第二章 非线性方程的数值解法
5-非线性方程组的数值解法及最优化方法
非线性方程组的数值解法
不动点迭代法：根据非线性方程求根的迭代法，将方程组改 写为如下等价方程组
xi i x1, x2,, xn , i 1,2,, n
构造迭代公式
xik 1 i x1k , x2k ,, xnk , i 1,2,, n
非线性方程组的数值解法
若对任意A Cmn 都有一个实数 A 与之对应，且满足：
（1）非负性：当 A O 时， A 0 ；当A O 时，A 0；
（2）齐次性：对任何 C ，A A ；
（3）三角不等式：对任意 A, B C nn ，都有A B A B ;
（4）相容性：对任意A, B C nn ，都有 AB A B ，
…
…
18
(0.2325670051,0.0564515197)
19
(0.2325670051,0.0564515197)
max
1 i 2
xik
xik
1
0.2250 0.0546679688 0.0138638640 0.0032704648 0.0008430541 0.0001985303 0.0000519694 0.0000122370 0.0000032485 0.0000007649
10-9
非线性方程组的数值解法
练习题：用牛顿迭代法求解方程组
取 X 0 1.6,1.2T
xx1122
x22 x22
4 1
结果：1.5811,1.2247
非线性方程组的数值解法
应用经过海底一次反射到达水听器阵的特征声线传播时间， 来反演海底参数。假设水中和沉积层声速都是恒定的，海底 沉积层上界面水平，下界面倾斜。特征声线由水中声源出发 折射进入沉积层，经过沉积层的下界面反射后，再折射进入 水中，由水中水听器阵接收。特征声线的传播时间为声线在 水中和沉积层中的传播时间之和。 三维坐标关系如图所示：
数值计算方法第2章2-1节
（2）计算
f
(
a
2
b)
。
（3）若
f
(
a
2
b
)
0
，计算停止；若
f
(
a
2
b
)
f
(a)
0
，用
若
f
(
a
2
b)
f
(b)
0
，以
a
2
b
代替
a
。
a
2
b
代替
b
；
（4）反复执行第二步与第三步，直到区间长缩小到允许误差范围
之内，此时区间中点即可作为所求的近似解。
18
证明方程 x3 3x2 6x 1 0 在区间（0，1）内有唯一的实根，并
在[－1,－0.25]，[0.5，1.25]，[1.25，2]各区间内至少有一个实根。
10
2.1.3 区间二分法
定理 函数f(x)在[a,b]上单调连续，且f(a)f(b)<0， 则方程f(x)=0在区间[a,b]上有且仅有一个实根x*。
二分法的基本思想 将有根的区间二分为两个小区间，然后判断根在那 个小区间，舍去无根的小区间，而把有根的小区间 再一分为二，再判断根属于哪个更小的区间，如此 反复 ，直到求出满足精度要求的近似根。
5
有根区间
介值定理 若函数 f (x) 在[a, b] 连续，且
f (a) f (b) 0 ，则方程 f ( x) 0 在(a,b) 内至
少有一个实根。将[a, b] 称为 f (x) 的有根区间。
6
2.1.2 逐步搜索法
假设f(x)在区间[a,b]内有一
个实根x*,若 b – a较小，则可 在(a,b)上任取一点x0作为初始 近似根。
数值分析非线性方程的数值解法
数值分析非线性方程的数值解法数值分析是一种应用数学方法来分析和解决数学问题的领域。
非线性方程是数值分析中一类重要的问题，其解法包括了迭代法、牛顿法、割线法等。
本文将详细介绍这些数值解法及其原理和应用。
一、迭代法迭代法是解非线性方程的一种常用数值方法。
该方法的基本思想是通过不断迭代逼近方程的根，直到达到所需精度或满足停止准则为止。
迭代法的求根过程如下：1.选择适当的初始值x0。
2. 利用迭代公式xn+1 = g(xn)，计算下一个近似根。
3.重复步骤2，直到满足停止准则为止。
常用的迭代法有简单迭代法、弦截法和牛顿法。
简单迭代法的迭代公式为xn+1 = f(xn)，其中f(x)为原方程的一个改写形式。
该方法的收敛性要求函数f(x)在解附近有收敛性且导数在一个区间内收敛。
弦截法的迭代公式为xn+1 = xn - f(xn) * (xn-xn-1) / (f(xn)-f(xn-1))。
该方法通过连接两个点上的函数值的割线来逼近方程的根。
牛顿法的迭代公式为xn+1 = xn - f(xn) / f'(xn)，其中f'(x)为f(x)的导数。
该方法通过用切线来逼近方程的根。
二、牛顿法牛顿法是解非线性方程的一种常用迭代法。
该方法通过使用方程的导数来逼近方程的根。
迭代过程如下：1.选择适当的初始值x0。
2. 利用迭代公式xn+1 = xn - f(xn) / f'(xn)，计算下一个近似根。
3.重复步骤2，直到满足停止准则为止。
牛顿法的收敛速度较快，但要求方程的导数存在且不为0。
三、割线法割线法是解非线性方程的另一种常用迭代法。
该方法通过连接两个点上的函数值的割线来逼近方程的根。
迭代过程如下：1.选择适当的初始值x0和x12. 计算下一个近似根xn+1 = xn - f(xn) * (xn-xn-1) / (f(xn)-f(xn-1))。
3.重复步骤2，直到满足停止准则为止。
割线法的收敛速度介于简单迭代法和牛顿法之间。
数值分析_第2章
证：由1。 f '( x) C[a, b],由2。 f '( x)不变号，故f ( x) 知 知 单调，再由3。 唯一的 [a, b]，使f ( ) 0. 知
由1 3 知f ( x)在[a, b]上必属于下列四种情形之一：
。 。
f ''( x) 0 f (a) 0, f (b) 0, f '( x) 0(增) f ''( x) 0
二．收敛性：
mn . n .
