一种新型圆弧插补算法

文中提出了平面域中点与弧度的映射关系和点角的概念。作者运用点角在终点判别和统一顺逆插补方面简单快速的优点， 着重研究了一种基于直接三角函数法的新型圆弧插补算法。该算法特别是在终点判别处理方面较传统算法做了较大改进，便于 理解和计算机编程的实现。仿真结果表明，该算法计算稳定，可以应用于实际数控系统中进行插补计算。
式中，cos( δ )、sin( δ )可在插补预处理中事先计算
出。再由下式计算出在该插补周期内各坐标轴增量为
Δxi+1 = xi+1 − xi ， Δyi+1 = yi+1 − yi
（7）
2.插补预处理
根据逆圆弧插补G代码G03X__Y__I__J__F__，
可以获取圆弧起点坐标、终点坐标、及圆心相对于起
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时的顺点角为α的相反数。这样与一个点相对应的点角 为(-1)sn α 。其余与前面分析过程完全相同，不同的是
在得到的某些公式中可能会多(-1)sn因子。 5.插补算法流程 根据前面几个小节的分析过程，以下给出具体插
补流程图，如图4所示。
图3 起点与终点存在的三种情形
(1) α s< α e
如图3(a)所示，由点角定义，起点S应处于图示
(3) α s> α e
如图3（c）所示，起点S应位于图示阴影区域，
插补点D位于逆圆弧SE上。仔细观察可以发现，当D沿
弧SE从S走到E时，其点角αd从αs增大到αe+2π ，因此 可以将e同前重定义为αe=αe+2π 。
通过讨论可以看出，在上述三种情形下，刀具插
补点到达终点的条件都为 α d= α e，且情形(2)和(3)可
一、点弧关系与点角定义 设P( x ， y )是平面直角坐标系XOY内任意一点，如
图1所示。建立关系 f ， f 定义为从X正半轴绕原点O逆 时针旋转至P时所扫过的弧度。很显然， f 将P映射到 半开半闭区间[0，2π )中，但这种映射并非一对一的一 般函数关系，而是一种多对一的关系。但是，当限定
所有点P在半径为 r (> 0)的圆弧(如图虚线)上时，关系
(a)
(b)
图5 算法仿真
四、结论
在圆弧插补算法中引入点角，可以将插补算法变 得更简捷高效，更重要的是它能够很好地解决以往算法 难以解决的过象限及终点判别等问题。如将这一原理深 化可以将其运用于椭圆、抛物线等二次曲线的数据采样 插补算法中，因而具有广泛的应用价值和前景。
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图1 点与点角
意顺逆铣削方向的改变 最后，根据我们所选用的加工
中心Mikron HSM600系统heidenhain itnc530，选择后处理文件，生成 机床可读程序。启用IMSPOST选择 heidenhain itnc530后处理器生成 粗加工程序并用记事本打开，如图 14所示。
四、结束语
萨克斯弯管(Neck)部分有多种 形状，但无非是两截面尺寸不同，
1.接三角函数法插补原理
如图2所示，设待加工圆弧半径为r，插补周期 为T ，恒定轨迹速度v，δ为步距角，ii ⋅ T 时刻插补点Pi
对应点角为α i，经过一个插补周期后下一时刻插补点 Pi +1点角为α i +1。
图2 插补原理图
由图示几何关系易知
δ ≈ vT / r
（1）
α i +1=α i+ δ
以并为一种。但在此应该指出的是，当进行重定义后
得到的“点角”已非严格意义上的点角了，这样做却
能极大地简化编程，因此这里仍然称之为点角。重定
义 α e的工作可在计算出 α s和 α e后，加入如下条件语
句，即可完成：
if( α s>= α e) αe=αe+2π ；
4.统一顺、逆插补
更一般地，为使顺圆插补和逆圆插补可以共用一
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现代制造
二、圆弧插补算法(以逆圆插补为例)
由于后面终点判别要用到点角，为便于前后算法 统一，本文采用一种直接三角函数法，以坐标原点为 圆心的逆圆弧为例来说明，对于圆心不在原点可进行 坐标平移得到，不再赘述。
（2）
又据圆的参数方程
