8.3.1完全平方公式与平方差公式讲学稿

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七年级数学下册 8.3《完全平方公式与平方差公式》教案1 (新版)沪科版

七年级数学下册 8.3《完全平方公式与平方差公式》教案1 （新版）沪科版教学目标：1、学会推导完全平方公式和平方差公式.2、了解公式的几何背景，会用公式进行简单计算.教学重点：对公式的理解.教学难点：1、对完全平方公式和平方差公式的运用；2、对公式中字母所表示的广泛含义的理解和正确运用.教学过程：完全平方公式（一）导入新课：请同学们回忆多项式乘法法则并用多项式的乘法法则计算：（a+b）2=（a-b）2=说明：乘法公式实际是几个特殊形式的多项式乘法结果，让学生知道公式的来历.多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加.（二）新课讲解：总结：上述两个公式可以直接用于计算.我们把①和②称为完全平方公式.思考：你能用语言表述这两个公式吗？语言叙述：完全平方公式的语言叙述：两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加（或减）这两个数乘积的2倍.平方差公式语言叙述：两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差.几何意义：应用举例：例：利用乘法公式计算：（1）（2x+y）2（2）（3a-2b） 2※字母a、b可以是数字，也可以是整式.（三）课堂练习：计算：（1）（3x+1）2 （2）（a-3b）2（3）（2x+y/2）2（4）（-2x+3y）2平方差公式（一）探究平方差公式计算下列多项式的积．（1）（x+1）（x-1）=（2）（m+2）（m-2）=（3）（2x+1）（2x-1）=（4）（x+5y）（x-5y）=观察上述算式，你发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么规律？分别用文字语言和符号语言叙述这个公式．用字母表示：（二）平方差公式的应用例：运用平方差公式计算：（1）（3x+2）（3x-2）（2）（b+2a）（2a-b）（3）（-x+2y）（-x-2y）（1）中可以把3x看作a，2看作b．即：（3x+2）（3x-2）=（3x）2 -22（a+b）（a–b）=a2 -b2同样的方法可以完成（2）、（3）．如果形式上不符合公式特征，可以做一些简单的转化工作，使它符合平方差公式的特征．比如（2）应先作如下转化：如果转化后还不能符合公式特征，则应考虑多项式的乘法法则．例：计算：（1）102×98（2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）应注意以下几点：（1）公式中的字母a、b可以表示数，也可以是表示数的单项式、多项式即整式．（2）要符合公式的结构特征才能运用平方差公式．（3）有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式，•但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形实质上能应用公式．（4）运算的最后结果应该是最简.巩固练习下列计算对不对？如不对，应当怎样改正？（1）（x+2）（x-2）=x2 -2（2）（-3a-2）（3a-2）=9a2 -4。