◆判定二分次数：
1 lim n 1 b0 a0 0 n 2
1 对 0，若要求 mn n 1 b0 a0 2
b0 a0 则2 n log 2 1与取整的 1抵消 .
定理1.(单点法收敛的充分条件) 设f ( x)在[a, b]上二阶 可导，且满足：
。 1. f ''( x)在[a, b]上不变号（凹凸不变性）；
2。 f '( x)在[a, b]上不为0（单调性）； . 3。 f (a) f (b) 0; . 4。取x0 [a, b], 使f ( x0 ) f ''( x0 ) 0.x1 [a, b], f ( x1 ) f ( x0 ) 0. . 则由(6)所得 xn 单调收敛于f ( x) 0在[a, b]上的唯一根。
列表计算：
n
0 1 2 3 4 5
xn
2 1 1.33333 1.40000 1.41176 1.40378
2
f ( xn )
2 -1 -0.22223 -0.04000 -0.00692
hn
非线性方程数值求解法总结
（一）非线性方程的迭代解法1.非线性方程的一般形式：f(x)=02.非线性方程的分类：⎩⎨⎧=为其他函数。
超越方程，次代数多项式；为代数方程，)()(0)(x f n x f x f 3.方程的根：若存在常数s 使f(s)=0，则称s 是方程(4.1)的根，又称s 是函数f(x)的零点。
4.重根：若f(x)能分解为)()()(x s x x f m ϕ-= 则称s 是方程(4.1)的m 重根和f(x)的m 重零点。
当m=1时，s 称为方程(4.1)的单根和f(x)的单零点。
5.结论：(1)零点存在定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)•f(b)<0，那么在开区间（a,b ）内至少有一点ξ，使f(ξ)=0.(2)根的唯一性判别：一阶导数不变号且不为零(3)n 次代数方程在复数域上恰有n 个根(4)高于4次的代数方程没有求根公式6.方法：(1)搜索根方法：①作图法：②逐步搜索法：确定方程根的范围的步骤：步骤1 取含f(x)=0根的区间[a,b]，即f(a)•f(b)<0；步骤2 从a 开始，按某个预定的步长h ，不断地向右跨一步进行一次搜索， 即检查kh a x k +=上的函数)(k x f 值的符号。
若0)()(1<•-k k x f x f ，则可以确定一个有根区间],[1k k x x -.步骤3 继续向右搜索，直到找出[a,b]上的全部有根区间],[1k k x x -（k=1,2,…,n).(2)二分法①基本思想：含根区间逐次分半缩小，得到一个区间长度以1/2的比例减小的含根区间序列 {}k I ,在给定根的误差界时，利用长度趋于零的特点，可得到在某个区间中满足要求的近似根。
②迭代终止的条件ε<)(k x fε2<-k k a b或者ε<-≤-2k k k a b s x(3)简单迭代法及其收敛性)(0)(x x x f ϕ=⇔=,2,1,0),(1==+k x x k k ϕ迭代法是一种逐次逼近法,用某个固定公式反复校正根的近似值,使之逐 步精确化,最后得到满足精度要求的解。
非线性方程数值解法及其应用
非线性方程数值解法及其应用摘要:数值计算方法主要研究如何运用计算机去获得数学问题的数值解的理论和算法。
本文主要介绍非线性方程的数值解法以及它在各个领域的应用。
是直接从方程出发，逐步缩小根的存在区间，或逐步将根的近似值精确化，直到满足问题对精度的要求。
我将从二分法、Steffensen加速收敛法、Newton迭代法、弦截法来分析非线性方程的解法及应用。
关键字：非线性方程;二分法；Steffensen加速收敛法；代数Newton法；弦截法一、前言随着科技技术的飞速发展，科学计算越来越显示出其重要性。
科学计算的应用之广已遍及各行各业，例如气象资料的分析图像，飞机、汽车及轮船的外形设计，高科技研究等都离不开科学计算。
因此经常需要求非线性方程 f(x) = O的根。
方程f(x) = O 的根叫做函数f(x)的零点。
由连续函数的特性知：若f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<O，则f(x) = O在开区间(a,b)内至少有一个实根。
这时称[a,b]为方程f(x) = O的根的存在区间。
本文主要是对在区间[1.2]的根的数值解法进行分析，介绍了非线性方程数值解法的四种方法，从而得到在实际问题中遇到非线性方程根的求解问题的解决方法。
二、非线性方程的数值解法1、二分法二分法的基本思想是将方程根的区间平分为两个小区间，把有根的小区间再平分为两个更小的区间，进一步考察根在哪个更小的区间内。
如此继续下去，直到求出满足精度要求的近似值。
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<O，则[a,b]是方程f(x)=O 的根的存在区间，设其内有一实根，记为。
取区间[a,b]的中点，并计算，则必有下列三种情况之一成立：(1)= O,就是方程的根；(2)f(a)·f()<O，方程的根位于区间[a,]之中，此时令，；(3)f()·f(b)<O，方程的根位于区间[,b]之中，此时令。
非线性方程与方程组数值解法
2.2 二分法
表2-2 计算结果
k
0 1 2 3 4 5 6 7
ak
1 1 1.25 1.25 1.3125 1.3125 1.3125 1.3203
bk
2 1.5 1.5 1.375 1.375 1.3438 1.3281 1.3281
xk
1.5 1.25 1.375 1.3125 1.3438 1.3281 1.3203 1.3242
ab ；否则，回 2
5.2 二分法
说明：
x*
(ⅰ)上述计算步骤（2）和（3）每执行一次就把新的区间分成两份，根的范围也 缩小一半. 如果第 k 次二分后得到的区间记 为 [ak , bk ]，根的近似值记为 xk ，则 ba (a b ) 有 bk ak k ， xk k k ，那么当时 k ， bk ak 0，这说明如果二分过 2 2 程无限继续下去，这些区间必将收敛于一点，即为所求根. (ⅱ) 第
3
2 f ( x ) 3 x 1 0, x [1, 2] 解 已知 f (1) 1 0, f (2) 5 0 且 ，
则方程
f ( x) x 3 x 1 0
在区间
(1, 2)
内只有一个实根.
