2.3向量组与矩阵的秩

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矩阵的秩与向量组的秩一致

矩阵的“秩”，是线性代数第一部分的核心概念。

“矩阵的秩与向量组的秩一致。

矩阵的秩就是其行（或列）向量组的秩。

”怎样证明？就当做习题练一练。

设矩阵A的秩为r ，则A必有一个r 阶子式不为0，而所有 r + 1阶子式全为 0逻辑1——r 阶子式不为0，则 r个r 维向量线性无关。

分析这是格莱姆法则推论，带来的直接判别方法。

（画外音：r个未知量 r个方程的齐次线性方程组仅有0 解的充分必要条件是其系数行列式不为0）逻辑思维链——这r 个r 维向量与A 的行（或列）向量组有何关系？逻辑2——（“线性无关，延长无关。

”定理）——已知一个n 维向量组线性无关，如果在相同的位置，给组内每个向量都增加一个分量，则所得的n + 1维向量组也线性无关。

分析不妨认为给线性无关的n 维向量组a1，a 2，…，a k 的每个向量都加上第n + 1个分量，形成一个n + 1 维向量组b1，b 2，…，b k若有一组不全为零的数c1，c2，…，c k ，使得c1b1+ c2b 2+ ---+ c k b k = 0，如何证明“这组常数只能全为0”？每个向量有n + 1 分量，向量“线性组合为0”实际上是n + 1个等式。

前n 个等式即c1 a1+ c2a2+ ---+ c k a k = 0由已知线性无关即得，这组常数只能全为0，而最后那个（第n + 1个）等式自然成立。

逻辑3 ——将线性无关的 r个r 维向量，逐次延长为矩阵A 的r 个行向量（或列向量），它们线性无关。

（潜台词：简而言之，不为0的r阶子式所在的r个行向量（或列向量）线性无关。

）逻辑思维链（关键问题）——这r 个行向量是行向量组的最大无关组吗？唯一信息——A的所有r + 1阶子式全为0分析不妨设不为0 的r 阶子式就由这r 个行的左起前r 个分量排成。

（画外音：画个示意图最好。

）任取A的一行，其左起前 r个分量形成的r 维向量，必定可以被r 阶子式的r 个行线性表示。

向量组与矩阵的秩

1 2 0 8 6
0 0 0 9 8
1 2 0 1 2
1 2 0 1 2
r3 1 r2

0
2
3
2
0 0 0 0
1

r3
r4

0
2
3
2
0
0 0 0 9
1 8

B
0 0 0 9 8
0 0 0 0 0
R{1,2 , ,n} n ，则向量组 1,2 , ,n 线性无关。
如果向量组的秩小于向量组所含向量的个数，即
R{1,2 , ,n} n ，则向量组 1,2 , ,n 线性相关。
性质2.5 (1)若向量组A可由向量组B线性表示，则r(A)<=r(B). (2) 等价向量组的秩相同.
如果 A 为 mχ n 矩阵，则 R(A)≤ min (m,n)。
特别当 R(A)=m 时，称矩阵 A 为行满秩；当 R(A)=n 时，称矩
阵 A 为列满秩；当 R(A)=m=n 时，称矩阵 A 为满秩矩阵。
例求矩阵的秩
2 1 0 3 2
B

0
3
1 2
5

0 0 0 4 3
1 1,2,0,1,2 0,1,0,1,3 1,3,0,2,4 1,2,1,1
解法1：构造矩阵
1 0 1 1
1 0 1 1
1 0 1 1
A

2
1
3
2

r2

2r1

0
1
1
0

r4
r2

0

线性代数 2_3向量组的秩

可由向量组：可由向量组：
（I））（II））
β 1 , β 2 ,L , β t
）
线性表示，则必有（ C 线性表示，则必有（
A．s≤t ． B．s>t ． C． r（Ⅰ）≤r（Ⅱ）．（（ D． r（Ⅰ）>r（Ⅱ）．（（
即课后21题的结论【注】可以作为结论使用(即课后题的结论：可以作为结论使用即课后题的结论)：可被(Ⅱ 线性表示线性表示，若(Ⅰ)可被 Ⅱ)线性表示，则 r(Ⅰ)≤r(Ⅱ). Ⅰ 可被 Ⅰ Ⅱ
证明: α 1 , L , α s 与 β 1 ,L , β s 有相同的秩. 有相同的秩. 证明: 解析证两向量组等价,则秩相等. 证两向量组等价,则秩相等.
15
下列两向量组是否等价？例3 下列两向量组是否等价？
0 1 1 1 1 0 β1 = 1 , β 2 = 0 , β 3 = 1 α1 = 2 , α 2 = 0 , α 3 = 2 与 1 1 0 3 1 0
11
5、向量组的秩(rank) 、向量组的秩定义向量组 α 1 , α 2 , L , α s的极大无关组所含向量的个数，称为向量组的秩（含向量的个数，称为向量组的秩（rank），记做向量组的秩）
r (α 1 , α 2 ,L , α s )
向量的向量组，【重要结论】(1) 仅含向量的向量组，秩为。重要结论】仅含O向量的向量组秩为0。
②等价的向量组有相同的线性关系吗？等价的向量组有相同的线性关系吗？
不一定，请举例。不一定，请举例。
如何求一个向量组的秩，将在§2.4介绍介绍。 ③如何求一个向量组的秩，将在§2.4介绍。

向量组与矩阵

反之每个矩阵A

(a
ij)
可以得到n个m维列向量
mn
1 2
i
n
a11 a12 a1 j a1n
A

a21
a22 a2 j a2n
am1 am2 amj amn
向量组ห้องสมุดไป่ตู้1, 2, , n 称为矩阵A的列向量组.
a1n x1 a2n x2
am1xm 0 am2 xm 0
am1xm 0
利用矩阵乘法，方程变形为
x1
1
,
2
,
,

m

x2
xm

0
这样由上一章线性方程组有解的条件可得如下结论：
定理 1 若列向量组 1,2 , ,所m 构造的矩阵A，则

1
1

1

1
t1 t2 t3
tr
t12
t
2 2
t
2 3

t
2 r

t1r1
t
r 2
1

t
r 3
1
,
则其行列式|B|为范德蒙行列式，

t
r r
1

由于t i 互不相等，所以|B|≠0，
所以 1, 2 ,, 线r 性无关，从而 1 ,2 ,,线r 性无关。
例 3 基本向量组 1, 2 , 是n Rn 的极大无关组。
解由上一节，基本向量组是线性无关的，且任何一个n维向量都可以由它线性表示（即坐标表示）。
定理 4 如果向量组

向量组的秩与矩阵秩的关系

向量组1
a12
a22
a1n a2n
am1 am2 amn
A的列向量组为1,2 ,,n ； A的行向量组为 1T , 2T ,, mT.
➢ 称A的列向量组的秩为A的列秩;
➢ 称A的行向量组的秩为A的行秩.
向量组的秩与矩阵秩的关系
设矩阵A
1 0
1 1
1 2
，试确定矩阵的秩，行秩，列秩.
0 0 0
➢ 矩阵A的秩为 2；
➢ A的行向量组为：1T 1 1 1, 2T 0 1 2, 3T 0 0 0.
➢
1T
,
T 2
是
A 的行向量组的一个极大无关组，A 的行秩是2.
向量组的秩与矩阵秩的关系
1
1
1
A的列向量组为 1 0,2 1,3 2.
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向量组的秩与矩阵秩的关系
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01
向量组的秩与矩阵秩的关系
向量组的秩与矩阵秩的关系
含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应
Amn 1 2 n
向量组的秩与对应的矩阵的秩具有什么联系？
0
0
0
由于 1，2线性无关，3 22 1 ，故 1，2是A的列向量
组的一个极大无关组，因而A的列秩为2.
在本例中，我们发现矩阵的秩等于其行秩和列秩！这一结论是否具有普遍意义呢？
向量组的秩与矩阵秩的关系
回顾
1 0
0 1
0 0
c11 c21
c1,nr c2,nr
A B 0 0 1 cr1 cr,nr

求向量组的秩的三种方法

求向量组的秩的三种方法一、概述向量组的秩，即向量组中线性无关向量的个数。

秩是线性代数中非常重要的概念，涉及到向量组的基、解空间及解的唯一性等概念。

本文将详细介绍求向量组秩的三种方法：高斯消元、矩阵的秩和行列式的秩，同时附上实例说明。

二、高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的一种基本方法，用于消元、求解下三角矩阵和上三角矩阵。