完全平方公式与平方差公式教案

完全平方公式与平方差公式教案章节一：完全平方公式的探究与理解1. 导入：通过实际问题引入完全平方公式的概念，例如求(x + 2)²的值。

2. 探究：引导学生通过具体例子，如(x + 2)²= x²+ 4x + 4，发现完全平方公式的规律。

4. 练习：布置一些简单的练习题，让学生运用完全平方公式进行计算。

章节二：平方差公式的探究与理解1. 导入：通过实际问题引入平方差公式的概念，例如求(x 2)²的值。

2. 探究：引导学生通过具体例子，如(x 2)²= x²4x + 4，发现平方差公式的规律。

4. 练习：布置一些简单的练习题，让学生运用平方差公式进行计算。

章节三：完全平方公式与平方差公式的应用1. 导入：通过实际问题引入完全平方公式与平方差公式的应用，例如求(x +1)(x 1) 的值。

2. 探究：引导学生运用完全平方公式与平方差公式，将(x + 1)(x 1) 进行展开和简化。

4. 练习：布置一些实际问题，让学生运用完全平方公式与平方差公式进行解决。

章节四：完全平方公式与平方差公式的巩固与拓展1. 导入：通过实际问题引入完全平方公式与平方差公式的巩固与拓展，例如求(x + 2)(x 2) 的值。

2. 探究：引导学生运用完全平方公式与平方差公式，将(x + 2)(x 2) 进行展开和简化。

4. 练习：布置一些更复杂的实际问题，让学生运用完全平方公式与平方差公式进行解决。

1. 回顾：引导学生回顾本节课学习的完全平方公式与平方差公式。

3. 评价：对学生的学习情况进行评价，鼓励学生积极参与课堂讨论和练习。

4. 布置作业：布置一些相关的练习题，让学生巩固所学知识。

章节六：完全平方公式与平方差公式的综合应用1. 导入：通过实际问题引入完全平方公式与平方差公式的综合应用，例如求(x + y)²(x y)²的值。

2. 探究：引导学生运用完全平方公式与平方差公式，将(x + y)²(x y)²进行展开和简化。

8.3.1完全平方公式与平方差公式

你能用不同的形式表示实验田的总面积, 并进行比较.
一块边长为a米的正方形实验田，因需要将
完全平方公式
探索: 你发现了什么?
a a
图 1 —6
直 2 总面积 = 接 (a+b) ；法一求间接总面积= a2+ ab+ ab+ b2. 法二求
b
公式: (a+b)2= a2+ 2 ab + b2.
4、公式中的字母a，b可以表示数，单项式和
多项式。
辨一辨

下面各式的计算是否正确？如果不正确应当怎样改正？
(1)(x+y)2=x2 +y2 错 (x +y)2 =x2+2xy +y2
(2)(x -y)2 =x2 -y2 错 (x -y)2 =x2 -2xy +y2 (3) (x -y)2 =x2+2xy +y2 错
5, ab 6,
2 2
求
a b ,a ab b .
2 2
1.
2008 2 2008 2009 2009 =_______;
2 2
1
2.若 x 2 2kx 9是一个完全平方公式,
则
3 k _______;
2 2
3.若 x 8 x k 是一个完全平方公式,
2 (a+b)
=(a+b) (a+b) 2 2 = a +ab +ab +b 2 2 = a +2ab+b
=(a-b) (a-b) 2 2 = a - ab - ab +b 2 2 = a - 2ab+b
2 (a-b)

8.3.1 完全平方公式

2
（2）（y- )2 )2+2· · +
2
1 2
- 2·
· +( )2 . (5)(-2x+3y)(2x-3y)
例 3.运用完全平方公式计算： (1) 1022 (2) 99 2
四、落实训练（一）当堂训练 1、判断下列各等式是否成立，若不成立请改正：（1）(b-4c)2=b2-16c2 （2）(x+y)2=x2+xy+y2 （3）(3m-2n)2=3m2-6mn+2n2 2、已知 x2-2mx+1 是完全平方式，则 m 的值为（ A、1 B、-1 C、±1 (2) ( x+6y)2
(3)若 x2+mx+64 是一个完全平方式，则 m= 教学反思：
公式，用语言叙述为：两，等于这两数的。
）这两数
二、公式的几何解释：
b a a b
如左图：边长为(a+b)的大正方形的面积是部分的面积分别是是、、、
；分成的四，它们的和。
。验证的公式是
如右图：边长为 a 的大正方形的边长减少 b 所得的正方形的面积是；边长为 a 的大正方形的面积是、、，另外三部分。
孙疃中心学校师生共用讲学稿年级七年级学科年级组长签名
课题：
数学
主备教师王景英审核人班级学生姓名
讲学日期
8.3.1 完全平方公式
学习目标： 1、会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的运算； 2、了解完全平方公式的几何解释，形成数形结合的思想。 3、培养数学语言表达能力和运算能力. 学习重点：完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释，灵活应用。学习难点：理解完全平方公式的结构特征，灵活运用完全平方公式。学习过程：一、公式引入：问题：(1) (p+1)2=(p+1)(p+1) = (2) (m+2)2= (3) (p-1)2= (4) (m-2)2= = = =