当 k 1 ， x1
bk ak 102 ，继续二分；
2.1 引言
通常隔离区间的确定方法为 （1）作 y f ( x) 的草图, 由 y f ( x)与横轴交点的大致位置来确定； 或 者将 f1 ( x) f 2 ( x) 改写成 f ( x) 0 ， 根据 y f1 ( x) 和 y f 2 ( x) 交点横坐标来确定
根的隔离区间.
当 k 2 ， x2
非线性方程(组)的解法
lnim(bn
an )
lim
n
2n1
(b
a)
0
lim
n
an
lim
n
bn
x
取
x
cn
1 2
(an
bn
)为
x 的近似解。
7
二分法
迭代终止准则
an - bn
即
x - cn
bn an 2
2
8
2.2一般迭代法
2.2.1 迭代法及收敛性
对于 f (x) 0 有时可以写成 x (x) 形式 如： x3 x 1 0 x 3 x 1
12
例题
例2.2.1 试用迭代法求方程 f (x) x3 x 1 0
在区间(1，2)内的实根。 解：由 x 3 x 1建立迭代关系
xk1 3 xk 1 k=0,1,2,3…… 计算结果如下:
13
例题
精确到小数点后五位
x 1.32472 1 105
2
14
例题 但如果由x x3 1建立迭代公式
xk1 xk3 1 k 1,2,...
仍取 x0 1.5，则有 x1 2.375 ，x2 12.39 显 然结果越来越大，{xk }是发散序列
15
2.3 Newton迭代法
设x*是方程f (x) = 0的根， 又x0 为x* 附近的一个值，
将f (x) 在x0 附近做泰勒展式：
f (x)
二分法
用二分法(将区间对平分)求解。
令
a1
a, b1
b, c1
1 2
(a1
b1 )
若 f (a1) f (c1) 0，则[a1, c1] 为有根区间，否 则 [c1,b1]为有根区间
非线性方程数值解法详解
1 ( p) (
p!
)( xk
)
p
xk1
1
p!
(
p)
(1
)(
xk
)p
lim
k
xk1 xk p
1 ( p) ( )
p!
0
必要性 （略）
例 能不能用迭代法求解方程x=4-2x，如果不能
时，试将方程改写成能用迭代法求解的形式.
方程为x-4+2x =0.设f(x)= x-4+2x ，则f(1)<0，f(2)>0， f‘(x)= 1+2x ln2>0,故方程f(x)=0仅在区间(1, 2)内有唯一根.
(1) f(a)f(b)<0; (2) f'(x)0, x[a, b]; (3) f''(x)不变号, x[a, b]; (4) 初值x0 [a, b]且使f''(x0) f(x0)>0; 则 Newton 迭代法收敛于f(x)=0在[a, b]内的惟一 根.
例 研究求
a的Newton公式xk 1 Nhomakorabeaxk 1 xk
f (xk ) f (xk )
(k 0,1, 2,L )
逐次逼近方程f(x)=0的根α ，这种求根算法称为 Newton法（切线法），此公式称为 Newton迭代公式.
Newton迭代法的收敛性及收敛阶
Newton法的迭代函数是 (x) x f (x)
从而
(x)
f (x) f (x) [ f (x)]2
或f(x)的零点. 设有正整数m使得f(x)=(x-α)mg(x)
且g(α)0 ，则当m2时，称α为f(x)=0的m 重根；当m=1时，称α为f(x)=0的单根. 若α为f(x)=0的m重根，则
非线性方程数值解法
对分区间法
对分法的基本思想
对分法的基本思想是在平分有根区间的 过程中，逐步缩小有根区间. 设函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a) f(b)<0 ，则方程f(x)=0在(a, b)内至少有一 个根.为简便起见，假定方程f(x)=0在(a, b) 内仅有一个根.这样(a, b)为有根区间.这 时可用下面的对分法求方程f(x)=0的近似 根.
迭代法的整体收敛性
定理1 （迭代收敛定理）设(x)在[a, b]上具有一阶 导数，且 1°x[a, b] ，总有(x)[a, b] ； 2°存在0m<1，使x(a, b) ，有'(x)m 则 1°方程x=(x)在[a, b]内有且仅有一根α ，其中α 为对任意初值x0 [a, b]由迭代过程xk+1=(xk)所产生 序列的极限. m xk xk xk 1 2°有估计式
求根步骤
（1）确定所给方程存在多少个根. （2）进行根的隔离，找出每个有根区间， 有根区间内的任一点都可看成是该根的 一个近似值. （3）逐步把近似根精确化，直到足够精 确为止.
