0 数学建模简介(11)

描述、优化、预报、 描述、优化、预报、决策 … … 白箱
2011-5-8
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North China Elec. P.U.
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数学建模示例
例1一天有个年轻人来到王老板的店里买了一件礼 物，这件礼物成本是18元，标价是21元。结果是这 个年轻人掏出100元要买这件礼物。王老板当时没 有零钱，用那100元向街坊换了100元的零钱，找给 年轻人79元。但是街坊后来发现那100元是假钞， 王老板无奈还了街坊100元。 现在问题是：王老板在这次交易中到底损失了多少 王老板在这次交易中到底损失了多少 钱?
我们常见的模型 玩具、照片、飞机、火箭模型 玩具、照片、飞机、火箭模型… … ~ 实物模型 水箱中的舰艇、风洞中的飞机 水箱中的舰艇、风洞中的飞机… … ~ 物理模型 地图、电路图、分子结构图 地图、电路图、分子结构图… … ~ 符号模型
模型是为了一定目的， 模型是为了一定目的，对客观事物的一部分 是为了一定目的 进行简缩、抽象、提炼出来的原型 原型的替代物 进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征 集中反映了原型
J. G. Liu North China Elec. P.U.
2011-5-8
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数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（ 数学建模（Mathematical Modeling) 数学模型
对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。 数学结构。 数学结构
Y
模型应用 模 型 准 备
J. G. Liu
了解实际背景 搜集有关信息
2011-5-8
明确建模目的 掌握对象特征
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形成一个 比较清晰 问题’ 的‘问题’
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数学建模的一般步骤
模 型 假 设 针对问题特点和建模目的 作出合理的、简化的假设 作出合理的、 在合理与简化之间作出折中
J. G. Liu
2011-5-8 12
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地去B 例3 某人第一天由 A地去B地，第二天由 在什么条件下， B地沿原路返回 A 地。问：在什么条件下， 可以保证途中至少存在一地， 可以保证途中至少存在一地，此人在两天 中的同一时间到达该地。 中的同一时间到达该地。
数学建模
建立数学模型的全过程（包括分析、假设、 建模、求解、解释、检验等）
J. G. Liu
2011-5-8 5
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数学建模的一般步骤
模型准备
N
模型假设 模型分析
模型构成 模型求解
模型检验
模 型 构 成
J. G. Liu
用数学的语言、 用数学的语言、符号描述问题 发挥想像力 使ห้องสมุดไป่ตู้类比法
尽量采用简单的数学工具
2011-5-8 7
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数学建模的一般步骤
模型 求解 模型 分析 模型 检验 各种数学方法、 各种数学方法、软件和计算机技术 如结果的误差分析、统计分析、 如结果的误差分析、统计分析、 模型对数据的稳定性分析 与实际现象、数据比较， 与实际现象、数据比较， 检验模型的合理性、 检验模型的合理性、适用性
2011-5-8 14
D L
J. G. Liu
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餐馆每天都要洗大量的盘子，为了方便， 例5 餐馆每天都要洗大量的盘子，为了方便， 某餐馆是这样清洗盘子的： 某餐馆是这样清洗盘子的：先用冷水粗粗洗 一下，再放进热水池洗涤，水温不能太高， 一下，再放进热水池洗涤，水温不能太高， 简化假设： 否则会烫手，但也不能太低，否则不干净。 否则会烫手不妨可以提出以下 简化假设： ，但也不能太低，否则不干净。 （1）水池、空气吸热不计，只考虑 ）水池、空气吸热不计， 由于想节省开支，餐馆老板想了解一池热水 由于想节省开支，，盘子的大小、材料相同 盘子吸热， 盘子吸热 盘子的大小、 那么热水为什么会变冷呢？ 那么热水为什么会变冷呢 到底可以洗多少盘子， ，是水 的温度在决 定 到底可以洗多少盘子，请你帮他建模分析一 根据上述简化假设， （2）盘子初始温度与气温相同，？假如 ）盘子初始温度与气温相同，洗 根据上述简化假设，利用热量守 不难看出， 不难看出 你想建一个较精细的模型， 衡定律， 衡定律，餐馆老板的问题就很容 洗盘子的数量 是什么样的盘子？ 下这一问题。 盘子有大小吗 ?是什么样的盘子？ 下这一问题完后的温度与水温相同。盘子是先用冷水 。 你想建一个较精细的模型，你当
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•例4 交通灯在绿灯转换成红灯时，有 例 交通灯在绿灯转换成红灯时， 马路的宽度 D是容易测得 的，问题的关键在 于L 是容易测得 的确定。 划分为两段： 的确定。为确定 L，还应当将 L划分为两段：L1 ， 划分为两段 一个过渡状态——亮一段时间的黄灯。 一个过渡状态——亮一段时间的黄灯。 和L2，其中 L1是司机在发现黄灯亮及判断应当 ， ——亮一段时间的黄灯 是司机在发现黄灯亮及判断应当 刹车的反应时间内驶过的路程 为刹车 请分析黄灯应当亮多久。 请分析黄灯应当亮多久。 ，L2为刹车制
假如我们换一种想法， 假如我们换一种想法，把第二天的返回改变成另一人在同 一天由B 问题就化为在什么条件下， 一天由B去A，问题就化为在什么条件下，两人至少在途中 相遇一次，这样结论就很容易得出了： 相遇一次，这样结论就很容易得出了：只要任何一人的到 达时间晚于另一人的出发时间，两人必会在途中相遇。 达时间晚于另一人的出发时间，两人必会在途中相遇。