在求向量组秩时，可以将向量组构成增广矩阵，通过高斯消元将其变为简化阶梯形矩阵，然后根据主元的数量，即非零行数，即可得到向量组的秩。

对于向量组：\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}，\begin{bmatrix}2\\4\\6\end{bmatrix}，\begin{bmatrix}1\\3\\5\end{bmatrix}构成增广矩阵：\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 6\\ 1 & 3 & 5 \end{bmatrix}通过高斯消元可得简化阶梯形矩阵：\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}可知主元是1，非零行数是1，因此向量组的秩是1。

三、矩阵的秩矩阵的秩是线性代数中非常基础的概念之一，也是求向量组秩的一种方法。

矩阵的秩是指在矩阵的行（或列）空间中，线性无关的向量的个数。

对于一个m\times n矩阵A，如果它的秩为r，则有以下三条性质：1. 行秩：A的行空间的秩为r；2. 列秩：A的列空间的秩为r；3. 行列式：A的任意r\times r子式的行列式不为0，而r+1阶子式的行列式为0。

由此可知，对于一个向量组，可以将其构成矩阵，然后求出矩阵的秩来得到向量组的秩。

对于向量组：\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}，\begin{bmatrix}2\\4\\6\end{bmatrix}，\begin{bmatrix}1\\3\\5\end{bmatrix}构成矩阵：A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 6\\ 1 & 3 & 5 \end{bmatrix}通过对A做初等行变换，得到简化阶梯形矩阵：R=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}可知A的秩为1，因此向量组的秩也为1。

向量组与矩阵的秩

k
i 1 i
s
i
k1 1 k 2 2 k s s 0
反之，如果只有在k1=k2=…=ks=0时上式才成立，就称 1 , 2 , s线性无关。当 1 , 2 , s是行向量组时，它们线性相关就是指有非零的1×s矩阵（k1,k2,…,ks）使
所以 k1 1 k 2 2 k n n 0 当且仅当k1=k2=…=kn=0 因此 1 单位向量。
湖南科技大学吴晓勤
12
例2
讨论向量组
1
2 3 2 1
1 2 1
3
3 2 -1
k1 1 k2 2 k3 3 (k1 k3 ) 1 (k1 k2 ) 2 (k2 k3 )
设有k1,k2,k3,使 k1 1 k 2 2 k 3 3 0 由 1 , 2 , 3线性无关，故有
k1 k 3 0 k1 k 2 0 k k 0 3 2
由于满足k1,k2,k3的取值只有k1=k2=k3=0 所以 1 , 2 , 3 线性无关。
湖南科技大学吴晓勤
14
一般地 , 判断一个向量组 1,2,…,m线性相关的基本方法和步骤是: 1)假定存在一组数k1,k2,…,km ，使 k11+k22+…+kmm=0; 2) 应用向量的线性运算和向量相等的定义 ,找出含未知量k1,k2,…,km的齐次线性方程组; 3)判断方程组有无非零解; 4)如有非零解,则1,2,…,m线性相关;如仅有零解,则 1,2,…,m线性无关.
湖南科技大学吴晓勤
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1 例1 判断向量组
(1,0, ,0),
2 (0,1, ,0), n (0,0, ,1)