根的隔离
根的隔离
确定出若干个小区间，使每个小区间有 且仅有方程f(x)=0的一个根，这个步骤称 为根的隔离.其中每个有根小区间都称为 隔根区间.
第三章
非线性方程的数值解法
根的概念
给定方程f(x)=0，如果有α使得f(α)=0， 则称α为f(x)=0的根或f(x)的零点. 设有正整数m使得f(x)=(x-α)mg(x) 且g(α)0 ，则当m2时，称α为f(x)=0的 m重根；当m=1时，称为f(x)=0的单根. 本章只讨论实根的求法.
数值计算(第二版)第二章
2.1.2 根的隔离方法
例：考察方程
f ( x) x x 1 0
3
利用逐步搜索法确定一个有根区间
解：注意到f (0) < 0, f (+) >0，知f (x)至少有一 个正的实根 设从x = 0出发，取h = 0.5为步长向右进行根的 扫描 x
0 0.5 1.0 1.5
f (x) 的符号 －
有根区间
根的隔离
计算机科学与工程系
8
2.1.1 方程的根
定理1：设函数f (x)在区间[a, b]上连续，如果f (a) f (b) < 0，则方程f (x) = 0在[a, b]内至少 有一实根x* 定理2：设函数f (x)在区间[a, b]上是单调连续 函数，并且f (a) f (b) < 0，则方程f (x) = 0在 [a, b]上有且仅有一实根x*
-
0.0157
0.0078
计算机科学与工程系 21
2.3 迭代法
简单迭代法的原理 迭代法的收敛性 迭代加速法
计算机科学与工程系 22
2.3.1 简单迭代法原理
基本思想
将方程f (x) = 0化为一个等价的方程 x (x ) 从而构成序列
xk 1 ( xk ) k 0, 1, 2,
在区间[1, 1.5]内的实根，要求准确到小数点 后第2位。
解：预先估计一下二分的次数：按误差估计式
1 1 x xk bk 1 ak 1 k 1 (b a) 10 2 2 2 k 6
*
计算机科学与工程系 20
2. 2 二分法
第二章 非线性方程的数值解法
习题 2.51. 分别用迭代法和艾特肯加速方法求方程x e 1=x在0.5附近的的近似根和它们的迭代次数，精确到510-=ε.2. 分别用加权迭代法和艾特肯加速方法求方程013=--x x ，在给定区间]2,1[上的近似根，精确到410-=ε.3. 用艾特肯加速方法求方程02=--xx ，在给定区间]1,0[上的近似根，精确到410-=ε.4. 分别用加权迭代法和艾特肯加速方法求0104)(23=-+=x x x f 在5.10=x 附近的近似根，取x x +=410)(ϕ，精度到5110-+<-k k x x ，再用二分法求区间]2,1[内的近似根，并将三种方法的计算结果进行比较.习题 2.61. 求方程 e 2sin =x x的两个最小根，精确到6位有效数字.如何确定初始值，初始值选取对收敛速度有何影响？2. 求119的近似值，精确到610-=ε.3. 求下列方程在给定区间上的数值解，精确到710-=ε.⑴ 0cos =-x x ，]1,0[； ⑵ 2010223=++x x x ，]2,1[.4. 若*x 是0)(=x f 的单根，证明在牛顿切线法中2*1)(*lim kk k x x x x --+∞→)(2)(*'*"x f x f =. 5. 判断0*=x 是方程 e )1(212x x x +=- 的几重根？在区间]1,0[上，分别用牛顿切线法和两种求重根的修正牛顿切线公式求此根的近似值k x ，使精确到310-=ε，并且进行比较.6. 证明决定平方根Q （其中0≥Q ）的公式)321()(2111 ，，，=+=--k x Qx x k k k是牛顿切线迭代公式的一种特殊情况.7. 求3，精确到910-=ε.8. 导出找Q 的p 次根pQ （当p 时偶数时，0≥Q ）的迭代公式 )321(1111 ，，，=--=----k px Qx x x p k p k k k .9. 应用第8题的迭代公式，寻找2的一个三次根，准确到1210-.10. 用牛顿法求2sin 2x x =的两个最小实根，精确到710-，取不同的初始值计算，运行后输出根的近似值、近似值的函数值和迭代次数，分析两个根的收敛域；再用迭代法求解（可构造不同的迭代公式，如x x sin 2=等），进行比较.11. 判断2*=x 是方程044)(24=+-=x x x f 的几重根？在区间]2,1[上，分别用牛顿切线法和两种求重根的修正牛顿切线公式求此根的近似值k x ，使精确到1410-=ε，并且进行比较.12. 已知重数m ，证明：重根的修正牛顿切线公式)()(1k x f x f mx x k k k '-=+ ),2,1,0( =k将产生二阶收敛（平方收敛）的迭代序列{}k x .1. 用割线法求方程x x cos 2=在开区间)2/,0(π内的实根*x 的近似值k x ，使精确到810-=ε.2. 用割线法求方程0)tan (cos )(0020=π-α-α=αtt l bp r b l Fa f 的实根α的近似值k x ，使精确到410-=ε，其中,5.0,04.0,25.0,8.00====l r b a ,000100=p 25,4.1==F t .3. 用割线法求方程x e 01=-x的实根x 的近似值k x，使精确到510-=ε. 4. 1摩尔（mol ）理想气体的压强P , 体积V , 温度T 满足关系PV =RT , 其中常数R =0.08205 (l·atm/K·mol),而对于实际气体这个关系修正为,))((RT b V V aP c =-+c b a ,,为所给气体决定的常数.现已知a =18.87, b =0.114 2, c =2, 求气体在P =2 atm,T =315 K 下的体积V ，使精确到410-=ε.习题 2.81. 