.已知函数)(x f y =的图象如图,则函数)(x f y '=的草图为 ▲ .12.已知三次方程0223=+++b x ax x 有三个实数根,它们分别可作为抛物线、双曲线、椭圆的离心率,则实数a 的取值范围是 ▲ . 由题意可知3--=a b ,0]3)1()[1(223=++++-=+++a x a x x b x ax x ,则03)1(2=++++a x a x 的两根分别在(0,1)(1,+∞)上令3)1()(2++++=a x a x x g ,则⎩⎨⎧<>0)1(0)0(g g ,得253-<<-a13.请阅读下列材料:若两个正实数12,a a 满足22121a a +=,那么21a a +≤2.证明:构造函数2221212()()()22()1f x x a x a x a a x =-+-=-++,因为对一切实数x ,恒有)(x f ≥0,所以△≤0,从而得8)(4221-+a a ≤0,所以21a a +≤2.根据上述证明方法,若n 个正实数满足222121n a a a ++⋅⋅⋅+=时,你能得到的结论为 ▲ .(不必证明)关键是构造函数∑∑==+-=-=ni ni i ix a nx a x x f 112212)()(对一切实数x ,恒有)(x f ≥0,所以△≤0,从而得n a a a +++ 21≤n14.如图,坐标纸上的每个单元格的边长为1,由下往上的六个点:1,2,3,4,5,6的横纵坐标 分别对应数列}{n a (n ∈Z *)的前12项, 如下表所示:按如此规律下去,则201120102009a a a ++= ▲ .提示:数列为:1,1,-1,2,2,3,-2,4,3,5,-3,6 ,0201120097531=+==+=+a a a a a a ,k a k =2,故201120102009a a a ++=1005二、解答题:本大题共6小题,共90分。

南通市名校2020年高二第二学期数学期末学业质量监测试题含解析

南通市名校2020年高二第二学期数学期末学业质量监测试题含解析

南通市名校2020年高二第二学期数学期末学业质量监测试题一、选择题:本题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.执行如图所示的程序框图,若输入m=1,n=3,输出的x=1.75,则空白判断框内应填的条件为( )A .1m n -<B .0.5m n -<C .0.2m n -<D .0.1m n -<【答案】B 【解析】当第一次执行,22,230,2,x n =->=返回,第二次执行2333,)30,222x m (=-<=,返回,第三次,234771.75,)30,444x n +==->=(,要输出x ,故满足判断框,此时371244m n -=-=-,故选B .点睛:本题主要考查含循环结构的框图问题.属于中档题.处理此类问题时,一般模拟程序的运行,经过几次运算即可跳出循环结束程序,注意每次循环后变量的变化情况,寻找规律即可顺利解决,对于运行次数比较多的循环结构,一般能够找到周期或规律,利用规律或周期确定和时跳出循环结构,得到问题的结果.2.某军工企业为某种型号的新式步枪生产了一批枪管,其口径误差(单位:微米)服从正态分布()21,3N ,从已经生产出的枪管中随机取出一只,则其口径误差在区间()4,7内的概率为( ) (附:若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ,则()68.27%P μσξμσ-<<+=,()2295.45%P μσξμσ-<<+=)A .31.74%B .27.18%C .13.59%D .4.56%【答案】C 【解析】 【分析】根据已知可得1,3,2,4,25,27μσμσμσμσμσ==-=-+=-=-+=,结合正态分布的对称性,即可求解. 【详解】()()()14757242P P P ξξξ<<=-<<--<<⎡⎤⎣⎦ ()10.95450.68270.13592=⨯-=. 故选:C 【点睛】本题考查正态分布中两个量μ和σ的应用,以及正态分布的对称性,属于基础题.3.已知(),0,1a b ∈,记,1M ab N a b ==+-,则M 与N 的大小关系是( ) A .M N < B .M N >C .M N =D .不能确定【答案】B 【解析】 【分析】作差并因式分解可得M-N=()()11b a -- ,由a ,b ∈(0,1)可作出判断. 【详解】由题意可得M-N=()1ab a b -+-=1ab a b --+=()()11a b b ---=()()11b a --, ∵a ,b ∈(0,1),∴(b-1)∈(-1,0),(a -1)∈(-1,0), ∴(b-1)(a -1)>0,∴M >N 故选B. 【点睛】本题考查作差法比较式子大小,涉及因式分解,属基础题.4.椭圆2214x y +=的长轴长为( )A .1B .2C .D .4【答案】D 【解析】 【分析】由椭圆方程得出2a =即可 【详解】由2214x y +=可得24a =,即2a =所以长轴长为24a = 故选:D 【点睛】本题考查的是由椭圆的方程得长轴长,较简单 5.设2019220190122019(12)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+,则201920182017012201820192222a a a a a ⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+的值为( ) A .20192 B .1C .0D .-1【答案】C 【解析】【分析】首先采用赋值法,令12x =,代入求值201932019120232019112 (022222)a a a a a ⎛⎫-⨯=+++++= ⎪⎝⎭,通分后即得结果. 【详解】 令12x =, 201932019120232019112 (022222)a a a a a ⎛⎫-⨯=+++++= ⎪⎝⎭, 20192018201732019012201820191202320192019222...2...022222a a a a a a a a a a ⋅+⋅+⋅++⋅++++++==,∴ 2019201820170122018201922220a a a a a ⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+=.故选:C 【点睛】本题考查二项式定理和二项式系数的性质,涉及系数和的时候可以采用赋值法求和,本题意在考查化归转化和计算求解能力,属于中档题型.6.某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队,平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊,其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士,则不同的分配方案有 A .72种 B .36种C .24种D .18种【答案】B 【解析】 【分析】根据条件2名内科医生,每个村一名,3名外科医生和3名护士,平均分成两组,则分1名外科,2名护士和2名外科医生和1名护士,根据排列组合进行计算即可. 【详解】2名内科医生,每个村一名,有2种方法,3名外科医生和3名护士,平均分成两组,要求外科医生和护士都有,则分1名外科,2名护士和2名外科医生和1名护士, 若甲村有1外科,2名护士,则有,其余的分到乙村, 若甲村有2外科,1名护士,则有,其余的分到乙村,则总共的分配方案为2×(9+9)=2×18=36种, 故选:B. 【点睛】本题主要考查了分组分配问题,解决这类问题的关键是先分组再分配,属于常考题型.7.椭圆22194x y+=的点到直线240x y+-=的距离的最小值为()A B C D.0 【答案】D【解析】【分析】写设椭圆2294x y+=1上的点为M(3cosθ,2sinθ),利用点到直线的距离公式,结合三角函数性质能求出椭圆2294x y+=1上的点到直线x+2y﹣4=1的距离取最小值.【详解】解:设椭圆2294x y+=1上的点为M(3cosθ,2sinθ),则点M到直线x+2y﹣4=1的距离:d==|5sin(θ+α)﹣4|,∴当sin(θ+α)45=时,椭圆2294x y+=1上的点到直线x+2y﹣4=1的距离取最小值d min=1.故选D.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、椭圆的参数方程以及点到直线的距离、三角函数求最值,属于中档题.8.某同学通过英语听力测试的概率为12,他连续测试n次,要保证他至少有一次通过的概率大于0.9,那么n的最小值是( )A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】【分析】由题意利用n次独立试验中恰好发生k次的概率计算公式以及对立事件发生的概率即可求得结果.【详解】由题意可得,01110.92n n C ⎛⎫-⋅-> ⎪⎝⎭,求得10.12n⎛⎫< ⎪⎝⎭,∴4n ≥, 故选B . 【点睛】本题主要考查n 次独立试验中恰好发生k 次的概率计算公式的应用,属于基础题. 9.函数()ln 41f x x x =-+的递增区间为( ) A .1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭B .()0,4C .1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D .10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】∵f(x)=lnx−4x+1定义域是{x|x>0}∵()1144x f x x x-'=-= 当f′(x)>0时,104x <<.本题选择D 选项.点睛:(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号.关键是分离参数k ,把所求问题转化为求函数的最小值问题.(2)若可导函数f(x)在指定的区间D 上单调递增(减),求参数范围问题,可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题,从而构建不等式,要注意“=”是否可以取到.10.设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数,(1)0f -=,当0x <时,()()f x f x x'<,则使得()0f x >成立的x 的取值范围是( ) A .(,1)(0,1)-∞- B .(,1)(1,0)-∞-- C .(0,1)(1,)⋃+∞ D .(1,0)(0,)-+∞【答案】A 【解析】 【分析】 构造函数()()f x g x x=,首先判断函数的奇偶性,利用()()'f x f x x <可判断0x <时函数的单调性,结合函数图象列不等式组可得结果. 【详解】设()()f xg x x=, 则()g x 的导数为()()()2''xf x f x g x x-=, 因为0x <时,()()'f x f x x<, 即()()'xf x f x >成立,所以当0x <时,()'g x 恒大于零,∴当0x <时,函数()()f xg x x=为增函数, 又()()()()f x f x g x g x xx--===-,∴函数()g x 为定义域上的偶函数,当0x >时,函数()()f xg x x=为减函数, 又()()1101f g --==-∴函数()g x 的图象性质类似如图,数形结合可得,不等式()()00f x x g x >⇔⋅>,()00x g x >⎧⇔⎨>⎩或()00x g x <⎧⎨<⎩,可得01x <<或1x <-,使得()0f x >成立的x 的取值范围是()(),10,1-∞-⋃ 故选:A.【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性,并由函数的奇偶性和单调性解不等式,属于综合题. 联系已知条件和结论,构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法,解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题,设法建立起目标函数,并确定变量的限制条件,通过研究函数的单调性、最值等问题,常可使问题变得明了,准确构造出符合题意的函数是解题的关键;解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数,构造函数时往往从两方面着手:①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”;②若是选择题,可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.11.已知某产品连续4个月的广告费用()1,2,3,4i x i =(千元)与销售额()1,2,3,4i y i =(万元),经过对这些数据的处理,得到如下数据信息:①广告费用x 和销售额y 之间具有较强的线性相关关系; ②441118,14ii i i xy ====∑∑;③回归直线方程y bx a =+中的b =0.8(用最小二乘法求得); 那么,广告费用为8千元时,可预测销售额约为( ) A .4.5万元 B .4.9万元C .6.3万元D .6.5万元【答案】C 【解析】 【分析】由已知可求出,x y ,进而可求出a ,即可得到回归方程,令8x =,可求出答案. 【详解】由题意,4411114.5, 3.544i i i i x x y y ======∑∑,因为0.8b =,所以 3.50.8 4.50.1a y bx =-=-⨯=-, 则回归直线方程为0.80.1y x =-. 当8x =时,0.880.1 6.3y =⨯-=. 故选C. 【点睛】本题考查了线性回归方程的求法,考查了计算能力,属于基础题.12.甲、乙、丙、丁四人参加驾校科目二考试,考完后,甲说:我没有通过,但丙已通过;乙说:丁已通过;丙说:乙没有通过,但丁已通过;丁说:我没有通过.若四人所说中有且只有一个人说谎,则科目二考试通过的是( )A .甲和丁B .乙和丙C .丙和丁D .甲和丙【答案】C 【解析】 【分析】逐一验证,甲、乙、丙、丁说谎的情况,可得结果. 【详解】 若甲说谎,则可知丁通过,但丁说没通过,故矛盾 若乙说谎则可知丁没有通过,但丙说丁通过,故矛盾 若丙说谎则可知丁通过,但丁说没有通过,故矛盾 若丁说谎,则可知丙、丁通过了科目二 所以说谎的人是丁 故选:C 【点睛】本题考查论证推理,考验逻辑推理以及阅读理解的能力,属基础题. 二、填空题:本题共4小题13.已知2()3(2)f x x xf =+',则(2)f '=________. 【答案】-1 【解析】试题分析:把给出的函数求导,在其导函数中取x=1,则f′(1)可求. 解:由f (x )=x 1+3xf′(1), 得:f′(x )=1x+3f′(1), 所以,f′(1)=1×1+3f′(1), 所以,f′(1)=﹣1. 故答案为﹣1. 考点:导数的运算.14.(333cos x x dx -=⎰________.【答案】92π【解析】 【分析】将定积分分为两部分,前一部分根据奇函数积分为0,后一部分转化为几何面积得到答案.【详解】(3333333cos cos x x dx x xdx ---=+⎰⎰⎰3cos x x 为奇函数333cos 0x xdx -=⇒⎰ 3-⎰表示半径为3的半圆面积:为92π 故答案为:92π 【点睛】本题考查了定积分的计算,根据奇函数的性质可以简化运算. 15.抛物线2y x = 的焦点到准线的距离为________. 【答案】12【解析】21p = ,所以12p = ,所以抛物线的焦点到准线的距离为12 .16.若1a b +=,(),a b R +∈,则11ab+的最小值为__________. 【答案】4 【解析】 【分析】 由题可得,()11112b aa b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭,再利用基本不等式的性质即可得出结果. 【详解】因为0,0,1a b a b >>+=,所以()11112b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭24≥+=, 当且仅当12a b ==时取等号, 所以11a b+的最小值为4. 故答案为:4. 【点睛】本题主要考查利用“整体乘1”的方法和基本不等式的性质来求最值,注意基本不等式的前提是正数. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