向量组与矩阵的秩

第三章向量与向量空间§１ n 维向量在平面几何中,坐标平面上每个点的位置可以用它的坐标来描述,点的坐标是一个有序数对(,)x y .一个n 元方程1122n n a x a x a x b +++=可以用一个1n -元有序数组12(,,,,)n a a a b来表示.1n ⨯矩阵和1n ⨯矩阵也可以看作有序数组.一个企业一年中从1月到12月每月的产值也可用一个有序数组1212(,,,)a a a 来表示.有序数组的应用非常广泛,有必要对它们进行深入的讨论.定义 1 n 个数组成的有序数组12(,,,)n a a a （３.１）或12n a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（３.２）称为一个n 维向量,简称向量.一般,我们用小写的粗黑体字母,如, α,β,γ等来表示向量,(3.1)式称为一个行向量,(3.2)式称为一个列向量.数12,,,n a a a 称为这个向量的分量.i a 称为这个向量的第i 个分量或坐标.分量都是实数的向量称为实向量;分量是复数的向量称为复向量.实际上,n 维行向量可以看成1n ⨯矩阵,n 维列向量也常看成1n ⨯矩阵.下面我们只讨论实向量.设k 和l 为两个任意的常数.α,β和γ为三个任意的n 维向量,其中12(,,,)n a a a = α, 12(,,,)n b b b = β.定义 2 如果α和β对应的分量都相等,即,1,2,,i i a b i n ==就称这两个向量相等,记为α＝β.定义 3 向量(a 1+b 1,a 2+b 2,…,a n +b n )称为α与β的和,记为α＋β.称向量(ka 1,ka 2,…,ka n )为α与k 的数量乘积,简称数乘,记为k α.定义 4 分量全为零的向量(0, 0, …, 0)称为零向量,记为0.α与-1的数乘(-1)α＝(-a 1,-a 2,…,-a n )称为α的负向量,记为-α.向量的减法定义为α－β＝α＋（－β）.向量的加法与数乘具有下列性质：（１） α＋β＝β＋α；（交换律) （２）（α＋β）＋γ＝α＋（β＋γ）；（结合律）（３） α＋0＝α；（４） α＋（－α）＝0；（５） k (α+β)=k α+k β；（６）（k +l )α=k α+l α；（７） k (l α)=(kl )α；（８）１α＝α；（９） 0α＝0；（１０） k 0＝0.在数学中,满足(１) ～(８)的运算称为线性运算.我们还可以证明：（１１）如果k ≠0且α≠0, 那么k α≠0.显然,n 维行向量的相等和加法、减法及数乘运算的定义,与把它们看作行矩阵时的相等和加法、减法及数乘运算的定义是一致的.对应地,我们也可以定义列向量的加法、减法和数乘运算,这些运算与把它们看成列矩阵时的加法、减法和数乘运算也是一致的,并且同样具有性质(１)～(１１).例1 设()11,1,0=α,()20,1,1=α,()33,4,0α=,求12332ααα+-. 解 ()()()1233231,1,020,1,13,4,0ααα+-=+- ()()()()3,3,00,2,23,4,00,1,2=+-=例 2 设()11,1,1,1α=,()21,1,1,1α'=--,()31,1,1,1α'=--,()41,1,1,1α'=--且()()()123422αβαβααβ+-+=++,求β.解由()()()123422αβαβααβ+-+=++,得()12342223,5,3,3βαααα'=---=-通常把维数相同的一组向量简称为一个向量组,n 维行量组α１,α２,…,αs 可以排列成一个s ×n 分块矩阵12s ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦a a A a ,其中αi 为由A 的第i 行形成的子块,α１,α２,…,αs 称为Ａ的行向量组.n 维列向量组β１,β２,…,βs 可以排成一个n ×s 矩阵Ｂ＝（β１,β２,…,βs ）,其中βj 为Ｂ的第j 列形成的子块,β１,β２,…,βs 称为B 的列向量组.这样,矩阵A 就与其列向量组或行向量组之间建立了一一对应关系.向量组之间的关系可用矩阵来研究；反过来,矩阵的问题也可用向量组来研究.§2线性相关与线性无关定义 5 向量组α１,α２,…,αs 称为线性相关的,如果有不全为零的数k １,k ２,…,k s , 使1si ii k =∑a=k １α１+k ２α２+…+k s αs ＝0. （3.3）反之,如果只有在k １= k ２ = … =k s =0时(3.3)才成立,就称α１,α２,…,αs 线性无关. 换言之,当α１,α２,…,αs 是行向量组时,它们线性相关就是指有非零的1×s 矩阵 (k １,k ２,…,k s )使1212(,,,)s s k k k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦0 a a a .当α１,α２,…,αs 为列向量组时,它们线性相关就是指有非零的s ×1矩阵(k １,k ２,…,k s )′使1212(,,,)s s k k k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦0 a a a .显然,单个零向量构成的向量组是线性相关的. 例3 判断向量组12(1,0,,0),(0,1,,0),(0,0,,1)n =⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩ εεε 的线性相关性.解对任意的常数k １,k ２,…,k n 都有k １ε1+k ２ε2+…+k n εn ＝(k １,k ２,…,k n ).所以k １ε1+k ２ε2+…+k n εn =0当且仅当k 1=k 2=…=k n =0.因此ε1,ε2,…,εn 线性无关.ε1,ε2,…,εn 称为基本单位向量. 例4 判断向量组α１＝（１,１,１）,α２＝（０,２,５）,α3＝（１,３,６）的线性相关性.解对任意的常数k １,k ２, k 3都有k １α１+k ２α２+ k 3α3=(k １+k 3,k １+2k ２+3k 3,k １+5k ２+6k 3).所以k １α１+k ２α２+ k 3α3=0当且仅当131231230,230,560.k k k k k k k k +=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 由于k 1=1,k 2=1,k 3=-1满足上述的方程组,因此１α１+1α２+(-1)α3=α１+α２-α3=0.所以α１,α２,α3线性相关.例5 设向量组α１,α２,α3线性无关,β１＝α１+α２,β２＝α２+α3,β3＝α3+α１, 试证向量组β１,β２,β3也线性无关.证对任意的常数都有k １β１+k ２β２+k 3β3=(k １+k 3)α１＋（k １+k ２)α２+(k ２+k 3)α3 .设有k １,k ２,k 3使k １β１+k ２β２+k 3β3=0.由α１,α２,α3线性无关, 故有1312230,0,0.k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 由于满足此方程组的k １,k ２,k 3的取值只有k １=k ２=k 3=0,所以β１,β２,β3线性无关.定义 6 向量α称为向量组β１,β２,…,βt 的一个线性组合,或者说α可由向量组β１,β２,…,βt 线性表出(示),如果有常数k １,k ２,…,k t 使α＝k １β１＋k ２β２+…＋k t βt . 此时,也记1ti ii k ==∑a β.例6 设α１=(1,1,1,1),α２=(1,1,-1,-1),α3=(1,-1,1,-1),α4=(1,-1,-1,1), β=(1,2,1,1).试问β能否由α１,α２,α3,α4线性表出？若能,写出具体表达式.解令β=k １α１+k ２α２+k 3α3+k 4α4于是得线性方程组12341234123412341211k k k k k k k k k k k k k k k k +++=⎧⎪+--=⎪⎨-+-=⎪⎪--+=⎩ 因为1111111116011111111D ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥==-≠⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦, 由克莱姆法则求出1234511,,444k k k k ====-所以12345111,4444=+--βαααα即β能由α１,α２,α3,α4线性表出.例7 设α=(2,-3,0),β=(0,-1,2),γ=(0,-7,-4),试问γ能否由α,β线性表出? 解设 γ=k １α+k ２β 于是得方程组1122203724k k k k =⎧⎪--=-⎨⎪=-⎩由第一个方程得k １=0,代入第二个方程得k ２=7,但k ２不满足第三个方程,故方程组无解.所以γ不能由α,β线性表出.定理 1 向量组α１,α２,…,αs (s ≥2) 线性相关的充要条件是其中至少有一个向量能由其余向量线性表出.证设α１,α２,…,αs 中有一个向量能由其余向量线性表出,不妨设α１=k ２α２+k 3α3+…+k s αs ,那么-α１+k ２α２+…+k s αs =0,所以α１,α２,…,αs 线性相关.反过来,如果α１,α２,…,αs 线性相关,就有不全为零的数k １,k ２,…,k s , 使k １α１＋k ２α２＋…＋k s αs =0.不妨设k １≠０, 那么32123111.s s k k k k k k =---- αααα即α１能由α２,α3,…,αs 线性表出.例如,向量组α１＝（２,－１,３,１）,α２＝（４,－２,５,４）,α3＝（２,－１,４,－１）是线性相关的,因为α3＝３α１-α２.显然,向量组α１,α２线性相关的充分必要条件是存在常数k,使得两向量的对应分量成比例.在三维的情形,这就表示向量α１与α２共线.三个向量α１,α２,α3线性相关的几何意义就是它们共面.定理 2 设向量组β１,β２,…,βt 线性无关,而向量组β１,β２,…,βt ,α线性相关,则α能由向量组β１,β２,…,βt 线性表出,且表示式是惟一的.证由于β１,β２,…,βt ,α线性相关,就有不全为零的数k １,k ２,…,k t ,k 使k １β１+k ２β２+…+k t βt +k α=0.由β１,β２,…,βt 线性无关可以知道k ≠0. 因此1212t t k k kk k k=---- αβββ, 即α可由β１,β２,…,βt 线性表出.设α＝l １β１+l ２β２+…＋l t βt ＝h １β１+h ２β２＋…＋h t βt为两个表示式.由α－α＝（l １β１+β２+…＋l t βt )-(h １β１+h ２β２＋…＋h t βt )=（l １-h １）β１＋（l ２-h ２）β２＋…＋（l t -h t ）βt ＝0和β１,β２,…,βt 线性无关可以得到l １=h １, l ２=h ２, …, l t =h t .因此表示式是惟一的.定义 7 如果向量组α１,α２,…,αs 中每个向量都可由β１,β２,…,βt 线性表出,就称向量组α１,α２,…,αs 可由β１,β２,…,βt 线性表出,如果两个向量组互相可以线性表出,就称它们等价.