2018年春七年级沪科版数学下册8.3 完全平方公式与平方差公式说课材料1

8.3 完全平方公式与平方差公式（1）各位评委、各位老师：大家好！我今天说课的内容是义务教育教科书《数学》七年级下册第八章第三节《完全平方公式与平方差公式》。

下面，我将从教学分析、教法与学法、教学程序设计、板书设计等方面来汇报我对这节课的教学设想。

第一、教材分析（一）、教材的地位及其作用：《完全平方公式》是初中代数的一个重要组成部分，是学生在已经掌握单项式乘法、多项式乘法及平方差公式基础上的拓展，本节课通过学生合作学习，利用计算图形面积导出完全平方公式，并利用多项式相乘法则进行推导，进而理解和运用完全公式，对以后学习因式分解、解一元二次方程、配方法、勾股定理及图形面积计算都有举足轻重的作用。

此外本节课在教学过程中力图向学生参透数形结合以及换元思想，为今后数学方法的学习奠定了基础。

（二）、教学目标：根据上述教材结构与内容分析，考虑到初一学生已有的认知结构心理特征，我制定了如下教学目标：1、知识与技能目标：了解公式的几何背景，理解并掌握公式的结构特征，能利用公式进行计算。

2、过程与方法目标：在学习的过程中使学生体会数、形结合的优势以及换元法的巧妙，进一步发展符号感和推理能力，培养学生数学建模的思想。

3、情感态度与价值目标：使学生体验数学活动中的探索性和创造性，并获得成功的体验与喜悦，树立自信心，进而激发求知欲。

（三）、教学重点与难点：本着课程标准，在吃透教材基础上，我认为本节课的重点是完全平方公式的结构特点及公式的直接运用。

而难点则为完全平方公式的应用以及对公式中字母a、b的广泛含义的理解与正确应用。

我觉得教学的关键就是教会学生克服难点，办法是让学生回顾与思考，复习平方差公式及如何运用；从代数、几何两个方面探索和论证公式，了解公式的产生过程，加深印象和公式的可信度，并对公式有一个直观的认识。

第二、教法与学法：下面，为了讲清重点、难点，使学生能达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上谈谈：（一）教法：数学是一门培养和发展人的思维的重要学科，因此，在教学中，不仅要使学生“知其然”而且要使学生“知其所以然”。

完全平方公式与平方差公式1讲学稿

内容：8.3完全平方公式与平方差公式（1）P64--67课型：新授执笔人：曹维维日期：学习目标：1、经历探索完全平方公式的过程，发展学生观察、交流、归纳、猜测、验证等能力。

2、会推导完全平方公式，了解公式的几何背景，会用公式计算。

3、体会数形结合的数学思想和方法。

学习重点：会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算。

学习难点：掌握完全平方公式的结构特征，理解公式中a.b的广泛含义。

学习过程：一、学习准备1、利用多项式乘以多项式计算：(a+b)2 (a-b)22、这两个特殊形式的多项式乘法结果称为完全平方公式。

尝试用自己的语言叙述完全平方公式：3、完全平方公式的几何意义：阅读课本64页，完成填空。

4、完全平方公式的结构特征：(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2左边是形式，右边有三项，其中两项是形式，另一项是注意：公式中字母的含义广泛，可以是，只要题目符合公式的结构特征，就可以运用这一公式，可用符号表示为：(□±△)=□2±2□△+△25、两个完全平方公式的转化：(a-b)2= 2=( )2+2( )+( )2=二、合作探究1、利用乘法公式计算：(1) (3a+2b)2 (2) (-4x2-1)2分析：要分清题目中哪个式子相当于公式中的a ，哪个式子相当于公式中的b2、利用乘法公式计算：(1) 992 (2) (4150)2 分析：要利用完全平方公式，需具备完全平方公式的结构，所以992可以转化( )2，(4150)2可以转化为( )23、利用完全平方公式计算：(1) (a+b+c)2 (2) (a-b)3三、学习体会对照学习目标，通过预习，你觉得自己有哪些方面的收获？又存在哪些方面的疑惑？四、自我测试1、下列计算是否正确，若不正确，请订正；(1) (-1+3a)2=9a 2-6a+1(2) (3x 2-21)2=9x 4-41 (3) (xy+4)2=x 2y 2+16 (4) (a 2b-2)2=a 2b 2-2a 2b+42、利用乘法公式计算：(1) (3x+1)2 (2) (a-3b)2(3) (-2x+2y )2 (4) (-3m-4n)23、利用乘法公式计算：(1) 9992 (2) (100.5)24、先化简，再求值； (21m-3n)2-(21m+3n)2+2,其中m=2,n=3五、思维拓展1、如果x 2-kx+81是一个完全平方公式，则k 的值是2、多项式4x 2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是3、已知(x+y)2=9, (x-y)2=5 ，求xy 的值4、x+y=4 ,x-y=10 ,那么xy=5、已知x-x 1=4，则x 2+21x = 6、已知x 2+y 2=25 ,x+y=7 ，且x>y ，求x-y 的值。