江苏省南通市启东市高二数学下学期期末考试试题(扫描版)

江苏省南通市启东市高二数学下学期期末考试试题(扫描版)

江苏省南通市启东市2017—2018学年高二数学下学期期末考试试题(扫描版)2017~2018学年第二学期期终考学生素质调研测试高二数学(Ⅰ)参考答案一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.1.∃x ∈R ,2x 2+3x +4≤0;2.11(,)(,)22-∞--+∞(或{x |x ≠-错误!});3.错误!;4.真; 5.2x +2cos x ;6.-1;7.0;8.(0,1);9.必要不充分;10.2x -y +2=0(或y =2x +2);11.2;12.(0,+∞);13.{}22(3,1]e --;14.4.二、解答题:本大题共6小题,共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)甲、乙两个同学分别抛掷一枚质地均匀的骰子.(1)求他们抛掷的骰子向上的点数之和是4的倍数的概率;(2)求甲抛掷的骰子向上的点数不大于乙抛掷的骰子向上的点数的概率.【解】(1)记“他们抛掷的骰子向上的点数之和是4的倍数"为事件A ,基本事件共有36个,事件A 包含9个基本事件,故P (A )=14;……………6分(2)记“甲抛掷的骰子向上的点数不大于乙抛掷的骰子向上的点数”为事件B ,基本事件共有36个,事件B 包含21个基本事件,故P (B )=2173612=.……………12分答(1)他们抛掷的骰子向上的点数之和是4的倍数的概率为错误!;(2)甲抛掷的骰子向上的点数不大于乙抛掷的骰子向上的点数的概率为错误!.……………14分16.(本小题满分14分)已知集合A ={x |0≤kx +1≤5},B ={ x |-1≤x ≤2}.(1)当k =1时,求集合A ;(2)当k ≤0时,若A ∩B =B ,求实数k 的取值范围.【解】(1)当k =1时,A ={x |0≤x +1≤5}={x |-1≤x ≤4};……………4分(2)因为A ∩B = B ,所以B A ,……………6分由0≤kx +1≤5,得-1≤kx ≤4,①当k =0时,A =R ,满足B A 成立;……………8分②当k <0时,A =]1,4[k k -,……………10分由B A ,得4112k k⎧-⎪⎨⎪-⎩≤≥,……………12分 即12k -≥,故102k -<≤, 综上所述:102k -≤≤.……………14分 17.(本小题满分14分)如图,在圆心角为90°,半径为60 cm 的扇形铁皮上截取一块矩形材料OABC ,其中点O 为圆心,点B 在圆弧上,点A ,C 在两半径上,现将此矩形铁皮OABC 卷成一个以AB 为母线的圆柱形铁皮罐的侧面(不计剪裁和拼接损耗),设矩形的边长AB =x cm ,圆柱形铁皮罐的容积为V (x ) cm 3。

江苏省启东中学2020学年高二数学下学期第二次月考试题 理

江苏省启东中学2020学年高二数学下学期第二次月考试题 理

江苏省启东中学2020学年度第二学期月考高二理科数学试卷数学I 2020.06 (满分160分,考试时间120分钟)一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案直接填写在答题卡相应位......置上... 1.已知全集U ={0,1,2,3,4},集合A ={1,2,3},B ={2,4},则(∁U A )∪B 是 ▲ . 2.函数)2lg(1x y -=的定义域是 ▲ .3.函数y =12x 2-ln x 的单调递减区间是 ▲ .4.曲线y =sin xsin x +cos x +1在点)23,4π(M 处的切线的斜率是 ▲ .5.已知命题p :若函数2()||f x x x a =+-是偶函数,则0a =;命题q :(0,)m ∀∈+∞,关于x 的方程2210mx x -+=有解.下列命题为真命题的是 ▲ .(填序号)①p q ∨;②p q ∧;③()p q ⌝∧;④()()p q ⌝∨⌝6.若函数f (x )=k -2x1+k ·2x 在定义域上为奇函数,则实数k = ▲ .7.已知x x g 21)(-=,)0(1)]([22≠-=x xx x g f ,则)21(f = ▲ . 8.已知f (x )是定义在R 上的奇函数,当0>x 时,x x x f 4)(2-=,则不等式x x f >)(的解集用区间表示是 ▲ .9.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+x ,x <0,-x 2,x ≥0.若f (f (a ))≤2,则实数a 的取值范围是 ▲ .10.“0a ≤”是“函数()1|()|f x ax x -=在区间(0,)+∞内单调递增”的 ▲ 条件。