显然,每一个向量组都可以由它自身线性表出.同时,如果向量组α１,α２,…,αt 可以由向量组β１,β２,…,βs 线性表出,向量组β１,β２,…,βs 可以由向量组12,,,p γγγ线性表出,那么向量组α１,α２,…,αt 可以由向量组12,,,p γγγ线性表出.事实上,如果1,1,2,,,si ij j j k i t ===∑ αβ1,1,2,,,pj jm mm lj s ===∑ βγ那么111111pppsss i ij jm m ij jm m ij jm m j m j m m j k l k l k l ======⎡⎤===⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑∑∑αγγγ.这就是说,向量组α１,α２,…,αt 中每一个向量都可以由向量组12,,,p γγγ线性表出.因而,向量组α１,α２,…,αs 可以由向量组12,,,p γγγ线性表出.由上述结论,得到向量组的等价具有下述性质： (1) 反身性：向量组α１,α２,…,αs 与它自己等价.(2) 对称性：如果向量组α１,α２,…,αs 与β１,β２,…,βt 等价,那么β１,β２,…,βt 也与α１,α２,…,αs 等价.(3) 传递性：如果向量组α１,α２,…,αs 与β１,β２,…,βt 等价,而向量组β１,β２,…,βt 又与12,,,p γγγ等价,那么α１,α２,…,αs 与12,,,p γγγ等价.§ 3线性相关性的判别定理利用定义判断向量组的线性相关性往往比较复杂,我们有时可以直接利用向量组的特点来判断它的线性相关性,通常称一个向量组中的一部分向量组为原向量组的部分组.定理 3 有一个部分组线性相关的向量组一定线性相关.证设向量组α１,α２,…,αs 有一个部分组线性相关.不妨设这个部分组为α１,α２,…,αr()r s ≤.则有不全为零的数k１,k ２,…,k r 使1110,s r si ii iji i j r k k ===+=+=∑∑∑0ααα因此α１,α２,…,αs 也线性相关.推论含有零向量的向量组必线性相关.定理 4 设p 1,p 2,…,p n 为1, 2, …,n 的一个排列,α１,α２,…,αs 和β１,β２,…,βs 为两向量组,其中1212n ip i ip i i i in ip ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ααααα=,βαα, 即β１,β２,…,βs 是对α１,α２,…,αs 各分量的顺序进行重排后得到的向量组,则这两个向量组有相同的线性相关性.证对任意的常数k １,k ２,…,k s 注意到列向量111221*********1122s s ss s i i i n ns sn k k k k k k k k k k =+++⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦∑ αααααααααα 和1112221122112211122n n n p p s sp s p p s sp i i i p p s sp k k k k k k k k k k =+++⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦∑ ααααααβααα 只是各分量的排列顺序不同,因此k １β１+k ２β２+…+k s βs =0当且仅当k １α１+k ２α２+…+k s αs =0.所以α１,α２,…,αs 和β１,β２,…,βs 有相同的线性相关性.定理 4 是对列向量叙述的.对行向量也有相同的结论.类似这样的情形,今后不再说明.定理 5 在r 维向量组α１,α２,…,αs 的各向量添上n -r 个分量变成n 维向量组β１,β２,…,βt .（1）如果β１,β２,…,βs t 线性相关,那么α１,α２,…,αs 也线性相关. (2) 如果α１,α２,…,αs 线性无关,那么β１,β２,…,βs 也线性无关. 证我们对列向量来证明定理,设（α１,α２,…,αs ）＝Ａ１,(β１,β２,…,βs ）＝12⎡⎤⎢⎥⎣⎦A A ,如果β１,β２,…,βs 线性相关,就有一个非零的s ×1矩阵Ｘ使（β１,β２,…,βs ）Ｘ＝12⎡⎤⎢⎥⎣⎦A A Ｘ＝12⎡⎤⎢⎥⎣⎦X X A A ＝０. 从而（α１,α２,…,αs ）X ＝Ａ１Ｘ＝０.因此α１,α２,…,αs 也线性相关,即(1)成立.利用(1),用反证法容易证明(2)也成立.定理6 设A 是一个n 阶方阵,则A 的行（列）向量组线性相关的充分必要条件是0A =. 证设()ijnxnA a =,112111n a a a α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ , 122222n a a a α⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦, ,12n n n nn a a a α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦是矩阵A 的列到向量组.令11220n n x x x ααα+++= . ()34- 则12,,,n ααα 线性相关的充分必要条件是,存在一组不全为零的实数12,,...,,n x x x 使得()34-式成立,即齐次线性方程组120n x x A x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦()35-有非零解存在.由第一章定理5的推论及其注解知,()35-式存在非零解的充分必要条件是0A =.从而定理得证.推论 n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是A 的行（列）向量组线性无关.例8 试证明n 维列向量组α１,α２,…,αn 线性无关的充分必要条件是行列式1112121222120n n n n n n '''⎡⎤⎢⎥'''⎢⎥=≠⎢⎥⎢⎥'''⎣⎦ D αααααααααααααααααα证令矩阵A ={α１,α２,…,αn }则向量组α１,α２,…,αn 线性无关⇔行列式|A |≠0.由于[]111121*********2n n n n n n n n ''''⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥''''⎢⎥⎢⎥'==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥''''⎣⎦⎣⎦ A ααααααααααααααA αααααααααα 在上式两端取行列式,得|A |2=|A ′||A |=D故|A |≠0⇔D ≠0,所以α１,α２,…,αn 线性无关⇔D ≠0.定理 7 n +1个n 维向量α１,α２,…,αn +1必线性相关.证对每个αs 添加等于零的第n +1个分量,得到n +1维向量β１,β２,…,βn +1.易见,由β１,β２,…,βn +1构成的方阵的行列式等于零,因而β１,β２,…,βn +1线性相关,由定理5,易知α１,α２,…,αn +1也线性相关.推论当m n >时,m 个n 维向量线性相关. 例9 讨论下列矩阵的行向量组的线性相关性：123132221;021.343201-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦B C解由于｜Ｂ｜＝２≠０,因此Ｂ的行(列)向量组线性无关；由于｜Ｃ｜＝０,所以C的行(列)向量组线性相关.定理 8 如果向量组α１,α２,…,αs 可由β１,β２,…,βt 线性表出且s ＞t ,那么α１,α２,…,αs线性相关.证我们不妨假定讨论的是列向量,如果α１,α２,…,αs 可由β１,β２,…,βt 线性表出,那么()()121212i i i n n i it p p p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦αββββββγ.其中12i i i it p p r p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,()1,2,,i s = .令Ａ＝（γ１,γ２,…,γs ),则(α１,α２,…,αs )＝（β１,β２,…,βt ）Ａ.由于γ１,γ２,…,γs 为由s 个向量组成的t 维向量组.且s t >,根据推论知,它们必线性相关.因此有非零s ×1矩阵（k 1,k 2,…,k s ）′使112212(,,,)s s s k k k k k k ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦0 A γγγ. 从而()11221212(,,,)s s s s k k k k k k ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦0 αααβββA .即有α１,α２,…,αs 线性相关.推论 1 如果向量组α１,α２,…,αs 可由向量组β１,β２,…,βt 线性表出,且α１,α２,…,αs 线性无关,那么s t ≤.推论 2 两个等价的线性无关的向量组必含有相同个数的向量.§4 向量组的秩定义 8 设存在向量组12,,,s ααα的一个部分组12,,,ri i i ααα,满足（1）部分组12,,,ri i i ααα线性无关；（2）对任意的()1i i s α≤≤,都有12,,,ri i i ααα线性相关.则称部分组12,,,ri i i ααα是向量组12,,,s ααα的一个极大线性无关组（简称为极大无关组）.例10 在向量组α１＝（２,－１,３,１）,α２＝（４,－２,５,４）,α３＝（２,－１,４,－１）中,α1,α2为它的一个极大线性无关组.首先,由α１与α２的分量不成比例,所以α1,α2线性无关,再添入α3以后,由α3＝3α1-α 2可知所得部分组线性相关,不难验证α2,α3也为一个极大线性无关组.我们容易证明定义8与下列定义8′等价.定义 8′ 若向量组12,,,s ααα的一个部分组12,,,ri i i ααα,满足：（1）12,,,ri i i ααα线性无关；（2）对任意的()1,2,,i i s α= ,i α可由12,,,ri i i ααα线性表出.则称部分组12,,,ri i i ααα是向量组12,,,s ααα的一个极大无关组.由此,向量组的极大线性无关组具有以下性质：性质 1 一向量组的极大线性无关组与向量组本身等价.从例10 我们发现：向量组的极大线性无关组可能不是唯一的,但是我们有下面的结论. 性质 2 一向量组的任意两个极大线性无关组都等价.性质 3 一向量组的任意两个极大线性无关组都含有相同个数的向量.性质3表明向量组的极大线性无关组所含向量的个数与极大线性无关组的选择无关,它反映了向量组本身的特征.定义 9 向量组12,,,s ααα的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩,记为()12,,,s R ααα.