微分几何第二章曲面论第三节复习
微分几何答案(第二章)
第二章 曲面论§1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。
证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。
3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。
解 ϑr =}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ；法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。
微分几何答案(第二章)
第二章 曲面论§1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。
证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。
3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。
解 ϑr =}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ；法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。
微分几何--第二章1曲面的概念1.2光滑曲面 曲面的切平面和法线
3、切平面的方程 设曲面上一点为 P0( u0 ,v0 )，R (X,Y,Z)为切平面上任一点， 则
( R r (u0 , v0 ), ru (u0 , v0 ), rv (u0 , v0 )) 0
或写成坐标表示式
X x(u0 , v0 ) Y y (u0 , v0 ) Z z (u0 , v0 ) xu (u0 , v0 ) xv (u0 , v0 ) yu (u0 , v0 ) yv (u0 , v0 ) zu (u0 , v0 ) 0 zv (u0 , v0 )
（3）如果交换参数，则正向改变为负向，曲面为双侧。
du dv rv dt dt
(u0 ,v0 )
ru
可以看出，切向量 r (t ) 与 ru , rv 共面，但过( u0 ,v0 )点有 无数条曲面曲线，因此在正常点处有无数切方向，且有 命题2：曲面上正常点处的所有切方向都在过该点的坐标曲线的 切向量 ru , rv 所确定的平面上。 这个平面我们称作曲面在该点的切平面。
r , rv (u0 , v0 ) (u0 , v0 ) v
如果它们不平行，即 面的正常点。
ru× rv 在该点不为零，则称该点为曲
3、正规坐标网 由ru， rv 的连续性，若 ru× rv在( u0 ,v0 )点不为零， 则总存在该点的一 个邻域U，使在这个邻域内有ru× rv不为零，
于是在这片曲面上，有一族 u 线和一族 v 线，它们不 相切，构成一正规坐标网。
6、曲面上的测地线（测地曲率、测地线、高斯—波涅
公式、曲面上向量的平行移动）
7、常高斯曲率曲面（常高斯曲率的曲面、伪球面、罗
氏几何）
1.2
光滑曲面、曲面的切平面和法线
一、光滑曲面、正常点、正规坐标网 1、若曲面 x = x(u,v) , y = y(u,v) , z = z(u,v) 或 r = r (u,v) 中的函
微分几何
微分几何几何学是数学的一个重要分支，它采用不同方法对几何图形及其数量关系进行研究。
微分几何是高师数学专业（本）的专业基础课之一，其出发点是微分几何。
本课程重点讲授微分几何中最基础的部分——二维欧氏空间中的曲线和曲面的局部理论，在方法上给以更新，这样使学生能够从较浅的内容去学习近代的处理方法，对新方法接受起来阻力比较小一些；另一发面，对微分几何有兴趣的学生，在掌握新方法之后，可运用这些方法去学习微分几何的近代内容。
本课程教学时数为60小时。
第一章曲线论目的要求：在中学教材中，对于曲线的概念，平面曲线的参数方程中参数的个数问题，都只初步涉及，进一步理解有赖于对曲线的精确定义。
1）掌握曲线的概念，空间曲线的基本三棱形，曲面挠率和Frenet公式。
2）掌握特殊曲线：平面曲线、一般螺线3）理解Bertrand曲线4）了解曲线上一点邻近的结构和空间曲线论的基本定理。
计划课时数：24学时教学内容：第一节向量代数复习（2学时）向量的基本概念、运算及有关定理第二节向量函数（2学时）向量函数的极限、连续、微分、Taylor展式及积分、向量函数具有固定长的充要条件等第三节曲线的概念（4学时）曲线的基本概念、切线和法面的求法，曲线的弧长，自然参数的引进第四节空间曲线（10学时）曲线的密切面、基本三棱形，曲率、挠率、Frenet公式，曲线的局部结构和基本定理第五节特殊曲线（6学时）平面曲线论、一般螺线，Bertrand曲线第二章曲面论目的要求：1）曲面的局部概念是建立整体概念和过渡到微分流行研究的基础，简单曲面的向量参数表示要与中学所讲曲线、曲面的参数方程对照，从理论上理解中学教材内容中遗留的问题。
掌握：（1）曲面的概念及其参数表示（2）曲面的第一基本形式（3）曲面的第二基本形式，曲面上曲线的曲率，主方向与曲率线网（4）主曲率、Gauss曲率和平均曲率2）直纹面和可展曲面是常见的特殊曲面，联系解析几何中的直纹面，理解直纹面的构成，掌握曲面可展的含义和可展的条件。
微分几何课程教案
微分几何课程教案【篇一：微分几何教学大纲】陕西广播电视大学开放教育本科数学与应用数学专业《微分几何》课程教学大纲一、本课程目的与任务微分几何课程是陕西广播电视大学数学与应用数学专业的一门专业基础课，其内容应为三维欧氏空间中的曲线，曲面的局部理论，其方法应以向量分析作为主要工具，同时也应注意到外微分形式及活动标架法的介绍、讨论和使用。