完全平方公式和平方差公式的应用讲课讲稿

完全平方公式和平方差公式的应用完全平方公式和平方差公式的应用公式：语言叙述：两数的 ______________________________________________________________ 。

公式结构特点：左边： __________________________________ 右边：熟悉公式：公式中的a 和b 既可以表示数字也可以表示字母，还可以表示一个单项式或者一个多项式。

(5+6x)(5-6x) 中 ______ 是公式中的a ， ______是公式中的b (5+6x)(-5+6x) 中 _____ 是公式中的a ， ______是公式中的b (x-2y)(x+2y) 填空： 1、 (2x-1)( )=4x 2-12、 (-4x+ )(-4x)=16x2-49y 2第一种情况：直接运用公式 1. ( a+3) (a-3)2..( 2a+3b)(2a-3b)3. (1+2c)(1-2c)4. (-x+2)(-x-2)第二种情况：运用公式使计算简便 1、1998X 2002 2 、 498X 502 3、 999X 1001 4、 1.01 X 0.995、 30.8 X 29.26、1(100-) X 2 (99- -33187(20-) X (19- -)99第三种情况：两次运用平方差公式 1、( a+b )(a-b)(a 2+b 2)第四种情况：需要先变形再用平方差公式5.(b+2a)(2a-b)6.(a+b)(-b+a)7.(ab+1)(-ab+1)第五种情况：每个多项式含三项2、(a+2)(a-2)(a2+4) 3(x- - )(x 2+ - )(x+ -)2 4 21、( -2x-y ) (2x-y) 2 、(y-x)(-x-y) 3.(-2x+y)(2x+y)4.(4a-1)(-4a-1)1. (a+2b+c) (a+2b-c)2.(a+b-3)(a-b+3)3. x-y+z)(x+y-z)4.(m_n+p)(m_n_p)完全平方公式公式：语言叙述：两数的___________ . __________________________________________________ 。