例如,例10中向量组α1,α2,α3的秩为2.线性无关向量组本身就是它的极大线性无关组,所以我们有：一向量组线性无关的充要条件为它的秩与它所含向量的个数相同.我们知道每个向量组都与它的极大线性无关组等价,由等价的传递性可知任意两个等价的向量组的极大线性无关组也等价,根据定理8的推论1就有等价的向量组必有相同的秩.如果向量组α1,α2,…,αs 能由向量组β１,β２,…,βt 线性表出,那么α1,α2,…,αs 的极大线性无关组可由β１,β２,…,βt 的极大线性无关组线性表出.因此α1,α2,…,αs 的秩不超过β１,β２,…,βt 的秩.定理 9 向量组的任意线性无关的部分组都可扩充为一个极大线性无关组.证设,i i i 12κ αα,,α是向量组α1,α2,…,αs 中的一个线性无关的部分组,如果α1,α2,…,αs 中每个向量都可由这个部分组线性表出,那么这个部分组就是一个极大线性无关组,如果还有某向量αik +1不能被这个部分组线性表出,那么由121121i i k i l l l κ+++++ ααα＝０就有l k +1=0.再由原部分组线性无关就可得l １＝l ２＝…＝l k =l k +1=0.这样,我们就得到了一个含k +1个向量的线性无关的部分组121,i i i κ+ αα,,α.重复这个过程,最后必可得到α1,α2,…,αs 的一个线性无关的部分组使向量组中每个向量都可由这个部分组线性表出,这个部分组就是一个极大线性无关组.推论秩为r 的向量组中任意含r 个向量的线性无关的部分组都是极大线性无关组. 例11 求向量组α1＝(1,-1,0,3),α2＝(0,1,-1,2),α3＝(1,0,-1,5),α4＝(0,0,0,2)的一个极大线性无关组及秩.解 α1是α1,α2,α3,α4的一个线性无关的部分组,显然α2不能由α1线性表示,所以α1可以扩充为一个线性无关的部分组α1,α2,容易证明α3＝α1+α2,但α4不能由α1,α2线性表出,所以α1,α2又可扩充为一个线性无关的部分组α1,α2,α4,从而α1,α2,α3,α4的秩为3,α1,α2,α4是它的一个极大线性无关组.在第二章中,我们给出了矩阵的秩的定义和计算方法,那么向量组的秩与矩阵的秩有什么关系呢？首先,我们建立一个引理.引理设1,2,r ααα ,是r 个n 维列向量()r n ≤,则1,2,r ααα ,线性无关的充分必要条件是矩阵A =()1,2,r ααα ,至少存在一个r 阶子式不为零.证充分性由本章的定理5与定理6的推论可立即得到. 下面证必要性.对向量的个数r 用数学归纳法证明.当1r =时,由1α线性无关知10α≠,从而A 至少有一个1阶子式不为零. 假设 r k =时,结论成立. 当1r k n =+≤时,设12i ii ni a a a α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,1,2,,1,i k =+且1,2,1k ααα+ ,线性无关,则1,2,k ααα ,亦线性无关.由归纳假设,矩阵()1,2,k B ααα= ,至少存在一个k 阶子式不为零.不妨设1112121222120k k k k k kka a a a a a D a a a =≠. ()36-令12,1,2,,1i ii ki a a i k a γ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎣⎦.由()36-式知,12,,,k γγγ 线性无关.而1k +个k 维向量121,,,,k k γγγγ+ 线性相关,由本章的定理2,则1k γ+可由12,,,k γγγ 线性表出,即存在一组确定的数12,,,k C C C ,使得11122k k k C C C γγγγ+=+++ .从而有,110,1,2,,ki k j ijj a C ai k +=-==∑ . ()37-令1211kk j j j n b b C b βαα+=⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑ ,这里 ,110,1,2,,ki i k j ijj b a C ai n +==-==∑ .则由()37-知：120k b b b ==== .但因121,,,k ααα+ 线性无关,则0β≠,因此必存在某个0s b ≠()k s n <≤.于是1k +阶子式1111,12122,11,11,1k k k k k kk k k s sks k a a a a a a a a a a a a ++++()()()11,2,,i c k i c i k ++-= 111212110000kk s k k kk s sksa a a ab D a a a a b =≠. 下面,我们建立向量组的秩与矩阵的秩的关系.定理10 设A 为m n ⨯矩阵,则矩阵A 的秩等于它的列向量组的秩,也等于它的行向量组的秩.证只讨论列向量组的情况,类似可讨论行向量组的情况.设 12,,n ααα ,是A 的列向量组,()R A r =,()12,,n R S ααα= ,.首先,由()R A r =,则矩阵A 中至少存在一个阶子式0r D ≠,由本章定理5和定理6的推论知,r D 所在的A 中的r 个列向量一定线性无关,从而s r ≥；另一方面,由()12,,n R S ααα= ,,则必有s 个列向量构成A 的列向量组12,,n ααα ,的极大线性无关组.由引理知这s 个列向量构成的矩阵中至少存在一个s 阶子式不为零,从而r s ≥.于是有r s =.矩阵A 的行向量组的秩称为矩阵A 的行秩,矩阵A 的列向量组的秩称为矩阵A 的列秩.推论矩阵A 的行秩与列秩相等.由定理10的证明知,若r D 是矩阵A 的一个最高阶非零子式,则r D 所在的r 个行和r 个列就分别是矩阵A 的行向量组和列向量组的一个极大线性无关组.求向量组的秩,只需要将向量组中各向量作为列向量组成矩阵后,只作初等行变换将该矩阵化为行阶梯形矩阵,则可直接写出所求向量组的秩和极大无关组.同理,也可以将向量组中的各向量作为行向量组成矩阵,通过作初等列变换来求向量组的秩和极大无关组.例12 求向量组()11,4,1,0,2α=()2,2,5,1,3,2,α=--()30,2,2,1,0α=-,()41,2,5,6,2α=-的秩和一个极大无关组,并把不属于极大无关组的其余向量用该极大无关组线性表出.解把向量组作为列向量组成矩阵A ,利用初等行变换将A 化为最简行矩阵B ：1201120145220326112503260316031622020204A --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→--⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦12010102001000000000-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦10030102001000000000B ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 易见 ()()3R A R B ==,B 的第1,2,3列线性无关,由于A 的列向量与B 的对应的列向量组有相同的线性组合关系,故与其对应的A 的第1,2,3列线性无关,即123,,ααα是该向量组的一个极大无关组.又由矩阵B ,易得41232ααα=-. 例13已知向量组()11,2,1,1α=-()2,2,0,,0t α=()30,4,5,α=--,()43,2,4,1t α=-+-的秩为2,确定t 的值.解考察矩阵120320421541021A t t ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥-+⎢⎥--⎣⎦. 由条件知()2R A =,从而A 的所有3阶子式均为0. 故由12204124015t t -=-+=-,得 3t =.§5 向量空间定义10 设V 为n 维向量组成的集合.如果V 非空,且对于向量加法及数乘运算封闭,即对任意的α,β∈V 和常数k 都有α＋β∈Ｖ,ｋα∈Ｖ,就称集合V 为一个向量空间.例14 n 维向量的全体R ｎ构成一个向量空间.特别地,三维向量可以用有向线段来表示,所以R ３也可以看作以坐标原点为起点的有向线段的全体.例15 n 维零向量所形成的集合｛０｝构成一个向量空间. 例16 集合V ＝｛（０,ｘ２,ｘ３,…,ｘｎ）｝｜ｘ２,ｘ３,…,ｘｎ∈R ｝构成一个向量空间. 例17 集合V ＝｛(ｘ1,ｘ2,…,ｘｎ）｜ｘ1+ｘ２＋…＋ｘｎ＝１｝不构成向量空间. 例18 设α１,α２,…,αｍ为一个n 维向量组,它们的线性组合Ｖ＝｛ｋ１α１＋ｋ2α2+…＋k m αm ｜k １,k ２,…,k m ∈R ｝构成一个向量空间.这个向量空间称为由α１,α２,…,αｍ所生成的向量空间,记为L (α１,α２,…,αｍ).例19 证明由等价的向量组生成的向量空间必相等.证设α１,α２,…,αｍ和β１,β２,…,βs 是两个等价的向量组.对任意的α∈L(α１,α２,…,αｍ)都可由α１,α２,…,αｍ线性表出.而向量组α１,α２,…,αｍ又可由β１,β２,…,βs 线性表出可以知道α也能由β１,β２,…,βs 线性表出,即有α∈L(β１,β２,…,βs ).由α的任意性,得L (α１,α２,…,αｍ)⊆L (β１,β２,…,βs ). 同理,L (β１,β２,…,βs )⊆L ().于是L (α１,α２,…,αｍ)＝L (β１,β２,…,βs ).定义11 如果V １和Ｖ２都是向量空间且V １⊆Ｖ２,就称Ｖ1是Ｖ２的子空间.任何由n 维向量所组成的向量空间都是R ｎ的子空间.R ｎ和｛０｝称为R ｎ的平凡子空间,其他子空间称为R ｎ的非平凡子空间.定义12 设V 为一个向量空间.如果V 中的向量组α１,α２,…,αr 满足 (1)α１,α２,…,αr 线性无关；(2) V 中任意向量都可由α１,α２,…,αr 线性表出.那么,向量组α１,α２,…,αr 就称为V 的一个基,r 称为V 的维数,记作dim V ,并称V 为一个r维向量空间.如果向量空间V 没有基,就说V 的维数为0,0维向量空间只含一个零向量.如果把向量空间V 看作向量组,那么V 的基就是它的极大线性无关组,V 的维数就是它的秩.当V 由n 维向量组成时,它的维数不会超过n .定义 13 设12,,r ααα ,是r 维向量空间V 的一个基,则对于任一向量V α∈,有且仅有一组数12,,r x x x ,使1122r r x x x αααα=+++ ,有序数组12,,,r x x x 称为α在基12,,r ααα ,下的坐标,记为()12,,n x x x . 例20 设()123221212122-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A a ,a ,a ,()12140342⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B ,ββ,验证α１,α２,α3是R ３的一个基并将β１,β２用这个基线性表出.