该课程的重点是曲面论，讲授时应自始至终把曲线、曲面上的附属标架场放在中心的地位，这样做在实践和理论上都有重要的意义。
本课程的开设应使学生掌握古典微分几何的基本思想,方法和内容，并能将其运用于其它学科及工程实际中去，同时，通过本课程的学习亦应为对微分几何有兴趣的学生，进一步学习近代微分几何打下一个坚实的基础和一个良好的开端。
建议本课程在三年级开设，周学时宜为4，共72学时（含习题课时间）。
二、课程内容与学时分配建议（不含习题课时间）（一）三维欧氏空间的曲线论（12学时）1. 空间曲线的表示式；2.向量函数；3.空间曲线的弧长、曲率、挠率；4.frenet标架, frenet公式；5.曲线在一点邻近的结构；6.空间曲线论的基本定理；7.特殊曲线。
（二）三维欧氏空间中的曲面论（36学时）1. 曲面的概念；1.1曲面的定义1.2切向量切平面1.3法向量1.4曲面的参数变换1.5例2.曲面的第一基本形式：2.1曲面的第一基本形式、曲面上曲线的弧长2.2曲面上两方向的交角2.3正交曲线族和正交轨线2.4曲面域的面积2.5等距对应、共形对应3.曲面的第二基本形式3.1第二基本形式3.2法曲率3.3杜班(dupin)标形3.4渐近方向共轭方向3.5主方向和主曲率的计算、曲率线3.6 gauss曲率和平均曲率3.7曲面在一点邻近的结构3.8某些特殊的曲面4.直纹面和可展曲面4.1直纹面4.2曲面族的包络4.3可展曲面4.4直纹面为可展曲面的充要条件,法线组成的可展曲面5.曲面论基本定理5.1曲面上的活动标架，曲面的基本公式5.2曲面的基本方程5.3曲面的基本定理6.曲面上的测地线6.1测地曲率向量,测地曲率6.2 liouville 公式6.3测地线6.4测地坐标系6.5 gauss-bounet公式6.6曲面上向量的平行移动6.7常高斯(gauss)曲率的曲面*（三）外微分法和活动标架简介（6学时）1.外微分形式2.活动标架法3.用活动标架法研究曲线、曲面．*（四）整体微分几何简介1.平面曲线的整体性质2.空间曲线的整体性质3.曲面的整体性质注：（三）、（四）建议只讲一个，若时间不允许可以不讲。
微分几何--第二章1曲面的概念1.3曲面上的曲线族和曲线网
A(u, v)du B(u, v)dv 0
表示曲面上的一簇曲线——曲线族. 设 A 0 ，则有 du B(u, v) 解之得
(2.14)
dv A(u, v) u (v, c)
F (u, v)
其中，c为待定常数； 每一个c对应曲面上一条曲线，所以（2.14）表示一族曲线。 特别地， 当B = 0或 A = 0 时，有 d u = 0或 d v = 0 ， 此时为坐标曲线(P60) u = c 或 v = c。 此时（2.14）表示坐标曲线的方程。
2、二阶微分方程
A(u, v)du2 2B(u, v)dudv C(u, v)dv2 0
若 [ B(u, v)]2 A(u, v)C (u, v) 0
方程表示曲面上的两簇曲线 —— 曲线网。 设
du 2 du A 0 , 则 A( ) 2 B( ) C 0 dv dv 得 du B B 2 AC F1 (u, v)或F2 (u, v) dv A
消去 t ，可得曲面上曲线的方程为
u (v) ,或 v (u) ,或 f (u, v) 0
1、一阶线性微分方程
A(u, v)du B(u, v)dv 0
表示曲面上的一簇曲线——曲线族.
消去 t ，可得曲面上曲线的方程为
u (v) ,或 v (u) ,或 f (u, v) 0
分别解这两个一阶微分方程，可得两簇曲线，它们构成曲 面上的曲线网。
特别有 A C 0 时, dudv 0 , 它们表示坐标曲线,从而构成曲纹坐标网(P60)。
微分几何
主讲人：郭路军
第二章 曲面论
1、曲面的概念（简单曲面、光滑曲面、切平面和法线）
微分几何复习题
第一章 曲线论一、单项选择题1、过点0r 且以非零向量a 为方向的直线方程为A 、 00 =-⨯r a rB 、0)(0 =⨯-r a rC 、0)(0=⋅-a r rD 、0)(0 =⨯-a r r 2、已知向量b a ⊥，则必有 ； A 、 0 =⋅b a B 、 b a λ= C 、0 =⨯b a D 、 0=⋅b a 3、设s , r 分别是可微的向量函数,则以下运算正确的是 ； A 、s r s r ⋅'='⋅)( B 、s r s r s r '⋅+⋅'='⋅ )( C 、s r s r ⨯'='⨯)( D 、r s r s s r '⨯+⨯'='⨯ )( 4、过0r 且垂直于非零向量n 的平面方程是A 、0)(0=⋅-n r rB 、 0)(0 =⨯-n r rC 、n v r r =-0D 、0)(0=⋅-r n r 5、设)(),(),(t u t s t r 分别是可微的向量函数,则='),,(u s r ； A 、u s r '⨯⋅ )( B 、u s r '⋅⨯ )( C 、)',','(u s r D 、),,(),,(),,(u s r u s r u s r '+'+'6、单位向量函数)(t r 关于t 的旋转速度等于A 、)('t rB 、)(''t rC 、)('t rD 、 )(''t r7、向量函数)(t r r=具有固定方向的充要条件是 ； A 、1)(=t r B 、1)('=t r C 、 0)(')( =⨯t r t r D 、 o t r t r =⋅)(')(8、向量函数)(t r r =具有固定长的充要条件是 ；A 、0)(')(=⋅t r t rB 、0)()(' =⨯t r t rC 、1)(=t rD 、1)('=t r9、星形线t a y t a x 33sin ,cos ==上对应于t 从0到π的一段弧的长等于 ；A 、aB 、a 2C 、a 3D 、 a 6 10、已知向量b a //，则必有 ；A 、 0 =⨯b aB 、 b a λ=C 、0 =⋅b aD 、 0=⋅b a11、在曲线的正常点处,曲线的切线和主法线所确定的平面是曲线上该点的 ；A 、法平面B 、切平面C 、密切平面D 、从切平面12、平面曲线的曲率或挠率特征是 ；A 、曲率0≡κB 、曲率∞≡κC 、挠率)0(≠=c c τD 、挠率0≡τ13、设圆的半径为R ，则圆上每一点的曲率都是 ；A 、0B 、1C 、RD 、R1 14、如果一条曲线的密切平面固定，则此曲线是 ；A 、平面曲线B 、挠曲线C 、一般螺线D 、直线15、设曲线)(t r r =的自然参数方程为)(s r r=，则曲线在任一点的单位切向量是 ；A 、)(t rB 、)(s rC 、 dt r dD 、 dsr d 16、曲率恒等于零的曲线是 ；A 、平面曲线B 、直线C 、挠曲线D 、一般螺线17、 圆柱螺线},sin ,{cos t t t r = ，在点π=t 的切线方程是 ；A 、1101π-=-=+z y xB 、1111π-=-=+z y xC 、1101z y x =-=+ D 、0=-+-πz y 18、对于一般螺线，下列命题成立的个数是 ；① 切线和固定方向作固定角 ②主法线与一个固定方向垂直 ③曲率和挠率的比等于一个常数 ④副法线与一个固定方向作固定角A 、二个B 、三个C 、四个D 、五个19、下列不是一般螺线性质的是 ；A 、切线和固定方向作固定角B 、主法线与一个固定方向垂直C 、曲率和挠率的积等于一个常数D 、副法线与一个固定方向作固定角E 、曲率和挠率的比等于一个常数20、如果曲线的所有密切平面都经过一个定点，那么此曲线是 ；A 、球面曲线B 、圆C 、平面曲线D 、直线21、空间曲线c 上正则点P 的切线和该点邻近点Q 的平面π，当点Q 沿曲线趋于点P 时，平面π的极限位置称为曲线的点的 ；A 、密切平面B 、法平面C 、切平面D 、从切平面二、填空题1、设曲线)(t r r =的自然参数方程为)(s r r =，则曲线在任一点的单位切向量是 ；2、 向量函数)(t r 是区间],[b a 上的连续函数,则=⎰])([x adt t r dx d ； 3、 直线{}t t t t r 3,2,)(= 的自然参数方程是 ；4、设曲线参数方程)(s r r =，则参数s 是自然参数的充要条件是 ；5、最贴近曲线的直线是 、最贴近曲线的平面是 ；6、若空间曲线)(t r r =上的密切平面都垂直于一固定向量e ，则该曲线是 ；7、空间曲线是直线的充要条件是 ；8、若空间曲线)(t r r =满足0),,(=''''''r r r ，则该曲线是 ；9、曲线)(t r r =上的点都是正常点，则必有 ；10、曲线)(c 上所有点都是正常点时,则称该曲线)(c 为 .11、空间曲线的自然方程是 ；12、 )(t r 具有固定长的充要条件是 ；13、)(t r 具有固定方向的充要条件是 ；14、空间曲线是平面曲线的充要条件是 ；15、平面曲线在某点邻近的形状由曲线在该点的 决定.16、空间曲线在某点邻近的形状由曲线在该点的 决定.17、圆柱螺线{}t t t t r ,sin ,cos )(= 在点（1，0，0）处的切线方程是 ；18、 曲线{}t t t t r 5,sin 3,cos 3)(= 上的每一点都是 ；19、由曲线上一点的主法线与副法线构成的平面是曲线在这点的 ；20、由曲线上一点的切线与副法线构成的平面是曲线在这点的 ；21、设圆的半径为R ，则圆上每一点的曲率（按顺时针方向）都是 ；22、切线和固定方向作固定角的曲线称为 ；23、圆柱螺线},sin ,cos {bt t a t a r = 的自然参数表示为 ；24、 若曲线b t a t r r ≤≤=),(中的函数是连续可微的函数，则曲线为 ；25、按照椭圆点、双曲点、抛物点进行分类，可展曲面上的点都是 点。
微分几何第二章曲面论2.1曲面的概念
2、二阶微分方程
2 2 A ( u , v ) du 2 B ( u , v ) dudv C ( u , v ) dv 0
2 若 [ B ( u , v )] A ( u , v ) C ( u , v ) 0
则表示曲面上的两簇曲线 —— 曲线网。
du du 2 设 A 0, 则 A ( ) 2 B ( ) dudv C 0 dv dv
y z u u y z v v z x u u z x v v
设曲面上任一点 r (u,v) 的径矢为 R (u,v)
x ( u ,v ) Y y ( u ,v ) Z z ( u ,v ) 用坐标表示为 X x y u u x y v v
若用 z = z (x,y) 表示曲面，则有
{ x , y , z ( x , y )} 如果用显函数 z = z ( x , y ) 表示曲面时，有 r
z z r { 1 , 0 , } { 1 , 0 , p } , r { 0 , 1 , } { 0 , 1 , q } x y x y
X x0 Y y0 Z z0 1 0 0 1 p0 q0 0
以下切方向几种表示通用：du : dv , (d) 和 r (t ) 。
( 由r t)r u
du dv r v dt dt
可以看出，切向量 r (t ) 与 ru , rv 共面，但过( u0 ,v0 )点 有无数条曲面曲线，因此在正常点处有无数方向，且有 命题2：曲面上正常点处的所有切方向都在过该点的坐标 曲线的切向量 ru , rv 所确定的平面上。 这个平面我们称作曲面在该点的切平面。
6、曲面上的测地线（测地曲率、测地线、高斯—波涅
微分几何第二章曲面论第三节复习
的
切平 0，
面.