用抛物线法求方程0152)(3=--=x x x f 的一个实根的近似值k x ，使精确到610-=ε.2. 用抛物线法求方程05)(3=+-=x x x f 的全部实根,精确到910-=ε.3. 求曲线2)(2+=x x f 与曲线x xx g sin 5)(-=之间的最小垂直距离处的x 值，精确到小数点后10位.习题 2.91. 考虑如何将牛顿法和拟牛顿法解非线性方程组x 2＋y 2 = 4 , x 2 －y 2 = 1, 精确到610-=ε.2. 用牛顿法解非线性方程组x 2＋4y 2 = 4 , 2x 2－4x －2y = －1 ,取初始值（x 0,y 0）=(2,0.25)，解精确到610-=ε.3. 证明方程1sin =+x x 在（0，1）内有一个实根，用二分法求误差不大于4105.0-⨯的根，需要迭代多少次？4. 用两种方法解方程 x 11-12x 8+x 5-3x 2-4=0的精确解.5. 利用作图法判断方程e x x102-=是否有正根，如果有，请确定正根所在的区间，并且用二分法、逐步搜索法和迭代法求之，精确到310-=ε.6. 用两种方法判断下列方程是否有实根，如果有，请确定其隔根区间，并且用五种方法求之，精确到410-=ε.（1）e x x-=-2； （2）3523+=x x . 7. 用割线法、牛顿切线法和抛物线法（1）求方程093)(23=+--=x x x x f 的全部实根的近似值k x ，使精确到610-=ε；（2）求方程01sin 2cos 2)(=--=x x x f 的最小正根的近似值k x ，精确到910-=ε；（3）求方程01010cos 3)(=+-=x x x f 的全部实根的近似值k x ，使精确到410-=ε.8. 用迭代公式)(1k k x g x =+计算序列{}k x ，分析其收敛性，其中 )(x g 为（任选其一）：（1） )1()(x rx x g -= ,r 分别取1.7, 2.8, 3.3, 3.5, 3.6 , 初始值100<<x ;（2） ax x g =)(e bx -,a 分别取5, 11, 15, b (0>)任意，初始值0x =1.9. 就下列函数讨论牛顿切线法的收敛性和收敛速度：（1）⎩⎨⎧<--≥=;0,,0,)(x x x x x f （2）⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=.0,,0,)(3232x x x x x f 10. 水槽由半圆柱体水平放置而成，如图2-30.圆柱体长L ，半径r ，当给定水槽内盛水的体积V 后，要求计算从水槽边沿到水面的距离x .今已知L =25.4m, r =2 m, 求V 分别为 10，50， 100 m 3的x .11. 某地区现有人口二百万，十年前为一百万，又知平均每年净迁入人口八万，问十年来人口的平均增长率是多少. 12、炮弹发射视为斜抛运动，已知初速为200m/s ，问要击中水平距离360 m 、垂直距离160 m 的目标，当忽略空气阻力时，发射角应多大.如果只考虑水平方向的阻力，且设阻力与（水平方向）速度成正比，系数为0.1（1/s ），结果又如何.13. 分别用迭代公式（2.54）和（2.57）求解下列方程组,要求精度610-=ε.（1）⎪⎩⎪⎨⎧=-=-+;14,322222y x x y x （2）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+--.44,01422222y x x y x14. 分别用割线法、牛顿切线法、抛物线法、加权迭代法和艾特肯加速方法求下列方程的数值解，并且对各种方法比较.（1）2323-=x x 给定区间)2.1,7.0(内的数值解，精确到410-=ε；（2）e x x /1=在0.5附近的数值解，精确到510-=ε；（3）=24x e x的数值解，精确到910-=ε.15. 给定迭代公式)(1k k x x ϕ=+，其中ααϕ)1()1()1()1()(-++++--=m x m m x m x x mm ，2≥m ， 并且假设0x 充分接近0=-αm x 的某个根*x ，试证{}k x 至少具有三阶收敛速度.16. 不用除法运算，如何求c /1 （其中1>c ）的值？17. 用牛顿切线法求下列各式的值，精确到1410-=ε.（1）43；（2）57；（3）2.18. 求抛物线22+=x y 与曲线x xy sin 5-=之间的最小垂直距离处的x 值，精确1010-=ε.图2-30。
非线性方程
方 第二章 非线性方程的数值解法
法
王新年 大连海事大学信息工程学院
信号与图像处理研究所
计
算 简介（Introduction）
方
法我子们，知例道如在实际应用中有许多非线性方程的例
（1）在光的衍射理论（the theory of diffraction of light)中,我们需要求x-tanx=0的根
满足方程的x值通常叫做方程的根或解， 也叫函数f(x)=0的零点。
计 方程根的数值计算步骤
算 判断根的存在 方 确定根的分布范围 法 根的精确化
计 根的存在定理(零点定理)： 算 f(x)为[a,b]上的连续函数，若 f(a)·f(b)<0，则[a,b] 方 中至少有一个实根。如果f(x)在[a,b]上还是单调递 法 增或递减的，则f(x)=0仅有一个实根。
形式，y=g1(x)与y=g2(x)两曲线交点的横坐标所在 的子区间即为含根区间。
例如，求方程3x-1-cosx=0的隔根区间。
将方程等价变形为3x-1=cosx ，易见y=3x-1与 y=cosx的图像只有一个交点位于[0.5，1]内。
计 (2)逐步搜索法
算
方 运用零点定理可以得到如下逐步搜索法：
f’’(x)=sinx , f’’(0)=0;
f (3)(x)=cosx , f (3)(0)=1;
由定理1, x*=0是3重零点.