解由｜Ａ｜≠0可以知道α１,α２,α3线性无关.由于3dim 3R =,因此α１,α２,α3是R ３的一个基.设β１＝ｘ11α１＋ｘ21α2＋ｘ3１α3, β2＝ｘ12α１＋ｘ22α2＋ｘ32α3,即(β１,β２）＝（α１,α２,α３)111221223132x x x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 那么()1112112122123132x x x x x x --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,=AB ββ. 下面,我们给出求1A B -的一个简单方法：如果P １,Ｐ２,…,Ｐｌ为初等矩阵,使Ｐ１Ｐ２…ＰｌＡ＝Ｅ,则Ａ－１＝Ｐ１Ｐ２…Ｐｌ故有l １２ＰＰＰB ＝1-A B . 因此只需对矩阵（Ａ┊Ｂ）作初等行变换,当把A 变为E 时,B 就变成了Ａ－１Ｂ.（Ａ┊Ｂ）＝221142*********-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦(1,3)122422*********r --⎡⎤⎢⎥−−−→-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ (21(2))(31(2))122420368706378r r ++--⎡⎤⎢⎥−−−−→-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦(1(1))(32(2))122420368700996r r -+----⎡⎤⎢⎥−−−−→-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦1(3())9(23(6))(13(2))21202303023200113r r r -+-+⎡⎤--⎢⎥⎢⎥−−−−→-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦1(2())3(12(2))2410033201013200113r r +⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦因此 12433213213-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A B . 所以112321232242,3333--++=a a a =a a a ββ.即1β和2β在基123,,ααα下的坐标分别是22,,133--和42,1,33.本章小结与补充向量是线性代数中最简单的数组,是矩阵的特殊情形.所谓向量的线性运算与矩阵的线性运算实质上是一致的.在本章中,我们要理解向量组的线性相关、线性无关的概念,了解其有关的重要结论,会判定向量组的线性相关(无关)性；理解向量组的极大无关组与向量组的秩的定义;了解向量组等价的概念及有关性质;了解向量空间、子空间、基与维数的概念;熟练掌握极大无关组、向量组的秩的计算方法.为此,我们进一步强调如下几点：1.如何正确理解向量组的线性相关(无关)的定义过去在学习二、三维直角坐标空间的过程中接触过向量共线、共面的概念,而向量组的线性相关实际上可以看成是对向量共线、共面的概念在向量空间的推广.线性相关与线性无关是两个相互对立的概念,它们之间的不同之处主要在于：(1)线性相关的向量组存在系数不全为零的线性组合是零向量,而线性无关的向量组只有系数全为零的线性组合是零向量;(2)线性相关的向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表示,而线性无关的向量组中任何一个向量都不能由其余向量线性表示；(3)以线性相关的向量组为系数矩阵的齐次线性方程组存在非零解,而以线性无关的向量组为系数矩阵的齐次线性方程组只有零解.2.怎样判断向量组的线性相关性方法1：利用定义判断.这是判定向量组的线性相关的基本方法,既适用于分量已知的向量组,也适用于分量未知的向量组.方法2：利用行列式判断.这种方法仅适用于向量组中向量的个数与向量的维数相等的情形.设12,,n ααα ,是n 个n 维向量,以12,,n ααα ,为列（行）向量组成矩阵A ,则12,,n ααα ,线性相关的充分必要条件是0A =.方法3：利用向量组的秩(或矩阵的秩)判断. 一个向量组线性无关当且仅当它的秩等于向量组所含向量的个数(即向量组构成的矩阵是满秩的).特别地,如果向量组所含向量的个数多于向量的维数,则该向量组是线性相关的.3.向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量组的秩定义为它的极大线性无关组所含向量的个数,然而,直接利用定义来求向量组的秩往往是比较麻烦的,我们通常是将向量组的秩转化为矩阵的秩来求.如果我们将向量组的每个向量作为行(或列)向量构成矩阵A ,则该向量组的秩与矩阵是相等的.4．极大线性无关组的求法方法1：逐个删去法.即对于所给向量组的向量,按自左至右的顺序逐个删去可由其前面的向量线性表出的向量,则所剩向量组即为所给向量组的一个极大线性无关组.方法2：初等变换法.将向量组作为列向量组成矩阵A ,用初等行变换将矩阵A 化为行阶梯形矩阵,则其首非零元所在的列所对应的矩阵A 的列向量组即为所给向量组的一个极大线性无关组.习题三1. 设α１＝（１,１,０）,α2＝（0,１,1）,α3＝（3,4,０）.求α１－α２及3α１＋２α２－α３.2. 设3(α１－α）＋２（α２＋α）＝５（α３＋α）,其中α１＝（２,５,１,３）,α２＝（１０,１,５,１０）,α３＝（４,１,－１,１）.求α.3. 判断下列命题是否正确：(1) 若向量组α１,α２,…,αｍ线性相关,那么其中每个向量可经其他向量线性表示.(2) 如果向量β１,β２,…,βs可经向量组α１,α２,…,αｍ线性表示且α１,α２,…,αm线性相关,那么β１,β２,…,βs也线性相关.(3) 如果向量β可经向量组α１,α２,…,αｍ线性表示且表示式是惟一的,那么α１,α２,…,αｍ线性无关.(4) 如果当且仅当λ１＝λ２＝…＝λｍ＝０时才有λ１α１＋λ2α2+…+λmαm+λ１β１＋λ２β２＋…＋λｍβｍ＝０,那么α１,α２,…,αｍ线性无关且β１,β２,…,βm也线性无关.(5) α１,α２,…,αｍ线性相关,β１,β２,…,βm也线性相关,就有不全为0的数λ１,λ２,…,λｍ使λ１α１＋λ2α2+…+λmαm＝λ１β１＋λ２β２＋…＋λｍβｍ.4. 判别下列向量组的线性相关性.（1）α1=(2,5), α2=(-1,3);(2) α1=(1,2), α2=(2,3), α3=(4,3);(3) α1=(1,1,3,1),α2=(4,1,-3,2),α3=(1,0,-1,2);(4) α1=(1,1,2,2,1),α2=(0,2,1,5,-1),α3=(2,0,3,-1,3),α4=(1,1,0,4,-1).5. β１＝α１＋α２,β2＝α2＋α3,β3＝α3＋α4,β4＝α4＋α1,证明向量组β１,β２,β３,β４线性相关.6. 设向量组α１,α２,…,αr线性无关,证明向量组β１,β２,…,βr也线性无关,这里βｉ＝α１＋α２＋…＋αｉ.7. 作一个以(1,0,1,0)和(1,-1,0,0)为行向量的秩为4的方阵.8. αｉ＝（αｉ１,αｉ２,…,αｉｎ）,i＝１,２,…,ｎ.证明：如果｜ａｉｊ｜≠0,那么α１,α２,…,αn线性无关.9. 设ｔ１,ｔ２,…,ｔｒ是互不相同的数,ｒ≤ｎ.证明：ａｉ＝（１,ｔｉ,…,ｔｎ－１ｉ）,ｉ＝１,２,…,ｒ,是线性无关的.10. 设α１,α２,…,αs的秩为r且其中每个向量都可经α１,α２,…,αr线性表出.证明：α１,α２,…,αr为α１,α２,…,αs的一个极大线性无关组.11. 求向量组α1=(1,1,1,k),α2=(1,1,k,1),α3=（1,2,1,1）的秩和一个极大无关组.12. 确定向量β3=(2,a,b),使向量组β1=（1,1,0）,β2=（1,1,1）,β3与向量组α1=(0,1,1),α2=(1,2,1),α3=(1,0,-1)的秩相同,且β3可由α1,α2,α3线性表出.13. 设α１,α２,…,αn为一组n维向量.证明：α１,α２,…,αn线性无关的充要条件是任一n维向量都可经它们线性表出.14. 若向量组（1,0,0）,（1,1,0）,（1,1,1）可由向量组α１,α２,α３线性表出,也可由向量组β１,β２,β３,β４线性表出,则向量组α１,α２,α３与向量组β１,β２,β３,β４等价.15. 求下列向量组的秩与一个极大线性无关组.(1) α1=(1,2,1,3),α2=(4,-1,-5,-6),α3=(1,-3,-4,-7);(2) α１＝（６,４,１,－１,２）,α２＝(1,0,2,3,-4),α3＝(1,4,-9,-6,22),α4＝(7,1,0,1,3)；(3) α１＝(1,-1,2,4),α２＝(0,3,1,2),α3＝(3,0,7,14),α4＝(1,-1,2,0),α5＝(2,1,5,6).16. 设向量组α１,α２,…,αm与β１,β２,…,βＳ秩相同且α１,α２,…,αm能经β１,β２,…,βＳ线性表出.证明α１,α２,…,αm与β１,β２,…,βＳ等价.17. 设A为ｍ×ｎ矩阵,B为ｓ×n矩阵.证明：ｍaｘ｛R（Ａ）,R（Ｂ）｝≤R ⎡⎤⎢⎥⎣⎦AB≤R（Ａ）＋R（Ｂ）.18. 设A为ｓ×ｎ矩阵且A的行向量组线性无关,K为r×s矩阵.证明：B＝ＫＡ行向量组线性无关的充分必要条件是R(K)=r.19. 求下列矩阵的行向量组的一个极大线性无关组:(1)2531174375945313275945413425322048⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（２）11221021512031311041⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦.20. 集合V１＝｛（ｘ１,ｘ２,…,ｘｎ)｜ｘ１,ｘ２,…,ｘｎ∈R且ｘ１+ｘ２+…+ｘｎ＝０｝是否构成向量空间?为什么?21. 试证：由α１＝（1,1,0),α2＝（1,0,1),α3＝（0,1,1)生成的向量空间恰为R３.22. 求由向量α1=(1,2,1,0),α2=(1,1,1,2),α3=(3,4,3,4),α4=(1,1,2,1),α5=(4,5,6,4)所生的向量空间的一组基及其维数.23. 设α１＝（1,1,0,0),α2＝（1,0,1,1)；β１＝（2,-1,3,3),β2＝（0,1,-1,-1),证明：L(α１,α２）＝Ｌ（β１,β２）.24. 在R3中求一个向量γ,使它在下面两个基（1）α1=(1,0,1),α2=(-1,0,0),α3=(0,1,1);(2) β1=(0,-1,1),β2=(1,-1,0),β3=(1,0,1)下有相同的坐标.25. 验证α1＝（1,-1,0),α2＝（2,1,3),α3＝（3,1,2)为R３的一个基,并把β１＝（5,0,7),β2＝（-9,-8,-13)用这个基线性表示.。