完全平方公式与平方差公式-经典教学教辅文档

第8章整式乘法与因式分解8.3 完全平方公式与平方差公式（续表）_________________________________________________________________________________________________________④[习题反思]好题题号_____________________________________________错题题号_____________________________________________第1课时完全平方公式学案1、完全平方公式有两个：（a+b）2=a2+2ab+b2,（a-b）2=a2-2ab+b2.即，两数和（或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍.这两个公式叫做完全平方公式.它们可以合写在一同，为（a±b）2=a2±2ab+b2.为便于记忆，可抽象的叙说为：“首平方、尾平方，2倍乘积在中央”.几何背景：如图，大正方形的面积可以表示为（a+b）2，也能够表示为S＝SⅠ+ SⅡ+ SⅢ+SⅣ，同时S＝a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2.从而验证了完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2.2、完全平方公式的特点是：左侧是两个相反的二项式相乘，右侧是三项式，是左侧二项式中两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的2倍.公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也能够表示单项式或多项式等代数式.只需符合这一公式的结构特点，就可以运用这一公式.3、在运用完全平方公式时应留意成绩：（1）千万不要发生类似（a±b）2=a 2±b 2的错误；（2）不要与公式（ab ）2=a 2b 2混淆；（3）切勿把“乘积项”2ab 中的2漏掉；（4）计算时，应先观察所给标题的特点能否符合公式的条件，如符合，则可以直接套用公式进行计算；如不符合，应先变形为公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，则应运用乘法法则进行计算.名师导学互动典例精析：知识点1：改变公式中b a ,的符号：例1、运用完全平方公式计算： ()252y x +-【解题思绪】本例改变了公式中b a ,的符号，处理方法之一：把两式分别变形为()()[]225252y x y x --=+-()252y x -=再用公式计算（反思得：()()()()2222;b a b a a b b a +=---=-）；方法二：把两式分别变形为：()()222552x y y x -=+-后直接用公式计算；方法三：把两式分别变形为()()[]225252y x y x +-=+-后直接用公式计算.【解】()252y x +-=()()()22222420252252525x xy y x x y y x y +-=+⨯⨯-=-.【方法归纳】对乘法公式的最初运用是模仿套用，套用的前提是确定能否具备运用公式的条件，关键是正确确定“两数”即“a ”和“b ”.对应练习：()2b a --知识点2：改变公式中的项数例2、计算：()2c b a ++【解题思绪】完全平方公式的左侧是两个相反的二项式相乘，而本例中出现了三项，故应考虑将其中两项结合运用全体思想看成一项，从而化解矛盾.所以在运用公式时， ()2c b a ++ 可先变形为()[]2c b a ++ 或()[]2c b a ++ 或者()[]2b c a ++ ，再进行计算．【解】()2c b a ++=()[]2c b a ++=()()bc ac ab c b a c c b a b a 222222222+++++=++++.【方法归纳】运用全体思想可以使计算更为简便，快捷. 对应练习：（2a －b ＋4）2知识点3：改变公式的结构例3、运用公式计算：（1）()()y x y x 22++；（2）()()b a b a --+. 【解题思绪】本例中所给的均是二项式乘以二项式，表面看外观结构不符合公式特点，但仔细观察易发现，只需将其中一个因式作适当变形就可以了.【解】（1）()()y x y x 22++=()2222422y xy x y x ++=+；（2）()()b a b a --+=()2222b ab a b a ---=+-.【方法归纳】观察到两个因式的系数有倍数关系或相反关系是正确变形并利用公式的前提条件. 对应练习：计算：()()a b b a --知识点4：利用公式简便运算例4：计算：9992【解题思绪】本例中的999接近1000，故可化成两个数的差，从而运用完全平方公式计算.【解】()=+-=+-=-=120001000000120001000110009992222998001. 【方法归纳】有些数学计算可拆成两数（式）平方差、完全平方公式的方式，正用乘法公式可使运算简捷、快速. 对应练习：计算：100.12知识点5：公式的逆用例5、计算： ()()()()2233525++++-+x x x x【解题思绪】本题若直接运用乘法公式和法则较繁琐，仔细分析可发现其结构恰似完全平方公式()2222b ab a b a +-=-的右侧，不妨把公式倒过来用.【解】()()()()2233525++++-+x x x x =()()[]4352=+-+x x .【方法归纳】解题中，•若把留意力和着眼点放在成绩的全体上，多方位考虑、联想、探求，进行全体考虑、全体变形，•从不同的方面确定解题策略，能使成绩迅速获解．对应练习：化简()()()()223372272++++-+a a a a 知识点6：公式的变形例6、已知实数a 、b 满足()1,102==+ab b a .求以下各式的值：（1）22b a +；（2）()2b a -【解题思绪】此例是典型的整式求值成绩，若按常规思想把a 、b 的值分别求出来，非常困难；仔细探求易把这些条件同完全平方公式结合起来，运用完全平方公式的变方式很容易找到解决成绩的途径.【解】（1）22b a +=()822=-+ab b a ；（2）()()ab b a b a 422-+=-=6.【方法归纳】()()ab b a b a 422-+=-()(),422ab b a b a +-=+()()ab b a b a ab b a b a 2,2222222+-=+-+=+熟习完全平方公式的变方式，是相关全体代换求知值的关键. 对应练习：已知：x ＋y ＝－1，x 2＋y 2＝5，求xy 的值. 知识点7：乘法公式的综合运用例7、计算：()()z y x z y x -+++【解题思绪】此例是三项式乘以三项式，特点是：有些项相反，另外的项互为相反数。