(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”) 11.已知函数()f x 是定义在R 上的周期为4的奇函数,当02≤<-x 时, a x f x +=2)(,则=⎪⎭⎫ ⎝⎛-213f ▲ .12.已知函数f (x )=x 2(x -a ).若若存在(2,3),∈t s , 且t s ≠,使得)()(t f s f ≠成立,则实数a 的取值范围是 ▲ .13.定义在R 上的奇函数()f x 的导函数满足()()'f x f x <,且()()31f x f x ⋅+=-, 若ef 1)2018(-=,则不等式1)(+<x e x f 的解集是 ▲ .14. 定义域为R 的函数f (x )满足f (x+2)=3f (x ),当[0,2]x ∈时,x x x f 2)(2-=, 若[4,2]x ∈--时,⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥t t x f 3181)(恒成立,则实数t 的取值范围是 ▲ . 二、解答题:本大题共6小题,共90分.请在答题卡指定区域.......内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)已知命题p :指数函数x a x f )62()(-=在R 上是单调减函数;命题q :关于x 的方程012322=++-a ax x 的两根均大于3.若p 或q 为真,p 且q 为假,求实数a 的范围.16.(本小题满分14分)已知函数,R (11lg )(∈--=k x kx x f 且k >0). (1) 求函数)(x f 的定义域;(2) 若函数)(x f 在[10,+∞)上单调递增,求k 的取值范围.17.(本小题满分15分)函数f (x )的定义域为D ={x |x ≠0},且满足对于任意x 1,x 2∈D ,有f (x 1·x 2)=f (x 1)+f (x 2).(1)求f (1)的值;(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论;(3)如果f (4)=1,f (x -1)<2,且f (x )在(0,+∞)上是增函数,求x 的取值范围.18.(本小题满分15分)已知函数)0(32ln )(≠+-=a ax x a x f . (1)设1-=a ,求函数)(x f 的极值;(2)在(1)的条件下,若函数m x f x x x g +'+=)(31)(23(其中)(x f '为)(x f 的导数)在区间(1,3)上不是单调函数,求实数m 的取值范围.19.(本小题满分16分)已知某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万元,每生产1万部还需另投入16万元.设公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完,每万部的销售收入为R (x )万元,且R (x )=⎩⎪⎨⎪⎧400-6x ,0<x ≤40,7 400x-40 000x 2,x >40.(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (万部)的函数解析式;(2)当年产量为多少万部时,公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.20.(本小题满分16分)已知函数().ln xxxf=(1)求函数()x f的极值点;(2)若直线l过点(0,—1),并且与曲线()x fy=相切,求直线l的方程;(3)设函数()()()1--=xaxfxg,其中Ra∈,求函数()x g在[]e,1上的最小值.(其中e为自然对数的底数)数学Ⅱ(附加题)1.(本小题满分10分)求下列函数的导数:(1)y=ln xx2+1; (2)y=ln(2x-5).2.(本小题满分10分)为了做好阅兵人员的运输,从某运输公司抽调车辆支援,该运输公司有7个车队,每个车队的车辆均多于4辆.现从这个公司中抽调10辆车,并且每个车队至少抽调1辆,那么共有多少种不同的抽调方法?3.(本小题满分10分)在一袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个,记上n 号的有n 个(n =1,2,3,4),现从袋中任取一球,X 表示所取球的标号.(1)求X 的分布列、期望;(2)若Y =aX +b ,E (Y )=1,V (Y )=11,试求a ,b 的值.4.(本小题满分10分)设(1+x )n =a 0+a 1x +a 2x 2+…+a n x n ,n ∈N *,n ≥2.(1)若n =11,求a 6+a 7+a 8+a 9+a 10+a 11的值;(2)设b k =2k a k (k ∈N ,k ≤n ),S n =b 0+b 1+b 2+…+b n ,求S n 的值.江苏省启东中学2020学年度第二学期月考理数学I一、填空题:1.{0,2,4};2.)2,1()1,(⋃-∞;3. (0,1];4. 21;5.①④;6. ±1;7. 15;8.()()5,05,-+∞U ;9. (-∞,2];10.充分必要;11. 424-;12. ⎝ ⎛⎭⎪⎫3,92 ; 13.),2(+∞- ;14.10t -≤<或3t ≥二、解答题: 15.(本小题满分14分)已知命题p :指数函数f (x )=(2a -6)x在R 上是单调减函数;命题q :关于x 的方程x 2-3ax +2a 2+1=0的两根均大于3.若p 或q 为真,p 且q 为假,求实数a 的范围. 解:由p 真得0<2a -6<1,即3<a <72; ……………4分由q 真得⎩⎪⎨⎪⎧9a 2-4(2a 2+1)≥0,3a2>3,9-9a +2a 2+1>0,解得a >52;……………8分若p 或q 为真,p 且q 为假,则p 、q 一真一假.若p 真q 假,则⎩⎪⎨⎪⎧3<a<72,a ≤52.解集为∅; ……………10分若p 假q 真,则⎩⎪⎨⎪⎧a≤3或a ≥72,a>52,解得52<a ≤3或a ≥72. ……12分综上所述52<a ≤3或a ≥72. ……………14分16.(本小题满分14分)已知函数f (x )=lg kx -1x -1(k ∈R ,且k >0).(1) 求函数f (x )的定义域;(2) 若函数f (x )在[10,+∞)上单调递增,求k 的取值范围. 解:(1) 由kx -1x -1>0,k >0,得x -1k x -1>0,当0<k <1时,得x <1或x >1k;当k =1时,得x ∈R 且x ≠1;当k >1时,得x <1k或x >1.综上,当0<k <1时,函数定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x<1或x>1k ;当k ≥1时,函数定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x<1k 或x>1. …………… 7分(2) 由函数f (x )在[10,+∞)上单调递增,知10k -110-1>0,∴ k >110.又f (x )=lg kx -1x -1=lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫k +k -1x -1,由题意,对任意的x 1、x 2,当10≤x 1<x 2,有f (x 1)<f (x 2),即lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫k +k -1x 1-1<lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫k +k -1x 2-1,得k -1x 1-1<k -1x 2-1(k -1)(1x 1-1-1x 2-1)<0. ∵ x 1<x 2,∴ 1x 1-1>1x 2-1,∴ k -1<0,即k <1.综上可知,k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫110,1. ……………14分 17.(本小题满分15分)函数f (x )的定义域为D ={x |x ≠0},且满足对于任意x 1,x 2∈D ,有f (x 1·x 2)=f (x 1)+f (x 2).(1)求f (1)的值;(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论;(3)如果f (4)=1,f (x -1)<2,且f (x )在(0,+∞)上是增函数,求x 的取值范围.解 (1)∵对于任意x 1,x 2∈D ,有f (x 1·x 2)=f (x 1)+f (x 2),∴令x 1=x 2=1,得f (1)=2f (1),∴f (1)=0. ……………5分(2)f (x )为偶函数. ……………7分 证明:令x 1=x 2=-1,有f (1)=f (-1)+f (-1),∴f (-1)=12f (1)=0.令x 1=-1,x 2=x 有f (-x )=f (-1)+f (x ),∴f (-x )=f (x ),∴f (x )为偶函数. ……………10分 (3)依题设有f (4×4)=f (4)+f (4)=2,由(2)知,f (x )是偶函数, ∴f (x -1)<2⇔f (|x -1|)<f (16).又f (x )在(0,+∞)上是增函数. ∴0<|x -1|<16,解之得-15<x <17且x ≠1.∴x 的取值范围是{x |-15<x <17且x ≠1}. ……………15分 18.(本小题满分15分)已知函数)0(32ln )(≠+-=a ax x a x f . (1)设1-=a ,求函数)(x f 的极值;(2)在(1)的条件下,若函数m x f x x x g +'+=)(31)(23(其中)(x f '为)(x f 的导数)在区间(1,3)上不是单调函数,求实数m 的取值范围.解:(1)当1-=a ,32ln )(++-=x x x f )0(>x ,'1()2f x x -=+, …2分∴ ()f x 的单调递减区间为(0,21),单调递增区间为(21,)∞+ ………4分111() ln 23ln 2 4.222f x f =-+⨯+=+的极小值是(). …………7分(2)23)21(31)(x m x x x g ++-+=,1)24()(2'-++=∴x m x x g , 1)0(31)('-=g x g )上不是单调函数,且,在区间(Θ , ………………9分⎪⎩⎪⎨⎧><∴0)3(0)1(''g g ⎩⎨⎧>+<+∴0620024m m 即:2310-<<-m . …………………12分m 的取值范围10(,2)3-- . ………14分19.(本小题满分16分)已知某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万元,每生产1万部还需另投入16万元.设公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完,每万部的销售收入为R (x )万元,且R (x )=⎩⎪⎨⎪⎧400-6x ,0<x ≤40,7 400x-40 000x 2,x >40.(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (万部)的函数解析式;(2)当年产量为多少万部时,公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润. 解 (1)当0<x ≤40时,W =xR (x )-(16x +40)=-6x 2+384x -40, 当x >40时,W =xR (x )-(16x +40)=-40 000x-16x +7 360.所以W =⎩⎪⎨⎪⎧-6x 2+384x -40,0<x ≤40,-40 000x -16x +7 360,x >40. ……………8分(2)①当0<x ≤40时,W =-6(x -32)2+6 104,所以W max =W (32)=6 104; ……………10分 ②当x >40时,W =-40 000x-16x +7 360,由于40 000x+16x ≥240 000x×16x =1 600,当且仅当40 000x=16x ,即x =50∈(40,+∞)时,取等号,……12分所以W 取最大值为5 760.综合①②知,当x =32时,W 取得最大值6 104万元.…………16分 20.(本小题满分16分) 已知函数().ln x x x f = (1)求函数()x f 的极值点;(2)若直线l 过点(0,—1),并且与曲线()x f y =相切,求直线l 的方程;(3)设函数()()()1--=x a x f x g ,其中R a ∈,求函数()x g 在[]e ,1上的最小值.(其中e 为自然对数的底数)解:(1)()x x x f ,1ln +='>0. 而()x f '>0⇔lnx+1>0⇔x >()x f e ',1<0⇔1ln +x <0⇔0<x <,1e所以()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0上单调递减,在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,1e上单调递增. 所以e x 1=是函数()x f 的极小值点,极大值点不存在.…………………5分(2)设切点坐标为()00,y x ,则,ln 000x x y =切线的斜率为,1ln 0+x所以切线l 的方程为()().1ln ln 0000x x x x x y -+=-………………7分又切线l 过点()1,0-,所以有()().01ln ln 10000x x x x -+=--解得.0,100==y x 所以直线l 的方程为.1-=x y …………………10分(3)()()1ln --=x a x x x g ,则().1ln a x x g -+='()x g '<0a x -+⇔1ln <0⇔0<x <()x g e a '-,1>0x ⇔>,1-a e所以()x g 在()1,0-a e 上单调递减,在()+∞-,1a e 上单调递增. ①当,11≤-a e 即1≤a 时,()x g 在[]e ,1上单调递增, 所以()x g 在[]e ,1上的最小值为().01=g ……12分②当1<1-a e <e ,即1<a <2时,()x g 在[)1,1-a e上单调递减,在(]e ea ,1-上单调递增.()x g 在[]e ,1上的最小值为().11---=a a e a e g ……14分 ③当,1-≤a e e 即2≥a 时,()x g 在[]e ,1上单调递减, 所以()x g 在[]e ,1上的最小值为().ae a e e g -+=综上,当1≤a 时,()x g 的最小值为0;当1<a <2时,()x g 的最小值为1--a e a ;当2≥a 时,()x g 的最小值为.ae e a -+ ………………16分数学Ⅱ(附加题)1.(本小题满分10分)求下列函数的导数:(1)y =ln xx 2+1; (2)y =ln(2x -5).解 (1)y ′=ln x ′x 2+1-ln x x 2+1′x 2+12=1xx 2+1-2x ln xx 2+12=x 2+1-2x 2ln x x x 2+12.(2)令u =2x -5,y =ln u ,则y ′=(ln u )′u ′=12x -5·2=22x -5,即y ′=22x -5.2.(本小题满分10分)为了做好阅兵人员的运输,从某运输公司抽调车辆支援,该运输公司有7个车队,每个车队的车辆均多于4辆.现从这个公司中抽调10辆车,并且每个车队至少抽调1辆,那么共有多少种不同的抽调方法?解 在每个车队抽调1辆车的基础上,还需抽调3辆车.可分成三类:一类是从某1个车队抽调3辆,有C 17种抽调方法;一类是从2个车队中抽调,其中1个车队抽调1辆,另1个车队抽调2辆,有A 27种抽调方法;一类是从3个车队中各抽调1辆,有C 37种抽调方法.故共有C 17+A 27+C 37=84种抽调方法.3.(本小题满分10分)在一袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个,记上n 号的有n 个(n =1,2,3,4),现从袋中任取一球,X 表示所取球的标号.(1)求X 的分布列、期望;(2)若Y =aX +b ,E (Y )=1,V (Y )=11,试求a ,b 的值. 解:(1)X 的取值为0,1,2,3,4,其分布列为X 0 1 2 3 4 P1212011032015所以E (X )=0×12+1×20+2×10+3×20+4×5=1.5,(2)由V (Y )=a 2V (X )得2.75a 2=11,得a =±2,又E (Y )=aE (X )+b , 所以当a =2时,由1=2×1.5+b ,得b =-2; 当a =-2时,由1=-2×1.5+b ,得b =4, 所以⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b =-2或⎩⎪⎨⎪⎧a =-2,b =4.4.(本小题满分10分)设(1+x )n=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a n x n ,n ∈N *,n ≥2.(1)若n =11,求a 6+a 7+a 8+a 9+a 10+a 11的值;(2)设b k =2k a k (k ∈N ,k ≤n ),S n =b 0+b 1+b 2+…+b n ,求S n 的值. 解:(1)因为a k =C kn ,当n =11时,a 6+a 7+a 8+a 9+a 10+a 11=C 611+C 711+C 811+C 911+C 1011+C 1111 =12(C 011+C 111+…+C 1011+C 1111)=210=1 024. (2)左边=21111111111111[(1)]n n n n n kk k k k nn n n n k k k k k k C knC n kC n C k C --------========+-∑∑∑∑∑. 1212122222[2(1)][2(1)]2(1)2n n n k n k n n n n k k n n Cn n C n n n --------===+-=+-=+-∑∑ 2(1)2n n n -=+证法二求导积分赋值法:1121(1)2n n n n n n n x C C x nC x --+=++⋅⋅⋅+ 两边同时乘以x 1122(1)2n n n n n n nx x C x C x nC x -+=++⋅⋅⋅+两边再对x 求导可得2112221(1)(1)(1)2n n n n n n n n n x n x C C x n C x ----+++=++⋅⋅⋅+令1x =可得22212223212()2123(1)n n n n n n n n n n C C C n C n C --+=++++-+L。