向量组和矩阵秩

k1= -4 , k2 =5, k3= 1 所以 1 ,2 ,3 线性相关.
湖南科技大学吴晓勤
13
例3 设向量组 1,2 ,3线性无关， 1 1 ，2 2 2 3 ，3 3 1，试证向量组 1, 2 , 3也
线性无关。
证对任意的常数，令
i 1
反之，如果只有在k1=k2=…=ks=0时上式才成立，就
称

1
,
2
,
线性无关。
s
当

1
,
2
,
是行向量组时，它们线性相关就是指有
s
非零的1×s矩阵（k1,k2,…,ks）使
1
(k1
,
k2
,ks
)2s

0
湖南科技大学吴晓勤
10
当1
,
量，其中
(a1, a2 ,, an )
(b1, b2 ,, bn )
湖南科技大学吴晓勤
4
定义2 如果和对应的分量都相等，即
ai=bi，i=1,2,…,n
就称这两个向量相等，记为
定义3 向量（a1+b1,a2+b2,…,an+bn）
称为与的和，记为。称向量
m1 j1
向量组1,2 ,s 中每一个向量都可以经向量组
1, 2 , p 线性表出。因而，向量组 1,2 ,s 可以经向量组 1, 2 , p 线性表出。
湖南科技大学吴晓勤
23
向量组的等价具有下述性质：
(1)反身性：向量组1,2 ,s与它自己等价；
1 一个向量线性相关=0;无关 0. 2 两个向量线性相关对应元素成比例;无关对应

2023大学_大学线性代数课后答案

2023大学线性代数课后答案大学线性代数内容简介第一章矩阵与行列式1.0 预备知识1.0.1 集合1.0.2 数集1.0.3 数域1.0.4 求和号1.1 线性型和矩阵概念的引入1.1.1 矩阵的定义1.1.2 常用矩阵1.2 矩阵的运算1.2.1 矩阵的线性运算1.2.2 矩阵的乘法1.2.3 方阵的幂与方阵多项式1.3 方阵的行列式1.3.1 行列式的递归定义1.3.2 排列1.3.3 行列式的等价定义1.4 行列式的'基本性质1.4.1 转置行列式1.4.2 行线性性1.4.3 行列式的初等变换1.5 Laplace定理1.5.1 子式余子式代数余子式1.5.2 Laplace定理1.5.3 行列式的按行展开与按列展开 1.5.4 方阵乘积的行列式1.6 行列式的计算1.6.1 三角化1.6.2 降阶法与镶边法1.6.3 归纳与递推1.7 可逆矩阵1.7.1 可逆矩阵1.7.2 矩阵可逆的条件1.7.3 逆矩阵的求法1.8 分块矩阵1.8.1 矩阵的分块1.8.2 分块矩阵的运算1.8.3 分块对角矩阵习题一第二章线性方程组理论2.1 解线性方程组的消元法2.1.1 线性方程组的矩阵形式2.1.2 线性方程组的初等变换2.1.3 梯矩阵和简化梯矩阵2. 2向量空间Kn2.2.1 向量空间Kn及其运算性质2.2.2 子空间2.3 向量组的秩2.3.1 线性组合、线性方程组的向量形式 2.3.2 线性相关与线性无关2.3.3 极大线性无关组、向量组的秩2.4 矩阵的相抵标准形2.4.1 初等矩阵和矩阵的初等变换2.4.2 矩阵的秩2.5 Cramer法则2.5.1 Cramer法则2.5.2 求逆矩阵的初等变换法2.5.3 矩阵方程2.6 线性方程组解的结构2.6.1 线性方程组相容性判别准则2.6.2 齐次线性方程组的解空间2.6.3 非齐次线性方程组解的结构2.7 分块矩阵的初等变换2.7.1 分块矩阵的初等变换2.7.2 分块初等矩阵2.7.3 行列式和矩阵计算中的分块技巧习题二第三章相似矩阵3.1 方阵的特征值与特征向量3.1.1 方阵的特征值与特征向量3.1.2 特征值与特征向量的求法3.1.3 特征向量的性质3.2.1 矩阵相似的概念3.2.2 相似矩阵的性质3.3 矩阵相似于对角矩阵的条件3.3.1 矩阵相似于对角矩阵的条件3.3.2 特征值的代数重数和几何重数3.3.3 矩阵Jordan标准形3.4 方阵的最小多项式3.4.1 方阵的化零多项式3.4.2 最小多项式3.4.3 最小多项式与方阵相似于对角矩阵的条件 3.5 相似标准形的若干简单应用3.5.1 行列式求值与方阵求幂3.5.2 求与给定方阵可交换的方阵习题三第四章二次型与对称矩阵4.1 二次型及其标准形4.1.1 二次型及其矩阵表示4.1.2 二次型的标准形4.1.3 实对称矩阵的合同标准形4.2 惯性定理与二次型分类4.2.1 惯性定理4.2.2 二次型的分类4.3 正定二次型4.3.1 正定二次型4.3.2 二次型正定性判别法4.4 正交向量组与正交矩阵4.4.1 向量的内积4.4.2 正交向量组4.4.3 正交矩阵4.5 实对称矩阵的正交相似标准形4.5.1 实对称矩阵的特征值和特征向量 4.5.2 实对称矩阵的正交相似标准形 4.5.3 用正交替换化二次型为标准形习题四第五章线性空间与线性变换5.1 线性空间的概念5.1.1 线性空间的定义5.1.2 线性空间的简单性质5.1.3 线性子空间5.2 线性空间的同构5.2.1 基底，维数与坐标5.2.2 基变换与坐标变换5.2.3 线性空间的同构5.3 欧氏空间5.3.1 欧氏空间的定义与基本性质5.3.2 标准正交基5.3.3 欧氏空间的同构5.4 线性变换5.4.1 线性变换的概念与运算5.4.2 线性变换的性质5.5 线性变换的矩阵5.5.1 线性变换在给定基下的矩阵5.5.2 线性变换在不同基下矩阵间的关系习题五索引参考文献大学线性代数目录《大学数学线性代数》是普通高等教育“十一五”国家级规划教材“大学数学”系列教材之一，秉承上海交通大学数学基础课程“基础厚、要求严、重实践”的特点编写而成。

3向量组与矩阵的秩

矩阵的初等行变换都是可逆的,且其逆变换也是
同类的初等行变换。
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定理12
如果矩阵A经过有限次初等行变换变为B,则A
的行向量组与B的行向量组等价,而A的任意k个列向量
与B中对应的k个列向量有相同的线性关系。例求下列向量组
的一个极大线性无关组与秩。解作
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所以为一个极大无关组，且秩等于3。
量变成n维向量组 (1)如果那么 (2)如果那么证
也线性相关。线性无关，也线性无关。
对列向量来证明定理。
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如果
线性相关,就有一个非零的s1矩阵X,使
因此,
也线性相关,即(1)式成立。
利用(1)式,用反证法容易证明(2)式也成立。
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引理1 如果n阶方阵A的行列式等于零,那么A的行(列) 向量组线性相关。定理6 n维向量组是矩阵
和
为两向量组，其中
即是对各分量的顺序进行重排后得到的向量组，则这两个向量组有相同的线性相关性。
证对任意的常数k1,k2,…,ks，
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上两式只是各分量的排列顺序不同，因此
当且仅当
所以
和
有相同的线性相关性。
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定理5
在r维向量组。线性相关，
的各向量添上n-r个分
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数a1,a2,…,an称为这个向量的分量。ai称为这个
向量的第i个分量或坐标。分量都是实数的向量
称为实向量；分量是复数的向量称为复向量。
n维行向量可以看成1×n矩阵，n维列向量也常看成n×1矩阵。设k和l为两个任意的常数，量，其中为任意的n维向

线性代数-向量组的秩

0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 = B . 0 0 0 0 0 0 0 0
β1 β 2 β 3 β 4 β 5
由定理 4.2知, 向量组的秩为 r ( A) = r ( B ) = 3 ;
的个极大无关组5 的个极大无关组且
【例2 】
α 1 α 的秩和一个极大无关组，求向量组 A = 2 的秩和一个极大无关组， α 3 α 4 并将其它向量用此极大无关组线性表示。并将其它向量用此极大无关组线性表示。
其中α 1 = [2,0,1,1], α 2 = [ − 1, − 1, − 1, − 1] ，
{PAGE}
4
合理么？【问】用三个不同的极大无关组来研究 A合理么？三者之间有什么关系？三者之间有什么关系？
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5
2、向量组的等价、
【定义 2】对两个给定的向量组
A : α1 , ⋯ , α r ; B : β 1 , ⋯ , β s .
中的向量线性表示, 若 A 中的每个向量都可由 B 中的向量线性表示, 线性表示. 则称 A 可由 B 线性表示. 若两个向量组能相互线性表示, 则称它们等价等价. 线性表示, 则称它们等价.
【证明】
x1 方程 x1α 1 + ⋯ + xnα n = 0 为齐次线性方程组 [α 1 , ⋯ , α n] ⋮ = 0 xn
又对矩阵 A = [α 1 , ⋯ , α n]进行行初等变换相当于对上述齐次线性方程组的系数阵进行行初等变换, 线性方程组的系数阵进行行初等变换而这是此方程组的同解变换. 于是本命题成立. 同解变换于是本命题成立
于是存在一组不全为 0 的常数 k , k1 , ⋯ , kr 使得