曲线(C )是曲面(S)的渐近曲线.
定理 曲面(S)上的曲线(C)是渐近曲线 或者(C)是直线
或 者 它 在 每 一 点 的 密 切平 面 与( S )的 切 平 面 重 合.
注 平面上每一条曲线都是平面的渐近曲线. 定义 曲面(S)上两族渐近曲线构成的曲线网
称 为 曲 面( S )的 渐 近 曲 线 网(简 称 渐 近 网). 注 只含椭圆点的曲面上无，渐近曲线也，无渐近曲线网
代入渐近网的方程得：L N 0. “”若L N 0，则渐近网方程变为2：Mdudv 0.
M 0，dudv 0. 即渐近网是曲纹坐标网 .
2.共轭方向
定义 若曲面(S)在P点的两个方向(d )和( )是
( S )在P点的 杜邦 指标 线的 共轭方向 ，
x
y
r
2z x 2
2，s
2z xy
0，t
2z y 2
4.
I (1 p2 )dx2 2 pqdxdy (1 q2 )dy2
(1 4x2 )dx2 16xydxdy (1 16 y2 )dy2 .
II
r
dx2
2s
dxdy
t
dy 2
1 p2 q2
1 p2 q2
1 p2 q2
xru
yrv ,
( xru ru2
yrv
)2
x2
2ru
1 kn rv xy
I II rv2 y2
I II
即Ex2 2Fxy Gy2 Edu2 2Fdudv Gdv2 Ldu2 2Mdudv Ndv2
PN //(d ) // rudu rvdv, du : dv x : y, 上式化为：
微分几何第2章曲面论第三节曲面的第二基本形式ppt课件
曲面论
.
1
§3 曲面的第二基本形式
主要内容
1.曲面的第二基本形式； 2.曲面上曲线的曲率； 3.Dupin指标线； 4.曲面的渐近方向和共轭方向； 5.曲面的主方向和曲率线； 6.曲面的主曲率、Gauss曲率和平均曲率； 7.曲面在一点邻近的结构； 8.Gauss曲率的几何意义.
.
2
02.05.2020
称为曲面的第二类基本 量.
注 第二基本形式的几何意 义：II2.但不是正定的 .
计算公式：
(1
)
用定义计算：
L r u n u ,M r u n v ,N r vn v
(2)n
ru rv
ru rv
ru rv EGF2
L (ruu,ru,rv) , M (ruv,ru,rv) ,N (rvv,ru,rv) .
的第二 . 基本形式
解：r r { { R R s cc s o in i , , R s o R c n so c s s i, o n 0 , s i R } c n s} os
E r 2R 2co 2 ,sFr r 0,Gr 2R2,
n r r
EGF2
R 2c 1o sR R s ce io 1 n c ssio ns R R cso e i2 c n s so in sR c e 0 3o s
LrnRco2s,
Mrn 0,
Nrn R,
球面的第二基本形式为：
I I (R co 2d s2R2 d ).
.
9
例2 计算抛物 z面 a(x2 y2)的第一和第二基 .
解：pz2ax，qz2a， y
x
y
r x 2z 22a， s x 2 zy0 ， t y 2z 22a.
微分几何答案(第二章)
第二章 曲面论§1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。
证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。
3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。
解 ϑr =}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ；法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。
微分几何 2-1曲面的概念
xv
(u0
,
v0),
y v
(u0
,
v0)
例：求S r r(, v) v, , 在点(1,2)处的单
位法向量及切平面的方程。
解：r(1,2) 1,2,3
ru
(1,2)
1,1, (1,2)
1,1,2
rv (1,2)
1,1, (1,2)
1,1,1
n(1,2) ru rv =
r r u
命题2 曲面上正常点的所有切方向都在过该点的 坐标曲线的切向量所决定的切平面上
从上可以看出曲面上一点的一个切方向由du:dv 值完全确定，切方向也可表示成 dr rudu rvdv , 或
dr rudu rvdv :二者视为同一方向. 例如, du:dv = (-2):3表方向 dr 2du 3dv , 也表方向 dr 2du 3dv， 二者视为同一方向.