完全平方公式与平方差公式讲解学习

完全平方公式与平方差公式《完全平方公式与平方差公式》教学设计第1课时完全平方公式1．能根据多项式的乘法推导出完全平方公式；(重点) 2．理解并掌握完全平方公式，并能进行计算．(重点、难点)一、情境导入计算：(1)(x＋1)2; (2)(x－1)2；(3)(a＋b)2; (4)(a－b)2.由上述计算，你发现了什么结论？二、合作探究探究点：完全平方公式【类型一】直接运用完全平方公式进行计算利用完全平方公式计算：(1)(5－a)2；(2)(－3m－4n)2；(3)(－3a＋b)2.解析：直接运用完全平方公式进行计算即可．解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2；(2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2；(3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.方法总结：完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.可巧记为“首平方，末平方，首末两倍中间放”．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第12题【类型二】构造完全平方式如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一个完全平方式，求m的值．解析：先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式确定m的值．解：∵36x2＋(m＋1)xy＋25y2＝(6x)2＋(m＋1)xy＋(5y)2，∴(m＋1)xy＝±2·6x·5y，∴m＋1＝±60，∴m＝59或－61.方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题【类型三】运用完全平方公式进行简便计算利用完全平方公式计算：(1)992; (2)1022.解析：(1)把99写成(100－1)的形式，然后利用完全平方公式展开计算．(2)可把102分成100＋2，然后根据完全平方公式计算．解：(1)992＝(100－1)2＝1002－2×100＋12＝10000－200＋1＝9801；(2)1022＝(100＋2)2＝1002＋2×100×2＋4＝10404.方法总结：利用完全平方公式计算一个数的平方时，先把这个数写成整十或整百的数与另一个数的和或差，然后根据完全平方公式展开计算．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第13题【类型四】灵活运用完全平方公式求代数式的值若(x＋y)2＝9，且(x－y)2＝1.(1)求1x2＋1y2的值；(2)求(x2＋1)(y2＋1)的值．解析：(1)先去括号，再整体代入即可求出答案；(2)先变形，再整体代入，即可求出答案．解：(1)∵(x＋y)2＝9，(x－y)2＝1，∴x2＋2xy＋y2＝9，x2－2xy＋y2＝1，4xy＝9－1＝8，∴xy＝2，∴1x2＋1y2＝x2＋y2x2y2＝（x＋y）2－2xyx2y2＝9－2×222＝5 4；(2)∵(x＋y)2＝9，xy＝2，∴(x2＋1)(y2＋1)＝x2y2＋y2＋x2＋1＝x2y2＋(x ＋y)2－2xy＋1＝22＋9－2×2＋1＝10.方法总结：所求的展开式中都含有xy或x＋y时，我们可以把它们看作一个整体代入到需要求值的代数式中，整体求解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题【类型五】完全平方公式的几何背景我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图甲可以用来解释(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.那么通过图乙面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是()A．a2－b2＝(a＋b)(a－b)B．(a－b)(a＋2b)＝a2＋ab－2b2C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2D．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2解析：空白部分的面积为(a－b)2，还可以表示为a2－2ab＋b2，所以，此等式是(a－b)2＝a2－2ab＋b2.故选C.方法总结：通过几何图形面积之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题【类型六】与完全平方公式有关的探究问题下表为杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如(a ＋b)n(n为正整数)展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出(a＋b)6展开式中所缺的系数．(a＋b)1＝a＋b，(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，则(a＋b)6＝a6＋6a5b＋15a4b2＋________a3b3＋15a2b4＋6ab5＋b6.解析：由(a＋b)1＝a＋b，(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3可得(a＋b)n的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于(a＋b)n－1的相邻两个系数的和，由此可得(a＋b)4的各项系数依次为1、4、6、4、1；(a＋b)5的各项系数依次为1、5、10、10、5、1；因此(a＋b)6的系数分别为1、6、15、20、15、6、1，故填20.方法总结：对于规律探究题，读懂题意并根据所给的式子寻找规律，是快速解题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题三、板书设计1．完全平方公式两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2.2．完全平方公式的运用本节课通过多项式乘法推导出完全平方公式，让学生自己总结出完全平方公式的特征，注意不要出现如下错误：(a＋b)2＝a2＋b2，(a－b)2＝a2－b2.为帮助学生记忆完全平方公式，可采用如下口诀：首平方，尾平方，乘积两倍在中央．教学中，教师可通过判断正误等习题强化学生对完全平方公式的理解记忆。