2020年南通市数学高二下期末统考试题含解析

2020年南通市数学高二下期末统考试题含解析

2020年南通市数学高二(下)期末统考试题一、单选题(本题包括12个小题,每小题35,共60分.每小题只有一个选项符合题意) 1.设随机变量ξ服从正态分布()4,3N ,若()()51P a P a ξξ<-=>+,则实数a 等于( ) A .7B .6C .5D .42.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A .16B .(10+5)πC .4+(5+5)πD .6+(5+5)π3.函数()22ln f x x x =-的单调递减区间是( ) A .(]0,1B .[)1,+∞C .(],1-∞-,()0,1D .[)1,0-,(]0,14.大学生小红与另外3名大学生一起分配到乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教,若每个村小学至少分配1名大学生,则小红恰好分配到甲村小学的方法数为( ) A .3B .18C .12D .65.设函数()()12xf x e x =-,()g x ax a =-,1a >-若存在唯一的整数0x ,使()()0f x g x ->,则a 的取值范围是( )A .31,2e ⎛⎤- ⎥⎝⎦B .2,13e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C .31,2e ⎛⎤--⎥⎝⎦D .21,32e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭6.如图,在下列四个正方体中,A ,B 为正方体的两个顶点,M ,N ,Q 为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB 与平面MNQ 不平行的是( )A .B .C .D .7.数列中,则,则A .B .C .D .8.已知集合A .B .C .D .9.已知直线y=x+1与曲线相切,则α的值为A .1B .2C .-1D .-210.一个停车场有5个排成一排的空车位,现有2辆不同的车停进这个停车场,若停好后恰有2个相邻的停车位空着,则不同的停车方法共有 A .6种B .12种C .36种D .72种11.给出下列四个说法:①命题“0,x ">都有12x x+≥”的否定是“00,x ∃≤使得0012x x +<”;②已知0a b 、>,a b >则a b >”的逆命题是真命题;③1x >是21x >的必要不充分条件;④若0x x =为函数2()2ln xf x x x x e -=++-的零点,则002ln 0x x +=,其中正确的个数为( )A .0B .1C .2D .312.已知定义域为R 的奇函数()f x ,当0x >时,满足()()()23log 72,0233,2x x f x f x x ⎧--<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩,则()()()()123....2018f f f f ++++=( ) A .2log 5B .2log 5-C .2-D .0二、填空题(本题包括4个小题,每小题5分,共20分)13.在某班举行的“庆五一”联欢晚会开幕前已排好有8个不同节目的节目单,如果保持原来的节目相对顺序不变,临时再插进去、、A B C 三个不同的新节目,且插进的三个新节目按、、A B C 顺序出场,那么共有__________种不同的插入方法(用数字作答).14.在ABC ∆中,D 为AB 的中点,24AC CD ==,ABC ∆的面积为6,BE CD ⊥且BE 交CD 于点E ,将BCD ∆沿CD 翻折,翻折过程中,AC 与BE 所成角的余弦值取值范围是__.15.函数()()1lg 4211xx f x +=-+的最小值是___.16.已知点F 为椭圆:C 2212x y +=的左焦点,点P 为椭圆C 上任意一点,点Q 的坐标为()4,3,则PQ PF +取最大值时,点P 的坐标为 .三、解答题(本题包括6个小题,共70分)17.在如图所示的几何体中,DE AC P ,AC ⊥平面BCD ,24AC DE ==,2BC =,1DC =,60BCD ∠=︒.(1)证明:BD ⊥平面ACDE ;(2)求平面BCD 与平面BAE 所成二面角的正弦值.18.某中学一名数学老师对全班50名学生某次考试成绩分男女生进行了统计,其中120分(含120分)以上为优秀,绘制了如下的两个频率分布直方图:(1)根据以上两个直方图完成下面的22⨯列联表: 成绩性别 优秀不优秀合计男生 女生 总计(2)根据(1)中表格的数据计算,你有多大把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系?0k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828()20P K k ≥ 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001(3)若从成绩在[130,140]的学生中任取2人,求取到的2人中至少有1名女生的概率. 19.(6分)已知2220122(12)nn n x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+*()n N ∈.(1)求0242n a a a a +++⋅⋅⋅+的值;(2)当5n =时,求(0,1,2,,2)k a k n =⋅⋅⋅的最大值.20.(6分)某单位组织“学习强国”知识竞赛,选手从6道备选题中随机抽取3道题.规定至少答对其中的2道题才能晋级.甲选手只能答对其中的4道题。

2020年南通市数学高二下期末统考试题含解析

2020年南通市数学高二下期末统考试题含解析

2020年南通市数学高二下期末统考试题一、选择题:本题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.曲线cos 104πρθθ+==关于对称的曲线的极坐标方程是( )A .sin 10ρθ+=B .sin 10ρθ-=C .cos 10ρθ-=D .cos 10ρθ+=【答案】A 【解析】 【分析】先把两曲线极坐标方程化为普通方程,求得对称曲线,再转化为极坐标方程。

【详解】化为标准方程可知曲线cos 10ρθ+=为10x +=,曲线4πθ=为y x =,所以对称直线为10y +=,化为极坐标方程为sin 10ρθ+=,选A. 【点睛】由直角坐标与极坐标互换公式222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩,利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标的相互转化。