0
0
，R sin
}
0
曲线：
r
( , ) 0
{R cos
cos 0
，R cos
sin
,sin }
0
它是球面上过两极的半圆——经线（子午线）。
旋转面
把xz平面上一条曲线 ：x =
，
绕z轴旋转，得旋转面
x=
，y=
,
1.2光滑曲面 曲面的切平面和法线
1定义：如果曲面 ：r r(u，v） 有直到 k 阶
它是原柱面上的直母线。
球面的参数表示为：
r r( , ) {Rcos cos ,
Rcos sin , Rsin }
2
2
0
2.
( , ) G 是一个长方形区域：
坐标曲线是 u v
微分几何曲面局部理论
那么对于 P 点附近的任意一个正则参数表示 x (u , v )
有
nu nv 0.
由连通性可以得出 n 是常向量，即曲面是平面。
■
第二章 曲面：局部理论
例1 M是半径为 ，a 中心在原点的的球面，则
在局部参数表示下Gauss映射为
n 1 x(u, v). a
它的形状算子满足
S P (x u ) n u 1 a x u, S P (x v ) n v 1 a x v .
也都是渐近线。
第二章 曲面：局部理论
事实上，如右图所示，在点 P
处的沿圆柱螺线单位切向量的
法截线在点 P 为拐点。因此，
圆柱螺线是圆柱螺面上的渐近 线。
具体计算为作业。
第二章 曲面：局部理论
假设 ( s为) 曲面 上M 一条弧长参数曲线，满足
(0)P , (0)V.
那么由之前的计算得到 P(V,V)Nn.
第二章 曲面：局部理论
定义 曲面 M在点 处P 的主曲率满足 则称为点 P 为曲面 的M 脐点。 特别的，k1 k2 称 0为平P 点。
k1 k2
如果 K ，0 且 不P是平点，则称 为抛P 物点； 如果 K ，0 则称 为P椭圆点； 如果 K ，0 则称 为P双曲点。
第二章 曲面：局部理论
曲面在任意点 P 的两个主方向是正交的，于是
我们可以选择了切平面 T p M的一个正交基底恰
好由主方向向量构成。
第二章 曲面：局部理论
定理（Euler公式）令 e 1 , e为2 曲面 在M 点 的单P 位
主方向，分别对应主曲率 和 k 。1 假设k 2 切向
量
Vco，s其e1中sine2。 [0,2)
微分几何第二章曲面论曲面的概念
VS
高斯曲率
设曲面$S$在点$P$处的两个主曲率分别为 $k_1, k_2$，则称$K = k_1k_2$为曲面在 点$P$处的高斯曲率。高斯曲率是曲面内蕴 几何量的重要代表，反映了曲面在一点处 的弯曲程度。
法截线和法截线族
法截线
设曲面$S$在点$P$处的法向量为 $mathbf{n}$，过点$P$且与法向量 $mathbf{n}$垂直的平面称为法截面。 法截面与曲面交于一条曲线，该曲线 称为法截线。
曲面性质
曲面具有连续性、光滑性、可定向性等性质。其中连续性指 曲面上任意两点都可以用一条连续曲线连接；光滑性指曲面 上任意一点都存在切线平面；可定向性指曲面存在连续的单 位法向量场。
曲面分类与举例
曲面分类
根据曲面的形状和性质，可以将曲面分为闭曲面、开曲面、紧致曲面、非紧致曲面等类 型。
举例
球面、环面、柱面、锥面等都是常见的曲面类型。例如，球面可以表示为 $mathbf{r}(theta, varphi) = (Rcosthetasinvarphi, Rsinthetasinvarphi,
法截线族
过曲面上一点的所有法截线构成的集 合称为该点的法截线族。法截线族在 微分几何中具有重要的研究价值，与 曲面的形状和性质密切相关。
04
曲面局部理论：可 展曲面与极小曲面
可展曲面定义及性质
定义
可展曲面是一类特殊的曲面，它可以在不改 变距离的情况下完全展开到一个平面上。也 就是说，它的高斯曲率为零。
02
第一基本形式与度 量性质
第一基本形式定义及性质
第一基本形式定义
第一基本形式是微分几何中曲面论的基本概念，用于描述曲面上的度量性质。它是一个二次微分形式，记作$I = Edu^2 + 2Fdudv + Gdv^2$，其中$E, F, G$是曲面上的系数函数。
微分几何第2章曲面论第三节曲面的第二基本形式
1 p q 1 p q 1 p q 例1 求球面r { R cos cos , R cos sin , R sin } 的第二基本形式. 解：r { R cos sin , R cos cos ,0} r { R sin cos , R sin sin , R cos } 2 2 2 2 E r R cos , F r r 0, G r R2 , r r n EG F 2 e1 e2 e3 1 2 R cos sin R cos cos 0 R cos R sin cos R sin sin R cos
(其中 为平面到曲面( S )上的点P的离差). QP n， 下面计算 . QP n (QP PP) n QP n PP n PP n 1 2 [r ( s s) r ( s)] n [r s ( r )(s ) ] n 2 1 1 2 2 1 ( n r n )(s ) n r ( s ) n rds2 (s 0时) 2 2 2
定理 (梅尼埃定理 ) 曲面曲线(C )在给定点P的 曲率中心C就是与曲线(C )
具有共同切线的法截线 (C 0 ) 上同一点P的曲率中心C 0 在
法截线
曲线(C )的密切平面上的投影.