§2.1 对分区间法
计
(Bisection Method )
算
方
法
a
aax121 x*
xb2 bb1
停机条件（termination condition ）：
xk1 xk ε1 或 f ( x) ε2
《数值计算方法》复习资料
实用文档《数值计算方法》复习资料第一章数值计算方法与误差分析第二章非线性方程的数值解法第三章线性方程组的数值解法第四章插值与曲线拟合第五章数值积分与数值微分第六章常微分方程的数值解法自测题课程的性质与任务数值计算方法是一门应用性很强的基础课，在学习高等数学，线性代数和算法语言的基础上，通过本课程的学习及上机实习、使学生正确理解有关的基本概念和理论，掌握常用的基本数值方法，培养应用计算机从事科学与工程计算的能力，为以后的学习及应用打下良好基础。
第一章数值计算方法与误差分析一考核知识点误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；绝对误差的传播。
二复习要求1.知道产生误差的主要来源。
2.了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及它们之间的关系。
3.知道四则运算中的误差传播公式。
实用文档三例题例 1 设x*= =3.1415926⋯近似值 x=3.14 ＝ 0.314× 101,即 m=1，它的绝对误差是－ 0.001 592 6 ，⋯有即 n=3，故 x=3.14 有 3 位有效数字 .x=3.14准确到小数点后第 2 位 .又近似值 x=3.1416，它的绝对误差是0.0000074 ⋯，有即 m=1,n＝ 5， x=3.1416 有 5 位有效数字 .而近似值x=3.1415，它的绝对误差是0.0000926 ⋯，有即 m=1,n＝ 4， x=3.1415 有 4 位有效数字 .这就是说某数有s 位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s 位有效数字；例 2指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：2.000 4－0.002 009 0009 000.00解因为 x1=2.000 4＝ 0.200 04× 101, 它的绝对误差限 0.000 05=0.5 × 10 1―5，即m=1,n=5, 故 x=2.000 4 有 5 位有效数字 . a1=2，相对误差限x2=－ 0.002 00，绝对误差限0.000 005，因为 m=－2，n=3 ，x2=－ 0.002 00 有 3 位有效数字 . a1=2 ，相对误差限r ==0.002 5实用文档x3=9 000 ，绝对误差限为0.5× 100，因为 m=4, n=4, x3=9 000 有 4 位有效数字， a=9 ，相对误差限r＝＝ 0.000 056x4=9 000.00 ，绝对误差限0.005，因为 m=4， n=6， x4=9 000.00 有 6 位有效数字，相对误差限为r＝＝ 0.000 000 56由 x3与 x4可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的.例 3 ln2=0.69314718⋯，精确到10－3的近似值是多少？解精确到 10－3＝ 0.001，意旨两个近似值x1,x2满足，由于近似值都是四舍五入得到的，要求满足，近似值的绝对误差限应是＝0.0005,故至少要保留小数点后三位才可以。
非线性方程(组)的解法
f ( x) f ( xk ) f ( xk )(x xk ) 一元函数 F ( x) F ( x k ) F ( xk )(x xk ) 0 x k为向量 F ( x k )(x x k ) F ( x k ) x x k F ( x k )1 F ( x k )
18
3.非线性方程组的迭代解法
f1 ( x1 , x2 , , xn ) 0 f1 ( x) f1 ( x1 , L , xn ) 或 F ( x) L 0 L f ( x) f ( x , L , x ) f ( x , x ,, x ) 0 n n n 1 n n 1 2
9
迭代法及收敛性
考虑方程 x ( x)。 这种方程是隐式方程，因而不能直接求出它的根。
但如果给出根的某个猜测值 x0， 代入 x ( x) 中的右端得到 x1 ( x0 )，再以 为一个猜测值，
x1
代入 x ( x) 的右端得 x2 ( x1 ) ，反复迭代 得
1 f ( x ) f ( x0 ) ( x x0 ) f ( x0 ) ( x x0 )2 f ( ) 2 其中在x和x0之间
0 f ( x) f ( x0 ) ( x x0 ) f ( x0 ) 0
16
Newton迭代法
有：
*
f ( x0 ) x x0 f ( x0 )
能为力时，数值方法则可以借助于计算机出色完成。
2
2.1二分法
概念：
有根区间：存先确定有限区间：依据零点定理。 设 f ( x) C[a, b]，且 f (a) f (b) 0 ，则 方程 f ( x) 0在区间 (a, b)上至少有一个根。 如果 f ' ( x) 在 (a, b)上恒正或恒负，则此根唯 一。
南京航空航天大学计算方法期末考试
( 3 − 23)′
约化便得
n 1 xi = (bi − ∑ aij x j ) (i = 1,2,Ln) aii j ≠i j =1
从而可建立迭代格式
n 1 (k+1) (k) xi = (bi − ∑aij x j ) (i = 1,2,Ln;k = 0,1,2L) aii j ≠i j =1