2.在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是正方形,顶点P 在底面的射影是底面的中心,且各顶点都在同一球面上,,体积为4,且四棱锥的高为整数,则此球的半径等于( )(参考公式:()3322()a b a b a ab b -=-++)A .2B .116 C .4D .113【答案】B 【解析】 【分析】如图所示,设底面正方形ABCD 的中心为'O ,正四棱锥P ABCD -的外接球的球心为O ,半径为R .则在'Rt PO D ∆中,有221112a h +=,再根据体积为4可求3h =及2a =,在'Rt OO D ∆中,有222(3)R R -+=,解出R 后可得正确的选项.【详解】如图所示,设底面正方形ABCD 的中心为'O ,正四棱锥P ABCD -的外接球的球心为O ,半径为R .设底面正方形ABCD 的边长为a ,正四棱锥的高为()*h h ∈N,则22O D '=. 11222112a h ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭221112a h +=……① 又因为正四棱锥的体积为4,所以2143a h =• ……②由①得()22211a h=-,代入②得31160hh -+=,配凑得32711330h h --+=,()2(3)3911(3)0h h h h -++--=,即()2(3)320h h h -+-=,得30h -=或2h +320h -=.因为*h ∈N ,所以3h =,再将3h =代入①中,解得2a =, 所以22O D a '==,所以OO PO '='-3PO R =-. 在Rt OO D ∆'中,由勾股定理,得222OO O D OD '+'=, 即222(3)2)R R -+=,解得116R =,所以此球的半径等于116.故选B. 【点睛】正棱锥中,棱锥的高、斜高、侧棱和底面外接圆的半径可构成四个直角三角形,它们沟通了棱锥各个几何量之间的关系,解题中注意利用它们实现不同几何量之间的联系.3.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 作圆222x y a +=的切线FM (切点为M ),交y 轴于点P .若M 为线段FP 的中点,则双曲线的离心率是( ) A .2 B 2C 3D 5【答案】B 【解析】 【分析】在FPO ∆中,M 为线段FP 的中点,又OM FP ⊥,得到等腰三角形,利用边的关系得到离心率.在FPO ∆中,M 为线段FP 的中点,又OM FP ⊥,则FPO ∆为等腰直角三角形.22c a e =⇒=故答案选B 【点睛】本题考查了双曲线的离心率,属于常考题型. 4.设0.13592,ln ,log 210a b c ===,则,,a b c 的大小关系是 A .a b c >> B .a c b >>C .b a c >>D .b c a >>【答案】A 【解析】 试题分析:,,即,,.考点:函数的比较大小.5.设实数x ,y 满足不等式组2,23,0,0.x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎨⎪≥≥⎩则3x y +的最小值是( )A .2B .3C .4D .5【答案】B 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的可行域,平移直线3z x y =+在x 轴上截距的变化,找到该直线在x 轴上的截距取得最小值时的最优解,再将最优解代入目标函数可得出答案. 【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示:平移直线3z x y =+,当直线3z x y =+经过可行域的顶点()3,0A 时,此时该直线在x 轴上的截距最小,z 取得最小值,即min 3303z =+⨯=,故选B .本题考查简单的线性规划问题,考查线性目标函数的最值问题,一般利用平移直线的思想,利用其在坐标轴上截距最值的思想找出最优来处理,考查数形结合思想,属于中等题.6.高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习,去哪个工厂可以自由选择,甲工厂必须有班级要去,则不同的参观方案有( ) A .16种 B .18种C .37种D .48种【答案】C 【解析】 【分析】根据题意,用间接法:先计算3个班自由选择去何工厂的总数,再排除甲工厂无人去的情况,由分步计数原理可得其方案数目,由事件之间的关系,计算可得答案. 【详解】根据题意,若不考虑限制条件,每个班级都有4种选择,共有种情况,其中工厂甲没有班级去,即每个班都选择了其他三个工厂,此时每个班级都有3种选择,共有种方案; 则符合条件的有种,故选:C . 【点睛】本题考查计数原理的运用,本题易错的方法是:甲工厂先派一个班去,有3种选派方法,剩下的2个班均有4种选择,这样共有种方案;显然这种方法中有重复的计算;解题时特别要注意.7.定义“规范01数列”{a n }如下:{a n }共有2m 项,其中m 项为0,m 项为1,且对任意2k m ≤,12,,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若m=4,则不同的“规范01数列”共有 A .18个 B .16个 C .14个 D .12个【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】试题分析:由题意,得必有10a =,81a =,则具体的排法列表如下:,01010011;010101011,共14个【点睛】求解计数问题时,如果遇到情况较为复杂,即分类较多,标准也较多,同时所求计数的结果不太大时,往往利用表格法、树状图将其所有可能一一列举出来,常常会达到岀奇制胜的效果.8.已知实数x ,y 满足约束条件5001202x y y x y x ⎧⎪+-≥⎪-≥⎨⎪⎪--≤⎩,若不等式()()2212420a x xy a y -++-≥恒成立,则实数a 的最大值为( ) A .73B .53C 5D 6【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示,考查目标函数yt x=,由目标函数的几何意义可知,目标函数在点()23C ,处取得最大值max 32y t x ==,在点A 或点B 处取得最小值min 1t =,即312t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,. 题中的不等式即:()2222224a x yx xy y +≤++,则:22222224421221x xy y t t a x y t ++++≤=++恒成立, 原问题转化为求解函数()2242131212t t f t t t ++⎛⎫=≤≤ ⎪+⎝⎭的最小值,整理函数的解析式有:()22211112424221211131224112122t t tf tt ttt⎛⎫⎪⎪⎛⎫ ⎪++-⎪ ⎪=⨯=⨯+=+⎪ ⎪⎪++ ⎪⎝⎭-++⎪⎪-⎝⎭,令12m t=-,则112m≤≤,令()34g m mm=+,则()g m在区间132⎛⎫⎪⎪⎝⎭,上单调递减,在区间31⎛⎫⎪⎪⎝⎭,上单调递增,且()172124g g⎛⎫==⎪⎝⎭,,据此可得,当112m t==,时,函数()g m取得最大值,则此时函数()f t取得最小值,最小值为:()2241211712113f⨯+⨯+==⨯+.综上可得,实数a的最大值为73.本题选择A选项.【方法点睛】本题主要考查基本不等式,在用基本不等式求最值时,应具备三个条件:一正二定三相等.①一正:关系式中,各项均为正数;②二定:关系式中,含变量的各项的和或积必须有一个为定值;③三相等:含变量的各项均相等,取得最值.若等号不成立,则利用对勾函数的单调性解决问题.9.函数()321212f x x x x=+-+的极大值为()A.3B.52C2D.2【答案】B【解析】【分析】由题意,函数()321212f x x x x =+-+,则()232(1)(32)f x x x x x '=+-=+-, 令()0f x '>,即(1)(32)0x x +->,解得1x <-或23x >, 令()0f x '<,即(1)(32)0x x +-<,解得213x -<<, 即函数在2(,1),(,)3-∞-+∞上函数()f x 单调递增,在2(1,)3-上函数()f x 单调递减,所以当1x =-时,函数()f x 取得极大值,极大值()512f -=,故选B.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性,以及求解函数的极值问题,其中解答中熟记导数与原函数的单调性之间的关系,以及极值的概念是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题. 10.若复数2()m m mi -+为纯虚数,则实数m 的值为( ) A .1- B .0C .1D .2【答案】C 【解析】试题分析:若复数2()m m mi -+为纯虚数,则必有20{0m m m -=≠解得:1m =,所以答案为C .考点:1.纯虚数的定义;2.解方程.11.已知点(0,1)M -在抛物线2:2(0)C x py p =>的准线上,F 为C 的焦点,过M 点的直线与C 相切于点N ,则FMN ∆的面积为( ) A .1 B .2 C .12D .4【答案】B 【解析】 【分析】根据题中条件可得到抛物线方程,由直线和抛物线相切得到切点N 的坐标,进而求得面积. 【详解】点()0,1M -在抛物线2:2(0)C x py p =>的准线上,可得到p=2,方程为:24x y =,切点N (x,y ),满足24x y =,过M 点的直线设为1,y kx =-和抛物线联立得到2440x kx -+=,2161601k k ∆=-=⇒=±,取k=1,此时方程为()2440,2,1xx N -+=FMN ∆的面积为:1122 2.22N S FM x =⨯⨯=⨯⨯=这个题目考查了直线和抛物线的位置关系,当直线和抛物线相切时,可以联立直线和抛物线,使得判别式等于0,也可以设出切点坐标求导得到该点处的斜率.12.学生会为了调查学生对2018年俄罗斯世界杯的关注是否与性别有关,抽样调查100人,得到如下数据:根据表中数据,通过计算统计量()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++,并参考以下临界数据:若由此认为“学生对2018年俄罗斯世界杯的关注与性别有关”,则此结论出错的概率不超过( ) A .0.10 B .0.05 C .0.025 D .0.01【答案】A 【解析】 因为()()()()()()22210030101545=3.030 2.70645255575n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯=≈>++++⨯⨯⨯,所以若由此认为“学生对2018年俄罗斯世界杯的关注与性别有关”,则此结论出错的概率不超过0.10,故选A. 【方法点睛】本题主要考查独立性检验的应用,属于中档题.独立性检验的一般步骤:(1)根据样本数据制成22⨯列联表;(2)根据公式()()()()()22n ad bc K a b a d a c b d -=++++计算2K 的值;(3) 查表比较2K 与临界值的大小关系,作统计判断.(注意:在实际问题中,独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系,得到的结论也可能犯错误.) 二、填空题:本题共4小题13.直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为__________.【解析】 【分析】将极坐标方程化为直角坐标系方程是常用方法. 【详解】将直线2cos 1ρθ=化为普通方程为:21x =,∵2cos ρθ=,∴22cos ρρθ=,化为普通方程为:222x y x +=,即()2211x y -+=,联立得()222111x x y =⎧⎪⎨-+=⎪⎩,解得122x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩,∴直线与圆相交的弦长为=考点:简单曲线的极坐标方程.14.已知函数()()f x x R ∈满足(1)1f =,且()f x 的导数1'()2f x <,则不等式221()22x f x <+的解集为________.【答案】(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞ 【解析】试题分析:设()()12F x f x x =-根据题意可得函数F x ()在R 上单调递减,然后根据()22122x f x <+可得221122x f x f -<-()(),最后根据单调性可求出x 的取值范围.设()()12F x f x x =-,()111,0222F x f x f x F x f x ∴'='-'<∴'='-<()()()(),即函数F (x )在R 上单调递减,()()()2222211,112222x x f xf x f F x F <+∴-<-∴<()(), 而函数F (x )在R 上单调递减,21x ∴>,即11x ∴∈-∞-⋃+∞(,)(,), 故答案为11-∞-⋃+∞(,)(,) 考点:导数的运算;其它不等式的解法15.已知三棱锥A ﹣BCD 的顶点都在球O 的表面上,且AB ⊥BC ,BC ⊥CD ,AB ⊥CD ,若AB =1,BC =CD =O 的表面积为_____. 【答案】6π. 【解析】 【分析】根据题意画出图形,结合图形把三棱锥A BCD -补充为长方体,则该长方体的外接球为三棱锥的外接球,【详解】如图所示,以,AB BC 和CD 为棱,把三棱锥A BCD -补成一个长方体, 则该长方体的长宽高分别为1,2,3,此时长方体的外接球即为三棱锥的外接球, 且长方体的对角线长为2221(2)(3)6l =++=, 即26R =,即6R =, 所以外接球的表面积为22644()6S R πππ==⨯=.【点睛】本题主要考查了多面体的外接球的表面积的计算,其中解答中以,AB BC 和CD 为棱,把三棱锥A BCD -补成一个长方体,此时长方体的外接球即为三棱锥的外接球是解答本题的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题.16.将一边长为a 的正方形铁片的四角截去四个边长均为x 的小正方形,然后做成一个无盖的方盒,当x 等于__________时,方盒的容积最大. 【答案】6a【解析】 【分析】先求出方盒容积的表达式,再利用导数根据单调性求最大值. 【详解】方盒的容积为:2()(2)()2a V x a x x x =-<2'()4(2)(2)(2)(6)=0()2aV x a x x a x a x a x x =--+-=--<6a x =当26a a x >>时函数递减,当06ax >>时函数递增 max ()()6aV x V =故答案为a【点睛】本题考查了函数的最大值的应用,意在考查学生的应用能力和计算能力.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