即
kn k cos R Rn cos
S (C 0 ) R (C ) n C C 0 密切平面 法截面
(1 4a x )dx 8a xydxdy (1 4a y )dy . r 2s t 2 II dx dxdy dy 2 1 p2 q 2 1 p2 q 2 1 p2 q 2
微分几何曲面论的概念讲义与教案
若 [B(u,v)]2 A(u,v)C(u,v) 0
则表示曲面上的两簇曲线 —— 曲线网。
设 A 0 , 则 A( du)2 2B( du)dudv C 0
dv
dv
得
du B dv
B2 A
AC
F1(u, v)或F2 (u, v)
分别解这两个一阶微分方程，可得两簇曲线，它们构成曲面
上的曲线网。 特别有
点 P ，两族曲线中各有一条经过它。 （例题）
1、2 光滑曲面、曲面的切平面和法线
一、光滑曲面、正常点、正规坐标网 1、若曲面 x = x(u,v) , y = y(u,v) , z = z(u,v) 或 r = r (u,v) 中的函数
有直到 k 阶的连续微商，则称为 k 阶正则曲面或 ck 类曲面。
表示曲面上的一簇曲线——曲线簇，设 A 0 则有
du B(u, v) F(u, v) dv A(u, v) 解之得 u (v, c)
特别 当 A = 0 或 B = 0 时，有 d u = 0 或 d v = 0 此时为坐标曲线 u = c 或 v = c 。
2、二阶微分方程 A(u,v)du2 2B(u,v)dudv C(u,v)dv2 0
其上的点的笛氏坐标为(x,y,z)，故有 x = f1(u,v) , y = f2(u,v) , z = f3(u,v) , (u,v)∈G
称为曲面S的参数表示或参数方程，u和v称为曲面S的参数或曲 纹坐标。习惯上写作
x = x(u,v) , y = y(u,v) , z = z(u,v) , (u,v)∈G
设曲面曲线为 (c)： u = u (t) , v = v (t) ,
或 r = r [u (t) ,v (t) ] = r (t)， 这条曲线在曲面上( u0 ,v0 )处的切方向称为曲面在该点的切方向 或方向，它平行于
微分几何第二章
2.3 空间曲线-密切平面方程
设曲线 C: r = (x(t), y(t), z(t)) 是光滑的，P 是曲线上一点，其参数是 t0．设 R = (X, Y, Z) 是 P 点的密切平面上任意一点，则密切平面 方程为：
(R – r(t0), r'(t0), r''(t0)) = 0. 用坐标把密切平面方程表示为：
r'' (t) = (– cost, – sint, 0). 在给定点 P 处的参数 t = 0，所以有
r(0) = (1,0,0)， r' (0) = (0,1,1)， r'' (0) = (– 1,0,0)． 代入密切平面方程并整理得
– Y + Z = 0．
返回章首
2.3 空间曲线-基本向量与伏雷内标架
返回章首
2.1 曲线的概念
一元向量函数 r(t) 所描绘的图形 C 叫曲线， r(t)叫曲线 C 的参数化，或者叫曲线的向量函 数，t 叫曲线的参数．曲线 C 连同它的参数化 r(t) 一起叫参数曲线．
参数曲线用 C : r = r(t) 表示．如果对某个 t0 使得 r'(t0) ≠ 0，就称 r(t0)（或者简称 t0）是曲 线的正则点．如果曲线上处处是正则点，就称 该曲线是正则曲线，相应的参数叫正则参数．
p /2
L 0 | r(t) | dt
3a
p
/2
sint
costdt
3a.