(3 − 24)
对雅可比迭代格式修改得
i −1 n 1 xi(k+1) = (bi − ∑aij x(jk+1) − ∑aij x(jk) ) (i = 1,2,Ln;k = 0,1,2L ) aii j =1 j=i +1
(3 − 25)
用矩阵表示为 高斯-塞德尔（ 高斯-塞德尔（Gauss-Seidel）迭代 ）
3.3.3 对称正定矩阵的三角分解
且对任何n 定义 3.1 若n 阶方矩阵 A 具有性质 A = AT 且对任何 维 为对称正定矩阵。 向量 x ≠ 0 成立 x T Ax > 0，则称 A 为对称正定矩阵。 定理3.4 若A 为对称正定矩阵，则 为对称正定矩阵， 定理 (1) A的k阶顺序主子式 Dk > 0 ( k = 1,2, L , n) 的 阶顺序主子式 (2)有且仅有一个单位下三角矩阵 和对角矩阵 使得 有且仅有一个单位下三角矩阵L和对角矩阵 有且仅有一个单位下三角矩阵 和对角矩阵D （3-16） ） A = LDLT 这称为矩阵的乔里斯基 乔里斯基（ 这称为矩阵的乔里斯基（Cholesky）分解。 ）分解。 ~ (3)有且仅有一个下三角矩阵 L ，使 有且仅有一个下三角矩阵 ~~ A = L LT （3-17） ） 这称为分解矩阵的平方根法 平方根法。 这称为分解矩阵的平方根法。
非线性方程的数值解法
非线性方程:f(x)=0 包括：代数方程（多项式）、超越方程（三角函数、指
数函数或对数函数）。
求解方法：直接求解法、间接求解法； 直接求解法一般为解析法，能够得到精确解，如二次方 程求根公式等。简单但不一定总有效。 间接求解法一般较复杂，可以利用计算机进行计算，其 结果为近似解，但误差可以控制。
L L2 | x * xk | | x k x k 1 | | x k 1 xk 2 | ...... 1 L 1 L 注：定理条件非必要条件，对某些问题在区间 [a, b]上不 k L 满足| φ ’(x) | L < 1 ，迭代也收敛。 | x1 x0 | 1 L
是
是 是
f (a) =0
否
否 f(a)f(m)>0 否 b=m
打印b, k
结束
打印a, k
k=K+1
应用： 3 f x x 2x 5, a, b 2,3, 0.01 ，求x=? 例、设 解： k ba a x b
0 1 2 3 4 5 6
23+ 2.5+ 1 22.5+ 2.25+ 0.5 22.25+ 2.125+ 0.25 22.125+ 2.06250.125 2.06252.125+ 2.093750.0625 2.09375 2.125+ 2.109375+ 0.03125 2.09375 2.109375 2.1015625 0.015625 0.02
L | x k x k 1 | ? ④ | x * xk | 1 L
3 简单迭代法
| x xk | L | x xk 1 | L | x * xk xk xk 1 | | xk xk |) 1 |来 L(| x * x可用 | | x x k k k 1 (1 L) | x x | L | x x | 控制收敛精度
计算方法 第2章 非线性方程数值解法
第二章非线性方程数值解法本章将讨论非线性方程0)(=x f (2.1)的数值解法，我们最为熟悉的非线性方程是一元二次方程02=++c bx ax也是最简单的非线性方程，其解为：aac b b x 2422,1-±-=但是对于(2.1)式中一般形式的非线性函数)(x f ，很难甚至不可能找到解析形式的解，通常只能用数值的方法求其近似数值解。
2.1 基本概念定义2.1如果*x 满足0)(*=x f ，则称*x 为方程(2.1)的解或根，也称*x 为函数)(x f 的零点或根。
用数值方法求解非线性方程的解，通常需要我们对其解有一个初步的估计，或知道其解的一个限定区间，因此确定包含解的区间将是我们首先需要解决的问题。
定义2.2若连续函数)(x f 在],[b a 内至少有一个根，则称],[b a 为有根区间，若在],[b a 内恰有一个根，则称],[b a 为隔根区间。
定理2.1 如果函数)(x f 在],[b a 上连续且0)()(<b f a f ，则)(x f 在),(b a 内至少有一个根，如果函数)(x f 另外满足在],[b a 上单调连续，则)(x f 在),(b a 内恰有一个根。
寻找隔根区间的通常方法有：图形法, 试探法。
例2.1 求033)(3=+-=x x x f 的有根区间。
解：作出函数)(x f y =的曲线图形图2.1 例2.1曲线示意图观察图中的曲线与X 轴的交点，可判断在区间)2,3(--之间方程有一个根。
例2.2 求033)(23=--+=x x x x f 的有根区间。
解：计算出)(x f 在一些点的值。
从表中可以看出1-=x 是一个根，区间)2,1(是一个有根区间。
如果在[-2,-1]之间把间隔再缩小到0.25我们可以得到下列表格在这个表格里我们又发现一个有根区间)5.1,75.1(--。
从此例中我们可以体会到试探法有可能漏掉某些有根区间，具有一定的局限性。
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Step 5 If x*f(a)<0 , Set b=x; Else Set a=x;
Step 6 Set k=k+1; Compute x=f((a+b)/2);Go To Step 3 ;
Step 7 Output the solution of equation: x; STOP.