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江苏省南通市启东市高二第二学期期末考试数学试卷I卷一、填空题(共14小题,每小题5分,满分70分)1.已知集合P={1,2,3,4},Q={0,3,4,5},则P∩Q=________.2.函数f(x)=+的定义域为________.3.用系统抽样的方法从480名学生中抽取容量为20的样本,将480名学生随机地编号为1~480.按编号顺序平均分为20个组(1~24号,25~48号,…,457~480号),若第1组用抽签的方法确定抽出的号码为3,则第4组抽取的号码为________.4.如图所示的流程图,输入的a=2017,b=2016,则输出的b=________.5.在一个盒子中有分别标有数字1,2,3,3,4的5张卡片,现从中一次取出2张卡片,在取到的卡片上的数字之和为偶数的概率是________.6.某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析,随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩,并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图),则成绩在[300,350)内的学生人数共有________.7.如图所示,该伪代码运行的结果为________.8.已知函数f(x)=|lgx|,若存在互不相等的实数a,b,使f(a)=f(b),则ab=________.9.若函数f(x)=x3﹣ax2+1在x=﹣4处取得极大值,则实数a的值为________.10.已知函数f(x)=,则f(log23+2016)=________.11.若不等式x2﹣2ax﹣b2+12≤0恰有一解,则ab的最大值为________.12.在平面直角坐标系xOy中,已知点P是函数f(x)=lnx(x≥1)的图象上的动点,该图象在P处的切线l交x轴于点M,过点P作l的垂线交x轴于点N,设线段MN的中点的横坐标为t,则t的最大值是________.13.已知函数f(x)=,若函数y=f(f(x))﹣k有3个不同的零点,则实数k的取值范围是________.14.设函数f(x)=lnx+,m∈R,若对任意x2>x1>0,f(x2)﹣f(x1)<x2﹣x1恒成立,则实数m的取值范围是________.二、解答题(共6小题,满分90分)15.设关于x的不等式(x+2)(a﹣x)≥0(a∈R)的解集为M,不等式x2﹣2x﹣3≤0的解集为N,且M∩N=[﹣1,2](1)求实数a的值;(2)若在集合M∪N中任取一个实数x,求“x∈M∩N”的概率.16.函数f(x)=(a、b、c∈Z)是奇函数,且f(1)=2,f(2)<3(1)求a、b、c的值;(2)当x<0时,求函数f(x)的单调区间.17.启东市某中学传媒班有30名男同学,20名女同学,在该班中按性别用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本组成课外兴趣小组.(1)求该传媒班某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数;(2)经过一个月的学习、讨论,决定在这个兴趣小组中选出两名同学做某项实验,方法是先从小组里选出1名同学做实验,该同学做完后,再从小组每剩下的同学中选一名同学做实验,求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率;(3)实验结束后,第一次做实验的同学得到的实验数据为68,70,71,72,74,第二次做实验的同学得到的实验数据为69,70,70,72,74,请问哪次做实验的同学的实验更稳定?并说明理由.18.已知a为实数,函数f(x)=(x2+1)(x+a)(1)若函数f(x)在R上存在极值,求实数a的取值范围;(2)若f′(1)=0,求函数f(x)在区间[﹣1,]上的最大值和最小值;(3)若函数f(x)在区间[﹣1,]上不具有单调性,求实数a的取值范围.19.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.(1)若f(﹣1)=0,试判断函数f(x)的零点个数;(2)是否存在实数a,b,c,使得f(x)同时满足以下条件:①对∀x∈R,f(x﹣2)=f(﹣x);②对∀x∈R,0≤f(x)﹣x≤(x﹣1)2?如果存在,求出a,b,c的值,如果不存在,请说明理由.20.已知函数f(x)=(x﹣1)e x﹣ax3﹣x2+1(a∈R).(1)当a=0时,求f(x)的单调区间;(2)若在区间[0,+∞)上关于x的不等式f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.II卷21.已知矩阵A将点(1,0)变换为(2,3),且属于特征值3的一个特征向量是,求矩阵A.22.已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ,直线l的参数方程是(t为参数).设直线l与x轴的交点是M,N是曲线C上一动点,求MN的最大值.23.某汽车驾驶学校在学员结业前对其驾驶技术进行4次考核,规定:按顺序考核,一旦考核合格就不必参加以后的考核,否则还需要参加下次考核,若小李参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为的等差数列,他参加第一次考核合格的概率超过,且他直到参加第二次考核才合格的概率为.(1)求小李第一次参加考核就合格的概率p1;(2)求小李参加考核的次数X的分布列和数学期望E(X).24.已知函数f(x)=ln(2x+a)﹣4x2﹣2x在x=0处取得极值.(1)求实数a的值,并讨论f(x)的单调性;(2)证明:对任意的正整数n,不等式2+++…+>ln(n+1)都成立.江苏省南通市启东市高二(下)期末数学试卷参考答案与试题解析I卷一、填空题(共14小题,每小题5分,满分70分)1.已知集合P={1,2,3,4},Q={0,3,4,5},则P∩Q={3,4}.【考点】交集及其运算.【分析】根据交集的定义,进行计算即可.【解答】解:集合P={1,2,3,4},Q={0,3,4,5},所以P∩Q={3,4}.故答案为:{3,4}.2.函数f(x)=+的定义域为[﹣3,1].【考点】函数的定义域及其求法.【分析】根据二次根式的性质得到关于x的不等式组,求出函数的定义域即可.【解答】解:由题意得:,解得:﹣3≤x≤1,故答案为:[﹣3,1].3.用系统抽样的方法从480名学生中抽取容量为20的样本,将480名学生随机地编号为1~480.按编号顺序平均分为20个组(1~24号,25~48号,…,457~480号),若第1组用抽签的方法确定抽出的号码为3,则第4组抽取的号码为75.【考点】系统抽样方法.【分析】根据系统抽样的定义求出样本间隔进行求解即可.【解答】解:用系统抽样的方法从480名学生中抽取容量为20的样本.则样本间隔为480÷20=24,若第1组用抽签的方法确定抽出的号码为3,则第4组抽取的号码为3+24×3=75,故答案为:754.如图所示的流程图,输入的a=2017,b=2016,则输出的b=2017.【考点】程序框图.【分析】模拟执行程序,根据赋值语句的功能依次计算a,b的值即可得解.【解答】解:模拟程序的运行,可得a=2017,b=2016,a=2017+2016=4033b=4033﹣2016=2017输出a的值为4033,b的值为2017.故答案为:2017.5.在一个盒子中有分别标有数字1,2,3,3,4的5张卡片,现从中一次取出2张卡片,在取到的卡片上的数字之和为偶数的概率是.【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率.【分析】先求出基本事件总数,再求出在取到的卡片上的数字之和为偶数包含的基本事件个数,由此能求出在取到的卡片上的数字之和为偶数的概率.【解答】解:在一个盒子中有分别标有数字1,2,3,3,4的5张卡片,现从中一次取出2张卡片,基本事件总数n==10,在取到的卡片上的数字之和为偶数包含的基本事件个数m==4,∴在取到的卡片上的数字之和为偶数的概率p=.故答案为:.6.某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析,随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩,并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图),则成绩在[300,350)内的学生人数共有300.【考点】频率分布直方图.【分析】结合图形,求出成绩在[300,350)内的学生人数的频率,即可求出成绩在[300,350)内的学生人数.【解答】解:根据题意,成绩在[300,350)内的学生人数的频率为1﹣(0.001+0.001+0.004+0.005+0.003)×50=1﹣0.7=0.3,∴成绩在[300,350)内的学生人数为:1000×0.3=300;故答案为:300.7.如图所示,该伪代码运行的结果为9.【考点】伪代码.