(整理)第三章向量组的线性相关性与矩阵的秩

第三章向量组的线性相关性与矩阵的秩向量是研究代数问题的重要工具。

在解析几何里，曾经讨论过二维与三维向量。

但是，在很多实际问题中，往往需要研究更多维的向量。

例如，描述卫星的飞行状态需要知道卫星的位置()z y x ,,、时间t 以及三个速度分量z y x v v v ,,，这七个量组成的有序数组()z y xv v vt z y x ,,,,,,称为七维向量。

更一般地，本章将引入n 维向量的概念，定义向量的线性运算，并在此基础上讨论向量组的线性相关性，研究向量组与矩阵的秩、向量组的正交化等问题。

这将为以后利用向量的线性关系来分析线性方程组解的存在性，化二次型为标准形等奠定理论上的基础。

§1 n 维向量作为二维向量、三维向量的推广，现给出n 维向量的定义定义1 n 个数n a a a ,,,21 组成的有序数组（n a a a ,,,21 ），称为n 维向量。

数i a 称为向量的第i 个分量（或第i 个分量）。

向量通常用希腊字母γβα,, ,等来表示。

向量常写为一行α=（n a a a ,,,21 ）有时为了运算方便，又可以写为一列=α⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n a a a 21前者称为行向量，后者称为列向量。

行向量、列向量都表示同一个n 维向量。

设),,,(),,,,(2121n n b b b a a a ==βα都是n 维向量，当且仅当它们各个对应的分量相等，即),,2,1(n i b a i i ==时，称向量α与向量β相等，记作，βα=。

分量全为零的向量称为零向量，记为0，即 0=)0,,0,0(若),,,(21n a a a =α，则称),,,(21n a a a --- 为α的负向量，记为α-。

下面讨论n 维向量的运算。

定义2 设),,,(),,,,(2121n n b b b a a a ==βα都是n 维向量，那么向量),,,(2211n n b a b a b a +++ 叫做向量α与β的和向量，记做βα+，即),,,(2211n n b a b a b a +++=+ βα 向量α与β的差向量可以定义为α+)(β-，即),,,()(2211n n b a b a b a ---=-+=- βαβα定义3 设),,,(21n a a a =α是n 维向量，λ是一个数，那么向量),,,(21n a a a λλλ 叫做数λ与向量α的数量乘积（简称数乘），记为λα，即),,,(21a a a λλλλα =向量的和、差及数乘运算统称为向量的线性运算。

向量组的秩2.3

个向量都可由向量组 II 线性表示 , 则称向量组 I 可由向
量组II线性表示; 如果向量组I与向量组I可以相互线性
表示, 则称向量组I与向量组II等价.
“等价”满足如下性质：（1）任何向量组必然与自身等价；
（2）向量组I与向量组II 等价 II 与I等价；（3）向量组I与组II 等价，且II 与III 等价 I与III 等价.
例3.求如下向量组的秩
1 ( 3,1,6,4)T , 2 ( 2,2,3,5)T ， 3 (1,5,6,8)T .
16
解
构造矩阵 A [ 1， 2， 3 ]，只需求出r ( A) 即可. 2 1 2 5 3 1 1 3 2 5 2 1 A 6 3 6 2 1 2 4 5 8 4 5 8 2 5 1 2 5 0 1 4 4 16 可见 r ( A) 2， 0 0 3 12 0 3 12 0 0 0 r ( 1， 2， 3 ) 2 .
（ 1 ）1 (0,0,0)T ， 2 (0,0,0)T （ 2 ）1 (0,0,0)T ， 2 (1,0,0)T ， 3 (0,1,0)T （ 3 ）1 (1,0,0)T ， 2 (0,1,0)T ， 3 (0,0,1)T （ 4 ）1 (1,0,0)T ， 2 (1,2,0)T ， 3 (1,2,3)T
注 (1)只含零向量的向量组不存在极大无关组
规定其秩为 0；
(2)任何非零向量组的秩均大于0. 即有：
0 r ( 1 , 2 , , s ) s
（3）线性无关的向量组的秩=向量的个数。
(4)在秩为r的向量组中,任意r个线性无关向量都是这个向量组的极大无关组.

矩阵的秩线性方程组可解的判别法

矩阵秩的应用
线性方程组可解判别法
01
通过判断系数矩阵的秩和增广矩阵的秩是否相等，可

以判断线性方程组是否有唯一解、无穷多解或无解。
特征值与特征向量的计算
02 对于给定的方阵，可以通过计算其行列式因子和
Cramer法则来求得其特征值和特征向量。
行列式计算
03
利用矩阵的秩和行列式的关系，可以计算行列式的值
03
在求解过程中，需要注意初等变换不改变矩阵的秩，因此可以利用这一性质来验证求解过程是否正确。
CHAPTER 05
特殊线性方程组可解的判别法
唯一解的判别法
系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩
当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时，线性方程组有唯一解。这是因为系数矩阵和增广矩阵具有相同的行数，当它们具有相同的秩时，方程组中的方程个数与未知数的个数相等，从而可以唯一确定一组解。
如果增广矩阵的最后一列中的常数项与系数矩阵的秩相等，则线性方程组有唯一解；如果增广矩阵的最后一列中的常数项与系数矩阵的秩不相等，则线性方程组无解或有无穷多解。这是因为增广矩阵包含了线性方程组的所有未知数和常数项，因此可以通过比较系数矩阵和增广矩阵的秩来判断线性方程组的可解性。
CHAPTER 04
系数矩阵的行列式为零
当系数矩阵的行列式为零时，线性方程组可能有无穷多解。这是因为行列式为零意味着系数矩阵是奇异的，无法通过逆矩阵得到唯一解，但可能存在无穷多解。
无解的判别法
系数矩阵的秩大于增广矩阵的秩
当系数矩阵的秩大于增广矩阵的秩时，线性方程组无解。这是因为增广矩阵中的列无法由系数矩阵中的列线性组合得到，从而无法满足方程组中的所有方程，因此无解。
系数矩阵的行列式为无穷大

第四节向量组秩和矩阵秩

2r2 + r3
揪井 4r2 + r4
犏犏0 犏犏0
-1 0
-1 0
-1 0
-2 0
犏臌0 0 - 2 - 6 - 8
轾犏1 0 - 1 1 0
揪r3 «
井 r4
犏犏0 犏犏0
-1 0
-1 -2
-1 -6
-2 -8
犏臌0 0 0 0 0
由最后一个矩阵，有三阶子阵
1 0 -1 0 - 1 - 1 ? 0, 0 0 -2 而所有四阶子阵都等于0，得r (A)=3.
=- 2 1 -2
定义3.12 设 A = (aij )m´ n ，A中不等于零的子式的最高阶数r称为矩
阵A的秩，记作(A)=r或r (A)=r，即A中存在一个r阶子式不等于零，而所有r+1阶子式都等于零时， r (A)=r.
对于零矩阵Om´ n它的任一子式都等于零。规定r (O)=0. 例7 在例6中，已求得一个二阶子式不等于零。由于A的第三行为零行，所以A的任意三阶子式都等于零，所以r (A)=2.
注意到例6中，矩阵A是一个阶梯形矩阵，A的秩恰等于它的非零行的行数，一般，这一结论也是正确的。
矩阵 Am´ n 的秩有下述性质： (1) r( A) = r( AT ); (2) 0 ＃r( A) min(m, n).
当r( A) = min(m, n)时，称矩阵 A为满秩矩阵。特别地，当r (A)=m时，称A为行满秩矩阵；当r (A)=n时，称A为列满秩矩阵。
0 4
揪r1« 井 r2 犏犏犏犏10
-1 -1 -1 -2 21 3 4
犏臌- 1 4 3 - 3 0
犏臌- 1 4 3 - 3 0
轾犏1 0 - 1 1 0