几何意义
y
p1 p0
y=x y=g(x)
✓
x
x0
x1 x*
y
y=g(x) y = x
p0
p1
x x1 x0 x*
y p0
y=x
✓
y=g(x) p1
x0
x*
y
y=g(x) p0
x x1
y=x
p1
x x0 x* x1
例2：已知方程 x3 4x2 10 0在[1, 2]上有一个根（正根）
下面选取5种迭代格式：
从一个初值 x0 出发，计算 x1 = g(x0), x2 = g(x1), …,
思
xk+1 = g(xk), … 若
xk
k0
收敛，即存在 x* 使得
路
lim
k
xk
x *，且
g
连续，则由
lim
k
xk 1
l可im知g
k
x*k
=
g(x* )，即x* 是 g 的不动点，也就是f 的根。
如看何起判来定很这简种单方，法令人 有是点收不敛相的信呢，？那么问 题是什么呢？
2
5、x x x3 4x 2 10 3x2 8x
f (x)
即
g(x) x f ( x)
取 x0 1.5 计算结果如下：
法1
法2
法3
x1 0.875
x1 1.28695 x1 0.81650
x2 6.732
x2 1.40254 x2 2.99691
x3 469.720 x3 1.34546 x4 1.0275108section Method */
原理：若 f C[a, b]，且 f (a) ·f (b) < 0，则 f 在 (a, b) 上至 少有一实根。
基本思想：逐步将区间分半，通过判别区间端点函数值的符号， 进一步搜索有根区间，将有根区间缩小到充分小，从而求
出满足给定精度的根 x的近似值。
§2 迭代法的理论 /* Theory of Iteration Method*/
一、不动点迭代 /*Fixed-Point Iteration*/
等价变换
f (x) = 0
x = g (x)（迭代函数）
f (x) 的根x
g (x) 的不动点 x
xk1 g( xk ) k 0,1, 2,
(*)
找到了三次、四次方程的求根公式，但直到19世纪才证明大于 等于5次的一般代数方程式不能用代数公式求解，而对于超越 方程就复杂的多，如果有解，其解可能是一个或几个，也可能 是无穷多个。一般也不存在根的解析表达式。因此需要研究数 值方法求得满足一定精度要求的根的近似解。
求方程 f ( x) 0 几何意义 y
ln 2
4.64
n5
优点
①简单; ② 对f (x) 要求不高(只要连续即可) .
缺点
①无法求复根及偶重根 ②收敛慢
注：用二分法求根，最好先给出 f (x) 草图以确定根的大概 位置。或用搜索程序，将[a, b]分为若干小区间，对每一个 满足 f (ak)·f (bk) < 0 的区间调用二分法程序，可找出区间 [a, b]内的多个根，且不必要求 f (a)·f (b) < 0 。
由二分法的过程可知：
1、 a,b a1,b1 ak ,bk
f ak f bk 0, x ak ,bk
2、
1 bk ak 2
bk1 ak1
1 2k b a
3、
误差
xk1
分析
ak
bk 2
,且
x xk1
1 2k 1
b
a
,
k
1, 2,
Th2.2
4、对分次数的计算公式：
y f (x)
a
x*
o
b
x
基本定理
Th2.如1 果函数 在f ( x) 上连[a续, b]，且
则至少有一个数 使得 f ( )，若0同时
在 f内(存x)在且[a保, b]持定号，即
(或
在 f 内( x唯) 一0 。
[a,b]
f (a) f (b) 0 的一f (阶x)导数
)f则(这x)样 的0
1、x x x3 4x2 10 即 g( x) x x3 4x2 10
2、4x2 10 x3
x1
10 x3
1 2
即
gx 1
10 x3
1 2
2
2
1
1
3、x2 10 4x x
x
10 x
4
x
2
即
g
x
10 x
4
x
2
1
4、x
10 4 x
2
1
即
g
x
10 4 x
[a1, b1] [a2 , b2 ] [a3, b3]
以 此 类 推
y
a3
a
2
b
x3
a1
oa
•••
x
y f (x) bx
a2
a1
b1 2
x2
x1
a
2
b
b1
b2
b3
W终h止en法to则st？op?
a
xa1 x*
xb2 b
xk1 xk ε1 或 f ( xk ) ε2
不能保证 x 的精 度
2
x*
x
二分法算法
给定区间[a,b] ，求f(x)=0 在该区间上的根x. 输入: a和b; 容许误差 TOL; 最大对分次数 Nmax. 输出: 近似根 x. Step 1 Set k = 1; Step 2 Compute x=f((a+b)/2); Step 3 While ( k Nmax) do steps 4-6
x xk1
1 2k 1
b a 令
ln b a ln
k
1
ln 2
例1：用二分法求方程 x3 x 在1 区0间
限为 ，问至少1需0对2 分多少次？
解：
a 1,b 1.5， 102;
上[的1,1根.5，] 误差
n ln(b a) ln 1
ln 2
ln(1.5 1) ln102
1
第二章 非线性方程的数值解法
/* Numerical Solutions of Nonlinear Equations*/
本章主要内容： 1、二分法(重点) 2、不动点迭代的构造及其收敛性判定 3、Newton（重点）和Steffensen迭代 4、割线法 5、非线性方程组的迭代解法
历史背景
n 代数方程的求根问题是一个古老的数学问题。理论上， 次 n 代数方程在复数域内一定有 个根(考虑重数)。早在16世纪就