【分析】模拟执行程序,依次写出每次循环得到的S,i的值,当S=25时不满足条件S≤20,退出循环,输出i的值为9.【解答】解:模拟执行程序,可得i=1,S=1满足条件S≤20,执行循环体,i=3,S=4满足条件S≤20,执行循环体,i=5,S=9满足条件S≤20,执行循环体,i=7,S=16满足条件S≤20,执行循环体,i=9,S=25此时,不满足条件S≤20,退出循环,输出i的值为9.故答案为:9.8.已知函数f(x)=|lgx|,若存在互不相等的实数a,b,使f(a)=f(b),则ab=1.【考点】对数函数的图象与性质.【分析】若互不相等的实数a,b,使f(a)=f(b),则1ga=﹣lgb,结合对数的运算性质,可得答案.【解答】解:∵函数f(x)=|lgx|,若互不相等的实数a,b,使f(a)=f(b),则1ga=﹣lgb,即lga+lgb=lg(ab)=0,∴ab=1,故答案为:19.若函数f(x)=x3﹣ax2+1在x=﹣4处取得极大值,则实数a的值为﹣2.【考点】利用导数研究函数的极值.【分析】求出函数的导数,解关于导函数的方程,求出a的值即可.【解答】解:f′(x)=x2﹣2ax=x(x﹣2a),令f′(x)=0,解得;x=0或x=2a,若函数f(x)=x3﹣ax2+1在x=﹣4处取得极大值,则2a=﹣4,解得:a=﹣2,故答案为:﹣2.10.已知函数f(x)=,则f(log23+2016)=.【考点】函数的值.【分析】利用分段函数及对数、指数性质及运算法则求解.【解答】解:∵函数f(x)=,∴f(log23+2016)=f(log23﹣1)===.故答案为:.11.若不等式x2﹣2ax﹣b2+12≤0恰有一解,则ab的最大值为6.【考点】一元二次不等式的解法.【分析】根据题意△=0,得出a2+b2=4,利用基本不等式ab≤即可求出ab的最大值.【解答】解:不等式x2﹣2ax﹣b2+12≤0恰有一解,所以△=4a2﹣4(﹣b2+12)=4a2+4b2﹣48=0,即a2+b2=12;所以ab≤=6,当且仅当a=b=±时,“=”成立;即ab的最大值为6.故答案为:6.12.在平面直角坐标系xOy中,已知点P是函数f(x)=lnx(x≥1)的图象上的动点,该图象在P处的切线l交x轴于点M,过点P作l的垂线交x轴于点N,设线段MN的中点的横坐标为t,则t的最大值是.【考点】利用导数研究函数的极值;对数函数的图象与性质.【分析】由题意设点P的坐标为(m,lnm);从而写出直线方程,从而得到M(m﹣mlnm,0),N(m+,0);从而求得t=(2m+﹣mlnm)(m>1);再由导数求最值即可【解答】解:设点P的坐标为(m,lnm);f′(m)=;则切线l的方程为y﹣lnm=(x﹣m);l的垂线的方程为y﹣lnm=﹣m(x﹣m);令y=0解得,M(m﹣mlnm,0),N(m+,0);故t=(2m+﹣mlnm)(m>1);t′=;故t=(2m+﹣mlnm)先增后减,故最大值为(2e+﹣e)=;故答案为:13.已知函数f(x)=,若函数y=f(f(x))﹣k有3个不同的零点,则实数k的取值范围是﹣2≤k<﹣1.【考点】函数零点的判定定理.【分析】作出函数y=f(f(x))的图象,即可确定实数k的取值范围.【解答】解:由题意,x≤﹣1,f(x)=1﹣x2≤0,f(f(x))=1﹣(1﹣x2)2;﹣1<x≤0,f(x)=1﹣x2>0,f(f(x))=﹣2+x2;x>0,f(x)=﹣x﹣1<0,f(f(x))=1﹣(﹣x﹣1)2.函数y=f(f(x))的图象如图所示,∵函数y=f(f(x))﹣k有3个不同的零点,∴﹣2≤k<﹣1.故答案为:﹣2≤k<﹣1.14.设函数f(x)=lnx+,m∈R,若对任意x2>x1>0,f(x2)﹣f(x1)<x2﹣x1恒成立,则实数m的取值范围是[,+∞).【考点】利用导数求闭区间上函数的最值.【分析】问题转化为函数g(x)=f(x)﹣x=lnx+﹣x在(0,+∞)递减,即m≥x﹣x2在(0,+∞)恒成立,求出m的范围即可.【解答】解:若对任意x2>x1>0,f(x2)﹣f(x1)<x2﹣x1恒成立,即若对任意x2>x1>0,f(x2)﹣x2<f(x1)﹣x1恒成立,即函数g(x)=f(x)﹣x=lnx+﹣x在(0,+∞)递减,g′(x)=≤0在(0,+∞)恒成立,即m≥x﹣x2在(0,+∞)恒成立,而x﹣x2=﹣+≤,∴m≥,故答案为:[,+∞).二、解答题(共6小题,满分90分)15.设关于x的不等式(x+2)(a﹣x)≥0(a∈R)的解集为M,不等式x2﹣2x﹣3≤0的解集为N,且M∩N=[﹣1,2](1)求实数a的值;(2)若在集合M∪N中任取一个实数x,求“x∈M∩N”的概率.【考点】几何概型;一元二次不等式的解法.【分析】(1)根据不等式的解法先求出N,根据M∩N=[﹣1,2],得到2是方程(x+2)(a﹣x)=0的根,进行求解即可.(2)求出集合M,以及M∪N,根据几何概型的概率公式进行计算即可.【解答】解:(1)由x2﹣2x﹣3≤0得(x+1)(x﹣3)≤0,得﹣1≤x≤3,即N=[﹣1,3],∵M∩N=[﹣1,2]∴2是方程(x+2)(a﹣x)=0的根,则4(a﹣2)=0,得a=2,(2)当a=2时,x+2)(a﹣x)≥0等价为x+2)(2﹣x)≥0得﹣2≤x≤2,即M=[﹣2,2],则M∪N=[﹣2,3],∵M∩N=[﹣1,2]∴在集合M∪N中任取一个实数x,求“x∈M∩N”的概率P==.16.函数f(x)=(a、b、c∈Z)是奇函数,且f(1)=2,f(2)<3(1)求a、b、c的值;(2)当x<0时,求函数f(x)的单调区间.【考点】函数奇偶性的性质;函数单调性的判断与证明.【分析】(1)由条件利用函数的奇偶性求得a、b、c的值.(2)当x<0时,根据函数f(x)=x+的图象,利用导数求得它的单调区间.【解答】解:(1)∵函数f(x)=(a、b、c∈Z)是奇函数,∴f(﹣x)==﹣f(x)=﹣,∴c=0.又∵f(1)=2,∴==2,∴a+1=2b.根据f(2)=<3,∴a=b=1.综上可得,a=b=1,c=0.(2)当x<0时,函数f(x)==x+,∴f′(x)=1﹣,令f′(x)=0,求得x=﹣1,在(﹣∞,﹣1)上,f′(x)>0,函数f(x)单掉递增,在(﹣1,0)上,f′(x)<0,函数f(x)单掉递减,故单调增区间为(﹣∞,﹣1),单调减区间为(﹣1,0).17.启东市某中学传媒班有30名男同学,20名女同学,在该班中按性别用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本组成课外兴趣小组.(1)求该传媒班某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数;(2)经过一个月的学习、讨论,决定在这个兴趣小组中选出两名同学做某项实验,方法是先从小组里选出1名同学做实验,该同学做完后,再从小组每剩下的同学中选一名同学做实验,求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率;(3)实验结束后,第一次做实验的同学得到的实验数据为68,70,71,72,74,第二次做实验的同学得到的实验数据为69,70,70,72,74,请问哪次做实验的同学的实验更稳定?并说明理由.【考点】极差、方差与标准差;众数、中位数、平均数.【分析】(1)由等可能事件概率计算公式先求出该传媒班某同学被抽到的概率,由此利用分层抽样能求出课外兴趣小组中男同学的人数和课外兴趣小组中女同学的人数.(2)先求出基本事件总数,由此能求出选出的两名同学中恰有一名女同学的概率.(3)分别求出两次做实验的同学得到的实验数据的平均数和方差,由此能求出结果.【解答】解:(1)∵启东市某中学传媒班有30名男同学,20名女同学,在该班中按性别用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本组成课外兴趣小组,∴该传媒班某同学被抽到的概率p==.课外兴趣小组中男同学的人数为:30×=3人,课外兴趣小组中女同学的人数为:20×=2人.(2)在这个兴趣小组中选出两名同学做某项实验,方法是先从小组里选出1名同学做实验,该同学做完后,再从小组每剩下的同学中选一名同学做实验,基本事件总数n=5×4=20,∴选出的两名同学中恰有一名女同学的概率:p==.(3)第一次做实验的同学得到的实验数据的平均数为:=(68+70+71+72+74)=71,第一次做实验的同学得到的实验数据的方差为:S2= [(68﹣71)2+(70﹣71)2+(71﹣71)2+(72﹣71)2+(74﹣71)2]=4.第二次做实验的同学得到的实验数据的平均数为:=(69+70+70+72+74)=71,第二次做实验的同学得到的实验数据的方差为:S'2= [(69﹣71)2+(70﹣71)2+(70﹣71)2+(72﹣71)2+(74﹣71)2]=.∵=,S2<S'2,∴第二次做实验的同学的实验更稳定.18.已知a为实数,函数f(x)=(x2+1)(x+a)(1)若函数f(x)在R上存在极值,求实数a的取值范围;(2)若f′(1)=0,求函数f(x)在区间[﹣1,]上的最大值和最小值;(3)若函数f(x)在区间[﹣1,]上不具有单调性,求实数a的取值范围.【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值;利用导数求闭区间上函数的最值.