完全平方公式／平方差公式的认识及应用讲义

完全平方公式／平方差公式的认识及应用一：学生情况及其分析：上海初一的学生，学校已经讲完整式乘法了，但是由于学生基础比较差，另外学生反映学校进度太快，所以完全没跟上，测试一百分能拿到三十分左右；分析了一下主要原因是学生对于新知识都只是知道个大概，但完全不会应用，比如本节内容学校已经讲过了，但学生只能大概说出完全平方式／平方差公式是什么，做题却毫无思路，就学生这个情况本节课将本专题按题型由简到难划分，主要培养学生的解题能力，同时课程前部分带学生回顾一下基础知识及推论（2－３h课程）。

二：教学目的：1、经历乘法公式的探求过程，理解乘法公式的意义，知道乘法公式与多项式乘法法则的关系；2、熟悉乘法公式的特征，掌握乘法公式及其简单运用（重难点）.三：教学设计：1，引入：复习乘法公式的基础形式并总结相关重点推论（将学生掌握不准确的知识点或易错点给予补充）。

2，教学过程：【知识梳理】（红色标注为重难点易错点内容）（一）平方差公式1．平方差公式：()()22-+=-a b a b a b2．平方差公式的特点：（1）左边是两个项式相乘，两项中有一项完全相同，另一项互为相反数（2）右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）（3）公式中的,a b可以是具体的数，也可是单项式或多项式（二）完全平方公式1．完全平方公式：()222+=++2a b a ab b()222-=-+2a b a ab b2．完全平方公式的特点：在公式()2222±=±+中，左边是一个二项式的完全平方，右边是a b a ab b一个二次三项式.其中有两项是左边括号内而像是种每一项的平方，中间一项为左边二项式中两项乘积的2倍，其符号由左边括号内的符号决定.本公式可由语言表述为：首平方，尾平方，两项乘积在中央.3．公式的恒等变形及推广：（1）()()()222a b b a a b -+=-=- （2）()()22a b a b --=+4．完全平方公式的几种常见变形：（1）()()222222a b a b ab a b ab +=+-=-+ （2）()()()()22222222a b a b a b a b ab +-+--+==-（3）()()224a b a b ab -=+- （4）()()224a b a b ab +=-+（5）()2222222a b c a b c ab ac bc ++=+++++ 5．其他：（拓展内容）()()333333,,,a b a b a b a b +-+-6．⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩完全平方公式的表示完全平方公式的结构特征完全平方公式完全平方公式的应用完全平方公式的变形【典型例题讲解】（一）平方差公式题型一：【例1】请根据下图图形的面积关系来说明平方差公式【例2】判断下列各式能否用平方差公式计算，如果不能，应怎样改变才能使平方差公式适用？（1）⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a b a 231312 （2）()()a b b a 3232++- （3）()()2323-+-m m【借题发挥】1．在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的正方形()a b >，（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙）根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以证（） A. ()2222a b a ab b +=++; B. ()2222a b a ab b -=-+;C. ()()22a b a b a b -+=-;D.()()2222a b a b a ab b +-=+-.2．下列计算中可以用平方差公式的是（）（A ）()()22--+a a （B ）⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+a b b a 2121（C ）()()y x y x -+- （D ）()()22y x y x +-题型二：平方差公式的计算及简单应用【例3】类型1：()()22b a b a b a -=-+ （1）()()a a 2121+-（2）⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+3121312122x x【例4】类型2：()()22a b a b b a -=-+（1）（2xy+1）（1-2xy ）（2）（3x-4a ）（4a+3x ）【例5】类型3：()()22a b b a b a -=---（1）（-5xy+4z ）（-5xy-4z ）（2）()()z y x z y x 323222+---【例6】类型4：()()()22b a m b a mb ma -=-+ （xy+xz ）（y-z ）【例7】类型5：计算：()()102102++-+-+z y x z y x【例8】运用平方差公式化简：（1）()()()2111x x x ++- （2）()a a a -⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+2121412【例9】计算：168422)12)(12)(12)(12(-++++。