x r i+1= cos(α i +1) y r i+1= siபைடு நூலகம்(α i +1)
（3） （4）
将(1)、(2)式代入以上二式并应用两角和的三角函
数公式展开可得到插补递推公式
xi +1 = xi cos(δ ) − yi sin(δ ) （5）
yi +1 = yi cos(δ ) + xi sin(δ ) （6）
时计算cos(δ )、sin(δ )，并设 α d为当前插补点角，将其 值赋为起点角 α s。
3.终点判别方法
由前面的点角定义可知，对于在预处理中计算出
的αs和αe只可能以下存在三种情形：αs<αe；αs=αe； α s> α e。这里始终以终点E处于第二象限为例分别进行
讨论，其余象限雷同。
时取sn=1，而当为逆圆弧时sn=0。与前面逆点角定义 相应地，对点角拓展定义，定义由顺时针扫描至该点
阴影区。从图中可以看出，在插补过程中，每插补一
步，当前点D的点角αd=αd+δ且满足关系αs≤αd＜αe， 但当插补到达终点，即D与终点E重合时应满足αd=αe，
此时插补停止。
(2) α s= α e
如图3(b)所示，此时起点S与终点E重合为插补整
圆时的情形。由于αs= αe，为保证在插补过程中当前 点D的点角d满足关系αs≤αd＜ α e，可人为地对 α e重 定义为αe=αe+2π 。同样地，每插补一步，当前点D的 点角αd=αd+ δ，直到αd=αe为止。
图14 粗加工程序
以及脊线样条形状的不同。经过多 套不同弯管模具的加工，Cimatron E在曲面造型与NC编程加工，再到 后处理都表现的非常优秀，上述萨 克斯弯管模具还远远不能体现其全 部功能。Cimatron E在复杂零件曲 面造型及加工编程功能之强大，基 于知识加工方面、自动化NC、基于 毛坯残留知识加工等，还有待于大 家的共同去研究利用。
点的坐标、进给速度等条件，在插补进行之前，应对
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这些数据进行处理，为插补做准备。首先计算圆心坐
标，坐标变换至以圆心为原点的局部系下(见图2)，由
起点S、终点E所在象限计算各自对应的点角 α s、 α e。
由起点S和圆心O计算半径r ，由(1)式计算步距角δ，同
f 即成为一一对应关系 f :ℜ [0，2π )，其中ℜ ={( x，y) |
x2+ y 2=r 2，r > 0}。姑且称这种关系为点弧关系，称
扫过的弧度为点角，用来表示。显然对第一象限的点
P（ x ， y ）有α = arctg ( y / x) 成立。同理，根据点角 的定义也可以对其余象限的点求得α 来。
一种新型圆弧插补算法
□ 郑州航空工业管理学院 陈良骥
在现代计算机数控(CNC)系统中，插补算法大都采 用计算机的程序软件来实现。目前应用最普遍的插补 算法有基准脉冲法和数据采样法。在一些中高档CNC系 统中，数据采样插补因其易于实现多轴联动控制而被广 泛应用。直线和圆弧是构成工件轮廓的基本线素，因此 大多数的CNC系统都具有直线和圆弧插补功能，只有在 少数高档数控系统中才具有输出抛物线、样条曲线等 复杂曲线的功能。由于多数非圆轮廓曲线都可采用圆弧 来逼近，且具有拟合的精度高于直线拟合和程序段数少 于直线逼近等优点，因此在系统不具备高级曲线输出功 能时，若有一个快速简单的圆弧插补功能则显得尤为重 要。关于圆弧插补及终点判别的方法已有很多，但这些 方法总的看来都比较复杂，不易于理解和编程实现。基 于以上所述，本文着重研究了一种圆弧插补及判断插补 是否到达减速点或终点的方法，并提出了“点角”这一 全新概念，成功地将其用于解决圆弧插补及终点判别， 该算法简单易于理解和实现。以下先提出点角的定义， 然后给出算法的具体实现过程。
套插补程序，可在程序中设置-1的幂指数来将顺圆插
补和逆圆插补统一起来。设顺逆指数sn，当为顺圆弧
图4 圆弧插补流程图
三、算法实现与仿真结果
基于Visual C++6。0和开放式图形数据库OpenGL， 对本文所提出算法进行实现和仿真。图5为模拟刀具点 从点（45，45）逆圆插补至点（-45，45）的仿真图， 其中图5(a)为插补计算正进行中，图5(b)为插补结束时 刀具点停止于插补终点处。