0
2
因此，星形线的弧长为 6a．
返回章首
练习题 1．求旋轮线 x = a(t – sint), y = a(1 – cost) 在0
≤ t ≤ 2p 一段的弧长． 2．求圆柱螺线 x = 3acost, y = 3asint, z = 4at
微分几何前五章知识点总结
微分几何前五章知识点总结微分几何是数学的一个分支，它研究了曲线、曲面等几何对象上的微分和积分运算。
微分几何在数学中有着非常广泛的应用，特别是在物理学和工程学中。
在微分几何的学习过程中，我们首先需要了解一些基本的知识点，然后逐步深入学习更加复杂的内容。
在微分几何的前五章中，我们学习了一些基本的概念和定理，下面就让我们来对这些知识点进行总结。
第一章：Euclidean Space R^n在微分几何中，我们首先要了解的是欧几里德空间R^n，它是n维空间中所有点的集合。
在R^n空间中，我们可以定义点之间的距离，以及点和点之间的向量。
我们还可以定义点的坐标，并且可以进行向量的加法和数乘操作。
欧几里德空间R^n在微分几何中有着非常重要的作用，我们可以在其上定义一些基本的几何对象，比如球面、圆柱面等，然后进行微分几何的相关研究。
第二章：Curve在微分几何中，曲线是一种最基本的几何对象。
曲线是一种一维的几何对象，在欧几里德空间R^n中可以通过参数方程或者参数化函数来描述。
在这一章中，我们学习了曲线的弧长、切向量、曲率以及曲线的导数等概念。
这些概念对于我们研究曲线的性质和特征非常重要，比如曲线的弧长可以帮助我们计算曲线的长度，切向量和曲率可以帮助我们研究曲线的走向和弯曲程度。
第三章：Surfaces在微分几何中，曲面是一种二维的几何对象。
曲面可以被参数化为一个映射函数，这个映射函数把一个二维的参数空间映射到欧几里德空间R^n中。
在这一章中，我们学习了曲面的第一和第二基本形式，以及曲面上的曲线、曲率等概念。
这些概念对于研究曲面的局部性质非常重要，比如曲面的第一和第二基本形式可以帮助我们计算曲面上的切向量、法向量和曲率等，这些信息对于我们研究曲面的局部形状非常有帮助。
第四章：Gaussian Curvature高斯曲率是一个非常重要的曲面特征，它描述了曲面在一个点处的弯曲程度。
在这一章中，我们学习了高斯曲率的定义、计算方法以及它和曲面的几何意义。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(4) II dn dr (5) 若曲面 ( S ) : z f ( x, y ). r 2s t 2 II dx dxdy dy 2 1 p2 q 2 1 p2 q 2 1 p2 q 2
f f 2 f 2 f 2 f 其中p ，q ，r ，s ，t 2 . 2 x y x xy y
2 2 Edu 2 Fdudv Gdv 即Ex 2 2 Fxy Gy 2 Ldu 2 2 Mdudv Ndv 2 PN //(d ) // rudu rv dv, du : dv x : y,
上式化为：
2 2 Ex 2 Fxy Gy Ex 2 2 Fxy Gy 2 Lx 2 2 Mxy Ny 2
第二章
曲面论
§3 曲面的第二基本形式
主要内容
1.曲面的第二基本形式； 2.曲面上曲线的曲率； 3.Dupin指标线； 4.曲面的渐近方向和共轭方向； 5.曲面的主方向和曲率线； 6.曲面的主曲率、Gauss曲率和平均曲率； 7.曲面在一点邻近的结构； 8.Gauss曲率的几何意义.
3.1 曲面的第二基Байду номын сангаас形式
法截线
S
0 n (C ) 0
法截线
0
P.
(d ) du : dv
P. S (C ) 0 n
(d ) du : dv
法截面
法截面
设法截线(C0 )在点P的曲率为k0 , 主法向量为 0 , II , 则 0 n, 0 ( 0 , n) 0或 , k 0 I II 即k0 , 法截线向n的正侧弯曲时取正号 , I 法截线向n的负侧弯曲时取负号 .
P.
(d )
梅尼埃定理
2 2 求曲面 z x 2 y 在点(0,0)沿方向dx : dy的法曲率. 例3 z z 2 x，q 4 y， 解： p x y 2z 2z 2z r 2 2，s 0，t 2 4. x xy y I (1 p2 )dx2 2 pqdxdy (1 q 2 )dy2 (1 4 x 2 )dx2 16xydxdy (1 16 y 2 )dy2 . r 2s t 2 II dx dxdy dy 2 1 p2 q 2 1 p2 q 2 1 p2 q 2 2 4 2 dx dy 2 1 4x2 8 y2 1 4x2 8 y2 II 2dx2 4dy2 kn ( 0,0 ) . ( 0,0 ) 2 2 I dx dy
双曲型 有两个实渐近方向 I 2 0.
F1 ( x , y ) a11 x a12 y a13 0 求法： F2 ( x , y ) a12 x a22 y a23 0 中心方程组 a11 a12 0， (1)中心曲线 I 2 a12 a22 曲线的分类： (2)非中心曲线 I a11 a12 0， 2 a12 a22
II Ldu2 2 Mdudv Ndv2 ， ( 2) k n 2 2 I Edu 2Fdudv Gdv du : dv是渐近方向 kn 0. 如果它上面每一点的切 方向都是 定义 曲面上的曲线， 渐近方向， 则称为渐近曲线 .