后车辆驶过的路程。 较容易计算 较容易计算， 动后车辆驶过的路程。L1较容易计算，交通部门 早有测算， 早有测算 对司机的平均反应时间 t1早有测算，反应时间 过长将考不出驾照）， ），而此街道的行驶速度 过长将考不出驾照），而此街道的行驶速度 v 设想一下黄灯的作用是什么， 设想一下黄灯的作用是什么，不难看 也是交管部门早已定好的， 也是交管部门早已定好的，目的是使交通流量最 黄灯起的是警告的作用， 出，黄灯起的是警告的作用，意思是 可另建模型研究， 大，可另建模型研究，从而 L1=v*t1。刹车距离 。 马上要转红灯了， 马上要转红灯了，假如你能停住， L2既可用曲线拟合方法得出，也可利用牛顿第二 既可用曲线拟合方法得出， 既可用曲线拟合方法得出 假如你能停住，请 立即停车。停车是需要时间的， 立即停车。停车是需要时间的，在这 留作习题） 定律计算出来 （ 留作习题）。 段时间内， 段时间内，车辆仍将向前行驶一段距 黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了。 黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了。第 离 L。这就是说， 一步， L应多大才能使看见黄灯的司机 一步，先计算出。这就是说，在离街口距离为 L 应多大才能使看见黄灯的司机 停得住车。处存在着一条停车线（ 第二步， 停得住车。处存在着一条停车线（尽管它没被画 第二步，黄灯亮的时间应当让已过线 在地上）， ），见图 在地上），见图1-4。 的车顺利穿过马路， 见图 。对于那些黄灯亮 的车顺利穿过马路，即T 至少应当达到 （L+D） ） 时已过线的车辆， 时已过线的车辆，则应当保证它们仍 /v。 。 能穿过马路。 能穿过马路。
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数学模型的分类
应用领域 数学方法 表现特性 人口、交通、经济、 人口、交通、经济、生态 … … 初等数学、微分方程、规划、 初等数学、微分方程、规划、统计 … … 确定和随机 离散和连续 建模目的 了解程度
J. G. Liu
静态和动态 线性和非线性
( x + y ) × 30 = 750 ( x − y ) × 50 = 750
求解
x =20 y =5
船速每小时20千米 小时. 千米/ 答：船速每小时 千米/小时.
J. G. Liu
2011-5-8 3
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数学建模简介
主讲: 数学模型； 数学建模的步骤和过程； 数学建模示例 刘敬刚
J. G. Liu
2011-5-8
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从现实对象到数学模型
J. G. Liu
2011-5-8 2
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你碰到过的数学模型——“航行问题” “航行问题” 你碰到过的数学模型
甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时， 千米，船从甲到乙顺水航行需 小时 小时， 甲乙两地相距 千米 从乙到甲逆水航行需50小时 问船的速度是多少? 小时， 从乙到甲逆水航行需 小时，问船的速度是多少 表示船速， 表示水速，列出方程： 用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：
表述 求解 解释 验证
J. G. Liu
根据建模目的和信息将实际问题“翻译” 根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问 题 选择适当的数学方法求得数学模型的解答 将数学语言表述的解答“翻译” 将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象 用现实对象的信息检验得到的解答
实践
理论
2011-5-8
实践
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航行问题建立数学模型的基本步骤： 航行问题建立数学模型的基本步骤： 建立数学模型的基本步骤
• 对问题进行分析（已知、未知等）； 对问题进行分析（已知、未知等）； • 作出简化假设（船速、水速为常数）； 作出简化假设（船速、水速为常数）； • 用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）； 用符号表示有关量（ 表示船速和水速 表示船速和水速）； • 建立模型（用物理定律 匀速运动的距离等于 建立模型（用物理定律—匀速运动的距离等于 速度乘以时间，列出数学式子）； 速度乘以时间，列出数学式子）； • 求解模型，得到解答（x=20, y=5）； 求解模型，得到解答（ ）； • 回答原问题（船速每小时 千米 小时）。 回答原问题（船速每小时20千米 小时）。 千米/小时
J. G. Liu
2011-5-8
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•例2 某人平时下班总是按预定时间到达某处，然 例 某人平时下班总是按预定时间到达某处， 然后他妻子开车接他回家。有一天， 然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早 了三十分钟到达该处， 了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他 的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天， 的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他 显然是由于节省了从相遇点到 换一种想法， 换一种想法 比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时 比平时提前了十分钟到家，，问题就迎刃而 会合点， 会合点，又从会合点返回相遇点这一 解了。 解了。假如他的妻子遇到他后仍 段路的缘故， 段路的缘故，故由相遇点到会合点需 载着他开往会合地点， 载着他开往会合地点，那么这一 间？ 分钟。 开5分钟。而此人提前了三十分钟到 分钟 似乎条件不够哦 。。 天他就不会提前回家了。 天他就不会提前回家了。提前的 达会合点， 达会合点，故相遇时他已步行了二十 请思考一下， 请思考一下，本题解答中隐含了哪些假设 ？ 十分钟时间从何而来？ 十分钟时间从何而来？ 五分钟。 五分钟。 （1）车匀速； ）车匀速； （2）原路返回； ）原路返回；
请自己据此给出严格证明） （请自己据此给出严格证明）
假设 ： （1）两天人在路上的时间有重合；（保证相遇！） 两天人在路上的时间有重合；（保证相遇！ （2）行进过程中不折返；（保证只相遇一次！） 行进过程中不折返；（保证只相遇一次！
J. G. Liu North China Elec. P.U.
2011-5-8
模型应用
J. G. Liu
2011-5-8 8
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数学建模的全过程
现 实 世 界 现实对象的信息 验证 现实对象的解答 解释 表述
(归纳)
数学模型 求解 (演绎) 数学模型的解答
数 学 世 界