【分析】(1)求出函数的导数,得到f′(x)=0有两个不相等的实数根,根据△>0,求出a的范围即可;(2)根据f′(1)=0,求出a,得到函数的单调区间,从而求出函数的最大值和最小值即可;(3)若函数f(x)在区间[﹣1,]上不具有单调性,得到f′(x)在[﹣1,]有解,根据二次函数的性质得到关于a的不等式组,解出即可.【解答】解:(1)∵f(x)=(x2+1)(x+a)=x3+ax2+x+a,∴f′(x)=3x2+2ax+1,若函数f(x)在R上存在极值,则f′(x)=0有两个不相等的实数根,∴△=4a2﹣12>0,解得:a>或a<﹣;(2)f′(x)=3x2+2ax+1,若f′(1)=0,即3+2a+1=0,解得:a=﹣2,∴f′(x)=(3x﹣1)(x﹣1),x∈[﹣1,]时,x﹣1<0,令f′(x)>0,解得:x<,令f′(x)<0,解得:x>,∴f(x)在[﹣1,)递增,在(,]递减,∴f(x)max=f()=,f(x)min=f(﹣1)=﹣2;(3)由(1)得:f′(x)=3x2+2ax+1,对称轴x=﹣,若函数f(x)在区间[﹣1,]上不具有单调性,则f′(x)在[﹣1,]有解,而f(0)=1>0,∴只需或,解得:<a<3或a≥3,故a>.19.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.(1)若f(﹣1)=0,试判断函数f(x)的零点个数;(2)是否存在实数a,b,c,使得f(x)同时满足以下条件:①对∀x∈R,f(x﹣2)=f(﹣x);②对∀x∈R,0≤f(x)﹣x≤(x﹣1)2?如果存在,求出a,b,c的值,如果不存在,请说明理由.【考点】二次函数的性质;函数零点的判定定理.【分析】(1)将x=﹣1代入得到关于a、b、c的关系式,再由△确定零点个数;(2)假设存在a,b,c∈R使得条件成立,由①可知函数f(x)的对称轴是x=﹣1,令最值为0,由此可知a=c;由②知将x=1代入可求的a、c与b的值,最后验证成立即可.【解答】解:(1)二次函数f(x)=ax2+bx+c中,f(﹣1)=0,所以a﹣b+c=0,即b=a+c;又△=b2﹣4ac=(a+c)2﹣4ac=(a﹣c)2,当a=c时△=0,函数f(x)有一个零点;当a≠c时,△>0,函数f(x)有两个零点;(2)假设a,b,c存在,由①知抛物线的对称轴为x=﹣1,所以﹣=﹣1,即b=2a;不妨令f(x)的最值为0,则=0,即b2=4ac,所以4a2=4ac,得出a=c;由②知对∀x∈R,都有0≤f(x)﹣x≤(x﹣1)2,不妨令x=1,可得0≤f(1)﹣1≤0,即f(1)﹣1=0,所以f(1)=1,即a+b+c=1;由解得a=c=,b=;当a=c=,b=时,f(x)=x2+x+=(x+1)2,其顶点为(﹣1,0)满足条件①,又f(x)﹣x=(x+1)2,所以对∀x∈R,都有0≤f(x)﹣x≤(x+1)2,满足条件②.所以存在a=,b=,c=时,f(x)同时满足条件①、②.20.已知函数f(x)=(x﹣1)e x﹣ax3﹣x2+1(a∈R).(1)当a=0时,求f(x)的单调区间;(2)若在区间[0,+∞)上关于x的不等式f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.【分析】(1)求出函数的导数,判断导函数的符号,求出函数的单调区间即可;(2)求出函数的导数,构造函数g(x)=e x﹣ax﹣1,(x≥0),通过讨论a的范围,判断函数的单调性,从而求出满足条件的a的具体范围即可.【解答】解:(1)a=0时,f(x)=(x﹣1)e x﹣x2+1,f′(x)=xe x﹣x=x(e x﹣1)≥0,x≥0时,e x﹣1≥0,x<0时,e x﹣1<0,∴f(x)在R递增;(2)f(x)=(x﹣1)e x﹣ax3﹣x2+1,(x≥0),f′(x)=x(e x﹣ax﹣1),令g(x)=e x﹣ax﹣1,(x≥0),g′(x)=e x﹣a,①a≤1时,g′(x)≥0,g(x)在[0,+∞)递增,∴g(x)≥g(0)=0,即f′(x)≥0,∴f(x)≥f(0)=0,成立,②当a>1时,存在x0∈[0,+∞),使g(x0)=0,即f′(x0)=0,当x∈[0,x0)时,f′(x)<0,∴f(x)在[0,x0)上单调递减,∴f(x)<f(0)=0,这与f(x)≥0在[0,+∞)上恒成立矛盾,综上:a≤1.II卷21.已知矩阵A将点(1,0)变换为(2,3),且属于特征值3的一个特征向量是,求矩阵A.【考点】特征值与特征向量的计算.【分析】先设矩阵,这里a,b,c,d∈R,由二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个特征向量及矩阵M对应的变换将点(1,0)变换为(2,3),得到关于a,b,c,d的方程组,即可求得矩阵M.【解答】解:设,由得,,…由得,,所以所以.…22.已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ,直线l的参数方程是(t为参数).设直线l与x轴的交点是M,N是曲线C上一动点,求MN的最大值.【考点】简单曲线的极坐标方程.【分析】利用x2+y2=ρ2,x=ρcosθ,y=ρsinθ,可把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程.将直线l的参数方程消去t化为直角坐标方程:,令y=0,可得M点的坐标为(2,0).利用|MN|≤|MC|+r即可得出.【解答】解:曲线C的极坐标方程可化为ρ2=2ρsinθ.又x2+y2=ρ2,x=ρcosθ,y=ρsinθ,∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2y=0.将直线l的参数方程消去t化为直角坐标方程:,令y=0,得x=2,即M点的坐标为(2,0).又曲线C的圆心坐标为(0,1),半径r=1,则,∴.23.某汽车驾驶学校在学员结业前对其驾驶技术进行4次考核,规定:按顺序考核,一旦考核合格就不必参加以后的考核,否则还需要参加下次考核,若小李参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为的等差数列,他参加第一次考核合格的概率超过,且他直到参加第二次考核才合格的概率为.(1)求小李第一次参加考核就合格的概率p1;(2)求小李参加考核的次数X的分布列和数学期望E(X).【考点】离散型随机变量的期望与方差;互斥事件的概率加法公式;离散型随机变量及其分布列.【分析】(1)由题意利用相互独立事件概率乘法公式能求出小李第一次参加考核就合格的概率.(2)小李4次考核每次合格的概率依次为:,由题意小李参加考核的次数X的可能取值为1,2,3,4,分别求出相应的概率,由此能求出X的分布列和E(X).【解答】解:(1)由题意得,解得或,∵他参加第一次考核合格的概率超过,即,∴小李第一次参加考核就合格的概率p1=.(2)∵小李参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为的等差数列,且小李第一次参加考核就合格的概率p1=,∴小李4次考核每次合格的概率依次为:,由题意小李参加考核的次数X的可能取值为1,2,3,4,P(X=1)=,P(X=2)=(1﹣)×=,P(X=3)=(1﹣)(1﹣)×=,P(X=4)=(1﹣)(1﹣)(1﹣)×1=,∴X的分布列为:X 1 2 3 4PE(X)==.24.已知函数f(x)=ln(2x+a)﹣4x2﹣2x在x=0处取得极值.(1)求实数a的值,并讨论f(x)的单调性;(2)证明:对任意的正整数n,不等式2+++…+>ln(n+1)都成立.【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.【分析】(1)函数f(x)=ln(2x+a)﹣4x2﹣2x,对其进行求导,在x=0处取得极值,可得f′(0)=0,求得a值,求出f(x)的表达式,从而求出函数的单调区间即可;(2)f(x)=ln(2x+1)﹣4x2﹣2x的定义域为{x|x>﹣1},利用导数研究其单调性,可以推出ln(x+1)﹣x2﹣x≤0,令x=,可以得到ln(+1)<+,利用此不等式进行放缩证明.【解答】解:(1)函数f(x)=ln(2x+a)﹣4x2﹣2xf′(x)=2(﹣2x﹣1),当x=0时,f(x)取得极值,∴f′(0)=0故﹣2×0﹣1=0,解得a=1,经检验a=1符合题意,则实数a的值为1,∴f(x)=ln(2x+1)﹣4x2﹣2x,(x>﹣),f′(x)=2(﹣2x﹣1)=,令f′(x)>0,解得:﹣<x<0,令f′(x)<0,解得:x>0,∴f(x)在(﹣,0)递增,在(0,+∞)递减;(2)f(x)的定义域为{x|x>﹣},由(1)得:f(x)在(﹣,0)递增,在(0,+∞)递减,∴f(x)≤f(0),故ln(2x+1)﹣4x2﹣2x≤0(当且仅当x=0时,等号成立)对任意正整数n,取2x=>0得,ln(+1)<+,∴ln()<,故2+++…+>ln2+ln+ln+…+ln=ln(n+1).。

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