渐近曲线的方程为： Ldu 2 Mdudv Ndv 0. , 则它一定是曲面的渐近 曲线. 命题1 如果曲面上有直线 证: 直线k 0, 沿直线方向的法曲率 kn k cos 0, 即Ldu2 2 Mdudv Ndv 2 0， 直线是曲面的渐近曲线 . 是直纹面的渐近曲线 . 注 直纹面上的直母线一定
中心二次曲线的非渐近方向的共轭方向仍然是 非渐近方向，而在非中心二次曲线的情形是渐近方向． 5. 主直径与主方向 定义：二次曲线的垂直于其共轭弦的直径 叫做二次曲线的主直径， 主直径的方向与垂直于主直径的方向 都叫做二次曲线的主方向．
1.曲面的渐近方向
向 定义 曲面( S )在点P的杜邦指标线的渐近方 叫做曲面 ( S )在点P的渐近方向 . 杜邦指标线的方程为： Lx 2 2 Mxy Ny 2 1 曲面( S )在点P的方向du : dv是渐近方向 Ldu2 2 Mdudv Ndv 2 0. 渐近方向方程 注 (1) 渐近方向的个数 若LN M 2 0， 有两个虚渐近方向 . 即椭圆点， 有两个实渐近方向 . 即双曲点， 若LN M 2 0， 若LN M 2 0， 有一个实渐近方向 . 即抛物点， 若L N M 0， 任何方向都是渐近方向 . 即平点，
定义 关于du, dv的二次微分形式 Ldu2 2 Mdudv Ndv2 称为曲面的第二基本形 式. 用II表示. 2 2 2 2 即 II n r ds n d r Ldu 2 Mdudv Ndv 其中 L ruu n, M ruv n, N rvv n 称为曲面的第二类基本 量. 注 第二基本形式的几何意 II 2 . 但不是正定的 义： . 计算公式： L ruu n, M ruv n, N rvv n (1) 用定义计算： ( ruv , ru , rv ) ( rvv , ru , rv ) ( ruu , ru , rv ) ,N . ( 2) L , M EG F 2 EG F 2 EG F 2 ( 3) L ru nu , M ru nv rv nu , N rv nv .
2 2
(C )是渐近曲线 命题2 曲面( S )上异于直线的曲线 (C )在每一点的密切平面为 ( S )在该点的切平面 . 证: “ ” 若曲线(C )是曲面 ( S )的渐近曲线，
定理 (梅尼埃定理 ) 曲面曲线(C )在给定点P的 曲率中心C就是与曲线(C )
具有共同切线的法截线 (C 0 ) 上同一点P的曲率中心C 0 在
法截线
曲线(C )的密切平面上的投影.
即
kn k cos R Rn cos
S (C 0 ) R (C ) n C C 0 密切平面 法截面
曲面上点的分类 则称点P为曲面的椭圆点 . （ 1 ）如果LN M 2 0， 此时，杜邦指标线为一 椭圆 . 则称点P为曲面的双曲点 . （ 2 ）如果LN M 2 0，
此时，杜邦指标线为一 对共轭双曲线 .
（ 3 ）如果LN M 2 0，但L, N , M不全为零， 则称点P为曲面的抛物点 . 此时，杜邦指标线为一 对平行直线. （ 4 ）如果L N M 0， 则称点P为曲面的平点. 此时，杜邦指标线不存 在.
3.4 曲面的渐近方向和共轭方向
复习 二次曲线 F ( x, y ) a11 x 2 2a12 xy a22 y 2 2a13 x 2a23 y a33 0 1. 渐近方向 定义： 满足( X , Y ) a11 X 2 2a12 XY a22Y 2 0的方向X : Y 叫做二次曲线的渐近方向. 椭圆型 没有实渐近方向 I 2 0; I 2 0; 曲线的分类： 抛物型 只有一个实渐近方向 2. 中心 定义： 如果点C是二次曲线的通过它的所有弦的中点 那么点C叫做二次曲线的中心.
a11 a12 a13 . (i )无心曲线 a12 a22 a23 a11 a12 a13 . (ii )线心曲线 a12 a22 a23
3. 直径 二次曲线的平行弦中点轨迹叫做二次曲线的直径， 定义： 也叫做共轭于平行弦方向的直径. 4. 共轭方向 定义： 二次曲线共轭于非渐近 方向 X : Y的直径的 方向X : Y , 叫做非渐近方向 X : Y的共轭方向 . 求法：a11 XX a12 ( XY X Y ) a22YY 0
Lx 2 2 Mxy Ny 2 1
Lx 2 Mxy Ny 1
2 2
注 (1) 杜邦指标线的方程与 n的选取无关 . (2) 杜邦指标线的方程一般 表示以P为中心的有心二次曲线 . (3) 杜邦指标线是在切平面 上的一条曲线 .
形状
Lx 2 2 Mxy Ny 2 1
3.2 曲面上曲线的曲率
P. P.
其中k为曲线 ( C ) 在 P 点的曲率 . n k n k cos , 则 r 2 2 d r n d r II 又 n r n 2 . 2 ds ds I
1.曲面上曲线的曲率 k , r 由伏雷内公式，
(S)
定义 在P点沿切方向 (d ) du : dv上取一点N， 1 使 PN ( k n 0), 随切方向 (d )改变， kn
N点的轨迹称为曲面 ( S )在P点的杜邦指标线 . 方程 在标架{ P; ru , rv }下， PN xru yrv , 2 1 I ( xru yrv ) kn II 2 2 2 2 I ru x 2ru rv xy rv y II
的法曲率kn为： 定义 (法曲率)曲面在给定点沿一方向 k0 法截线向n的正侧弯曲 kn k0 法截线向n的负侧弯曲 II k 0 ,法截线向n的正侧弯曲时取正号 , 反之取负号. I II kn , 设曲面上的曲线 (C )和法截线 (C0 )相切于点P, I II k cos , 其中k为曲线(C )在P点的曲率. I kn k cos 所以 梅尼埃定理 1 1 则 R Rn cos 若令R , Rn ， k kn 其中R是曲线(C )的曲率半径， 称为法曲率半径 . Rn是法截线(C0 )的曲率半径，