《完全平方公式与平方差公式》讲义

《完全平方公式与平方差公式》讲义一、完全平方公式完全平方公式是数学中一个非常重要的公式，它有两个形式：（a ＋ b）²＝ a²＋ 2ab ＋ b²（a b）²＝ a² 2ab ＋ b²我们来详细解读一下这两个公式。

先看（a ＋ b）²＝ a²＋ 2ab ＋ b²。

想象有一个边长为（a ＋ b）的正方形，它的面积就是（a ＋ b）²。

我们可以把这个正方形分成四块，分别是边长为 a 的正方形、边长为 b 的正方形，以及两个长为 a 宽为 b 的长方形。

那么这个大正方形的面积就等于这四块面积之和，即 a²＋2ab ＋ b²。

再看（a b）²＝ a² 2ab ＋ b²。

同样，我们可以把（a b）²看成是一个边长为（a b）的正方形的面积。

通过类似的分割方法，也能得出其面积为 a² 2ab ＋ b²。

完全平方公式在计算和化简式子时非常有用。

例如，计算（3 ＋ 4）²。

我们可以直接使用完全平方公式：（3 ＋ 4）²＝ 3²＋ 2×3×4 ＋ 4²＝ 9 ＋ 24 ＋ 16 ＝ 49。

又比如，化简（x ＋ 2y）²。

根据公式可得：（x ＋ 2y）²＝ x²＋2×x×2y ＋（2y）²＝ x²＋ 4xy ＋ 4y²。

在解决实际问题中，完全平方公式也经常出现。

假设一个正方形的边长增加了 5 厘米，原来的边长为 x 厘米，那么面积增加了多少？原来正方形的面积是 x²平方厘米，边长增加后的正方形边长为（x＋ 5）厘米，面积为（x ＋ 5）²平方厘米。

面积增加的值就是（x ＋ 5）² x²，利用完全平方公式展开可得：（x ＋ 5）² x²＝（x²＋ 10x ＋ 25） x²＝ 10x ＋ 25 （平方厘米）二、平方差公式平方差公式为：（a ＋ b）（a b）＝ a² b²这个公式的意思是，两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差。

8.3.1完全平方公式

8．3完全平方公式与平方差公式第1课时完全平方公式学习目标1．能根据多项式的乘法推导出完全平方公式；(重点)2．理解并掌握完全平方公式，并能进行计算．(重点、难点)教学过程一、预习检测1、通过《导学案》的预习，你获得哪些知识？用你自己的话说说。

2、怎样证明完全平方公式？你有几种方法？3、怎样正确的使用完全平方公式？4、你还有哪些疑惑？二、新授（一）完全平方公式的证明1、数学证明利用多项式乘法法则证明2、图形证明利用图形证明完全平方和公式和完全平方差公式教师证明完全平方和，学生尝试证明完全平方差公式，可以相互讨论，教师适当点拨。

3、议一议让学生观察完两个全平方公式，相互讨论并说出完全平方公式的特点：积是二次三项式、另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同、公式中a,b可以是数、单项式或者多项式。

由此总结出公式记忆口诀：“首平方、尾平方、首尾二倍放中央”。

（二）课堂练习1、判断四个等式是不是完全平方公式，并说出错误点。

(1)(x+y)2=x2 +y2(2)(x-y)2=x2 - y 2(3) (x -y)2 =x2+2xy +y2(4) (x+y)2 =x2 +xy +y 2（三）例题讲解例1 运用完全平方公式计算：(3a-2b)2分析强调：这里的3a 表示公式里的“a ”;2b 表示公式里的“b ”，利用完全平方差公式就可以很快解出正确答案。

小练习1、利用公式填空(1)(m+1)2=( )2+2( )( )+( )2(2))(2x －3y)2=( )2－2( )( )+( )22、算一算2173m 和223ab b 巩固新知识。

（四）本课小结由学生讨论小结，教师点出1.完全平方公式及其运用2.注意两个完全平方公式的相同点和不同点3.在解题过程中要准确确定a 和b 、对照公式原形的两边, 做到不丢项、不弄错符号、2ab 时不少乘2。

（五）当堂练习《导学测评》p30：1-9题（六）思考题多项式4x ２＋１加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方，那么这个单项式是什么？。